第35节 如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型
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因为我们已经简洁地阐述了三元型理论的基本原理，现在来讨论它的一些特殊应用。其中最重要的是下面的问题。
问题
给定一个行列式为D 的二元型F ＝（A ，B ，C ），它属于主族，求一个二元型f ，由它加倍可得到型F 。
解：1．设F ′与F 型相反。我们要求F ′＝A T 2 -2B T U ＋C U 2 由三元型x 2 -2y z 给出的正常表示。假设这个表示是x ＝α T ＋β U ，y ＝α ′T ＋β ′U ，z ＝α ″T ＋β ″U 。由前面关于三元型的理论可知，这是可以做到的。因为，根据假设，F 属于主族，所以表达式 的值存在，由它可以求得一个行列式为1的三元型φ ，型（A ，-B ，C ）作为其中的一个部分出现，且它的所有系数都是整数。同样，φ 显然是一个不定型（根据假设，F 一定不是定负型） ；因而，它就一定等价于型x 2 -2y z 。于是，我们可以求出一个把x 2 -2y z 变换成φ 的正常代换，这个代换给出型F ′由x 2 -2y z 给出的一个正常表示。因此，我们得到
A ＝α 2 -2α ′α ″，-B ＝α β -α ′β ″-α ″β ′，C ＝β 2 -2β ′β ″
进而，如果我们分别用a ，b ，c 表示数α β ′-α ′β ，α ′β ″-α ″β ′，α ″β -α β ″，那么，a ，b ，c 没有公约数，且D ＝b 2 -2a c 。
2．借助于条目235的最后一条，我们不难推断，通过代换2β ′，β ，β ，β ″；2α ′，α ，α ，α ″，F 就变换成型（2a ，-b ，c ）与它自己的乘积，并且，通过代换β ′，β ，β ，2β ″；α ′，α ，α ，2α ″，F 就变换成型（a ，-b ，2c ）与它自己的乘积。现在，数2a ，2b ，2c 的最大公约数是2，因此，如果c 是奇数，数2a ，2b ，c 就没有公约数，所以（2a ，-b ，c ）就是一个正常原始型；同理，如果a 是奇数，（a ，-b ，2c ）就是一个正常原始型。在前一种情况下，F 就由型（2a ，-b ，c ）加倍得到，在后一种情况下，F 就由型（a ，-b ，2c ）加倍得到（见条目235.4） 。其中一种情况一定会出现。这是因为，如果a ，c 是偶数，b 就一定是奇数；现在，不难确认的是，β ″a ＋β b ＋β ′c ＝0，α ″a ＋α b ＋α ′c ＝0，由此推出β b ，α b 是偶数，因而α 和β 也是偶数。由此可以推出，A 和C 是偶数，但这与我们的假设矛盾，因为根据假设，F 是属于主族的型，因而属于正常原始层。但是，有可能a 和c 都是奇数，在这种情况下，我们立即得到2个型，由它们加倍就可以得到F 。
例：假设给定行列式-151的型F ＝（5，2，31）。表达式 的一个值是（55，22）；三元型 。根据条目272的方法，我们发现它等价于 ，它通过代换
变换成φ 。并且，借助于条目277中给出的变换，我们发现 通过代换
变换成φ 。因此，a ＝11，b ＝-17，c ＝20。由于a 是奇数，F 就由型（11，17，40）加倍得到，并且，通过代换-1，-7，-7，-18；2，3，3，2变换成这个型与它自己的乘积。
第36节 除了在条目263和264中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应
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对于上个条目所解决的问题，我们补充以下讨论：
1．如果型F 通过代换p ，p ′，p ″，p ；q ，q ′，q ″，q 变换成2个型（h ，i ，k ）和（h ′，i ′，k ′）的乘积（像之前一样，我们假设每个型都取为正常的） ，我们就可以从条目235.3轻松地推导出这些等式
以及另外3个等式——将数p ，p ′，p ″，p 分别以q ，q ′，q ″，q 代替得到；数n ，n ′分别是型（h ，i ，k ）和（h ′，i ′，k ′）的行列式被型F 的行列式除得的商的正的平方根。那么，如果这两个型相同，也就是说，n ＝n ′，h ＝h ′，i ＝i ′，k ＝k ′，这些等式就会变成
那么一定有p ′＝p ″，同理，q ′＝q ″。因此，如果我们给型（h ，i ，k ）和（h ′，i ′，k ′）赋予相同的变量t ，u ，用T ，U 表示型F 的变量，那么，F 就可以通过代换
变换成（h t 2 ＋2i t u ＋k u 2 ）2 。
2．如果型F 由型f 加倍得到，那么，它也能由包含在与f 所在的相同的类中的任何其他型加倍得到；也就是说，型F 的类可以由型f 的类加倍得到 （参考条目238） 。那么，在上个条目的例子中，（5，2，31）也可以通过与型（11，17，40）正常等价的型（11，-5，16）加倍得到。对于这样一个类，我们可以由它加倍得到型F 所在类。借助于条目260，我们可以求出所有 这样的类（如果不止一个） 。在我们的例子中，不存在其他这样的定正类，因为只存在一个行列式为-151的正常原始定正歧类（主类） ；并且，由单一定负歧类（-1，0，-151）和（11，-5，16）类的合成，我们可以得到类（-11，-5，-16）——只有从这个定负类的加倍才能得到类（5，2，31）。
3．通过解答上个条目的问题，我们可知：属于主族的任何二元型的正常原始（定正） 类都可以由某个具有相同行列式的正常原始类加倍得到。由此我们可以拓展条目261的定理——对于给定的非平方数的行列式D ，所有可能的特征中至少有 一半不可能与（定正的） 正常原始族相对应。现在我们可以说：在所有的特征中正好 有一半能和这样的族相对应，并且另外一半不可能和这样的族相对应（参考该定理的证明） 。在条目264中，我们把这些特征划分为两个等分的组P ，Q 。我们证明了Q 中的特征都不可能对应于正常原始（定正） 型；但不确定是否有族对应于P 中的每一个特征。现在，这个疑问已经不存在了，我们可以确定地指出在特征P 中，每一个特征不与这样的族对应。在条目264中我们还指出了，对于具有负的行列式的正常原始定负 层，P 中所有的特征都是不可能的，只有 Q 中有部分的特征是可能的。现在，我们可以指出，Q 中所有 的特征实际上都是可能的。这是因为，如果K 是Q 中的任意特征，f 是行列式为D 的正常原始定负型所属的层中的任意型，K ′是它的特征，那么K ′就在Q 中；由此，我们不难发现，由K 和K ′合成的特征（根据条目246中的规则） 就属于P ，因而存在行列式为D 的正常原始定正型与之相对应。如果这个型和f 合成，就能得到一个行列式为D 的正常原始定负型，它的特征就是K 。同理，我们可以证明，在反常原始层中，所有那些按照条目264.2和264.3中的规则得到的那些唯一 可能的特征，实际上是可能的，不论它们是在P 中还是在Q 中。我们认为这些定理是二元型定理中最优美的，尤其是它们不仅简约，而且还深刻。要严格证明它们必须借助于诸多研究的结论。
我们现在转到前面题外话的另一个应用，把数和二元型分解成三个平方数。
