288
问题
给定一个正数，求这样的M ：存在行列式为-M 的定负原始二元型，它是数M 的二次剩余，或者换句话说，1是它的一个特征数。
解：用Ω 表示以下关系所给出的专属特征的总体：1与M 的各个（奇） 质因数之间的关系，以及1与8或者4（当它们能整除M 时） 之间的关系；显然，这些特征就是R p ，R p ′，R p ″，…（其中p ，p ′，p ″，…，是质因数，以及） 1，4（当4整除M 时） ；1，8（当8整除M 时） 。而且，我们还将使用P ，Q ，它们的含义和上个条目以及条目264中的含义相同。现在，我们区分以下几种情况：
1．当M 能够被4整除时，Ω 就是完整特征，由条目233.5可知，1只能是其特征是Ω 的那些型的特征数。显然，Ω 是主型（1，0，M ）的特征，因而它属于P ，且它不能由正常原始定负型给出。对于这个行列式，不存在反常原始型，在这种情况下就不存在行列式是M 的剩余的定负原始型。
2．当M ≡3（mod 4）时，同样的推理对于下面唯一的例外情况依然成立：反常原始定负层存在，其中对应于M ≡3和M ≡7（mod 8），P 分别是可能的或不可能的特征（参考条目264.3） 。因此，在前一种情况，这个层中就存在一个族，它的特征是Ω ，1是这个族中包含的所有的型的特征数；在后一种情况，不存在任何具有这个性质的定负型。
3．当时M ≡1（mod 4）时，Ω 还不是完整特征，我们必须对它补充一个与数4的关系。显然，Ω 必须列入以1为特征数的型的特征中。反过来，其特征为Ω ；1，4，或者是Ω ；3，4的每一个型都应当有特征数1。现在，Ω ；1，4明显是主族的特征，且这个特征属于P ，因而它不可能在定负的正常原始层中；同理，特征为Ω ；3，4就属于Q （条目263） ，因此它在定负的正常原始层中存在一个对应的族，这个族的所有的型都以1作为其中一个特征数。在此情况以及下面的情况下，都不存在反常原始层。
4．当M ≡2（mod 4）时，我们必须为Ω 增补一个它与数8的关系，才能得到完整特征。当M ≡2（mod 8）时，这些特征就是1和3，8；5和7，8。当M ≡6（mod 8）时，它们要么是1和7，8，要么是3和5，8。在前一种情况，特征Ω ；1和3，8就显然属于P ，5和7，8就属于Q 。因此，存在与之相对应的定负的正常原始族。同理，在后一种情况，正常原始定负型中就有一个族，它的型具有所要求的性质；也就是说，这个族具有特征Ω ；3和5，8。
综上所述，当M 对于模8同余于1，2，3，5，6其中一个数时，存在行列式为-M 的定负的原始型，它的特征数为1；并且，当M ≡3（mod 8）时，它们就属于唯一一个反常的族。但当M ≡0，M ≡4，或者M ≡7时，不存在这样的型。显然，如果（-a ，-b ，-c ）是特征数为＋1的原始定负型，（a ，b ，c ）就是特征数为-1的定正的原始型。由此可知，在前5种情况下（当M 同余于1，2，3，4，5，6时） ，存在一个定正的原始族，它的型以-1作为特征数，并且当M ≡3时它是反常的 ；但是，在其他三种情况下（当 M 同余于0，4，7时） ，完全不存在这样的定正型。
289
关于二元型由三元型x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝f 给出的正常表示，由条目282的一般理论，我们可以得到下面的结果：
1．除非二元型φ 是定正的原始型，且以-1（也就是型f 的行列式） 作为它的特征数，否则它不可能由f 正常表示。因此，对于正的行列式，以及对于负的行列式-M ，当M 能被4整除或者形如8n ＋7时，都不存在能够由f 正常表示的二元型。
2．如果φ ＝（p ，q ，r ）是行列式为-M 的正常原始型，且-1是型φ 的特征数——也是与之相反的型（p ，-q ，r ）的特征数，那么，存在型φ 由f 给出的属于表达式 的任意给定值的正常表示。实际上，行列式为-1的三元型g 的所有系数（条目283） 一定都是整数，型g 就是定型，因而它一定等价于f （条目285.1） 。
3．由条目283.3，我们知道，属于表达式 的相同的值的表示的个数等于型f 变换成型g 的变换的个数，当M ＝1和M ＝2时除外。根据条目285，这个个数等于48。因此，如果有一个属于给定的值的表示，那么，另外的47个表示就可以通过对变数x ，y ，z 的值用一切可能的方式进行配置以及取所有可能的符号的组合得到。如果我们只考虑这些平方数本身，而不考虑它们的次序或者它们的平方根的符号的话，那么，所有48个表示只能给出型φ 分解成三个平方数的唯一一种 方式。
4．如果用μ 来表示整除M 的所有不同的奇质数的个数，由条目233我们不难推断，表达式 的不同的值的个数等于2 μ 。并且，根据条目283，我们只应当考虑这些值的一半（当M ＞2时） 。因此，型φ 由f 给出的所有正常表示的个数就是48×2 μ -1 ＝3×2 μ ＋3 ；而分解成3个平方数的不同的分解法的个数等于2 μ -1 。
例：设φ ＝19t 2 ＋6t u ＋41u 2 ，所以M ＝770。这里我们必须考虑（条目283） 表达式 的4个值：（39，237），（171，-27），（269，-83），（291，-127）。为了求出属于值（39，237）的所有表示，我们首先得出三元型 。根据条目272，275中的方法，我们发现f 可以通过代换
变换成这个型。型φ 由f 给出的表示是
x ＝t -6u ，y ＝-3t -2u ，z ＝-3t -u
为了简洁，我们就不写出剩下的47个属于同一个值的表示，它们是通过这些值的置换以及符号的改变得到的。所有48个表示给出型φ 分解成三个平方数
t 2 -12t u ＋36u 2 ，9t 2 ＋12t u ＋4u 2 ，9t 2 ＋6t u ＋u 2
的相同的分解。
同理，值（171，-27）可以分解成三个平方数（3t ＋5u ）2 ，（3t -4u ）2 ，t 2 ；值（269，-83）可以分解成（t ＋6u ）2 ，（3t ＋u ）2 ，（3t -2u ）2 ；以及值（291，-127）可以分解成（t ＋3u ）2 ，（3t ＋4u ）2 ，（3t -4u ）2 。这些分解式每一个都相当于48个表示；除了这192个表示，或者说48个分解式之外，不可能再有其他表示了。因为770不能被任何平方数整除，所以，对它而言，不存在任何反常表示。
290
行列式为-1和-2的型存在一些例外，所以我们单独讨论它们。首先，一般地，如果φ ，φ ′是任意两个等价的二元型，Θ是第一个型变换成第二个型的给定代换，那么，型φ 由某个三元型f 给出的任意表示与代换Θ组合，就得到了型φ ′由f 给出的表示。而且，由φ 的正常表示，我们能得到φ ′的正常表示，由φ 的不同表示可以得到φ ′的不同表示，且如果取φ 的所有表示，能得到φ ′的所有表示。所有这些结论都可以通过非常简单的计算得以证明。因此，φ 与φ ′可以以同样多种方式由f 表示。
1．首先，设φ ＝t 2 ＋u 2 ，且设φ ′是另外任意一个行列式为-1的定正的二元型，因此φ 与φ ′等价；再设φ 可以通过代换t ＝α t ′＋β u ′，u ＝γ t ′＋δ u ′，变换成φ ′。令x ＝t ，y ＝u ，z ＝0，型φ 可以由三元型f ＝x 2 ＋y 2 ＋z 2 表示。如果置换x ，y ，z 的值，可以得到6个表示；再由其中每一个表示，改变t ，u 的符号，又能得到4个表示。因此，我们总共得到24个不同的表示，而与它们对应的只有唯一一个分解成3个平方数的方式。不难发现，除了这些表示之外，没有其他表示了。我们断定，型φ ′也仅有一种方式被分解成3个平方数，即（α t ′＋β u ′）2 ，（γ t ′＋δ u ′）2 ，以及0。这种分解相当于24种表示。
2．设φ ＝t 2 ＋u 2 ，φ ′是行列式为-2的其他任意定正的二元型，φ 可以通过代换t ＝α t ′＋β u ′，u ＝γ t ′＋δ u ′变换成φ ′。同理，我们断定φ 和φ ′只有一种方式分解成三个平方数，即φ 分解成t 2 ＋u 2 ＋u 2 ，φ ′分解成（α t ′＋β u ′）2 ＋（γ t ′＋δ u ′）2 ＋（γ t ′＋δ u ′）2 。很明显，这种分解相当于24种表示。
由所有这些结论我们可以推出，行列式为-1和-2的二元型由三元型x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出表示的个数，与其他二元型完全相似。因为这两种情况下，μ ＝0，条目289.4中所给的公式就只给出24种表示。
为了简洁，我们省略条目284中给出的关于反常表示的一般理论在型x 2 ＋y 2 ＋z 2 中的应用。
291
对于求一个给定的正数M 由型x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出的所有正常表示的问题，可由条目281，首先将它归化为对数-M 由型-x 2 -y 2 -z 2 ＝f 给出正常表示的问题。通过条目280的方法，我们可以以下面的方式找出这些表示：
1．找出行列式为-M 且可以由型X 2 ＋Y 2 ＋Z 2 ＝F （它的伴随型是f） 正常表示的二元型构成的所有的类。当M 同余于0，4或者7（mod 8）时，由条目288可知，不存在这样的类，因而M 不可能分解成三个没有公约数的平方数 [41] 。但是，当M 同余于1，2，5或者6时，就存在一个正常原始定正族；当M ≡3（mod 8）时，存在一个反常原始族，它们都包含所有这些类。我们用k 表示这些类的个数。
2．现在，从每一个类中选取一个型，把它们称为φ ，φ ′，φ ″，…；我们要确定所有这些型由F 给出的所有可能的正常表示。这些表示的个数为3×2 μ ＋3 k ＝K ，其中μ 是M 的（奇的） 质因数的个数。由每一个这样的表示
我们得到M 由x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出的表示为
M 的所有这些表示一定都包含于这K 个表示组成的整体中，我们用Ω 表示它。
3．因此，现在只剩下要找出Ω 中是不是有相同的 表示。由条目280.3可知，Ω 中的这些由不同的型（例如由φ 和φ ′） 得出的表示一定是不同的。现在只剩下这样一个问题：同一个型（例如φ） 由F 给出的不同的表示是不是能得到数M 由型x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出的相同的表示。显然如果在φ 的所有表示中，我们找到
那么，其中就有表示
并且，从这两个表示我们得到数M 的同一个表示，我们称为（R ）。我们来看一看表示（R ）是否还可以由型φ 的其他表示得到。根据条目280.3，设χ ＝φ ，如果把型φ 变换成它自身的所有正常变换记为
我们可以推出：型φ 的所有那些可以推导出（R ）的表示为
但是，根据条目179中解释的行列式为负数的二元型的变换理论，我们可以推出，除M ＝1和M ＝3两种情况外，在其他所有情况下，只有两种代换把型φ 变换成它自身，即α ，β ，γ ，δ 分别等于1，0，0，1和-1，0，0，-1（由于φ 是原始型，我们在条目179中用m 表示的数要么等于1，要么等于2，因而，除了特例，条目179中的情况1在这里一定成立） 。因此，表示（R） 只能从（r ），（r ′）得到，即数M 的每个正常表示在Ω 中只能出现两次；M 的所有不同正常表示的个数就是 。
关于例外的情况，根据条目179，当M ＝1时，型φ 变换成它自身的正常变换的个数为4，当M ＝3时为6；不难确定，数1和3的正常表示的个数分别是 和 。也就是说，每个数只能以唯一一种方式分解成三个平方数，1分解成1＋0＋0，3分解成1＋1＋1。数1的分解给出6个不同的表示，数3的分解给出8个不同的表示。对于M ＝1，K ＝24（这里μ ＝0，k ＝1） ；对于M ＝48，K ＝48（这里μ ＝1，k ＝1） 。
令h 表示主族中的类的个数。根据条目252，这个个数就等于正常原始族中的类的个数。我们指出，当M 同余于1，2，5或者6（mod 8）时，k ＝h ；当M ≡3（mod 8）时， ；只有一种情况，即M ＝3例外（在这种情况下k ＝h ＝1） 。因此，一般地 ，对于形如8n ＋3的数，表示的个数等于2 μ ＋2 h ，因为对于数3，这两种例外相互抵消。
292
我们已经把数（以及在二元型的情况） 分解成三个平方数与由型x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出的表示加以区别；在前一种情况，我们仅注意平方数的大小，在后一种情况，除了平方数的大小外，还要考虑平方根的排列次序和符号。因此，我们认为x ＝a ，y ＝b ，z ＝c 与x ＝a ′，y ＝b ′，z ＝c ′这两种表示是不同的，除非同时满足a ＝a ′，b ＝b ′，c ＝c ′；并且，如果不计排列次序，a 2 ＋b 2 ＋c 2 和a ′a ′＋b ′b ′＋c ′c ′中的平方数相同，那么，我们就把它们看成是相同的分解方式。由此可知：
1．数M 分解成a 2 ＋b 2 ＋c 2 ，如果所有这些平方数都不等于0，且它们都不相等，那么这个分解就等价于48种表示；如果有一个平方数等于0且其他两个平方数不相等，或者 所有平方数都不等于0但是有两个平方数相等，那么这个分解就与24种表示等价。一个给定的数分解成三个平方数，如果两个平方数等于0，或者 一个平方数等于0，另外两个平方数相等，或者 所有平方数都相等，那么这个分解就分别等价于6个或12个或8个 表示。除了M ＝1或M ＝2或M ＝3的特殊情况之外，没有正常表示。排除这三种情况，我们假设M 数分解成三个平方数（它们没有公约数） 的所有分解方式的个数是E ，并且在所有这些分解方式中，有一个平方数为0的分解方式有e 个，并且有两个平方数相等的分解方式有e ′个；前面的分解可以视为分解成两个平方数，后面的分解可以视为分解成一个平方数和另一个平方数的两倍。那么，数M 由x 2 ＋y 2 ＋z 2 表示的所有正常表示的个数就等于
但是，由二元型理论不难推出，对应于-1是模M 的二次剩余或者二次非剩余，e 要么等于0，要么等于2 μ -1 ；对应于-2是模M 的非剩余或者剩余，e ′要么等于0，要么等于2 μ -1 。这里的μ 是数M 的（奇） 质因数的个数（见条目182 ，我们这里略去更加详细的说明） 。由所有这些推论，我们得出：
如果-1和-2都是M 的非剩余，那么E ＝2 μ -2 k ；如果-1和-2都是M 的剩余，那么E ＝2 μ -2 （k ＋2）；如果-1和-2其中一个是M 的剩余，另一个是M 的非剩余，那么E ＝2 μ -2 （k ＋1）。
对例外情况M ＝1和M ＝2，这个公式将会给出 ；对于M ＝3，我们得到正确的值E ＝1，因为两种例外相互抵消了。
因此，如果M 是质数，我们就有μ ＝1，因而当M ≡1（mod 8）时，E ＝ ；当M ≡3或者M ≡5时， 。这些特殊定理是由著名的勒让德通过归纳法发现的，他将其发表在我们常常引用的著名评论杂志上（H i s t A c a d P a r i s ，1785） [42] 。如果他让大家看到的定理和这里的定理形式不同的话，这仅仅是因为他没有把正常等价和反常等价区分开，而把相反的类混在一起了。
2．为了求数M 分解成三个平方数（没有公约数） 的所有方式，没有必要推导出型φ ，φ ′，φ ″的所有正常表示。不难确定，型φ ［这里φ ＝（p ，q ，r） ］ 的属于表达式 的同一个值的所有（48种） 表示将给出数M 的同一个分解，因此，只要我们有了其中的一个表示，或者，只要知道型f 分解成三个平方数的所有不同的方式就足够了 [43] 。对于其余的型φ ′，φ ″，…，有相同的结论成立。现在，如果φ 属于一个非歧类，那我们就可以不考虑从与它相反的类中所选取的型，也就是说，对于两个相反的类，只考虑其中的一个就足够了。由于从每一个类中选取什么样的型是任意的，我们假设从一个与包含型φ 的类的相反的类中选取与型φ 相反的型φ ′。那么，不难看出，如果型φ 的正常分解由一般公式
来表示，那么型φ ′的所有分解就可以由
来表示，两者可以得到数M 的同一个分解。最后，如果φ 属于歧类，但不属于主类，也不等价于型 或者 （对应于M 是偶数或者奇数） ，我们可以忽略表达式 一半的值。为了简洁，我们就不给出简化的具体方法。当我们想要求M 由x 2 ＋y 2 ＋z 2 给出的所有表示时，也可以利用这些简化，因为从平方数的分解可以很轻松地得到这些表示。
作为范例，我们研究一下数770分解成三个平方数的所有。这里μ ＝3，e ＝e ′＝0，因而E ＝2k 。因为很容易应用条目231中的方法来对行列式为-770的定正的二元型进行分类，为了简洁，我们忽略这个过程。我们发现，定正类的个数等于32。所有这些定正类都是正常原始的，可划分为8个族，所以k ＝4，E ＝8。以-1为特征数的族明显对于数5，7，11有专属特征R 5；N 7；N 11，并且由条目263，关于数8，我们推断它的特征一定是1和3，8 。现在，在以1和3，8 ；R 5；N 7；N 11为特征的族中，我们发现有4个类。从这4个类中我们选择下面4个型作为它们的代表：（6，2，129），（6，-2，129），（19，3，41），（19，-3，41）。这里排除掉第2个和第4个类，因为它们分别和第1个和第3个类相反。在条目289中，我们给出了型（19，3，41）的4个分解方式。由这些分解方式，我们得到数770的4种分解：9＋361＋400，16＋25＋729，81＋400＋289，576＋169＋25。类似地，我们可以求得型6t 2 ＋4t u ＋129u 2 分解成
这些分解分别来自于表达式 的值（48，369），（62，-149），（92，-159），（202，61）。由此，我们得到数770的另外4种分解225＋256＋289，1＋144＋625，64＋81＋625，16＋225＋529。除了这8种分解方式之外，不再有其他的分解。
关于数分解成有公约数的三个平方数的问题，由条目281的一般理论不难解决，这里没有必要详细阐述。
