换比、分比在定义V.14中作了总结。
在这一命题中的量必须是同类量，但在推论中的量却是两个不同类的量，所以推论是不合适的。或许应接在上一命题之后，这意味着该命题是它的前两个命题的倒置。
这一命题应用在命题V.25中，也用在卷10的其他几个命题中。推论在卷6和卷13中分别使用了一次。
命题V.20
如果有两组量，每组三个，各组中各取一个对应的量，所形成的比相同。如果首末项第一量大于第三量，则第四量也大于第六量；如果前二者相等，后二者也相等；如果小于，后二者也小于。
设：a、b、c 三个量与另三个量d、e、f 有相等比值，那么，a 比b 等于d 比e ，b 比c 等于e 比f 。
又设：a 大于c 。
求证：d 也大于f 。如果a 等于c ，那么后者也相等；如果小于c ，那么后者也小于。
因为a 大于c ，b 是另一个等量，大的量比小的量有更大的比。
所以：a 比b 大于c 比b （命题V.8） 。
而：a 比b 等于d 比e ，又c 比b 等于f 比e 。
所以：d 比e 大于f 比e （命题V.7、V.13） 。
而：有相同比的量，大比的更大。
所以：d 大于f （命题V.10） 。
同样，可以证明：如果a 等于c ，那么d 也等于f ；如果小于，那么后者也小于。
所以：如果有两组量，每组三个，各组中各取一个对应的量，所形成的比相同。如果首末项第一量大于第三量，则第四量也大于第六量；如果前二者相等，后二者也相等；如果小于，后二者也小于。
证完
注解
这一命题是为命题V.22做的准备，证明是简洁的。
命题V.21
如果三个量对应比另三个量，比值相同，而且它们是调动比，那么，如果第一量大于第三量，那么第四量也大于第六量；如果相等，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于。
设：d、e、f 三个量是a、b、c 三个量的倍数，两两比相等，并且是调动比，那么a 比b 等于e 比f ，b 比c 等于d 比e （定义V.18） 。
a 大于c ，不等于c 。
那么：d 也大于f ，如果a 等于c ，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于。
因为a 大于c ，b 是另一个等量，那么：a 比b 的比值大于c 比b （命题V.8） 。
又，a 比b 等于e 比f ，相反，c 比b 等于e 比d 。
所以：e 比f 大于e 比d （命题V.7、V.13） 。
又，对同一比，比大的较小。
所以：f 小于d ，所以：d 大于f （命题V.10） 。
同样，可以证明：如果a 等于c ，那么d 也等于f ；如果小于c ，那么d 也小于f 。
所以：如果三个量对应比另三个量，比值相同，而且它们是调动比，那么，如果第一量大于第三量，那么第四量也大于第六量；如果相等，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于。
注解
这一命题是为命题V.23做的准备，本命题及命题V.23皆依赖于将定义V.4作为类似公理。
命题V.22
如果有任意个量，又有个数与它们相同的一些量，各组中每取两个都有相同的比。则它们成首末比。
设：a、b、c 与d、e、f 有等量比值，即a 比b 等于d 比e ，b 比c 等于e 比f 。
那么：它们也有相等的比值，即a 比c 等于d 比f （定义V.17） 。
作a 和d 的等倍量g 和h ，再作b 和e 的任意等倍量k 和l ，再作c 和f 的任意等倍量m 和n 。
那么因为a 比b 等于d 比e ，g 和h 分别是a 和d 的等倍量，k 和l 分别是b 和e 的任意等倍量。
所以：g 比k 等于h 比l （命题V.4） 。
同样原因，k 比m 也等于l 比n ，那么因为三个量g、k 和m 与另三个量h、l 和n 有相同的比值，所以，有首末比。
如果g 大于m ，h 也就大于n ；如果等于，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于（命题V.20） 。
又，g 和h 分别是a 和d 的等倍量，m 和n 分别是c 和f 的任意等倍量。
所以：a 比c 等于d 比f （定义V.5） 。
证完
命题V.23
如果有三个量对应比另三个量，比值相同，则它们组成调动比例，也成首末比。
设：三个量为a、b、c ，另三个量为d、e、f ，它们一一对应，成相等比例。设它们组成调动比例，那么a 比b 等于e 比f ，b 比c 等于d 比e （定义V.18） 。
那么：a 比c 等于d 比f 。
分别作a、b、d 的等倍量g、h 和k ，再分别作c、e、f 的等倍量l、m 和n 。
那么因为g、h 分别是a、b 的等倍量，部分与整体有相等的比，所以：a 比b 等于g 比h （命题V.15） 。
因为同样理由，e 比f 等于m 比n ，a 比b 等于e 比f 。
所以：g 比h 等于m 比n （命题V.11） 。
再因为b 比c 等于d 比e ，则更比例为：b 比d 也等于c 比e （命题V.16） 。
又因为h、k 分别是b、d 的等倍量，由于部分与部分有相等的比，所以：b 比d 等于h 比k （命题V.15） 。
而b 比d 等于c 比e ，所以：h 比k 也等于c 比e （命题V.11） 。
又，因为l、m 是c、e 的相等倍数，所以：c 比e 等于l 比m （命题V.15） 。
又，c 比e 等于h 比k ，所以：h 比k 也等于l 比m 。
且更比例为：h 比l 等于k 比m （命题V.11、V.16） 。
又，也可以证明：g 比h 等于m 比n 。
既然因为：三个量g、h、l 与另三个量k、m、n 对应成比例，并构成调动比。
所以：是首末比，如果g 大于l ，那么k 也大于n ；如果相等，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于（命题V.21） 。
又，g 和k 是a 和d 的等倍量，l 和n 是c 和f 的等倍量。
所以：a 比c 等于d 比f （定义V.5） 。
所以：如果有三个量对应比另三个量，比值相同，则它们组成调动比例，也成首末比。
证完
注解
这一命题说，当a、b、c 与d、e、f 是相同或不同类时，如果a ∶b ＝e ∶f ，b ∶c ＝d ∶e ，那么a ∶c ＝d ∶f 。
这里的证明用了命题V.16以及更比例，这意味着，仅仅适应于当所有量是同类量的情况。这一证明是笨拙的。
以下是证明的总结：
假定a ∶b ＝e ∶f ，b ∶c ＝d ∶e 。
证明：a ∶c ＝d ∶f 。
设：n 和m 是两个任意数，根据命题V.15，a ∶b ＝na ∶（nb ），且e ∶f ＝me ∶（mf ）。所以，根据命题V.11，na ∶（nb ）＝me ∶（mf ）。
因为b ∶c ＝d ∶e ，得b ∶d ＝c ∶e （但要求所有量是同类量）。同理，nb ∶（nd ）＝b ∶d ＝c ∶e ＝mc ∶（me ）。
所以，由更比例可得，nb ∶（mc ）＝nd ∶（me ）。
再用命题V.21的比例nb ∶（mc ）＝nd ∶（me ）以及na ∶（nb ）＝me ∶（mf ），得：
na ＞＝＜mc 则nd ＞＝＜mf 。
所以：a ∶c ＝d ∶f 。
虽然上一命题的比例首末比不依赖于定义V.4为类似公理，但这一命题却是一个使用无穷小的反比例是：a ＝c ＝e ，b ＝e ＝（a ＋y ），f ＝（a ＋2y ）。这里，y 是与a 相关的无穷小的数。
命题V.24
如果第一个量与第二个量的比等于第三个量与第四个量的比，第五个量比第二个量等于第六个量比第四个量，那么第一个量与第五个量之和比第二个量等于第三个量与第六个量之和比第四个量。
设：第一个量AB 与第二个量c 的比等于第三个量DE 与第四个量f 的比值，第五个量BG 与第二个量c 的比等于第六个量EH 与第四个量f 的比。
那么：第一个量与第五个量之和AG 比c 的值等于第三个量与第六个量之和DH 比f 的值。
因为：BG 比c 等于EH 比f ，相反，c 比BG 等于f 比EH （命题V.7） 。
那么因为AB 比c 等于DE 比f ，c 比BG 等于f 比EH 。
所以，首末比为：AB 比BG 等于DE 比EH （命题V.22） 。
这些量成分比例，也成合比例，所以，AG 比GB 等于DH 比HE （命题V.18） 。
又，BG 比c 也等于EH 比f ，所以：首末比为：AG 比c 等于DH 比f （命题V.22） 。
所以：如果第一个量与第二个量的比等于第三个量与第四个量的比，第五个量比第二个量等于第六个量比第四个量，那么第一个量与第五个量之和比第二个量等于第三个量与第六个量之和比第四个量。
证完
注解
这一命题说，如果u ∶v ＝w ∶x ，y ∶v ＝z ∶x ，那么（u ＋y ）∶v ＝（w ＋z ）∶x 。
这一命题的陈述使用了比例前项，将之倒用，也适合于后项。
这一命题应用在命题VI.31中。
命题V.25
如果四个量成比例，那么最大量和最小量之和大于其余两个量之和。
设：AB、CD、e 和f 四个量成比例，AB 比CD 等于e 比f ，AB 为最大，f 为最小。
求证：AB 与f 之和大于CD 与e 之和。
作AG 等于e ，CH 等于f 。
因为AB 比CD 等于e 比f ，又，e 等于AG ，f 等于CH 。
所以：AB 比CD 等于AG 比CH （命题V.7、V.11） 。
又因为：总量AB 比总量CD ，等于部分AG 比部分CH 。
所以：余量GB 比余量HD 也等于总量AB 比总量CD （命题V.19） 。
又因为：AG 等于e ，CH 等于f 。
所以：AG 与f 之和等于CH 与e 之和。
所以：如果四个量成比例，那么最大量和最小量之和大于余下的两个量之和。
证完
注解
这一命题表述：如果w ∶x ＝y ∶z ，w 是四个量中的最大量，z 是最小量，那么w ＋z ＞x ＋y （该四个量必须是同类量）。
这一命题没有在《几何原本》中再加以利用。
这一命题依赖于定义V.4作为类似公理，无穷小的一个反例是：当y 是与x 相关的无穷小的数时，比例是（x ＋5y ）∶（x ＋2y ）＝（x ＋4y ）∶x 。
第6卷
相似
CHAPTER 6
世界上是否存在完全相同的两片树叶，先不去管它，但是，在几何概念中，很多图形或事物是可以相等或相似的。你无法否认边长为4的两个正方形的相等性，你也无法拒绝一切正多边形、圆、正多面体、球体等各自的相似性。事物之间的相似性，是人们进行归纳推理的基础，是事物得以存在的重要属性之一。
本卷主要阐述了比例的属性。
本卷提要
命题VI.1是本卷的基础，它和命题VI.33直接使用了卷5中的定义，命题VI.1构建线段与支线图形，命题VI.33构建角与圆周。其余命题使用了在卷5中发展起来的比例属性，但并未使用这些命题的定义建任何新的比例。
定义
VI.1 在多边形中，若对应角相等且夹角的边成比例，则称它们是相似多边形。
VI.2 在两个多边形中，夹角的两边若成如下比例：第一形的一边比第二形的一边等于第二形的另外一边比第一形的另外一边，则称两个多边形为逆相似图形。
VI.3 把某线段一分为二，当整体线段比大线段等于大线段比小线段（大线段的平方等于整体线段乘以小线段） 时，则称此线段被分为中外比。
VI.4 一个图形中，顶点到对边的垂线段称为图形的高。
命题VI.1
等高的三角形或平行四边形的面积比等于它们的底的比。
设：三角形为ACB 和ACD ，平行四边形为EBCA 和ACDF ，它们皆在同一高度下。
求证：第三边CB 比第三边CD 等于三角形ACB 与三角形ACD 的面积的比，且等于平行四边形EBCA 的面积比平行四边形ACDF 的面积。
令：延长BD 的两端至H 和L ，使BG 和GH 等于CB ，DK 和KL 等于CD ，连接AG、AH、AK 和AL （命题I.3） 。
那么，因为CB、BG 和GH 相互相等，所以：三角形ACB 、三角形ABG 和三角形AGH 的面积也相互相等（命题I.38） 。
所以：CH 是CB 的倍数，三角形ACH 的面积也是三角形ACB 的面积的倍数。
同理，CL 是CD 的倍数，三角形ACL 的面积也是三角形ACD 的面积的倍数。
又，如果CH 等于CL ，那么三角形ACH 的面积也等于三角形ACL 的面积；如果CH 大于CL ，那么三角形ACH 的面积也就大于三角形ACL 的面积；同样，如果CH 小于CL ，那么三角形ACH 的面积也相应小于三角形ACL 的面积（命题I.38） 。
于是：就有四个量，即CB 和CD ，三角形ACB 和三角形ACD 。取定了底CB 和三角形ACB 的底的等倍量，即底CH 和三角形ACH 。另外，对底CD 和三角形ADC 的任意量，即底CL 和三角形ACL 。
又可以证明，如果底CH 大于底CL ，那么三角形ACH 的面积也大于三角形ACL 的面积；如果等于，那么后者也等于；如果小于，那么后者也小于，所以底CB 比底CD 等于三角形ACB 与三角形ACD 的面积的比（定义V.5） 。
再因为：平行四边形EBCA 的面积是三角形ACB 的面积的两倍，平行四边形ACDF 的面积是三角形ACD 的面积的两倍，又：部分与部分有相等的比值。
所以：三角形ACB 的面积比三角形ACD 的面积等于平行四边形EBCA 的面积比平行四边形ACDF 的面积（命题I.41、V.15） 。
那么：证明出了CB 比CD 等于三角形ACB 与三角形ACD 的面积的比，且三角形ACB 的面积比三角形ACD 的面积等于平行四边形EBCA 的面积比平行四边形ACDF 的面积。
所以：CB 比CD 也等于平行四边形EBCA 的面积比平行四边形ACDF 的面积（命题V.11） 。
所以：三角形和平行四边形如果在同一高度下，那么它们的面积的比等于它们底的比。
证完
注解
这一命题的更好陈述或许是，同一高度的三角形没有共同的底，平行四边形与三角形没有共同的底和边。这是因为在相同平行线上等底的三角形的面积相等（命题I.36），在相同平行线上等底的平行四边形的面积相等（命题I.35），而相等在比例中可以代替（命题V.7），欧几里得的简化是充分的。
这一命题的目的是证明三个比，即线段CB 比CD ，三角形ACB 的面积比三角形ACD 的面积，平行四边形CE 的面积比平行四边形CF 的面积这三个比是相等的，即：
CB ∶CD ＝ACB 的面积∶ACD 的面积＝CE 的面积∶CF 的面积。
证明的第一步是证明CB ∶CD ＝ACB 的面积∶ACD 的面积。根据定义V.5，即是说任意m 和n 有：
mBC ＞＝＜nCD 及mS △ABC ＞＝＜nS △ACD 。
在欧几里得证明中，m 和n 是3。现在mBC 等于线段CH ，nCD 等于线段CL ，m 倍ABC 的面积等于三角形ACH 的面积，而n 倍ACD 的面积等于三角形ACL 的面积。所以证明为：
CH ＞＝＜CL 且ACH 的面积＞＝＜ACL 的面积。
这又缘于命题I.38，于是证明的第一步完成。
第二步容易一些，因为平行四边形面积是三角形面积的两倍，它们也有相同的比。
本命题频繁地应用在本卷其余命题中，也应用在卷11、12中。
命题VI.2
如果一条直线平行于三角形的一条边，那么它所截得的边成比例；如果三角形的边被截成比例，那么通过两点的直线平行于三角形的第三边。
设：在三角形ABC 中，DE 平行于BC 。
求证：BD 比AD 等于CE 比AE 。
连接BE 和CD 。
于是：三角形BDE 的面积等于三角形CDE 的面积，因为它们在同一边DE 上，且有同一平行线DE 和BC （命题I.37） 。
又，ADE 是另一个三角形。
又，等于相等比值的量相等。
所以：三角形BDE 的面积比三角形ADE 的面积等于三角形CDE 的面积比三角形ADE 的面积（命题V.7） 。
又，三角形BDE 的面积比三角形ADE 的面积等于BD 比AD ，因为：从E 到AB ，在同一高度下的平行四边形的面积的比值等于其底的比值（命题VI.1） 。
同样理由：三角形CDE 的面积比三角形ADE 的面积等于CE 比AE 。
所以：BD 比AD 也等于CE 比AE （命题V.11） 。
再令：三角形ABC 的边AB 和AC 被分成比例，BD 比AD 等于CE 比AE ，连接DE ；
那么：DE 平行于BC 。
在这同一结构中，因为BD 比AD 等于CE 比AE ，而BD 比AD 等于三角形BDE 的面积比三角形ADE 的面积。
又，CE 比AE 等于三角形CDE 的面积比三角形ADE 的面积。
所以：三角形BDE 与三角形ADE 的面积的比等于三角形CDE 与三角形ADE 的面积的比（命题VI.1、V.11） 。
所以：三角形BDE 的面积等于三角形CDE 的面积。
又，它们有共同的边DE （命题V.9） 。
又，在同一第三边上面积相等的三角形有相同的平行线（命题I.39） 。
所以：DE 平行于BC 。
所以：如果一条直线平行于三角形的一条边，那么它所截得的边成比例；如果三角形的边被截得的边成比例，那么通过截面两点的直线平行于三角形的第三边。
证完
注解
本命题频繁应用在本卷其余命题中，也用在卷11、12中。
命题VI.3
如果三角形的一个角的平分线，截对边得到的两条线段的比等于夹这个角的两边的比；如果三角形一边被分成两段的比等于其余两边的比，那么连接分点与顶点的直线平分这一边所对的角。
设：ABC 为三角形，直线AD 平分∠BAC 。
那么：DB 比DC 等于AB 比AC 。
令：过C 作CE ，使之平行于DA ，延长BA ，与CE 相交于E （命题I.31） 。
那么因为：直线AC 落在平行线AD 和EC 上，那么∠ACE 等于∠CAD （命题I.29） 。又，∠CAD 等于∠BAD ，那么∠BAD 也等于∠ACE 。
又因为：直线BAE 落在平行线AD 和EC 上，∠BAD 等于∠AEC （命题I.29） 。
又，∠ACE 也被证明等于∠BAD 。所以：∠ACE 也等于∠AEC 。
所以：边AE 也等于边AC （命题I.6） 。
又，因为AD 平行于EC ，所以：DB 比DC 与AB 比AE 相等（命题VI.2） 。
又，AE 等于AC ，所以：DB 比DC 等于AB 比AC （命题V.7） 。
再设：AB 比AC 等于DB 比DC ，连接AD 。那么：直线AD 平分∠BAC 。
在这同一图形中，因为：DB 比DC 等于AB 比AC 。
又，DB 比DC 等于AB 比AE ，因为AD 平行于EC 。所以：AB 比AC 也等于AB 比AE （命题VI.2、V.11） 。
所以：AC 等于AE ，∠AEC 也等于∠ACE （命题V.9、I.5） 。
又，∠AEC 等于∠BAD ，∠ACE 等于内错角∠CAD 。所以：∠BAD 也等于∠CAD （命题I.29） 。所以：直线AD 平分∠BAC 。
所以：如果三角形的一个角的平分线，截对边得到的两条线段的比等于夹这个角的两边的比；如果三角形一边被分成两段的比等于其余两边的比，那么连接分点与顶点的直线平分这一边所对的角。
证完
注解
本命题在《几何原本》中未得以再利用。
命题VI.4
在相似三角形中，等角所对的边对应成比例，等角所对的边是对应边。
设：ABC 和DCE 为相似三角形，∠ABC 等于∠DCE ，∠BAC 等于∠CDE ，∠ACB 等于∠CED 。
那么，在三角形ABC 和三角形DEC 中，相等角所对的边成比例。
令：CE 放置在直线BC 上。
那么，因为，∠ABC 与∠ACB 之和小于180°，∠ACB 等于∠DEC ，所以：∠ABC 与∠DEC 之和小于180°。所以：BA 与ED 如果延长，那么将相交。
令其相交于F （命题I.17） 。
因为∠DCE 等于∠ABC ，DC 平行于FB 。又因为：∠ACB 等于∠DEC ，AC 平行于FE （命题I.28） 。
所以：FACD 是平行四边形。所以：FA 等于DC ，AC 等于FD （命题I.34） 。
又，因为AC 平行于三角形FBE 的边FE ，所以：BA 比AF 等于BC 比CE （命题VI.2） 。
又AF 等于CD ，所以，BA 比CD 等于BC 比CE 。
又，由更比，AB 比BC 等于DC 比CE 。
又，CD 平行于BF ，所以，BC 比CE 等于FD 比DE 。
又，FD 等于AC ，所以：BC 比CE 等于AC 比DE 。又，由更比，BC 比CE 等于AC 比DE 。
因为，AB 比BC 等于DC 比CE ，且BC 比CA 等于CE 比ED 。
所以：由首末比可得，BA 比CA 等于CD 比ED （命题V.7、V.16） 。
所以：在相似三角形中，等角的对应边成比例，等角所对的边是对应边。
证完
应用广泛的算术三角
算术三角中的数是二项展开式系数，也是组合数，又是行数。它和开方（开平方、开立方以至高次方）、解方程、组合数学、概率论等都有密切关系，历代学者都很重视，并从不同的角度来造出这个表。但就全世界的范围来看，东方各国比欧洲更早知道这个三角形。图为意大利学者卡尔达诺（1501—1576年）给出的算术三角图。
注解
本命题暗示等角三角形是相似三角形。这在命题VI.8已有详细的证明。本命题也暗示与一个三角形相似的三角形彼此相似。后一陈述见于命题VI.21 。
本命题及逆命题频繁地使用在本卷其余的命题及卷10～13的命题中。
命题VI.5
如果两个三角形的三边对应边成比例，那么对应角相等。
设：三角形ABC 与三角形DEF 中：AB 比BC 等于DE 比EF ，BC 比CA 等于EF 比FD ，BA 比AC 等于ED 比DF 。
那么：三角形ABC 与三角形DEF 是相似三角形，即∠ABC 等于∠DEF ，∠BCA 等于∠EFD ，∠BAC 等于∠EDF 。
因为，在直线EF 上的点E、F 处作∠FEG 等于∠CBA ，∠EFG 等于∠BCA 。
于是：∠A 等于∠G （命题I.23、I.32） 。
所以：三角形ABC 与三角形GEF 是相似三角形。所以：在三角形ABC 和三角形GEF 中，角的对应边成比例。
所以：AB 比BC 等于GE 比EF （命题VI.4） 。
因为AB 比BC 等于DE 比EF ，于是：DE 比EF 等于GE 比EF （命题V.11） 。
所以：DE、GE 与EF 有相等的比值。所以：DE 等于GE （命题V.9） 。
同样原因：DF 也等于GF 。
那么，因为DE 等于GE ，EF 为公共边，DE 和EF 分别等于GE 和EF ，DF 等于GF ，所以：∠DEF 等于∠GEF 。
三角形DEF 等于三角形GEF ，余下的角等于其余的角，即相等边的对应角（命题I.8、I.4） 。
所以∠DFE 也等于∠GFE ，∠EDF 等于∠EGF 。
又，因为∠DEF 等于∠GEF ，∠GEF 等于∠ABC 。所以：∠ABC 等于∠DEF 。
同样理由：∠ACB 也等于∠DFE ，∠A 等于∠D ，所以：三角形ABC 与三角形DEF 是相似三角形。
所以：如果两个三角形边成比例，那么对应角相等。
证完
注解
显然，本命题是前一命题的逆命题，现在，关于相似三角形有了两种描述，一为等角三角形相似，二为对应边成比例的三角形相似。
本命题应用在命题XII.12的证明中。
命题VI.6
如果两个三角形有一个角相等，夹等角的两边对应成比例，那么，两三角形为相似三角形，余下的角也对应相等。
设：ABC 和DEF 两个三角形中∠BAC 等于∠EDF ，夹等角的两边成比例，BA 比AC 等于ED 比DF 。
求证：三角形ABC 与三角形DEF 为相似三角形，∠ABC 等于∠DEF ，∠ACB 等于∠DFE 。
在边DF 和点D 及F 上建∠FDG ，使之等于∠BAC ，或者∠EDF ；
作∠DFG 等于∠ACB （命题I.23） 。
所以：B 点上的角等于G 点上的角。
所以：三角形ABC 与三角形DGF 是相似三角形（命题I.32） 。
所以：BA 比AC 等于GD 比DF （命题VI.4） 。
因为：BA 比AC 也等于ED 比DF ，那么：ED 比DF 也等于GD 比DF （命题V.11） 。
所以：ED 等于GD 。
DF 是公共边，所以：ED 和DF 分别等于GD 和DF ，且∠EDF 等于∠GDF 。
所以：EF 也等于GF ，三角形DEF 也全等于三角形DGF ，对应边所对的角相等（命题V.9、I.4） 。所以：∠DFG 等于∠DFE ，∠DGF 等于∠DEF 。
又，∠DFG 等于∠ACB ，所以：∠ACB 也等于∠DFE 。又，假设∠BAC 也等于∠EDF ，那么在B 点的角也等于在E 点的角。
所以：三角形ABC 与三角形DEF 是相似三角形（命题I.32） 。
所以：如果两个三角形有一个角相等，夹等角的两边成比例，那么，两三角形为相似三角形，余下的角也对应相等。
证完
注解
本命题陈述了边—角—边相似定理。
本命题应用在命题VI.20、VI.32、XII.1的证明中，在命题XII.12的证明中也出现过几次。
命题VI.7
如果两个三角形有一个角对应相等，其夹另外两个角的对应边成比例，剩余的那两个角皆小于或者皆不小于直角，那么这两个三角形是相似三角形，对应角所对的边成比例。
设：三角形ABC 和三角形DEF 有一个角相等，∠BAC 等于∠EDF ，夹另外∠ABC 与∠DEF 的对应边成比例，即AB 比BC 等于DE 比EF 。剩余的∠C 和∠F 小于一个直角。
求证：三角形ABC 与三角形DEF 为相似三角形，即∠C 等于∠F 。
如果∠ABC 不等于∠DEF ，那么其中一个必大于另一个。
如果∠ABC 为大，作∠ABG ，使之等于∠DEF （命题I.23） 。
那么，因为∠A 等于∠D ，∠ABG 等于∠DEF ，所以：∠AGB 等于∠DFE （命题I.32） 。所以：AB 比BG 等于DE 比EF （命题VI.4） 。
因为：DE 比EF 等于AB 比BC ，于是AB 比BC 同AB 比BG 有相等比值。
所以：BC 等于BG 。所以：在C 点的角也等于∠BGC （命题V.11、V.9、I.5） 。
又假设C 角小于直角，于是：∠BGC 也小于直角。
所以：它的邻角∠AGB 大于直角（命题I.13） 。
而它又被证明等于∠F ，所以：∠F 也大于一个直角，而它已被假设小于直角，这是荒谬的。所以：∠ABC 等于∠DEF 。
又，∠A 也等于∠D ，所以：∠C 等于∠F （命题I.32） 。
所以：三角形ABC 与三角形DEF 是相似三角形。
再令：假设∠C 和∠F 不小于直角。
那么：在这种情况下，三角形ABC 也与三角形DEF 呈等角关系。
在这同一结构下，同样可以证明BC 等于BG ，于是：∠C 也等于∠BGC （命题I.5） 。
又，∠C 不小于直角，那么∠BGC 也不小于直角。
于是：在三角形BGC 中，有两个三角形之和不小于180°，这是不可能的（命题I.17） 。所以：再一次说明，三角形ABC 也不能不等于三角形DEF 。所以：它们相等。
又，A 点的角也等于D 点的角，所以∠C 等于∠F （命题I.32） 。
所以：∠ABC 是∠DEF 的等角。
所以：如果两个三角形有一个角对应相等，其夹另外两个角的对应边成比例，剩余的那两个角皆小于或者皆不小于直角，那么这两个三角形是相似三角形，对应角所对的边成比例。
证完
命题VI.8
如果在一个直角三角形中，斜边上的高分得的两三角形相似，并且都与原三角形相似。
设：ABC 为直角三角形，∠BAC 为直角，AD 是从A 点向BD 边引出的垂线。
求证：三角形DBA 和三角形DAC 相似于大三角形ABC ，且，它们相互相似。
因为∠BAC 等于∠BDA ，因为皆为直角，∠B 是三角形ABC 和三角形DBA 的公共角，所以：∠ACB 等于∠DAB 。
所以：三角形ABC 与三角形DBA 相似（命题I.32） 。
所以：在三角形ABC 与三角形DBA 中直角的对应边BC 比BA ，等于∠C 所对的边AB 比∠BAD 所对的边BD ，也等于AC 比DA （命题VI.4） 。
所以：三角形ABC 与三角形DBA 相似，其等角对应的边也成逆比例。
同一状况下，也可以证明出三角形DAC 也相似于三角形ABC 。
所以：三角形DBA 和三角形DAC 皆相似于大三角形ABC 。
求证：三角形DBA 和三角形DAC 也彼此相似。
因为：直角∠BDA 等于直角∠ADC ，此外，∠DAB 也被证明等于在C 点的角。
所以：在B 点的角也等于∠DAC 。
所以：三角形DBA 与三角形ADC 是相似三角形（命题I.32） 。
所以：在三角形DBA 和三角形DAC 中，BD 比AD 也等于AD 比CD ，也等于BA 比AC 。
所以：三角形DBA 相似于三角形DAC （命题VI.4、定义VI.1） 。
所以：如果在一个直角三角形中，有一条垂直于斜边的垂线，那么被垂线切分的三角形与大三角形相似，并彼此相似。
证完
推论
这一命题也表明，如果在一个直角三角形中，从直角点作一条垂直于斜边的垂线，那么，这条垂线是斜边上两条分得的线段的比例中项。
命题VI.9
一条线段上可以切分一段定长线段。
设：AB 为给定的线段。
作：从AB 中切分一段等于定长。
设：分成的比为1比3。
过A 点作射线AC ，使之与AB 形成一定的角。在AC 上取点D、E、C ，使DE 和EC 等于AD （命题I.3） 。
连接CB ，过D 点作DF ，使之平行于CB （命题I.31） 。
那么因为：DF 平行于三角形ABC 的一边CB 。
所以：有这样的比例，AD 比DC 等于AF 比FB （命题VI.2） 。
而DC 是AD 的两倍，所以：FB 也是AF 的两倍。所以：AB 是AF 的三倍。
所以：从给定的线段AB 中切分出了AF 与AB 的比为1比3。
所以：一条线段上可以切分一段定长线段。
证完
命题VI.10
可以切分一条未切分的线段，使其相似于已知的切分线段。
设：AB 为给定的未切分线段，AC 在D 点和E 点被切分，置放它们的位置，使之形成一定的角。连接CB ，过D、E 点作DF 和EG ，使DF、EG 平行于CB 。过D 作DHK ，使之平行于AB （命题I.31） 。
那么：图形FH 和HB 是平行四边形。所以：DH 等于FG ，HK 等于GB 。
因为：线段EH 平行于三角形DCK 的CK 边。
所以：DE 比EC 等于DH 比HK （命题VI.2） 。
又，DH 等于FG ，HK 等于GB 。所以：DE 比EC 等于FG 比GB （命题V.7） 。
又因为：DF 平行于三角形AEG 的EG 边。
所以：AD 比DE 等于AF 比FG （命题VI.2） 。
又，可以证明出DE 比EC 等于FG 比GB 。
所以：DE 比EC 等于FG 比GB ，AD 比DE 等于AF 比FG 。
所以：给定的未切分线AB 被切分出相似于给定的切分线AC 。
证完
注解
从某个意义上看，本命题是上一命题VI.9的归纳。
本命题在《几何原本》中再未利用，但是它是几何学的重要基本命题之一。
命题VI.11
给定两条线段，可以找到第三条与它们成比例的线段。
设：AB 和AC 是给定的两条线段，置放它们的位置，使之形成一定的角。
求作：找出一条线，使之与AB 和AC 成比例。
延长它们至D 和E ，使BD 等于AC 。连接BC ，过D 点作DE ，使之平行于BC （命题I.3） 。
那么因为：BC 平行三角形ADE 的边DE 。
所以，AB 比BD 等于AC 比CE （命题VI.2） 。
又，BD 等于AC ，所以：AB 比AC 等于AC 比CE （命题V.7） 。
所以：第三条线CE 与给定的两条线AB 和AC 成比例。
所以：给定两条线段，可以找到第三条与它们成比例的线段。
证完
注解
本命题应用在命题VI.19、VI.22中，在卷10中也有应用。
命题VI.12
