首先，如果可能，设AB 与BC 的乘积加上CE 的平方等于BE 的平方，GA 是单位DE 的两倍。
因为总量AC 是总量CD 的两倍，在它们中AG 是DE 的两倍，所以：余值GC 也是余值EC 的两倍，所以：GC 被E 平分。
所以：GB、BC 的乘积加CE 的平方等于BE 的平方（命题II.6） 。
而AB、BC 的乘积加CE 的平方根据假定也等于BE 的平方，所以：GB、BC 的乘积加上CE 的平方等于AB、BC 的乘积加CE 的平方。
又，如果，减去共同的CE 上的平方，那么：AB 就等于GB ，这是荒谬的。
所以：AB、BC 的乘积加CE 的平方不等于BE 的平方。
进一步说，它也小于BE 的平方。
因为，如果可能，设其等于BF 的平方，HA 是DF 的两倍。
那么现在，HC 也是CF 的两倍，那么：CH 在F 点上被平分，同理，HB、BC 的乘积加FC 的平方等于BF 的平方。
而假设AB、BC 的乘积加CE 的平方也等于BF 的平方。
于是：HB、BC 的乘积加CF 的平方也等于AB、BC 的乘积加CE 的平方，这是荒谬的。
所以：AB、BC 的乘积加CE 的平方不小于BE 的平方。
又，已经证明它也不等于BE 的平方。
所以：AB、BC 的乘积加CE 的平方不是一个平方数。
所以：可以找到两个平方数，它们的和不是一个平方数。
证完
命题X.29
在仅正方可公约的两有理线上作正方形，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其差为与大线段在长度上可以公约的一条线段的正方形。
设：AB 为有理线，CD 和DE 是平方数，所以它们的差CE 不是平方数（命题X.28、引理1） 。
在AB 上作半圆AFB ，使DC 比CE 同于BA 上的正方形比AF 上的正方形，连接FB （命题X.6及其推论） 。
因为BA 上的正方形比AF 上的正方形同于DC 比CE ，所以：BA 上的正方形比AF 上的正方形同于数DC 比数CE 。所以：BA 上的正方形与AF 上的正方形是可公约量（命题X.6） 。
而，AB 上的正方形是有理的，所以：AF 上的正方形也是有理的。所以：AF 也是有理的（定义X.4） 。
又因为：DC 比CE 不同于一个平方数比一个平方数，则BA 上的正方形与AF 上的正方形的比不同于一个平方数与一个平方数的比。所以：AB 与AF 在长度上是不可公约的（命题X.9） 。
所以：BA、AF 仅是正方可公约有理线。
又，因为DC 比CE 同于BA 上的正方形比AF 上的正方形，所以，由换比可得，CD 比DE 同于AB 上的正方形比BF 上的正方形（命题V.19及其推论，命题III.31、I.47） 。
而CD 比DE 同于一个平方数比一个平方数，所以：AB 的平方比BF 的平方同于一个平方数比一个平方数。所以：AB 与BF 是在长度上可以公约的量（命题X.9） 。
又，AB 上的正方形等于AF、BF 上的正方形之和，所以：AB 上的正方形大于AF 上的正方形，其大于值是与AB 可以公约的BF 上的正方形。
所以：两条仅正方可公约的有理线段BA、AF 被找出来，其中较大的线段AB 上的正方形大于较小线段AF 上的正方形，其大于的值是与AB 在长度上可以公约的线段BF 上的正方形。
证完
注解
这一命题应用在命题X.31和X.32中。
命题X.30
在仅正方可公约的两条有理线段，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其大于值是与大线段在长度上可以公约的一条线段上的正方形。
设：有理线AB ，CE 和ED 是两个平方数，它们的和CD 不是平方数。在AB 上作半圆AFB ，使DC 比CE 同于BA 上的正方形比AF 上的正方形。连接FB （命题X.29、引理2、命题X.6及其推论） 。
那么，类似于前面命题，我们可以证明BA、AF 是仅正方可公约有理线段。
因为DC 比CE 同于BA 上的正方形比AF 上的正方形，所以：由换比可得，CD 比DE 同于AB 上的正方形比BF 上的正方形（命题V.19及其推论，命题III.31、I.47） 。
而，CD 比DE 不同于一个正方形比一个正方形，所以：AB 上的正方形比BF 上的正方形也不同于一个平方数比一个平方数。所以：AB 与BF 是在长度上不可公约的量（命题X.9） 。
又，AB 上的正方形大于AF 上的正方形，其大于值是与AB 不可公约的线FB 上的正方形。
所以：AB 和AF 是仅正方可公约线段，且AB 上的正方形大于AF 上的正方形，其大于的值是与AB 在长度上不可公约的线FB 上的正方形。
所以：在仅正方可公约的两条有理线段，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其大于值是与大线段在长度上可以公约的一条线段上的正方形。
证完
注解
这一命题应用在下一命题开始的三个命题之中。
命题X.31
两条仅正方可公约的中项线，构成一个有理矩形，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其大于的值是与大线段在长度上可公约的线段上的正方形。
设：两条有理线a 和b 是仅正方可公约线段，a 上的正方形较大，b 上的较小，那么其差是与a 在长度上可以公约的线段上的正方形（命题X.29） 。
令：c 上的正方形等于a 和b 构成的矩形。
那么：a 和b 构成的矩形是中项面。所以：c 上的正方形也是中项面。所以：c 也是中项线（命题X.21） 。
令：c 和d 构成的矩形等于b 上的正方形。
那么：b 上的正方形是有理的。所以：c 和d 构成的矩形也是有理的。又，因为：a 比b 同于a、b 构成的矩形比b 上的正方形，同时，c 上的正方形等于a 和b 构成的矩形，而c 和d 构成的矩形等于b 上的正方形，所以：a 比b 同于c 上的正方形比c、d 构成的矩形。
又，c 上的正方形比c 和d 构成的矩形同于c 比d 。
所以：a 比b 同于c 比d 。
又，a 与b 是仅正方可公约量，所以：c 与d 也是仅正方可公约量（命题X.11） 。
又，c 是中项线，所以：d 也是中项线（命题X.23） 。
因为a 比b 同于c 比d ，而a 上的正方形大于b 上的正方形，其差是与a 可公约的线段上的正方形，所以：c 上的正方形大于d 上的正方形，其差是与c 可以公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
所以：仅知两条仅正方可公约的中项线c 和d ，一个有理矩形被找出来，c 上的正方形大于d 上的正方形，其差是与c 在长度上可公约的线段上的正方形。
类似地，也可以证明出，当a 上的正方形大于b 上的正方形，其差是与a 不可公约的线段上的正方形时，c 上的正方形大于d 上的正方形，其差是与c 不可公约的线段上的正方形（命题X.30） 。
所以：两条仅正方可公约的中项线，构成一个有理矩形，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其大于的值是与大线段在长度上可公约的线段上的正方形。
证完
注解
这一命题应用在命题X.34和X.35中。
命题X.32
两条仅正方可公约的中项线，构成一个中项矩形，大线上的正方形大于小线上的正方形，其差为与大线可公约的线段上的正方形。
设：a、b、c 是仅正方可公约的三条有理线，a 上的正方形大于c 上的正方形，其差是与a 可以公约的线段上的正方形。d 上的正方形等于a 和b 构成的矩形（命题X.29） 。
那么，d 上的正方形是中项面，于是：d 也是中项线（命题X.21） 。
设：d、e 构成的矩形等于b、c 构成的矩形。
那么，因为a、b 构成的矩形比b、c 构成的矩形同于a 比c ，同时d 上的正方形等于a、b 构成的矩形；又，d、e 构成的矩形等于b、c 构成的矩形，所以：a 比c 同于d 上的正方形比d、e 构成的矩形。
又，d 上的正方形比d、e 构成的矩形同于d 比e ，a 比c 同于d 比e 。而a 与c 是仅正方可公约量，所以：d 与e 也是仅正方可公约量（命题X.11） 。
又，d 是中项线，所以：e 也是中项线（命题X.23） 。
又，因为a 比c 同于d 比e ，同时a 上的正方形大于c 上的正方形，其差为与a 可以公约的线段上的正方形，所以：d 上的正方形大于e 上的正方形，其差是与d 可以公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
那么进一步说：d 和e 构成的矩形也是中项面。
因为b、c 构成的矩形等于d、e 构成的矩形，同时，b、c 构成的矩形是中项面，所以：d、e 构成的矩形也是中项面（命题X.21） 。
所以：两个中项线d、e 是仅正方可公约的，且构成中项矩形，大线上的正方形大于小线上的正方形，其差为与大线可公约的线段上的正方形。
类似地又可以证明，当a 上的正方形大于c 上的正方形，其差为与a 可公约的线段上的正方形时，d 上的正方形大于e 上的正方形，其差是与d 可公约的线段上的正方形（命题X.30） 。
所以：两条仅正方可公约的中项线，构成一个中项矩形，大线上的正方形大于小线上的正方形，其差为与大线可公约的线段上的正方形。
证完
引理
设：ABC 为一个直角三角形，∠BAC 为直角，AD 是垂线。
求证：CB、BD 构成的矩形等于BA 上的正方形，BC、CD 构成的矩形等于CA 上的正方形，BD、DC 构成的矩形等于AD 上的正方形，BC、AD 构成的矩形等于BA、AC 构成的矩形。
首先，CB、BD 构成的矩形等于BA 上的正方形。
因为在直角三角形中，AD 垂直于底边，于是：三角形ABD 、三角形ADC 皆与三角形ABC 相似，且它们彼此相似（命题VI.8） 。
因为三角形ABC 相似于三角形ABD ，那么：CB 比BA 同于BA 比BD 。于是：CB、BD 构成的矩形等于AB 上的正方形。同理，BC、CD 构成的矩形也等于AC 上的正方形（命题VI.17） 。
因为，如果在一个直角三角形中，直角向边引的线垂直于底边，那么该垂线也是所分底边两段的比例中项线，所以：BD 比DA 同于AD 比DC 。
所以：BD、DC 构成的矩形等于AD 上的正方形（命题VI.8及其推论、命题VI.17） 。
那么：BC、AD 构成的矩形也等于BA、AC 构成的矩形。因为：如上所述，三角形ABC 相似于三角形ABD ，那么：BC 比CA 同于BA 比AD （命题VI.4） 。
所以：BC、AD 构成的矩形等于BA、AC 构成的矩形（命题VI.16） 。
证完
命题X.33
两条正方不可公约的线段，其上的正方形之和是有理的，它们构成的矩形是中项面。
设：两条正方可公约的有理线段AB 和BC ，AB 上的正方形大于BC 上的正方形，其差是与AB 不可公约的线上的正方形（命题X.30） 。
在D 点平分BC ，在AB 上作矩形，使之等于BD 或DC 上的正方形且缺少一个正方形，设其为AE、EB 构成的矩形（命题VI.28） 。
在AB 上作半圆AFB ，作EF 与AB 成直角，连接AF 和FB 。
因为：AB 和BC 是不等线段，AB 上的正方形大于BC 上的正方形，其差是与AB 不可公约的线段上的正方形，同时，在AB 上作的矩形等于BC 上的正方形的四分之一，即是AB 的一半的正方形，即为AE 和EB 构成的矩形。所以：AE 与EB 是不可公约量（命题X.18） 。
又，AE 比EB 同于BA、AE 构成的矩形比AB、BE 构成的矩形，同时，BA 和AE 构成的矩形等于AF 上的正方形，AB 和BE 构成的矩形等于BF 上的正方形。所以：AF 上的正方形与FB 上的正方形是不可公约量。所以：AF、FB 是正方不可公约量。
因为AB 是有理的，那么：AB 上的正方形也是有理的，于是：AF、FB 上的正方形之和也是有理的（命题I.47） 。
又，因为AE 和BE 构成的矩形等于EF 上的正方形，根据假设，AE 和EB 构成的矩形也等于BD 上的正方形，于是：FE 等于BD 。于是：BC 是FE 的两倍。于是：AB 和BC 构成的矩形与AB、EF 构成的矩形也是可公约量。
又，AB 和BC 构成的矩形是中项面，所以：AB 和EF 构成的矩形也是中项面（命题X.21、命题X.23及其推论） 。
又，AB 和EF 构成的矩形等于AF 和FB 构成的矩形，所以：AF 和FB 构成的矩形也是中项面（命题X.32、引理） 。又，已经证明，这些线段上的正方形之和也是有理的。
所以：两条正方不可公约的线段AF、FB 被找出，其上的正方形之和是有理的，它们构成的矩形是中项面。
证完
指算
手指可能是最方便的计算工具，孩子初学计算，总是先扳手指头，大人们说话时为了强调某一数字也常常伸出手指。1494年，意大利人帕乔利（1445—1517年）著《算术、几何、比与比例集成》，该书总结了自中世纪以来的几乎全部数学知识，对传播数学起了一定的作用。其中特别介绍了指算法，并给出了图中的用手指表示数目的方法。
注解
引理的第一部分完成命题I.47，但是其证明依赖卷6中的相似三角形。
这一命题应用在命题X.39和X.76中。
命题X.34
两条正方不可公约的线，它们的正方形之和是中项面，它们构成的矩形是有理的。
设：两条中项线AB、BC 是正方可公约的，它们构成的矩形是有理的，AB 上的正方形大于BC 上的正方形，其差是与AB 不可公约的线段上的正方形（命题X.31） 。
在AB 上作半圆ADB ，再在AB 上作矩形，使之等于BE 上的正方形且缺少一个正方形，及AF、FB 构成的矩形，那么：AF、FB 在长度上是不可公约的（命题VI.28、X.18） 。
从F 点作FD ，使之与AB 形成直角，连接AD、DB 。
因为AF 与FB 是在长度上不可公约的，所以：BA、AF 构成的矩形与AB、BF 构成的矩形也是不可公约的（命题X.11） 。
又，BA 与AF 构成的矩形等于AD 上的正方形，AB 与BF 构成的矩形等于DB 上的正方形，所以：AD 上的正方形与DB 上的正方形也是不可公约的。
又，因为AB 上的正方形是中项面，所以：AD 与DB 上的正方形之和也是中项面（命题III.31、I.47） 。
又，因为BC 是DF 的两倍，所以：AB、BC 构成的矩形也是AB 与FD 构成的矩形的两倍。
又，AB、BC 构成的矩形是有理的，所以：AB、FD 构成的矩形也是有理的（命题X.6） 。
又，AB、FD 构成的矩形等于AD、DB 构成的矩形，所以：AD、DB 构成的矩形也是有理的（命题X.33、引理） 。
所以：两条正方不可公约的线段AD、DB 被发现，它们的正方形之和是中项面，它们构成的矩形是有理的。
证完
注解
这一命题应用在命题X.40中。
命题X.35
两条正方不可公约的线段可以证得，其上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形亦为中项面，且该矩形与上述两正方形的和是不可公约量。
设：两条中项线AB、BC 是仅正方可公约的，它们构成中项矩形，AB 上的正方形大于BC 上的正方形，其差为与AB 不可公约的线段上的正方形，在AK 上作半圆ADB ，作如前所述的图形（命题X.31） 。
因为AF 与FB 在长度上是不可公约的，于是：AD 与DB 也是正方形不可公约的量（命题X.18、X.11） 。
因为AB 上的正方形是中项面，所以：AD、DB 上的正方形之和也是中项面（命题III.31、I.47） 。
因为AF、FB 构成的矩形等于BE、DF 之一上的正方形，所以：BE 等于DF 。所以：BC 是FD 的两倍。所以：AB、BC 构成的矩形是AB、FD 构成的矩形的两倍。而AB、BC 构成的矩形是中项面，所以：AB、FD 构成的矩形也是中项面（命题X.32及其推论） 。
又，它等于AD、DB 构成的矩形，所以：AD、DB 构成的矩形也是中项面（命题X.33、引理） 。
因为AB 与BC 是在长度上不可公约的，同时，CB 与BE 是可公约的，于是：AB 与BE 在长度上也是不可公约的。于是：AB 上的正方形与AB、BE 构成的矩形也是不可公约的（命题X.13、X.11） 。
而，AD、DB 上的正方形之和等于AB 上的正方形，AB、FD 构成的矩形，即AD、DB 构成的矩形，等于AB、BE 构成的矩形。所以：AD、DB 上的正方形之和与AD、DB 构成的矩形是不可公约的（命题I.47） 。
所以：正方不可公约的两条线段AD、DB ，其上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形亦为中项面，且该矩形与上述两正方形的和是不可公约量。
证完
注解
这一命题应用在命题X.41和X.78中。
命题X.36
两条仅正方可公约的有理线段相加，其和是无理的，我们称之为二项线。
设：两条仅正方可公约的线段AB、BC 相加。
求证：其和AC 是无理的。
因为：AB 与BC 是长度上不可公约的，它们是仅正方可公约的。
而AB 比BC 同于AB、BC 构成的矩形比BC 上的正方形，所以：AB 与BC 构成的矩形与BC 上的正方形是不可公约的（命题X.11） 。
又，AB、BC 构成的矩形的两倍与AB、BC 构成的矩形是可公约的，AB、BC 上的正方形之和与BC 上的正方形是可公约的，因为AB 和BC 是仅正方可公约有理线段，所以：AB、BC 构成的矩形的两倍与AB、BC 上的正方形之和是不可公约量（命题X.6、X.15、X.13） 。
又，由合比可得，AB、BC 构成的矩形的两倍加AB、BC 上的正方形，即AC 上的正方形与AB、BC 上的正方形之和是不可公约的（命题II.4、X.16） 。
因为，AB、BC 上的正方形之和是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 也是无理的。
我们称之为二项线（定义X.4） 。
所以：两条仅正方可公约的有理线段相加，其和是无理的，我们称之为二项线。
证完
注解
这一命题从本卷下一命题开始有大量的应用。
命题X.37
如果仅正方可公约的两条中项线，构成一个有理矩形，那么，两中项线之和是无理的，此线段被称为第一双中项线。
设：两条中项线AB、BC 是仅正方可公约线段，构成一个有理矩形。将两线段相加得AC 。
求证：总量AC 是无理的。
因为AB 与BC 是在长度上不可公约的，所以：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的2倍也是不可公约的，由合比可得，AB 和BC 上的正方形之和加上AB、BC 构成的矩形的2倍，即AC 上的正方形，与AB、BC 构成的矩形是不可公约的（命题X.36、II.4、X.16） 。
又，AB、BC 构成的矩形是有理的，因为，根据假设，AB、BC 是构成一个有理矩形的两线段，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 是无理的。我们把它称为第一双中项线（定义X.4） 。
所以：如果仅正方可公约的两条中项线，构成一个有理矩形，那么，两中项线之和是无理的，此线段被称为第一双中项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.43以及其他几个命题中。
命题X.38
如果仅正方可公约并构成一个中项矩形的两条中项线相加，那么两中项线段之和是无理的，我们称此线段为第二双中项线。
设：两条中项线AB、BC 仅正方可公约，并构成一个中项矩形。两线相加。求证：AC 是无理的。
令：DE 为有理线段，在DE 上作矩形DF ，使之等于AC 上的正方形，DG 为宽（命题I.44） 。
因为AC 上的正方形等于AB、BC 上的正方形与AB、BC 构成的矩形的2倍之和，令EH 是在DE 上作的矩形等于AB、BC 上的正方形之和，那么：余值HF 等于AB、BC 构成的矩形的2倍（命题II.4） 。
因为AB、BC 两条线段皆为中项线，于是：AB、BC 上的正方形也是中项面。根据假设，AB、BC 构成的矩形的2倍也是中项面。又，EH 等于AB、BC 上的正方形之和，同时，FH 等于AB 与BC 构成的正方形的2倍，所以：EH 和HF 皆是中项面。
又，它们是作在有理线段DE 上的，所以：DH、HG 皆是有理线段，并与DE 在长度上不可公约（命题X.22） 。
因为AB、BC 在长度上不可公约，且AB 比BC 同于AB 上的正方形比AB、BC 构成的矩形，所以：AB 上的正方形与AB、BC 构成的矩形是不可公约的（命题X.11） 。
又，AB、BC 上的正方形之和与AB 上的正方形是可公约的，AB、BC 构成的矩形的2倍与AB、BC 构成的矩形是可公约量（命题X.15、X.6） 。
所以：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的2倍是不可公约的（命题X.13） 。
又，EH 等于AB、BC 上的正方形之和，且HF 等于AB、BC 构成的矩形的2倍。
所以：EH 与HF 是不可公约的，所以：DH 与HG 也是在长度上不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：DH、HG 是仅正方可公约的有理线段，所以：DG 是无理的（命题X.36） 。
又，DE 是有理的，构成一条无理线段和一条有理线段的矩形是无理面。
所以：面DF 是无理的，而与DF 相等的正方形的边是无理的（命题X.20、定义X.4） 。
而AC 是等于DE 的正方形的边，所以：AC 是无理的。
我们称它为第二双中项线。
所以：如果仅正方可公约并构成一个中项矩形的两条中项线相加，那么两中项线段之和是无理的，我们称此线段为第二双中项线。
证完
注解
本命题应用在命题X.44和其他几个命题中。
命题X.39
如果两条线段正方不可公约，它们上的正方形相加是有理的；且它们构成中项矩形，那么，此二线是无理的，我们称它为主线。
设：两条线段AB、BC 是正方不可公约量，两线段相加得AC （命题X.33） 。求证：AC 是无理的。
因为AB、BC 构成的矩形是中项面，所以：AB、BC 构成的矩形的两倍也是中项面（命题X.6、命题X.23及其推论） 。
又，AB、BC 上的正方形之和是有理的，所以：AB、BC 构成的矩形的两倍和AB 与BC 上的正方形之和是不可公约的。所以：AB、BC 上的正方形之和加上AB、BC 构成的矩形的两倍，即是AC 上的正方形。也与AB、BC 上的正方形之和不可公约。所以：AC 上的正方形是无理的，所以：AC 也是无理的。
所以：我们称它为主线（命题X.16、定义X.4） 。
证完
注解
这一命题应用在本卷的命题X.57和其他几个命题中。
命题X.40
如果两条线段正方不可公约，它们的正方形之和是中项面，而它们构成的矩形是有理的，并与二线段正方形之和不可公约，那么，两线段之和是无理的。我们称它为两中项面有理面之和的边。
设：两条线段AB、BC 是正方不可公约量，它们相加得AC （命题X.34） 。
那么：AC 是无理的。
因为AB、BC 上的正方形是中项面，同时，AB、BC 构成的矩形的两倍是有理的，所以：AB、BC 上正方形之和与AB、BC 构成的矩形的两倍是不可公约的。所以：AC 上的正方形与AB、BC 构成的矩形的两倍也是不可公约的（命题X.16） 。
而，AB 与BC 构成的矩形的两倍是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的（定义X.4） 。
所以：AC 是无理的。我们称它为两中项面有理面之和的边。
证完
注解
这一命题应用在本卷的命题X.46和其他几个命题之中。
命题X.41
如果两条正方不可公约线段上的正方形之和是中项面，且它们构成的矩形也是中项面，并与它们的正方形之和不可公约，那么两条线段之和是无理的。我们称该线为两中项面之和的边。
设：两条线段AB、BC 是正方不可公约的，它们相加得AC （命题X.35） 。
求证：AC 是无理的。
令：作有理线段DE ，在DE 上作矩形DF ，使之等于AB、BC 上的正方形之和。再作矩形GH ，使之等于AB、BC 构成的矩形的两倍，那么，总量DH 等于AC 上的正方形（命题II.4） 。
现在，因为AB、BC 上的正方形之和是中项面，并等于DF ，所以：DF 也是中项面。而它是作在有理线DE 上的，所以：DG 与DE 是在长度上不可公约的有理线。同理，GK 与GF ，即DE ，也是在长度上不可公约的有理线（命题X.22） 。
因为AB 和BC 上的正方形之和与AB 及BC 构成的矩形的两倍是不可公约的，所以：DF 与GH 是不可公约的，所以：DG 与GK 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们是有理的，所以：DG、GK 是仅正方可公约的有理线，所以：DK 是被称为二项线的无理线（命题X.36） 。
又，DE 是有理的，所以：DH 是无理的，且与它相等的正方形的边是无理的（定义X.4） 。
又，AC 是等于HD 的正方形的边，所以：AC 是无理的。
所以：我们称该线为两中项面之和的边。
证完
注解
这一命题应用在本卷的命题X.65和其他几个命题之中。
命题X.42
一条二项线仅能在一个点上被分为两个部分。
设：AB 是给定的二项线段，在C 点上被分割，AC 和CB 是仅正方可公约的有理线段。
求证：AB 不可能在另外一点上分割成两条仅正方可公约的线段。
因为，假如可能，令其在D 点分割，那么AD 和DB 也是仅正方可公约的线段。
这表明，AC 不同于DB 。
否则，AD 也就同于CB ，而AC 比CB 同于BD 比DA ，于是：AB 在D 点被分割便同于在C 点被分割。这与假设是矛盾的。
所以：AC 不同于DB 。
同理，点D 和点C 离中点不相等。
所以：AC、CB 上的正方形之和与AD、DB 上的正方形之和的差，等于AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍的差。因为：AC、CB 上的正方形加AC、CB 构成的矩形的两倍，与AD、DB 上的正方形加AD、DB 构成的矩形的两倍，都等于AB 上的正方形（命题II.4） 。
又，AC、CB 上的正方形之和与AD、DB 上的正方形之和的差是有理面，因为两者都是有理面。所以：AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍的差也是个有理面。然而，它们是中项面，这是荒谬的，因为：两个中项面的差不可能是有理面（命题X.21、X.26） 。
所以：一条二项线不可能在不同的点上分为两段，所以：它只能被一点分为两段。
所以：一条二项线仅能在一个点上被分为两个部分。
证完
注解
这一命题应用在命题X.47中。
命题X.43
第一双中项线仅能在一点上被分为两段。
设：AB 为第一双中项线，在C 点被分为两段，使得：AC、CB 成为两条仅正方可公约的中项线，并可构成一个有理矩形（命题X.37） 。
那么：不可能有另外一个点分AB 为如此两段。
假如可能有另外一点，令其为D 点，那么：AD、DB 也是仅正方可公约的中项线，并构成一个有理矩形。
那么，因为AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍的差，等于AC、CB 上的正方形之和与AD、DB 上的正方形之和的差；同时，AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍的差为一个有理面，因为两者皆为有理面，所以：AC、CB 上的正方形之和与AD、DB 上的正方形之和的差为一个有理面。然而，它们是中项面，这是荒谬的（命题X.26） 。
所以：第一双中项线不可能在不同的点上分为两段，所以：它只能在一个点上被分为两段。
所以：第一双中项线仅能在一点上被分为两段。
证完
命题X.44
一个第二双中项线只可在一点被分为两段。
设：AB 为一个第二双中项线，被C 点切分，使AB、CB 成为两条仅正方可公约线，其构成的矩形是中项面。显然，C 不是AB 的平分点，因为它们长度上是不可公约的（命题X.38） 。
求证：没有其他的点可分AB 为如此的两段。
假如可能有另外一点，令其为D 点，那么：AC、DB 是不同的，而AC 假设较大，那么：正如我们上面的证明，AD、DB 上的正方形之和小于AC、CB 上的正方形之和。
假定AD、DB 是仅正方可公约的两条中项线。并构成一个有理矩形（命题X.32、引理） 。
令：作一条有理线段EF ，在EF 上作矩形EK 等于AB 上的正方形，从中减去等A 于AC、CB 上的正方形之和的EG 。那么：其余值HK 等于AC、CB 构成的矩形的两倍。
又，从中减去等于AD、DB 上的正方形之和的EL ，它已被证明小于AC、CB 上的正方形之和，那么：余值MK 也等于AD、DB 构成的矩形的两倍（命题X.32、引理） 。
那么，现在，AC、CB 上的正方形是中项面，所以：EG 是中项面。
又，它们是作在有理线段EF 上的，所以EH 与EF 在长度上是不可公约的（命题X.22） 。
同理，HN 与EF 在长度上也是不可公约的。
又，因为AC、CB 是两条中项线段，并仅正方可公约，于是：AC、CB 是在长度上不可公约的。
又，AC 比BC 同于AC 上的正方形与AC、CB 构成的矩形之比，于是：AC 上的正方形与AC、CB 构成的矩形不可公约（命题X.11） 。
而AC、CB 上的正方形之和与AC 上的正方形是可公约的，因为：AC 和CB 仅正方可公约（命题X.15） 。
又，AC、CB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形是可公约的（命题X.6） 。
所以：AC、CB 上的正方形与AC、CB 构成的矩形的两倍是不可公约的（命题X.13） 。
又，EG 等于AC、CB 上的正方形之和，而HK 等于AC、BC 构成的矩形的两倍，所以：EG 与HK 是不可公约的。所以：EH 与HN 在长度上也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们是有理的，所以：EH 和HN 是有理线段，并仅正方可公约。
如果两条仅正方可公约的有理线段相加，那么其总量是无理的，它被称为二项线（命题X.36） 。
所以：EN 是一个二项线，在H 点上被切分，同理，EM、MN 也可证明是有理线，仅正方可公约；EN 是在不同的点H、M 上被切分的二项线。EH 不同于MN ，因为AC、CB 上的正方形之和大于AD、DB 上的正方形之和。
而AD、DB 上的正方形之和大于AD、DB 构成的矩形的两倍，所以：AC、BC 上的正方形之和，即EG ，远远大于AD、DB 构成的矩形的两倍，即MK ，所以：EH 也大于MN 。所以：EH 不同于MN 。
所以：一个第二双中项线只可在一点被分为两段。
证完
命题X.45
一条主线仅能在一点上被分为两段。
设：AB 为主线，在C 点上被切分，使AC、CB 成为正方不可公约的。且AC、CB 上的正方形之和是有理的，而AC、CB 构成的矩形是中项面（命题X.39） 。
求证：AB 不可能在另一个点上分为如此的两段。
假如可能有另外一点，令其在D 点被切分，那么AD、DB 是仅正方不可公约的量，而AD、DB 上的正方形之和是有理的，但，它们构成的矩形是中项面。
那么，因为AC、CB 上的正方形之和，与AD、DB 上的正方形之和的差，等于AD、DB 构成的矩形的两倍和AC 与CB 构成的矩形的两倍的差；同时，AC、CB 上正方形的和与AD、DB 上的正方形之和的差是有理面，因为两者皆是有理面。然而，它们是中项面，这是不可能的（命题X.26） 。
所以：一条主线不可能在不同的点上被切分。
所以，AD、DB 构成的矩形的两倍，与AC、CB 所构成的矩形的两倍之差是有理面。
所以：一条主线仅能在一点上被分为两段。
证完
命题X.46
一个中项面有理面和的边仅能在一点上被分为两段。
设：AB 为一条有理面中项面和的边，在C 点被切分，那么：AC、CB 是正方不可公约量，AC、CB 上的正方形之和是中项面，而AC、CB 构成的矩形的两倍是有理的（命题X.40） 。
求证：没有另外的一个点可以切分AB 为如此的两段。
假设可能有另外一点，设它为D 点，那么：AD、DB 也是正方不可公约量，且AD、DB 的正方形之和是中项面，AD、DB 构成的矩形的两倍是有理的。
那么因为：AC、CB 构成的矩形的两倍与AD、DB 构成的矩形的两倍的差，等于AD、DB 的正方形之和与AC、CB 的正方形之和的差。
同时，AC、CB 构成的矩形与AD、DB 构成的矩形的两倍之差是有理面，所以：AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差是有理面，然而，它们是中项面，这是不可能的（命题X.26） 。
所以：一个中项面有理面和的边仅能在一点上被分为两段。
证完
命题X.47
一个两中项面之和的边，仅能在一点上被分为两段。
设：AB 在C 点上被切分，那么：AC、CB 是正方不可公约的，AC、CB 上的正方形之和是中项面，而AC、CB 构成的矩形是中项面，AC、CB 构成的矩形与它们上的正方形也是不可公约的（命题X.41） 。
求证：没有另外的点可以分AB 为两段，满足给定的条件。
假设可能有这样一点，令其为D 点，那么：AC 当然不同于BD ，而AC 被假设为大。
令：作一条有理线段EF ，在EF 上作矩形EG 等于AC、CB 上的正方形之和，并作矩形HK 等于AC、CB 构成的矩形的两倍，那么：总量EK 等于AB 上的正方形（命题II.4） 。
又，在EF 上作矩形EL ，使之等于AD、DB 上的正方形之和，那么：其余值，AD、DB 构成的矩形的两倍，等于余值MK 。
