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问题
给定三元型f ＝a x 2 ＋a ′x ′x ′＋a ″x ″x ″＋2b x ′x ″＋2b ′x x ″＋2b ″x x ′，判断0是否能够被这个型表示（变量的值不全为0）。
解：1．当a ＝0时，x ′，x ″的值可以任意选取，由方程
可知，x 可以取确定的有理数值。以这种方式，不论何时得到x 的值为分数，只要将x ，x ′，x ″的值乘以这个分数的分母，我们就得到了整数值。我们必须排除在外的x ′，x ″的唯一的值，就是那些使得b ′x ″＋b ″x ′＝0的值——除非它们同时使得a ′x ′x ′＋2b x ′x ″＋a ″x ″x ″＝0，在这种情况下可以任意选取。那么，这样就能得到所有可能的解。但是，b ′和b ″等于0的情况不属于这里的讨论范围，因为这种情况下x 不出现在f 中，也就是说，f 是一个二元型，0是否能够由f 表示应当由二元型理论决定。
2．当a 不等于0时，通过设
方程f ＝0就等价于
当A ′＝0且B 不等于0时，显然，如果我们任意取a x ＋b ″x ′＋b ′x ″和x ″的值，则x 和x ′就确定为有理数，且当它们不是整数时，可以通过恰当的乘法使它们变成整数。只是对于x ″的一个值，即x ″＝0，a x ＋b ″x ′＋b ′x ″的值不是任意的，而是也必须等于0。但此时可以完全自由地选取x ′的值，并且由它会推导出一个x 的有理数值。当A ″和B 同时等于0时，如果A ′是等于k 2 的一个平方数，方程f ＝0就能够简化为两个线性方程（它们中的一个一定成立）
但如果（在相同的假设下） A ′不是平方数，所给方程的解取决于以下条件（两者都必须成立） ：x ″＝0，a x ＋b ″x ′＝0。
顺便指出一点，当a ′或a ″等于0时，情况1中的方法也适用；当A ′＝0的时候，情况2中的方法也适用。
3．当a 和A ″都不等于0时，方程f ＝0就等价于
其中，D 是型f 的行列式，也即D a ＝B 2 -A ′A ″。当D ＝0时，方程的解的情况类似于上个情况的结尾处的那样，也就是说，如果A ″是等于k 2 的平方数，所给方程就简化为
如果A ″不是平方数，我们一定有
当D 不等于0时，我们就简化为方程
由上个条目可以判断它的可解性。除非我们令t ＝0，u ＝0，v ＝0，否则这个简化的方程不可解，由此我们推出：除非令x ＝0，x ′＝0，x ″＝0，否则所要求的方程无解。但是，如果这个方程还有其他解，那么，通过方程
我们至少能够推导出x ，x ′，x ″的有理数值。如果这些值中包含分数，可以通过恰当的乘法使它们成为整数。
一旦求出方程f ＝0的一个整数解，这个问题就可以被归化为情况1，并且能够按照下面的方法求出所有的解。设x ，x ′，x ″满足方程f ＝0的一些值是α ，α ′，α ″。我们假设它们没有公约数。现在，（根据条目40和条目279） 选择整数β ，β ′，β ″，γ ，γ ′，γ ″，使得
并且，通过代换
型f 就变换成
那么，我们就有c ＝0，且g 就等价于f 。不难推断，方程f ＝0的所有整数解可以由方程g ＝0的所有解［通过（S ）］ 推导出来。并且，由情况1可知，方程g ＝0的所有的解包含于公式
其中，p 和q 是不确定整数，z 是不确定数，且只要y ，y ′，y ″是整数，z 就可以是分数。如果把y ，y ′，y ″的这些值代入（S ），我们就得到了方程f ＝0的所有整数解。例如
方程f ＝0的一个解是x ＝1，x ′＝-2，x ″＝1。通过令β ，β ′，β ″，γ ，γ ′，γ ″分别为0，1，0，0，0，1，我们得出
所以方程g ＝0的所有整数解就包含于公式
且方程f ＝0的所有的解包含在以下公式中
