命题VIII.17
如果一个立方数量不尽另一个立方数，那么它们的边也不能测尽另一立方数的边；如果一个立方数的边不能测尽，那么该立方数也不能测尽另一个立方数。
设：立方数a 量不尽立方数b ，c 为a 的边，d 为b 的边。
求证：c 量不尽d 。
因为：c 测尽d ，于是：a 也测尽b 。而a 量不尽b ，所以：c 也量不尽d （命题VIII.15） 。
下一步，c 量不尽d 。
求证：a 也量不尽b 。
假定a 测尽b ，于是c 也测尽d ，而c 量不尽d ，于是：a 也量不尽b （命题VIII.15） 。
所以：如果一个立方数量不尽另一个立方数，那么它们的边也不能测尽另一立方数的边；如果一个立方数的边不能测尽，那么该立方数也不能测尽另一立方数。
证完
注解
本命题是命题VIII.15的简单对换命题。
命题VIII.18
在两个相似平面数之间有一个比例中项，则两个平面数的比是相应边的比的二次方。
设：a 和b 是两个相似平面数，c、d 是a 的两边，e、f 是b 的两边。
那么因为：相似平面数的对应边成比例，所以：c 比d 等于e 比f （定义VII.21） 。
进一步，在a、b 之间，有一个比例中项数，a 比b 的比，是对应边c 比e 或者d 比f 比的二次方。
那么，因为c 比d 等于e 比f ，于是：由更比，c 比e 等于d 比f （命题VII.13） 。
又，因为a 是平面数，c 和d 是它们的边，所以：d 乘以c 得a 。同理，e 乘以f 得b 。
设d 乘以e 得g ，于是，因为d 乘以c 得a ，d 乘以e 得g ，于是：c 比e 等于a 比g （命题VII.17） 。
又，c 比e 等于d 比f ，所以：d 比f 等于a 比g 。
因为e 乘以d 得g ，e 乘以f 得b 。
d 比f 等于g 比b 。同时，d 比f 等于a 比g ，所以，a 比g 等于g 比b 。
所以：a、g、b 成连续比。
所以：在a、b 之间，有一个比例中项。
进一步说，a 比b 也是对应边的二次比，等于c 比e 或者d 比f 的二次比。
因为：a、g、b 成连续比，a 比b 等于a 比g 的二次比。且a 比g 等于c 比e ，也等于d 比f 。
所以，a 比b 等于c 比e 或d 比f 的二次比（定义V.9） 。
所以：在两个相似平面数之间有一个比例中项，则两个平面数的比是相应边的比的二次方。
证完
原子构图
1945年8月6日，人类打开了黑暗的原子世界，原子的种种奥秘势将魂萦梦绕于20世纪。但“原子”成为哲学家们所关心的最神秘的东西已有两千年之久。在古希腊哲学家德谟克里特眼里，原子是构成事物而又自身不变的物质元素或微粒。万物的本原是原子和虚空，德谟克里特所说的原子是一种最小的、不可见的、不能再分的物质微粒。虚空是原子的运动场所，也是实在的存在。原子在虚空中急剧零乱地依直线运动。由于原子的大小、形态、次序和位置不同，原子彼此的碰撞结合成世界万物。原子并不是被人或神创造出来的，它是永恒的，不生不灭，不可破坏的。
注解
本命题应用在本卷下一命题开始的几个命题中，也用在卷9开始的两个命题中。命题VIII.20中有本命题的部分逆命题。
命题VIII.19
在两个相似的立体数之间，有两个比例中项数，且两个立体数之间的比等于它们对应边的三次比。
设：a 和b 为两个相似的立体数，c、d、e 为a 的边，f、g、h 为b 的边。
现在，因为相似立体数的对应边成比例，所以：c 比d 等于f 比g ，d 比e 等于g 比h （定义VII.21） 。
求证：在a、b 之间必有两个比例中项，且a 比b 是c 比f、d 比g 或者e 比h 的三次比。
令：c 乘以d 得k ，f 乘以g 得l 。
那么，因为c、d 与f、g 有相同比，而k 是c 和d 的乘积，l 是f 和g 的乘积，k 和l 是相似平面数，所以：在k 和l 之间有一个比例中项m （定义VII.21、命题VIII.18） 。
所以：m 是d 和f 的乘积，在前述的命题中已被证明（命题VIII.18） 。
现在，因为，d 乘以c 得k ，d 乘以f 得m ，所以：c 比f 等于k 比m 。
而k 比m 也等于m 比l ，所以：k、m、l 是依照c 与f 的比成连比（命题VII.17） 。
又，因为c 比d 等于f 比g ，所以，由更比，c 比f 等于d 比g 。同理，d 比g 等于e 比h （命题VII.13） 。
所以：k、m、l 是依照c 比f 构成连续比例，其比等于d 比g ，也等于e 比h 。
再一步，令：e、h 乘以m 分别得n、o 。
那么，因为a 是一个立体数，而c、d、e 是它们的边，所以：e 乘以c、d 之乘积得a 。
而c、d 之积是k 。
所以：e 乘以k 得a 。
同理，h 乘以l 也得b 。
现在，因为e 乘以k 得a ，e 乘以m 得n ，所以：k 比m 等于a 比n （命题VII.17） 。
而k 比m 等于c 比f ，也等于d 比g ，再等于e 比h ，所以：c 比f 等于d 比g ，等于e 比h ，再等于a 比n 。
又，因为e、h 乘以m 分别得n、o ，所以：e 比h 等于n 比o （命题VII.18） 。
而e 比h 等于c 比f ，等于d 比g ，所以：c 比f 等于d 比g ，等于e 比h ，等于a 比n ，再等于n 比o 。
又，因为h 乘以m 得o ，h 乘以l 得b ，所以：m 比l 等于o 比b 。
而m 比l 等于c 比f ，等于d 比g ，再等于e 比h 。
所以：c 比f 等于d 比g ，再等于e 比h ，也等于o 比b ，等于a 比n ，再等于n 比o （命题VII.17） 。
所以：a、n、o、b 成连比，其比是前面所述的边的比。
那么：a 比b 也是对应边的三次比，即c 比f ，或者d 比g ，或者e 比h 的三次方。
因为，a、n、o、b 是四个连比数，所以，a 比b 是a 比n 的三次方。而已经证明a 比n 等于c 比f ，也等于d 比g ，再等于e 比h （定义V.10） 。
所以：a 比b 是其对应边的比的三次方，即c 比f ，或d 比g ，或e 比h 的三次方。
所以：在两个相似的立体数之间，有两个比例中项数，且两个立体数之间的比等于它们对应边的三次比。
证完
注解
本命题应用在卷8、9的几个命题中。命题VIII.21是本命题的部分逆命题。
命题VIII.20
如果一个比例中项落在两个数之间，那么，该两数是相似平面数。
设：一个比例中项数c 落在两个数a、b 之间。
求证：a、b 是相似平面数。
令：作d 和e ，使之为与a 与b 的比相等的最小数对，那么d 测尽a 与e 测尽c 有相同的次数（命题VII.33、VII.20） 。
再令：在f 中的单位数，与d 测尽a 的次数相同。那么，f 乘以d 得a ，所以：a 是平面数，且d 和f 是它的边。
又，因为d、e 是与c、b 同比中的最小数对，所以：d 测尽c 的次数等于e 测尽b 的次数（命题VII.20） 。
再令g 中的单位数，等于e 测尽b 的次数，那么：根据g 中的单位数，e 测尽b 。所以：g 乘以e 得b 。
所以：b 是平面数，e、g 是它的边。
所以：a 和b 是平面数。
以下进一步说明：它们是相似的。
因为f 乘以d 得a ，f 乘以e 得c ，所以：d 比e 等于a 比c ，也等于c 比b （命题VII.17） 。
又，因为e 乘以f、g 分别得c、b ，所以：f 比g 等于c 比b 。
而c 比b 等于d 比e ，所以：d 比e 等于f 比g ，由更比，d 比f 等于e 比g （命题VII.17、VII.13） 。
所以：a 和b 是相似平面数，因为它们的边是成比例的。
所以：如果一个比例中项落在两个数之间，那么，该两数是相似平面数。
证完
注解
本命题应用在本卷的下两个命题中，也应用在命题IX.2中。
命题VIII.21
如果两个比例中项数落在两个数之间，那么该两数是相似立体数。
设：两个比例中项数为c 和d ，它们落在数a 和b 之间。
求证：a、b 两数是相似立体数。
令：作三个数e、f、g 使其为与a、c、d 有相等比的最小数对。那么：它们的首尾项e、g 是互质数（命题VII.33、VIII.2、VIII.3） 。
现在，因为一个比例中项数f 落在e 和g 之间，所以：e 和g 是相似平面数（命题VIII.20） 。
那么，再令h、k 为e 的边，l、m 为g 的边。
于是：从前述命题得到，e、f 和g 是连比，其比等于h 比l ，也等于k 比m 。
现在，因为e、f 和g 是与a、c、d 有相等比的最小数对，数e、f、g 的个数等于数a、c、d 的个数，于是，由首末比得，e 比g 等于a 比d （命题VII.14） 。
又，e 和g 是互质数，互质数是同比中的最小数对，且有相同比的数中最小数对能分别测尽其他数对，大的测尽大的，小的测尽小的，即前项测尽前项，后项测尽后项，并测得相等的次数。
所以：e 测尽a 与g 测尽d 有相等次数（命题VII.21、VII.20） 。
令：在n 中的单位数，等于e 测尽a 的次数。
那么：n 乘以e 得a 。而e 是h 和k 的乘积，所以：n 乘以h 和k 的乘积得a 。
所以：a 是立体数，且h、k、n 是它的边。
又，因为e、f、g 是与c、d、b 有相同比的最小数组，所以：e 测尽c 与g 测尽b 有相等次数。
再令：o 中的单位数，等于e 测尽c 的次数。那么：根据o 中的单位数，g 测尽b 。所以：o 乘以g 得b 。
而g 是l 和m 的乘积，所以：o 乘以l 和m 的乘积得b 。
所以：b 是立体数，且l、m、o 是它的边。
所以：a 和b 是立体数。
那么，它们也是相似的。
因为n、o 分别乘以e 得a、c ，所以：n 比o 等于a 比c ，等于e 比f （命题VII.18） 。
橡皮膜比喻
对时间的运动受引力场的影响作一个比喻。想象一张橡皮膜，中心的大球代表一个大质量物体，譬如太阳。球的质量使它邻近的膜弯曲，其弯曲率使在膜上滚动的滚球轨迹弯折并且围绕大球转动，就和在一个恒星的引力场中的行星能围绕着它公转一样。在与大量实验相符合的相对论中，时间和空间难分难解地相互纠缠，广义相对论使空间和时间弯曲，把它们从被动事件发生的背景改变成发生事件的动力参与者。
又，e 比f 等于h 比l ，且等于k 比m ，所以：h 比l 等于k 比m ，且等于n 比o 。
又，h、k、n 是a 的边，o、l、m 是b 的边。
所以：a 和b 是相似立体数。
所以：如果两个比例中项数落在两个数之间，那么该两数是相似立体数。
证完
注解
本命题应用在命题VIII.23中。
命题VIII.22
如果三个数成连比，第一个数是平方数，那么第三个数也是平方数。
设：a、b、c 三个数成连比，第一个数a 是平方数。
求证：第三个数c 也是平方数。
因为在a、c 之间有一个比例中项数b ，所以：a 和c 是相似平面数。
而a 是平方数，所以：c 也是平方数（命题VIII.20） 。
所以：如果三个数成连比，第一个数是平方数，那么第三个数也是平方数。
证完
注解
从命题VIII.24开始，本命题应用在本卷和下卷的几个命题中。
命题VIII.23
如果四个数成连比，第一个数是立方数，那么第四个数也是立方数。
设：a、b、c、d 四个数是连比数，a 是立方数。
求证：d 也是立方数。
因为在a、d 之间有两个比例中项数b 和c ，所以：a 和d 是相似立体数。
而a 是立方数，所以：d 也是立方数（命题VIII.21） 。
所以：如果四个数成连比，第一个数是立方数，那么第四个数也是立方数。
证完
注解
从命题VIII.25开始，本命题应用在本卷和下卷的几个命题中。
命题VIII.24
如果两个数的比等于两个平方数的比，且第一个数是平方数，那么第二个数也是平方数。
设：a、b 两个数的比是平方数c、d 的比，a 是平方数。
求证：b 也是平方数。
因为c 和d 是平方数，所以c 和d 是相似平面数，所以：在c、d 之间有一个比例中项数（命题VIII.18） 。
又，c 比d 等于a 比b ，所以：在a、b 之间也有比例中项数。
又，a 是平方数，所以：b 也是平方数（命题VIII.18、VIII.22） 。
所以：如果两个数的比等于一个平方数比另一个平方数，且第一个数是平方数，那么第二个数也是平方数。
证完
注解
本命题的证明是直接的。
命题VIII.25
如果两个数的比等于两个立方数的比，且第一个数是个立方数，那么第二个数也是立方数。
设：a、b 两个数的比是两个立方数的比，且第一个数是个立方数。
求证：b 也是立方数。
因为c 和d 是立方数，c 和d 是相似的立体数，所以：在c 和d 之间就有两个比例中项（命题VIII.19） 。
又，在c、d 之间有多少个成连比例的数，那么在与它们有相同比的数之间也有多少个成连比例的数，所以在a、b 之间也有两个比例中项（命题VIII.8） 。
设它们是e、f 。
那么，因为四个数a、e、f、b 成连比，又，a 是立方数，所以：b 也是立方数（命题VIII.23） 。
所以：如果两个数的比等于两个立方数的比，且第一个数是个立方数，那么第二个数也是立方数。
证完
注解
本命题应用在命题IX.10中。
命题VIII.26
相似平面数之比等于平方数之比。
设：a 和b 是相似的平面数。
求证：a 比b 是平方数比平方数。
因为a 和b 是相似的平面数，所以：一个比例中项数c 将落在a、b 之间（命题VIII.18） 。
作a、e、f ，使其为与a、c、b 有相等比的最小数对（命题VII.33、VIII.2） 。
于是：它们的首末两项d 和f 是平方数。又因为d 比f 等于a 比b ，d 和f 是平方数。
所以：a 比b 是一个平方数比一个平方数（命题VIII.2及其推论） 。
所以：相似平面数之比等于平方数之比。
证完
注解
本命题应用在命题IX.10、X.9中。
命题VIII.27
相似的立体数相比等于立方数相比。
设：a 和b 代表某相似的立体数。
求证：a 比b 是立方数比立方数。
因为a 和b 是相似的立体数，所以：两个比例中项数c 和d 将落在a、b 之间（命题VIII.19） 。
作e、f、g、h ，使之为与a、c、d、b 有相等比的最小数，且其个数相等（命题VII.33、VIII.2） 。
所以：它们的外项e 和h 是立方数。
而e 比h 等于a 比b ，所以：a 比b 的比也是立方数与立方数的比（命题VIII.2及其推论） 。
所以：相似的立体数相比等于立方数相比。
证完
注解
本命题是关于平面数的比例，类似于前一命题。
第9卷
数论（三）
CHAPTER 9
数决定了万物的比例关系，和谐就是这一关系的外在表现。世界万物尽管各不相同，但它们只要相互保持一种数的比例关系，达到平衡，就会呈现和谐状态，即使像无限与有限、奇与偶、一与多、右与左、阴性与阳性、静与动、直线与曲线、明与暗、善与恶等一些对立者，仍会相互契合、相互谐调而达和谐统一。
本卷涉及比例、几何级数，给出了许多关于数论的重要定理。
本卷提要
※命题IX.14，没有质数能除尽另一些质数的乘积。这是算术的一个基础理论。
※命题IX.20，存在无穷多个质数。
※命题IX.23，奇数相加其和亦为奇数。
※命题IX.35，怎么得到等比级数之和。
※命题IX.36，关于完全数。
命题IX.1
如果两个相似的平面数相乘得出某一个数，那么这个乘积是平方数。
设：a 和b 是两个相似的平面数，a 与b 相乘得c 。
求证：c 是个平方数。
设a 自乘得d ，那么d 是平方数。
因为a 自乘得d ，且a 乘以b 得c ，所以：a 比b 等于d 比c （命题VII.17） 。
又，因为a 和b 是相似平面数，所以：一个比例中项落在a、b 之间（命题VIII.18） 。
如果在两个数之间有多少个成连续比例的数，那么在有相同比的数之间也有同样多个成连比的数，于是：在d 和c 之间也有一个比例中项。
又，d 是平方数，所以：c 也是平方数（命题VIII.22） 。
所以：如果两个相似的平面数相乘得出某一个数，那么这个乘积是平方数。
证完
注解
这是第9卷的第一命题，实际上也是第8卷比例的继续。
假定两个平面数a ＝18，b ＝8，根据命题VIII.18，它们中就有一个比例中项，即12，这一比例中项的平方数是它们的乘积，ab ＝144。
不清楚为什么不使用更简单的结论来证明，即比例中项的平方数是它们的乘积，而要用更复杂的。
设：a 和b 是给定的两个平面数。那么，它们中就有一个比例中项（命题VIII.18） 。又，因为a ∶b ＝a 2 ∶（ab ），所以：在a 2 和ab 中也就有一个比例中项（命题VIII.1） 。但因为：a 2 是一个平方数，所以：ab 也是一个平方数（命题VIII.22） 。于是：原始相似平面是一个平方数。
这一命题应用在命题X.29中。命题IX.2是本命题的逆命题。
命题IX.2
如果两个数相乘得一个平方数，那么这两个数也是相似平方数。
设：a、b 两个数，a 乘以b 得平方数c 。
求证：a 和b 也是相似平方数。
令：a 自乘得d ，那么d 是平方数（命题VII.17） 。
因a 自乘得d ，a 乘b 得c ，所以a 比b 等于d 比c 。
又，因为d 是平方数，而c 也是平方数，所以：d 和c 是相似平面数。
所以：一个比例中项数落在d、c 之间。
又，d 比c 等于a 比b ，所以：一个比例中项数也落在了a、b 之间（命题VIII.20） 。
而，如果一个比例中项数落在两个数之间，那么它们是相似平面数，所以：a 和b 是相似平面数（命题VIII.20） 。
所以：如果两个数相乘得一个平方数，那么这两个数也是相似平面数。
证完
注解
本命题是前一命题的逆命题。
假定平方数202 ＝400。这一数可以分解为两个数的乘积，比如a ＝50，b ＝8。这两个数有一个比例中项，即20，于是根据命题VIII.20，它们是相似平面数（8可视为2乘以4，50可视为5乘以10）。
设：a 和b 两个数的乘积ab 是一个平方数，那么，a 2 和ab 也是平方数。这意味着它们是相似平面数。根据命题VIII.8，它们有一个比例中项，a 2 ∶（ab ）＝a ∶b ，所以：a 和b 之间也有一个比例中项（命题VIII.8） 。所以：a 和b 是相似平面图形（命题VIII.20） 。
当乘积ab 是一个平方数，即e 2 ，那么：a 和b 的比例中项是e 。
命题IX.3
如果一个立方数自乘得某个数，那么其乘积是立方数。
设：a 为立方数，a 自乘得b 。
求证：b 也是立方数。
令：作a 的边c ，c 自乘得d 。这样，c 乘以d 得a 。
那么，因为c 自乘得d ，所以：c 测尽d 。根据c 中的单位数，c 测尽d 。进一步，按照c 中的单位数，该单位也测尽c 。所以：该单位比c 等于c 比d （定义VII.20） 。
又，因为c 乘以d 得a ，于是：根据c 中的单位数，d 测尽a 。同样，该单位也测尽c ，所以：该单位比c 等于d 比a 。
而该单位比c 等于c 比d ，所以：该单位比c 等于c 比d ，也等于d 比a 。
所以：在该单位与a 之间，有两个比例中项c 和d ，并成连续比例。
又，因为a 自乘得b ，于是：根据a 中的单位数，a 测尽b 。同样，该单位也测尽a 。所以：该单位比a 等于a 比b （定义VII.20） 。
又，在该单位与a 之间，有两个成连比的比例中项，所以：有两个比例中项落在a、b 之间（命题VIII.8） 。
又，如果两个比例中项落在两个数之间，而第一个数是立方数，那么第二个数也是立方数。而a 是立方数，所以：b 也是立方数（命题VIII.23） 。
所以：如果一个立方数自乘得某个数，那么其乘积是立方数。
证完
注解
用代数式表达为：（c 3 ）2 ＝（c 2 ）3 。
这一命题应用在下两个命题及命题IX.9中。
命题IX.4
如果一个立方数乘以另一个立方数得某数，那么该乘积也是立方数。
设：a 是一个立方数，a 乘以另一个立方数b 得c 。
求证：c 也是立方数。
令：a 自乘得d ，那么d 是一个立方数（命题IX.3） 。
因为：a 自乘得d ，且a 乘以b 得c ，于是：a 比b 等于d 比c 。
又，因为a 和b 是立方数，于是：a 和b 是相似立体数。于是：两个比例中项数落在a 和b 之间。于是：两个比例中项数也落在d 和c 之间（命题VII.17、VIII.19、VIII.8） 。
已知d 是立方数，于是：c 也是立方数（命题VIII.23） 。
所以：如果一个立方数乘以另一个立方数得某数，那么该乘积也是立方数。
证完
注解
当然：m 3 n 3 ＝（mn ）3 。
命题IX.5
如果一个立方数乘以另一个数得一个立方数，那么该乘数也是立方数。
设：立方数a 乘另一个数b 得立方数c 。
求证：b 也是个立方数。
令：a 自乘得d ，那么d 是个立方数（命题IX.3） 。
那么，因为a 自乘得d ，且a 乘以b 得c ，于是：a 比b 等于d 比c （命题VII.17） 。
又，因为d 和c 是立方数，于是：它们也是相似立体数。所以：两个比例中项数落在d 和c 之间。又d 比c 等于a 比b ，所以：两个比例中项数也落在a、b 之间（命题VIII.19、VIII.8） 。
又，a 是立方数，于是：b 也是立方数（命题VIII.23） 。
所以：如果一个立方数乘以另一个数得一个立方数，那么该乘数也是立方数。
证完
注解
这一命题是前一命题的逆命题，当ab ＝c ，a 是个立方数时，前一命题说，如果b 是个立方数，那么c 也是。这一命题则说，如果c 是个立方数，那么b 也是。
命题IX.6
如果一个数自乘得一个立方数，那么它本身也是立方数。
设：a 自乘得到立方数b 。
那么：a 也是立方数。
令：a 乘以b 得c 。那么因为a 自乘得b ，且a 乘以b 得c ，于是：c 是立方数。
又，因为a 自乘得b ，于是：根据a 中的单位数，a 测尽b 。
同理：a 的单位也测尽a 。于是：该单位比a 等于a 比b 。
又，因为a 乘以b 得c ，于是：根据a 中的单位数，b 测尽c （定义VII.20） 。
又，根据在它中的单位数，该单位也测尽a 。
所以：该单位比a 等于b 比c 。而该单位比a 等于a 比b ，于是：a 比b 等于b 比c （命题VII.20） 。
又，因为b 和c 是立方数，于是：它们是相似立方数。
所以：在b、c 间有两个比例中项数，而b 比c 等于a 比b 。所以：在a、b 间也有两个比例中项数（命题VIII.19、VIII.8） 。
已知，b 是立方数，所以：a 也是立方数（命题VIII.23） 。
所以：如果一个数自乘得一个立方数，那么它本身也是立方数。
证完
注解
假定：a 2 是个立方数，因为a 3 也是个立方数，所以在它们中有一个比例中项（命题VIII.19）。但我们有比例a ∶a 2 ＝a 2 ∶a 3 ，所以它们也是a 和a 2 的两个比例中项（命题VIII.8）。又因为a 2 是个立方数，所以a 也就是一个立方数（命题VIII.23）。这一命题应用在命题IX.10中。
命题IX.7
如果一个合数乘以任意数得某个数，那么该乘积是立方数。
设：合数a 乘以任意数b 得c 。
求证：c 是个立方数。
因为a 是合数，它被某个数d 测尽，令d 测尽a 的次数为e ，也就是说，d 相加e 次得a ，或者说，按照e 的单位数，d 测尽a （定义VII.13） 。
因为d 用e 次测尽a ，所以：e 乘以d 得a 。所以，a 是d、e 的积。
又，因为a 乘以b 得c ，而a 是d、e 的乘积，于是：d、e 的乘积乘以b 得c （定义VII.15） 。
所以：c 是立方数，而d、e、b 是它的边。
所以：如果一个合数乘以任意数得某个数，那么该乘积是立方数。
证完
注解
最低有两个因子的数是平面数；最低有三个因子的数是立方数。
命题IX.8
如果一个成连续比例的数列开始于一个单位，那么从单位起的第三个是平方数，且以后每隔一个就是平方数；第四个是立方数，以后每隔两个是立方数；第七个是立方数同时也是平方数，以后每隔五个是立方数同时也是平方数。
设：a、b、c、d、e、f 从一个单位开始，并成连续比例。
求证：从单位开始后的第三个数b 是个平方数，以后每隔一个为平方数；第四个数c 是立方数，以后每隔两个是立方数；第七个数f 同时是立方数也是平方数，以后每隔五个是立方数同时也是平方数。
因为该单位比a 等于a 比b ，于是：该单位测尽数a 与a 测尽b 有相同的次数。依照a 中的单位数，单位测尽a 。同理：a 也测尽b （定义VII.20） 。
所以：a 自乘得b 。所以：b 是平方数。
又因为b、c、d 是连比数，而b 是平方数，于是：d 也是平方数，同理，f 也是平方数（命题VIII.22） 。
类似地，也可以证明，每隔一个数为平方数。
以下进一步说明：从单位开始后的第四个数c ，是立方数，并且以后每隔两个都是立方数。
因为单位比a 等于b 比c ，于是：单位测尽数a 的次数等于b 测尽c 。
根据a 中的单位数，单位测尽a 。同理：b 也测尽c 。所以：a 乘以b 得c 。那么，因为a 自乘得b ，a 乘以b 得c ，所以：c 是立方数。
那么，因为c、d、e、f 是成连比例，而c 是立方数，于是：f 也是立方数。
同时它已经被证明是平方数，于是：从单位开始后的第七个数既是立方数也是平方数。同理，也可以证明其后每隔五个数既是立方数也是平方数（命题VIII.23） 。
所以：如果一个成连续比例的数列开始于一个单位，那么从单位起的第三个是平方数，且以后每隔一个就是平方数；第四个是立方数，以后每隔两个是立方数；第七个是立方数同时也是平方数，以后每隔五个是立方数同时也是平方数。
证完
注解
在以下连比中：
1、a、a 2 、a 3 、a 4 、a 5 、a 6 、a 7 等，
每隔二个：a 2 、a 4 、a 6 、a 8 等是一个平方数；
每隔三个：a 3 、a 6 、a 9 、a 12 等是一个立方数；
每隔六个：a 6 、a 12 、a 18 、a 24 等既是一个平方数也是一个立方数。
这一命题应用在下五个命题中。
命题IX.9
从一个单位开始的数列成连续比例，如果接在单位后的数是平方数，那么其余的数也是平方数；如果接在单位后的数是立方数，那么其余的数也是立方数。
设：a、b、c、d、e、f 是从一个单位开始的成连续比例的数，a 是紧接在单位后的数，是一个平方数。
求证：其余的数皆为平方数。
因为：可以证明从单位开始后的第三个数b 是平方数，并每隔一个也为平方数（命题IX.8） 。
那么：其余的数皆为平方数。
因为a、b、c 成连比，而a 是平方数，于是：c 也是平方数。
又，因为b、c、d 成连比，而b 是平方数，于是：d 也是平方数。类似地，我们也能证明其余各数也为平方数（命题VIII.22） 。
再一步，设a 为立方数。
那么：其余的数也皆为立方数。
蜘蛛的路径
正方体上有一只蜘蛛，它要沿着正方体的每一边爬行，并且每一边来回走两趟，但不走两次相同的路线。如将正立方体展示在平面上，聪明的蜘蛛便从正立方体的底边“1”开始出发一直到“24”结束。
因为已经证明了从单位开始后的第四个数c 是立方数，并每隔两个皆为立方数（命题IX.8） 。
那么：其余各数皆为立方数。
因为单位比a 等于a 比b ，所以：单位测尽a 与a 测尽b 有相等的次数。根据a 的单位数，单位测尽a 。同理，a 也测尽b 。于是：a 自乘得b 。
又，a 是立方数，而且，如果立方数自乘得某个数，那么其乘积也是立方数，于是：b 也是立方数（命题VIII.23） 。
同理，e 也是立方数。同理，所有余下的数皆是立方数。
所以：从一个单位开始的数列成连续比例，如果接在单位后的数是平方数，那么其余的数也是平方数；如果接在单位后的数是立方数，那么其余的数也是立方数。
证完
注解
这一命题说，如果一个数是一个平方数，那么该数的幂也是平方数，立方数也一样。
以下的命题是这一命题的逆命题。
命题IX.10
从单位开始的数列成连续比例，如果单位后的数不是平方数，那么除了单位后面的第三个数以及每隔一个数以后的数外的其余各数皆不是平方数；又，如果单位后面的数不是立方数，那么除了从单位起第四个数以及每隔两个数以后的数以外，其余各数皆不是立方数。
设：a、b、c、d、e、f 是从一个单位开始的成连比的数列，单位后面的数a 不是平方数。
求证：除了第三个数以及每隔一个数以后的数外，皆不是平方数。
假如可能，令c 是平方数，但b 也是平方数，于是：b 比c 等于一个平方数比一个平方数（命题IX.8） 。
又，b 比c 等于a 比b ，于是：a 比b 是一个平方数比一个平方数。于是：a 和b 是相似平面数（命题VIII.26） 。
而b 是平方数，于是：a 也是平方数，这与假设相反。
于是：c 不是平方数。
同理，可以证明除了第三个数以及每隔一个数以后的数外没有平方数。
再，令：a 不是立方数。
那么：除了第四个数以及每隔两个数以后的数外皆不是立方数。
假如可能，令d 为立方数。
那么：c 也是立方数，因为它是从单位开始的第四个数。又，c 比d 等于b 比c ，于是：b 比c 是一个立方数比一个立方数的比值。于是：b 也是立方数（命题IX.8、VIII.25） 。
又因为：单位比a 等于a 比b ，根据a 中的单位数，单位测尽a 。同理：a 也测尽b 。于是：a 自乘得立方数b 。
如果一个数自乘得一个立方数，那么它自己也是个立方数。
所以：a 也是一个立方数。这与假设相反。所以：d 不是立方数。
类似地，可以证明除了第四个数以及每隔两个数以后的数以外的其余数皆不是立方数（命题IX.6） 。
所以：从单位开始的数列成连续比例，如果单位后的数不是平方数，那么除了单位后面的第三个数以及每隔一个数以后的数外的其余各数皆不是平方数。
无穷小微积分
近代微积分的酝酿主要发生于17世纪上半叶。该时期所有的科学大师都在致力于寻求解决微积分学的新的数学工具，特别是描述运动与变化的无穷小算法。1666年10月，牛顿发表了《流数简论》，这是历史上第一篇系统的微积分文献。《流数简论》反映了牛顿微积分的运动背景。他从确定面积的变化率入手，通过反微分计算面积以及面积计算与求切线问题的互逆位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。图为《流数简论》中的一页。
又，如果单位后面的数不是立方数，那么除了从单位起第四个数以及每隔两个数以后的数以外，其余各数皆不是立方数。
证完
注解
这一命题是前一命题的逆命题。
命题IX.11
如果从单位开始的数列成连比，那么较小数测尽较大数，得到的是数列中的某一个数。
设：b、c、d、e 是从单位a 开始的连比数。
求证：用b、c、d、e 的最小数b 测尽e ，得到c 或d 。
因为单位a 比b 等于d 比e ，于是：单位a 测尽b 与d 测尽e 有相等次数。于是：由更比，该单位a 测尽d 与b 测尽e 的次数相等（命题VII.15） 。
又，根据a 中的单位数，单位a 测尽d 。同理，b 也测尽e 。于是：较小的数b 测尽较大的数e ，得到给定成比例的数中的一个数d （命题VII.15） 。
