［在这里以及后面，对应于值（B ，B ′），（ ）是相等还是相反，我们分别取正号和负号］ ；ζ ，η 就是整数，并且，通过代换
g 就变换成行列式为Δ的型 。我们不难发现，伴随型的第4个和第5个系数就分别等于 。如果我们令
不难发现的是，f 就通过代换（S ）变换成 ，等式（Ω ）就得到满足。证明完毕。
283
通过这些原理，我们可以推导出行列式为D 的二元型φ ＝pt 2 ＋2qtu ＋ru 2 由行列式为Δ的三元型f 表示的所有正常表示的方法。
1．求表达式 的所有不同（即不等价） 的值。对于φ 是原始型，且Δ和D 互质的情况，这个问题前面已经解决了（条目233） ，剩下的情况能够轻松地归结为这个情况。但是囿于篇幅，这里不做充分的解释。我们仅指出，只要Δ和D 互质，表达式 就不可能是D 的二次剩余，除非φ 是原始型。假设
那么
展开括号并用q 2 -pr 代替D 后，我们得到
我们不难判断，如果p ，q ，r 具有公约数，它就也能整除Δ2 ，但Δ和D 不可能互质，因此，p ，q ，r 不可能有公约数，φ 是一个原始型。
2．我们用m 表示这些值的个数，并且假设在这些值中有n 个值与它们自身相反（如果不存在这样的值，我们就令n ＝0） 。那么，显然剩下的m -n 个值就成对出现，每一对都是互为相反的（因为我们已经假设所有的值都包含在内） 。从每一对相反的值里任意去掉一个值，那么总共就剩下 个值。例如，表达式 有8个值，即（39，237），（171，-27），（269，-83），（291，-127），（-39，-237），（-171，27），（-269，83），（-291，127）。我们去掉分别与前面4个值相反的最后4个值。很明显，如果（B ，B ′）是与它自身相反的值，2B ，2B ′，以及2Δp ，2Δq ，2Δr 就能够被D 整除。因此，如果Δ和D 互质，2p ，2q ，2r 就也能够被D 整除。在这种情况下p ，q ，r 不可能有公约数，所以2一定能够被D 整除。这仅当D ＝±1或者D ＝±2时才会发生。因此，如果Δ和D 互质，对于所有大于2的D 的值，我们总是有n ＝0。
3．显然，型φ 由f 给出的任何正常表示都属于剩下的值中的一个，而且仅属于一个值。因此，我们应当依次取这些值，并以此求出属于其中每一个值的表示。为了求出属于一个给定的 值（B ，B ′）的表示，我们必须首先确定行列式为Δ的三元型 ，其中a ＝p ，b ″＝q ，a ′＝r ，ab -b ′b ″＝B ，a ′b ′-bb ″＝B ′。通过利用条目276.2中的等式可以求出a ′，b ′，b ′的值。我们不难发现，在Δ和D 互质的情况下，这些值一定是整数（因为当用D 乘以这3个数和用Δ乘以这3个数时都能得到整数值） 。如果b ，b ′，b ″中任何一个数是分数，或者型f ，g 不是等价的型，那么就不存在属于（B ，B ′）的φ 由f 给出的表示。但是，如果b ，b ′，b ″是整数，且型f ，g 是等价的，那么把f 变换成g 的任何代换，例如
就会给出这样一个表示，即 ，显然，所有这一类的表示都可以由某个变换推导出。因此，第2个问题中关于正常 表示的那部分就归结为第3个问题。
4．那么，型f 变换成型g 的不同的代换就给出不同的表示，唯一的例外就是值（B ，B ′）与它自身相反的情况。在这种情况下，两个代换仅给出一种表示。假设f 也通过代换
变换成g （这个代换与上一个代换给出同样的表示） ，我们用 表示条目281.2相同的数，就得到
如果假设 都等于＋1或者都等于-1，我们发现（已经排除了D ＝0的情况） ，ζ ＝0，η ＝0，由此推出δ ＝γ ，δ ′＝γ ′，δ ″＝γ ″。这两个代换仅当数 其中一个为＋1，另一个为-1时才可能不同。那么，我们得出， ，也即（B ，B ′）的值与它自身相反。
最早的《几何原本》印刷本
9世纪后，一股将希腊著作译成阿拉伯文本的风潮兴起。约1255年，坎帕努斯（？—1296年）参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本，重新将《几何原本》译成了拉丁文，并于1482年以印刷本的形式在威尼斯出版。图为坎帕努斯译本的第一页。
5．由上面（条目271） 我们所说的关于判断定型和不定型的标准可以轻松地推出：如果Δ是正数，D 是负数，且φ 是一个定负型，那么g 就是定负型；如果Δ是正数，D 要么是正数，要么是负数，且φ 是一个定正型，那么g 就是一个不定型。现在，除非f ，g 就这一点上是相似的，否则它们一定不能是等价的。显然，行列式为正数的二元型以及定正型都不能由定负的三元型正常表示，且定负的二元型也不可能由行列式为正数的不定的三元型来表示。相反地，第1种或第2种类型的三元型只能相应地表示第2种或第1种类型的二元型。同理，我们可以推断，行列式为负数的三元定型（即定正的型） 只能表示定正的二元型，而行列式为负数的不定三元型仅能表示行列式为正数的定负的二元型。
284
现在，由三元型f （它的伴随型是F） 给出的行列式为D 的二元型φ 的反常 表示，我们可以推导出由型F 给出的数D 的反常表示。显然，除非D 包含平方因数，否则φ 不可能由f 反常表示。我们假设整除D 的所有平方数（1除外） 是 。（它们的个数是有限的，因为我们假设D 不等于0） 。那么，由f 给出的型φ 的所有反常表示就可以推导出数D 由F 给出的一个表示，其中变数的值以数 其中的一个作为最大公约数。因此，我们就简单地说，型φ 的每个反常表示都属于平方因数e 2 ，或者e ′e ′，或者 。现在，我们可以利用下面的法则来求出型φ 属于相同的给定 除数e 2 的所有表示（我们假设e 2 的根e 取正值） 。为了简洁，我们给出综合证明，但是由这个证明不难重新获取证明的分析过程。
第一，求出所有行列式为 的这样的二元型，它们通过形如 这样的正常代换可以变换成型φ ，其中T ，U 是这个二元型的变量；t ，u 是型φ 的变量； χ ，μ 是正整数（因此它们的积等于e） ；λ 是小于μ 的正整数（它可以为0） 。这些型以及对应的代换可以通过下面的方法求出。
令 χ 依次等于数e 的各个正因数（包括1和e） ，并且令 ；对于 χ 和μ 的每组确定的值，赋予λ 从0到μ -1之间的所有整数值，这样我们无疑得到了所有的代换。现在，只要找到φ 通过代换 得到的型，我们就求出了被代换 变成φ 的型；这样我们就得到了与每个代换相对应的型。但是，在这些型中只有那些3个系数都是整数的型我们才保留下来 [39] 。
第二，假设Φ 是这些型中的一个，通过代换T ＝χ t ＋λ u ，U ＝μ u 变换成型φ ；我们接下来确定型Φ 由f 给出的所有正常 表示（如果存在） ，并且，用下面的式子来表示它们
由 中的每个式子我们可以推导出表示
其中的系数由下列等式给出
对于由第1个法则得到的其他的型（如果还有的话） ，我们用与型Φ 相同的方式讨论它们，因而，由每一个型的每个正常表示就可以推导出其他表示。按照这样的方式，我们就得到了型φ 的属于除数e 2 的所有表示，且每个表示只得到一次。
证明
1．很明显，三元型f 被每个代换（ρ ）变换成φ ，这不需要做更多解释。（ρ ）的每个表示都是反常的，且都属于因数e 2 ，这一点可以从下面的事实推出：数α ′β ″-α ″β ′，α ″β -α β ″，α β ′-α ′β 分别等于e ，它们的最大公约数就是e ［由于 是正常表示］ 。
2．我们要证明，由型φ 的任意给定表示（ρ ），我们可以求得行列式为 的型的正常表示，这个表示包含在用第1个法则所求的那些表示中；也就是说，由α ，α ′，α ″，β ，β ′，β ″的给定的值，我们可以推导出满足指定条件的， χ ，λ ，μ 的整数值，以及满足等式（R ）的 ，的值，而且仅有唯一一种方式。由（R ）中的前三个等式可知，对于 χ ，我们应当取α ，α ′，α ″的正的最大公约数（因为数 没有公约数，所以 也没有公约数） ；因此，我们还可以确定 以及 （不难发现，它一定是一个整数） 。我们假设以这样的方式取3个整数a ，a ′，a ″，使得 ，并且，为了简洁，我们用k 表示 。那么，由（R） 的最后三个等式可以推出，α β ＋α ′β ′＋α ″β ″＝λ ＋μ k ，由此明显可知，λ 只有一个值位于界限0和μ -1之间， 的值就也确定了。那么，我们仅剩下要证明它们总是整数。现在，我们有
显然，这证明了 是一个整数。同理，我们可以证明 也是整数。由这些讨论我们发现，不可能得出由f 给出的型φ 的属于除数e 2 的反常表示，它不可能由我们所使用的方法得到。
如果我们用同样的方式讨论D 剩下的平方因数，并且求出属于其中每个因数的表示，那么，我们就会得到型φ 由f 给出的所有的反常表示。
由这个解不难推导出，上个条目的结尾给出的关于正常表示的定理也适用于反常表示；也就是说，一般地，不存在具有负的行列式的二元定正型可能被三元定负型表示的情况。这是因为，如果φ 是这样一个按照定理不能够被f 正常表示的二元型，那么，所有具有行列式 …的包含φ 的型都不能被f 正常表示。因为所有这些型的行列式与φ 的行列式具有同样的符号，当这些行列式是负数时，对应于φ 属于定正型或者定负型，所有这些型就是定正型或者定负型。
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关于第3个问题（我们已经把前两个问题归化为这个问题） ，即关于判断两个具有相同行列式的给定三元型是不是等价的方法，以及如果这两个三元型等价，求一个型变换成另外一个型的所有变换，我们这里仅能给出少部分内容。原因就是，如果要像我们对二元型的类似问题那样给出完整解，这里会出现更大的困难。因此，我们就把讨论限定于某些特殊情况。
1．对于行列式＋1，我们上面已证明，所有三元型可以划分为两类，一类包含所有不定型，另一类包含所有（定负的） 定型。我们即刻推断出，对于两个行列式为1的三元型，如果它们都是定型或者都是不定型，它们就是等价的；如果一个是定型，另一个是不定型，它们就是不等价的（显然，定理的第2部分对于任意行列式的型都成立） 。类似地，任意两个行列式为-1的型，如果它们都是定型或都是不定型，那么就一定等价。两个行列式为2的定型总是等价的；两个行列式为2的不定型，如果一个型前三个系数都是偶数，另一个型前3个系数不全是偶数，那么它们就不等价；在剩下的情况下（要么它们的前3个系数都是偶数，要么前三个系数都不全是偶数） ，这两个型都是等价的。如果我们在条目277中讨论了更多的例子，那就可以给出更多的具有这种特殊性质的定理。
2．对于所有这些情况，我们可以求出两个等价的三元型f ，f ′由其中一个型变成另一个型的代换。因为，在这些情况下，在三元型的任意类中，我们已经列出了少数几个型，使得这个类中的任意型都能通过统一的方法归化为这几个型中的一个，并且，我们还指出了如何把所有这些型归化为一个单一的型。设F 是这个类中f ，f ′所属的型，并且通过上面给出的方法，我们可以求出把型f ，f ′变换成F ，以及把F 变换成f ，f ′的所有代换。然后，由条目270，我们能推导出把型f 变换成f ′，以及把f ′变换成f 的所有代换。
3．因此，仅剩下的问题是如何推导出把一个三元型f 变换成另一个三元型f ′的代换。这个问题依赖于一个更简单的问题，也就是求把一个三元型f 变换成它自己的所有代换。如果f 通过各种代换（τ ），（τ ′），（τ ″），…变换成它自己，并且f 通过代换（t ）变换成f ′，那么，我们可以把代换（t ）和代换（τ ），（τ ′），（τ ″），…结合起来，从而给出把f 变换成f ′的所有的代换。进而，通过一个简单计算就证明了，任何把型f 变换成f ′的代换都可以以这种方式——由一个把型f 变换成f ′的给定的代换（t ）和一个（仅 有一个 ）把型f 变换成它自己的代换的组合——来给出。因此，由一个把型f 变换成f ′的给定的代换和所有 型f 变换成它自己的代换，我们就可以得到把型f 变换成f ′的所有 变换。实际上，每个变换仅出现一次。
于是，我们可以把对型f 变换成它自己的所有代换下：研究限定在这样一种情况的f 是一个定型，它的第4、第5和第6个系数都等于0 [40] 。因此，设 ，又一般地，设把f 变换为它自己的所有代换表示为
使得满足下面的等式
现在，我们必须区分3种情况：
1）当a ，a ′，a ″（符号相同） 都不相等，假设a ＜a ′，a ′＜a ″（如果这里的数的大小次序不同，由类似的方法可以得出相同的结论） 。那么，等式［1］明显要求α ′＝α ″＝0，因而α ＝±1；由等式［4］，［5］我们就得出β ＝0，γ ＝0；类似地，由等式［2］我们得出β ″＝0，因而β ′＝±1；由等式［6］，γ ＝0，并且，由等式［3］得出，γ ″＝±1，因而（由于其中的正负号可以相互独立地选取） 我们就得到了所有8个代换。
2）如果数a ，a ′，a ″中有2个数相等，例如a ′＝a ″，且第3个数和这2个数不相等，我们假设：
（1）a ＜a ′。那么，以和上一种情况中相同的方式，我们就可以得出α ′＝0，α ″＝0，α ＝±1，β ＝0，γ ＝0；并且由等式［2］，［3］，［6］不难推出，要么β ′＝±1，γ ′＝0，β ″＝0，γ ″＝±1，要么β ′＝0，γ ′＝±1，β ″＝±1，γ ″＝0。
（2）a ＞a ′。由等式［2］，［3］，我们一定可以得出β ＝0，γ ＝0，并且要么β ′＝±1，γ ′＝0，β ″＝0，γ ″＝±1，要么有β ′＝0，γ ′＝±1，β ″＝±1，γ ″＝0。不论是哪种情况，由等式［4］，［5］，我们都可以得出α ′＝0，α ″＝0，并且，由等式［1］得出，α ＝±1。因此，对于每种情况，都有16种不同的代换。剩下两种情况，a ＝a ″或者a ＝a ′，可以用完全类似的方式来解决。在a ＝a ″的情况，我们只要将字母α ，α ′，α ″分别与β ，β ′，β ″互换即可；在a ＝a ′的情况，我们把字母α ，α ′，α ″分别与γ ，γ ′，γ ″互换即可。
3）如果3个数α ，α ′，α ″都相等，那么根据等式［1］，［2］，［3］的要求，在3个数组α ，α ′，α ″；β ，β ′，β ″；γ ，γ ′，γ ″中，每个数组里都有2个数等于0，1个数等于±1。由等式［4］，［5］，［6］不难发现，3个数α ，β ，γ 中只有一个数能等于±1。同样的结论对α ′，β ′，γ ′和α ″，β ″，γ ″也成立。因此，只有6个可能的组合
剩下的6个系数就等于0。因而，我们一共得出48个代换。这个表也包含了上面的情况，当α ，α ′，α ″不都相等时，我们只取第1列；当a ′＝a ″时，只取第1列和第2列；当a ＝a ′时，只取第1列和第2列；当a ＝a ″时，只取第1列和第6列。
总之，如果型f ＝a x 2 ＋a ′x ′x ′＋a ″x ″x ″通过代换
x ＝δ y ＋ε y ′＋ζ y ″，x ′＝δ ′y ＋ε ′y ′＋ζ ′y ″，x ″＝δ ″y ＋ε ″y ′＋ζ ″y ″
变换成另一个等价的型f ′，那么型f 变换成f ′的所有代换都包含在下面的表中
当a ＝a ′＝a ″时，前面6列都要用到；当a ′＝a ″时，用第1列和第2列；当a ＝a ′时，用第1列和第3列；当a ＝a ″时，用第1列和第6列；当a ，a ′，a ″都不相等时，只用到第1列。在第1种情况下，代换有48个，在第2、第3和第4种情况下，代换有16个，在第5种情况下，代换有8个。
