第38节 费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数
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上面的讨论也对下面的著名定理提供了证明：任何整数都能分解成三个三角数。 费马首先发现这个定理，但直到现在也没有对这个定理的严格证明。很明显，由数M 表示为三角数的任何分解方式
可以得出数8M ＋3分解成3个奇数的平方和的方式
反之亦然。通过前面的理论，任意正整数8M ＋3都可以分解成三个奇数的平方和（见条目291注解 ） ，并且，所有分解方式的个数取决于形如8M ＋3的质因数的个数和行列式为-（8M ＋3）的二元型划分的类别的个数。数M 表示为三个三角数的分解方式的个数是一样的。我们已经假设了，对于x 的任意整数值， 被视为一个三角数；且如果我们把0排除，这个定理就应该按照如下方式改变：任何一个正整数，要么是三角数，要么能够分解成两个或者三个三角数。如果我们把0排除在平方数之外，那么对下面的定理也要做出类似的改动。
约瑟夫·拉格朗日
约瑟夫·拉格朗日（1736—1813年），法籍意大利裔数学家、天文学家，在数学、物理和天文三个领域中都有历史性的重大贡献，包括提出著名的拉格朗日中值定理，创立拉格朗日力学，等等。近百年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作，因而，他被认为是数学史上对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。
由这些相同的原理，我们可以证明费马的另一个定理——任何正整数可以分解成四个平方数 。如果从一个形如4n ＋2的数中减去任意一个（小于该数的） 平方数，从一个形如4n ＋1的数中减去一个偶平方数，或者从一个形如4n ＋3的数中减去一个奇平方数，那么在所有这些情况，减剩下来的数都能分解成三个平方数，从而给定的数就可以分解成四个平方数。最后，一个形如4n 的数可以表示为4 μ N ，N 属于前面三种形式之一；且当N 可以分解为4个平方数时，4 μ N 就一定也能够分解成四个平方数。我们还可以从形如8n ＋3的数中减去一个被4整除的数的平方，从形如8n ＋7的数中减去一个不被4整除的偶数的平方，以及从形如8n ＋4的数中减去一个奇数的平方，并且剩下的数都可以分解成三个平方数。这个定理已经被拉格朗日先生证明了（N o u v .m ê m A c a d B e r l i n ，1770，第123页） 而且欧拉先生在A c t a a c a d P e t r o p .2上对这个证明（证明的方法与我们完全不同） 做了更充分的解释。费马还有一些其他的定理是前面这些定理的延续，例如，任何整数可以分解成五个五角数，六个六角数以及七个七角数，等等。但这些定理还未得到证明，它们的解决似乎需要完全不同的原理。
