设：PR 为其对角线。并作图。
因为面ACIF 、面FIKG 是中项面，并分别等于LP、PN 上的正方形，LP、PN 上的正方形也是中项面，所以：LP、PN 也是仅正方可公约的两中项线。
因为：AF、FG 的矩形等于EG 上的正方形，所以：AF 比EG 同于EG 比FG ，同时，AF 比EG 同于面ACIF 比面EHKG ，而EG 比FG 同于面EGKG 比面FIKG ，所以：EK 是AI 、FK 的比例中项（命题VI.17、VI.1、V.11） 。
又，面NTMP 也是面LRMP 、面NUOP 上的比例中项，而面ACIF 等于面LRMP ，同时面FIKG 等于面NUOP 。所以：面NTMP 也等于EK 。
而DH 等于EK ，LO 等于MN ，所以：总量DK 等于折尺形UVW 与面NUOP 之和。
那么，因为总量AK 等于LM、NO 之和，且DK 等于折尺形UVW 与面NUOP 之和，所以：余量ACBD 等于SRTU 。
又，正方形SRTU 等于LN 上的正方形，所以：LN 上的正方形等于面ACBD 。所以：LN 是与面ACBD 相等的正方形的边。
进一步说：LN 是一条第一中项余线。
因为面EHKG 是有理的，并等于面LSOP ，所以：面LSOP 即LP 与PN 构成的矩形，是有理的。
又，面NUOP 已经被证明是中项面，所以：面LSOP 与面NUOP 是不可公约的。
又，面LSOP 比面NUOP 同于LP 比PN ，所以：LP、PN 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：LP、PN 是仅正方可公约的中项线，且构成一个有理矩形。所以：LN 是一条第一中项余线（命题X.74） 。
且，它是与面ACBD 相等的正方形的边。
所以：与面ACBD 相等的正方形的边是一条第一中项余线。
所以：如果一个面是由一条有理线段与一条第二余线构成的，那么，与该面相等的正方形的边是一条中项线的第一余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.109中。
命题X.93
如果一个面由一条有理线段和一条第三余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是一条第二中项余线。
设：面ACBD 是由有理线AC 和第三余线AD 构成的。
求证：与面ACBD 相等的正方形的边是一条第二中项余线。
设：DG 是加在AD 上的加线段。那么：AG、GD 是仅正方可公约的有理线段，AG、GD 分别与给定的有理线段AC 不是长度可公约的。同时，AG 上的正方形大于加线DG 上的正方形，其差为一个与AG 可公约的线段上的正方形（定义X.7） 。
那么，因为AG 上的正方形大于GD 上的正方形，其差为一个与AG 可公约的线段上的正方形，所以：如果在AG 上作矩形，使之等于DG 上的正方形的四分之一，并缺少一个正方形，它分AG 为可公约的两个部分（命题X.17） 。
在E 点平分DG ，在AG 上作矩形，使之等于EG 上的正方形并缺少一个正方形，设其为AF、FG 构成的矩形。过点E、F、G 作EH、FI、GK 平行于AC 。
那么：AF、FG 是可公约的。所以：AI 与FK 也是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AF、FG 是长度可公约的，所以：AG 分别与线段AF、FG 是长度可公约的（命题X.15） 。
又，AG 是有理的，并与AC 是长度不可公约的，所以：AF、FG 也是有理的且与AC 是长度不可公约的（命题X.13） 。
所以：面ACIF 与面FIKG 是中项面（命题X.21） 。
又，因为DE 与EG 是长度可公约的，所以：DG 分别与线段DE、EG 是长度可公约的（命题X.15） 。
又，GD 是有理的，并与AC 在长度上不可公约，所以：线段DE、EG 也是有理的，并与AC 在长度上不可公约。所以：面DBHE 与面EHKG 构成的矩形是中项面（命题X.13、X.21） 。
因为AG、GD 是仅正方可公约的，所以：AG 与GD 是长度不可公约的。
又，AG 与AF 是长度可公约的，DG 与EG 也是长度可公约的。所以：AF 与EG 是长度不可公约的（命题X.13） 。
又，AF 比EG 同于面ACIF 比面EHKG ，所以：面ACIF 与EHKG 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
现在，作正方形LRMP 等于面ACIF ，又作正方形NUOP 等于FIKG 且它与LRMP 有公共∠LPM 。那么：面LRMP 和NUOP 在同一对角线上（命题VI.26） 。
设：PR 为其对角线，并作图。
那么，因为AF、FG 构成的矩形等于EG 上的正方形，所以：AF 比EG 同于EG 比FG （命题VI.17） 。
又，AF 比EG 同于面ACIF 比面EHKG ，EG 比FG 同于面EHKG 比面FIKG ，所以：面ACIF 比面EHKG 同于面EHKG 比面FIKG 。所以：面EHKG 是面ACIF 、面FIKG 的比例中项（命题VI.1、VI.11） 。
又，面MPNT 也是面LRMP、NUOP 上的正方形的比例中项，而面ACIF 等于面LRMP ，且面FIKG 等于面NUOP ，所以：面EHKG 也等于面MPNT 。
又，面MPNT 等于面LSOP ，且面EHKG 等于面DBHE ，所以：总量DBKG 也等于折尺形UVW 与面NUOP 的和。
又，面ACKG 等于面LRMP、NUOP 之和，所以：余值ACBD 等于面SRTU ，即LN 上的正方形，所以：LN 是与面ACBD 相等的正方形的边。
那么我说：LN 是一条第二中项线。
因为面ACIF、FIKG 已被证明为中项面，并分别等于LP、PN 上的正方形，所以：LP 和PN 上的正方形也是中项面，所以：LP 和PN 是中项线。
因为面ACIF 与FIKG 是可公约的，所以：LP 上的正方形与PN 上的正方形也是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，因为已经证明，面ACIF 与EHKG 是不可公约的，所以：面LRMP 与NTMP 也是不可公约的，即LP 上的正方形与LP、PN 构成的矩形是不可公约的。于是：LP 与PN 也是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：LP、PN 是仅正方可公约的两中项线。
那么我说：它们也构成一个中项面。
因为面EHKG 已被证明为中项面，并等于LP、PN 构成的矩形，所以：LP 与PN 构成的矩形也是中项面。所以：LP、PN 是仅正方可公约的两中项线，并构成一个中项面。
所以：LN 是一条第二中项余线，并是面ACBD 的边（X.75）。
所以：与面ACBD 相等的正方形的边是一条第二中项余线。
所以：如果一个面由一条有理线和一条第三余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是一条第二中项余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.110中。
命题X.94
如果一个面由一条有理线段与一条第四余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是次线。
设：有理线段AC 与第四余线AD 构成面ACBD 。
求证：与面ACBD 相等的正方形的边是次线。
令DG 是加在AD 上的加线段，于是：AG、GD 是仅正方可公约的有理线段，AG 与给定的有理线段AC 是长度可公约的，且总线段AG 上的正方形大于加线段DG 上的正方形，其差为一个与AG 长度不可公约的线段上的正方形（定义X.14） 。
因为AG 上的正方形大于GD 上的正方形，其差为一个与AG 长度不可公约的线段上的正方形，如果在AG 上作矩形，使之等于DG 上的正方形的四分之一并缺少一个正方形，那么：它分AG 为不可公约的两段（命题X.18） 。
在E 点平分DG ，在AG 上作矩形，使之等于EG 上的正方形并缺少一个正方形，设其为AF、FG 构成的矩形，那么：AF 与FG 是长度不可公约的。
过E、F、G 点作EH、FI 、GK 平行于AC、BD 。
因为AG 是有理的，且与AC 是长度可公约的，所以：总线段AK 是有理的（命题X.19） 。
又，因为DG 与AC 是长度不可公约的，且它们皆是有理线段，所以：面DBKG 是中项面（命题X.21） 。
又，因为AF 与FG 是长度不可公约的，所以：面ACIF 与FIKG 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
现在，作正方形LRMP 等于正方形ACIF ，又作正方形NUOP 等于正方形FIKG 且它与正方形LRMP 有公共角∠LPM 。
所以：正方形LRMP、NUOP 上的正方形是在同一条对角线上。设它们的对角线为PR 。并作图（命题VI.26） 。
因为AF、FG 构成的矩形等于EG 上的正方形，所以：AF 比EG 同于EG 比FG （命题VI.17） 。
又，AF 比EG 同于面ACIF 比EHKG ，又EG 比FG 同于面EHKG 比FIKG ，所以：面EHKG 是ACIF、FIKG 的比例中项（命题VI.1、V.11） 。
又，面NTMP 也是面LRMP、NUOP 的比例中项，而面ACIF 等于面LRMP ，且面FIKG 等于NUOP ，所以：面EHKG 也等于面NTMP 。
又，面DBHE 等于面EHKG ，面LSOP 等于面MTNP ，所以：总量DBKG 等于折尺形UVW 与面NUOP 的和。
那么，因为总量ACK 扎腾G 等于LM、NO 之和，且DK 等于折尺形UVW 与正方形NO 之和，所以：余量AB 等于ST ，即LN 上的正方形。所以：LN 是与面AB 相等的正方形的边。
那么我说：LN 是被称为次线的无理线段。
因为面ACKG 是有理的，并等于LP、PN 上的正方形之和，所以：LP、PN 上的正方形之和是有理的。
又，因为面DBKG 是中项面，且面DBKG 等于LP、PN 构成的矩形的两倍，所以：LP、PN 构成的矩形的两倍是中项面。
又，因为面ACIF 已经被证明与面FIKG 是不可公约的，所以：LP 上的正方形与PN 上的正方形也是不可公约的。
所以：LP、PN 是正方不可公约的有理线段，且它们上的正方形之和是有理的，它们构成的矩形的二倍是中项面。
所以：LN 是被称为次线的有理线段，它也是与面ACBD 相等的正方形的边（命题X.76） 。
所以：与面ACBD 相等的正方形的边是次线。
所以：如果一个面由一条有理线段与一条第四余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是次线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.108中。也应用在命题XIII.11中。
命题X.95
如果一个面是由一条有理线段与一条第五余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是一个中项面有理面差的边。
设：面AB 是由一条有理线段AC 与第五余线AD 构成的。
求证：与面AB 相等的正方形的边是一个中项面有理面差的边。
令DG 是AD 上的加线段，那么，AG、GD 是仅正方可公约的两有理线段，加线段GD 与给定的有理线段AC 是长度可公约的，总线AG 上的正方形大于加线段DG 上的正方形，其差为一个与AG 不可公约的线段上的正方形（定义X.15） 。
所以：如果在AG 上作矩形，使之等于DG 上的正方形的四分之一并缺少一个正方形，它分AG 为不可公约的两部分（命题X.18） 。
在E 点平分DG ，在AG 上作矩形，使之等于EG 上的正方形并缺少一个正方形，设其为AF、FG 构成的矩形，那么：AF 与FG 是长度不可公约的。
现在，因为AG 与CA 是长度不可公约的，且它们皆是有理的，所以：面ACKG 是中项面（命题X.21） 。
又，因为DG 是有理的，并与AC 是长度可公约的，所以：面DBKG 是有理的（命题X.19） 。
现在，作正方形LRMP 等于ACIF ，又作正方形NUOP 等于FIKG ，且它与面LRMP 有公共角∠LPM 。那么：面LRMP、NUOP 是在同一条对角线上。
设对角线为PR ，且作图（命题VI.26） 。
同样，我们可证明LN 是与面ACBD 相等的正方形的边。
那么我说：LN 是一个中项面有理面差的边。
因为面ACKG 已经被证明是个中项面，并等于LP、PN 上的正方形之和，所以：LP、PN 上的正方形之和是中项面。
又因为，面DBKG 是有理的，且等于LP、PN 构成的矩形的两倍，于是后者也是有理的。
又因为，面ACIF 与面FIKG 是不可公约的，所以，LP 上的正方形与PN 上的正方形也是不可公约的。所以，LP、PN 是正方不可公约的两条线段，且它们上的正方形的和是中项面，但由LP、PN 构成的矩形的两倍是有理的。
所以：余量LN 是被称为中项面有理面差的边的无理线段，它也是与面ACBD 相等的正方形的边（命题X.77） 。
所以：与面ACBD 相等的正方形的边是一个中项面有理面的差。
所以：如果一个面是由一条有理线段与一条第五余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是一个中项面有理面的差的边。
证完
注解
这一命题应用在命题X.109中。
命题X.96
如果一个面由一条有理线段与一条第六余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是两中项面差的边。
设：面ACBD 是由有理线段AC 与第六余线AD 构成的。
求证：与面ACBD 相等的正方形是一个两中项面差的边。
令DG 是AD 的加线段，那么：AG、GD 是仅正方可公约的两有理线段，它们与给定的有理线段AC 不是长度可公约的。
且，总线段AG 上的正方形大于加线段DG 上的正方形，其差为一个与AG 长度不可公约的线段上的正方形（定义X.16） 。
因为AG 上的正方形大于GD 上的正方形，其差为一个与AG 长度不可公约的线段上的正方形，所以：如果在AG 上作矩形，使之等于DG 上的正方形的四分之一并缺少一个正方形。那么：它分AG 为不可公约的两个部分（命题X.18） 。
在E 点平分DG ，在AG 上作矩形，使之等于EG 上的正方形并缺少一个正方形，设其为AF、FG 构成的矩形，那么：AF 与FG 是长度不可公约的。
而，AF 比FG 同于面ACIF 比面FIKG ，所以：面ACIF 与面FIKG 是不可公约的（命题X.11） 。
因为AG、AC 是仅正方可公约的两有理线段，所以：AK 是中项面，又因为：AC、DG 是长度不可公约的有理线段，面DBKG 也是中项面（命题X.21） 。
现在，因为AG 和GD 是仅正方可公约的，所以：AG 与GD 是长度不可公约的。
又AG 比GD 同于面ACKG 比DBKG ，所以：面ACKG 与面DBKG 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
现在，作正方形LRMP 等于ACIF ，又作正方形NUOP 等于FIKG ，并有公共角∠LPM ，那么：正方形LRMP、NUOP 有相同的对角线（命题VI.26） 。
令PR 为其对角线，并作图，那么，同样，我们也能证明LN 是与面ACBD 相等的正方形的边。
那么：LN 是一个两中项面之差的边。
因为面ACKG 已被证明是中项面，并等于LP、PN 上的正方形之和，所以：LP、PN 上的正方形之和是中项面。又，因为面DBKG 已被证明是中项面，并等于LP、PN 构成的矩形的两倍，所以：LP 与PN 构成的矩形的两倍也是中项面。
因为面ACKG 已被证明与DK 是不可公约的，所以：LP、PN 上的正方形之和也与LP、PN 构成的矩形的两倍是不可公约的。又，因为面ACIF 与FIKG 是不可公约的，所以：LP 上的正方形与PN 上的正方形也是不可公约的。
所以：LP、PN 是正方不可公约的线段，它们上的正方形之和是中项面，它们构成的矩形的两倍是中项面，进一步，它们上的正方形之和与它们构成的矩形的两倍也是不可公约的。
所以：LN 是被称为两中项面差的无理线段，它是与面AB 相等的正方形的边，所以：与面AB 相等的正方形的边是一个中项面与一个中项面之差（命题X.78） 。
所以：如果一个面由一条有理线段与一条第六余线构成，那么，与该面相等的正方形的边是两中项面之差的边。
证完
注解
这一命题应用在命题X.110中。
命题X.97
在有理线段上作一个矩形使它等于一个余线上的正方形，那么，其另一边是第一余线。
设：AB 是条余线，CD 是有理线段，在CD 上作矩形CDEF ，使之等于AB 上的正方形，CF 为宽。
那么我说：CF 是一条第一余线。
令BG 是AB 上的加线，那么：AG、GB 是仅正方可公约的有理线段（命题X.73） 。
在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，再作矩形KHLM ，使之等于BG 上的正方形。
那么，总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且正方形CDEF 等于AB 上的正方形，所以：余量FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍（命题II.7） 。
在N 点平分FM 。过N 点作NO ，使之平行于CD ，那么：FO、LN 构成的矩形等于AG、GB 构成的矩形。
现在，因为AG、GB 上的正方形都是有理的，面DLMC 等于AG、GB 上的正方形之和，所以：面CDLM 是有理的。
又，面CDLM 是作在有理线段CD 上的，并以CM 为宽，所以：CM 是有理的，并与CD 长度可公约（命题X.20） 。
又，因为AG、GB 构成的矩形的两倍是中项面，且面FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍，所以：面FELM 是中项面。
且它是作在有理线段CD 上的，并以FM 为宽，所以：FM 是有理的，并与CD 长度不可公约（命题X.22） 。
因为AG 和GB 上的正方形是有理的，同时AG、GB 构成的矩形的两倍是中项面，所以：AG、GB 上的正方形之和与AG、GB 构成的矩形的两倍是不可公约的。
又，面CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且面FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍，所以：面CDLM 与面FELM 是不可公约的。
又，面CDLM 比面FELM 等于CM 比FM ，所以：CM 与FM 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们是有理的，所以：CM、MF 是仅正方可公约的有理线段。所以：CF 是一条余线（命题X.73） 。
我进一步说：它也是一条第一余线。
因为AG、GB 构成的矩形是AG、GB 上的正方形的比例中项，面CDHK 等于AG 上的正方形，正方形KHLM 等于BG 上的正方形，矩形NOLM 等于AG、BG 构成的矩形，所以：面NOLM 也是矩形CDHK 、正方形KHLM 的比例中项。所以：矩形CDHK 比矩形NOLM 同于矩形NOLM 比矩形KHLM 。
又，矩形CDHK 比矩形NOLM 同于CK 比NM ，矩形NOLM 比矩形KHLM 同于NM 比KM ，所以：CK、KM 构成的矩形等于NM 上的正方形，即是FM 上的正方形的四分之一（命题VI.1、VI.17） 。
因为AG 上的正方形与GB 上的正方形是正方可公约的，所以：矩形CDHK 与矩形KHLM 也是正方可公约的。
又，矩形CDHK 比矩形KHLM 同于CK 比KM ，所以：CK 与KM 是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为：CM 和MF 是两条不等线段，在CM 上作CK、KM 构成的矩形，使之等于FM 上的正方形的四分之一且缺少一个正方形，同时CK 与KM 是可公约的。
所以：CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一个与CM 长度可公约的线段上的正方形（命题X.17） 。
又，CM 与给定的有理线段CD 是长度可公约的，所以：CF 是一条第一余线（定义X.12） 。
所以：在有理线段上作一个矩形使它等于一条余线上的正方形，那么，其另一边是第一余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。也应用在命题XIII.6中。
命题X.98
在有理线段上作矩形等于第一中项余线上的正方形，那么其另一边是一条第二余线。
设：AB 是一条第一中项余线，且CD 是有理线段，在CD 上作矩形CDEF ，使之等于AB 上的正方形，CF 是另一边。
求证：CF 是一条第二余线。
令BG 是AB 的加线段，那么：AG、GB 是仅正方可公约的两中项线，它们构成一个有理矩形（命题X.74） 。
在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，CK 为另一边，再作矩形KHLM 等于GB 上的正方形，KM 为另一边。
所以：总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和。所以：面CDLM 也是中项面（命题X.15、命题X.23及其推论） 。
又，它也是作在一条有理线段CD 上的，并以CM 为宽，所以：CM 是有理的，并与CD 长度不可公约（命题X.22） 。
现在，因为总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且AB 上的正方形等于正方形CDEF ，所以：余下的AG、GB 构成的矩形的两倍等于矩形FELM （命题II.7） 。
又，AG、GB 构成的矩形的两倍是有理的，所以：矩形EFML 是有理的。
又，它也是作在有理线段FE 上的，并以FM 为另一边，所以：FM 是有理的，且与CD 也是长度可公约的（命题X.20） 。
现在，因为AG、GB 上的正方形之和，即面CDLM 是中项面，同时，AG、BG 构成的矩形的两倍，即矩形FELM ，是有理的，所以：面CDLM 与面FELM 是不可公约的。
又，矩形CDLM 比矩形FELM 同于CM 比FM ，所以：CM 与FM 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：CM 和MF 是仅正方可公约的有理线段，所以：CF 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第二余线。
在N 点分FM ，过N 作NO ，使之平行于CD ，那么：矩形FEON、NOLM 构成的矩形等于AG、GB 构成的矩形。
那么，因为AG 与GB 构成的矩形是AG、GB 上的正方形的比例中项，AG 上的正方形等于矩形CDHK ，AG、GB 构成的矩形等于矩形NOLM ，且BG 上的正方形等于正方形KHLM ，所以：矩形NOLM 也是矩形CDHK 、正方形KHLM 的比例中项，面CDHK 比矩形NOLM 同于矩形NOLM 比矩形KHLM 。
又，矩形CDHK 比矩形NOLM 同于CK 比NM ，而矩形NOLM 比矩形KHLM 同于NM 比MK ，所以：CK 比NM 同于NM 比KM ，CK、KM 构成的矩形等于NM 上的正方形，即FM 上的正方形的四分之一（命题VI.1、V.11、VI.17） 。
因为CM、MF 是两个不等线段，CK、KM 构成的矩形是作在大线段CM 上的，并等于MF 上的正方形的四分之一且缺少一个正方形，且分CM 为可公约的两段，所以：CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一个与CM 长度可公约的线段上的正方形（命题X.17） 。
又，加线FM 与给定的有理线段CD 是长度可公约的，所以：CF 是一条第二余线（定义X.12） 。
所以：在有理线段上作矩形等于第一中项余线上的正方形，那么其另一边是一条第二余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。
命题X.99
作在一条有理线段上的矩形，等于第二中项余线上的正方形，那么另一条边是一条第三余线。
设：AB 是一条第二中项余线，CD 是有理线段，在CD 上作矩形CDEF 等于AB 上的正方形，CF 为另一边。
求证：CF 是一条第三余线。
令BG 是AB 的加线段，所以：AG、GB 是仅正方可公约的中项线，并构成一个矩形为中项面（命题X.75） 。
在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，CK 为另一边，在KH 上作矩形KHLM 等于BG 上的正方形，KM 为另一边，那么，总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，所以：总量CDLM 也是中项面（命题X.15、命题X.23及其推论） 。
又，总量CDLM 是作在有理线段CD 上的，CM 为另一边，所以：CM 是有理的，并与CD 是长度不可公约的（命题X.22） 。
那么，总量CDLM 也等于AG、GB 上的正方形之和，且正方形CDEF 等于AB 上的正方形，所以：矩形FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍（命题II.7） 。
在N 点平分FM ，作NO 平行于CD ，那么：矩形FEON、NOLM 分别等于AG、GB 构成的矩形。
又，AG、GB 构成的矩形是中项面，所以：面FELM 也是中项面。
又，它也是作在有理线段EF 上的，并以FM 为宽，所以：FM 也是有理的，且与CD 也是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为AG、GB 是仅正方可公约的，所以：AG 与GB 是长度不可公约的，所以：AG 上的正方形与AG、GB 构成的矩形是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，AG、GB 上的正方形之和与AG 上的正方形是可公约的，且AG、GB 构成的矩形的两倍与AG、GB 构成的矩形是可公约的，所以：AG、GB 上的正方形之和与AG、GB 构成的矩形的两倍是不可公约的（命题X.13） 。
又，矩形CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且矩形FELM 等于AG 与GB 构成的矩形的两倍，所以：矩形CDLM 与矩形FELM 也是不可公约的。
又，矩形CDLM 比矩形FELM 同于CM 比FM ，所以：CM、FM 是长度不可公约的（命题VI.1） 。
又，它们都是有理的，所以：CM、MF 是仅正方可公约的有理线段，所以：CF 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第三余线。
因为AG 上的正方形与GB 上的正方形是可公约的，所以：面CDHK 与面KHLM 也是可公约的，所以：CK 与KM 也是可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AG、GB 构成的矩形是AG、GB 上的正方形的比例中项，面CDHK 等于AG 上的正方形，面KHLM 等于GB 上的正方形，面NOLM 等于AG 与GB 构成的矩形，所以：面NOLM 是面CDHK 、面KHLM 的比例中项，面CDHK 比面NOLM 同于面NOLM 比面KHLM 。
又，面CDHK 比面NOLM 同于CK 比NM ，面NOLM 比面KHLM 同于NM 比KM ，所以：CK 比MN 同于MN 比KM 。所以：CK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，即FM 上的正方形的四分之一（命题VI.1、V.11） 。
又，因为CM、MF 是两条不等线段，且在CM 上作等于FM 上正方形的四分之一且缺少一正方形的矩形，且分CM 为可公约的两段，于是：CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一个与CM 可公约的线段上的正方形（命题X.17） 。
又，线段CM、MF 与给定的有理线段CD 长度不可公约，所以：CF 是一条第三余线。
所以：作在一条有理线段上的矩形，等于第二中项余线上的正方形，那么另一条边是一条第三余线（定义X.13） 。
证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。
命题X.100
作在一条有理线段上的矩形等于次线上的正方形，则其另一边是第四余线。
设：AB 为一条次线，CD 为一条有理线段，在CD 上作矩形CDEF 等于AB 上的正方形，CF 为另一边。
求证：CF 是第四余线。
令BG 为AB 的加线段，那么：AG、GB 是正方不可公约的线段。
AG、GB 上的正方形之和是有理面，而AG、GB 构成的矩形的两倍是中项面（命题X.76） 。
在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，CK 为另一边，作矩形KHLM 等于BG 上的正方形，KM 为另一边，那么：总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和。
又，AG、GB 上的正方形之和是有理的，所以：CDLM 也是有理的。又，它也是作在有理线段CD 上的，CM 为另一边，所以：CM 也是有理的，并与CD 长度可公约（命题X.20） 。
因为总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且正方形CDEF 等于AB 上的正方形，所以：余量FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍（命题II.7） 。
在N 点平分FM 。过N 点作NO ，使之平行于直线CD、ML ，那么：矩形FEON、NOLM 均等于AG、GB 构成的矩形。
又，因为AG、GB 构成的矩形的两倍是中项面，并等于矩形FELM ，所以：矩形FELM 也是中项面。又，它也是作在有理线段FE 上的，FM 为另一边，所以：FM 是有理的，并与CD 长度不可公约（命题X.22） 。
因为AG、GB 上的正方形之和是有理的，同时，AG、GB 构成的矩形的两倍是中项面，所以：AG、GB 上的正方形之和与AG、GB 构成的矩形的两倍是不可公约的。
又，矩形CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且矩形FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍，所以：矩形CDLM 与矩形FELM 是不可公约的。
而矩形CDLM 比矩形FELM 同于CM 比MF ，所以：CM、MF 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们都是有理的，所以：CM、MF 是仅正方可公约的有理线段，所以：CF 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第四余线。
因为AG、GB 是正方不可公约的，所以：AG 上的正方形与GB 上的正方形也是不可公约的。
又，面CDHK 等于AG 上的正方形，面KHLM 等于GB 上的正方形，所以：面CDHK 与面KHLM 是不可公约的。
又，面CDHK 比面KHLM 同于CK 比KM ，所以：CK 与KM 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AG、GB 构成的矩形是AG、GB 上的正方形的比例中项，AG 上的正方形等于面CDHK ，GB 上的正方形等于面KHLM ，AG、GB 构成的矩形等于矩形NOLM ，所以：矩形NOLM 是面CDHK 、面KHLM 的比例中项，所以：面CDHK 比面NOLM 同于面NOLM 比面KHLM 。
又，面CDHK 比面NOLM 同于CK 比NM ，而面NOLM 比面KHLM 同于NM 比KM ，所以：CK 比MN 同于MN 比KM （命题VI.1、V.11） 。
所以：CK、KM 构成的矩形等于MN 上的正方形，即等于FM 上的正方形的四分之一（命题VI.17） 。
因为CM、MF 是两条不等线段，CK、KM 构成的矩形是作在CM 上等于MF 上的正方形的四分之一且缺少一个正方形，它分CM 为不可公约的两段，所以：CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一个与CM 不可公约的线段上的正方形（命题X.18） 。
又，总线CM 与给定的有理线段CD 是长度可公约的，所以：CF 是一条第四余线（定义X.14） 。
所以：作在一条有理线段上的矩形等于次线上的正方形，则其另一边是第四余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。
命题X.101
一条有理线段上作的矩形等于中项面有理面差的边上的正方形，那么，其另一边是一条第五余线。
设：线段AB 是一个中项面有理面差的边，CD 是一条有理线段，在CD 上作矩形CDEF 等于AB 上的正方形，CF 为另一边。
求证：CF 是一条第五余线。
令BG 是AB 上的加线段，那么：AG、GB 是正方不可公约的线段，它们上的正方形之和是中项面，且AG、GB 构成的矩形的两倍是有理面（命题X.77） 。
在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，作矩形KHLM 等于GB 上的正方形，那么：总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和。
又，AG、GB 上的正方形之和是中项面。
所以：面CDLM 是中项面。
又，它也是作在有理线段CD 上的，CM 为另一边，所以：CM 是有理的，且与CD 是不可公约的（命题X.22） 。
因为总量CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，其中，正方形CDEF 等于AB 上的正方形，所以：余量FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍（命题II.7） 。
在N 点平分FM ，过N 点作NO 平行于CD、ML ，那么：矩形FEON、NOLM 均等于AG、GB 构成的矩形。
又，因为AG、GB 构成的矩形的两倍是有理的，并等于矩形FELM ，所以：矩形FELM 是有理的。
又，它也是作在有理线段EF 上的，FM 为另一边，所以：FM 是有理的，并与CD 是长度可公约的（命题X.20） 。
现在，因为面CDLM 是中项面，面FELM 是有理面，所以：面CDLM 与面FELM 是不可公约的。
又，面CDLM 比面FELM 同于CM 比MF ，所以：CM 与MF 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，它们皆是有理的，所以：CM、MF 是仅正方可公约的有理线段，所以：CF 是一条余线（命题X.73） 。
进一步说：它也是一条第五余线。
同样地，我们也能证明CK、KM 构成的矩形等于NM 上的正方形，即FM 上的正方形的四分之一。
又，因为AG 上的正方形与GB 上的正方形是不可公约的，同时，AG 上的正方形等于面CDHK ，GB 上的正方形等于面KHLM ，所以：面CDHK 与面KHLM 是不可公约的。
又，面CDHK 比面KHLM 同于CK 比KM ，所以：CK 与KM 是长度不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
又，CM、MF 是两条不等线段，在CM 上作一个矩形等于FM 上的正方形的四分之一，并缺少一个正方形，它分CM 为不可公约的两段，所以：CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一条与CM 不可公约的线段上的正方形（命题X.18） 。
又，加线段FM 与给定的有理线段CD 是可公约的，所以：CF 是一条第五余线（定义X.15） 。
所以：一条有理线段上作的矩形，等于中项面有理面差的边上的正方形，那么，其另一边是一条第五余线。
