所以：如果从单位开始的数列成连比，那么较小数测尽较大数，得到的是数列中的某一个数。
证完
推论
这一命题也表明：由单位开始的成连续比例的数列中的任意一数测尽它以后的某个数得到一个数，比数是被测尽数以前的某一数。
注解
这一命题及其推论说，a k 除以a n 等于a k -n 。
推论应用于下一个命题中。
命题IX.12
如果从单位开始的任意多的数形成连比，那么无论有几个质数测尽最后一个数，该质数也测尽单位之后的那个数。
设：a、b、c、d 从单位开始，形成连比。
求证：测尽d 的质数同样也测尽a 。
令：d 被任意一个质数e 所测尽。
求证：e 同样也测尽a 。
假定不是。
因为e 是质数，而任何质数是与它量不尽的数互质的，所以：e 和a 是互质数。又，因为e 测尽d ，令e 用f 次测尽d ，于是：e 乘以f 得d （命题VII.29） 。
又，因为a 测尽d ，根据在c 中的单位数，所以：a 乘以c 得d （命题VII.29） 。
再，e 乘以f 得d ，于是：a 与c 的乘积等于e 与f 的乘积（命题IX.11及其推论） 。
于是：a 比e 等于f 比c 。而a 和e 是互质数，互质数是最小的。又有相同比的数中最小的，以同样的次数测尽那些数，即前项测尽前项，后项测尽后项。所以：e 测尽c ，令其测尽的次数为g （命题VII.19、VII.21、VII.20） 。
所以：e 乘以g 得c 。
再，由前述的理论，a 乘以b 得c 。所以：a 和b 的乘积等于e 和g 的乘积（命题IX.11及其推论） 。
所以：a 比e 等于g 比b 。而a 和e 是互质数，互质数是最小的。又有相同比的数中最小的，以同样的次数测尽那些数，即前项测尽前项，后项测尽后项。所以：e 测尽b 。令其测尽的数为h ，于是：e 乘以h 得b （命题VII.19、VII.21、VII.20） 。
又，a 自乘得b ，于是：e 和h 的乘积等于a 的平方。于是：e 比a 等于a 比h （命题IX.8、VII.19） 。
而a 和e 是互质数，质数是最小的。又有相同比的数中最小的，以同样的次数测尽那些数，即前项测尽前项，后项测尽后项。于是：e 测尽a ，即前项测尽前项。但是，e 又测不尽a ，这是不可能的（命题VII.21、VII.20） 。
所以：e 和a 不是互质数。所以：它们是互为合数。而互为合数可被某数测尽（定义VII.14） 。
又，因为e 是被假设成的质数，而一个质数不会被它以外的任何数所测尽，所以：e 测尽a、e ，所以：e 测尽a 。
而，它也测尽d ，所以：e 测尽a、d 。同样，也可以证明，无论有几个质数能测尽d ，这些质数也就能测尽a 。
所以：如果从单位开始的任意多的数形成连比，那么无论有几个质数测尽最后一个数，该质数也测尽单位之后的那个数。
证完
注解
这一命题说，如果质数p 除尽a 的乘方a k ，那么它也除尽a 。
假定一个质数p 除尽a 的乘积ak 。假定p 除不尽a 。那么p 与a 是互质数（命题VII.29）。从这一命题（a k /p ）∶a k -1 ＝a ∶p 中我们可以看出，比例（a k /p ）∶a k -1 可以化简为最小数组a ∶p （命题VII.21）。所以：p 能除尽a k -1 （命题VII.2x 0）。
重复应用化简步骤直到p 能除尽a ，便实现了目标。
这一命题应用于下一命题中。
命题IX.13
如果从单位开始的几个数成连续比例，紧接单位的是质数，那么除了这些成比例的数以外，任何数都不能测尽其中最大的数。
设：a、b、c、d 是从单位开始的成连续比例的数，a 是紧接于单位的质数。
求证：它们中最大数d ，不可能被除了a、b 或c 以外的任何数所测尽。
假定可能，设其被e 所测尽，e 不等于a、b、c 中的任何一个。
那么，e 不是质数，因为如果e 是质数并测尽d ，那么它也可以测尽a 。a 为质数，然而它不等于a 。这是不可能的。
所以：e 不是质数，它是合数（命题IX.12） 。
又，任何合数皆可以被某个质数测尽，所以：e 被某个质数所测尽（命题VII.31） 。
以下进一步说明：它只能被a 所测尽，其他任何数皆不可能。
如果e 被其他数所测尽，而e 测尽d ，那么其他数测尽d ，于是：它也测尽质数a 。然而它不等于a 。这显然是不可能的，于是：质数a 测尽e （命题IX.12） 。
又因为：e 测尽d ，设其测尽d 得f 。
那么：f 不等于a、b、c 中的任何一个数。
假如f 等于a、b、c 中的其中一个，并测尽d 得e 。那么a、b、c 中的一个也测尽d 得e 。
而a、b、c 中的一个测尽d 得a、b、c 中的一个。于是：e 也等于a、b、c 中的一个。这与假设矛盾（命题IX.11） 。
所以：f 不等于a、b、c 中的一个。
类似地，可以证明出，f 被a 所测尽；f 不是质数。
假如f 是质数，并测尽d ，那么它也测尽质数a 。然而它不等于a 。这是不可能的。所以：f 不是质数。所以：f 是合数（命题IX.12） 。
又，任何合数可以被某一个质数所测尽。所以：f 被某个质数所测尽（命题VII.31） 。
以下进一步说明：它只能被a 所测尽，而不是其他质数。
因为，如果有别的质数测尽f ，而f 测尽d ，那么别的质数也测尽d 。于是：它也测尽质数a ，然而它不同于a 。这是不可能的。所以：只有质数a 测尽f （命题IX.12） 。
又因为e 测尽d 得f ，所以e 乘以f 得d 。但，更有a 乘以c 也得d 。于是：a 和c 的乘积等于e 和f 的乘积（命题IX.11） 。
所以，a 比e 等于f 比c （命题VII.19） 。
而a 测尽e ，于是：f 也测尽c 。
令f 测尽c 得g 。
类似地，能证明出g 不等于a、b 中的任何一个，并被a 测尽。又，因为f 测尽c 得g ，于是：f 乘以g 得c 。
又，a 乘以b 得c ，于是：a、b 的乘积等于f、g 的乘积。所以，a 比f 等于g 比b （命题IX.11、VII.19） 。
又，a 测尽f ，于是：g 也测尽b ，令其测尽b 得h 。
类似地，那么，也能证明出h 不等于a 。
那么，因为g 测尽b 得h ，于是：g 乘以h 得b 。而a 自乘得到b 。于是：h 和g 的乘积等于a 的平方（命题IX.8） 。
所以：h 比a 等于a 比g 。而a 测尽g 。所以：h 也测尽质数a ，然而h 不等于a ，这是荒谬的（命题VII.19） 。
所以：最大数d 除了被数a、b 或c 测尽以外，不可能被其他数所测尽。
所以：如果从单位开始的几个数成连续比例，紧接单位的是质数，那么除了这些成比例的数以外，任何数都不能测尽其中最大的数。
证完
注解
这一命题说，仅能除尽一个质数的乘方的数是该质数的较小幂。
这一证明过程包含化简步骤，同前一个命题一样。假定一个数e 可以除尽一个质数p 的乘方p k ，但e 不等于p 的任何较低幂。
首先要注意的是，e 不可能是质数，因为，它除尽p 就不可能是质数（命题IX.12）。
那么e 是一个合数，于是，某个质数q 能除尽e （命题VII.31）。那么q 也能除尽p k ，这意味着q 能除尽p 。所以，能除尽e 的仅有质数是p 。
下面的证明是反复化简乘方k 。意味着e 不是1，它可以被p 除尽，设g 是e /p 。那么，g 能除尽p k -1 ，但并不是p 的任何较低的乘方。于是，系统的论据可以应用，继续如此，直到某个数能除尽p ，但不是1或者p 。这是矛盾的。所以，仅能除尽一个质数的乘方的数是该质数的较小幂。
这一命题应用在命题IX.32、IX.36中。
命题IX.14
如果一个数是被质数能测尽的最小数，那么除了原来测尽它的数以外，任何别的质数不可能测尽它。
设：数a 是被质数b、c、d 所测尽的最小数。
求证：a 只能被b、c 或d 所测尽，而不可能被别的质数所测尽。
假如可能，设其被质数e 所测尽，再设e 不等于b、c、d 中的任何一个。
那么因为：e 测尽a ，设e 测尽a 得f 。于是：e 乘以f 得a 。而a 被质数b、c、d 所测尽。
但是，如果两个数相乘得另一个数，一个质数可以测尽该乘积，那么该质数也可以测尽原始乘数中的一个。
于是：b、c、d 中的每个数测尽e 或f 中的一个（命题VII.30） 。
又，它们测不尽e ，因为e 是质数，且不等于b、c、d 中的任何一个。
于是：它们测尽f ，而f 小于a 。这是不可能的，因为a 被假设为被b、c、d 所测尽的最小数。
所以：除了b、c、d 以外，没有质数可以测尽a 。
所以：如果一个数是被质数能测尽的最小数，那么除了原来测尽它的数以外，任何别的质数不可能测尽它。
证完
注解
这一命题陈述了一组质数的最小公倍数是不能被另外的质数除尽的。最小公倍数事实上是那些质数的乘积，但这一点并没有提及。
证明是清晰的，依赖于命题VII.30，即如果一个质数除尽一个乘积，那么它也除尽某个乘数。
命题IX.15
如果三个数成连比，且是与它们有同样比值的最小数组，那么其中任意两数的和与其余一数互质。
设：a、b、c 三个数成连比，并是与它们有同样比值的数组中的最小的数组。
那么：a、b、c 中任意两数的和与余下的数互质，即a 加b 之和是c 的互质数，b 加c 是a 的互质数，a 加c 是b 的互质数。
令：作DE 和EF 两数，使其为与a、b、c 有同比值的最小数（命题VIII.2） 。
那么：DE 自乘得a ，再乘以EF 得b ，又，EF 自乘得c （命题VIII.2） 。
那么，因为DE 和EF 是最小数，于是：它们是互质数。但是，如果两个数是互质数，那么它们的和也是每个数的互质数，于是：DF 是DE、EF 的互质数（命题VII.22、VII.28） 。
又，DE 也是EF 的互质数，所以：DF、DE 是EF 的互质数。
而，如果两个数与任意一数互质，那么它们的乘积也是该数的互质数，于是：DF 和DE 的乘积是EF 的互质数。于是：FD 和DE 的乘积也是EF 平方的互质数（命题VII.24、VII.25） 。
但是，FD 和DE 的乘积是DE 的平方加DE 与EF 的乘积的和，所以：DE 的平方与DE、EF 的乘积之和是EF 平方的互质数（命题II.3） 。
又，DE 的平方是a ，DE、EF 的乘积是b ，EF 的平方是c 。于是：a 与b 之和是c 的互质数。
类似地，也能证明出b、c 之和是a 的互质数。
再证明：a 与c 之和也是b 的互质数。
因为DF 分别是DE、EF 的互质数，于是：DE 的平方也是DE、EF 之积的互质数（命题VII.24、VII.25） 。
又，DE、EF 的平方之和加DE、EF 乘积的两倍等于DF 的平方，于是：DE、EF 的平方之和加DE、EF 乘积的两倍是DE、EF 乘积的互质数（命题II.4） 。
于是：DE、EF 的平方与DE、EF 的乘积的二倍之和是DE、EF 的乘积的互质数。
所以：DE、EF 的平方是DE、EF 乘积的互质数。
又，DE 的平方是a ，DE 和EF 的乘积是b ，EF 的平方是c 。
所以：a、c 的和是b 的互质数。
所以：如果三个数成连比，且是与它们有同样比值的最小数组，那么其中任意两数的和与其余一数互质。
证完
注解
设a、b、c 是三个成连比的数，那么根据命题VIII.2，它们的排列是：
a ＝d 2 ，b ＝de ，c ＝e 2 ，
这里d 和e 是互质数，于是它们的和d ＋e ，与d、e 互质（命题VII.28）。
现在，因为d、d ＋e 与e 互质，所以，它们的乘积d 2 ＋de 也与e 互质（命题VII.24），所以也与e 2 互质（命题VII.25）。于是，a ＋b 与c 互质。
同样，b ＋c 与a 互质。
又，因为d ＋e 与d、e 皆是互质的，所以它的平方数（d ＋e ）2 与乘积de 也是互质的（命题VII.24、VII.25）。即是d 2 ＋e 2 ＋2de 与de 互质。减去2de 可以推断d 2 ＋e 2 与de 是互质的。于是b 与a ＋c 是互质的。
命题IX.16
如果两个数是互质数，第一个数比第二个数不等于第二个与任何另外的数相比。
设：两个数a 和b 是互质数。
求证：a 比b 不等于b 比任何另外的数。
假如可能，a 比b 等于b 比c 。
那么因为：a 和b 互质，互质的数也是最小数，且最小的数测尽与它们有相同比值的数的次数相等，前项测尽前项且后项测尽后项（命题VII.21、VII.20） 。
所以，a 测尽b 。
又，它又测尽自身，于是：a 测尽互质数a、b 。这是荒谬的。
所以：a 比b 不等于b 比c 。
所以：如果两个数是互质数，第一个数比第二个数不等于第二个与任何另外的数相比。
证完
注解
设：a 和b 是互质数，那么比率a ∶b 是最小数对。假定比率等于b ∶c ，那么比率a ∶b 的前项a ，可以除尽比率b ∶c 的前项，即b 。但是a 除不尽b ，因为它们是互质数。
这一命题应用在命题IX.18中。
命题IX.17
如果有成连续比的数组，它们的两端互质，那么第一个比第二个不等于最后一个比任何另外一个数。
设：a、b、c、d 是成连比的数，它们的两端a、d 互质。
求证：a 比b 不等于d 比任何一个别的数。
假设，a 比b 等于d 比e ，那么：由更比得，a 比d 等于b 比e （命题VII.13） 。
而，a 和d 是互质数，互质数是最小的数组，最小的数组测尽与它们有同比值的数组有相等的次数，前项测尽前项，后项测尽后项。于是：a 测尽b 。且a 比b 等于b 比c ，于是：b 也测尽c 。于是：a 也测尽c （命题VII.21、VII.20） 。
又，因为b 比c 等于c 比d ，而b 测尽c ，所以：c 也测尽d 。
而a 测尽c ，于是：a 也测尽d 。而它又自测尽，于是：a 测尽质数a、d 。这是不可能的。
所以：a 比b 不等于d 比任何别的数。
所以：如果有成连续比的数组，它们的两端互质，那么第一个比第二个不等于最后一个比任何另外一个数。
证完
注解
这一命题归纳了前一命题，它说，在连比中最小数对不可能扩展。
假定一个连比有最小数对，第一项a 与末项d 互质，并有比率a ∶b 。假设它能扩展到e ，于是a ∶b ＝d ∶e 。交替地，a ∶d ＝b ∶e 。因为第一比率a ∶d 是最小数对，所以a 能除尽b 。于是每个项能除尽跟进的项。因此a 除尽d 。但这是不可能的。因为a 和d 是互质数，所以连比不可能扩展。
命题IX.18
给定两个数，考察它们是否能求出第三个比例数。
设：a 和b 是给定的两个数，现在要求的是考察找出第三个比例数是否可能。
因为：a 和b 要么是互质数，要么不是。如果它们是互质数，则找出它们中的第三个比例数是不可能的（命题IX.16） 。
再令：a 和b 不是互质数，b 自乘得c ，那么：a 要么测尽c ，要么测不尽它。
首先，令a 测尽c 得d ，于是：a 乘以d 得c 。又，b 自乘得c ，于是：a 和d 的乘积等于b 的平方。
于是：a 比b 等于b 比d ，于是：第三个比例数d 在a、b 之间被发现出来（命题VII.19） 。
再，令a 测不尽c 。
求证：在a、b 之间不可能找出第三个比例数。
假如可能，令d 是那个第三比例数，那么：a 和d 的乘积等于b 的平方。而b 的平方是c ，于是：a 和d 的乘积等于c 。
于是：a 乘以d 得c 。于是：a 测尽c 得d 。
而根据假设，a 测不尽c ，这是荒谬的。
所以：当a 测不尽c 时，数对a、b 不可能找出第三个比例数。
注解
第三个比例数d 比a 和b 必然满足于a ∶b ＝b ∶d 。于是d 必满足于b 2 /a 。于是当第三个比例数a 能除尽b 2 时生成第三个比例。这一结论欧几里得在本命题中发现。
命题IX.19
给定三个数，考察它们是否能找到第四个成比例的数。
设：a、b、c 是给定的三个数，现在要求考察是否能找到它们的第四个比例。
（这一命题的希腊原文已被损坏。）
注解
第四个比例数d 比a、b 和c 必然满足于a ∶b ＝c ∶d 。于是d 必将满足于bc /a 。于是当a 能除尽bc 时生成第四个比例数。
命题IX.20
预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数。
设：a、b、c 是预先给定的质数。
求证：有比a、b、c 更多的质数存在。
令：作最小数DE ，使它被a、b、c 所测尽，在DE 上增加单位DF 。
那么：EF 要么是质数，要么不是。
首先，令其为质数。那么：质数a、b、c 和EF 被发现出来，多于质数a、b、c 。
再令：EF 不为质数。那么它被另外的质数所测尽，令其被g 所测尽（命题VII.31） 。
那么需要证明：g 不等于a、b、c 。
假设g 等于a、b、c 之一。
那么，因为a、b、c 测尽DE ，于是：g 也测尽DE ，而它也测尽EF 。于是：g 便是测尽其余值的数，即单位DF ，这是荒谬的。
所以：g 不等于a、b、c ，且为质数。于是：质数a、b、c 和g 被发现出来，多于预先给定的质数a、b、c 。
所以：预先给定几个质数，那么有比它们更多的质数。
证完
注解
假定有一些有限的质数，设m 是它们的最小公约数。
假设数m ＋1。它不能是质数，因为它大于所有质数。
所以它是质数，根据命题VII.31，每个质数g 能除尽它。但g 不可能是任何质数，因为它们都能除尽m 且不能除尽m ＋1。
所以，质数是有限的结论导致矛盾；所以，质数是不可能有限的。
命题IX.21
偶数相加，其和也为偶数。
设：众偶数为AB、BC、CD、DE ，将它们加到一起。
求证：其和AE 是偶数。
因为AB、BC、CD、DE 中每一个都是偶数，那么：每个都可以被平分。所以：其和AE 也可以被平分。而可以分成两个相等部分的数是偶数。所以：AE 是偶数（定义VII.6） 。
所以：偶数相加，其和也为偶数。
证完
注解
从这一命题开始，欧几里得开始研究偶数和奇数。从本命题开始直到命题IX.34结束。这些命题的陈述可能是《原本》最古老的部分，可以回溯到毕达哥拉斯时代。除了命题IX.31以外，其余命题的证明不依赖于别的命题。命题IX.31讨论质数，之所以插入这里是因为它涉及奇数。
这一命题的证明暗示数相加与顺序无关的原则，比如，a 和b 两个偶数相加，首先a 分成两个相等的部分a ＝c ＋c ，b 也分成两个相等的部分b ＝d ＋d ，所以：
a ＋b ＝（c ＋c ）＋（d ＋d ）。
为了得到a ＋b 可以分成两个相等的部分，我们需要：
a ＋b ＝（c ＋d ）＋（c ＋d ）。
这里，每一项有不同的顺序。但是顺序却不起作用。这是欧几里得的一个暗中假设。
现代数学处理相加数有两个方式，其一是交换性，顺序的任意交换不影响相加的结果：
a ＋b ＝b ＋a 。
其二是联合性，联合性更为精妙，当处理a ＋b ＋c 三个数相加时，仍然存在选择哪两个数首先相加，既可以选择a ＋b 得d ，然后d ＋c 得最后结果，也可以首先选择b ＋c 得e ，而后a ＋e 得最后的结果。但结果相等。以下等式两边的括号可以移动：
地球周长
亚历山大学派的优秀代表厄拉多塞（约前284—前192年）是第一个测量地球周长的人，其所用方法之简单和测量结果之准确令人惊叹。在S点，夏至日中午的阳光直射地面，因为太阳此刻正位于天顶。在A点，一座方尖碑的影子说明太阳与天顶的角度为7°左右，即周长的1/50。这个角度代表了两处间的纬度之差，而两点间的丈量距离为180米。
（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）。
这一命题应用在下两个命题及命题IX.28中。
命题IX.22
奇数相加，如果它们的个数是偶数，那么其和为偶数。
设：AB、BC、CD、DE 是奇数，把它们加在一起。
那么：其和AE 为偶数。
因为：AB、BC、CD、DE 是奇数，如果从它们每个中减去一个单位，那么余下的每一个数是偶数。于是：它们的和是偶数。而单位的个数是偶数个，所以：其和AE 也是偶数（定义VII.7、命题IX.21） 。
所以：奇数相加，如果它们的个数是偶数，那么其和为偶数。
证完
注解
这一命题的证明缺乏正确性。
本命题应用于下一命题中。
命题IX.23
奇数相加，如果它们的个数是奇数，那么其和也为奇数。
设：把奇数AB、BC、CD 相加，它们的个数是奇数。
求证：其和AD 也是奇数。
令：从CD 中减去单位DE 。那么：差CE 是偶数（定义VII.7） 。
而，CA 也是偶数，于是：和AE 也是偶数（命题IX.22、IX.21） 。
又，DE 是单位，于是：AD 是奇数（定义VII.7） 。
所以：奇数相加，如果它们的个数是奇数，那么其和也为奇数。
证完
注解
这一命题应用于命题IX.29和IX.30中。
命题IX.24
如果偶数减去偶数，那么差是偶数。
设：从偶数AB 中减去偶数BC 。
求证：差CA 是偶数。
因为AB 是偶数，于是：它可以被平分。同理，BC 也可以被平分为两个部分。于是：余值CA 也可以被平分为两个部分，且CA 是偶数（定义VII.6） 。
所以：偶数减去偶数，那么差是偶数。
证完
注解
这一命题应用于下五个关于比例的前四个命题中。
命题IX.25
如果从一个偶数中减去一个奇数，那么差是奇数。
设：从偶数AB 中去奇数BC 。
求证：差CA 是奇数。
令：从BC 中减去单位CD 。于是：DB 是偶数（定义VII.7） 。
而，AB 也是偶数，于是：差AD 也是偶数。而CD 是一个单位，于是：CA 是奇数（命题IX.24、定义VII.7） 。
所以：如果从一个偶数中减去一个奇数，那么差是奇数。
证完
注解
这一命题是第二个研究偶数和奇数相互相减的命题（共四个）。
命题IX.26
如果奇数减去一个奇数，那么，差是偶数。
设：从奇数AB 中减去一个奇数BC 。
求证：差CA 是偶数。
因为AB 是奇数，减去单位BD ，那么：差AD 是偶数。同理，CD 也是偶数，于是：差CA 也是偶数（定义VII.7、命题IX.24） 。
所以：如果从奇数中减去一个奇数，那么，差是偶数。
证完
注解
这一命题应用在命题IX.29中。
命题IX.27
如果从奇数中减去一个偶数，那么差是奇数。
设：从奇数AB 中减去偶数BC 。
求证：差CA 是奇数。
令：AB 减去单位AD 。于是：DB 是偶数（定义VII.7） 。
又，BC 也是偶数。
于是：余值CD 是偶数。于是：CA 是奇数（命题IX.24、定义VII.7） 。
所以：如果从一个奇数中减去一个偶数，那么差是奇数。
证完
注解
这是四个研究偶数和奇数相互相减的最后一道命题。
命题IX.28
如果一个奇数与一个偶数相乘，那么其乘积是偶数。
设：奇数a 与偶数b 相乘得c 。
求证：c 是偶数。
因为a 乘以b 得c ，于是：在a 中有多少个单位，c 也就由多少个等于b 的数相加而成（定义VII.15） 。而b 是偶数，于是：c 是偶数之和。
而，如果偶数相加，和也是偶数，于是：c 是偶数（命题IX.21） 。
所以：如果一个奇数与一个偶数相乘，那么其乘积是偶数。
证完
注解
这一命题是研究偶数和奇数相乘的两道命题的第一个，是第三道命题，两个偶数的乘积被遗漏。
在这一定理的证明中，假定a 是奇数是没有用的。这一命题或许该这样陈述：任意一数乘以偶数，其乘积是偶数。
这一命题应用在命题IX.31中。
命题IX.29
如果一个奇数与另一个奇数相乘，那么其乘积是奇数。
设：奇数a 乘以奇数b 得c 。
求证：c 是奇数。
因为a 乘以b 得c ，那么：a 中有多少个单位，c 就由多少个等于b 的数相加而成。又，a、b 的每一个皆为奇数，那么：c 是由奇数相加而成的，其相加的个数也是奇数。于是：c 是奇数（定义VII.15、命题IX.23） 。
所以，如果一个奇数与另一个奇数相乘，那么其乘积是奇数。
证完
注解
完成这一命题，偶数和奇数的加、减、乘的研究也完成了。尚余下几个关于偶数和奇数的命题。
命题IX.30
如果一个奇数测尽另一个偶数，那么它也测尽它的一半。
设：奇数a 测尽偶数b 。
求证：它也测尽b 的一半。
因为：a 测尽b ，设a 测尽b 得c 。
那么：c 不是奇数。
假设c 是奇数。那么，因为a 测尽b 得c ，于是：a 乘以c 得b 。于是：b 是由奇数相加而成的，且其相加的个数为奇数。
所以：b 是奇数，这是荒谬的，因为已经假设它是偶数。所以：c 不是奇数，c 是偶数（命题IX.23） 。
所以：a 测尽b 为偶数次数。同理，它也测尽它的一半。
所以：如果一个奇数测尽另一个偶数，那么它也测尽它的一半。
证完
注解
这一命题应用在下一命题中。
命题IX.31
如果一个奇数与某数互质，那么该数也与某数的两倍互质。
设：奇数a 与数b 互质，c 为b 的两倍。
求证：a 与c 也互质。
假设，它们不是互质数，那么：某个数测尽它们。
令：数d 测尽它们。
因为a 是奇数，于是：d 也是奇数。又因为：奇数d 测尽c ，而c 是偶数，于是：d 也测尽c 的一半（命题IX.28、IX.30） 。
而，b 是c 的一半，于是：d 测尽b ，而它也测尽a 。于是：d 测尽互质数a 和b 。这是不可能的。
所以：a 不能不与c 互质。所以：a 和c 是互质数。
所以：如果一个奇数与某数互质，那么该数也与某数的两倍互质。
证完
注解
这一命题可以归纳为“如果两个数与任意一个数互质，那么它们的乘积与它也互质”。这是VII.24的命题。
命题IX.32
从2开始连续两倍起来的数列，它们中的每一个，只能是偶倍偶数。
设：b、c、d 是从a 为2开始连续两倍起来的数列。
求证：b、c、d 只能是偶数的偶倍数。
因为：b、c、d 的每一个是偶倍偶数，每个是从2开始的两倍数。
那么：它也只能是偶数的偶倍数。
设一个单位。那么，因为从单位开始成连续比例的数，且数a 是紧接单位后的质数，那么：d 是a、b、c、d 的最大数，它就不会被除了a、b、c 以外的任何数所测尽。而a、b、c 中的每个数皆为偶数，于是：d 只能是偶倍偶数（命题IX.13、VII.8） 。
类似地，也能证明出b 和c 也是偶数的偶倍数。
所以：从2开始连续两倍起来的数列，它们中的每一个，只能是偶倍偶数。
证完
注解
偶数的偶倍数只能是2的乘积，如4，8，16，32等。
这一命题的替代证法用了命题IX.30，只是步骤更简洁。
命题IX.33
如果一个数的一半是奇数，那么它只能是偶倍奇数。
设：a 的一半是奇数。
求证：a 仅是偶倍奇数。
很明显，它是偶倍奇数，因为它的一半是奇数，此奇数测尽原数是一个偶次数（定义VII.9） 。
以下进一步说明：它只能是奇数的偶数倍。
如果它也是偶倍偶数，那么它被一个偶数所测尽，并得到一个偶数。于是：它的一半也被一个偶数所测尽。然而它是奇数，这是荒谬的（定义VII.8） 。
所以：a 是偶倍奇数。
所以：如果一个数的一半是奇数，那么它只能是偶倍奇数。
证完
微积分的第一本著作
在《自然哲学的数学原理》的题为“量的初始比和最终比的方法”中，牛顿给出了微分和积分的几何说明。作为微积分的第一本著作，牛顿通过几何证明直接给出了一般结果而没有经过严格的代数证明。牛顿并不是第一个研究微积分的人，但他却是第一个确立了微积分坚实框架的人。在这一体系下，微分与积分是可逆转的，而且他利用无穷级数扩展了可处理函数的范围。图为《自然哲学的数学原理》卷1，命题1，定理1。该定理表示了从某一固定点出发的质点在向心力影响下的轨迹。牛顿证明了这样的质点所扫过的面积与质点花费的时间成正比，从而推广了开普勒的第二定律。
注解
说一个数是偶倍奇数仅仅是指它是奇数的偶倍数，而不是偶数的偶倍数。这一命题可以这样陈述：这类数是奇数的两倍。
命题IX.34
如果一个数既不是从2开始的连续两倍起来的数，它的一半也不是奇数，那么它是偶倍偶数，也是偶倍奇数。
设：偶数a 既不是从2开始的偶倍数，它的一半也不是奇数。
求证：a 既是偶倍偶数，也是偶倍奇数。
显然，a 是偶数的偶倍数，因为它的一半不是奇数（定义VII.8） 。
以下进一步说明：它也是奇数的偶倍数。
如果平分a ，再平分它的一半，继续这样做下去，将得到某些奇数，它测尽a ，并得到一个偶数。如果不是这样，将得到2，而a 将是从2开始的两倍数。这与假设是矛盾的。
所以：a 是偶倍奇数。
而前面已经证明，它是偶倍偶数。所以：a 既是偶数的偶倍数也是偶倍奇数。
所以：如果一个数既不是从2开始的连续两倍起来的数，它的一半也不是奇数，那么它是偶倍偶数，也是偶倍奇数。
证完
命题IX.35
如果众数成连比，从第二个和最后一个中减去等于第一个的数，那么从第二个数得的差比第一个数等于从最后一个数得的差比最后一个数以前各项之和。
设：a、BC、d、EF 是从最小数a 开始的成连比的数列，从BC、EF 中减去等于a 的数BG、FH 。F
求证：GC 比a 等于EH 比a、BC、d 之和。
令：作FK 等于BC ，FL 等于d 。
那么因为FK 等于BC ，其中FH 等于BG ，于是：差HK 等于GC 。
又，因为EF 比d 等于d 比BC ，再等于BC 比a ，同时d 等于FL ，BC 等于FK ，而a 等于FH ，于是：EF 比FL 等于LF 比FK ，再等于FK 比FH 。由分比得，EL 比LF 等于LK 比FK ，再等于KH 比FH （命题VII.11、VII.13） 。
因为前项之一比后项之一等于前项之和比后项之和，所以：KH 比FH 等于EL、LK、KH 之和比LF、FK、HF 之和（命题VII.12） 。
又，KH 等于CG ，FH 等于a ，又，LF、FK、HF 之和等于d、BC、a 之和，所以：CG 比a 等于EH 比d、BC、a 之和。
所以：从第二个数得到的差比第一个数等于从最后一个数得到的差比最后一个数以前各数之和。
所以：如果众数成连比，从第二个和最后一个中减去等于第一个的数，那么从第二个数得的差比第一个数等于从最后一个数得的差比最后一个数以前各项之和。
证完
注解
这一命题说，如果一个序列数a 1 、a 2 、a 3 、…a n 、a n ＋1 成比例：
a 1 ∶a 2 ＝a 2 ∶a 3 ＝…＝a n ∶a n ＋1 ，
那么：
（a 2 -a 1 ）∶a 1 ＝（a n ＋1 -a 1 ）∶（a 1 ＋a 2 ＋…＋a n ）。
这一结论给出了处理多项式相加的方法，如下的命题如：
如果用a 表示第一项，用r 表示比率，那么这也给出了一个常见的公式：
这一证明解释为代数概念为：
a ＝a 1 ， BG ＝FH ＝a 1 ，
BC ＝a 2 ， GC ＝a 2 -a 1 ，
… EH ＝a n ＋1 -a 1 ，
d ＝a n ，
EF ＝a n ＋1 。
对于每一个命题来说，首先：
a n ＋1 ∶a n ＝a n ∶a n -1 ，
根据命题VII.11分别可得：
（a n ＋1 -a n ）∶（a n -a n -1 ）＝a n ∶a n -1 ，
那么由更比：
（a n ＋1 -a n ）∶a n ＝（a n -a n -1 ）∶a n -1 。
