晚期希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯（约公元100年） 和丢番图（约公元250年） 。尼科马霍斯著有《算术入门》，丢番图著有《算术》，其主要内容是数的理论，而大部分内容可以归入代数的范畴。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世的影响仅次于《几何原本》。
325年，罗马帝国的君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治的工具，他把一切学术都置于基督教神学的控制之下。529年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令关闭雅典的柏拉图学园以及其他学校，严禁传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地，数学研究受到沉重打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁。公元415年，女数学家、新柏拉图学派的领袖希帕提娅 [15] 遭到基督徒的野蛮杀害。她的死标志着希腊文明的衰弱，亚历山大里亚大学极富创造力的日子也随之一去不复返。至此，希腊数学告一段落。
五、欧几里得的宗教情怀
对于欧几里得来说，几何是近神的，这与我们通常的理解刚好相反。因此，与其把《几何原本》当数学阅读，不如将其视为诗歌或哲学，这更接近欧几里得的动机。
在欧几里得生活的时代较早前的几百年，是希腊思想鼎盛的时代，人们研究人自身的问题以及人所面对的宇宙问题，这成为整个希腊的精神气质，构成了远古时代知识分子的日常生活和基本话题。苏格拉底年轻时常常站在大街上拉着过路的行人就要求辩论一番，以企图寻找人、人群、物质、精神等存在的本来意义。众哲学家在思考着这些问题：人所寄居的宇宙到底是什么？人到底是什么？要干什么？
为阐释宇宙的本质，灿若群星的哲学思想繁衍旺盛，哲学家们要寻找世界的“始基” [16] 、构成宇宙的基本元素以及万千复杂世界所依的根本。他们将整体的复杂还原为要素，而要素的变化、过程、次序、排列、关系成为寻找对象。
巴门尼德 [17] 则把元素抽象为“唯一的、不动的、永恒的”东西，按照他的描述，“存在着一条最后的边界，它在各方面都是完全的，好像一个滚圆的球体，从中心到每一个方面的距离都相等”。黑格尔讽刺说，巴门尼德弄出来的是“一片简单的阴影”。但也有后人讽刺黑格尔说，他弄出来的“不过是个上帝的身体”；德谟克里特也不相信，他提出了自己的原子论，他坚信宇宙的本质是原子与虚空的结合，它们作为最小的存在构成了万物，只要找到原子的面貌，世界的本质就昭然若揭了，同时他也提出人的灵魂是另一类原子的运动；赫拉克利特 [18] 则不同意这一观点，他认为本质是火，万物皆流，无物常住，那变动不居的火就是世界的本质，流变就是世界的本质，那团不生不灭、永恒存在的“活火”主宰了我们的世界；阿那克西美尼却不同意他的观点，他认为本质是“气”；阿那克西曼德又不同意这一观点，他认为那基本元素虽然存在，但却不具有任何定性，永远不能定名，也不能描述，它是不可知的一个元素。集哲学家、预言者、科学家和江湖术士为一身的恩培多克勒（约前483—前435年） 则发现了“气”。在倒着把瓶子放入水中而水不能进入瓶子时，他发现空气是一种存在的物质，于是他认为土、气、火、水是世界的基本元素。这就是早期的自然哲学。
苏格拉底并不同意这样的解释，他在方法上另辟蹊径，用苏格拉底的方法，即通过辩论问题中的矛盾清晰事物的结论获得真理，真理的累加最后通达整个宇宙。苏格拉底的进步在于他已不把那“元素”或“始基”视为一种经验中的物质，而是抽象出他称为“真理”“规律”“理性法则”的东西。
柏拉图从他的《理想国》里提出“理念世界”一词，并宣布：现实世界是个假象，是个影子，是理念世界的投影，攀登上理念世界的人必须借着理性的绳索。他对几何学抱着虔诚的敬神式的热情，因为他看到既能满足于一切物质和空间，又不受时间腐蚀的点、线、面、角的规律之舞，“其品性接近于理念世界之物”，他相信，几何学可以修建通往理念世界的天梯。也就是说，柏拉图的元素或始基，是他描述的“理念世界”。柏拉图在他创办的雅典学园传播这些理论的时候，出现了一位杰出的学生——亚里士多德。这位跟着他二十年的学生更是青出于蓝而胜于蓝，集古希腊哲学之大成，他把宇宙的实质定义为“本体”，放弃了自然哲学中的那种宇宙本原的寻求。并由此发明出范畴、分类、逻辑、属性、一般与个别、本质与现象、思维与存在、理性与感性、可能性与现实、不变与变等矛盾关系。
另一条线对欧几里得来说有些特别，这条线得从泰勒斯开始。泰勒斯生活在公元前600年左右，首先，他认为世界的本质元素是“水”，水开万物，水是万物的本原。当希腊神话成为大众思想生活和精神生活的主流时，他却反希腊神话。他不能忍受用杜撰的故事来阐释造化天工，于是转而观察自然界的各种法则，希望从自然界内部找到他的神，于是他首创了在自然元素中寻找宇宙答案的方法。人类最早的“证明命题”方法应归功于他。
毕达哥拉斯是一位数学天才，由于超常的数学智力，他受到希腊公民的尊重，创建了宗教的哲学派别——毕达哥拉斯学派。他认为万物皆数，数是宇宙的根本，找到数就找到了宇宙的本原。这显然意味着，认识世界就要从数开始。只要运用定量方法来认识世界，就可以解开宇宙的终极秘密。但实际上当他发现无理数的存在时，就发现自己的思想基础已经崩溃，只是由于恐惧于群众的力量而不敢宣布。毕达哥拉斯学派把数学从那些显然的具体应用中抽象出来，企图解释这个宇宙。他们发现勾股定理时的那种惊喜无异于基督教徒找到上帝存在的一个证据时的惊喜。他们还发现了不可公约量，以及五种正多面体的存在，并把算术和几何图形结合起来。这些都为欧几里得的《几何原本》奠定了坚实的基础。
的确，在空间面前我们瑟瑟发抖。无论是在遥远的古希腊欧几里得时代，还是今天，我们对空间的认识，对宇宙的理解，仅仅迈出了很小的一步。我引用科学家、数学家、物理学家出身却反科学理性的法国思想家帕斯卡的一句话：“在这永恒沉默的空间面前，我瑟瑟发抖。”
这弥漫物质的空间，它的紧迫，它的压制，它的盲目流动，它的到来和去向……
苏格拉底、柏拉图师徒俩怀着深厚的几何学情结，这是因为他们想借这一工具找到上帝。苏格拉底看到，物质的速朽性和无常性使他自然联想到身体，再进一步联想到人的精神属性，这时他看到了几何学的特别属性：不受时空的腐蚀，它是永恒的、绝对的。这吻合了柏拉图的绝对理念，只有上帝是绝对的，于是，几何学可以修筑通往上帝的天梯。数世纪以后，有人修建巴别塔，企图通往天国。毕达哥拉斯学派同样抱着借数字之梯通向神的理想情怀。
欧几里得本人同样把几何学视为近神器物，这就产生了一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的侍从给他三个硬币的著名故事。汉语翻译的“几何”一词其实并不贴切，这不是圆满的译法，它失去了神性。“几何”意为事物数字意义上的多少，用于反问句。而希腊语是指“元素”“原理”，意即我们这个世界的基本元素，宇宙的基本元素以及构建这个宇宙的基本元素，这就是哲学中所说的“元素”“始基”。从点、线、面、距离、长度、角度出发描述的刚性空间是宇宙的本样，甚至可能是神的本样；换句话说，从空间中抽离出来的点、线、面是一切事物的元素，因此也是宇宙的元素。
欧几里得没有想到的是，两千余年以后，靠几何学寻找上帝依旧渺茫，而世俗性的应用却大规模建造了人类的物质文明。对于工业革命后兴盛的人造物质来说，几何学起到了支撑性作用。按照欧几里得批评他那位世俗的学生的理想主义思路，近现代社会从几何学角度来看，是一个失败的社会。
从这个角度讲，《原本》与其说是数学，不如说是描述宇宙的诗歌之舞，是一种宗教情怀，一种哲学。
六、毕达哥拉斯的狂醉
虽然不能考证欧几里得是否属于毕达哥拉斯学派，但他对数学的虔诚却与这个学派一脉相通。
毕达哥拉斯，这个宣布万物皆数的人，简直是历史上最有趣味而又最难理解的人物之一。混合了一堆真理与荒诞，他的数学天分成为他理解世界秩序却又恨铁不成钢的手段。他建立的巨大宗教社团成为最早的共产主义形式，其权力大到控制了整个国家。这也说明古希腊民众对天才精英们的虔诚，因为他们希望在天才的带领下找到生命的意义、宇宙的秩序。毕达哥拉斯把数夸张到世人难以理解的神秘境地，他甚至把数与某些意义直接联系起来，比如，规定“二”表示意见，“四”是正义，“五”是结婚，“十”是完满，如此等等，这的确让今人匪夷所思。
他所建立的团体不分男女都可以参加。财产是公有的，过着一种共同的生活，即使是科学和数学的发现也认为是集体的，而且，在一种神秘的意义上，都得归功于毕达哥拉斯，甚至于在他死后也还是如此。他们赞美沉思生活的道德，由此数学的秩序便受到同于神的敬仰。他把这些荒诞的秩序同数学秩序结合在一起，当成钥匙，用以打开世界之门。
被毕达哥拉斯所鼓舞的人们，一直保存着一种狂醉式的启示成分。这一点，对于那些在学校里无可奈何地学过一些数学的人们来说，好像是很奇怪的；然而，对于那些时时经历着由于数学上的豁然贯通而感到沉醉欢欣的人们以及那些喜爱数学的人们来说，毕达哥拉斯的观点则似乎自然得很，纵使它并不真实。仿佛经验的哲学家只是材料的奴隶，而纯粹的数学家正像音乐家一样，他们是那秩序井然、美丽世界的自由创造者。
欧几里得也有着同样的狂醉，但他不关心豆子和白公鸡，只对物质的物理数性结构痴迷。在他看来，找到这个数性结构，就找到了宇宙的基本“元素”和“始基”。万物基始于点、线、面、角以及它们的滋生繁衍、相互构成与转换，宇宙的舞蹈就是它们的数字舞蹈。因此，他坚信数学起源于实际应用的观点是不正确的，它更起源于人的精神困惑和对浩渺宇宙的描述欲望。
希腊数学产生了数学精神，即数学证明的演绎推理方法。数学的抽象化以及自然界依数学方式设计的信念，为数学乃至科学的发展起了至关重要的作用。而由这一精神所产生的理性、确定性、永恒的不可抗拒的规律性等一系列思想，则在人类文化发展史上占据了重要地位。因此伽利略就直接说“数学是上帝的语言”。毕达哥拉斯将数学和宗教联系起来，想通过数学去探索永恒的真理。
七、芝诺的狂醉
一开始，在哲学上就有人反驳欧几里得言论。先于欧几里得百年的芝诺发出了巨大的嘲讽声。按罗素的说法，迄今为止人们还不能真正懂得这其中的哲学意义。虽然亚里士多德批判了他，但罗素却对他的批判进行了批判。
芝诺是巴门尼德的学生兼朋友，他不满于赫拉克利特万物皆流的理论，创造出一套悖论（可惜他的著作没有流传下来） ，后人知道的仅有8个，比如如下4个悖论：二分说、阿喀琉斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论，还没有哪一个哲学家敢轻易对此下结论。
芝诺生于意大利半岛南部的埃利亚城邦，据说他在母邦度过了一生，仅在成名之后到过雅典。据传说，芝诺因蓄谋反对埃利亚的君主而被处死。关于他的生平，缺乏可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德篇》中，记载了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中有这样的文字：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时的芝诺约40岁，他身材魁梧、相貌堂堂，大家说他已经变成巴门尼德所钟爱的了。”在以后的希腊著作看来，这次访问是柏拉图虚构的。但柏拉图有关芝诺观点的记叙，却被普遍认为是准确的。在柏拉图的《巴门尼德篇》中，当芝诺谈到自己的著作《论自然》时，他这样说道：“由于年轻时的好胜完成此部著作，著成后即有人将它窃去，以致我不能决断是否应当让它问世。”芝诺不像他的老师那样试图从正面去证明是一不是多、是静不是动，他常常从反面即归谬法来为“存在论”辩护。公元5世纪的评论家普罗克洛斯说过，芝诺从“多”和“运动”的假设出发，一共推出了40个各不相同的悖论。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论最为著名。芝诺的著作早已失传，亚里士多德的物理学和辛普里西奥斯为物理学作的注解是了解芝诺悖论的主要途径，此外只有少量零散的文献可作参考。
亚里士多德批判“二分说”：他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别和无限的事物相接触。要知道，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，但能和分开的无限的事物相接触，因为时间本身是分开的也是无限的。批判“追龟说”时认为，在运动中领先的东西不能被追上的这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限距离，那么它也是可以被赶上的。批判“飞箭静止说”（我国的庄子，也提出过相同的思想，在《天下篇》中有：“飞鸟之景，未尝动也。”） 时认为，他的这个说法是错误的，因为时间不是由不可分的“现在”组成的，正如别的任何量都不是由不可分的部分组合成的那样。这个结论是因为把时间当作是由“现在”组合成而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。批判“运动场悖论”认为，这里的错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看作等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间，事实上这两者是不相等的。
但罗素又反批判亚里士多德，他说道：“直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙而深邃的悖论，但是后世的大批哲学家却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单地否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。”
其他评论还有：毕达哥拉斯学派发现的不可公约量对芝诺悖论的提出产生了深刻影响。芝诺是对古代数学的发展起决定影响的人物。他们试图证明，毕达哥拉斯学派曾假定存在无限小的基本线段，想以此来克服因发现不可公约量而引起的矛盾，而芝诺的悖论反对了这种不准确的做法。美国数学家贝尔说：“芝诺以非数学的语言记录下了最早同连续性和无限性斗争的人们所遭遇到的困难。”芝诺的功绩在于提出动和静的关系、无限和有限的关系以及连续和离散的关系，并进行了辩证的考察。
前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下，运动是不可能的。第四个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。
按照芝诺的这些理论，欧几里得的理论从根本上就失效了。
八、关于空间的哲学
一切哲学问题归根到底是空间 [19] 和时间 [20] 的问题。
柏拉图的观点是，“形”是“物”的基本存在条件，亚里士多德则认为“质料”依靠“形式”而存在，牛顿则进一步认为时空是绝对存在的，独立于一切存在的存在，康德则认为这种绝对存在是一种先验假设，黑格尔则认为一切存在都是绝对精神的表现形式。
亚里士多德认为，空间是事物的场所，是完全包围的形式，物质虽可以在空间中移动，但不能脱离空间，不存在没有空间的物质。
在牛顿认为的空间里，许多“点”构成空间，许多“瞬刻”构成时间，空间和时间不受占据它们的物体及事件影响，是独立存在的。
康德认为，空间和时间不是概念的，而是“直观”的。据康德的意见，外部世界只造成感觉的素材，但是我们自己的精神装置把这种素材整列在空间和时间中，并且供给我们借以理解经验的种种概念。物自体 [21] 为我们感觉的原因是不可认识的；物自体不在空间或时间中，它不是实。空间和时间是主观的，是我们感觉器官的一部分。但是正因为如此，我们可以确信，凡是我们所经验的东西都要表现几何学与时间科学所讲的那些特性。由于你在精神上老是戴着一副空间眼镜，所以你一定总是看到一切东西都存在于空间中。因此，按几何学必定适用于经验的一切东西这个意义来讲，几何学是先天的，但是我们没有理由设想与几何学类似的什么学适用于我们没经验到的物自体。
康德对欧几里得的几何学评价为：关于空间的先验论点来自于几何学。他认为欧几里得几何虽然是综合的（也就是说仅由逻辑推演不出来） ，但是先天认识到的。他以为，几何学上的证明依赖图形。例如，我们能够看出，设有两条彼此成直角的相交直线，通过其交点只能作一条与这两条直线都成直角的直线。他认为，这种知识不是由经验来的。但是，我能直观预见在对象中会发现什么的唯一方法，就是预见在我的主观中一切现实印象之前，该对象是否只含有我的感性的形式。感觉的对象必须服从几何学，因为几何学讲的是感知的方式，因此用其他方法是不能感知的。这说明为什么几何学虽然是综合的，但却是先天的和必然的。
九、古希腊理性的纪念碑
古希腊的智者由于坚信这个世界是可以理解的，物质世界甚至延及精神世界的终极答案是可以获得的，并可以用永恒的法则来表述它，于是发展了数学精神，也强化了用演绎的形式进行严密推理的逻辑方法，这就保证了数学成为一门确定可靠的知识。在纷繁的物质世界背后，潜藏着数学法则，不同的空间结构形式构成了不同的物质。
西方科学发展的历史，就是与宗教抗争的历史，就是反蒙昧、反专制的历史。在这中间，数学以它的确实和完美起到了主要的作用，并最终逐出了在自然科学领域同样居于统治地位的上帝，解放了思想。从这个意义上讲，一个没有发达数学文化的民族注定会衰落。
古希腊是奴隶制国家，当时希腊的雅典城邦实行奴隶主的民主政治（奴隶不能享受这种民主） 。男性奴隶主举行全体大会选举执政官，并对一些战争、财政大事实行民主表决。这种政治文明包含着某些合理因素。奴隶主之间讲民主往往需要用理由说服对方，从而使学术上的辩论风气浓厚。为了证明自己坚持的是真理，也就需要证明。先设一些人人皆同意的“公理”，规定一些名词的意义，然后把要陈述的命题称为公理的逻辑推论。在这一背景下，游学回到雅典的柏拉图开创了柏拉图学园。柏拉图学园的大门上挂着这样一个牌子：“不懂几何学者，请勿入内”。人们普遍猜测，欧几里得曾经在该学园接受过教诲，但无史料考证，故不可断言。从这个角度看，任何人类事物是否发达，不是种族的智力差异，不是所谓的经济发达，而是社会制度恶与优的直接产物。
欧几里得几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。在希腊时代没有一个人会想到圆锥曲线是有任何用处的，最后到了17世纪伽利略才发现抛物体是沿着抛物线而运动的，而开普勒 [22] 则发现行星是以椭圆轨迹而运动的。于是，希腊人由于纯粹爱好理论所做的工作，一下子变成了解决天文学的一把金钥匙。
欧几里得的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一。罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏欧几里得的著作。第一个提到欧几里得的罗马人是西塞罗 [23] ，那时候《几何原本》或许还没有拉丁文的译本，并且在鲍依修斯（约公元480年） 以前，确乎是并没有任何关于拉丁文译本的记载。阿拉伯人却更能欣赏欧几里得的《几何原本》。大约在公元760年，拜占庭皇帝曾送给回教哈里发一部《几何原本》；大约在公元800年，当哈伦阿尔拉西德在位的时候，《几何原本》就有了阿拉伯文的译文了。现在最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德于公元1120年从阿拉伯文译过来的。从这以后，对几何学的研究就逐渐在西方复活起来，但是一直到文艺复兴晚期，几何学才迈出了极为重要的一步。
通过以上的这些介绍，我殷切希望能对读者阅读理解这部巨著有所帮助，同时希望对《几何原本》不感兴趣的人能重新拥有数学情怀而有所帮助。
[1] 公理法：选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的思想规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将其一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”。
[2] 德·摩根：（1806—1871年），英国数学家、逻辑学家。其主要在分析学、代数学、数学史及逻辑学等方面作出了重要的贡献。
[3] 逻辑推理：逻辑是人的一种抽象思维，是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观世界的思维过程。
逻辑推理是指把不同排列顺序的意识进行相关性的推导。当人类听到别人陈述的事情时，大脑开始历经复杂的信号处理及过滤，并将信息元素经过神经元迅速地触发并收集相关信息，这个过程便是超感知能力。之后由经验累积学习到的语言基础进行语言的处理及判断，找出“正确”（假设在一个相对统一概念的既定世界观范围内）的事件逻辑。
[4] 定义：是认识主体使用判断或命题的语言逻辑形式，确定一个认识对象或事物在有关事物的综合分类系统中的位置和界限，使这个认识对象或事物从有关事物的综合分类系统中彰显出来的认识行为。
[5] 公设或公理：指的是某门学科中不需要证明而必须加以承认的某些陈述或命题，即“不证自明”的命题。一门学科如果被表示成公理的形式，那么它的所有命题就可以由这些公理或公设逻辑地推证出来。如果我们把一门学科比作一幢大楼，那么该学科的公理或公设就像大楼的地基，整幢大楼必须以它为基础而建立起来。
[6] 波尔约：（1802—1860年），匈牙利数学家，非欧几何创始者之一。其最大成就是独立创建绝对几何。
[7] 罗巴切夫斯基：（1792—1856年），俄国数学家，非欧几何的早期发现人之一。其主要著作有《平行线理论的几何研究》《论几何学》等。
[8] 阿那克西曼德：（约前610—前546年），古希腊哲学家、米利都学派的学者、泰勒斯的学生。他否定了水是基质而肯定另有一种元质，对天体引入“球体”概念和“演化”概念，并尝试绘制了第一幅全球地图。
[9] 阿那克西美尼：（约前570—前526年），古希腊哲学家、米利都学派的第三位学者，阿那克西曼德的学生。他继承了前两位米利都学派哲学家的传统，也是该学派最后一位哲学家。
[10] 安提丰：（前426—前373年），古希腊智者，柏拉图的同母兄弟。著有《释梦》《论和谐》《论政治家》和《论真理》，但留传至今只有《论真理》的残篇两段。
[11] 欧多克索斯：（约前400—前347年），古希腊数学家和天文学家。他首先引入“量”的概念，将“量”和“数”区别开来；其次是建立了严谨的穷竭法，并用它证明了一些重要的求积定理。
[12] 埃拉托斯特尼：（约前276—前195年），古希腊数学家、地理学家、历史学家、诗人、天文学家。其贡献主要是设计出了经纬度系统，计算出地球的直径。
[13] 喜帕恰斯：（约前190—前125年），古希腊最伟大的天文学家。他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星。发现了岁差现象，是方位天文学的创始人。
[14] 帕普斯：（约300—350年），古希腊数学家，亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家。生前有大量著作，但只有《数学汇编》一书保存下来。此书对数学史具有重大的意义，且对前辈学者的著作进行了系统整理，并发展了前辈的某些思想，保存了很多古代珍贵的数学作品的资料。
[15] 希帕提娅：（370—415年），希腊化古埃及学者，是当时名重一时、广受欢迎的女性哲学家、数学家、天文学家、占星学家以及教师。
[16] 始基：古希腊语，从泰勒斯起开始具有哲学上的意义，是万物的根源或基本，万物从它产生又可复归于它的共同的东西。
[17] 巴门尼德：（约前515—前5世纪中叶以后），古希腊哲学家，著有哲学诗《论自然》。他创造了一种形而上学的论证形式，这种论证曾经以不同的形式存在于后来大多数的形而上学者的身上直迄黑格尔为止，并且包括黑格尔本人在内。人们常常说他曾创造了逻辑，但他真正创造的却是基于逻辑的形而上学。
[18] 赫拉克利特：（约前530—前470年），古希腊哲学家。他的理论以毕达哥拉斯的学说为基础。借用毕达哥拉斯“和谐”的概念，认为在对立与冲突的背后有某种程度的和谐，而协调本身并不是引人注目的。同时他也被称为辩证法的奠基人之一，因为他是在古代希腊哲学家中，第一个用朴素的语言讲出了辩证法的要点的人。
[19] 空间：是具体事物的组成部分，是运动的表现形式，是人们从具体事物中分解和抽象出来的认识对象，是绝对抽象事物和相对抽象事物、元本体和元实体组成的对立统一体，是存在于世界大集体之中的，不可被人感到但可被人知道的普通个体成员。
[20] 时间：是人类用以描述物质运动过程或事件发生过程的一个参数，确定时间，是靠不受外界影响的物质周期变化的规律。
它们都是物质存在的属性，即时间是物质存在的“持续”属性，空间是物质存在的“广延”属性。
[21] 物自体：物自体是指认识之外的，但又绝对不可认识的存在之物。它是现象的基础，人们承认可以认识现象，必然要承认作为现象的基础的物自体的存在。
[22] 开普勒：（1571—1630年），德国天文学家，被誉为“天空立法者”。他发现了行星运动的三大定律，即轨道定律、面积定律和周期定律。其著作主要有《新天文学》《折光学》《哥白尼天文学概要》等。
[23] 西塞罗：（前106—前43年），古罗马著名政治家、演说家、雄辩家、法学家和哲学家。主要著作有《论国家》《论法律》《论至善和至恶》《论神性》《论演说家》等。
第1卷 几何基础
CHAPTER 1
毕达哥拉斯学派试图用数来解释一切。他们把数学从具体事物中抽象出来，建立自己的理论体系。他们提出了勾股定理、不可公约量以及五种正多面体，所有这些都成了本书的重要内容。希波战争后，雅典的巧辩学派提出了几何作图的三大问题：①三等分任意角；②倍立方——求作一个立方体，使其体积等于一直立方体的两倍；③化圆为方——求作一个正方形，使其面积等于已知圆。问题的难处在于，作图只允许用没有刻度的直尺和圆规。
本卷确立了基本定义、公设和公理，还包括全等形、平行线和直线形中的相关定理。
本卷提要
※定义I.23，定义了平行线。
※公设I.5，平行线公设。
※本卷公理，只涉及量。
※命题I.1，怎么作一个等边三角形。
※三角形全等理论。三角形全等的几个条件：边—角—边相等（命题I.4）；边—边—边相等（命题I.8）；角—边—角相等（命题I.26）。
※等腰三角形。等角意味着等边（命题I.5）；反之，等边意味着等角（命题I.6）。
※命题I.9、I.10，等分角及线段的建立。
※命题I.11、I.12，给一条直线作垂线。
※命题I.16，三角形的外角大于两个不相邻的内角。
※命题I.29，一条线穿过两条平行线时构成的三角形。
※命题I.20，三角形两边之和大于第三边。
※命题I.22，用已知边作三角形。
※命题I.32，三角形的外角等于两个不相邻的内角之和；三内角之和等于两个直角。
※命题I.42，面的使用。作一个平行四边形等于已知三角形。
※命题I.45，作一个平行四边形等于已知多边形。
※命题I.47、I.48，毕达哥拉斯定理及其逆定理。
维特鲁威人
意大利科学家列昂纳多·达·芬奇（1452—1519年）的人体比例图，现珍藏于威尼斯艺术学院。达·芬奇认为，把完善的人体造型包含在一个圆形和正方体中是最成功的设想，而且人的体长是头长的八倍最为匀称恰当。达·芬奇，这位文艺复兴时期百科全书式的人物，他的天赋在工程、解剖、建筑、数学和光学等领域中都表现得淋漓尽致，他在历史上留下了一个任何后人都无法企及的高度。
定义
定义I.1 点：点不可以再分割成部分。
定义I.2 线：线是无宽度的长度。
定义I.3 线的两端是点。
定义I.4 直线：直线是点沿着一定方向及其相反方向无限平铺。
定义I.5 面：面只有长度和宽度。
定义I.6 一个面的边是线。
定义I.7 平面：平面是直线自身的均匀分布。
定义I.8 平面角：平面角是两条线在一个平面内相交所形成的倾斜度。
定义I.9 直线角：含有角的两条线成一条直线时，其角成为直线角（现代称为平角） 。
定义I.10 直角与垂线：一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角相等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。
定义I.11 钝角：大于直角的角。
定义I.12 锐角：小于直角的角。
定义I.13 边界：边界是物体的边缘。
定义I.14 图形：由一个边界或几个边界所围成的。
定义I.15 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
定义I.16 这个点叫圆心。
定义I.17 直径是穿过圆心、端点在圆上的任意线段，该线段将圆分成两等份。
定义I.18 半圆：是直径与被它切割的圆弧围成的图形。半圆的圆心与原圆心相同。
定义I.19 直线图形是由线段首尾顺次相接围成的。三角形是由三条线段围成的，四边形是由四条线段围成的，多边形是由四条以上的线段围成的。
定义I.20 三角形中，三条边相等的称等边三角形，两条边相等的称等腰三角形，各边都不相等的称不等边三角形。
定义I.21 三角形中，有一个角为直角的是直角三角形；有一个角为钝角的称钝角三角形；三个角都为锐角的为锐角三角形。
定义I.22 四边形中，四条边相等并四个角为直角的称为正方形；四角为直角，但边不完全相等的为长方形（也叫矩形） ；四边相等，角不是直角的为菱形；两组对边、两组对角分别相等的为平行四边形；一组对边平行，另一组对边不平行的称为梯形。
定义I.23 平行直线：在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。
公设
I.1 过两点可以作一条直线。
I.2 直线可以向两端无限延伸。
I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。
I.4 凡直角都相等。
I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。
公理
I.1 等于同量的量彼此相等。
I.2 等量加等量，其和仍相等。
I.3 等量减等量，其差仍相等。
I.4 彼此能够重合的物体是全等的。
I.5 整体大于部分。
关于定义
《几何原本》开始于一系列定义，这些定义分为三类，第一类指明某些概念，比如定义I.1、I.2、I.5，指派了术语点、线、面（注意：欧几里得的线的概念也包含曲线）。第二类是由原概念衍生的新概念。第三类是非实质性定义，从表面上看，这些定义是实质性的，其实不然，比如定义I.4所表述的直线为“点沿着一定方向及其相反方向无限平铺”，这一定义几乎是不可用的，最多指出将要讨论的线是直线。
可能有些定义不是欧几里得所著，而是编著的后人加上去的，另一种可能是来源于其他著作，有可能更古老。
关于公设
紧接定义之后是几个公设。公设是自明的，意即无需证明的显在事实，尤其表现在平面几何中。公设内容多为作图。
关于量与公理
公理也是自明的，涉及各种不同类型的大小。线段的量出现得最频繁，另一些量是直线的角和面（平面图形），也包含其他类型。在命题III.16中直线角与曲线角相比较，以示直线角是平面角的特殊类型。这与欧几里得在定义I.9和定义I.8中的定义相吻合。
在卷3中，出现圆上的弓形的量，仅相等圆的弓形可以比较与相加，因此，相等圆上的弓形组成量，同不相等圆上的弓形是另一类不同的量。这些量皆不同于线段量。无论图形的哪个区域进行比较，不同的曲线不被讨论。
卷5讨论比例理论，并不涉及特殊类型的量。比例并不来自特殊类型的量，它们可以相比，但不能相加。卷7至卷10讨论数论，可以认为是讨论亚里士多德提出的数理。从卷11开始讨论立体，这是本书讨论的最后一个类型。
命题I.1
已知一条线段可作一个等边三角形。
设：AB 为已知的线段。
要求：以线段AB 为边作一个等边三角形，以A 为圆心、AB 为半径作圆BCD ；再以B 为圆心、以BA 为半径作圆ACΕ ；两圆相交于C 点，连接CA 、CB 。
因为：A 点是圆CDB 的圆心，故AC 等于AB （定义I.15） 。
又，点B 是圆CAΕ 的圆心，故BC 等于BA （定义I.15） ，CA 等于AB ；所以：线段CA 等于CB 等于AB 。
因为等于同量的量互相相等（公理I.1） ；所以：CA 等于CB 。所以：三条线段CA 、AB 、BC 相等。
所以：三角形ABC 是作在线段AB 上的等边三角形。
证完
注解
将这一命题作为《原本》的第一命题是令人愉快的，三角形结构清晰，对等边三角形的证明过程，也条理清晰，当然对C 点可以有两个选择，任意一个皆可。或许，欧几里得应将命题I.4作为《原本》的第一命题，因为该命题逻辑上不依赖于前三个命题；但是，欧几里得的第一命题的选择，也自有他的理由。首先，本书接触五个正多边形，从一个正三角形开始，有其美学意义。另外，命题I.2和命题I.3皆需要命题I.1，命题I.2和命题I.3给出了移动线的结构，命题I.4虽然在逻辑上不依赖于命题I.2和命题I.3，但却引用了叠合的概念，从某种意义上讲，是移动的点和线。
欧几里得在某个命题结束时，用了“证完”一词。这是几何学命题证明结束的一个标准。尽管两千多年来这部天才的巨著受到了历代数学批评家们的挑剔，并且他们也指出了不少漏洞，但丝毫无损它的光辉。本命题是两千余年来受到批评最多的一个命题，批评者指出，如此简洁明了的命题，却充满了漏洞，这是陈述不够充分的逻辑裂缝。为什么生成C 点？证明一开始，点C 就被设定为圆的相交点，但它的存在却没有证明。欧几里得虽然在平行公设里说到点的生成，但那一公设却与该命题无关。所以点C 的存在不能获得保证。事实上，在几何学模式中，不相交的圆自然是存在的，因此，在这里出现了欧几里得尚未定义的公设。在第3卷中，欧几里得小心谨慎地分析圆相交的可能情况，但无论他怎么小心，还是得出了错误的定理。
为什么ABC 是一个平面图形？在总结了线段AC 、AB 和BC 相等以后，就确定ABC 是平面图形，三条线段并未表明在一个平面内，却构成了平面图形，缺乏逻辑链。命题X.1中声明了“三角形在一个平面内”，从逻辑上讲，这两个命题应该被置于第一卷的第一命题。然而二者却没有被置于第一命题，这显然是因为第10卷中的命题属于立体几何，而《原本》中，立体几何从平面几何发展而来。从历史观点的考察来看，无疑是这样的。
不能排除这种可能性：边可以构成多次多区域的相交，就像泡沫链一样。这里需要证明（或者设立公设）：两条无限延伸的直线至少能在一点相交。
命题的应用
这一命题直接应用在本卷的命题I.2、I.9、I.10、I.11及命题X.11、X.12中。
命题I.2
从一个给定的点可以引一条线段等于已知的线段。
设：A 为给定的点，BC 为给定的线段。
求作：以A 为端点的一条线段等于BC 。
连接A、B 两点成线段AB （公设I.1） ；并以此作一个等边三角形DAB （命题I.1） 。
作DA 的延长线AΕ，DB 的延长线BF （公设I.2） ；以B 为圆心、BC 为半径，作圆CGH （公设I.3） ，再以D 为圆心、DG 为半径，作圆GKL （公设I.3） 。
那么因为，B 点是圆CGH 的圆心，故BC 等于BG 。
又，因为D 点是圆GKL 的圆心，故DL 等于DG 。
