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我们现在回过来讨论二元型，它还有许多显著的性质需要讨论。首先，关于正常原始层（如果行列式是负数，则为定正的） 中的类和族的个数，我们补充一些讨论。为了使行文简洁，我们把研究限定于以下情况。
所有具有给定的行列式为±D 的（定正的正常原始） 型族的个数总是1，2，4或者2的更高次幂。幂的指数取决于D 的因数，由我们上面的研究可以事先确定。但是，由于在自然数序列中，质数和合数或多或少地混在一起，所以，对于很多连续的行列式，±D ，±（D ＋1），±（D ＋2），…，族的个数时而增加，时而减少，在这个序列中似乎毫无规律。尽管如此，如果我们把多个相邻的行列式
所对应的族的个数相加，并把它们的和除以行列式的个数，我们就得到了族的平均个数 。我们可以把它看作与行列式的平均数 对应的族的个数，且这个平均数构成一个非常有规律的序列。但是，我们这里不仅要假设m 足够大，还要假设D 比m 要大得多，这样的话，两端的行列式D 和D ＋m 的比值才接近1。这个序列的规律性是指：如果D ′是远远大于D 的一个数，那么与行列式±D ′对应的族的平均个数就要比与行列式D 对应的族的个数大得多；如果D 和±D ′相差不多，分别与D 和D ′对应的族的平均个数就大约相等。与正的行列式＋D 对应的族的平均个数总是大约等于与负的行列式对应的族的平均个数，而且D 越大，这个结论就越精确，然而对于较小的D 的值，前者要比后者大一点。通过下面的例子我们可以更好地理解这些讨论。这些例子来自于超过4000个行列式的二元型分类表。在从801到900之间的这100个行列式中，有7个行列式仅对应于一个族，32，52，8，1分别对应于2，4，8，16个族。总计有359个族，则族的平均个数是3.59。从-900到-801这100个负的行列式总共有360个族。下面的例子都与负的行列式有关。从-1600到-1501，族的平均个数是3.89；从-2500到-2401，族的平均个数是4.03；从-5100到-5001，族的平均数是4.24；对于从-9401到-10000这600个行列式，族的平均数是4.59。由这些例子可知，族的平均个数的增长速度比行列式自身的增长速度慢得多。但是，我们想要知道这个序列的规律。通过一个十分复杂的理论讨论（这里不做解释，因为它过于冗长） ，我们已经发现，对应于行列式＋D 或者-D 的行列式的族的平均个数可以通过公式
近似计算出来，其中α ，β 是常量，且实际上
这里g 是级数1-log（1＋1）， 的和，约等于0.5772156649（见欧拉I n s t C a l c D i f f ，第444页） ，而数h 等于级数 …之和，这个和大约等于0.9375482543。由这个公式可知，如果行列式按照几何序列增加，族的平均个数将按照算术序列增加。当D 的值分别为 时，这个公式的值分别是3.617，3.86，4.046，4.339，4.604。它们与上面所给的平均个数之间的差别很小。中间的行列式越大，用来计算平均值的行列式的个数越多，则真实值与公式所给的值的差别就越小。借助于这个公式，对于连续的行列式±D ，±（D ＋1），…±（D ＋m） ，不论两端的行列式D 和D ＋m 的差距有多大，通过把对应于每个行列式的族的平均个数相加，我们都能近似求出对应于这一系列的行列式的族的平均个数之和。这个和就是
或者，相当精确地，这个和等于
以这种方式计算，对于行列式从-100到-1，族的个数的和是234.4，然而这个和实际上是233。类似地，对于行列式-2000到-1，由这个公式得到族的个数的和是7116.6，然而这个和实际上是7112。对于行列式-10000到-9001，由公式得到族的个数的和是4594.9，实际上族的个数是4595。结果如此的一致，已经超出我们的预期。
