又因为：根据假设，AC、CB 上正方形之和是中项面。所以：EG 也是中项面。
又，它是作在有理线段EF 上的，于是：HE 是有理线段，并与EF 在长度上不可公约（命题X.22） 。
同理，HN 也是有理线段，并与EF 在长度上是不可公约的，又因为：AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍是不可公约的。所以：EG 与GN 也是不可公约的。所以：EH 与NH 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们是有理的，于是：EH 和HN 是有理线段，并是仅正方可公约的。所以：EN 是一条二项线段，并在H 点上被切分（命题X.36） 。
同理，可以证明EN 也在M 点被切分。而EH 不同于MN ，所以：一条二项线段被分成了不同的点，这是荒谬的（命题X.36） 。
所以：一个两中项面之和的边，仅能在一点上被分为两段。
证完
定义（二）
定义X.5 给定一条有理线和一个二项线，将二项线分为两段，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其差为一个与大线段长度可公约的线段上的正方形。
如果大线段与给定的有理线段长度可公约，那么原二项线被称为第一二项线。
定义X.6 如果短线段与给定的有理线长度可公约，那么，原二项线称为第二二项线。定义X.7 如果两线段与给定的有理线段长度不可公约，那么，原二项线称为第三二项线。
定义X.8 如果大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其差为一个与大线段长度可公约的线段上的正方形，如果大线段与给定的有理线段长度可公约，那么，原二项线被称为第四二项线。
定义X.9 如果小线段与给定的有理线段长度可公约，那么，该二项线称为第五二项线。
定义X.10 两线段皆不可公约，则称为第六二项线。
命题X.48
求第一二项线。
设：两个数AC、CB ，AB 比BC 是一个平方数比一个平方数，但它们的和比CA 不是一个平方数比一个平方数（命题X.28、引理） 。
设：任意有理线段d ，使EF 与d 在长度上是可公约的。那么：EF 也是有理线段。
令：数BA 比AC 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形（命题X.6及其推论） 。
而，AB 比AC 是一个数比一个数，于是：EF 上的正方形比FG 上的正方形也是一个数比一个数。于是：EF 上的正方形与FG 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
又，EF 是有理线，于是：FG 也是有理线。因为BA 比AC 不是一个平方数比一个平方数，所以：EF 上的平方比FG 上的平方不是一个平方数比一个平方数。所以：EF 与FG 在长度上是不可公约的（命题X.9） 。
所以：EF 和FG 是仅正方可公约的有理线段。所以：EG 是二项线（命题X.36） 。
那么：它也是一个第一二项线。
因为：数BA 比AC 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形，同时，BA 大于AC 。所以：EF 上的正方形也大于FG 上的正方形。
令：FG、h 上的正方形之和等于EF 上的正方形。
因为，BA 比AC 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形。
于是：由转换比可得，AB 比BC 同于EF 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，AB 比BC 是一个平方数比一个平方数，所以：EF 上的正方形比h 上的正方形也是一个平方数比一个平方数。
所以：EF 与h 是在长度上可公约的。所以：EF 上的正方形大于FG 上的正方形，其差为与EF 可公约的一条线段上的正方形（命题X.9） 。
又，EF 和FG 是有理的，而EF 与d 是长度上可公约的。
所以：EG 是一个第一二项线。
所以：第一二项线被求出。
证完
命题X.49
求第二二项线。
设：AC、CB 两个数，它们的和AB 比BC 之比是一个平方数比一个平方数。但AB 比AC 不是一个平方数比一个平方数。作一条有理线段d ，使EF 与d 在长度上可以公约，于是：EF 是有理线段。
作以下比例，使CA 比AB 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形，那么：EF 上的正方形与FG 上的正方形是可公约量。所以：FG 也是有理线段（命题X.6及其推论） 。
那么，因为：CA 比AB 不是一个平方数比一个平方数，EF 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。
所以：EF 与FG 是在长度上不可公约的。所以：EF 和FG 是仅正方可公约的有理线。所以：EG 是二项线（命题X.9、X.36） 。
还可以证明，它是一个第二二项线。
因为：由反比可得，数BA 比AC 同于GF 上的正方形比FE 上的正方形。同时，BA 大于AC ，所以：GF 上的正方形大于FE 上的正方形（命题V.7及其推论） 。
令：EF、h 上的正方形之和等于GF 上的正方形，那么，由换比可得，AB 比BC 同于FG 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
而，AB 比BC 是一个正方形比一个正方形，所以：FG 上的正方形比h 上的正方形是一个平方数比一个平方数。
所以：FG 与h 是长度可公约的量。所以：FG 上的正方形大于FE 上的正方形，其差是一个与FG 可以公约的线段上的正方形（命题X.9） 。
又，FG、FE 是仅正方可公约的有理线，EF 与d 是长度可公约量。
所以：EG 是一个第二二项线。
所以：第二二项线被求出。
证完
命题X.50
求第三二项线。
设：两个数AC、CB 之和AB 比BC 是一个平方数比一个平方数，但AB 比AC 不是一个平方数比一个平方数。
再设：另一个数d 不是平方数，d 与BA、AC 之比皆不是一个平方数比一个平方数。
再设：任意有理线段e ，使d 比AB 同于e 上的正方形比FG 上的正方形。那么：e 上的正方形与FG 上的正方形是可公约的量（命题X.6及其推论） 。
又，e 是有理的，所以：FG 也是有理的。又因为：d 比AB 不是一个平方数比一个平方数，e 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：e 与FG 是长度不可公约量（命题X.9） 。
其次，作出如下比例。
再令：数BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形。那么：FG 上的正方形与GH 上的正方形是可公约量（命题X.6及其推论） 。
又，FG 是有理的，所以：GH 也是有理的。又因为：BA 比AC 不是一个平方数比一个平方数，FG 上的正方形比HG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：FG 与GH 是长度不可公约量（命题X.9） 。
所以：FG 和GH 是仅正方可公约的有理线段。所以：FH 是二项线（命题X.36） 。
进一步说：它也是一个第三二项线。
又因为：d 比AB 同于e 上的正方形比FG 上的正方形，而BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形。所以：由首末比可得，d 比AC 同于e 上的正方形比GH 上的正方形（命题V.22） 。
又，d 比AC 不是一个平方数比一个平方数，e 上的正方形比GH 上的正方形也不同于一个平方数比一个平方数。所以：e 与GH 是在长度上不可公约的（命题X.9） 。
因为：BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形。所以：FG 上的正方形大于GH 上的正方形。
再令：GH、k 上的正方形之和等于FG 上的正方形。那么：由转换比可得，AB 比BC 同于FG 上的正方形比k 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
而，AB 比BC 是一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比k 上的正方形也等于一个平方数比一个平方数。所以：FG 与k 是在长度上可以公约的（命题X.9） 。
所以：FG 上的正方形大于GH 上的正方形，其差是一个与FG 在长度上可以公约的量（命题X.9） 。
又，FG、GH 是仅正方可公约的有理线段，那么：它们皆在长度上与e 不可以公约。
所以：FH 是一个第三二项线。
所以：第三二项线被求出。
证完
命题X.51
求第四二项线。
设：两个数AC、CB ，它们的和AB 比BC、AC 都不是一个平方数比一个平方数。
再设：d 是有理线段，EF 与d 在长度上是可公约的。那么：EF 也是有理的。
令：数BA 比AC 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形。那么：EF 上的正方形与FG 上的正方形是可公约的。所以：FG 也是有理的（命题X.6及其推论） 。
那么因为：BA 比AC 不是一个平方数比一个平方数，EF 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：EF 与FG 是长度上不可以公约的（命题X.9） 。
所以：EF 和FG 是仅正方可公约的有理线。于是：EG 是二项线。
那么进一步说：它也是一个第四二项线。
因为：BA 比AC 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形。所以：EF 上的正方形大于FG 上的正方形。
令：FG 与h 上的正方形之和等于EF 上的正方形。那么：由转换比可得，数AB 比BC 同于EF 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
而AB 比BC 不是一个平方数比一个平方数，所以：EF 上的正方形比h 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。
所以：EF 与h 是长度上不可公约的。所以：EF 上的正方形大于GF 上的正方形，其差是一个与EF 不可公约的线段上的正方形（命题X.9） 。
又，因为：EF、FG 是仅正方可公约的有理线段，而EF 与d 是长度可公约的。所以：EG 是一个第四二项线。
所以：第四二项线被求出。
证完
命题X.52
求第五二项线。
设：两个数AC、CB ，AB 分别与它们相比，皆不同于一个平方数比一个平方数。设一条任意有理线d ，使EF 与d 可公约。那么EF 是有理的。
令：CA 比AB 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形（命题X.6及其推论） 。
而CA 比AB 不是一个平方数比一个平方数，所以：EF 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。
所以：EF、FG 是仅正方可公约的有理线段。所以：EG 是个二项线（命题X.36、X.9） 。
那么进一步说：它也是第五二项线。
因为CA 比AB 同于EF 上的正方形比FG 上的正方形，所以：由反比得，BA 比AC 同于FG 上的正方形比EF 上的正方形。所以：GF 上的正方形大于FE 上的正方形（命题V.7及其推论） 。
再令：EF、h 上的正方形之和等于GF 上的正方形。那么：由换比可得，数AB 比BC 同于GF 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
而，AB 比BC 不同于一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比h 上的正方形也不同于一个平方数比一个平方数。
所以：FG 与h 是不可公约量。所以：FG 上的正方形大于FE 上的正方形，其差是一个与FG 不可公约的线段上的正方形（命题X.9） 。
又，GF、FE 是仅正方可公约的有理线段，小线段EF 与d 在长度上可公约。
所以：EG 是一个第五二项线。
所以：第五二项线被求出。
证完
命题X.53
求第六二项线。
设：两个数AC、CB ，它们的和AB 分别与它们相比都不是一个平方数比一个平方数。再设另一个非平方数d ，与BA、AC 的比也不是一个平方数比一个平方数。
再设：e 为一条任意有理线，使d 比AB 同于e 上的正方形比FG 上的正方形。那么：e 上的正方形与FG 上的正方形是可公约量，而e 是有理的。所以：FG 也是有理的（命题X.6、推论） 。
那么因为：d 比AB 不同于一个平方数比一个平方数，e 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：e 与FG 是长度上不可公约的（命题X.9） 。
又，作BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，那么：FG 上的正方形与HG 上的正方形是可公约量（命题X.6及其推论） 。
所以：HG 上的正方形是有理的。所以：HG 是有理的。
又，因为：BA 比AC 不同于一个平方数比一个平方数，FG 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：FG 与GH 是长度上不可公约的（命题X.9） 。
所以：FG、GH 是仅正方可公约的有理线段。所以：FH 是二项线（命题X.36） 。
也可以证明，它也是第六二项线。
因为：d 比AB 同于e 上的正方形比FG 上的正方形，BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形。所以：由首末比可得，d 比AC 同于e 上的正方形比GH 上的正方形（命题V.22） 。
又，d 比AC 不同于一个平方数比一个平方数，所以：e 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：e 与GH 是在长度上不可公约的（命题X.9） 。
又，也可以证明，e 也与FG 是不可以公约的，于是：FG、GH 分别与e 在长度上是不可以公约的。
又因为：BA 比AC 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形。所以：FG 上的正方形大于GH 上的正方形。
再令：GH、k 上的正方形之和等于FG 上的正方形。那么：由转换比可得，AB 比BC 同于FG 上的正方形比k 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，AB 比BC 不同于一个平方数比一个平方数，FG 上的正方形比k 上的正方形也不同于一个平方数比一个平方数。
所以：FG 与k 是长度上不可以公约的。所以：FG 上的正方形大于GH 上的正方形，其差等于一个与FG 在长度上不可以公约的线段上的正方形（命题X.9） 。
又FG、GH 是仅正方可公约的有理线，它们与e 也是在长度上不可公约的有理线。
所以：FH 是一个第六二项线。
所以：第六二项线被求出。
证完
引理
设：有两个正方形AFBD、GBEC ，使它们的边DB、BE 在同一条线上，那么，FB 也和BG 是在同一条线上。
完成平行四边形KAHC 。
求证：四边形AHCK 是个正方形，四边形DBGK 是正方形AFBD 、正方形BECG 之间的比例中项，进一步，四边形DECK 是正方形AHCK 、四边形CGBE 之间的比例中项。
因为DB 等于BF、BE 等于BG ，所以DE 等于FG 。
而，DE 分别等于线段AH 和KC ，又，FG 分别等于线段AK 和HC ，所以：线段AH 和KC 也分别等于AK 和HC （命题I.34） 。
所以：平行四边形AHCK 是等边的，并它也是矩形，所以：四边形AHCK 是个正方形。
因为：FB 比BG 同于DB 比BE 。同时，FB 比BG 同于AB 比DG ，又DB 比BE 同于DG 比BC ，所以：AB 比DG 同于DG 比BC （命题VI.1、VI.11） 。
所以：四边形DBGK 是在正方形AFBD 、正方形BECG 的比例中项。
进一步说：四边形DECK 也是四边形AHCK 、正方形BECG 的比例中项。
因为：AD 比DK 同于KG 比GC ，因为它们分别相等。由合比可得，AK 比KD 同于KC 比CG 。同时，AK 比KD 同于AC 比CD ，且AC 比CG 同于DC 比CB ，所以：四边形AHCK 比四边形DECK 同于四边形DECK 比正方形BECG （命题V.18、VI.1、VI.11） 。
所以：四边形DECK 是正方形AHCK 和正方形BECG 的比例中项。
证完
命题X.54
如果一个面由一个有理线段和第一二项线构成，那么，该面的边是无理线，我们称为二项线的无理线段。
设：面ABCD 是由有理线段AB 和第一二项线AD 构成。
求证：面ABCD 的边是无理线，我们称为二项线的无理线。
因为：AD 是一个第一二项线，设E 为其分点，AE 较大。那么很明显，AE、ED 是仅正方可公约的有理线，AE 上的正方形大于ED 上的正方形，其差是一个与AE 可公约的线段上的正方形。且AE 与有理线段AB 是在长度上可公约的（定义X.5） 。
令：在F 点上平分ED 。
那么因为：AE 上的正方形大于ED 上的正方形，其差是一个与AE 可公约的线段上的正方形。在大线段AE 上作一个等于ED 上的正方形的四分之一，即等于EF 上的正方形，且缺少一个正方形的矩形，那么，AE 被分为长度可公约的两段（命题X.17） 。
在AE 上作AG、GE 构成的矩形，使之等于EF 上的正方形。那么：AG 是与EG 在长度上可公约的。
从G、E、F 作GH、EK、FL ，使之分别平行于直线AB、CD ，作正方形SN 等于矩形AH ，且正方形NQ 等于GK 。再设MN 与NO 在一条直线上，那么：RN 与NP 也是在一条直线上。完成平行四边形SWQT ，那么：平行四边形SWQT 是正方形（命题II.4、引理） 。
那么因为AG、GE 构成的矩形等于EF 上的正方形，所以：AG 比EF 同于FE 比EG （命题VI.17） 。
所以：AH 比EL 同于EL 比KG 。所以：四边形EFLK 是四边形ABHG 、四边形GHKE 之间的比例中项（命题VI.1） 。
而四边形ABHG 等于四边形MSPN ，四边形GHKE 等于四边形RNOQ ，所以：四边形EKLF 是四边形MSPN 、四边形NOQR 之间的比例中项。而四边形TMNR 也同样是四边形MSPN 、四边形NOQR 的比例中项，所以：四边形EKLF 等于四边形TMNR 。所以：它也等于四边形NPWO （引理） 。
而四边形ABHG、GHKE 也等于SPNM 和NOQR ，所以：总量四边形ABCD 等于总量四边形TSWQ 。即，它等于MO 上的正方形，所以：MO 是四边形ABCD 的边。
进一步说：MO 是二项线。
因为：AG 与GE 是可公约的，所以：AE 与线段AG、GE 也是可公约的（命题X.15） 。
而根据假设，AE 与AB 是可公约的，所以：AG、GE 与AB 也是可公约的（命题X.12） 。
又，AB 是有理的，所以：直线AG、GE 也是有理的。所以：四边形ABHG、GHKE 构成的矩形是有理的，而四边形ABHG 与GHKE 是可公约的（命题X.19） 。
又，四边形ABHG 等于SPNM ，而四边形GHKE 等于RNOQ ，所以：四边形MSPN 和RNOQ 之和，即是MN、NO 上的正方形，它们也是有理的，并可公约。
因为：AE 与ED 是长度上不可公约的，同时AE 与AG 是可公约的，DE 与EF 是可公约的。所以：AG 与EF 也是不可公约的。所以：四边形ABHG 与EFLK 也是不可公约的（命题X.13、VI.1、X.11） 。
又，四边形ABHG 等于MSPN ，四边形EKLF 等于MNRJ ，所以：四边形MSPN 与MNRJ 也是不可公约的，而四边形SPNM 比MNRJ 同于PN 比NR 。所以：PN 与NR 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，PN 等于MN ，NR 等于NO ，所以：MN 与NO 是不可公约的。
又，MN 上的正方形与NO 上的正方形是可以公约的，并皆为有理的。
所以：MN 和NO 是仅正方可公约的有理线段。
所以：MO 是四边形ABCD 边的二项线。
所以：如果一个面由一个有理线段和第一二项线构成，那么，该面的边是无理线，我们称为二项线的无理线段。
证完
注解
本命题前的引理已应用在命题X.60、X.11中，这一命题应用在命题X.71中。
命题X.55
如果一个面由一条有理线和第二二项线构成，那么，我们称该面的边是一个第一双中项线的无理线段。
设：面ABCD 是由有理线段AB 和第二二项线AD 构成的。
求证：AC 面的边是一个第一双中项线。
因为：AD 是一个第二二项线，在E 点分为两段，且AE 是大线。
那么：AE、ED 是仅正方可公约的有理线段，AE 上的正方形大于DE 上的正方形，其差是一个与AE 可公约的线段上的正方形。
小线ED 是一个与AB 在长度上可公约的线（定义X.6） 。
作：F 点平分ED ，在AE 上作一个缺少正方形的由AG、GE 构成的矩形，使之等于EF 上的正方形。那么：AG 与GE 是在长度上可公约的（命题X.17） 。
作：过G、E、F 作GH、EK、FL ，使之分别平行于AB、CD 。作正方形SN 等于平行四边形AH ，而在NQ 上的正方形等于GK ，再设MN 与NO 在一条直线上。
那么：RN 与NP 也在一条直线上。
完成正方形SQ 。
前面已经证明，MR 是SN 和NQ 的比例中项，并等于EL ，MO 是面AC 的边。
现在要证明MO 是第一双中项线。
因为：AE 与ED 是长度不可公约的。而ED 与AB 是可公约的，所以：AE 与AB 是不可公约的（命题X.13） 。
因为AG 与EG 是可公约的，所以：AE 分别与线段AG、GE 也是可公约的（命题X.15） 。
而，AE 与AB 是在长度上不可公约的，所以：AG、GE 与AB 也是不可公约的（命题X.13） 。
所以：BA、AG 以及BA、GE 是两对仅正方可公约的有理线段。所以：矩形AH 和GK 皆为中项面（命题X.21） 。
因此，正方形SN、NQ 都是中项面，所以：MN、NO 也是中项面。
因为AG 与GE 是长度上可公约的，所以：AH 与GK 也是可公约的，即是SN 与NQ 是可公约的，即MN 上的正方形与NO 上的正方形是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为：AE 与ED 是在长度上不可公约的，同时，AE 与AG 是可公约的，而ED 与EF 是可公约的。
所以：AG 与EF 是不可公约的。所以：AH 与EL 也是不可公约的，即SN 与MR 是不可公约的，即是PN 与NR 是不可公约的，即MN 与NO 在长度上是不可公约的（命题X.13、VI.1、X.11） 。
又，MN 和NO 已被证明皆为中项线，并正方可公约，所以：MN、NO 是仅正方可公约的两中项线。
那么进一步说：它们也构成一个有理矩形。
因为根据假设，DE 是分别与AB、EF 线可以公约的，所以：EF 与EK 也是可公约的（命题X.12） 。
又，它们皆是有理线，所以：四边形EKLF ，即四边形MNRJ 是有理线，而MNRJ 是MN 与NO 构成的矩形（命题X.19） 。
又，如果两个仅正方可公约的中项线构成一个有理矩形，则两中项线的和是无理的，它被称为一个第一双中项线。
所以：MO 是一个第一双中项线（命题X.37） 。
所以：如果一个面由一条有理线和第二二项线构成，那么，1`我们称该面的边是一个第一双中项线的无理线段。
证完
注解
这一命题应用在命题X.71中。
命题X.56
如果一个面由一条有理线和第三二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称它为一个第二双中项线。
设：面ABCD 是由有理线AB 和第三二项线AD 构成的，在E 点分AD 为两段，AE 较大。
求证：面ABCD 的边是无理的，我们称为第二双中项线。
仿前题作图形。
那么因为AD 是一个第三二项线，所以：AE、ED 是仅正方可公约的有理线，AE 上的正方形大于ED 上的正方形，其差是一个与AE 可公约的线段上的正方形，且AE、ED 与AB 也是长度上可公约的量（定义X.7） 。
那么，依照前面的方法可证明MO 是面ABCD 的边，而MN 和NO 是仅正方可公约的中项线。
所以：MO 是一个双中项线。
下一步，可以证明，它也是一个第二双中项线。
因为DE 与AB ，即DE 与EK 在长度上是不可公约的，而DE 与EF 是可公约的，所以：EF 与EK 是长度上不可公约的（命题X.13） 。
又，它们是有理线，所以：FE 和EK 是仅正方可公约的有理线。
所以：面EKLF ，即面JMNR 是中项面（命题X.21） 。
又，它是由MN、NO 构成的，所以：MN、NO 构成的矩形是中项面。
所以：MO 是一个第二双中项线（命题X.38） 。
所以：如果一个面由一条有理线和第三二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称它为一个第二双中项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.57
如果一个面由一个有理线段和第四二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称之为主线的无理线段。
设：面ABCD 是由有理线段AB 和第四二项线AD 构成的，E 点分AD 成两段，AE 较大。
求证：面ABCD 的边是无理线段，我们称之为主线的无理线段。
因为AD 是一个第四二项线，所以：AE、ED 是仅正方可公约的有理线段，AE 上的正方形大于ED 上的正方形，其差为一个与AE 不可公约的线段上的正方形。而AE 是与AB 在长度上可公约的（定义X.8） 。
令：在F 点平分DE ，在AE 上作AG 与GE 构成的矩形等于EF 上的正方形。那么：AG 与GE 是在长度上不可公约的（命题X.18） 。
作：GH、EK、FL 平行于AB ，且其余作图如前题。
那么，显然，MO 是AC 的边。
还可以证明，MO 是被称为主线的无理线。
因为AG 与EG 是不可公约的，所以：四边形ABHG 与GHKE 是不可公约的，即是，四边形SPNM 与NOQR 是不可公约的。所以：MN 和NO 是正方不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AE 与AB 是可公约的，所以：四边形ABKE 是有理的，而它等于MN、NO 上的正方形之和。所以：MN、NO 上的正方形之和也是有理的（命题X.19） 。
因为：DE 与AB 是在长度上不可公约的，即与KE 不可公约的。同时，DE 与EF 是可公约的，所以：EF 与EK 是在长度上不可公约的（命题X.13） 。
所以：EK 和EF 是仅正方可公约的有理线段。所以：LE ，即面MNRJ 是中项面（命题X.21） 。
又，它也是由MN 和NO 构成的，所以：MN、NO 构成的矩形是中项面。
又，MN、NO 上的正方形之和是有理面，而MN、NO 是正方不可公约的。
又，如果，两条正方不可公约的线上的正方形之和是有理的，且它们构成的矩形是中项面，那么该两线段之和是无理的，被称为主线。
哥德巴赫猜想
1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给欧拉的一封信中提出了自己的猜想。哥德巴赫猜想的原始陈述相当含糊，欧拉和华林将其进一步明确化，但均未证明这个命题。哥德巴赫猜想略经修改后的表述为：每个不小于9的奇数可以表示成3个奇素数之和（奇数情形）；每个不小于6的偶数可以表示为2个奇素数之和（偶数情形）。
所以：MO 是无理线段，且是面ABCD 的边（命题X.39） 。
所以：如果一个面由一个有理线段和第四二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称之为主线的无理线段。
证完
注解
这一命题应用在命题X.70中。
命题X.58
如果一个面是由一条有理线段和第五二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称之为中项面有理面和的边的无理线段。
设：面ABCD 是由有理线段AB 和第五二项线AD 构成的，E 分AD 为两段，AE 较大。
求证：面ABCD 的边是无理的，我们称它为中项面有理面和的边的无理线段。
如前作图，那么，MO 是面ABCD 的边。
也可以证明MO 是一个中项面有理面和的边。
因为AG 与GE 是不可公约的，所以：面ABHG 与GHKE 也是不可公约的，也即是MN 上的正方形与NO 上的正方形不可公约。所以：MN、NO 是正方不可公约的（命题X.18、VI.1、X.11） 。
因为AD 是第五二项线，而ED 较小，所以：ED 与AB 是长度上可公约的（定义X.9） 。
而AE 与ED 是不可公约的，所以：AB 与AE 也是长度不可公约的。所以：AK ，即是MN、NO 上的正方形之和，是中项面（命题X.13、X.21） 。
因为：DE 与AB、EK 是长度上可公约的。同时，DE 与EF 是可公约的，所以：EF 与EK 也是可公约的（命题X.12） 。
又，EK 是有理的，所以：面EKLF ，即面MNRJ ，即MN、NO 构成的矩形也是有理的（命题X.19） 。
所以：MN、NO 是正方不可公约的线段，它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形是有理的。
所以：MO 是一条中项面有理面和的边，即是面ABCD 的边（命题X.40） 。
所以：如果一个面是由一条有理线段和第五二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称之为中项面有理面和的边的无理线段。
证完
注解
这一命题应用在命题X.71中。
命题X.59
如果一个面由一条有理线和第六二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称为两中项面和的边的无理线段。
设：面ABCD 是由有理线AB 与第六二项线AD 构成的，在E 点上分AD ，AE 较大。
求证：面ABCD 的边是两中项面和的边。
如前题作图形。
很明显，MO 是面ABCD 的边，且MN 与NO 是正方不可公约的。
那么因为EA 与AB 是长度不可公约的，所以：EA、AB 是仅正方可公约的有理线段。所以：面ABKE ，即是MN、NO 上的正方形之和，并是中项面（命题X.21） 。
又因为ED 与AB 是长度不可公约的，所以：FE 与EK 也是不可公约的。所以：FE 和EK 是仅正方可公约的有理线。所以：面EKLF ，即是面JMNR ，也是MN、NO 构成的矩形，是中项面（命题X.13、X.21） 。
因为AE 与EF 是不可公约的，所以：面ABKE 与面EKLF 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
而面ABKE 是MN、NO 上的正方形之和，而面EKLF 是MN、NO 构成的矩形，所以：MN、NO 上的正方形之和与MN、NO 构成的矩形是不可公约的。
又，它们皆为中项面，而MN、NO 是正方不可公约的。
所以：MO 两中项面和的边，即是四边形ABCD 的边（命题X.41） 。
所以：如果一个面由一条有理线和第六二项线构成，那么，该面的边是无理的，我们称为两中项面和的边的无理线段。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
引理
如果一条线段被分成不等的两部分，那么，两线段上的正方形之和大于它们构成的矩形的两倍。
设：线段AB ，在C 点被分为不等的两部分，AC 较大。
求证：AC、CB 上的正方形之和大于AC、CB 构成的矩形的两倍。
设：在D 点平分AB 。
因为：D 是AB 上中点，而C 不是。于是：AC、CB 构成的矩形与CD 上的正方形之和等于AD 上的正方形。于是：AC、CB 构成的矩形小于AD 上的正方形。
所以：AC、CB 构成的矩形小于AD 上的正方形的两倍（命题II.5） 。
而，AC、CB 上的正方形之和等于AD 和DC 上的正方形之和的两倍，所以：AC、CB 上的正方形之和大于AC、CB 构成的矩形的两倍（命题II.9） 。
证完
命题X.60
若一条有理线段上的矩形与一个二项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第一二项线。
设：AB 是二项线，在C 点上被分开，AC 较大，DE 为有理线段。面DEFG 是作在DE 上的矩形，它等于AB 上的正方形，DG 为另一边。
求证：DG 是第一二项线。
作在DE 上的矩形DEHK 等于AC 上的正方形，而面KHLM 等于BC 上的正方形，那么其余值，即AC、CB 构成的矩形的两倍等于面MLFG 。
在N 点平分MG ，作NO 平行于ML 或GF 。那么，矩形MLON、NOFG 皆等于AC、CB 构成的矩形。那么因为：AB 是一个二项线，在C 点被分开。于是：AC、CB 是仅正方可公约的有理线（命题X.36） 。
所以：AC 和CB 上的正方形是相互可公约的。所以：AC、CB 上的正方形之和也是有理的。而且，这个和也等于面DELM 。所以：面DELM 是有理的（命题X.15） 。
又，它也是作在有理线DE 上的，所以：DM 是有理的，且与DE 是在长度上可公约的（命题X.20） 。
又因为AC、CB 是仅正方可公约的，所以：AC、CB 构成的矩形的两倍，即面MLFG ，是中项面（命题X.21） 。
又，它是作在有理线ML 上的，所以：MG 是有理的，且与ML 即DE 是在长度上不可公约的（命题X.22） 。
而，MD 与DE 是在长度上可公约的有理线。所以：DM 与MG 是在长度上不可公约的（命题X.13） 。
又，它们也是有理线，所以：DM 和MG 是仅正方可公约的有理线。所以：DG 是二项线（命题X.36） 。
也可以证明，它也是一个第一二项线。
因为AC、CB 构成的矩形，是AC、CB 构成的正方形的比例中项，所以：面MLON 也是面DEHK 、面LHKM 的比例中项（命题X.54、引理） 。
所以：面DEHK 比面MLON 同于面MLON 比面KHLM ，即是DK 比MN 同于MN 比MK 。所以：DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形（命题VI.1、VI.17） 。
因为AC、CB 上的正方形是可公约的，所以：面DEHK 与面KHLM 也是可公约的。所以：DK 与KM 也是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AC、CB 上的正方形之和大于AC、CB 矩形的两倍，所以：面DELM 也大于面MLFG 。所以：DM 也大于MG （命题VI.1、引理） 。
