给定三条线段，可以为它们找到成比例的第四条线段。
设：a、b、c 是三条给定的线段。
现在要求找出第四条线段，与a、b、c 成比例。
令：两条线段DE 和DF 形成任意∠EDF ，使DG 等于a ，GE 等于b ，DH 等于c 。连接GH ，过E 作EF ，使之平行于GH （命题I.3、I.31） 。
那么因为GH 平行于三角形DEF 的边EF ，所以：DG 比GE 等于DH 比HF （命题VI.2） 。
又DG 等于a ，GE 等于b ，DH 等于c 。
所以：a 比b 等于c 比HF （命题V.7） 。
所以：第四条线HF 被找出，它与给定的三条线段a、b、c 成比例。
所以：给定三条线段，可以为它们找到成比例的第四条线段。
证完
注解
前一命题是这一命题的特殊情况。
16世纪，笛卡儿与费马创造了坐标几何——X、Y 平面坐标系，曲线的两个变量便可以得到确定。这使得几何相等的问题可以很方便地用代数方法来解决。笛卡儿曾经兴趣盎然地用几何的方法去解决《几何原本》中的代数问题，他曾将卷2全部转换为代数公式。
本命题应用在命题VI.22、VI.23的证明中，也应用在卷10中。
命题VI.13
给定两条线段，可以找到它们的比例中项。
设：AB 和BC 是给定的两条线段。
求作：为AB 和BC 找出一个比例中项。
令：将AB、BC 两条线段置于一条线上，成AC ，在AC 上作半圆ADC 。过B 点作垂线BD ，交圆周于D 。连接AD 和DC （命题I.11） 。
因为∠ADC 是半圆内的一个角，所以：该角是直角（命题III.31） 。
又，因为在直角三角形ADC 中，BD 是第三边上的垂线，所以：BD 是线段AB 和BC 之间的比例中项（命题VI.8、推论） 。
所以：给定的两条直线AB 和BC 的比例中项BD 被找到。
所以：给定两条线段，可以找到它们的比例中项。
证完
注解
本命题应用在命题VI.25、X.27、X.28的证明中。
命题VI.14
在面积相等并等角的平行四边形中，夹等角的边对应成逆比例；等角平行四边形中，若夹等角的边成逆比例则它们的面积相等。
设：AB 和BC 是相等并等角的平行四边形，在B 点处角相等，DB 和BE 在同一直线上，所以：FB 和BG 也在同一直线上（命题I.14） 。
求证：在平行四边形AB 和BC 中，夹等角的边成逆比例，即DB 比BE 等于BG 比BF 。
完成平行四边形FE （命题I.31） 。
那么因为平行四边形AB 的面积等于平行四边形BC 的面积，而FE 是另一个平行四边形的面积。
所以：AB 比FE 等于BC 比FE （命题V.7） 。
又，AB 比FE 等于DB 比BE ，BC 比FE 等于BG 比BF 。
所以：DB 比BE 等于BG 比BF （命题VI.1、V.11） 。
所以：在平行四边形AB 和BC 中，夹等角的边成逆比例。
再：DB 比BE 等于BG 比BF 。
那么：平行四边形AB 等于平行四边形BC 。
因为DB 比BE 等于BG 比BF ，同时DB 比BE 等于平行四边形AB 比平行四边形FE 。
又，BG 比BF 等于平行四边形BC 比平行四边形FE ，所以：AB 比FE 也等于BC 比FE （命题VI.1、V.11） 。
所以：平行四边形AB 的面积等于平行四边形BC 的面积（命题V.9） 。
所以：在面积相等并等角的平行四边形中，夹等角的边对应成逆比例；等角平行四边形中，若夹等角的边成逆比例则它们的面积相等。
证完
注解
本命题应用在命题VI.16、VI.30、X.22中。
命题VI.15
在面积相等的三角形中，有一对角相等。那么，等角对应的边成逆比例；有角对应相等，相等角的对应边成逆比例的三角形的面积相等。
设：三角形ABC 和三角形AED 中，∠BAC 等于∠DAE 。
求证：在三角形ABC 和三角形AED 中，构成等角的边成逆比例，即CA 比AD 等于EA 比AB 。
令CA 和AD 在同一线上，于是：EA 也与AB 在同一线上（命题I.14） 。
连接BD 。
那么因为：三角形ABC 的面积等于三角形ADE 的面积。
又，ABD 是另一个三角形。
所以：三角形ABC 的面积比三角形ABD 的面积等于三角形ADE 的面积比三角形ABD 的面积（命题V.7） 。
又，三角形ABC 的面积比三角形ABD 的面积等于AC 比AD ，三角形ADE 的面积比三角形ABD 的面积等于AE 比AB （命题VI.1） 。
所以：AC 比AD 等于AE 比AB （命题V.11） 。
所以：在三角形ABC 和三角形ADE 中，夹等角的边成逆比例。
再设：三角形ABC 和三角形ADE 的边对应成比例，即AE 比AB 等于CA 比AD 。
求证：三角形ABC 的面积等于三角形ADE 的面积。
如果再连接BD ，因为：AC 比AD 等于AE 比AB ，AC 比AD 等于三角形ABC 的面积比三角形ABD 的面积。
又，AE 比AB 等于三角形ADE 的面积比三角形ABD 的面积。
所以：三角形ABC 的面积比三角形ABD 的面积等于三角形ADE 的面积比三角形ABD 的面积（命题VI.1、V.11） 。
所以：三角形ABC 、三角形ADE 与三角形ABD 的面积有相同的比值。
所以：三角形ABC 的面积等于三角形ADE 的面积（命题V.9） 。
所以：在相等三角形中，一个角等于另一个角，等角对应的边成逆比例；有角对应相等，相应角的对应边成逆比例的三角形的面积相等。
证完
注解
本命题应用在命题VI.19的证明中。
命题VI.16
如果四条线段成比例，那么两内项的积等于两外项的积；反之，如果两外项的积等于两内项的积，那么四条线段成逆比例。
设：四条线AB、CD、e 和f 成比例，即AB 比CD 等于e 比f 。
求证：以AB 与f 为边的矩形的面积等于以CD 与e 为边的矩形的面积。
从A 点和C 点作AG 和CH ，分别与AB 和CD 形成直角，使AG 等于f ，CH 等于e （命题I.11、I.3） 。
完成平行四边形BG 和DH （命题I.31） 。
那么因为：AB 比CD 等于e 比f ，同时e 等于CH ，f 等于AG 。
所以：AB 比CD 等于CH 比AG （命题V.7） 。
所以：在平行四边形BG 和DH 中，等角的边成逆比例。
又，等角的边成逆比例的等角平行四边形的面积相等，平行四边形BG 的面积等于平行四边形DH 的面积（命题VI.14） 。
又，BG 是AB 和f 为边的矩形的面积，因为AG 等于f 。
又：DH 是CD 和e 为边的矩形的面积，因为e 等于CH 。
所以：AB 和f 为边的矩形的面积等于CD 和e 为边的矩形的面积。
那么我说：四条直线成比例，即AB 比CD 等于e 比f 。
在这同一图形中，因为AB 和f 为边的矩形的面积，等于CD 和e 为边的矩形的面积。
因为AG 等于f ，CD 和e 为边的矩形的面积是DH ，因为CH 等于e ，所以BG 等于DH 。
又，它们是等角的。在相等并等角的平行四边形中，等角对应的边成逆比例（命题VI.14） 。所以：AB 比CD 等于CH 比AG （命题V.7） 。
又，CH 等于e ，AG 等于f 。所以：AB 比CD 等于e 比f 。
所以：如果四条线段成比例，那么两内项的积等于两外项的积；反之，如果两外项的积等于两内项的积，那么四条线段成逆比例。
证完
注解
本命题是命题VI.14的特殊情况，其实几乎不需要这样啰唆的证明。
本命题不时地应用在卷10、13中。
命题VI.17
如果三条线段成比例，那么以前项与末项为边的矩形的面积等于以中项为边的正方形的面积；相反，如果以前项与末项为边的矩形的面积等于以中项为边的正方形的面积，那么这三条线段成比例。
设：三条线段a、b 和c 成比例，a 比b 等于b 比c 。
求证：以a 与c 为边的矩形的面积等于以b 为边的正方形的面积。
作d ，使之等于b （命题I.3） 。
那么因为：a 比b 等于b 比c ，而b 等于d 。
所以：a 比b 等于d 比c （命题V.7、V.11） 。
又，如果四条线段成比例，两内项的积等于两外项的积（命题VI.16） 。
所以：以a 与c 为边的矩形的面积等于以b 与d 为边的矩形的面积。
而以b 与d 为边的矩形的面积等于以b 为边的正方形的面积，因为b 等于d 。
所以：以a 与c 为边的矩形的面积等于以b 为边的正方形的面积。
再设：以a 与c 为边的矩形的面积等于以b 为边的正方形的面积。
那么：a 比b 等于b 比c 。
在这同一图形中，因为以a 和c 为边的矩形的面积等于以b 为边的正方形的面积，同时以b 为边的正方形的面积是以b 和d 为边的矩形的面积，因为b 等于d 。
所以：以a 与c 为边的矩形的面积等于以b 与d 为边的矩形的面积。
又：两外项的积等于两内项的积，那么四条线段成比例（命题VI.16） 。
所以：a 比b 等于d 比c 。
而b 等于d ，所以：a 比b 等于b 比c 。
所以：如果三条线段成比例，那么前项与末项为边的矩形的面积等于中项为边的正方形的面积；相反，如果前项与末项为边的矩形的面积等于中项为边的正方形的面积，那么这三条线段成比例。
证完
注解
显然，这是前一命题的逆命题，本命题在卷10、13中非常频繁地被应用。
命题VI.18
给定一个多边形，可作另一多边形与之相似。
设：AB 为给定的线段，CE 为给定的多边形。
求作：在线段AB 上作一个多边形，使之与CE 相似。
连接DF ，在线段AB 上作∠GAB 等于∠C ，作∠ABG 等于∠CDF （命题I.23） 。
于是：∠CFD 等于∠AGB 。
所以：三角形FCD 与三角形GAB 是相似三角形（命题I.32） 。
所以：FD 比GB 等于FC 比GA ，又等于CD 比AB （命题VI.4、V.16） 。
又，在线段BG 和点B、G 上作∠BGH ，使之等于∠DFE ，作∠GBH 等于∠FDE （命题I.23） 。
于是，∠E 等于∠H ，所以：三角形FDE 与三角形GBH 是相似三角形。
所以：FD 比GB 等于FE 比GH ，且等于ED 比HB （命题I.32、VI.4、V.16） 。
而已证明FD 比GB 等于FC 比GA ，且等于CD 比AB 。
所以：FC 比AG 等于CD 比AB ，且等于FE 比GH ，又等于ED 比HB （命题V.11） 。
又因为：∠CFD 等于∠AGB ，又，∠DFE 等于∠BGH 。
所以：大∠CFE 等于大∠AGH 。
同样原因：∠CDE 也等于∠ABH 。∠C 也等于∠A ，∠E 等于∠H 。
所以：AH 与CE 是等角的，且等角的边成比例。
所以：多边形AH 相似于多边形CE （定义VI.1） 。
所以：给定一个多边形，可作另一多边形与之相似。
证完
注解
本命题应用在命题VI.22、VI.25、VI.28中，其推论应用在命题XII.17中。
命题VI.19
相似三角形的面积比等于对应边的比的平方。
设：ABC 和DEF 为两个相似三角形，∠B 等于∠E ，AB 比BC 等于DE 比EF ，BC 与EF 是对应边（定义V.11） 。
求证：三角形ABC 与三角形DEF 的面积比等于BC 与EF 的比的平方（命题V.11） 。
作第三个比例BG 对应BC 和EF ，那么BC 比EF 等于EF 比BG ，连接AG （命题VI.11） 。
因为AB 比BC 等于DE 比EF 。
所以：AB 比DE 等于BC 比EF （命题V.16） 。
又，BC 比EF 等于EF 比BG 。
所以：AB 比DE 等于EF 比BG （命题V.11） 。
所以：三角形ABG 和三角形DEF 的边成逆比例。
又，有一相等角的边成逆比例的三角形是相等三角形。
所以三角形ABG 等于三角形DEF （命题VI.15） 。
那么因为BC 比EF 等于EF 比BG ，又，如果三条线段成比例，第一条与第三条的比等于第一条与第二条的二次比，所以：BC 与BG 等于BC 与EF 的二次比（定义V.9） 。
又，BC 比BG 等于三角形ABC 的面积比三角形ABG 的面积。
所以：三角形ABC 与三角形ABG 的面积比是BC 与EF 的比的平方（命题VI.1、V.11） 。
又，三角形ABC 的面积等于三角形DEF 的面积。
所以：三角形ABC 的面积比三角形DEF 的面积是BC 比EF 的平方（命题V.7） 。
所以：相似三角形面积比等于对应边的比的平方。
证完
注解
本命题应用在下一命题的证明中，推论应用在命题VI.22、VI.31、X.6的证明中。
推论
这一命题表明，如果三条线段成比例，那么第一条线段比第三条线段的比值等于第一条线段所作的多边形的面积比第二条线段所作的相似多边形的面积的比值。
代数表示为：如果 ，那么
命题VI.20
将两个相似多边形分成同样多相似三角形，其对应三角形面积比值与总体面积的比值相等；两个多边形的面积的比值是对应边比值的平方。
设：ABCDE 和FGHKL 为相似五边形，AB 对应FG 。
求证：五边形ABCDE 和FGHKL 可分成同样多个相似三角形，并与整体的五边形有相同的比值；五边形ABCDE 与FGHKL 的面积的比等于AB 与FG 的比的平方。
连接BE、CE、GL 和HL 。
那么因为：五边形ABCDE 相似于五边形FGHKL 。
于是：∠BAE 等于∠GFL ，AB 比AE 等于GF 比FL （定义VI.1） 。
那么因为：三角形ABE 和三角形FGL 是两个有等角且等角对应边成比例的三角形。
于是：三角形ABE 与三角形FGL 的各个角对应相等，另外它们也是相似三角形。
所以：∠ABE 等于∠FGL （命题VI.6、VI.4，定义VI.1） 。
又，大角∠ABC 也等于∠FGH ，因为它们相似，所以：∠EBC 等于∠LGH 。
又因为：三角形ABE 和三角形FGL 相似，BE 比AB 等于GL 比GF 。
又因为两五边形相似，AB 比BC 等于FG 比GH 。
所以：BE 比BC 等于GL 比GH ，即等角∠EBC 和∠LGH 的对应边成比例。
所以：三角形EBC 与三角形LGH 是相似三角形。所以：三角形EBC 也相似于三角形LGH （命题V.22、VI.6、VI.4，定义VI.1） 。
同理，三角形ECD 也相似于三角形LHK 。
所以：相似多边形ABCDE 和FGHKL 被分成同样个数的三角形。
求证：对应三角形的比值等于多边形的比值。即这种情况下三角形成比例，三角形ABC 、三角形EBC 和三角形ECD 的面积为前项，三角形FGL 、三角形LGH 和三角形LHK 的面积为后项，五边形ABCDE 与五边形FGHKL 的面积比值等于AB 与FG 的比的平方。
连接AC 和FH 。
因为多边形是相似的，∠ABC 等于∠FGH ，又AB 比BC 等于FG 比GH 。三角形ABC 与三角形FGH 的各角相等（命题VI.6） 。
所以：∠BAC 等于∠GFH 。且∠BCA 等于∠GHF 。
又，因为∠BAM 等于∠GFN ，∠ABM 也等于∠FGN ，所以：∠ABM 也等于∠FNG 。所以：三角形ABM 与三角形FGN 是相似三角形（命题I.32） 。
同样，可以证明三角形BMC 与三角形GNH 也是相似三角形。
所以：AM 比MB 等于FN 比NG ，BM 比MC 等于GN 比NH 。
于是又由首末比，AM 比MC 等于FN 比NH （命题V.22） 。
又，AM 比MC 等于三角形ABM 比三角形MBC ，又等于三角形AME 比三角形EMC ，因为它们有共同的第三边（命题VI.1） 。
所以：前项之一比后项之一等于所有前项的和比所有后项的和。
所以：三角形AMB 比三角形BMC 等于三角形ABE 比三角形CBE （命题V.12） 。
又，三角形AMB 比三角形BMC 等于AM 比MC ，所以AM 比MC 等于三角形ABE 比三角形EBC （命题V.11） 。
同理，FN 比NH 也等于三角形FGL 比三角形GLH 。
又，AM 比MC 等于FN 比NH 。
所以：三角形ABE 的面积比三角形BEC 的面积等于三角形FGL 的面积比三角形GLH 的面积，又由更比，三角形ABE 的面积比三角形FGL 的面积等于三角形BEC 的面积比三角形GLH 的面积（命题V.11、V.16） 。
同样可以证明出，如果连接BD 和GK ，那么三角形BEC 的面积比三角形LGH 的面积等于三角形ECD 的面积比三角形LHK 的面积。
又因为：三角形ABE 的面积比三角形FGL 的面积等于三角形EBC 的面积比三角形LGH 的面积，且等于三角形ECD 的面积比三角形LHK 的面积。
所以：前项之一与后项之一的比等于所有前项之和比所有后项之和。
所以：三角形ABE 的面积比三角形FGL 的面积等于五边形ABCDE 的面积比五边形FGHKL 的面积（命题V.12） 。
又，三角形ABE 的面积与三角形FGL 的面积的比等于边AB 与FG 的比的平方，因为相似三角形面积比等于对应边的比的平方（命题VI.19） 。
所以：五边形ABCDE 的面积与五边形FGHKL 的面积的比等于其对应边AB 与FG 的平方比（命题V.11） 。
所以：将两个相似多边形分成同样多相似三角形，其对应三角形面积比值与总体面积的比值相等；两个多边形的面积的比值是对应边比值的平方。
证完
推论
同样也可以证明，在四边形中，四边形的面积的比值是对应边的平方比，在三角形中，三角形的面积的比是对应边的平方的比。进一步，在多边形中，对应图形的面积的比是对应边的平方的比。
注解
本命题和它的推论不时地应用在卷10、12、13中。
命题VI.21
与同一个多边形相似的两个多边形也相似。
设：多边形A 和B 相似于C 。
求证：A 与B 也相似。
因为A 相似于C ，对应角相等，对应边成比例（定义VI.1） 。
又因为：B 相似于C ，对应角相等，对应边成比例。
所以：A 和C 对应角相等，对应边成比例。
所以：A 相似于B （命题V.11） 。
所以：与同一个多边形相似的两个多边形也相似。
证完
注解
本命题应用在命题VI.8、VI.24、VI.28、VI.29的证明中。
命题VI.22
如果四条线段成比例，那么在四条线上作出的有相似位置的相似多边形的面积也成比例；如果在四条线段上的相似图形的面积成比例，那么该四条线段也成比例。
设：四条线段为AB、CD、EF 和GH ，它们成比例，即AB 比CD 等于EF 比GH ，在线段AB 和CD 上分别作多边形KAB、LCD ，在EF 和GH 上分别作多边形MF 和NH 。
求证：多边形KAB 的面积比多边形LCD 的面积等于MF 的面积比NH 的面积。
作第三比例项o 和p ，使o 与AB、CD 成比例，p 与EF 和GH 成比例（命题VI.11） 。
那么因为AB 比CD 等于EF 比GH ，所以：CD 比o 等于GH 比p 。
所以：由首末比，AB 比o 等于EF 比p （命题V.11、V.22） 。
又，AB 比o 等于多边形KAB 比多边形LCD ，EF 比p 等于MF 比NH ，所以：多边形KAB 比多边形LCD 也等于MF 比NH （命题VI.19及推论、V.11） 。
再一步，令：多边形KAB 比多边形LCD 等于MF 比NH 。
那么：AB 比CD 等于EF 比GH ，因为假如：AB 比CD 不等于EF 比GH 。
设：EF 比QR 等于AB 比CD 。作多边形SR ，使之相似于NH 和MF （命题VI.12、VI.18） 。
所以：AB 比CD 等于EF 比QR 。
作AB 和CD 上相似位置的相似图形KAB 和LCD ，及作在EF 和QR 上的MF 和SR 。
所以：多边形KAB 比多边形LCD 等于MF 比SR 。
又，假设，多边形KAB 比多边形LCD 等于MF 比NH 。
于是MF 比SR 也等于MF 比NH （命题V.11） 。
所以：MF 与多边形NH 和SR 有相等的比。
所以：NH 等于SR （命题V.9） 。
又，因为相似，所以：GH 等于QR 。
那么因为AB 比CD 等于EF 比QR ，同时QR 等于GH 。
所以：AB 比CD 等于EF 比GH 。
所以：如果四条线段成比例，那么在四条线上作出的有相似位置的相似多边形的面积也成比例；如果在四条线段上的相似图形的面积成比例，那么该四条线段也成比例。
证完
注解
在证明的最后部分，出现了一个错误步骤，即GH 等于QR 是错误的，该步之前，我们已获得NH 与SR 相似且相等，其证明并不困难。
本命题应用于卷10、卷12的几个命题的证明中。
命题VI.23
各角都相等的平行四边形的面积的比等于它们边的复比。
设：平行四边形ABCD 和平行四边形CEFG 是等角的平行四边形，∠BCD 等于∠ECG 。
求证：平行四边形ABCD 与平行四边形CEFG 面积的比值，是其边的复合比值。
令它们置放成一定的位置，BC 与CG 在同一线上，那么DC 也与CE 在同一线上（命题I.14） 。
完成平行四边形DCGH ，设线段k、l、m ，使它符合BC 比CG 等于k 比l ，且DC 比CE 等于l 比m （命题I.31、VI.12） 。
那么：k 比l 及l 比m 的比值是边与边的比，即BC 比CG 与DC 比CE 。
所以：k 比m 的比值也是边与边的复比。
那么：因为BC 比CG 等于平行四边形ABCD 比平行四边形CDHG ，BC 比CG 等于k 比l 。
所以：k 比l 等于AC 比CH （命题VI.1、V.11） 。
又因为：DC 比CE 等于平行四边形CGHD 比平行四边形CGEF ，DC 比CE 等于l 比m 。
所以：l 比m 等于平行四边形CGHD 比平行四边形CGEF （命题VI.1、V.11） 。
那么因为：也可以证明k 比l 等于平行四边形ABCD 比平行四边形CGHD 。
l 比m 等于平行四边形CGHD 比平行四边形CEFG 。
所以：不包括相等，k 比m 等于平行四边形ABCD 比平行四边形CGEF （命题V.22） 。
又，k 比m 的比值是边的比值的复比。
所以：平行四边形ABCD 与平行四边形CEFG 的比值也等于边的比值的复比。
所以：等角的平行四边形面积的比值是边的比值的复比。
证完
注解
本命题是长方形面积公式的归纳，即一个长方形的面积是其长与宽的乘积。
本命题虽然是面积的基本比例，但事实上在《几何原本》中再未被利用。
命题VI.24
在任意平行四边形中，有共线对角线且有平行的对应边的平行四边形相似于整个四边形，并且彼此相似。
设：ABCD 为平行四边形，AC 为对角线，AGFE 和FKCH 是ADCB 中的平行四边形。
求证：每个平行四边形AGFE 和平行四边形FKCH 相似于大平行四边形ABCD ，并彼此相似。
因为：EF 平行于三角形ABC 的边BC ，成比例地，BE 比EA 等于CF 比FA （命题VI.2） 。
又因为：FG 平行于三角形ACD 的边CD 。
所以：CF 比FA 等于DG 比GA （命题VI.2） 。
可以证明：CF 比FA 等于BE 比EA 。
所以：BE 比EA 等于DG 比GA 。
所以：得到合比，BA 比AE 等于DA 比AG 。
又由更比，BA 比AD 等于EA 比AG （命题V.18、V.16） 。
所以：在平行四边形ABCD 和平行四边形AGFE 中，公共∠BAD 的边成比例。
又因为：GF 平行于DC ，∠AFG 等于∠ACD ，又∠DAC 是两个三角形ADC 和三角形AGF 的公共角。
所以：三角形ADC 与三角形AGF 相似（命题I.29） 。
同理：三角形ACB 与三角形AFE 等角。
又，大平行四边形ABCD 与平行四边形AGFE 是等角的。
所以：AD 比DC 等于AG 比GF ，DC 比CA 等于GF 比FA ，AC 比CB 等于AF 比FE ，CB 比BA 等于FE 比EA ，又因为可以证明DC 比GA 等于GF 比FA ，AC 比CB 等于AF 比FE 。
由首末比，DC 比CB 等于GF 比FE （命题V.220） 。
所以：在平行四边形ABCD 和AGFE 中，相等角的边成比例。
所以：平行四边形ABCD 相似于平行四边形AGFE （定义VI.1） 。
同理：平行四边形ABCD 也相似于平行四边形FKCH 。
所以：平行四边形AGFE 和平行四边形FKCH 也相似于平行四边形ABCD 。
又：相似于另一多边形的多边形，相互相似。
所以：平行四边形AGFE 也相似于平行四边形FKCH （命题VI.21） 。
所以：在任意平行四边形中，有共线对角线且有平行的对应边的平行四边形相似于整个四边形，并且彼此相似。
证完
注解
欧几里得用这一命题的计算，回到了命题I.45的直线图形的面的应用。
命题VI.25
可以作一个多边形相似于给定的一个多边形，并等于另一个给定的图形的面积。
设：ABC 为给定的多边形，作另一多边形D 。
作一图形相似于ABC ，并面积等于D 。
用BC 作平行四边形BE ，使BE 的面积等于三角形ABC 的面积。
用CE 作平行四边形CM ，使它的面积等于D 的面积，∠FCE 等于∠CBL （命题I.44、I.45） 。
那么：BC 和CF 在同一线上，LE 和EM 也在同一线上。
作GH 使之成为BC、CF 比例中项，作三角形KGH ，使之相似于三角形ABC （命题VI.13、VI.18） 。
那么因为：BC 比GH 等于GH 比CF 。
那么第一条比第三条等于第一条所作多边形比第二条所作相似的面积的多边形。
所以：BC 比CF 等于三角形ABC 的面积比三角形KGH 的面积（命题V.19、推论） 。
又，BC 比CF 等于平行四边形BE 的面积比平行四边形EF 的面积（命题VI.1） 。
所以：三角形ABC 的面积比三角形KGH 的面积等于平行四边形BE 的面积比平行四边形EF 的面积。
所以，由更比，三角形ABC 的面积比平行四边形BE 的面积等于三角形KGH 的面积比平行四边形EF 的面积（命题V.11、V.16） 。
又，三角形ABC 的面积等于平行四边形BE 的面积。
所以：三角形KGH 的面积也等于平行四边形EF 的面积。
又，平行四边形EF 的面积等于D 的面积。
所以：三角形KGH 的面积也等于D 的面积（命题V.14） 。
又，三角形KGH 也相似于三角形ABC 。
所以：这一多边形KGH 被作出，它相似于给定的多边形ABC ，并面积等于另一个给定的图形D 。
所以：可以作一个多边形相似于给定的一个多边形，并等于另一个给定的图形的面积。
证完
注解
注意，这并不是命题VI.14结尾部分的证明的直接调用，而是它的交替形式。本命题解决了一个相似问题，传说，这一问题是毕达哥拉斯解决过的。本命题应用在命题VI.28、VI.29的证明中。
命题VI.26
如果从平行四边形中取一个与原平行四边形相似、位置相似并有同一角的平行四边形，那么它们的对角线在同一线上。
从一个平行四边形ABCD 中取一个与它相似并有一个公共角∠DAB 的平行四边形AF 。
求证：AF 的对角线在ABCD 的对角线上。
假设不是，作AHC 为ABCD 对角线，延长GF 至H ，过H 作HK ，使之平行于AD 或BC （命题I.31） 。
那么因为：ABCD 与AKHG 在同一对角线上。
所以：DA 比AB 等于GA 比AK （命题VI.24） 。
又因为：ABCD 和AEFG 相似。所以：DA 比AB 等于GA 比AE 。
所以：GA 比AK 等于GA 比AE （定义VI.1、命题V.11） 。
所以：GA 比AK 与GA 比AE 相等。
所以：AE 等于AK ，即小等于大，这是不可能的（命题V.9） 。
所以：ABCD 不可能不与AEFG 在同一对角线上。
所以：平行四边形ABCD 的对角线在AF 上。
所以：如果从平行四边形中取一个与原平行四边形相似、位置相似并有同一角的平行四边形，那么它们的对角线在同一线上。
证完
注解
本命题是命题VI.24的逆命题。
本命题应用在下三个命题的证明中，在卷10的部分命题中也有一些应用。
命题VI.27
位置在同一线段上的所有平行四边形，它们是取掉了与在原线段一半上的平行四边形相似且有相似位置的图形。那么，它们中以作在原线段一半上的平行四边形最大且它相似于取掉的图形。
设：AB 为线段，在C 点被平分，平行四边形ACDI 和平行四边形CBED 被作在线段AB 的平分线上。CBED 被取掉。
那么：在适应于等于线段AB 的平行四边形中，以取掉相似且有相似位置平行四边形BEDK 的平行四边形AKDI 最大。
设：平行四边形AKFG 适应于线段AB 。
那么：平行四边形AKDI 大于平行四边形AKFG ，因为平行四边形BEDK 与平行四边形BHFK 相似，它们在同一对角线上（命题VI.26） 。
作对角线DB 。那么因为：CF 等于FE ，FB 是公共边。
所以：CH 等于KE （命题I.43） 。
又，CH 等于CG ，因为AC 也等于CB （命题I.36） 。所以：CG 也等于KE 。
令，CF 与各边相加，那么AF 等于折尺形LMN 。
所以：平行四边形BEDK ，大于平行四边形AKFG 。
所以：位置在同一线段上的所有平行四边形，它们是取掉了与在原线段一半上的平行四边形相似且有相似位置的图形。那么，它们中以作在原线段一半上的平行四边形最大且它相似于取掉的图形。
证完
注解
本命题阐明了命题VI.28的局限性，在命题VI.28中，作一个平行四边形，使之等于给定的直线图形，本命题暗示，如果直线图形太大，是不可能作出的。
命题VI.28
在已知线段上作一个面积与已知多边形相等的平行四边形，它是由取掉了相似于某个已知图形的平行四边形：这个已知图形必须不大于在原线段一半上的平行四边形并且这个平行四边形相似于取掉的图形。
设：C 为给定的多边形，AB 为给定的线段，D 为给定的平行四边形，C 不大于线段AB 的一半所作的相似于D 的平行四边形。这个平行四边形又相似于取掉的图形，这个取掉的图形又相似于D 。
求作：在AB 上作一个平行四边形，使之面积等于给定的多边形C 的面积，并且这个平行四边形也是取掉相似于D 的平行四边形而成的。
令：在E 点上平分线段AB ，在EB 边上作EBFG 相似于D 且有相似位置，完成平行四边形AG （命题I.9、I.18） 。
假如：平行四边形AEGH 等于C ，就完成了作图。设平行四边形AEGH 是补形。因为，在已知线段AB 上有平行四边形AEGH ，它等于已知图形C ，并且它是取掉相似于D 的平行四边形BFGE 而成的。
又，如果不是，令平行四边形HAEG 大于C 。
因为平行四边形HAEG 等于平行四边形GEBF ，所以：GB 也大于C 。
作KLMN 等于平行四边形GEBF 减去C ，并相似于D （命题VI.25） 。
又，D 相似于平行四边形GFBE ，所以：KM 也相似于平行四边形GFBE 。
再令：KL 对应于GE ，LM 对应于GF 。
那么，因为平行四边形GFBE 等于C 和平行四边形LMNK 之和，所以：平行四边形GFBE 大于平行四边形LMNK 。
所以：GE 也大于KL ，GF 大于LM ，作GO 等于KL ，GP 等于LM 。完成平行四边形OGPQ 。
于是：它相似于平行四边形LMNK ，所以：平行四边形GOQP 也相似于平行四边形GEBF ，所以：GQ 与GB 有同一对角线（命题VI.21、I.26） 。
