又，c 也测尽e ，于是：a、b 和c 也测尽e 。
以下进一步说明它也是最小数。
假如不是，a、b 和c 测尽某个小于e 的数f 。
因为a、b 和c 测尽f ，于是a 和b 测尽f ，于是：a 和b 所测尽的最小数也测尽f 。而d 是a 和b 测尽的最小数，于是：d 测尽f 。
又，c 也测尽f ，于是：d 和c 测尽f 。
于是：d 和c 测尽的最小数也测尽f （命题VII.35） 。
又，e 是c 和d 测尽的最小数，于是：e 测尽f ，较大数测尽较小数，这是不可能的。
所以：a、b 和c 不能测尽小于e 的数。于是：e 是a、b 和c 可测尽的最小数。
所以：给定三个数，可以找到被它们测尽的最小数。
证完
注解
这一命题应用在VII.39中。
命题VII.37
如果一个数被某数所测尽，那么被测数中有一个部分，与这个数有同样的名称。
设：数a 被数b 测尽。
求证：在a 中有一个部分是b 。
令：b 测尽a 有多少次，就在c 中设多少个单位。
因为：依照c 中的单位数，b 测尽a 。
同理，d 测尽c 。
所以：整数d 测尽数c 与b 测尽a 有相等次数。
所以：交换后，整数d 测尽数b 与c 测尽a 有相等次数。
所以：无论单位d 是b 的怎样的一部分，c 也是a 的同样的一部分。
而单位d 是数b 的部分，与那一部分有相同的名称，所以：c 也是a 的部分，与之有相同的名称。所以：a 与b 的一部分有同样名称（命题VII.15） 。
所以：如果一个数被某数所测尽，那么被测数中有一个部分，与这个数有同样的名称。
证完
注解
本命题应用在命题VII.39的证明中。
命题VII.38
一个数，无论有怎样的一部分，它将被与该部分同名的数所测尽。
设：数a 有一部分b ，又设c 是与一部分b 同名的一个数。
求证：c 测尽a 。
因为：b 是a 的一部分，被称为与c 同名，单位d 也是c 的一部分。
于是：a 中的部分b 是单位c 中的单位d 的相同部分。于是：单位d 测尽c 与b 测尽a 有相等的次数。
所以：交换后，单位d 测尽数b 与c 测尽a 有相等的次数。所以：c 测尽a （命题VII.15） 。
所以：一个数，无论有怎样的一部分，它将被与该一部分同名的数所测尽。
证完
注解
本命题应用在下一命题的证明中。
命题VII.39
求已知的几个一部分的最小数。
设：a、b 和c 是给定的几个一部分。
现在要求的是：找到a、b 和c 的最小数。
令：d、e、f 是称为与几个一部分a、b、c 同名的数，且一个数，无论有怎样的一部分，它将被与该一部分同名的数所测尽。设取g 是被d、e、f 测尽的最小数（命题VII.36） 。
于是：g 有部分与d、e 和f 的部分同名（命题VII.37） 。
又，a、b 和c 是d、e 和f 的同名的几个一部分，于是：g 有几个一部分a、b、c 。
以下进一步说明：g 也是最小数。
假如不是，存在一个小于g 的数h ，有几个一部分a、b 和c 。
因为h 有a、b 和c 的部分，所以：h 被与a、b 和c 的部分同名的数测尽。
又，d、e 和f 与a、b 和c 的部分同名，所以：h 被d、e 和f 所测尽（命题VII.38） 。
又，h 小于g ，这是不可能的。
所以：没有小于g 的数有a、b 和c 的部分。
所以：a、b 和c 的最小数找到。
证完
第8卷
数论（二）
CHAPTER 8
公元前3世纪初叶，秦始皇“扫六合，吞八荒”统一了中国。当年，为了便于管理调度人数众多的军队，秦王运用了一种特殊的记数方法，人称“秦王暗点兵”：“秦兵列队，每列百人则余一人，九九人则余二人，百零一人则不足二人。问秦兵几何？”1966年，中国陈景润证明了“哥德巴赫猜想”之一：“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”。这一证明把数论研究推向了一个顶峰，在国际数学界也引起了强烈反响。
本卷继续讨论初等数论，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”。
本卷提要
※命题VIII.2、VIII.4，找出成连续比的数。
※命题VIII.22，正方形和立方体的诸比例关系。如三个数成连比，第一个数是个平方数，那么第三个数也一定是平方数。
命题VIII.1
有几个数成连续比例，且两外项互质，那么这些数是与它们有相等比的数组中最小的数组。
设：任意数a、b、c 和d 成连续比例，其外项a 和d 为互质数。
求证：a、b、c 和d 是与它们有相等比的数组中最小的数组。
假定不是，令：e、f、g 和h 小于a、b、c 和d ，并与它们有相等比。
那么因为：a、b、c 和d 与e、f、g 和h 有相等比，且a、b、c、d 的个数等于e、f、g、h 的个数，由首末比，a 比d 等于e 比h （命题VII.14） 。
又，a 与d 为互质数，互质数也是与它们有相等比的数中最小的，该一最小数测尽与它们有相等比的数，并有相同的次数，大测尽大，小测尽小。即前项测尽前项，后项测尽后项，并次数相等。
于是：a 测尽e ，大测尽小，这是不可能的（命题VII.21、VII.20） 。
所以：小于a、b、c 和d 的数e、f、g 和h 与它们没有相等比。
所以：a、b、c 和d 是与它们有相等比的最小数组。
所以：有几个数成连续比例，且两外项互质，那么这些数是与它们有相等比的数组中最小的数组。
证完
注解
欧几里得并没有定义连比例，这一命题可以用如下公式表示：
a 1 ∶a 2 ＝a 2 ∶a 3 ＝a 3 ∶a 4 ＝…＝a n -1 ∶a n 。
例如：1250∶750＝750∶450＝450∶270＝270∶162
它们每个的比都是相同的5∶3。
用现代数学描述方法即为：a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n -1 ，a n 是等比级数或等比序列，每个连续对的比是连续的。大量的等比级数出现在卷8、9中，等比级数之和出现在命题IX.35中。
这一命题应用在下一命题及命题VIII.9中，相反的命题则应用在命题VIII.3中。
命题VIII.2
根据规定的个数，可以求出连比例的且有已知比的最小数组。
设：a 比b 是给定的有已知比最小的数对。
求：按规定的数目求出成连比例的最小数组，其比等于a 比b 。
设：指定数目为四，a 自乘得c ，a 乘以b 得d ，b 自乘得e 。
设a 乘以c、d 和e 分别得f、g 和h ，b 乘以e 得k 。
那么，因为a 自乘得c ，且a 乘以b 得d ，所以：a 比b 等于c 比d （命题VII.17） 。
又，因为a 乘以b 得d ，且b 自乘得e ，所以：a 和b 分别乘以b 得d 和e 。
所以：a 比b 等于d 比e ，而a 比b 等于c 比d 。于是：c 比d 等于d 比e （命题VII.18） 。
又，因为a 乘以c 和d 分别得f 和g ，于是：c 比d 等于f 比g （命题VII.17） 。
而c 比d 等于a 比b ，于是a 比b 等于f 比g 。
又因为：a 乘以d、e 得g、h ，于是d 比e 等于g 比h 。
而d 比e 等于a 比b ，于是a 比b 等于g 比h （命题VII.17） 。
又，因为a、b 乘以e 得h、k ，所以：a 比b 等于h 比k 。
而a 比b 等于f 比g ，又等于g 比h ，所以：f 比g 等于g 比h ，又等于h 比k （命题VII.18） 。
所以：c、d、e 和f、g、h、k 皆成连比例，并其比与a 比b 相等。
以下进一步说明：它们是已知比的最小数。
因为a 和b 是与它们有同比的最小数，有同比的最小数是互质数，所以：a 和b 是互质数（命题VII.22） 。
又，数a 和b 分别自乘得到c 和e ；a、b 分别乘以c、e 得f、k ，于是：c、e 和f、k 皆为互质数（命题VII.27） 。
又，如果有众多成连比例的数，且它们的两外项互质，那么这些数是与它们有相同比的数中最小的数组。
所以：c、d、e 和f、g、h、k 皆是与a 比b 有相同比的数中最小的数组（命题VIII.1） 。
所以：根据规定的个数，可以求出连比例的且有已知比的最小数组。
证完
推论
这一命题也表明，如果三个成连比的数是与它们有同比的数中的最小数，那么它们的两外项是平方数；如果是四个成连比的数，那么外项是立方数。
注解
这一命题是在连续比例中给定一个连续比建造n 个数，在连续比例中，最低项给定一个连续比，如果a ∶b 是最低项，那么成连比的数是：a n -1 ，a n -2 b ，a n -3 b 2 ，…，ab n -2 ，b n -1 。
例如：从24，23·3，22·32，2·33，34的序列中，成连比的五个数的最低项是2∶3，即序列是16，24，36，54，81。
因为a 和b 是互质数，命题VII.27暗示末项a n -1 和b n -1 是互质数。这一结论也从前一命题VIII.1中得来。
这一命题及推论应用在从下一命题开始的几个命题中，也在下一卷的命题IX.15中出现。
命题VIII.3
如果成连比例的数是诸个数中与它们有相同比的最小者，那么它们的外项是互质数。
设：a、b、c、d 是成比例的数，且是与它们有相同比的数中最小的。
求证：它们的外项a 和d 是互质数。
作两个数e 和f ，使其为与a、b、c、d 有相同比的最小数，然后取另三个数g、h 和k 与它们有共同性质：e 自乘得g ，e 乘以f 得h ，f 自乘得k 。以此类推，直至个数等于a、b、c、d 的个数。令其为l、m、n、o （命题VII.33、VIII.2） 。
因为e 和f 是与它们有相同比的最小数，于是：它们是互质数。
又，因为数e 和f 自乘分别得数g 和k ，e、f 乘以g、k 分别得l 和o 。
于是：g 和k 与l 和o 是互质数（命题VII.22、VIII.2及其推论、VII.27） 。
又，a、b、c、d 是与它们有相同比的数中最小数，同时l、m、n、o 是与a、b、c、d 有相同比的数中最小数，且a、b、c、d 的个数等于l、m、n、o 的个数。
于是：数a、b、c、d 分别等于l、m、n、o 。
所以：a 等于l ，d 等于o 。
又，l 和o 是互质数，于是：a 和d 也是互质数。
所以：如果成连比的数是诸个数中与它们有相同比的最小者，那么它们的外项是互质数。
证完
注解
这一命题是VIII.1的逆命题，如果有恒比的连比是最小公约数，那么，它的末项是互质的。这一命题应用在命题VIII.6、VIII.8、VIII.21中。
命题VIII.4
已知由最小数给出的几个比，求出成连比例的几个数，它们是有已知比中的最小数组。
设：给出的最小比数是a 比b、c 比d、e 比f 。
现在要求的是：求出成连比例的最小数组，使得它们的比是a 比b、c 比d 和e 比f 。
作g ，使它为b、c 测尽的最小数（命题VII.34） 。
令：a 测尽h 的次数等于b 测尽g 的次数、d 测尽k 的次数等于c 测尽g 的次数。
现在，e 要么测尽k ，要么测不尽。
首先，令其测尽，f 测尽l 的次数等于e 测尽k 的次数。
那么，因为a 测尽h 的次数等于b 测尽g 的次数，所以：a 比b 等于h 比g （定义VII.20、命题VII.13） 。
同理，c 比d 等于g 比k ，e 比f 等于k 比l 。
所以：h、g、k 和l 是依a 比b、c 比d 和e 比f 成连续比例的数组。
以下进一步说明：它们也是有这个性质的最小数组。
如果h、g、k 和l 仅仅是依a 比b、c 比d 和e 比f 成连比，而不是最小的数组，那么，设这个最小数组为n、o、m、p 。
那么，因为a 比b 等于n 比o ，同时a 和b 是最小数组，而有相同比的一对最小数分别测尽其他数组，大的测尽大的，小的测尽小的，并有相同次数。即前项测尽前项，后项测尽后项，其次数相同。所以：b 测尽o （命题VII.20） 。
同理，c 也测尽o 。所以：b 和c 测尽o 。
所以：被b、c 测尽的最小数也测尽o （命题VII.35） 。
但g 是被b、c 测尽的最小数，所以：g 测尽o ，大测尽小。这是不可能的。
所以：没有数小于h、g、k 和l 的数组能依a 比b、c 比d 和e 比f 成连续比例。
下一步，令e 测不尽k 。
作m ，使其为被e 和k 所测尽的最小数。
又，h 和g 测尽n 和o 的次数等于k 测尽m 的次数，f 测尽p 的次数等于e 测尽m 的次数。
因为h 测尽n 的次数等于g 测尽o 的次数，所以：h 比g 等于n 比o 。
而h 比g 等于a 比b ，所以：a 比b 等于n 比o 。同理，c 比d 等于o 比m （命题VII.13） 。
又，因为e 测尽m 的次数等于f 测尽p 的次数，于是：e 比f 等于m 比p 。
于是：n、o、m 和p 是依a 比b、c 比d、e 比f 成连续比例的数组（命题VII.13、定义VII.20） 。
以下进一步说明：它们也是依a 比b、c 比d 和e 比f 成连续比例的最小数组。
如果不是，那又依照a 比b、c 比d、e 比f 成连续比的数组小于n、o、m 和p 。令其为q、r、s 和t 。
那么，因为q 比r 等于a 比b ，同时a 比b 是最小数，最小数测尽与它们有相同比的数有相同的次数，前项测尽前项与后项测尽后项的次数相同。
于是：b 测尽r 。同理，c 也测尽r 。所以：b 和c 测尽r （命题VII.20） 。
所以：被b 和c 测尽的最小数也测尽r 。而g 是被b 和c 测尽的最小数，所以：g 测尽r （命题VII.35） 。
又，g 比r 等于k 比s ，所以：k 也测尽s （命题VII.13） 。
而e 也测尽s ，所以：e 和k 测尽s 。
所以：被e 和k 测尽的最小数也测尽s 。而m 是被e 和k 测尽的最小数，所以m 测尽s ，大测尽小，这是不可能的（命题VII.35） 。
所以：没有依照a 比b、c 比d 和e 比f 成连续比的数组小于n、o、m 和p 。
所以：n、o、m、p 是依照a 比b、c 比d 以及e 比f 成连续比例的最小数组。
所以：已知由最小数给出的几个比，求出成连比例的几个数，它们是有已知比中的最小数组。
证完
注解
这一命题是对命题VIII.2的归纳，对连续比陈述更为普遍的概念。在命题中，我们认识到连续比不一定有恒比，这或许可以称为连续比。比如连续比5∶10∶20有一个恒比1∶2，但如果是连续比5∶10∶30就没有恒比了，首先的是一个1∶2，然后第二个则是1∶3。注意，连比5∶10∶30不是给定比的最小数，因为1∶2∶6等比1∶2和1∶3。
这里的问题是根据指定的比建最小的连续比。
本命题应用在下一命题中，也用在命题X.12中。
命题VIII.5
平面数的相互比，是它们的边比的平方比。
设：a 和b 是平面数，c 和d 是a 的边，e 和f 是b 的边。
求证：a 与b 的比等于边比的平方比。
c 比e 和d 比f 是给定的比，作最小数组g、h 和k ，使它们依c 比e、d 比f 成连续比，于是：c 比e 等于g 比h ，d 比f 等于h 比k （命题VIII.4） 。
用d 乘以e 得l 。
那么，因为d 乘以c 得a ，d 乘以e 得l ，于是：c 比e 等于a 比l 。
而c 比e 等于g 比h ，于是：g 比h 等于a 比l （命题VII.17） 。
又，因为e 乘以d 得l ，e 乘以f 得b ，所以：d 比f 等于l 比b 。
而d 比f 等于h 比k ，所以：h 比k 等于l 比b （命题VII.17） 。
又，已证得g 比h 等于a 比l ，所以：由首末比，g 比k 等于a 比b （命题VII.14） 。
而g 比k 的比是边比的平方比，所以：a 比b 的比也是边比的平方比。
所以：平面数的相互比，是它们的边比的平方比。
证完
命题VIII.6
有任意多的连续比例数，如果第一个数量不尽第二个数，那么任何一个数也量不尽其他的任何数。
设：a、b、c、d 和e 是成连续比例的数，a 量不尽b 。
求证：任何一个数也量不尽任何一个其他数。
显而易见，a、b、c、d 和e 相互测不尽，因为a 量不尽b 。
以下进一步说明：任何一个数也量不尽任何一个其他数。
如果可能，a 能测尽c ，于是无论有几个a、b、c ，就能取多少个数f、g、h ，令它们是与a、b、c 有相同比中的最小数组（命题VII.33） 。
因为f、g 和h 与a、b、c 有相同比，且a、b、c 的个数等于f、g、h 的个数。
所以：由首末比，a 比c 等于f 比h （命题VII.14） 。
又，因为a 比b 等于f 比g ，同时a 量不尽b ，所以：f 也量不尽g 。所以：f 不是一个单位，因为一个单位可以测尽任何数（定义VII.20） 。
那么，现在f 和h 是互质数，f 比h 等于a 比c ，所以：a 也测不尽c （命题VIII.3） 。
类似地，我们也能证明任何一个数测不尽其他数。
所以：有任意多的连续比例数，如果第一个数量不尽第二个数，那么任何一个数也量不尽其他的任何数。
证完
注解
本命题作为后面命题的推理。
命题VIII.7
在一组成连比的数中，如果第一个数测尽末尾的数，那么它也测尽第二个数。
设：成连比的数是a、b、c、d ，a 测尽d 。
求证：a 也测尽b 。
如果a 测不尽b ，任何一个数也测不尽其他数。
但a 测尽d ，所以a 也测尽b （命题VIII.6） 。
所以：在一组成连比的数中，如果第一个数测尽末尾的数，那么它也测尽第二个数。
证完
注解
本命题应用在命题VIII.14、VIII.15中。
命题VIII.8
如果在两数之间插入几个与它们成连比的数，那么，无论插入它们中的数有多少，在与原来的两数有同比的两数之间也能插入多少个成连比的数。
设：a、b 两数，c 和d 插进它们中间成连比，e 比f 等于a 比b 。
求证：在a、b 间插入多少个成比例的数，也就能在e、f 之间插入同样多的成连比的数。
因为有多少个数a、b、c、d ，就取多少个数g、h、k、l ，使其为与a、c、d、b 有同比的数组中最小的数组。于是：它们的两端g、l 是互质数（命题VII.33、VIII.3） 。
现在因为a、c、d、b 与g、h、k、l 有同比，且数a、c、d、b 的个数等于g、h、k、l 的个数，所以，由首尾比，a 比b 等于g 比l （命题VII.14） 。
而a 比b 等于e 比f ，于是：g 比l 等于e 比f 。而g、l 互质，互质的数组是同比中的最小数组。且有相同比的数中最小的一对，分别测尽其他各数对，大的测尽大的，小的测尽小的，有相同次数。即前项测尽前项与后项测尽后项的次数相同（命题VII.21、VII.20） 。
所以，g 量e 与l 量f 的次数相同。
进一步，g 测尽e 有多少次，就设h、k 分别测尽m、n 也有多少次，所以：g、h、k、l 测尽e、m、n、f 有同样的次数。
所以：g、h、k、l 与e、m、n、f 有相同的比（定义VII.20） 。
而g、h、k、l 与a、c、d、b 有相同的比，所以，a、c、d、b 也与e、m、n、f 有相同的比。a、c、d、b 成连比，所以：e、m、n、f 也成连比。
所以：在a、b 之间插入多少个与它们成连比的数，那么，也能在e、f 之间插入多少个成连比的数。
所以：如果在两数之间插入几个与它们成连比的数，那么，无论插入它们中的数有多少，在与原来的两数有同比的两数之间也能插入多少个成连比的数。
证完
注解
虽然这一命题未在卷8中再被利用，但它应用在卷9开始的六个命题中。
命题VIII.9
如果两个数互质，且插入它们之间的一些数成连比。那么这样一些成比例的数无论有多少个，在互质两数的每一个数和单位之间同样有多少个成连比的数。
设：a 和b 是两个互质数，c 和d 是插入其间的两个成连比的数，单位为e 。
求证：在a、b 之间成连比例的数有多少个，则在数a、b 之间的每一个与单位e 之间成连比的数同样有多少个。
作两个数f 和g ，使其为与a、c、d、b 有相同比的最小数组，再取同样性质的三个数h、k、l 。依次类推，直至它们的个数等于a、c、d、b 的个数，令其为m、n、o、p （命题VIII.2） 。
那么现在表明：f 自乘得h ，f 乘以h 得m ，同时g 自乘得l ，g 乘以l 得p （命题VIII.2及其推论） 。
又因为：m、n、o、p 是与f、g 有相同比的最小数组，a、c、d、b 也是与f、g 有相同比的最小数组。
同时，m、n、o 和p 的个数等于a、c、d、b 的个数，所以：m、n、o、p 分别等于a、c、d、b 。所以：m 等于a ，p 等于b （命题VIII.1） 。
那么，因为f 自乘得h ，所以：依照在f 中的单位数，f 测尽h 。
而按照f 中的单位数，e 也测尽f ，所以：单位e 测尽f 与f 测尽h 有相等的次数。
所以：单位e 比f 等于f 比h （命题VII.20） 。
又，因为f 乘以h 得m ，所以：依照在f 中的单位数，h 测尽m 。
而根据f 中的单位数，单位e 也测尽数f ，所以：单位e 测尽f 的次数等于h 测尽m 的次数。
所以：单位e 比f 等于h 比m 。
又因为：单位e 比f 等于f 比h 。
又已经证得单位e 比f 等于f 比h ，且等于h 比m 。
而m 等于a ，所以：单位e 比f 等于f 比h ，且等于h 比a 。
同样，单位e 比g 等于g 比l ，且等于l 比b 。
所以：插在a、b 之间有多少个成连比的数，那么插在a、b 每一个与单位e 之间成连比的数也有多少个。
所以：如果两个数互质，且插入它们之间的一些数成连比。那么这样一些成比例的数无论有多少个，在互质两数的每一个数和单位之间同样有多少个成连比的数。
证完
命题VIII.10
如果插在两个数中的每一个与一个单位之间一些数成连比，那么无论插入它们中间的数有多少，与插入这两个数之间的也有同样多的成连比的数。
设：数d、e 与f、g 分别插入两个数a、b 与单位c 之间并构成连续比例。
求证：插入a、b 之间成连续比例的数量与a、b 与单位c 之间成连续比例的个数相等。
令：d 乘以f 得h ，数d、f 分别乘以h 得k、l 。
那么，因为单位c 比数d 等于d 比e ，所以：单位c 测尽数d 与d 测尽e 有相同的次数。
而根据d 中的单位数，c 测尽数d ，所以：根据d 中的单位数，数d 也测尽e ，所以：d 自乘得e （定义VII.20） 。
又，因为c 比d 等于e 比a ，所以：单位c 测尽d 与e 测尽a 有相同的次数。
而根据在d 中的单位数，单位c 测尽数d ，所以：根据在d 中的单位数，e 也测尽a 。所以：d 乘以e 得a 。
同理，f 自乘得g ，f 乘以g 得b 。
又，因为d 自乘得e ，d 乘以f 得h ，所以：d 比f 等于e 比h （命题VII.17） 。
同样，d 比f 等于h 比g ，所以：e 比h 等于h 比g （命题VII.18） 。
又，因为d 乘以e、h 分别得a、k ，所以：e 比h 等于a 比k 。而e 比h 等于d 比f ，所以：d 比f 等于a 比k （命题VII.17） 。
又，因为数d、f 分别乘以h 得k 和l ，所以：d 比f 等于k 比l 。而d 比f 等于a 比k ，所以：a 比k 等于k 比l 。
进一步，因为f 乘以数h 和g 分别得l 和b ，所以：h 比g 等于l 比b （命题VII.18、VII.17） 。
而h 比g 等于d 比f ，所以：d 比f 等于l 比b 。
前面已经证明d 比f 等于a 比k ，且等于k 比l ，所以：a 比k 等于k 比l ，且等于l 比b ，所以：a、k、l、b 成连续比例。
所以：在a、b 分别与单位c 之间成连比的数的个数，等于a、b 之间的成连比的个数。
所以：如果插在两个数中的每一个与一个单位之间一些数成连比，那么无论插入它们中间的数有多少，与插入这两个数之间的也有同样多的成连比的数。
证完
命题VIII.11
在两个平方数之间存在一个比例中项数，两平方数之比，等于它们的边与边的二次比。
设：a 和b 是两个平方数，c 是a 的边，d 是b 的边。
求证：在a 和b 之间有一个比例中项数，且a 比b 等于c 与d 的比的平方。
令：c 乘以d 得e 。
那么，因为a 是平方数，c 是它的边，所以：c 自乘得a 。同理，d 自乘得b 。
因为c 乘以数c、d 分别得a、e ，于是：c 比d 等于a 比e （命题VII.17） 。
同理：c 比d 等于e 比b 。所以：a 比e 等于e 比b 。所以：在a、b 之间有一个比例中项（命题VII.18） 。
那么进一步说：a 比b 等于c 比d 的平方。
因为a、e、b 是成比例的数，所以：a 比b 等于a 比e 的平方（定义V.9） 。
而a 比e 等于c 比d ，所以：a 比b 等于c 比d 的平方。
所以：在两个平方数之间存在一个比例中项数，两平方数之比，等于它们的边与边的二次比。
证完
注解
本命题应用在命题VIII.14、VIII.15、X.9中。
命题VIII.12
在两个立方数之间，有两个比例中项数，且两个立方数之比等于它们的边的三次比。
设：a 和b 是两个立方数，c 为a 的边，d 为b 的边。
求证：在a、b 之间有两个比例中项，且a 比b 等于c 比d 的立方。
令：c 自乘得e ，c 乘以d 得f ；d 自乘得g ，c、d 乘以f 分别得h、k 。
那么，因为a 是立方数，c 是它的边，c 自乘得e ，所以：c 自乘得e ，c 乘以e 得a 。
同样原因，d 自乘得g ，d 乘以g 得b 。
又，因为c 乘以c、d 分别得e、f ，所以：c 比d 等于e 比f 。同理，c 比d 也等于f 比g ，因为c 乘以e 和f 分别得a 和h ，所以：e 比f 等于a 比h 。
而e 比f 等于c 比d ，所以：c 比d 等于a 比h （命题VII.17、VII.18） 。
又，因为数c、d 乘以f 分别得h、k ，所以：c 比d 等于h 比k 。因为d 乘以f、g 分别得k、b ，所以：f 比g 等于k 比b （命题VII.18、VII.17） 。
又，f 比g 等于c 比d ，所以：c 比d 等于a 比h ，且等于h 比k ，再等于k 比b 。
所以：h 和k 是a、b 之间的两个比例中项。
以下进一步说明：a 比b 等于c 比b 的三次比。
因为a、h、k 和b 是四个成比例的数，所以：a 比b 等于a 比h 的三次比（定义V.10） 。
又，a 比h 等于c 比d ，所以：a 比b 也是c 比d 的三次比。
所以：在两个立方数之间，有两个比例中项数，且两个立方数之比等于它们的边的三次比。
证完
注解
本命题应用在命题VIII.15中。
命题VIII.13
如果成连比的数每个自乘得到某一些数，那么，它们的乘积也成比例；如果原始数乘以乘积得到某组数，那么后者也成比例。
设：a、b、c 是成连比的数，a 比b 等于b 比c ；a、b、c 各自乘，分别得到d、e、f ，再a、b、c 分别乘以d、e、f ，得到g、h、k 。
求证：d、e、f 和g、h、k 分别成连续比例。
设a 乘以b 得l ，a、b 分别乘以l 得m、n 。b 乘以c 得o ，b、c 分别乘以o 得p、q 。
于是，类同前面所述，我们能证明d、l、e 和g、m、n 和h 依照a 比b 的比也成连比，进一步，e、o 和f 以及h、p、q 和k 也依照b 比c 的比成连比。
那么，a 比b 等于b 比c ，所以：d、l、e 与e、o、f 有相同比，进一步，g、m、n、h 与h、p、q、k 有相同比。
d、l、e 的个数等于e、o、f 的个数，g、m、n、h 的个数等于h、p、q、k 的个数，所以：根据首末比，d 比e 等于e 比f ，g 比h 等于h 比k （命题VII.14） 。
所以：如果成连比的数每个自乘得到某一些数，那么，它们的乘积也成比例；如果原始数乘以乘积得到某组数，那么后者也成比例。
证完
命题VIII.14
如果一个平方数测尽另一个平方数，那么它们的一个边也测尽另一个边；同时，如果两平方数的一个边测尽另一个边，那么其中一个平方数也测尽另一个平方数。
设：a 和b 是平方数，c 和d 分别是它们的边，a 测尽b 。
求证：c 也测尽d 。
设：c 乘以d 得e 。那么，a、e、b 依照c 与d 的比成连比例（命题VIII.11） 。
又，因为a、e、b 成连比，a 测尽b ，所以：a 也测尽e 。而a 比e 等于c 比d ，所以：c 测尽d （命题VIII.7、定义VII.20） 。
下一步，令c 测尽d 。
求证：a 也测尽b 。
在同一结构中，我们能用类似的方法证明a、e、b 是依照c 与d 的比成连比，且因为c 比d 等于a 比e ，c 测尽d ，所以：a 也测尽e （定义VII.20） 。
又，a、e、b 是连续比，所以：a 也测尽b 。
所以：如果一个平方数测尽另一个平方数，那么它们的一个边也测尽另一个边；同时，如果两平方数的一个边测尽另一个边，那么其中一个平方数也测尽另一个平方数。
证完
注解
本命题是命题VIII.16的对换命题。
命题VIII.15
如果一个立方数测尽另一个立方数，那么它们的边也能测尽；如果两个立方数的边能测尽，那么该两立方数也能测尽。
设：立方数a 测尽立方数b ，c 为a 的边，d 为b 的边。
求证：c 测尽d 。
令：c 自乘得e ，d 自乘得g ，c 乘以d 得f ，c、d 乘以f 分别得h 和k 。
显然，e、f、g 和a、h、k、b 是依照c 与d 的比成连比例的，又因为a、h、k、b 成连比，a 测尽b ，所以：它也测尽h （命题VIII.11、VIII.12、VIII.7） 。
又，a 比h 等于c 比d ，所以：c 也测尽d （定义VII.20） 。
下一步，令：c 测尽d 。
那么：a 也测尽b 。
在同一结构中，我们也能类似地证明a、h、k、b 是依照c 与d 之比构成的连比。
又，因为c 测尽d ，c 比d 等于a 比h ，所以：a 也测尽h 。
所以：a 也测尽b （定义VII.20） 。
所以：如果一个立方数测尽另一个立方数，那么它们的边也能测尽；如果两个立方数的边能测尽，那么该两立方数也能测尽。
证完
螺旋
人类在不同的历史时代、社会文化和哲学观念背景下，以不同的材料和表现技法，在不同的功能目的驱使下，创造出无数具有螺旋纹或螺旋构造的艺术作品。综观艺术领域中螺旋纹样的创作，展现在眼前的是一幅历史悠久、形式丰富和内容庞大的史诗般的画面。人类对螺旋纹的反复创作和表现不仅仅是因为它的迷人造型，更因为人类从螺旋构造中感悟到了物质与精神之间的内在哲理。
注解
本命题是命题VIII.17的对换命题。
命题VIII.16
如果一个平方数量不尽另一个平方数，那么它们的边也不能测尽；如果一个平方数的边量不尽另一个平方数的边，那么该平方数也不能测尽另一平方数。
设：a、b 为平方数，c 和d 分别为它们的边，a 量不尽b 。
求证：c 也量不尽d 。
假定c 测尽d ，a 也测尽b 。
而a 量不尽b ，于是：c 也量不尽d （命题VIII.14） 。
又设c 量不尽d ，则可证a 也量不尽b 。
如果a 测尽b ，于是：c 也测尽d 。
但是c 量不尽d ，所以：a 也量不尽b 。
所以：如果一个平方数量不尽另一个平方数，那么它们的边也不能测尽；如果一个平方数的边量不尽另一个平方数的边，那么该平方数也不能测尽另一平方数。
证完
注解
本命题是命题VIII.14的简单对换命题。
