但是，AB、BC 上的正方形都是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 是无理的（命题II.7、X.16） 。
又，AB、BC 上的正方形是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 是无理的。我们称之为次线。
证完
注解
这一命题应用在本卷X.82开始以后的几个命题之中。
命题X.77
从一条线段上减去与该线段正方不可公约的量，且该量与原线段上的正方形的和是中项面，但它们构成的矩形的两倍是有理的，那么，余量是无理的，我们称其为中项面有理面差的边。
从线段AB 中减去与AB 不可公约的线段BC ，满足给定的条件。
求证：余量AC 是无理线段。
因为：AB、BC 上的正方形之和是中项面，同时，AB、BC 构成的矩形的两倍是有理的。所以：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的两倍是不可公约的。
所以：余量，即AC 上的正方形，与AB、AC 构成的矩形的两倍也是不可公约的（命题II.7、X.16） 。
AB、BC 矩形的两倍是有理的，所以：AC 上的正方形是无理的。所以：AC 是无理的。我们称AC 为中项面有理面差的边。
证完
注解
这一命题应用在本卷X.83及以后的几个命题之中。
命题X.78
如果从一条线段中减去与该线段正方不可公约的线段，且该量与原线段上的正方形之和是中项面。且由它们构成的矩形的两倍也是中项面，它们上的正方形之和与它们构成的矩形的两倍不可公约，那么，余量是无理的，我们称其为两中项面差的边。
从线段AB 中减去与AB 正方不可公约的线段BC ，满足给定条件（命题X.35） 。
求证：余量AC 是无理的，我们称其为两中项面差的边。
作一条有理线段DI ，在DI 上作面DIEG 等于AB、BC 上的正方形之和。DG 为另一边。又作矩形DIHF 等于AB、BC 构成的矩形的两倍，那么：余量面FHEG 等于AC 上的正方形。所以：AC 是等于正方形EGFH 的边。
那么因为：AB、BC 上的正方形之和是中项面，且等于面DIEG ，所以：面DIEG 是中项面。
又，它也是作在有理线DI 上的，DG 为另一边。所以：DG 是有理的，并与DI 在长度上不可公约（命题X.22） 。
又因为：AB、BC 构成的矩形的两倍是中项面，并等于面DIHF 。所以：面DIHF 是中项面。
又，它是作在有理线段DI 上的，DF 为另一边；所以：DF 也是有理的，且与DI 在长度上是不可公约的（命题X.22） 。
因为：AB、BC 上的正方形之和与AB、BC 构成的矩形的两倍是不可公约的。所以：面DIEG 与面DIHF 也是不可公约的。
又，面DIEG 比面DIHF 同于DG 比DF ，所以：DG 与DF 是不可公约的（命题X.11、VI.1） 。
又，它们皆是有理的，所以：GD、DF 是仅正方可公约的有理线段。
所以：FG 是一条余线（命题X.73） 。
又，FH 是有理的，但是由一条有理线段和余线构成的矩形是无理的，且与该矩形相等的正方形的边是无理的（命题X.20） 。
又，AC 是与正方形FHEG 相等的正方形的边，所以：AC 是无理的。我们称其为两中项面差的边。
证完
注解
这一命题应用在本卷X.84开始以后的几个命题之中。
命题X.79
只有一条有理线段，当它与余线相加时，该线段与总线段成正方可公约。
设：AB 为余线，BC 与之相加，于是AC、CB 是仅正方可公约的有理线段（命题X.73） 。
求证：没有另外的有理线段加到AB 上，能使该线段与总线段仅正方可公约。
如果还有另外的线段符合条件，令BD 是加入的线段，那么：AD、DB 是仅正方可公约的有理线段（命题X.73） 。
那么因为：AB、DB 上的正方形之和与AD、DB 构成的矩形的两倍之差等于AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍之差，因为两者超出的是同一个量，即AB 上的正方形。所以：变更后可得，AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差，等于AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差（命题II.7） 。
又，AD、DB 上的正方形之和减去AC、CB 上的正方形之和，其差为一个有理面。因为它们皆是有理面，所以：AD、DB 构成的矩形的两倍减去AC、CB 构成的矩形的两倍，其差为一个有理面。这是不可能的，因为：它们皆是中项面，而一个中项面减去一个中项面不可能得一个有理面（命题X.21、X.26） 。
所以：没有另外的有理线段加到AB 上，能使该线段与总线段仅正方可公约。
所以：只有一条有理线段与一条余线相加能使该线段与总线段成仅正方可公约的量。
所以：只有一条有理线段，当它与余线相加时，该线段与总线段成正方可公约。
证完
注解
这一命题应用在命题X.81、X.84中。
命题X.80
只有一条中项线与一条第一中项余线相加，能使该中项线与总线成仅正方可公约的量，且它们构成的矩形是有理的。
设：AB 是一条第一中项余线，BC 与AB 相加，那么，AC、CB 是仅正方可公约的两中项线，且AC、CB 构成的矩形是有理的（命题X.74） 。
求证：没有另外的线段与AB 相加，能使该线段与总线段仅正方可公约。
假定，还有另外能加的线段BD ，那么：AD、DB 是仅正方可公约的中项线，AD、DB 构成的矩形是有理的（命题X.74） 。
那么因为：AD 和DB 上的正方形之和与AD、DB 构成的矩形的两倍之差，也等于AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍之差。
因为，它们超过的是同一个量，即AB 上的正方形，所以变更后，AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差，也等于AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差（命题II.7） 。
又，AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差是一个有理面，因为它们皆是有理面。
所以：AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差也是有理面。这是不可能的，因为它们皆是中项面，而一个中项面减去一个中项面不可能得有理面（命题X.15、命题X.23及其推论、命题X.26） 。
所以：只有一条中项线与一条第一中项余线相加，能使该中项线与总线成仅正方可公约的量，且它们构成的矩形是有理的。
证完
命题X.81
只有一条中项线与一条第二中项余线相加，能使该中项线与总线仅正方可公约，且它们构成的矩形是中项面。
设：AB 是一个第二中项余线，BC 与AB 相加，那么AC、CB 是仅正方可公约的中项线，AC、CB 构成的矩形是中项面（命题X.75） 。
求证：没有另外的中项线与AB 相加能使该中项线与总线成仅正方可公约量，且它们构成的矩形是中项面。
假定还有另外一条中项线符合条件，设它为BD ，令BD、AB 相加，那么AD、DB 也是仅正方可公约的中项线，AD、DB 构成的矩形是中项面（命题X.75） 。
给定一条有理线段EF ，在EF 上作面FGME 等于AC、CB 上的正方形之和，宽为EM 。作面LGMH 等于被减去的AC、CB 构成的矩形的两倍，宽为HM 。那么：余量FLHE 等于AB 上的正方形。
所以：AB 是与面FLHE 相等的正方形的边（命题II.7） 。
又，EF 上作FINE 等于AD、DB 上的正方形之和，EN 为宽。而面FLHE 也等于AB 上的正方形，所以：余量HI 等于AD、DB 上的矩形的两倍（命题II.7） 。
又因为：AC、CB 是中项线。所以：AC、CB 上的正方形也是中项面，且它们的和等于面FGME 。所以：FGME 也是中项面（命题X.15、命题X.23及其推论） 。
又，它也是作在有理线EF 上的，EM 为宽，所以：EM 是有理的，且与EF 是长度不可公约的（命题X.22） 。
又因为：AC、CB 的矩形是中项面，AC、CB 的矩形的两倍也是中项面，且等于面LGMH 。所以：面LGMH 也是中项面（命题X.23及其推论） 。
又，它是作在有理线EF 上的，HM 为宽，所以：HM 也是有理的，且与EF 是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为：AC、CB 是仅正方可公约的。所以：AC、CB 是长度不可公约的。
又，AC 比CB 同于AC 上的正方形比AC、CB 构成的矩形，所以：AC 上的正方形与AC、CB 构成的矩形是不可公约的（命题X.11） 。
又，AC、CB 上的正方形之和与AC 上的正方形是可公约的，同时AC、CB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形是可公约的。所以：AC、CB 上的正方形之和与AC、CB 构成的矩形的两倍是不可公约的（命题X.6、X.13） 。
又，EG 等于AC、CB 上的正方形之和，同时，面LGMH 等于AC、CB 构成的矩形的两倍，所以：面FGME 与面LGMH 是不可公约的。
又，面FGME 比面LGMH 同于EM 比HM ，所以：EM 与MH 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：EM 和MH 是仅正方可公约的有理线段。所以：EH 是一条余线，且HM 与之相加（命题X.73） 。
同理，我们也能证明HN 也与之相加，所以：不同的线段与余线相加，且它们与总线成仅正方可公约的量，这是不可能的（命题X.79） 。
所以：只有一条中项线与一条第二中项余线相加，能使该中项线与总线成仅正方可公约的量，且它们构成的矩形是中项面。
证完
命题X.82
只有一条线段与次线相加，使该线段与总线成正方不可公约量，它们上的正方形之和是有理的，它们构成的矩形的两倍是中项面。
设：AB 是次线，BC 与之相加，那么AC、CB 是正方不可公约的，它们上的正方形之和是有理的，以它们为边构成的矩形的两倍是中项面（命题X.76） 。
求证：没有另外的线段与AB 相加，能满足以上的条件。
如果可能，令它为BD ，那么，AD、DB 皆是正方不可公约的量，皆满足以上条件（命题X.76） 。
那么因为：AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差，也等于AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差。同时，AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之差为一个有理面，因为它们皆是有理面。所以：AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差也是有理面，这是不可能的，因为它们皆是中项面（命题X.26） 。
所以：只有一条线段与次线相加，使该线段与总线成正方不可公约量，它们上的正方形之和是有理的，它们构成的矩形的两倍是中项面。
证完
命题X.83
只有一条线段与一个中项面有理面差的边相加，能使该线段与总线段成正方不可公约的量，它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形的两倍是有理面。
设：AB 是一个中项面有理面差的边，BC 是加到AB 上的线段，那么AC、CB 是正方不可公约的线段，且满足上述条件（命题X.77） 。
求证：没有另外的线段与AB 相加能满足以上条件。
如果有一条另外的线段，令线段BD 能满足，那么AD、DB 是正方不可公约的线段，能满足给定的条件（命题X.77） 。
如前所述，AD、DB 上的正方形与AC、CB 上的正方形之差也等于AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差，同时，AD、DB 构成的矩形的两倍与AC、CB 构成的矩形的两倍之差是一个有理面，因为它们皆是有理面。所以：AD、DB 上的正方形之和与AC、CB 上的正方形之和的差是一个有理面。这是不可能的，因为它们皆是中项面（命题X.26） 。
所以：只有一条线段与一个中项面有理面差的边相加，能使该线段与总线段成正方不可公约的量，它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形的两倍是有理面。
证完
命题X.84
只有一条线段与两中项面之差相加，能使该线段与总线段正方不可公约，且它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形的两倍是中项面，且与它们上的正方形之和不可公约。
设：AB 为两中项面差的边，BC 与之相加，那么AC、CB 是正方不可公约的线段，且满足上述的条件（命题X.78） 。
求证：没有另外的线段与AB 相加能满足以上的条件。
如果存在另外的线段，令其为BD 与AB 相加能满足，那么AD、DB 也是正方不可公约的量，AD、DB 上的正方形之和是中项面，且AD、DB 构成的矩形的两倍也是中项面。AD、DB 上的正方形之和与AD、AB 构成的矩形的两倍是不可公约的（命题X.78） 。
设定一条有理线段EF ，在EF 上作为EG 等于AC、CB 上的正方形之和，EM 为另一边。又在EF 上作面LGMH 等于AC、CB 构成的矩形的两倍，HM 为另一边，那么：余量，即AB 上的正方形等于面FLHE 。所以：AB 是与面FLHE 相等的正方形的边（命题II.7） 。
又，作面FINE 等于AD、DB 上的正方形之和，EN 为另一边。
而且AB 上的正方形也等于面FLHE ，所以：余量，即AD、DB 构成的矩形的两倍等于面LINH （命题II.7） 。
那么因为：AC、CB 上的正方形之和是中项面，并等于面KGME 。所以：面KGME 也是中项面。而它也是作在有理线EF 上的，所以：EM 是有理的，并与EF 是长度上不可公约的（命题X.22） 。
又因为：AC、CB 构成矩形的两倍是中项面，且等于面LGMH 。所以：面LGMH 也是中项面。而它是作在有理线段EF 上的，所以：HM 是有理的，并与EF 是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为：AC、CB 上的正方形与AC、CB 构成的矩形的两倍不可公约。所以：面FGME 与面LGMH 也是不可公约的。所以：EM 与MH 也是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：EM、MH 是仅正方可公约的有理线段。所以：EH 是一个余线，另一条余线HM 与之相加（命题X.73） 。
同理，我们也能证明EH 也是条余线，且HN 是加到它上面的余线。所以：不同的有理线段加到一条余线上，且与总线段仅正方可公约，这已被证明是不可能的（命题X.79） 。
所以：只有一条线段与两中项面之差相加，能使该线段与总线段正方不可公约，且它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形的两倍是中项面，且与它们上的正方形之和不可公约。
证完
定义（三）
定义X.11 给定一条有理线和余线，如果总线段上的正方形大于加线上的正方形，其差为一个与总线段长度可公约的线段上的正方形，且总线段与给定的有理线段长度可公约，此余线称为第一余线。
定义X.12 如果加线段与给定的有理线可公约，总线段上的正方形大于加线上的正方形，其差为一个与总线段可公约的线段上的正方形，此余线称为第二余线。
定义X.13 如果总线段和加线段两者皆与给定的有理线长度不可公约，且总线段上的正方形大于加线上的正方形，其差为一个与总线段可公约的线段上的正方形，此余线称为第三余线。
定义X.14 又，总线段上的正方形大于加线段上的正方形，其差为一个与总线段不可公约的线段上的正方形。此外，总线段与给定的有理线长度可公约，此余线称为第四余线。
定义X.15 如果加线段，与已知有理线段是长度可公约的，则此线称为第五余线。
定义X.16 如果全线段及加线段两者与给定有理线段都是长度不可公约的，则此余线称为第六余线。
命题X.85
求第一余线。
设：给定一条有理线段a ，使BG 与a 在长度上可公约，那么BG 也是有理线段。
再设：给定两个平方数DE、EF ，它们的差FD 不是一个平方数。
那么：ED、DF 的比值是一个平方数比一个平方数。
作比例，ED 比DF 同于BG 上的正方形比GC 上的正方形，那么：BG 上的正方形与GC 上的正方形是可公约的（命题X.6及其推论、X.6） 。
又，BG 上的正方形是有理的，所以：GC 上的正方形也是有理的，所以：GC 也是有理的。
因为ED 比DF 不同于一个平方数比一个平方数，所以：BG 上的正方形比GC 上的正方形的比值也不是一个平方数比一个平方数。所以：BG 与GC 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，二者皆是有理的，于是：BG、GC 是仅正方可公约的。所以：BC 是一条余线（命题X.73） 。
那么：它也是一个第一余线。
为此，设h 上的正方形是BG 上正方形与GC 上正方形的差。
那么，因为ED 比FD 同于BG 上正方形比GC 上的正方形，所以：由换比可得，DE 比EF 同于GB 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，ED 比EF 同于一个平方数比一个平方数，因为每个都是平方数，所以：GB 上的正方形与h 上的正方形的比值也是一个平方数比一个平方数。所以：BG 与h 是长度可公约的（命题X.9） 。
又，BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为一个h 上的正方形。
所以：BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差是一个与BG 是长度可公约的线段上的正方形。
又，总线段BG 与给定的有理线段a 是长度可公约的。
所以：BC 是一个第一余线。所以：第一余线BC 被找出来（定义X.12） 。
证完
命题X.86
求第二余线。
设：给定一条有理线段a ，使GC 与a 长度可公约。那么：GC 是有理线段。再给定两个平方数DE、EF ，它们的差DF 不是平方数。
作比例，FD 比DE 同于CG 上的正方形比GB 上的正方形（命题X.6推论） 。
那么：CG 上的正方形与GB 上的正方形可公约（命题X.6） 。
又，CG 上的正方形是有理的，所以：GB 上的正方形也是有理的。所以：BG 是有理线段。又，因为GC 上的正方形比GB 上的正方形不是一个平方数比一个平方数，所以：CG 与GB 是长度上不可公约的（命题X.9） 。
又，它们皆是有理的，所以：CG、GB 是仅正方可公约的有理线段。所以：BC 是一条余线（命题X.73） 。
我们进一步说：它也是一条第二余线。
令：h 上的正方形是BG 上的正方形与GC 上的正方形之差。
因为BG 上的正方形比GC 上的正方形同于数ED 比DF ，所以：由换比可得，BG 上的正方形比h 上的正方形同于DE 比EF （命题V.19及其推论） 。
又，DE 和EF 每个数皆是平方数，所以：BG 上的正方形比h 上的正方形同于一个平方数比一个平方数。所以：BG 与h 长度可公约（命题X.9） 。
又，BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为h 上的一个正方形。所以：BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为一个与BG 长度可公约的有理线段上的正方形。
又，CG 与给定的有理线段a 是可公约的，所以：BC 是一个第二余线（定义X.12） 。
所以：第二余线被求出来。
证完
命题X.87
求第三余线。
设：给一条有理线段a ，作三个数e、BC、CD ，它们的相互比值不是一个平方数比一个平方数，但CB 比BD 同于一个平方数比一个平方数。
作比例，令e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，令BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形（命题X.6及其推论） 。
因为：e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，所以：a 上的正方形与FG 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
又，a 上的正方形是有理的，所以：FG 上的正方形也是有理的，所以：FG 是有理的。
因为e 比BC 不是一个平方数比一个平方数，所以：a 上的正方形比FG 上的正方形也不同于一个平方数比一个平方数。所以：a 与FG 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，因为BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，所以：FG 上的正方形与GH 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
而FG 上的正方形是有理的，所以：GH 上的正方形也是有理的。所以：GH 是有理的。
又，因为BC 比CD 不是一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：FG 与GH 是长度不可公约的（命题X.9） 。又，两者都是有理的。
所以：FG 与GH 是仅正方可公约的有理线。所以：FH 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第三余线。
因为e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，BC 比CD 同于FG 上的正方形比HG 上的正方形，所以：由首末比可得，e 比CD 同于a 上的正方形比HG 上的正方形（命题V.22） 。
但是，e 比CD 不是一个平方数比一个平方数，a 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数，所以：a 与GH 是长度上不可公约的（命题X.9） 。
所以：FG 或者GH 与给定的有理线段a 皆是长度不可公约的。
设：k 上的正方形等于FG 上的正方形与GH 上的正方形之差。
因为BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，所以：由换比可得，BC 比BD 同于FG 上的正方形比k 上的正方形（命题V.19推论） 。
而BC 比BD 是一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比k 上的正方形也是一个平方数比一个平方数。
所以：FG 与k 是长度可公约的。FG 上的正方形大于GH 上的正方形，其差为一个与FG 可公约的线段上的正方形（命题X.9） 。
又，FG 或GH 皆是与给定的有理线段a 不是长度可公约的，所以：FH 是一个第三余线（定义X.13） 。
所以：第三余线FH 被求证出来。
证完
命题X.88
求第四余线。
给定有理线段a ，BG 与a 是长度上可公约的，所以BG 也是有理线段。设，两个数DF、FE ，且总量DE 与它们每个的比不是一个平方数比一个平方数。
作比例，DE 比EF 同于BG 上的正方形比GC 上的正方形，那么，BG 上的正方形与GC 上的正方形是可公约的（命题X.6、推论X.6） 。
又，BG 上的正方形是有理的，所以：GC 上的正方形也是有理的，所以：GC 是有理的。
那么，因为DE 比EF 不是一个平方数比一个平方数，所以：BG 上的正方形比GC 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：BG 与GC 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，它们皆是有理的，所以：BG、GC 是仅正方可公约的有理线段。所以：BC 是一条余线（命题X.73） 。
设：h 上的正方形等于BG 上的正方形与GC 上的正方形之差。
因为DE 比EF 同于BG 上的正方形比GC 上的正方形，所以：由换比可得，ED 比DF 同于GB 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，ED 比DF 不是一个平方数比一个平方数，GB 上的正方形比h 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：BG 与h 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为一个h 上的正方形，所以：BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为一个与BG 长度不可公约的有理线段上的正方形。
又，总线段BG 与给定的有理线段a 是长度可公约的量，所以：BC 是一个第四余线。
于是：第四余线被求证出来（定义X.14） 。
证完
命题X.89
求第五余线。
给定有理线段a ，设CG 与a 是长度可公约的，那么，CG 是有理的。
给定两个数DF、FE ，且使DE 与DF、FE 的比值不是一个平方数比一个平方数。再作比例，FE 比ED 同于CG 上的正方形比GB 上的正方形。
那么GB 上的正方形也是有理的，所以：BG 也是有理的（命题X.6） 。
那么，因为DE 比EF 同于BG 上的正方形比GC 上的正方形，同时，DE 比EF 不是一个平方数比一个平方数，所以：BG 上的正方形比GC 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：BG 与GC 是长度上不可公约的（命题X.9） 。
又，它们皆是有理的，所以：BG、GC 是仅正方可公约的有理线段。所以：BC 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第五余线。
设：h 上的正方形等于BG 上的正方形与GC 上的正方形之差。
因为：BG 上的正方形比GC 上的正方形同于DE 比EF ，所以：由换比可得，ED 比DF 同于BG 上的正方形比h 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，ED 比DF 不是一个平方数比一个平方数，BG 上的正方形比h 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数，所以：BG 与h 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，BG 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为h 上的正方形，所以：GB 上的正方形大于GC 上的正方形，其差为一个与GB 长度上不可公约的有理线段上的正方形。
又，CG 与给定的有理线段a 是长度上可公约的，所以：BC 是一条第五余线（定义X.15） 。
于是：第五余线被求证出来。
证完
命题X.90
求第六余线。
给定有理线a ，给定三个数e、BC、CD ，且它们的相互比不是一个平方数比一个平方数，再设CB 比BD 也不是一个平方数比一个平方数。
作比例，使e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形（命题X.6及其推论） 。
那么，因为e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，所以：a 上的正方形与FG 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
又，a 上的正方形是有理的，所以：FG 上的正方形也是有理的，所以：FG 也是有理的。
因为e 比BC 不是一个平方数比一个平方数，所以：a 上的正方形比FG 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数，所以：a 与FG 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，因为BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，所以：FG 上的正方形与GH 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
又，FG 上的正方形是有理的，所以：GH 上的正方形也是有理的。所以：GH 也是有理的。
因为BC 比CD 不是一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：FG 与GH 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，两者都是有理的，所以FG、GH 是仅正方可公约的有理线段。因此，FH 是一条余线。
进一步说：它也是一条第六余线。
因为e 比BC 同于a 上的正方形比FG 上的正方形，而BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，所以：由首末比可得，e 比CD 同于a 上的正方形比GH 上的正方形（命题V.22） 。
又，e 比CD 不是一个平方数比一个平方数，所以：a 上的正方形比GH 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数。所以：a 与GH 是长度不可公约的。所以：线段FG、GH 皆与有理线a 不是长度可公约的（命题X.9） 。
令：k 上的正方形等于FG 上的正方形与GH 上的正方形之差。
因为BC 比CD 同于FG 上的正方形比GH 上的正方形，所以：由换比可得，CB 比BD 同于FG 上的正方形比k 上的正方形（命题V.19及其推论） 。
又，CB 比BD 不是一个平方数比一个平方数，所以：FG 上的正方形比k 上的正方形也不是一个平方数比一个平方数，所以：FG 与k 是长度不可公约的（命题X.9） 。
又，FG 上的正方形大于GH 上的正方形，其差为一个k 上的正方形，所以：FG 上的正方形大于GH 上的正方形，其差为一个与FG 长度不可公约的线段上的正方形（定义X.16） 。
又，线段FG、GH 与所给出的有理线段不是可公约的，所以，FH 是一条第六余线。
于是：第六余线被求证出来。
证完
命题X.91
如果一个面是由一条有理线和一条第一余线构成的，那么，与该面相等的正方形的边是一条余线。
设：面ACBD 是由有理线段AC 和第一余线AD 构成的。
求证：与该面相等的正方形的边是一条余线。
因为：AD 是一条第一余线，设DG 是它的加线段。
那么：AG、GD 是仅正方可公约的有理线段，且总线段AG 与给定的有理线段AC 是可公约的。
又：AG 上的正方形大于GD 上的正方形，其差为一个与AG 是长度可公约的线段上的正方形（命题X.73、定义X.12） 。
所以，如果在AG 上作矩形，使之等于DG 上的正方形的四分之一且缺少一个正方形，那么：它被分为可公约的两个部分（命题X.17） 。
在E 点平分DG ，在AG 上作矩形，使之等于EG 上的正方形且缺少一个正方形的矩形AF、FG ，于是：AF 与FG 是长度可公约的。
分别过点E、F、G 作EH、FI 和GK 平行于AC 。
那么，因为AF 与FG 是长度可公约的，所以：AG 分别与线段AF、FG 也是长度可公约的（命题X.15） 。
又，AG 与AC 是长度可公约的，所以：AF 与FG 皆与AC 是长度可公约的（命题X.12） 。
又，AC 是有理的，所以：AF、FG 也皆是有理的，所以：面ACIF 、面FIKG 构成的矩形也是有理的（命题X.19） 。
那么，因为DE 与EG 是长度可公约的，所以：DG 分别与DE、EG 也是长度可公约的（命题X.15） 。
又，DG 是有理的，并与AC 长度不可公约，所以：DE、EG 皆与AC 是长度不可公约的有理线段。所以：面DBHE 、面EHKG 构成的矩形是中项面（命题X.13、X.21） 。
现在，作正方形LRMP 等于正方形ACIF ，从中减去与它有共同∠LPM 的正方形NUOP 等于面FIKG ，那么：正方形LRMP 、正方形NUOP 的对角线在一条直线上（命题VI.26） 。
令：PR 为它们的对角线，并作图。
因为AF、FG 构成的矩形等于EG 上的正方形，所以：AF 比EG 同于EG 比FG （命题VI.17） 。
而AF 比EG 同于面ACIF 比面EHKG ，而EG 比FG 同于面EHKG 比KF ，所以：面EHKG 是面ACIF 、面FIKG 的比例中项（命题VI.1、V.11） 。
又，前面已经证明，面NTMP 也是面LRMP 、面NUOP 之间的比例中项，而面ACIF 等于面LRMP ，面FIKG 等于面NUOP 。所以：面NTMP 也等于面EHKG 。而面EHKG 等于面ACBD ，且面NTMP 等于面LSOP ，所以，面DBKG 等于折尺形UVW 和面NUOP 的和。
而面ACKG 也等于面LRMP 、面NUOP 之和，所以：余值ACBD 等于面SRTU 。
又，RT 等于LN ，所以：LN 上的正方形等于正方形ACBD 。所以：LN 是与正方形ACBD 相等的正方形的边。
其次可证明LN 是一条余线。
因为每一个矩形ACIF、FIKG 是有理的，且它们分别等于面LRMP 、面NUOP ，所以每个正方形LRMP、NUOP ，即分别为LP、PN 上的正方形，也是有理的，因此，LP、PN 也是有理的。又因为，面DBHE 是中项面，且等于面LSOP ，所以面LSOP 也是中项面。
于是，因为面LSOP 是中项面，而面NUOP 是有理的，所以面LSOP 与面NUOP 不可公约。
又，面LSOP 比面NUOP 同于LP 比PN ，所以：LP 与PN 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：LP、PN 是仅正方可公约的有理线段，所以：LN 是一条余线（命题X.73） 。
又，它是与面ACBD 相等的正方形的边，所以：与面ACBD 相等的正方形的边是一条余线。
所以：如果一个面是由一条有理线和一条第一余线构成的，那么，与该面相等的正方形的边是一条余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.108中。
命题X.92
如果一个面是由一条有理线段与一条第二余线构成的，那么，与该面相等的正方形的边是一条中项线的第一余线。
设：面ACBD 是由有理线段AC 和第二余线AD 构成的。
求证：与ACBD 相等的正方形的边是一条第一中项余线。
设DG 是加到AD 上的加线段，那么：AG 和GD 是仅正方可公约的有理线段，且加线DG 与给定的有理线段AC 是可公约的。同时，总线段AG 上的正方形大于加线GD 上的正方形，其差为一个与AG 长度可公约的线段上的正方形（命题X.73、定义X.12） 。
因为AG 上的正方形大于GD 上的正方形，其差为一个与AG 可公约的线段上的正方形，所以：如果作在AG 上的矩形等于GD 上的正方形的四分之一，并缺少一个正方形，那么，它分AG 为可公约的两个部分（命题X.17） 。
那么，在E 点平分DG ，在AG 上作矩形等于EG 上的正方形，并缺少一个正方形，令其为AF、FG 构成的矩形，那么：AF、FG 是长度可公约的。
所以：AG 分别与AF、FG 也是长度可公约的（命题X.15） 。
又，AG 是有理的，并与AC 长度不可公约，所以：AF、FG 分别与AC 也是长度不可公约的。所以：面ACIF、FIKG 是中项面（命题X.13、X.21） 。
又，因为DE 与EG 是可公约的，所以：DG 分别与直线DE 和EG 也是可公约的（命题X.15） 。
又，DG 与AC 是长度可公约的。
所以：矩形DBHE、EHKG 是有理的（命题X.19） 。
作正方形LRMP 等于ACIF ，减去等于面FIKG 的并与面LRMP 有公共∠LPM 的正方形NUOP ，那么：LRMP 和NUOP 上的正方形在同一对角线上（命题VI.26） 。
