所以：如果第一数是第二数的几部分，且第三数是第四数的同样的几部分，则交换后，无论第一数是第三数的怎样的几部分，那么第二数也是第四数同样的几部分。
证完
注解
在这一命题中，欧几里得陈述：如果a ＝（m /n ）b ，且d ＝（m /n ）e ，又如果a ＝（p /q ）d ，那么b ＝（p /q ）e 。
本命题应用在命题VII.13中。
命题VII.11
如果总数比总数等于总数中的减数比总数中的减数，那么余值之比也等于总数之比。
设：总值AB 比总值CD 等于减数AE 比减数CF 。
求证：其余值EB 比余值FD 等于总值AB 比总值CD 。
因为AB 比CD 等于AE 比CF ，所以：AE 是CF 的一个部分，其比值等于AB 比CD 。
所以：余值EB 是FD 的一个部分或多个部分，比值等于AB 比CD （定义VII.20，命题VII.7、VII.8） 。
所以：EB 比FD 等于AB 比CD （定义VII.20） 。
所以：如果总数比总数等于总数中的减数比总数中的减数，那么余值之比也等于总数之比。
证完
注解
这一命题的类似代数式可以表示为：如果a ∶c ＝e ∶f ，那么（a -e ）∶（c -f ）＝a ∶c 。
本命题应用在命题IX.35中。
命题VII.12
如果一组数成比例，那么前项之一比后项之一等于前项之和比后项之和。
设：a、b、c、d 为一组成比例的数，a 比b 等于c 比d 。
求证：a 比b 等于a 与c 之和比b 与d 之和。
因为a 比b 等于c 比d ，所以：a 是b 的一部分或多个部分，其值等于c 比d 。
所以：a 与c 之和是b 与d 之和的一部分或多个部分，其比值等于a 比b （定义VII.20，命题VII.5、VII.6） 。
所以：a 比b 等于a 与c 之和比b 与d 之和（定义VII.20） 。
所以：如果一组数成比例，那么前项之一比后项之一等于前项之和比后项之和。
证完
注解
这一命题的代数式可以表达为：如果x 1 ∶y 1 ＝x 2 ∶y 2 ＝…＝x n ∶y n ，那么这些比值的每一个也等于比值（x 1 ＋x 2 ＋…＋x n ）∶（y 1 ＋y 2 ＋…＋y n ）。
本命题应用在命题VII.15、VII.20、IX.35中。
命题VII.13
如果四个数成比例，那么它们的更比例也成立。
设：四个数a、b、c、d 成比例，a 比b 等于c 比d 。
求证：它们也交替成比例，即：a 比c 等于b 比d 。
因为：a 比b 等于c 比d 。
所以：a 是b 的一部分或多个部分，其值等于c 比d （定义VII.20） 。
所以：交换后，a 是c 的一个部分或多个部分，其值等于b 比d （命题VII.10） 。
所以：a 比c 等于b 比d （定义VII.20） 。
所以：如果四个数成比例，那么它们的更比例也成立。
证完
注解
这一命题的代数式可以表示为：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a ∶c ＝b ∶d 。
从下一命题开始，本命题频繁地应用在卷7、9的命题中。
命题VII.14
如果一组数，有另一组数与它们个数相等，且每两个的比值相等，那么它们首末之比也相等。
设：a、b、c 为一组数，d、e、f 为另一组与它们个数相等，两两比值相等，即a 比b 等于d 比e ，b 比c 等于e 比f 。
那么：a 比c 等于d 比f 。
因为a 比b 等于d 比e ，所以由更比，a 比d 等于b 比e 。
因为：b 比c 等于e 比f ，所以由更比，b 比e 等于c 比f 。
而b 比e 等于a 比d ，所以：a 比d 等于c 比f （命题VII.13） 。
所以，由更比，a 比c 等于d 比f （命题VII.13、V.11） 。
所以：如果一组数，有另一组数与它们个数相等，每两个的比值相等，那么它们首末之比也相等。
证完
注解
这一命题的代数式可以表示为：
如果x 1 ∶x 2 ＝y 1 ∶y 2 ，x 2 ∶x 3 ＝y 2 ∶y 3 ，…，x n -1 ∶x n ＝y n -1 ∶y n ，那么x 1 ∶x n ＝y 1 ∶y n 。
从命题VIII.1开始，本命题不时地应用于卷8、9的命题中。
命题VII.15
如果一个单位测尽任意一个数，与一个数测尽另一个任意数的次数相等，那么交换后，该单位测尽第三个数与第二个数测尽第四个数的次数相等。
设：单位a 测尽任意数BC ，与另一个数d 测尽另一个任意数EF 的次数相等。
求证：交换后，该单位测尽d 与BC 测尽EF 的次数也相等。
因为单位a 测尽BC 与d 测尽EF 的次数相等，所以：在EF 中有多个量等于d 在BC 中的单位量。
将BC 分为多个单位BG、GH 和HC ，将EF 分为多个量EK、KL 和LF 。
又，因为单位BG、GH 和HC 相互相等，那么量KE、KL 和LF 也相互相等，同时BG、GH 和HC 的个数等于EK、KL 和LF 的个数。
所以：单位BG 比EK 等于单位GH 比KL ，且等于HC 比LF 。
所以前项之一比后项之一等于前项之和比后项之和，所以：单位BG 比EK 等于BC 比EF （命题VII.12） 。
又，单位BG 等于单位a ，又：量EK 等于量d 。所以：单位a 比量d 等于BC 比EF 。
所以：单位a 测尽量d 与BC 测尽EF 有相等的次数。
所以：如果一个单位测尽任意一个数，与一个数测尽另一个任意数的次数相等，那么交换后，该单位测尽第三个数与第二个数测尽第四个数的次数相等。
证完
命题VII.16
如果两个数的相互倍数构成另两个数，那么这两个数相等。
设：a 和b 两个数，a 乘b 等于c ，b 乘a 等于d 。
求证：c 等于d 。
因为a 乘b 构成c ，所以：按照a 中的单位数，b 用a 次测尽c 。
又，根据在其中的单位，单位e 也测尽a ，所以：单位e 测尽a 与b 测尽c 的次数相等。
所以，由更比，单位e 测尽b 与a 测尽c 的次数相等（命题VII.15） 。
又，因为b 乘a 构成d ，所以：根据b 中的单位，a 用b 次测尽d ；而同样根据在其中的单位，单位e 也测尽b 。
所以：单位e 测尽b 与a 测尽d 的次数相等。
又，单位e 测尽b 与a 测尽c 的次数相等，所以：a 测尽c 和d 有相等次数。
所以：c 等于d 。
所以：如果两个数的相互倍数构成另两个数，那么这两个数相等。
证完
注解
这一命题更明白地阐述上一命题，即乘法的交换律性质，ab ＝ba 。在命题VII.18中也有应用。
本命题应用在卷7中。
命题VII.17
如果一个数被另两个数相乘构成新的数，那么新数的比值等于两个数的比值。
设：量a 被两个数b 和c 相乘，构成新量d 和e 。
求证：b 比c 等于d 比e 。
因为a 与b 相乘构成d ，所以：根据a 中的单位数，b 测尽d 。
又，根据a 中的单位数，单位f 也测尽量a ，所以：单位f 测尽a 与b 测尽c 有相等的次数。
所以：单位f 比量a 等于b 比d （命题VII.20） 。
同样原因：f 比a 等于c 比e ，所以b 比d 等于c 比e （命题VII.20、V.11） 。
所以，由更比，b 比c 等于d 比e （命题VII.13） 。
所以：如果一个数被另两个数相乘，新数的比值等于两个数的比值。
证完
注解
这一命题的代数表达式为：b ∶c ＝ab （ac ）。
从下一命题开始，本命题高频率地应用在卷7～9的命题中。
命题VII.18
如果两个量乘以任意一个量构成新的量，那么两个量的比值等于两个新量的比值。
设：两个数a 和b ，被任意数c 相乘，构成新数d 和e 。
求证：a 比b 等于d 比e 。
因为a 乘c 构成d ，所以：c 乘a 构成d 。同样：c 乘b 构成e （命题VII.16） 。
所以：量c 乘以两个量a 和b 构成d 和e 。
所以：a 比b 等于d 比e （命题VII.17） 。
所以：如果两个量乘以任意一个量构成新的量，那么两个量的比值等于两个新量的比值。
证完
注解
这一命题也可以表示为：b ∶c ＝ab ∶（ac ）。
本命题应用在下一命题中，也不时地应用在卷8中。
命题VII.19
如果四个量成比例，那么第一个量与第四个量相乘，等于第二个量与第三个量相乘；反之，如果第一个量与第四个量相乘等于第二个量与第三个量相乘，那么这四个量成比例。
设：a、b、c 和d 是四个成比例的量，a 比b 等于c 比d ，a 乘d 构成e ，b 乘c 构成f 。
求证：e 等于f 。
设：a 乘c 构成g 。
那么，因为a 乘c 构成g ，且a 乘d 构成e ，所以：量a 乘两个量c 和d 构成g 和e 。
所以：c 比d 等于g 比e 。
又，c 比d 等于a 比b ，所以：a 比b 等于g 比e （命题VII.17） 。
又因为：a 乘c 构成g ，进一步，b 乘c 构成f 。
所以：两个量a 和b 乘某个量c 构成g 和f 。所以：a 比b 等于g 比f （命题VII.18） 。
又进一步，a 比b 等于g 比e ，所以：g 比e 等于g 比f 。所以：g 与e 和f 的比值相等。所以：e 等于f （命题V.11） 。
再设e 等于f 。
那么：a 比b 等于c 比d 。在这同一结构中，因为e 等于f ，那么g 比e 等于g 比f （命题V.7） 。
又，g 比e 等于c 比d ，g 比f 等于a 比b 。
所以：a 比b 等于c 比d （命题VII.17、II.18） 。
所以：如果四个量成比例，那么第一个量与第四个量相乘，等于第二个量与第三个量相乘；反之，如果第一个量与第四个量相乘等于第二个量与第三个量相乘，那么这四个量成比例。
证完
注解
这一命题用代数式可以表示为：如果a ∶b ＝c ∶d ，则ad ＝bc 。
从命题VII.24开始，本命题频繁地使用在卷7、9的命题中。
命题VII.20
用有相同比的数对中最小的一对数，分别量其他数对，则大的测尽大的，小的测尽小的，且所得的次数相同。
设：CD 和EF 是最小的一对数，与a 和b 有相等的比值。
求证：CD 测尽a 与EF 测尽b 有相同的次数。
CD 不是a 的多个部分。那么EF 也是b 的部分，与CD 比a 的比值相等（命题VII.13、定义II.20） 。
所以：在EF 中有多个b 的部分，等于在CD 中有a 的多个部分。
将CD 分为a 的多个部分，即CG 和GD ，将EF 分为b 的多个部分，即EH 和HF 。
于是：CG 和GD 的个数等于HE 和HF 的个数。
那么，因为量CG 和GD 相互相等，量EH 和HF 也相互相等。同时，CG 和GD 的个数等于EH 和HF 的个数。
所以：CG 比EH 等于GD 比HF 。因为前项之一比后项等于前项之和比后项之和，所以：CG 比EH 等于CD 比EF （命题VII.12） 。
所以：CG 和EH 与CD 和EF 有相等比值，小于它们，这是不可能的，因为假定CD 和EF 是最小的量，与它们有相等的比值。
所以：CD 不是a 的多个部分，所以：它只能是a 的一个部分（命题II.4） 。
又，EF 是b 的一个部分，其比值等于CD 比a 。
所以：CD 测尽a 与EF 测尽b 有相等次数（命题VII.13、定义II.20） 。
所以：用有相同比的数对中最小的一对数，分别量其他数对，则大的测尽大的，小的测尽小的，且所得的次数相同。
证完
命题VII.21
互质的两数是与它们有同比的数对中最小的数。
设：a 和b 为互质数。
求证：a 和b 是与它们有相等比值的数对中的最小数。
令：假如不是，在a 和b 的相等比值中将有比a 和b 更小的数，假定为c 和d 。那么因为，有相等比值的最小一对数，分别测尽相等比值的数对，所得的次数相同，即前项测尽前项与后项测尽后项的次数相同。所以：c 测尽a 与d 测尽b 有相同次数（VII.20）。
令：e 中有多个单位，等于c 测尽a 的次数。那么d 也测尽b ，根据在e 中的单位。
既然根据在e 中的单位，c 测尽a ，所以根据在c 中的单位，e 也测尽a 。
同样原因：根据在d 中的单位，e 也测尽b （命题VII.16） 。
所以：e 测尽a 和b ，它们是互质数，这是不可能的（定义VII.12） 。
所以：没有数小于a 和b 且与a 和b 有相等比值数的数对。
所以：互质的两数是与它们有同比的数对中最小的数。
证完
注解
从命题VII.24开始，本命题被频繁地应用在卷7～9的命题中。
命题VII.22
有相等比值的数对中，最小的一对是互质数。
设：a 和b 是与它们有同比的一些数对中最小的一对。
求证：a 和b 是互质数。
假设不是，它们不是互质数，那么另一个数c 能测尽它们。
令：在d 中有多个单位，等于c 测尽a 的次数。在e 中有多个单位，等于c 测尽b 的次数。
因为根据在d 中的单位数，c 测尽a ，所以：c 乘d 得a 。同理：c 乘e 得b （定义VII.15） 。
于是，c 乘两数d、e 各得a、b ，所以：d 比e 等于a 比b （命题VII.17） 。
所以：d 和e 与a 和b 有相等的比值，并小于它们，这是不可能的。
所以：没有数测尽a 和b 。
所以：a 和b 是互质数。
所以：有相等比值的数对中，最小的一对是互质数。
证完
注解
本命题应用在命题VIII.2、VIII.3、IX.15中。
命题VII.23
如果两个数是互质数，那么测尽它们中之一的任何数与另一数是互质数。
设：a 和b 是两个互质数，任意数c 测尽a 。
求证：c 和b 也是互质数。
令：假如c 和b 不是互质数，那么某个数d 测尽c 和b 。
因为d 测尽c ，又c 测尽a ，所以d 也测尽a 。而它也测尽b ，所以：d 测尽a 和b ，这是不可能的（定义VII.12） 。
所以：没有数可以测尽c 和b 。
所以：c 和b 是互质数。
所以：如果两个数是互质数，那么测尽它们中之一的任何数与另一数是互质数。
证完
注解
本命题应用在下一命题的证明中。
命题VII.24
如果两个数是某数的互质数，那么它们的乘积也与该数是互质数。
设：两个数a 和b 分别与c 构成互质数，a 乘以b 构成d 。
求证：c 和d 也是互质数。
令：假设c 和d 不是互质数，某个数e 测尽c 和d 。
因为c 和a 是互质数，某个数e 测尽c 。
所以：a 和e 是互质数（命题VII.23） 。
再令：在f 中有多个整数，其次数等于e 测尽d ，那么f 也根据在e 中的单位测尽d （命题VII.16） 。
所以：e 乘以f 构成d 。同时a 乘以b 也构成d 。
所以：e 和f 的乘积等于a 和b 的乘积（定义VII.15） 。
又，如果两外项的乘积等于两内项的乘积，那么这四个数成比例，所以：e 比a 等于b 比f （命题VII.19） 。
又，a 和b 是互质数，而互质的两数也是与它们有共同比的数对中的最小数。
因为有相同比的数对中最小的一对数，其大、小两数分别测尽具有同比的大、小两数，所得的次数相等，即前项测尽前项和后项测尽后项；所以：e 测尽b （命题VII.21、VII.20） 。
又，它也测尽c ，所以：e 测尽b 和c ，它们是互质数。这是不可能的（定义VII.12） 。
所以：没有数测尽c 和d 。所以：c 和d 是互质数。
所以：如果两个数是任意数的互质数，那么它们的乘积也与该数是互质数。
证完
命题VII.25
如果两个数是互质数，那么其中一个与它自己的乘积与余下的一个是互质数。
设：a 和b 两个数是互质数，a 自乘构成c 。
求证：b 和c 是互质数。
作：d 等于a 。
因为a 和b 是互质数，且a 等于d ，那么：d 和b 也是互质数。所以：数d 和a 皆是b 的互质数。所以：d 和a 的乘积也是b 的互质数（命题VII.24） 。
又，d 和a 的乘积是数c ，所以：c 和b 是互质数。
所以：如果两个数是互质数，那么其中一个与它自己的乘积与余下的一个是互质数。
证完
注解
这一命题是前一命题的特殊情况，在命题VII.27、IX.15中有应用。
本命题是前一命题的特殊情况。应用在命题VII.27、IX.1中。
命题VII.26
如果两个数分别是另两个数的互质数，那么它们的乘积也是互质数。
设：两个数a 和b 与c 和d 为互质数，a 乘b 形成e ，c 乘d 形成f 。
求证：e 与f 也为互质数。
因为a 和b 皆与c 为互质数，所以：a 与b 的乘积也与c 构成互质数。而a 与b 的乘积是e ，所以：e 与c 是互质数。
同样原因，e 与d 也是互质数，所以：c 与d 皆是e 的互质数（命题VII.24） 。
所以：c 与d 的乘积也是e 的互质数，同时是f 的互质数。所以：e 和f 是互质数（命题VII.24） 。
所以：如果两个数分别是另两个数的互质数，那么它们的乘积也是互质数。
证完
注解
这一命题利用了命题VII.24两次。如果a 和b 同是c 和d 的互质数，那么它们的乘积ab 也互质。因为，c 和d 皆与ab 互质，所以也与它们的乘积cd 互质。
本命题应用在下一命题的证明中。
命题VII.27
如果两个数是互质数，每个数自乘构成一个数，那么其乘积是互质数；如果原始数与乘积相乘构成一个数，那么后者也是互质数。
设：a 和b 是两个互质数，a 自乘构成c ，a 再与c 相乘构成d ，b 自乘构成e ，b 与e 相乘构成f 。
求证：c 与e 也是互质数，d 与f 是互质数。
因为a、b 互质，且a 自乘得c ，所以：c、b 互质。
因为c 和b 是互质数，b 自乘构成e ，所以：c 与e 是互质数（命题VII.25） 。
又，因为a 与b 是互质数，b 自乘构成e ，所以：a 与e 是互质数。
因为a 和b 两个数分别是b 和e 两个数的质数，所以：a 与c 的乘积是b 与e 的乘积的互质数，而a 与c 的乘积是d ，b 与e 的乘积是f （命题VII.26） 。
所以：d 与f 是互质数。
所以：如果两个数是互质数，每个自乘构成一个数，那么其乘积是互质数；如果原始数与乘积相乘构成一个数，那么后者也是互质数。
证完
注解
这一命题陈述如果两个数是互质数，那么，它们的乘方也是互质数。显然这是指正方形和正方体是互质数，这一命题应用在命题VIII.2中，任意乘方都需要互质数。这一命题的证明利用了上两个命题。假定a 和b 是互质数，于是两次应用命题VII.25。我们便可得a 2 和b 2 是互质数。
这一命题应用在命题VIII.2、VIII.3中。
命题VII.28
如果两个数是互质数，那么其和与它们也是互质数；又，如果两个数的和分别与两个数为互质数，那么两个原始数也是互质数。
设：两个互质数AB 和BC 相加。
求证：它们的和AC 与AB 和BC 也构成互质数。
假定：AC 和AB 不是互质数，那么数d 测尽AC 和AB 。
因为：d 测尽AC 和AB ，那么它也测尽余值BC ，同时也测尽AB 。
所以：d 测尽互质数AB 和BC ，这是不可能的（定义VII.12） 。
所以：没有数字可以测尽AC 和AB ，所以：AC 和AB 是互质数。
同样原因，AC 和BC 也是互质数。
所以：AC 分别是AB 和BC 的互质数。
下一步，令：AC 和AB 是互质数。
求证：AB 和BC 也是互质数。
假定AB 和BC 不是互质数，那么定有某个数d 测尽AB 和BC 。
因为d 分别测尽AB 和BC ，那么：它也测尽整个AC ，但它也测尽AB 。
所以：d 测尽互质数AC 和AB ，这是不可能的（定义VII.12） 。
所以：没有数可以测尽AB 和BC 。
所以：AB 和BC 是互质数。
所以：如果两个数互质，那么其和与它们也是互质数；又，如果两个数的和分别与两个数互质，那么两个原始数也是互质数。
证完
注解
这一命题应用在命题IX.15中。
命题VII.29
如果任意一个质数，不可测尽另一个质数，那么它们为互质数。
设：a 为质数，不可以测尽b ，
求证：b 和a 是互质数。
如果a 和b 不互质，那么定有某个数c 测尽它们。
因为c 测尽b ，而a 测不尽b ，所以：c 不等于a 。
那么，因为c 测尽b 和a ，于是，它也测尽质数a 。虽然它不等于a ，这是不可能的。
所以：没有数可以测尽b 和a 。
所以：a 和b 为互质数。
所以：如果任意一个质数，不可测尽另一个质数，那么它们为互质数。
证完
注解
这一命题应用在下一命题及命题IX.12和IX.36中。
命题VII.30
如果两个数相乘得另一个数，一个质数测尽该乘积，那么它也必测尽原始数中的一个。
设：两个数a 和b 相乘得c ，任意质数d 测尽c 。
求证：d 也测尽a 和b 中的任意一个。
假定它测不尽。
d 为质数，于是：a 和d 是互质数（命题VII.29） 。
令：在e 中有多个单位等于d 测尽c 的次数。
因为d 测尽c ，根据在e 中的整数，于是：d 与e 相乘得c （定义VII.15） 。
进一步，a 与b 相乘也得c ，于是d 与e 的乘积等于a 与b 的乘积。
所以：d 比a 等于b 比e （命题VII.19） 。
又d 与a 是互质数，而互质的二数是具有相同比的数对中最小的一对，且它的大小两数分别测尽具有同比的大小两数，所得的次数相同，且前项测尽前项，后项测尽后项。
所以：d 测尽b （命题VII.21、VII.20） 。
同理，也可以证明，如果d 测不尽b ，那么它将测尽a ，于是：d 测尽a 或b 中的一个。
所以：如果两个数相乘得另一个数，一个质数测尽该乘积，那么它也测尽原始数中的一个。
证完
注解
这一命题陈述的是：如果p 是一个质数，那么只要p 能除尽两个数的乘积，那么它也能除尽其中的一个数。这实际上是质数的性质，即没有合数能具有这一性质，比如c 为一个合数，c 可以除尽它们的乘积，但不能除尽两个因素中的任意一个。
假定质数d 除尽乘积ab 。
这个证明形式是有趣的，欧几里得陈述如果d 除不尽a ，那么，d 也除不尽b ，类似地，如果d 除不尽b ，那么d 也除不尽a 。所以它两个都除不尽。
假定d 除不尽a ，那么，根据命题VII.29，d 与a 互质。设e 是数ab /d ；那么d ∶a ＝b ∶e 。根据命题VII.21，比率d ∶a 是最小数对，所以根据命题VII.20，d 除尽b 。这一命题应用在命题IX.14中。
命题VII.31
任意一个合数可被一个质数测尽。
设：a 为合数。
求证：a 被某个质数所测尽。
因为：a 是非质数，于是某个数b 测尽它（定义VII.13） 。
如果b 是质数，那么命题成立（定义VII.13） 。
如果b 是非质数，某个数测尽它。令：c 测尽它（定义VII.11、VII.13） 。
那么，因为c 测尽b ，b 又测尽a ，所以：c 也测尽a 。
如果c 是质数，那么成立；但如果它是非质数，有某个数测尽它。
于是，如果继续这样推理，那么某个质数将会被发现，它可以在它之前测尽该数，也测尽a 。
如果没有被发现，那么，数的无穷序列测尽a ，每一个小于另一个，这在数理上是不可能的。
所以：某个质数将被发现，它可以测尽它之前的一个，也测尽a 。
所以：任意一个合数可被一个质数所测尽。
证完
注解
欧几里得没有解释不可能有某个数除尽前一个数的无穷序列，他只简单地说那是不可能的。这一命题应用在下一命题及命题IX.13和IX.20中。
命题VII.32
任何一个数，要么是质数，要么能被某质数测尽。
设：a 为这个数。
求证：a 要么是质数，要么能被某个质数所测尽。
如果a 是质数，那么这一命题成立。
而如果它是非质数，那么某个质数将测尽它（命题VII.31） 。
所以：任何一个数，要么是质数，要么能被某质数所测尽。
证完
注解
因为有前一命题，实际上这一命题没有必要。
命题VII.33
已知几个数，可以找到与它们比值相等的最小数对。
设：a、b 和c 是给定的数，可以任意给出更多。
现在要求的是：找出与a、b、c 同比值的最小数。
a、b、c 要么是质数，要么不是。
如果a、b、c 是互质数，那么它们就是与它们有相等比值的最小数对（命题VII.21） 。
如果不是，令：d 为a、b 和c 的最大公约数，且d 分别测a、b、c 多少次就分别设在e、f、g 中多少个单位（命题VII.3） 。
于是：根据在d 的单位，e、f 和g 分别测尽a、b 和c 。所以：e、f 和g 测尽a、b 和c 有相同的次数。
所以：e、f 和g 与a、b 和c 有相等比值（命题VII.16、定义VII.20） 。
以下进一步说明：它们是最小比值。
如果e、f 和g 不是a、b 和c 的最小比值，那么：还存在与a、b、c 成比值的小于e、f 和g 的数，令其为h、k 和l 。
于是：h 测尽a 与k 和l 分别测尽b 和c 的比值相等。
令：在m 中有多个单位，等于h 测尽a 的次数。
所以：依照m 中的单位数，k、l 分别测尽b、c 。
又，因为依照m 中的单位数，h 测尽a 。
同理，m 也测尽a 。
分别根据在k 和l 中的单位，m 也测尽b 和c 。
于是：m 测尽a、b 和c 。
因为根据在m 中的单位，h 测尽a ，于是：h 与m 相乘得a 。同理：e 与d 相乘得a （定义VII.15） 。
所以：e 和d 的乘积等于h 和m 的乘积。所以：e 比h 等于m 比d （命题VII.19） 。
而e 大于h ，于是：m 也大于d ，且测尽a、b 和c 。这是不可能的，这一假设不成立。
所以：d 是a、b 和c 的最大公约数。
所以：不存在小于e、f 和g 的数与a、b 和c 有相等比值。所以：e、f 和g 是与a、b 和c 有相等比值的最小数。
所以：已知几个数，可以找到与它们比值相等的最小数对。
证完
注解
这是一个不平常的命题，它讨论三个数或三个数以上的混合比例及比率问题，即a ∶b ∶c ＝e ∶f ∶g 。欧几里得认为这一命题成立，因为e、f、g 可以分别测尽a、b、c 有相等的次数d ，根据命题的定义，即a ∶e ＝b ∶f ＝c ∶g 。
这一命题应用在下一命题以及从命题VIII.6开始的几个命题中。
命题VII.34
给定两个数，能找出它们能测尽的数中的最小数。
设：a 和b 是两个给定的数。
现在要求的是：找出它们能测尽的数中的最小数。
a 和b 要么是互质数，要么不是。
首先，令其为互质数，a 与b 相乘得c 。
那么b 与a 相乘得c ，于是：a 和b 测尽c 。
以下进一步说明：该数是能被a、b 测尽的最小数。
如果不是最小，那么：a 和b 将测尽某个数d 小于c 。
令：在e 中有多个单位，等于a 测尽d 的次数。在f 中有多个单位，其次数等于b 测尽d 的次数。
那么：a 乘e 得d ，b 乘f 得d 。
所以：a 与e 的乘积等于b 与f 的乘积。所以：a 比b 等于f 比e （定义VII.15、命题VII.19） 。
又，a 和b 是互质数，互质数是同比数对中最小的一对，所以：b 测尽e 等于后项测尽后项（命题VII.21、VII.20） 。
又因为：a 乘b、e 得c、d ，所以：b 比e 等于c 比d 。
而b 测尽e ，所以：c 也测尽d 。大者测尽小者，这是不可能的（命题VII.17） 。
所以：a 和b 测不尽小于c 的任何数。所以：c 是a、b 可测尽的最小数。
进一步，令：a 和b 不是互质数，f 和e 是与a 和b 有相等比值的最小数。
于是：a 和e 相乘等于b 和f 相乘（命题VII.33、VII.19） 。
a 与e 相乘构成c ，那么：b 与f 相乘构成c 。所以：a 和b 测尽c 。
以下进一步说明：它们也是可测尽的最小数。
如果不是，那么a 和b 测尽某个数d 小于c 。
令：在g 中有多个单位，等于a 测尽d 的次数，在h 中有多个单位，等于b 测尽d 的次数。那么：a 乘以g 构成d ，b 乘以h 构成d 。于是：a 与g 的乘积等于b 与h 的乘积。于是：a 比b 等于h 比g （命题VII.19） 。
又，a 比b 等于f 比e ，于是：f 比e 等于h 比g （命题V.11） 。
又，f 和e 是最小互质数，并且最小数对的大小两数分别测尽具有同比的大小两数，所得次数相同。于是：e 测尽g （命题VII.20） 。
又，因为a 乘以e、g 分别得到c 和d ，于是：e 比g 等于c 比d （命题VII.17） 。
又，e 测尽g ，于是c 也测尽d 。较大数测尽较小数，这是不可能的。
所以：a 和b 测不尽小于c 的任何数。
所以：c 是a 和b 可测尽的最小数。
所以：给定两个数，能找出它们能测尽的数中的最小数。
证完
注解
这一命题应用在命题VII.36、VIII.4中。
命题VII.35
如果两个数能测尽某数，那么被它们测尽的最小数也能测尽这个数。
设：两个数a 和b 测尽一个任意数CD ，e 是它们测尽的最小数。
求证：e 也测尽CD 。
假如e 测不尽CD 。
如果e 测不尽CD ，得DF ，余CF 小于它自身。
那么，因为a 和b 测尽e ，e 测尽DF ，于是：a 和b 也测尽DF 。
但它们也测尽整个CD 。于是：它们能测尽小于e 的余值CF 。这是不可能的。
所以：e 不可能测不尽CD 。
所以：它测尽CD 。
所以：如果两个数测尽某数，那么被它们测尽的最小数也测尽这个数。
证完
注解
假定：a 和b 除尽c 。设e 是最小公约数。假设：e 除不尽c 。那么：从c 中反复减去e 得c ＝ke ＋f 。这里余值f 小于e ，且k 是某数。因为：a 和b 皆除尽c 和e ，它们也除尽f ，并使f 为一个小于公约数e 的公约数，这是矛盾的。所以：最小的公约数也除尽c 。
这一命题应用在下一个命题及命题VIII.4中。
命题VII.36
给定三个数，可以找到被它们测尽的最小数。
设：a、b 和c 为给定的数。
现在要求的是：找出被这三个数测尽的最小数。
令：d 为a 和b 两个数测尽的最小数（命题VII.34） 。
那么：c 或者测尽d ，或者不。
首先，令c 测尽d 。
由于a 和b 也测尽d ，于是a、b 和c 测尽d 。
以下进一步说明：它也是被测尽数中的最小数。
如果不是，a、b 和c 测尽某个小于d 的数e 。
因为a、b 和c 测尽e ，于是：a、b 测尽e 。于是：a 和b 测尽的最小数也测尽e （命题VII.35） 。
又，d 是a 和b 测尽的最小数，于是：d 测尽e ，大测尽小，这是不可能的。
所以：d 是a、b 和c 测尽的最小数。
下一步，设c 测不尽d 。
令：e 为c 和d 测尽的最小数（命题VII.34） 。
那么，因为a 和b 测尽d ，d 测尽e ，于是：a 和b 也测尽e 。
