令：GQB 为其对角线，完成图形。
那么因为：平行四边形GFBE 等于C 和LMNK 之和，在它们中，平行四边形GOQP 等于平行四边形LMNK 。
于是：余值折尺形UWV 等于余值C 。
又，因为PQRF 等于平行四边形OESQ ，令平行四边形QSBR 与每个相加，于是：平行四边形PFBS 等于平行四边形PEBS 。
又，平行四边形OEBK 等于平行四边形TOEA ，因为AE 边也等于EB 边，所以：平行四边形TAEO 也等于平行四边形PSBF （命题I.36） 。
令：平行四边形OESQ 与每个相加。于是：平行四边形TASQ 等于折尺形VWU 。
又，折尺形VWU 已证明等于C ，于是：平行四边形TASQ 也等于C 。
所以：在已知线段上作一个面积与已知多边形相等的平行四边形，它是由取掉了相似于某个已知图形的平行四边形：这个已知图形必须不大于在原线段一半上的平行四边形并且这个平行四边形相似于取掉的图形。
证完
注解
命题VI.28用代数来陈述这一命题，更容易理解。设a 代表已知的量AB ，c 代表已知的量C ，x 和y 代表未知量SB 和SA ，那么，这一命题即是找出x 和y ，于是，它们之和是a ，积是c ，根据单一变量x ，本命题解决的是二次方程ax -x 2 ＝c ，下一命题处理相似二次方程ax ＋x 2 ＝c 。
本命题应用在命题X.33、X.34中。
命题VI.29
在已知线段上，作一个平行四边形，等于给定的多边形的面积，并在这线段的延长线部分有一个平行四边形，相似于给定的平行四边形。
设：C 为给定的多边形，AB 为给定的线段，平行四边形D 相似于AB 延长线上的平行四边形。
求作：在AB 上作一个平行四边形，等于多边形C 的面积，延长线上的图形，相似于平行四边形D 。
令：在E 点平分AB ，在EB 上作平行四边形BF ，使之相似于D 。又作GH ，使之等于平行四边形BLFE 与C 之和，并相似于D （命题VI.25） 。
令：KH 对应于FL ，KG 对应于FE 。
那么，因为平行四边形KHRG 大于平行四边形FLBE ，所以：KH 也大于FL ，KG 大于FE 。
作FL 和FE ，使FLM 等于KH ，FEN 等于KG 。
完成平行四边形MONF 。故，平行四边形MONF 等于且相似于平行四边形GRHK 。但平行四边形GRHK 相似于平行四边形EBLF ，那么：平行四边形MONF 也相似于平行四边形EBLF 。
所以：平行四边形EBLF 与平行四边形MONF 有共同的对角线（命题VI.21、VI.26） 。
作对角线FO ，完成多边形。
因为：平行四边形GRHK 等于平行四边形FEBL 与C 之和，同时，平行四边形GRHK 等于平行四边形MONF 。
所以：平行四边形MONF 也等于平行四边形FEBL 与C 之和。
令：以上各边减去平行四边形EBLF 。于是：余值，即折尺形XWV 等于C 的面积。
那么，因为AE 等于EB ，于是：AN 等于NB ，也等于LP （命题I.36、I.43） 。
令：以上各边加上平行四边形ENOP 。于是整个平行四边形ASOP 等于折尺形VWX 。
又，折尺形VWX 等于C ，于是平行四边形ASOP 也等于C 。
所以：平行四边形ASOP 等于给定的多边形C 的面积，并且在延长线上的平行四边形BQOP ，相似于平行四边形D ，因为BQOP 也相似于平行四边形EBLF （命题VI.24） 。
所以：在已知线段上，作一个平行四边形，等于给定的多边形的面积，并在这线段的延长线部分有一个平行四边形，相似于给定的平行四边形。
证完
注解
如同前一命题一样，我们将其转化为代数表达，更加容易理解。设a 代表已知量AB ，x 代表未知量BP ，那么要求的是x ，所以（a ＋x ）x ＝c ，换句话说，是二次方程ax ＋x 2 ＝c 。
本命题运用在下一命题中。
命题VI.30
分线段成中外比。
设：AB 为给定的线段。
求作：切分AB 成中外比。
令：在线段AB 上作正方形ABHC ，在CA 及其延长线上作平行四边形CIDF ，使其面积等于四边形CABH 。并且延长线上的图形AD 相似于四边形CABH （命题I.46、VI.29） 。
那么，因为四边形CABH 为正方形，所以：四边形AIDE 也是正方形。
又，因为平行四边形BHCA 等于平行四边形CIDF ，令各边减去平行四边形CAEF ，于是：余值平行四边形FEBH 等于余值平行四边形AIDE 。
又，它们相互等角，所以：在平行四边形BHFE 和平行四边形AIDE 中，等角的边成逆比例。
所以：FE 比ED 等于AE 比EB （命题VI.14） 。
又：FE 等于AB ，ED 等于AE 。
所以：AB 比AE 等于AE 比EB （命题V.7） 。
又，AB 大于AE ，所以：AE 也大于EB 。
所以：AB 在E 点被切分为中外比，AE 是较大的线段（定义VI.3） 。
所以：分线段成中外比。
证完
注解
本命题切分一条线段成A、B 两段，使（A ＋B ）∶B ＝B ∶A 。
本命题应用在命题XIII.17中，以作一个正十二面体的五边形面。
命题VI.31
在直角三角形中，斜边上的多边形面积等于直角边上的相似图形面积之和。
设：ABC 为直角三角形，∠BAC 是直角。
那么BC 上的多边形面积等于BA 和AC 上的与之相似的图形面积之和。
作垂线AD （命题I.12） 。
那么因为：在直角三角形ABC 中，AD 是从直角点A 向BC 作的垂线。
所以：三角形DBA 和三角形DAC 是同一垂线的相邻三角形，那么彼此相似，并相似于大三角形ABC （命题VI.8） 。
又，因为三角形ABC 相似于三角形DBA ，所以：BC 比BA 等于BA 比BD （定义VI.1） 。
又，因为三条线段成比例，第一条比第三条等于第一条直线上的多边形比第二条线上作的与前者的有相似位置的相似图形（命题VI.19、推论） 。
所以：BC 比BD 等于BC 上的多边形比BA 上的相似多边形。
同样原因：BC 比CD 等于BC 上的图形比CA 上的图形。
所以：进一步，BC 比BD 与DC 之和等于BC 上的图形比BA 与AC 上的相似图形面积之和（命题V.24） 。
又，BC 等于BD 与DC 之和。
所以：BC 上的多边形等于BA 和AC 上的相似图形之和。
所以：在直角三角形中，斜边上的多边形面积等于直角边上的相似图形面积之和。
证完
注解
本命题是命题I.47的归纳，命题I.47中的正方形被任意相似直线图形所替代。
普努克劳斯认为，这一命题的证明或许是欧几里得完成的，但是其结论是早在欧几里得以前一个世纪的希波克拉底时代就已存在了。希波克拉底曾研究过圆的面积问题，他没能得以解决，但是他找到了解决弓形面积的方法。
命题VI.32
如果两个三角形有对应角的对应边成比例并且平行，且两对应边有一个共同的端点，那么两个三角形的第三边在一条线上。
设：ABC 和DCE 为两个三角形，有两条边对应成比例，AB、AC 与DC、DE 成比例，AB 比AC 等于DC 比DE ，AB 平行于DC ，AC 平行于DE 。
求证：BC 与CE 在同一直线上。
因为：AB 平行于DC ，而AC 落在它们上。所以：内错角∠BAC 与∠ACD 相等（命题I.29） 。
同样原因：∠CDE 也等于∠ACD ，所以：∠BAC 等于∠CDE 。
又，因为ABC 和DCE 是有一个角相等的三角形，∠A 等于∠D ，相等角对应的边成比例，于是：AB 比AC 等于DC 比DE 。
所以：三角形ABC 与三角形DCE 是相似三角形，所以：∠ABC 等于∠DCE （命题VI.6） 。
又，∠ACD 也可以证明出等于∠BAC ，所以：∠ACE 也等于∠ABC 与∠BAC 之和。
令，两边加上∠ACB ，于是：∠ACE 与∠ACB 之和等于∠BAC 与∠ACB 、∠CBA 之和。
又，∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 之和等于180°。所以：∠ACE 与∠ACB 之和也等于180°（命题I.32） 。
所以：在直线AC 和点C 上，两条线段BC 和CE 不在同一边，构成邻角∠ACE 和∠ACB ，等于180°。所以：BC 与CE 在同一直线上（命题I.14） 。
所以：如果两个三角形有对应角的对应边成比例并且平行，且两对应边有一个共同的端点，那么两个三角形的第三边在一条线上。
证完
注解
本命题的对应边，被假设在同一个方向上，但这并未作明确陈述。
本命题应用在命题XIII.17的证明中，这一命题是在一个球体中作一个正十二面体。
命题VI.33
在等圆中，圆心角或圆周角的比等于它们所对的弧的比。
设：ABC 和DEF 是相等圆，∠BGC 与∠EHF 是分别作在圆心G 和圆心H 上的两个角，∠BAC 与∠EDF 是分别作在弧上的角。
求证：弧BC 比弧EF 等于∠BGC 比∠EHF ，且等于∠BAC 比∠EDF 。
作连续弧CK 与弧KL ，使之等于弧BC ，作连续弧FM 、弧MN ，使之等于弧EF ，连接GK 和GL、HM、HN 。
因为弧BC 、弧CK 、弧KL 相互相等，那么：∠BGC 、∠CGK 、∠KGL 也相互相等。
所以：弧BL 是弧BC 的几倍，∠BGL 也是∠BGC 的几倍（命题III.27） 。
同样原因：弧NE 是弧EF 的几倍，∠NHE 也是∠EHF 的几倍。
如果弧BL 等于弧EN ，那么∠BGL 也等于∠EHN ；如果弧BL 大于弧EN ，那么∠BGL 也大于∠EHN ；如果小于，那么后者也小于（命题III.27） 。
所以，有四个量：两个弧BC 与EF 和两个角∠BGC 与∠EHF 形成。其中，弧BC 与∠BGC 为等倍量，即弧BL 和∠BGL 是等倍量。弧EF 与∠EHF 为等倍量，即弧EN 和∠EHN 是等倍量。
也可以证明，如果弧BL 大于弧EN ，那么∠BGL 也大于∠EHN ；如果等于，后者也等于；如果小于，后者也小于。
所以：弧BC 比弧EF 等于∠BGC 比∠EHF （定义V.5） 。
又，∠BGC 比∠BAC 等于∠EHF 比∠EDF ，因为它们分别为两倍（命题V.15、III.20） 。
所以：弧BC 比弧EF 等于∠BGC 比∠EHF ，等于∠BAC 比∠EDF 。
所以：在等圆中，圆心角或圆周角的比等于它们所对的弧的比。
证完
注解
本命题有很大的独立性，是作角与所切圆周之间的比例。
本命题应用在卷13的命题XIII.8开始的三个命题中。
第7卷
数论（一）
CHAPTER 7
古希腊泰勒斯根据土地测量创立了演绎几何学。毕达哥拉斯及其学派把数的抽象观念提到突出地位，以使算术成为可能，并把数视为世界的基石。他们揭开了古希腊美学思想发展的序幕，首先将数学与美学相结合，开始了美与数理学科联姻的潮流。德谟克里特发展了这一思想。毕达哥拉斯学派认为，世界构成于数量关系，数是整个自然的本原。
本卷讨论的是初等数论。
本卷提要
※定义VII.11，质数的定义。
※命题VII.12，找最大公约数的欧几里得算法。
※命题VII.16，数的几个基本性质。如，数的乘法的交换律，mn ＝nm 。
※命题VII.29，如果质数不能除尽一个数，那么它们是互质数。
※命题VII.34，建最小公倍数。
定义
VII.1 一个单位是一切事物凭借它存在的基础，被称为一。
VII.2 一个数是由许多单位合成的。
VII.3 当一个数测尽较大数的时候，这个数是较大数的较小的部分。
VII.4 当一个数测不尽较大数的时候，这个较小的数为一个较大的数的几部分。
VII.5 若一个较大数能被一个较小数测尽（整除），那么它是较小数的倍数。
VII.6 能分成相等的两部分的数称为偶数。
VII.7 不能分成相等的两部分的数称为奇数。或者说与一个偶数相差一个单位的数称为奇数。
VII.8 偶倍偶数是用一个偶数量它得偶数。
VII.9 偶倍奇数是用一个偶数量它得奇数。
VII.10 奇倍奇数是用一个奇数量它得奇数。
VII.11 只能为一个单位量测尽的数是质数。
VII.12 只能被作为公约的一个单位量所测尽（整除）的几个数称为互质数。
VII.13 能被某数所测尽的数称为合数。
VII.14 互为合数的数是能被作为公约的某数所测尽的几个数。
VII.15 一个数乘一个数，即是被乘数自身相加多少次得到的某数，这个次数是另一数中单位的个数。
VII.16 两个数相乘得出的数称为面，其两边就是相乘的两数。
VII.17 三数相乘的数为体，其三边就是相乘的三数。
VII.18 平方数是两相等数相乘所得的数，或者是由两相等数组成的数。
VII.19 立方数是两相等数相乘再乘此等数所得的数，或者是由三相等数组成的数。
VII.20 当第一数是第二数的某倍、某一部分或某几部分，与第三数是第四数的某倍、某一部分或某几部分相同，称这四个数是成比例的。
VII.21 两相似面以及两相似体数是它们的边成比例。
VII.22 完全数是等于它自身所有部分的和。
注解
第7卷是后面三卷数论的开始，它始于22个定义。尤其重要的定义是单位、数、部分、倍数、偶数、奇数、质数、互质数、比例、完全数、最大公约数（公因子）、最小公约数的定义。
命题VII.1
设有不等两数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直下去，如果余数测不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，那么该二数互质。
设：两个不等数AB 和CD ，连续从大数中减去小数直到小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直下去，余数总是不能测尽前一个数，直到最后的余数为一个单位。
求证：AB 和CD 互质，即只有一个单位能测尽AB 和CD 。
如果：AB 和CD 不互质，那么总有某个数测尽它们。令其为e 。
令：CD 测量AB 得BF ，余下FA 小于CD 。
令：AF 测量CD 得DG ，余下GC 小于AF 。
令：GC 测量AF 得FH ，余下单位量HA 。
那么，因为e 测尽CD ，CD 测尽BF ，所以：e 也测尽BF 。
而它也测尽总量AB ，所以：它测尽余值AF 。
而AF 测尽DG ，所以e 也测尽DG 。且它也测尽总量DC ，所以：它也测尽余值CG 。
又，CG 测尽FH ，所以：e 也测尽FH 。且它也测尽总量FA ，所以：它测尽余值，即单位AH ，但它是一个数，这是不可能的。
所以：没有数能测尽AB 和CD 。所以：AB 和CD 互质（定义VII.12） 。
所以：当两个不等数，从大数中连续减去小数直到余数小于小数，再从小数中连续减去余数直到小于余数，这样一直下去，如果余数测不尽其前一个数，直到最后的余数为一个单位，那么该二数互质。
证完
注解
现代数学术语已经不沿用欧几里得的术语了，“测得、测尽”两个词，已用“除、除尽”代替。概念a /b ，是b 分之a 的缩写。这一命题假定1是辗转相除法的结果。这一算法称为欧几里得算法。开始于两个数，从较大数中重复减去较小的数。
如果初始的两个数是a 1 （在证明中的AB ）和a 2 （CD ），其中a 1 大于a 2 。那么首先，从a 1 中反复减去a 2 直到余值a 3 小于a 2 。代数式可以这样表达：
a 1 ＝m 1 a 2 ＋a 3 。
这里的m 1 是从a 1 中减去a 2 的次数。
然后，从a 2 中反复减去a 3 ，其余值为a 4 。代数表达式为：
a 2 ＝m 2 a 3 ＋a 4 。
根据这一命题的假设，当余值为1时，代数式为：
a n -1 ＝m n -1 a n ＋1 ＋1。
在欧几里得的证明中，a n 是a 5 ，即AH ，结论为a 1 和a 2 是互质数。证明是不困难的。如果b 分别被c 和d 除尽（测尽），那么，b 也就能除尽它们的差c -d ，所以，如果某个数b 能分别除尽a 1 和a 2 。那么，它也就能除尽余值a 3 。又，它能除尽a 2 和a 3 ，它也就能除尽a 4 。并依此类推，直到最后b 除尽最后一个余数1。
因为没有数可以除尽1（这里的数是指大于1的数），没有数可以除尽a 1 和a 2 。所以a 1 和a 2 是互质数。
命题VII.2
给定两个不互质的数，可以找到它们的最大公约数。
设：AB 和CD 为给定的两个不互质的数（素数） 。
现在要求的是：找到AB 和CD 的最大公约数。
如果CD 能测尽AB ，因为它也自测尽，那么：CD 是CD 和AB 的公约数。又，这也表明它是最大的，因为：没有大于CD 测尽CD 的数。
又，如果CD 测不尽AB ，那么：就用余数去量CD ，如果量不尽，又用后边的余数去量前边的余数，直到后边的余数测尽前边的余数。
这最后的余数不是一个单位，否则AB 和CD 互质（定义VII.12、命题VII.1） 。这与假设相矛盾。
所以：某数可以测尽它的前面数的余数。
令：CD 测AB 得BE ，余下EA 小于CD 。令：EA 测CD 得DF ，余下FC 小于EA 。设CF 测尽AE 。
那么，因为CF 测尽AE ，AE 测尽DF ，所以：CF 也测尽DF 。
而它又测尽它自身，所以：它也测尽整个CD 。
又，CD 测尽BE ，所以CF 也测尽BE ，它又同时测尽EA ，所以：它测尽整个BA 。
又，它也测尽CD ，所以CF 测尽AB、CD 。
所以：CF 是AB、CD 的一个公约数。
以下进一步说明：它也是最大的。
如果CF 不是AB 和CD 的最大公约数，那么必有一个大于CF 的某数将测尽数AB 和CD 。设这个数为g 。
那么，因为g 测尽CD ，CD 测尽BE ，所以：g 也测尽BE 。又，它也测尽整个BA ，所以：它测尽余值AE 。
又，AE 测尽DF ，所以：g 也测尽DF 。
同时它测尽整个DC ，所以：它也测尽余值CF 。即较大的测尽较小的，这是不可能的。
所以：没有大于CF 测尽AB 和CD 的数。
所以：CF 为AB 和CD 的最大公约数。
所以：给定两个不互质的数，可以找到它们的最大公约数。
证完
注解
本命题及其推论应用在下面两个命题中。本命题非常类似命题X.3，甚至其图形及推论也十分近似。只是使用的术语有所不同，命题X.3处理的量多余数。
推论
这一命题表明：如果一个数测尽两个数，那么这个数也测尽它们最大的公约数。
注解
在这一命题中，再次使用欧几里得算法，求两个不互质的数的最大公约数。m 和n 两个数的最大公约数，是可以同时除尽两个数的数，通常表示为：GCD （m ，n ）。大数反复减小数，直到余数小于小数。比如要求884和3009这两个数的最大公约数，首先，从3009中反复减去884，直到余数小于884，将得到相等的余数。当减3次后，得到余数357。现在，再从884中反复减去357直到余数小于357。可得余数170。再从357中反复减去170得余数17。最后停止。因为17可以被170除尽。于是我们找出了GCD （884，3009）等于17。
a 1 ＝m 1 a 2 ＋a 3
a 2 ＝m 2 a 3 ＋a 4
…
a n -1 ＝m n -1 a n ＋a n ＋1
（在欧几里得的证明中，a 1 是AB ，a 2 是CD ，a 3 是AE ，而a 4 ＝a n ＋1 是CF 。）
在第一部分的证明里，因为a n ＋1 除尽a n ，它也除尽a n -1 ，…，a 2 和a 1 。所以：a n ＋1 是a 2 和a 1 两个数的最大公约数。在最后一个部分的证明里，显示如果任意数d 同时除尽两个数a 2 和a 1 ，那么它也能除尽a 3 ，…，a n 和a n ＋1 。所以，a n ＋1 是最大公约数。最后的推论中表明，任何公约数可除尽最大公约数。
命题VII.3
给定三个不互质的数，可以找到它们的最大公约数。
设：a、b 和c 为给定的不互质的素数。
现在要求的是：为a、b 和c 找出一个最大的公约数。
作a 和b 两个数的最大公约数d ，那么：d 要么测尽c ，要么测不尽c （命题VII.2） 。
首先令d 测尽c 。
而d 能测尽a 和b ，所以：d 测尽a、b 和c 。所以：d 是a、b 和c 的公约数。
那么：它也是最大的公约数。
如果d 不是a、b 和c 的最大公约数，那么，必有数如e 为最大公约数，大于d ，测尽数a、b 和c 。
那么，因为e 测尽a、b 和c ，于是：它测尽a 和b 。所以：它也测尽a 和b 的最大公约数。而a 和b 的最大公约数是d ，所以：e 测尽d ，即大测尽小，这是不可能的（命题VII.2、推论） 。
所以：没有大于d 的数可以测尽a、b 和c 。所以：d 是a、b 和c 的最大公约数。
再设：d 测不尽c 。
那么：首先，c 和d 不互质。
因为a、b 和c 不是互质的素数，那么：有某个数测尽它们。
因为：可以测尽a、b 和c 的数，也可以测尽a 和b ，可以测尽d ，d 是a 和b 的最大公约数。又，也可以测尽c ，所以：某个数可以测尽d 和c 。所以：d 和c 不是互质数（命题VII.2，推论） 。
作它们的最大公约数e （命题VII.2） 。
那么因为e 测尽d ，d 测尽a 和b ，所以：e 也测尽a 和b 。
而它也测尽c ，所以：e 测尽a、b 和c 。所以：e 是a、b 和c 的公约数。
那么：它是最大的公约数。
如果e 不是a、b 和c 的最大的公约数，那么：必定有某个量f ，它大于e ，能测尽a、b 和c 。
那么，因为f 测尽a、b 和c ，它也测尽a 和b ，于是：它测尽a 和b 的最大公约数。又，a 和b 的最大公约数是d ，所以：f 测尽d （命题VII.2，推论） 。
又，它也测尽c ，所以：f 测尽d 和c 。所以：它也测尽d 和c 的最大公约数。
又，d 和c 的最大公约数是e ，所以：f 测尽e 。于是：大测尽小，这是不可能的（命题VII.2，推论） 。
所以：没有大于e 的数字可以测尽a、b 和c 。所以：e 是a、b 和c 的最大公约数。
所以：给定三个不互质的数，可以找到它们的最大公约数。
证完
注解
本命题同于命题X.4。且应用在命题VII.33中。
命题VII.4
较小数是较大数的一部分或是几部分。
设：a 和BC 是两个数，BC 较小。
求证：BC 是a 的一部分或多部分。
a 和BC 要么是互质数，要么不是。
首先，令a 和BC 是互质数，那么，如果BC 被分成多个单位，在BC 中的每个单位是a 的某一部分，所以：BC 是a 的多部分（定义VII.4） 。
再令：a 和BC 不是互质数，那么BC 或者测尽或者测不尽a 。
如果BC 测尽a ，那么BC 是a 的一部分。
而如果不是，作a 和BC 的最大公约数d ，分BC 的诸数等于d ，即BE、EF 和FC （定义VII.3、命题VII.2） 。
那么因为d 测尽a ，所以：d 是a 的一个部分。
又，d 等于BE、EF 和FC 各量。所以：BE、EF 和FC 各量也是a 的一部分。所以：BC 是a 的一部分。
所以：较小数是较大数的一部分或是几部分。
证完
注解
本命题应用在命题VII.20中。
命题VII.5
如果一小数是一大数的一部分，另一小数是另一大数的同样的部分，那么，两小数之和也是两大数之和的一部分，且与小数是大数的部分相同。
设：a 是BC 的一部分，数d 是另一数EF 的部分，其比值与前者相等。
求证：a 与d 之和也是EF 与BC 之和的一部分。
因为：a 无论是BC 的怎样一部分，d 也总是EF 的相同部分。
所以：在EF 上的d 的数量等于在BC 上的a 的数量。
将BC 分为等于a 的数，即BG 和GC ；将EF 分为等于d 的数，即EH 和HF 。
那么BG 和GC 的倍数等于EH 和HF 的倍数。
又，因为BG 等于a ，EH 等于d ，所以：BG 与EH 之和也等于a 与d 之和。
同理，GC 与HF 之和等于a 与d 之和。
所以：在BC 中有多少个等于a 的数，则在BC、EF 之和中也就有同样多少个等于a、d 之和的数。
所以：如果一小数是一大数的一部分，另一小数是另一大数的同样的部分，那么，两小数之和也是两大数之和的一部分，且与小数是大数的部分相同。
证完
注解
如果a ＝b /n ，且d ＝e /n ，那么a ＋d ＝（b ＋e ）/n 。
更简洁的公式为：
b /n ＋e /n ＝（b ＋e ）/n 。
本命题应用在接下来的7个命题的5个中。
命题VII.6
如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
设：数AB 是数c 的几部分，另一个数DE 是另一个数f 的几部分，其比值与前者相等。
求证：AB 与DE 之和也是c 与f 之和的部分。
因为：无论AB 是c 的怎样的几部分，DE 也是f 的同样的几部分。所以在AB 中有c 的多少个一部分，那么在DE 中就有f 的多少个一部分。
分AB 为c 的几个一部分，即AG 和GB ；分DE 为f 的几个一部分，即DH 和HE ，那么，AG 和GB 的倍数量等于DH 和HE 的倍数量。
又因为DH 是f 的部分，等于AG 是c 的部分。
所以：AG 与DH 之和c 与f 之和相等于AG 与c 的部分。
同理：GB 与HE 之和是c 与f 之和的相同部分，等于GB 是c 的部分（命题VII.5） 。
所以：AB 与DE 之和是c 与f 之和的相等部分，等于AB 是c 的部分。
所以：如果一小数是一大数的几部分，另一小数是另一大数的相同部分，那么小数之和也是大数之和的相同部分。
证完
注解
这一命题述及分数的乘法，用代数表示即为：
如果a ＝（m /n ）b ，d ＝（m /n ）e ，那么a ＋d ＝（m /n ）（b ＋e ）。
也可以表示为如下方程式：
（m /n ）b ＋（m /n ）e ＝（m /n ）（b ＋e ）。
本命题调用了命题VII.9。
命题VII.7
如果一小数是一大数的一部分，小数的减数是大数的减数相同部分。那么，其余也是大数的余数的相同部分。
设：AB 是CD 的部分，这一部分与减数AE 是减数CF 的一部分相同。
求证：余值EB 是FD 的部分，等于AB 是CD 的部分。
EB 是CG 的一部分，等于AE 是CF 的部分。那么因为EB 是CG 的一部分，AB 是GF 的一部分，等于AE 比CF （命题VII.5） 。
又，假设AB 是CD 的一部分，等于AE 比CF ，于是：AB 是CD 的一部分，也是GF 的一部分。所以：GF 等于CD 。
令：从每个中减去CF 。那么余值GC 等于余值FD 。
那么，因为EB 是GC 的部分，等于AE 是CF 的部分，而GC 等于FD ，所以：EB 是FD 的部分，等于AE 是CF 的部分。
而AB 是CD 的部分，等于AE 是CF 的部分，所以：余值EB 是FD 的部分，总值AB 是CD 的部分。
所以：如果一小数是一大数的一部分，小数的减数是大数的减数的相同部分。那么，其余也是大数的余数的相同部分。
证完
注解
这一命题用代数式表达为：
如果a ＝b /n ，d ＝e /n ，那么a -d ＝（b -e ）/n 。
本命题应用在下一命题中，也用在命题VII.11中。
命题VII.8
如果一个数是一个数的多个部分，其值与其差之比相等，那么余值也是余值的多个部分，其值等于总值比总值。
设：AB 是CD 的一个部分，其比值等于减数AE 比减数CF 。
求证：余值EB 也是余值FD 的一部分，其比值等于AB 比CD 。
作GH 等于AB 。
所以：AE 是CF 的一部分，其比值等于GH 比CD 。
将GH 分成CD 的多个一部分，即GK 和KH ；将AE 分成CF 的多个一部分，即AL 和LE 。那么GK 和KH 的个数等于AL 和LE 的个数。
那么因为AL 是CF 的部分，其比值等于GK 比CD ，而CD 大于CF ，所以：GK 也大于AL 。
作GM 等于AL 。
那么因为：GK 是CD 的一部分，其比值等于GM 比CF 。
所以：余值MK 是FD 的一部分，其比值等于总值GK 比总值CD （命题VII.7） 。
又，因为EL 是CF 的一部分，其值等于KH 比CD ，而CD 大于CF ，于是：HK 也大于EL 。
作KN 等于EL 。
所以：KN 是CF 的一部分，其值等于KH 比CD 。
所以：值NH 是余值FD 的一部分，其值等于总数KH 比总数CD 。
但是，已证余数MK 是余数FD 的一部分，与整个数GK 是整个数CD 的一部分相同，所以MK、NH 之和是DF 的几部分与整个数HG 是整个数CD 的几部分相同。
又，MK 与NH 之和等于EB ，HG 等于BA ，所以：余值EB 是余值FD 的多个部分，其值等于总值AB 比总值CD 。
所以：如果一个数是一个数的多个部分，其值与其差之比相等，那么余值也是余值的多个部分，其值等于总值比总值。
证完
注解
这一命题的代数式表示：如果a ＝（m /n ）b ，d ＝（m /n ）e ，那么a ＋d ＝（m /n ）（b ＋e ）。
如果一个数是一个部分数与另一个数的积，另一个数也是这个部分数与再一个数的积，那么，这两个数的和是这个部分数与另一个数与再一个数之和的积。
本命题应用在命题VII.11中。
命题VII.9
如果第一数是第二数的一部分，第三数是第四数的同样的一部分，交换后，无论第一数是第三数的怎样的部分，第二数也是第四数的同样部分。
设：a 量为BC 量的一个部分，d 量为EF 量的一个部分并与前者的比值相等。
那么：BC 是EF 的一个部分或多个部分，等于a 与d 的比值。
因为d 是EF 的部分，等于a 与BC 的比值，所以：在BC 中有多个a 也等于在EF 中有多个d 。
在BC 上切分一个量等于a ，即BG 和GC ；在EF 上切分一个量等于d ，即EH 等于HF 。那么GB 与GC 的个数等于EH 与HF 的个数。
那么，因为BG 与GC 相等，EH 与HF 相等，同时BG 与GC 的倍数等于EH 与HF 的倍数，所以GC 是HF 的一个或多个部分，其比值等于BG 比EH 。
所以：BC 之和是EF 之和的一个或多个部分，等于BG 是EH 的一个或者多个部分（命题VII.5、VII.6） 。
又，BG 等于a ，EH 等于d 。
所以：BC 是EF 的一个或者多个部分，其比值等于a 比d 。
所以：如果第一数是第二数的一部分，第三数是第四数的同样的一部分，交换后，无论第一数是第三数的怎样的部分，第二数也是第四数的同样部分。
证完
注解
这一命题用代数式表达：如果a ＝b /n ，d ＝e /n ，a ＝（m /n ）d ，那么b ＝（m /n ）e 。
本命题应用在下一命题中。
命题VII.10
如果第一数是第二数的几部分，且第三数是第四数的同样的几部分，则交换后，无论第一数是第三数的怎样的几部分，那么第二数也是第四数同样的几部分。
设：数AB 是c 的多个部分，另一个数DE 是f 的同样多个部分。
求证：c 是f 的多个部分，其值等于AB 比DE 。
因为：DE 是f 的多个部分，其值等于AB 比c 。
所以：f 是DE 的多个部分，等于c 是AB 的部分。
将AB 分为c 的多个部分，即AG 和GB ，将DE 分为f 的多个部分，即DH 和EH 。那么，AG 和GB 的个数等于DH 和HE 。
那么因为：DH 是f 的一个部分，其值等于AG 比c 。
所以：交换后，c 是f 的一个部分或多个部分，其值等于AG 比DH （命题VII.9） 。
出于同样原因：c 是f 的一个部分或多个部分，其值等于GB 比HE 。
所以：再一步，c 是f 的一个部分或多个部分，其值等于AB 比DE （命题VII.9、VII.5、VII.6） 。
