又，DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，即等于MG 上的正方形的四分之一，而DK 与KM 是可公约的。又，如果两条不等线段，在大线段上作一个缺少一正方形且等于小线段上正方形四分之一的矩形，且大线段上两部分长度可公约，那么大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其差是一个与大线段可公约的正方形（命题X.17） 。
所以，DM 上的正方形比MG 上的正方形大，其差是一个与DM 可公约的线段上的正方形。
所以：DM、MG 是有理的，DM 较大，并与DE 是在长度上可以公约的有理线段。
所以：DG 是一个第一二项线（定义X.5） 。
所以：若一条有理线段上的矩形与一个二项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第一二项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72和X.111中。
命题X.61
作在一条有理线上的矩形与一个第一双中项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第二二项线。
设：AB 是一个第一双中项线，在C 点上分成两个部分，其中AC 较大，设一条有理线段DE ，在DE 上作矩形DEFG 等于AB 上的正方形，DG 为宽。
求证：DG 是一个第二二项线。
如前所述作图。
那么因为AB 是一个第一双中项线，在C 点分开，于是：AC、CB 是仅正方可公约的两中项线，并包含一个有理矩形。所以：AC、BC 上的正方形也是中项面（命题X.37、X.21） 。
所以：面DELM 是中项面，又它也是作在有理线DE 上的。所以：MD 是有理的，且与DE 是长度不可公约的（命题X.15、X.23，命题X.22及其推论） 。
又因为AC、CB 构成的矩形的两倍是有理的，所以：面MLFG 也是有理的。
又，它也是作在有理线ML 上的，所以：MG 是有理的，且与ML ，即DE 也是长度上可公约的。所以：DM 与MG 是长度不可公约的（命题X.20、X.13） 。
又，它们是有理的，所以：DM 和MG 是仅正方可公约的有理线。所以：DG 是二项线（命题X.36） 。
也可以证明，它也是一个第二二项线。
因为AC 和CB 上的正方形之和大于AC、CB 构成的矩形的二倍，所以：面DELM 也大于面MLFG ，所以：DM 也大于MG （命题VI.1） 。
因为AC 上的正方形与CB 上的正方形是可公约的，所以：面DEHK 与KHLM 也是可公约的。所以：DK 与KM 是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，所以：DM 上的正方形大于MG 上的正方形，其差为一个与DM 可公约的线上的正方形。又，MG 与DE 是长度可公约的（命题X.17） 。
所以：DG 是一个第二二项线（定义X.6） 。
所以：作在一条有理线上的矩形与一个第一双中项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第二二项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.62
如果一条有理线段上的矩形与一个第二双中项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第三二项线。
设：AB 是一个第二双中项线，点C 分AB 为两段，AC 较大。设DE 为一任意有理线，在DE 上作矩形DEFG 等于AB 上的正方形，DG 为宽。
求证：DG 是一个第三二项线。
如前所述作图。
那么因为AB 是一个第二双中项线，在C 点被切分，所以：AC 和CB 是正方可公约的两中项线，并构成中项面矩形。所以：AC、CB 上的正方形之和也是中项面（命题X.38、X.15，命题X.23及其推论） 。
又，它也等于面DELM ，所以：面DELM 也是中项面，又，它是作在有理线DE 上的，所以：MD 是有理的，且与DE 也是长度不可公约的（命题X.22） 。
同理，MG 是有理的，且与ML ，即与DE 也是长度上不可公约的，所以：线段DM、MG 是有理的，且与DE 是长度上不可公约的。
因为AC 与CB 是长度上不可公约的，而AC 比CB 同于AC 上的正方形比AC、CB 构成的矩形，所以：AC 上的正方形与AC、CB 构成的矩形是不可公约的（命题X.11） 。
因此：AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍是不可公约的，DL 与MF 是不可公约的。所以：DM 与MG 也是不可公约的（命题X.12、X.13、VI.1、X.11） 。
又，它们是有理的，所以：DG 是二项线（命题X.36） 。
也可证明，它是一个第三二项线。
类似地，我们可以推断，DM 大于MG ，且DK 与KM 是可公约的。
又，DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，所以：DM 上的正方形大于MG 上的正方形，其差为一个与DM 可公约的线段上的正方形。
又线段DM、MG 皆与DE 在长度上不可公约。
所以：DG 是一个第三二项线（定义X.7） 。
所以：如果一条有理线段上的矩形与一个第二双中项线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第三二项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.63
如果一条有理线段上的矩形与一条主线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第四二项线。
设：AB 是一条主线，C 点分AB 为两段，AC 大于CB ，设DE 是一条有理线段，在DE 上作矩形DEFG 等于AB 上的正方形，宽为DG 。
求证：DG 是一个第四二项线。
如前所述作图形。
因为AB 是一条主线，C 点分开AB ，所以：AC、CB 是正方不可公约线段，且它们上的正方形之和是有理的，而由它们构成的矩形是中项面（命题X.39） 。
因为AC、CB 上的正方形之和是有理的，于是：面DELM 是有理的。于是：DM 也是有理的，并与DE 在长度上可公约（命题X.20） 。
又因为AC、CB 构成的矩形的两倍，即面MLFG ，是中项面，且它是作在有理线ML 上的，所以：MG 也是有理的，并与DE 在长度上不可公约（命题X.22） 。
所以：DM、MG 也是长度不可公约的。所以：DM、MG 是仅正方可公约的有理线。所以：DG 是二项线（命题X.13、X.36） 。
其次可证明DG 也是一个第四二项线。
类似以上方法，我们也能证明DM 大于MG ，DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形。
因为AC 上的正方形与CB 上的正方形是不可公约的，所以：四边形DEHK 与LHKM 也是不可公约的。所以：DK 与KM 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
而，如果有两条不等线段，在大线段上的矩形等于小线段上正方形的四分之一且缺少一个正方形，且它分它为不可公约的两部分，那么，大线段上的正方形大于小线段上的正方形，其差是一个与大线段在长度上不可公约的线段上的正方形。
所以：DM 上的正方形大于MG 上的正方形，其差是一个与DM 不可公约的线段上的正方形（命题X.18） 。
又，DM 和MG 是正方可公约的有理线，而DM 与给定的有理线DE 是可公约的。所以：DG 是一个第四二项线（定义X.8） 。
所以：如果一条有理线段上的矩形与一条主线上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第四二项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.64
一条有理线段上的矩形与一个中项面有理面和的边之上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第五二项线。
设：AB 是一条中项面有理面和的边，点C 分AB 为两段，AC 较大，设DE 为一条有理线，在DE 上作矩形DEFG 等于AB 上的正方形，DG 为宽。
求证：DG 是一个第五二项线。
按如上所述作图。
因为：AB 是在C 点被分开的一条中项面有理面和的边，所以：AC、CB 是正方不可公约的线，它们之上正方形的和是中项面，而它们构成的矩形是有理的（命题X.40） 。
那么因为AC、CB 上正方形之和是中项面，所以：面DELM 是中项面。所以：DM 是有理的，且与DE 是长度不可公约的（命题X.22） 。
又因为：AC 和CB 构成的矩形的两倍，即面MLFG ，是有理的。所以：MG 是有理的，并与DE 是可公约的量（命题X.20） 。
所以：DM 与MG 是长度不可公约的。所以：DM、MG 是仅正方可公约的有理线段。所以：DG 是二项线（命题X.13、X.36） 。
那么进一步说：它也是第五二项线。
因为：可以类似地证明，DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，而DK 与KM 是长度上不可公约的。所以：DM 上的正方形大于MG 上的正方形，其差是一个与DM 不可公约的线段上的正方形（命题X.18） 。
又，DM、MG 是仅正方可公约的，且较小的MG 与DE 是在长度上可公约的。所以：DG 是一个第五二项线。
所以：一条有理线段上的矩形与一个中项面有理面和的边之上的正方形相等，那么，该矩形的另一边是第五二项线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.65
一个两中项面和边上的正方形与作在一条有理线上的矩形相等，那么，该矩形的另一条边是第六二项线。
设：AB 是两中项面和的边，在C 点被分开，AC 大于CB ，设DE 为一条有理线段，在DE 上作矩形DEFG 等于AB 上的正方形，DG 为宽。
求证：DG 是一个第六二项线。
根据上述作图形。
因为：AB 是在C 点被分的两中项面和的边。所以：AC、CB 是正方可公约的线段，且它们上的正方形之和是中项面，而它们构成的矩形是有理面，进一步，它们上的正方形之和与它们为边的矩形是不可公约的（命题X.41） 。
所以：依据以前的证明，矩形DELM、MLFG 皆为中项面。又，它们是作在有理线DE 上的，所以：线段DM、MG 与DE 是长度不可公约的有理线段（命题X.22） 。
因为：AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍是不可公约的，所以：四边形DELM 与MLFG 是不可公约的。
所以：DM、MG 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：DM、MG 是仅正方可公约的有理线。所以：DG 是二项线（命题X.36） 。
那么进一步说：它是一个第六二项线。
类似地，我们也可证明DK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，而DK 与KM 是长度不可公约的量，同理，DM 上的正方形大于MG 上的正方形，其差为一个与DM 在长度上不可公约的线上的正方形。
又，线段DM、MG 与已给定的有理线DE 都不是长度上可公约的。
所以：DG 是一个第六二项线。
所以：两个中项面之和的边之上的正方形是作在一条有理线上的矩形，那么，该矩形的另一条边是第六二项线（定义X.10） 。
证完
注解
这一命题应用在命题X.72中。
命题X.66
一条线段与一个二项线在长度上可公约，那么，该线段本身也是二项线，并是同级的。
设：AB 是二项线，CD 与AB 是长度可公约的。
求证：CD 也是二项线，并与AB 同级。
因为：AB 是二项线，在E 点分开，令AE 较大，那么，AE、EB 是仅正方可公约的有理线（命题X.36） 。
作比例，使AB 比CD 同于AE 比CF ，那么：其余值EB 比余值FD 同于AB 比CD （命题VI.12、V.19） 。
而且AB 与CD 是长度可公约的，所以：AE 与CF、EB 与FD 都是可公约的（命题X.11） 。
又，AE、EB 是有理的，所以：CF、FD 也是有理的。
又，AE 比CF 同于EB 比FD ，所以：由换比可得，AE 比EB 同于CF 比FD （命题V.11、V.16） 。
而AE、EB 是仅正方可公约的，所以：CF、FD 是仅正方可公约的（命题X.11） 。
又，它们也是有理的，所以：CD 是二项线（命题X.36） 。
那么进一步说：它与AB 也是同级。
因为：AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差为一个与AE 可公约的或者不可公约的线段上的正方形。
那么，如果AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差为一个与AE 可公约的线段上的正方形，那么，CF 上的正方形也大于FD 上的正方形，其差为一个与CF 可公约线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果AE 与给定的有理线可公约，那么：CF 也与它可公约。所以：AB 和CD 皆是第一二项线，即它们是同级的（命题X.12、定义X.5） 。
又，如果EB 与给定的有理线可公约，那么：FD 也与它可公约。所以：CD 与AB 是同级的，皆为第二二项线（命题X.12、定义X.6） 。
又，如果AE、EB 与给定的有理线不可公约，那么：CF、FD 也与它不可公约。所以：AB、CD 皆是第三二项线（命题X.13、定义X.7） 。
又，如果AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差是一个与AE 不可公约的线段上的正方形，那么：CF 上的正方形也大于FD 上的正方形，其差是一个与CF 不可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果AE 与给定的线段可公约，那么：CF 也与它可公约，因此，AB、CD 是第四二项线（定义X.8） 。
又，如果EB 与给定的有理线可公约，那么FD 也可公约，因此：AB、CD 是第五二项线（定义X.9） 。
又，如果AE、EB 与给定的有理线都不可公约，那么：CF 或FD 与给定的有理线也可公约。因此：AB 和CD 是第六二项线（定义X.10） 。
所以：一条线段与一个二项线在长度上可公约，那么，该线段本身也是二项线，并是同级的。
证完
命题X.67
一条线段与一个双中项线可公约，那么该线段也是双中项线，并且是同级的。
设：AB 为双中项线，CD 与AB 是长度上可公约的。
求证：CD 也是双中项线，并与AB 同级。
因为：AB 是双中项线，在E 点被分为两段。所以，AE、EB 是仅正方可公约的两中项线。
作比例，使AB 比CD 同于AE 比CF ，那么：其余值EB 比余值FD 同于AB 比CD （命题V.19） 。
又，AB 与CD 是长度可公约的，所以：AE、EB 与CF、FD 分别可公约（命题X.11） 。
又，AE、EB 是中项线，所以：CF、FD 也是中项线（命题X.23） 。
因为：AE 比EB 同于CF 比FD ，AE、EB 是仅正方可公约量。所以：CF、FD 也是仅正方可公约量（命题V.11、X.11） 。
而它们也被证明了是中项线，所以：CD 是双中项线。
还要进一步说：它与AB 在同一级。
因为AE 比EB 同于CF 比FD ，所以：AE 上的正方形比AE、EB 构成的矩形同于CF 上的正方形比CF、FD 构成的矩形。所以：由更比可得，AE 上的正方形比CF 上的正方形同于AE、EB 构成的矩形比CF、FD 构成的矩形（命题V.16） 。
而AE 上的正方形与CF 上的正方形是可公约的，所以：AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形是可公约的。
如果AE、EB 构成的矩形是有理的，那么：CF、FD 构成的矩形也是有理的。因此，CD 和AB 皆是一个第一双中项线，而如果AE、EB 构成的矩形是中项面，那么：CF、FD 构成的矩形也是中项面。所以：CD、AB 各是一个第二双中项线（命题X.37、命题X.23及其推论、命题X.38） 。
所以：一条线段与一个双中项线可公约，那么该线段也是双中项线，并且是同级的。
证完
命题X.68
一条与主线可公约的线段本身也是主线。
设：AB 是条主线，CD 与AB 是可公约的。
求证：CD 也是条主线。
令：E 点分AB 为两段。那么：AE、EB 是正方可公约的两条线段，且它们上的正方形之和是有理的，由它们构成的矩形是中项面（命题X.39） 。
根据前述作图。
因为：AB 比CD 同于AE 比CF ，同于EB 比FD 。所以：AE 比CF 同于EB 比FD （命题V.11） 。
而AB 与CD 是可公约的，所以：AE、EB 与CF、FD 分别也是可公约的（命题X.11） 。
因为：AE 比CF 同于EB 比FD ，由更比可得，AE 比EB 同于CF 比FD ；由合比，AB 比BE 同于CD 比DF （命题V.16、V.18） 。
所以：AB 上的正方形比BE 上的正方形同于CD 上的正方形比DF 上的正方形（命题VI.20） 。
同理，我们也可证明，AB 上的正方形比AE 上的正方形同于CD 上的正方形比CF 上的正方形。
所以：AB 上的正方形比AE、EB 上的正方形的和同于CD 上的正方形比CF、FD 上的正方形的和。所以：由更比可得，AB 上的正方形比CD 上的正方形也同于AE、EB 上的正方形的和比CF 和FD 上的正方形的和（命题V.16） 。
又，AB 上的正方形与CD 上的正方形是可公约的，所以：AE、EB 上的正方形的和与CF、FD 上的正方形的和也是可公约的。
又，AE、EB 上的正方形之和是有理的，所以：CF、FD 上的正方形之和也是有理的。
同理，AE、EB 构成的矩形的两倍与CF、FD 构成的矩形的两倍可公约，而AE、EB 构成的矩形的两倍是中项面，所以：CF、FD 构成的矩形的两倍也是中项面（命题X.23及其推论） 。
所以：CF、FD 是正方不可公约的，它们上的正方形的面积之和是有理的，而由它们构成的矩形是中项面。
所以：CD 是无理线段，被称为主线（命题X.39） 。
所以：一条与主线可公约的线段本身也是主线。
证完
命题X.69
一条线段与一条中项面有理面和的边可公约，那么，该线段也是一条有理线与中项面有理面和的边。
设：AB 是中项面有理面和的边，CD 与AB 是可公约的。
可以证明，CD 也是中项面有理面和的边。
令：在E 点分AB ，那么，AE、EB 是正方不可公约的线段，且它们上的正方形的和是中项面，而构成的矩形是有理面（命题X.40） 。
根据上述作图。
那么我们也可同样证明，CF、FD 是正方不可公约的，且AE、EB 上的正方形之和与CF、FD 上的正方形之和是可公约的，并AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形是可公约的，所以：CF、FD 上的正方形之和也是中项面，且CF、FD 构成的矩形是有理的。所以：CD 是一条中项面有理面和的边。
所以：一条线段与一条中项面有理面和的边可公约，那么，该线段也是一条有理线与中项面有理面和的边。
证完
洛书图
中国人对幻方的兴趣主要是因为它与占卜有关。传说公元前3000年，大禹得到了两个纵横图表的幻方。一个得之于从黄河腾飞而出的龙马，马背上画有从一到十组成的方阵，称为“河图”。另一个得之于黄河支流的洛河里浮出的神龟，龟壳上有由一到九的点组成的三行纵横图，称之为“洛书”。洛书图是世界上最古老的幻方，其中，纵、横、斜任何一条直线上的数字之和均为十五。
命题X.70
一条线段与两中项面和的边可公约，那么，它也是两中项面和的边。
设：AB 是两中项面和的边，而CD 与AB 是可公约的。
也可以证明，CD 也是两中项面和的边。
因为：AB 是两中项面和的边，并在E 点被分为两段。所以：AE、EB 是正方不可公约的，且它们上的正方形之和是个中项面，且它们构成的矩形也是中项面，那么，AE、EB 上的正方形之和与AE、EB 构成的矩形是不可公约的（命题X.41） 。
根据上述作图。
我们同样也可证明，CF、FD 是正方不可公约的，且AE、EB 上的正方形之和与CF、FD 上的正方形之和是可公约的，AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形也是可公约的。
所以：CF、FD 上的正方形之和是中项面，CF、FD 构成的矩形也是中项面。进一步，CF、FD 上的正方形之和与CF、FD 构成的矩形是不可公约的。
所以：CD 是两中项面和的边。
所以：一条线段与两中项面和的边可公约，那么，它也是两中项面和的边。
证完
命题X.71
如果一个有理面和一个中项面相加，可产生四条无理线，即一个二项线，或者一个第一双中项线，或者一个主线，或者一个中项面有理面和的边。
设：面ALBC 是有理面，面CBDM 是中项面。
求证：与面ALDM 相等的正方形的边也是一个二项线或者一个第一双中项线或者一个主线或者是一个中项面有理面和的边。
因为：AB 要么大于CD ，要么小于CD 。
首先，令AB 大于CD ，设：有理线段EF ，在EF 上作矩形EG 等于AB ，EH 为另一条边；在HG 上作矩形HI 等于DC ，HK 是另一边。
那么因为：面ALBC 是有理面，且等于面EFGH 。所以：面EFGH 也是有理面，且它是作在EF 上的，EH 为宽。于是：EH 是有理的，且与EF 是长度上可公约的（命题X.20） 。
又因为：面CBDM 是中项面，且等于面HGIK 。所以：面HGIK 也是中项面。且它是作在有理线EF 上的，HK 为宽，所以：HK 是有理的，且与EF 是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为：面CBDM 是中项面，同时，面ALBC 是有理面。所以：面ALBC 与面CBDM 是不可公约的，所以：面EKGH 与面HGIK 是不可公约的。
又面EKGH 比面HGIK 同于EH 比HK ，所以：EH 与HK 也是在长度上不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们都是有理的，所以：EH、HK 是仅正方可公约的有理线。所以：EK 是一条二项线，并在H 点被分为两段（命题X.36） 。
因为：面ALBC 大于面CBDM ，同时面ALBC 等于面EFGH ，面CBDM 等于面HGIK 。所以：面EFGH 也大于面HGIK 。所以：EH 也大于HK 。所以：EH 上的正方形大于HK 上的正方形，其差等于与EH 是长度可公约的或者不可公约的一条线段上的正方形。
首先，令EH 上的正方形大于HK 上的正方形，其差是一个与EH 长度可公约的线段上的正方形。
那么：较大的线HE 与给定的有理线EF 是长度上可公约的，所以：EK 是一个第一二项线（定义X.5） 。
又，EF 是有理的，但，如果一个面由一条有理线和第一二项线构成，那么与此面相等的正方形的边是二项线（命题X.54） 。
所以，与面EFIK 相等的正方形的边是二项线，于是与面ALDM 相等的正方形的边也是二项线。
又，令EH 上的正方形大于HK 上的正方形，其差为一个与EH 不可公约的线段上的正方形。
那么：较大线EH 与给定的有理线EF 是长度可公约的。所以：EK 是一个第四二项线（定义X.8） 。
又，EF 是有理的，而如果一个面由一条有理线和第四二项线构成，那么，其面的边是无理的，被称为主线，所以：与面EFIK 相等的正方形的边是主线。所以：与面ALDM 相等的正方形的边也是主线（命题X.57） 。
又，令：面ALBC 小于面CBDM 。
那么：面EFGH 也小于面HGIK 。所以：EH 也小于HK 。
那么：HK 上的正方形大于EH 上的正方形，其差是一个与HK 可公约或者不可公约的线段上的正方形。
首先，令HK 上的正方形大于EH 上的正方形，其差是一个与HK 长度可公约的线段上的正方形。
那么：较小线EH 与给定的有理线段EF 是在长度上可公约的。所以：EK 是一个第二二项线（定义X.6） 。
又EF 是有理的，但，如果一个矩形面由一条有理线和第二二项线构成，那么：与这个矩形相等的正方形的边是一个第一双中项线。所以：与面EFIK 相等的正方形的边是一个第一双中项线。所以：与面ALDM 相等的正方形的边也是一个第一双中项线（命题X.55） 。
又，令：HK 上的正方形大于HE 上的正方形，其差为一个与HK 上可公约的线段上的正方形。
又，较小线EH 与给定的有理线EF 是可公约的，所以：EK 是一个第五二项线（定义X.9） 。
又，EF 是有理的，而，如果一个面由一条有理线和第五二项线构成，那么：与此面相等的正方形的边是一个中项面有理面和的边（命题X.58） 。
所以：与面EFIK 相等的正方形的边是一个中项面有理面和的边。所以：与面ALDM 相等的正方形的边也是一个中项面有理面和的边。
所以：如果一个有理面和一个中项面相加，可产生四条无理线，即一个二项线，或者一个第一双中项线，或者一个主线，或者一个中项面有理面和的边。
证完
命题X.72
如果将两个不可公约的中项面相加，那么，将产生两无理线段，即要么是一个第二双中项线，要么是两个中项面之和的一条边。
设：两中项面AMBC、CBDN 是不可公约的，令它们相加。
求证：与面AMDN 相等的正方形的边要么是一个第二双中项线，要么是个两中项面和的边。
因为：面AMBC 要么大于面CBDN ，要么小于面CBDN 。
首先，令面AMBC 大于面CBDN 。
令：给定有理线EF ，在EF 上作矩形EHGF 等于矩形AMBC ，EH 为宽；矩形HKIG 等于矩形CBDN ，HK 为宽。
那么因为：面AMBC 、面CBDN 皆为中项面。所以：面EHGF 、面HKIG 也皆是中项面。
而它们是作在有理线段EF 上的矩形，EH、HK 为其宽，所以：EH、HK 的每一个是有理的，且与EF 在长度上是不可公约的（命题X.22） 。
因为：面AMBC 与面CBDN 不可公约，而面AMBC 等于面EHGF ，面CBDN 等于面HKIG 。所以：面EHGF 与面HKIG 是不可公约的。
又，面EHGF 比面HKIG 同于EH 比HK ，所以：EH 与HK 是长度上不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：EH、HK 是仅正方可公约的有理线段。所以：EK 是二项线（命题X.36） 。
又，EH 上的正方形大于HK 上的正方形，其差是一个与EH 可公约或者不可公约的线段上的正方形。
首先，令EH 上的正方形大于HK 上的正方形，其差为一个与EH 在长度上可公约的线段上的正方形。
那么：EH 或者HK 与给定的有理线EF 是长度上不可公约的。所以：EK 是一个第三二项线（定义X.7） 。
又，EF 是有理的，而，如果一个矩形面由一条有理线和第三二项线构成，那么，与此面相等的正方形的边是一个第二双中项线，所以：与面EKIF ，即面AMDN 相等的正方形的边是一个第二双中项线（命题X.56） 。
其次，设EH 上的正方形比HK 上的正方形大，其差是一个与EH 不可公约的线段上的正方形。
那么，线段EH、HK 与EF 是长度上不可公约的，所以：EK 是一个第六二项线（定义X.10） 。
所以：如果一个矩形面由有理线和第六二项线构成，那么，与该面相等的正方形的边是一个两中项面和的边。所以：与面AMDN 相等的正方形的边也是一个两中项面和的边（命题X.59） 。
所以：如果将两个不可公约的中项面相加，那么，将产生两无理线段，即要么是一个第二双中项线，要么是两个中项面之和的一条边。
证完
附加命题
二项线和它之后的无理线段，既不同于中项线，也不相互相同。
因为：如果在一条有理线段上作与中项线上正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是有理的，且与原有理线段是长度上不可公约的（命题X.22、X.60） 。
如果在一条有理线段上作与二项线上正方形相等的矩形，那么矩形的另一边是第一二项线（命题X.60） 。
如果在一条有理线段上作与第一双中项线上的正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是第二二项线（命题X.61） 。
如果在一条有理线段上作与第二双中项线上的正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是第三二项线（命题X.62） 。
如果在一条有理线段上作与主线上的正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是第四二项线（命题X.63） 。
如果在一条有理线段上作与中项面有理面和的边上的正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是第五二项线（命题X.64） 。
如果在一条有理线段上作与两中项面和的边上的正方形相等的矩形，那么该矩形的另一边是第六二项线（命题X.65） 。
以上所述的矩形的另一边，既与第一条有理线不同，又彼此不同；与第一条有理线不同，因为它们是有理的，且又彼此不同，是因为它们不同级。所以：这些无理线段彼此不同。
命题X.73
如果从一条有理线段中减去与该线仅正方可公约的有理线段，那么，其余值是无理线段，我们称之为余线。
设从有理线段AB 中减去与AB 仅正方可公约的有理线段BC 。
求证：AC 是无理线段，我们称之为余线。
因为：AB 与BC 是长度不可公约的，AB 比BC 同于AB 上的正方形比AB、BC 构成的矩形，所以：AB 上的正方形与AB、BC 构成的矩形是不可公约的（命题X.11） 。
但AB、BC 上的正方形之和与AB 上的正方形可公约，AB、BC 构成的矩形的两倍与AB、BC 构成的矩形是可公约的（命题X.15、X.6） 。
又因为：AB、BC 上的正方形之和等于AB、BC 构成的矩形的两倍加上CA 上的正方形。所以：AB、BC 上的正方形之和也与AC 上的正方形是不可公约的（命题II.7、X.13、X.16） 。
又，AB、BC 上的正方形之和是有理的，所以：AC 是无理的。
我们称AC 为余线（定义X.4） 。
证完
注解
这一命题在本卷命题X.75以后被大量使用。也用在命题XIII.6、XIII.11中。
命题X.74
如果从一个中项线减去与此线仅正方可公约的中项线，且以此两中项线构成的矩形是有理面，那么，余线段是无理的，我们称之为第一中项余线。
设从中项线AB 中减去与AB 仅正方可公约的中项线BC ，且AB、BC 构成的矩形是有理的。
求证：其余值AC 是无理的，我们称之为第一中项余线。
因为：AB、BC 是中项线，AB、BC 上的正方形也是中项面。而AB、BC 构成的矩形的两倍是有理的，所以：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的两倍是不可公约的。
所以：AB、BC 构成的矩形的两倍与余值AC 上的正方形也是不可公约的。因为，如果总量与分量的量值不可公约，那么：原始量值也是不可公约的（命题II.7、X.16） 。
又，AB、BC 构成的矩形的两倍是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 是无理的。
我们称AC 为第一中项余线（定义X.4） 。
证完
注解
这一命题应用在本卷命题X.80开始以后的几个命题之中。
命题X.75
如果从一条中项线减去一个与它仅正方可公约，且又与原中项线构成的矩形为中项面的中项线，那么，所余线段是无理的，我们称其为第二中项余线。
设：从中项线AB 上减去与AB 仅正方可公约的中项线段CB ，AB、BC 构成的矩形是中项面（命题X.28） 。
求证：余值AC 是无理的，我们称AC 为第二中项余线。
令：给定有理线段DI ，在DI 上作矩形DI EG 等于AB、BC 上的正方形之和，DG 为另一边。
在DI 上作矩形DIHF 等于AB、BC 构成的矩形的两倍，DF 为宽。
于是：余值矩形FHEG 等于AC 上的正方形（命题II.7） 。
因为：AB、BC 上的正方形是中项面，并可公约。所以：面DIEG 也是中项面（命题X.15、命题X.23及其推论） 。
面DIEG 也是有理线段DI 上的矩形，DG 为另一边，于是：DG 是有理的，并与DI 是长度上不可公约的（命题X.22） 。
又因为：AB 与BC 构成的矩形是中项面。所以：AB 与BC 构成的矩形的两倍也是中项面，并等于面DIHF 。所以：面DIHF 也是中项面（命题X.23及其推论） 。
又，它是作在有理线段DI 上的，DF 为宽，于是：DF 是有理的，并与DI 在长度上不可公约（命题X.22） 。
因为：AB、BC 是仅正方可公约的。所以：AB 与BC 是长度不可公约的。所以：AB 上的正方形与AB、BC 构成的矩形也是不可公约的（命题X.11） 。
AB、BC 上的正方形之和与AB 上的正方形是可公约的，AB、BC 构成的矩形的两倍与AB、BC 构成的矩形是可公约的，所以：AB、BC 的矩形的两倍与AB、BC 上的正方形之和是不可公约的（命题X.15、X.6、X.13） 。
又，面DIEG 等于AB、BC 上的正方形之和，面DIHF 等于AB、BC 构成的矩形的两倍，所以：面DIEG 与面DIHF 是不可公约的。而面DIEG 比面DIHF 同于GD 比DF 。所以：GD 与DF 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：GD、DF 是仅正方可公约的有理线段。所以：FG 是一个余线（命题X.73） 。
又，DI 是有理的，而一个由有理线段和无理线段构成的矩形是无理的，且与该矩形相等的正方形的边也是无理的（命题X.20） 。
又，AC 是面FHEG 的边，所以：AC 是无理的。我们称其为第二中项余线。
证完
注解
这一命题应用在本卷X.81开始以后的几个命题之中。
命题X.76
如果从一条线段中减去一条与该线段是正方不可公约的线段，且它们上的正方形的和是有理的，而它们构成的矩形是中项面，那么，余线段是无理的，我们称之为次线。
从AB 中减去与AB 正方不可公约的量BC ，满足给定的条件（命题X.33） 。
求证：余值AC 是无理线，我们称之为次线。
因为：AB、BC 上的正方形之和是有理的，同时AB、BC 构成的矩形的两倍是中项面。所以：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的两倍是不可公约的，变化可得，AB、BC 上的正方形之和与余量，即AC 上的正方形，是不可公约的。
