证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。
命题X.102
在一条有理线段上作矩形等于两中项面差的边上的正方形，那么，其另外一边是一条第六余线。
设：AB 是两中项面差的边，CD 是一条有理线段，在CD 上作矩形CDEF 等于AB 上的正方形，CF 为另一边。
求证：CF 是一条第六余线。
令BG 是AB 上的加线段，那么：AG、GB 是正方不可公约的，它们上的正方形之和是中项面，AG、GB 构成的矩形是中项面，AG、GB 上的正方形之和与AG、GB 构成的矩形的两倍是不可公约的（命题X.78） 。
现在，在CD 上作矩形CDHK 等于AG 上的正方形，CK 为另一边，再作面KHLM 等于BG 上的正方形，那么：总量CDLM 也等于AG、GB 上的正方形之和，所以：面CDLM 也是中项面。
又，它也是作在有理线段CD 上的，CM 为另一边，所以：CM 是有理的，并与CD 在长度上不可公约（命题X.22） 。
因为面CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，其中，正方形CDEF 等于AB 上的正方形，所以：余量FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍。而AG、GB 构成矩形的两倍是中项面，所以：FELM 也是中项面（命题II.7） 。
又，它也是作在有理线段FE 上的，FM 为另一边，所以：FM 是有理的，并与CD 是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为AG、GB 上的正方形之和与AG、GB 矩形的两倍是不可公约的，面CDLM 等于AG、GB 上的正方形之和，且面FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍，所以：面CDLM 与面FELM 是不可公约的。
又，面CDLM 比FELM 同于CM 比MF ，所以：CM 与MF 是长度不可公约的，又，它们皆是有理的（命题VI.1、X.11） 。
所以：CM、MF 是仅正方可公约的有理线段。所以：CF 是一余线（命题X.73） 。
进一步说：它是一条第六余线。
因为面FELM 等于AG、GB 构成的矩形的两倍，在N 点平分FM ，过N 点作NO 平行于CD ，所以：矩形FEON、NOLM 均等于AG、GB 构成的矩形。
AG、GB 是正方不可公约的，所以AG 上的正方形与GB 上的正方形是不可公约的。但是面CDHK 等于AG 上的正方形，KL 等于GB 上的正方形，所以CH 与KL 是不可公约的。
又，面CDHK 比面HLMK 同于CK 比KM 。
所以：CK 与KM 是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
因为AG、GB 构成的矩形是AG、GB 上的正方形的比例中项，面CKHD 等于AG 上的正方形，面KHLM 等于GB 上的正方形，面NOLM 等于AG、GB 构成的矩形，所以：面NOLM 也是面CDHK 、面KHLM 的比例中项。
所以：面CDHK 比面NOLM 同于面NOLM 比面KHLM 。又，因为同理，CM 上的正方形大于MF 上的正方形，其差为一个与CM 不可公约的线段上的正方形（命题X.18） 。
所以：它们皆与给定的有理线段CD 不可公约，CF 是一条第六余线（定义X.16） 。
所以：在一条有理线段上作矩形等于两中项面差的边上的正方形，那么，其另外一边是一条第六余线。
证完
注解
这一命题应用在命题X.111中。
命题X.103
一条与余线是长度可公约的线段仍是余线，且两者是同级。
设：AB 是一条余线，CD 与AB 是长度可公约的。
那么我说：CD 也是条余线，并与AB 是同级。
因为AB 是一条余线，令BE 是它的加线段，于是：AE、EB 是仅正方形可公约的有理线段（命题X.73） 。
作比例，使BE 比DF 等于AB 比CD ，那么：一个比一个同于前项和比后项和，所以：总线段AE 比总线段CF 同于AB 比CD （命题VI.12、V.12） 。
又，AB 与CD 是长度可公约的，所以：AE 与CF 也是长度可公约的，而BE 与DF 也是长度可公约的（命题X.11） 。
又，AE、EB 是仅正方可公约的有理线段，所以：CF、FD 也是仅正方可公约的有理线段（命题X.13） 。
现在，因为AE 比CF 同于BE 比DF ，所以：由更比可得，AE 比EB 同于CF 比FD ，又，AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差为一个与AE 可公约或者不可公约的线段上的正方形（命题V.16） 。
如果，AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差为一个与AE 可公约的线段上的正方形，那么：CF 上的正方形也大于FD 上的正方形，其差为一个与CF 可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果AE 与给定的有理线段长度上可公约，那么，CF 与它们也就可公约；如果BE 与所给定的有理线段长度可公约，那么DF 与它们也可公约；再，如果线段AE、EB 与所给定的有理线段不可公约，那么，线段CF、FD 也就不可公约（命题X.12、X.13） 。
又，如果AE 上的正方形大于EB 上的正方形，其差为一个与AE 不可公约的线段上的正方形，则：CF 上的正方形也就大于FD 上的正方形，其差为一个与CF 不可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果AE 与给定的有理线段长度可公约，那么CF 与它们也可公约；如果EB 与所给定的有理线段可公约，那么DF 与它们也可公约；再，如果AE、EB 与所给定的有理线段皆不可公约，那么，CF 和FD 与它们也不可公约。所以：CD 是一条余线，并与AB 在同一级（命题X.12、X.13） 。
所以：一条与余线是长度可公约的线段仍是余线，且两者是同级。
证完
命题X.104
与一条中项余线是长度可公约的线段，也是中项余线，且它们在同一级。
设：AB 是一条中项余线，CD 与AB 长度可公约。
求证：CD 也是一条中项余线，并与AB 在同一级。
因为AB 是一条中项余线，令EB 是它的加线段，那么：AE、EB 是仅正方可公约的中项线（命题X.74、X.75） 。
作比例，使AB 比CD 同于BE 比DF ，那么：AE 与CF 也是可公约的，BE 与DF 也是可公约的（命题VI.12、V.12、X.11） 。
而，AE、EB 是仅正方可公约的中项线，所以：CF、FD 也是仅正方可公约的中项线（命题X.23、X.13） 。
所以：CD 是一条中项余线（命题X.74、X.75） 。
进一步说：它也与AB 在同一级。
因为AE 比EB 同于CF 比FD ，所以：AE 上的正方形比AE、EB 构成的矩形同于CF 上的正方形比CF、FD 构成的矩形。
又，AE 上的正方形与CF 上的正方形可公约，所以：AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形也可公约（命题V.16、X.11） 。
所以：如果AE、EB 构成的矩形是有理的，那么，CF、FD 构成的矩形也是有理的。而如果AE 与EB 构成的矩形是中项面，那么，CF 与FD 构成的矩形也是中项面（定义X.4、命题X.23及其推论） 。
所以：CD 是一个中项余线，并与AB 在同一级（命题X.74、X.75） 。
所以：与一条中项余线是长度可公约的线段，也是中项余线，且它们在同一级。
证完
命题X.105
与一条次线可公约的线段也是次线。
设：AB 是一条次线，CD 与AB 可公约。
求证：CD 也是条次线。
作与前述相同的图形，那么，因为AE、EB 是正方不可公约的，所以：CF、FD 也是正方不可公约的（命题X.76、X.13） 。
现在，因为AE 比EB 同于CF 比FD ，所以：AE 上的正方形比EB 上的正方形同于CF 上的正方形比FD 上的正方形（命题V.12、V.16、VI.22） 。
所以：由合比可得，AE、EB 上的正方形之和比EB 上的正方形同于CF、FD 上的正方形之和比FD 上的正方形（命题V.18） 。
又，BE 上的正方形与DF 上的正方形是可公约的，所以：AE、EB 上的正方形之和与CF、FD 上的正方形之和也是可公约的（命题V.16、X.11） 。
又，AE、EB 上的正方形之和是有理的，所以：CF、FD 上的正方形之和也是有理的（命题X.76、定义X.4） 。
又，因为AE 上的正方形比AE、EB 构成的矩形同于CF 上的正方形比CF、FD 构成的矩形，同时，AE 上的正方形与CF 上的正方形是可公约的。
所以：AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形也是可公约的。
又，AE、EB 构成的矩形是中项面，所以：CF、FD 构成的矩形也是中项面（命题X.76、命题X.23及其推论） 。
所以：CF 和FD 是正方不可公约的，它们上的正方形之和是有理的。而它们构成的矩形是中项面，所以：CD 是次线（命题X.76） 。
所以：与一条次线可公约的线段也是次线。
证完
命题X.106
与一个中项面有理面差的边可公约的线段，也是一个中项面有理面差的边。
设：AB 是一个中项面有理面差的边，CD 与AB 可公约。
求证：CD 也是一个中项面有理面差的边。
令BE 是AB 上的加线段，于是：AE、EB 是正方不可公约的线段，AE、EB 上的正方形之和是中项面，它们所构成的矩形是有理面（命题X.77） 。
如前述作相同图。
类似前面的方法，那么我们能证明，CF 与FD 的比值同于AE 与EB 的比值，AE、EB 上的正方形之和与CF、FD 上正方形之和可公约。且AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形可公约，所以：CF、FD 也是正方不可公约的线段，它们上的正方形之和是中项面，而它们构成的矩形是有理的。
所以：CD 是一个中项面有理面差的边（命题X.77） 。
所以：与一个中项面有理面差的边可公约的线段，也是一个中项面有理面差的边。
证完
命题X.107
与两中项面差的边可公约的线段，也是两中项面之差。
设：AB 为一个两中项面差的边，CD 与AB 可公约。
求证：CD 也是两中项面差的边。
令：BE 是AB 上的加线段。那么：AE 和EB 是正方不可公约的，它们上的正方形的和是中项面，它们构成的矩形是中项面，并且，它们上的正方形之和与它们构成的矩形是不可公约的（命题X.78） 。
现在，如前所证，AE、EB 分别与CF、FD 是可公约的，AE、EB 上的正方形之和与CF、FD 上的正方形之和是可公约的，AE、EB 构成的矩形与CF、FD 构成的矩形是可公约的，所以：CF、FD 是正方不可公约的。它们上的正方形之和是中项面，且由它们构成的矩形是中项面，且更有，它们上的正方形的和与它们构成的矩形是不可公约的，所以：CD 是两中项面之差（命题X.78） 。
所以：与两中项面差的边可公约的线段，也是两中项面之差。
证完
命题X.108
从一个有理面中减去一个中项面，那么，与余面相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条余线，要么是一条次线。
设：从有理面ACMB 中减去一个中项面EDMB 。
求证：与余面ACDE 相等的正方形的边是两条无理线段之一，它或者是一条余线，或者是一条次线。
给定有理线段FG ，在FG 上作矩形NHFG 等于面ACMB ，再作面LKFG 等于面EDMB ，那么：余量EC 等于LH 。
因为ACMB 是有理面，面EDMB 是中项面，而面ACMB 等于矩形NHFG ；面EDMB 等于面LKFG ，所以面NHFG 是有理面，且面LKFG 是中项面。
因为它们皆是作在有理线段FG 上的，所以：FH 是有理的，且与FG 是长度可公约的。同时，FK 是有理的，并与FG 是长度不可公约的，所以：FH 与FK 是长度不可公约的（命题X.20、X.22、X.13） 。
所以：FH、FK 是仅正方可公约的有理线。所以：KH 是一条余线，且，KF 是它的加线段（命题X.73） 。
现在，HF 上的正方形大于FK 上的正方形，其差为一个与HF 可公约或不可公约的线段上的正方形。
首先，设HF 上的正方形较FK 上的正方形大一个与它可公约线段上的正方形。
那么：总线段HF 与给定的有理线FG 是长度可公约的。
所以：KH 是一条第一余线（定义X.12） 。
又，与一个由一条有理线段和一条第一余线构成的矩形相等的正方形的边，是一条余线，所以：与面NHKL 相等的正方形的边，即与面ACDE 相等的正方形的边，是一条余线（命题X.91） 。
又，如果，HF 上的正方形大于FK 上的正方形，其差为一个与HF 不可公约的线段上的正方形，同时，总线段FH 与给定的有理线段FG 是长度可公约的，那么：KH 是一条第四余线（定义X.14） 。
又，与一个由一条有理线段和一条第四余线构成的矩形相等的正方形的边是一条次线（命题X.94） 。
所以：从一个有理面中减去一个中项面，那么，与余面相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条余线，要么是一条次线。
证完
命题X.109
如果从一个中项面中减出一个有理面，那么，与余面相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条第一中项余线，要么是一条中项面有理面差的边。
设：从中项面BACE 中减去有理面BADM 。
求证：与余面MECD 相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条第一中项余线，要么是一条中项面有理面差的边。
给定有理线段FG ，作出这些面，那么：FH 是有理的，并与FG 是长度不可公约的。同时，KF 是有理的，并与FG 是长度可公约的，所以：FH、FK 是仅正方可公约的有理线段（命题X.13） 。
所以：KH 是一条余线，且FK 是它的加线段（命题X.73） 。
现在，HF 上的正方形大于FK 上的正方形，其差为一个与HF 可公约或不可公约线段上的正方形。
如果HF 上的正方形比FK 上的正方形大一个与HF 可公约的线段上的正方形，同时加线段FK 与给定的有理线段FG 是长度可公约的，那么：KH 是一个第二余线（定义X.12） 。
又，FG 是有理的，所以：与面KLNH 相等的正方形的边，即与EC 相等的正方形的边，是一条第一中项余线（命题X.92） 。
又，如果HF 上的正方形大于FK 上的正方形，其差是与HF 不可公约的线段上的正方形，同时，加线FK 与给定的有理线段FG 是长度可公约的，那么：KH 是一条五余线。所以：与EC 相等的正方形的边是一条中项面有理面差的边（定义X.15、命题X.95） 。
所以：如果从一个中项面中减出一个有理面，那么，与余面相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条第一中项余线，要么是一条中项面有理面差的边。
证完
命题X.110
如果从一个中项面减去一个与此面不可公约的中项面，那么，与余面相等的正方形的边是两无理线段之一，它要么是一条第二中项余线，要么是一条两中项面差的边。
如前图，设从中项面BACE 中减去一个与面BACE 不可公约的量BADM 。
求证：与ED 相等的正方形的边是两条无理线段之一，它要么是一条第二中项余线，要么是两中项面差的边。
因为矩形BACE 和BADM 是中项面，而矩形BACE 和BADM 是不可公约的，所以：线段FH、FK 是有理的，并与FG 是长度不可公约的（命题X.22） 。
因为矩形BACE 和BADM 是不可公约的，即面GNHF 与面GLKF 是不可公约的，所以：HF 与FK 也是不可公约的（命题VI.1、X.11） 。
所以：FH、FK 是仅正方可公约的有理线段。所以：KH 是一条余线（命题X.73） 。
那么，如果FH 上的正方形大于FK 上的正方形，其差为一个与FH 可公约的线段上的正方形，同时，线段FH、FK 是与给定的有理线段FG 不是长度可公约的，那么，KH 是一条第三余线（定义X.13） 。
又，KL 是有理线段，而由一条有理线段和一条第三余线构成的矩形是无理的，又，与它相等的正方形的边是无理的，被称为第二中项余线，所以：与面LNHK 相等的正方形的边，即与ED 相等的正方形的边是一条第二中项余线（命题X.93） 。
又，如果FH 上的正方形大于FK 上的正方形，其差为一个与FH 不可公约的线段上的正方形，同时，线段HF、FK 与FG 皆不是长度可公约的，于是：KH 是一条第六余线（定义X.16） 。
又，与由一条有理线段和第六余线构成的矩形相等的正方形的边是一条两中项面差的边（命题X.96） 。
所以：与面KHNL ，即面MDCE 相等的正方形的边是两中项面差的边。
所以：如果从一个中项面减去一个与此面不可公约的中项面，那么，与余面相等的正方形的边是两无理线段之一，要么是一条第二中项余线，要么是一条两中项面差的边。
证完
命题X.111
余线与二项线是不同类的。
设：AB 是余线。
求证：AB 是与二项线不同类的。
如果可能，假设它们同类，给定有理线段DC ，在DC 上作矩形DCPE 等于AB 上的正方形，DE 为其另一边。
那么，因为：AB 是一条余线，DE 是一条第一余线（命题X.97） 。
设：EF 是DE 的加线段，那么，DF、FE 是仅正方可公约的有理线段，DF 上的正方形大于FE 上的正方形，其差为一个与DF 可公约的线段上的正方形。且DF 与给定的有理线段DC 是长度上可公约的（定义X.12） 。
又，因为AB 是二项线，所以：DE 是第一二项线（命题X.60） 。
在G 点分DE 为两段，令DG 较大，那么，DG、GE 是仅正方可公约的，DG 上的正方形大于GE 上的正方形，其差为一个与DG 可公约的线段上的正方形。且大线段DG 与给定的有理线段DC 是长度可公约的（定义X.5） 。
所以：DF 与DG 也是长度可公约的。所以：余量GF 与DF 也是长度可公约的（命题X.12、X.15） 。
又，DF 与EF 是长度不可公约的，所以：FG 与EF 也是长度不可公约的（命题X.13） 。
所以：GF、FE 是仅正方可公约的。所以：EG 是余线，但它也是有理线，这是不可能的（命题X.73） 。
所以：余线不可能与二项线同类。
综述
余线和它以下的无理线既不同于中项线，也彼此不同。
因为，如果在一个有理线段上作与中项线上的正方形相等的矩形，那么另一边是有理的，且与原有理线段长度不可公约（命题X.22） 。
同时，如果在一个有理线段上作一个与余线上正方形相等的矩形，那么矩形另一边为第一余线（命题X.97） 。
如果在一条有理线段上作与第一中项余线上的正方形相等的矩形，那么，矩形另一边是第二余线（命题X.98） 。
如果在一条有理线段上作与第二中项余线上的正方形相等的矩形，那么，矩形另一边为第三余线（命题X.99） 。
如果在一条有理线段上作与一条次线上的正方形相等的矩形，那么，矩形另一边为第四余线（命题X.100） 。
如果在一条有理线段上作与一个中项面有理面差的边上的正方形相等的矩形，那么，矩形另一边为第五余线（命题X.101） 。
如果在一条有理线上作与一个两中项面差的边上的正方形相等的矩形，那么，矩形另一边为第六余线（命题X.102） 。
因为以上得到的矩形的另一边与第一个不同，并彼此不同，与第一个不同，因为它是有理的；彼此不同，因为它们不同级；显然，这些无理线段本身也是互不相同的。
又，余线已被证明与二项线不同类（命题X.111） 。
但是，如果在有理线段上作等于余线以下的线段上的正方形，其矩形另一边依次为相应级的余线，同样，在有理线段上作等于二项线以下的线段上的正方形，其矩形另一边依次为相应级的二项线。这样，余线以下的无理线段不同，二项线以下无理线段也不同，所以，共有十三条无理线段：
中项线；二项线；第一双中项线；第二双中项线；主线；中项面有理面的边；两中项面和的边；余线；第一中项余线；第二中项余线；次线；中项面有理面差的边；两中项面差的边。
证完
命题X.112
在二项线上作矩形等于一个有理线段上的正方形，则矩形的另一边为一余线，该余线的两段与二项线的两项可公约，且有同比，且余线与二项线有相同的级。
设：a 为一条有理线段，BC 为二项线，DC 较大，BC、EF 构成的矩形等于a 上的正方形。
求证：EF 是一条余线，它的两段与CD、DB 是可公约的，并有相同的比，且，EF 与BC 有相同的级。
再，令BD、g 构成的矩形等于a 上的正方形。
那么，因为BC、EF 构成的矩形等于BD、g 构成的矩形，所以：CB 比BD 同于g 比EF ，而CB 大于BD ，所以：g 也就大于EF （命题VI.16、V.14） 。
令EH 等于g ，那么CB 比BD 同于HE 比EF ，所以：由分比可得，CD 比BD 同于HF 比FE （命题V.17） 。
作比例，使HF 比FE 同于FK 比KE ，那么：总量HK 比总量KF 同于FK 比KE ，因为：前项之一比后项之一同于全部前项和比全部后项和（命题V.12） 。
又，FK 比KE 同于CD 比DB ，所以：HK 比KF 同于CD 比DB （命题V.11） 。
又，CD 上的正方形与DB 上的正方形是可公约的，所以：HK 上的正方形与KF 上的正方形是可公约的（命题X.36、VI.22、X.11） 。
又，HK 上的正方形比KF 上的正方形同于HK 比KE ，因为：三条线段HK、KF、KE 是成比例的。
所以：HK 与KE 是长度可公约的，HE 与EK 也是长度可公约的（定义V.9、命题X.15） 。
现在，因为a 上的正方形等于EH 与BD 构成的矩形，同时，a 上的正方形是有理的，所以：EH 与BD 构成的矩形也是有理的。
又，它也是作在有理线BD 上的，所以：EH 是有理的，并与BD 是长度可公约的，所以：与EH 可公约的EK 也是有理的，并与BD 长度可公约（命题X.20） 。
那么，因为CD 比DB 同于FK 比KE ，同时，CD、DB 是仅正方可公约的，所以：FK、KE 也是仅正方可公约的。
而KE 是有理的，所以：FK 也是有理的（命题X.11） 。
所以：FK、KE 是仅正方可公约的有理线段。
所以：EF 是一个余线（命题X.73） 。
现在，CD 上的正方形大于DB 上的正方形，其差是一个与CD 可公约或不可公约的线段上的正方形。
如果CD 上的正方形大于DB 上的正方形，其差为一个与CD 可公约线段上的正方形，那么：FK 上的正方形也大于KE 上的正方形，其差为一个与FK 可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
而如果CD 与给定的有理线段长度可公约，那么，FK 与该线段可公约；如果BD 与给定的有理线段也可公约，那么，KE 也与它可公约；反之，CD、DB 与给定的有理线段不可公约，那么，FK、KE 也与它不可公约（命题X.11、X.12） 。
又，如果CD 上的正方形大于DB 上的正方形，其差为一个与CD 不可公约的线段上的正方形，那么：FK 上的正方形也大于KE 上的正方形，其差为一个与FK 不可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果CD 与给定的线段可公约，那么，FK 与它也可公约；如果BD 与给定的有理线段可公约，那么，KE 与它也可公约；但如果CD、DB 与给定的有理线段不可公约，那么，FK、KE 与它也不可公约。
于是：FE 是一条余线，它们的两段FK、KE 与二项线的两段CD、DB 是可公约的，又，它们的比相同，且EF 与BC 有相同的级。
所以：在二项线上作矩形等于一个有理线段上的正方形，则矩形的另一边为一余线，该余线的两段与二项线的两项可公约，且有同比，且余线与二项线有相同的级。
证完
注解
注意，证明的开始部分不是命题V.14的调用，而是它的交替形式。参见V.14的注解 。
命题X.113
在余线上作一个等于有理线段上的正方形的矩形，那么矩形另一边是个二项线，且二项线的两段与余线的两段是可公约的，且它们的比相同，二项线与余线有相同的级。
设：a 是有理线段，BD 是余线，BD、KH 构成的矩形等于a 上的正方形，那么当有理线a 上的正方形作在余线BD 上时，KH 是它的另一边。
求证：KH 是一个二项线，它的两段与余线BD 的两段可公约，并有相同比，且KH 与BD 有相同的级。
令DC 是BD 上的加线段，那么：BC、CD 是仅正方可公约的有理线段。
令：BC 与g 构成的矩形也等于a 上的正方形（命题X.73） 。
但是，a 上的正方形是有理的，所以：BC、g 构成的矩形也是有理的。又，它是作在有理线段BC 上的，所以：g 是有理的，并与BC 长度可公约（命题X.20） 。
现在，因为BC、g 构成的矩形等于BD、KH 构成的矩形，所以：CB 比BD 同于KH 比g ，而BC 大于BD ，所以：KH 也大于g （命题VI.16、V.14） 。
作KE 等于g ，于是：KE 与BC 是长度可公约的。
因为CB 比BD 同于HK 比KE ，所以：由换比可得，BC 比CD 同于KH 比HE （命题V.19及其推论） 。
作比例，使KH 比HE 同于HF 比FE ，于是：余量KF 比FH 同于KH 比HE ，即BC 比CD （命题V.19） 。
又，BC、CD 是仅正方可公约的，所以：KF、FH 也是仅正方可公约的（命题V.11） 。
因为KH 比HE 同于KF 比FH ，同时，KH 比HE 同于HF 比FE ，所以：KF 比FH 同于HF 比FE 。于是，第一个比第三个同于第一个上的正方形比第二个上的正方形，所以：KF 比FE 同于KF 上的正方形比FH 上的正方形（命题V.11、定义V.9） 。
又，KF 上的正方形与FH 上的正方形是可公约的，因为KF、FH 是正方可公约的，所以：KF 与FE 是长度可公约的，KF 与KE 也是长度可公约的（命题X.11、X.15） 。
又，KE 是有理线段，并与BC 是长度可公约的（命题X.12） 。所以KF 也是有理的且与BC 是长度可公约的。
因为：BC 比CD 同于KF 比FH ，由更比可得，BC 比KF 同于DC 比FH （命题V.16） 。
又，BC 与KF 是可公约的。
所以：FH 与CD 也是长度可公约的（命题X.11） 。
又，BC、CD 是仅正方可公约的有理线段，所以：KF、FH 是仅正方可公约的有理线段，所以：KH 是二项线（定义X.3、命题X.36） 。
现在，如果BC 上的正方形大于CD 上的正方形，其差为一个与BC 可公约的线段上的正方形，那么：KF 上的正方形也大于FH 上的正方形，其差为一个与KF 可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果BC 与给定的有理线段长度可公约，那么，KF 与所给定的有理线段也是长度可公约；如果CD 与给定的有理线段长度可公约，那么，FH 与它也可公约；而如果BC、CD 与给定的有理线段不是长度可公约的，那么，KF、FH 也不可公约。
又，如果BC 上的正方形大于CD 上的正方形，其差为一个与BC 不可公约线上的正方形，那么，KF 上的正方形也大于FH 上的正方形，其差为一个与KF 不可公约的线段上的正方形（命题X.14） 。
又，如果BC 与给定的有理线段长度可公约，那么，KF 与它也是长度可公约的；如果CD 与给定的有理线段长度可公约，那么，FH 与它也是长度可公约的；而如果BC、CD 与给定的有理线段不是长度可公约的，那么，KF、FH 与它也不是长度可公约的。
所以：KH 是二项线，且它的两段KF、FH 与余线的两段BC、CD 是可公约的，并有相同比，且KH 与BD 有相同的级。
所以：在余线上作一个等于有理线段上的正方形的矩形，那么矩形另一边是条二项线，且二项线的两段与余线的两段是可公约的，且它们的比相同，二项线与余线有相同的级。
证完
命题X.114
如果一个矩形由一条余线和一条二项线构成，且余线的两段与二项线的两段可公约，并有相同比，那么，与此矩形相等的正方形的边是有理的。
设：由AB、CD 构成的矩形中，AB 为余线，CD 为二项线，CE 是CD 的大段，二项线的两段CE、ED 与余线的两段AF、FB 可公约，并有相同比，与AB、CD 构成矩形相等的正方形的边为g 。
求证：g 是有理的。
给定有理线段h ，在CD 上作矩形等于h 上的正方形，KL 为另一边，那么：KL 是余线。
令：两段KM、ML 与二项线的两段CE、ED 可公约，并有相同比（命题X.112） 。
而，CE、ED 与AF、FB 也可公约，并有相同比，所以：AF 比FB 同于KM 比ML 。
所以：由更比可得，AF 比KM 同于BF 比LM 。所以：余量AB 比余量KL 同于AF 比KM （命题V.19） 。
又，AF 与KM 是可公约的。
所以：AB 与KL 也是可公约的（命题X.12、X.11） 。
又，AB 比KL 同于CD、AB 构成的矩形比CD、KL 构成的矩形，所以：CD、AB 构成的矩形与CD、KL 构成的矩形也可公约（命题VI.1、X.11） 。
又，CD、KL 构成的矩形等于h 上的正方形，所以：CD、AB 构成的矩形与h 上的正方形是可公约的。
又，g 上的正方形等于CD、AB 构成的矩形，所以：g 上的正方形与h 上的正方形是可公约的。
又，h 上的正方形是有理的，所以：g 上的正方形也是有理的。
所以：g 是有理的，且它也是与CD、AB 构成的矩形相等的正方形的边。
所以：如果一个矩形由一条余线和一条二项线构成，且余线的两段与二项线的两段可公约，并有相同比，那么，与此矩形相等的正方形的边是有理的。
证完
推论
这一命题也向我们表明，两无理线段构成的矩形也可以是一个有理面。
命题X.115
从一条中项线所产生的无穷个无理线，没有任何一个与以前的无理线段相同。
设：a 为中项线。
求证：从a 产生的无穷个无理线段中，没有一条与以前的无理线段相同。
给定一条有理线段b ，令c 上的正方形等于b、a 构成的矩形，那么，c 是无理的，因为：一条无理线和有理线构成的矩形是无理的（定义X.4、命题X.20） 。
又，它也与前面的线段不同，因为：以前任意一个无理线段上的正方形都不等于一个有理线段上的矩形，而这个矩形的另一边是中项线。
又，令d 上的正方形等于b、c 构成的矩形，那么：d 上的正方形是无理的（命题X.20） 。
所以：d 是无理的，且它也不同于以前任意的无理线段。因为：在有理线段上作等于以前任一无理线段上的正方形的矩形，而另一边不是c （定义X.4） 。
类似地，如果将这种排列无限继续下去，显然，从一条中项线能产生无穷多条无理线段，且没有一条能与前面的任意一条相同。
所以：从一条中项线所产生的无穷个无理线，没有任何一个与以前的无理线段相同。
证完
第11卷
立体几何
CHAPTER 11
立体几何是欧氏空间几何的传统名称，实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。毕达哥拉斯学派的立体几何的主要成就为正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”。一般认为所有正多面体作图都与毕达哥拉斯学派有关。正五边形的作图则与著名的“黄金分割”问题有关。毕达哥拉斯学派当然知道这种分割的性质，据说他们正是以正五边形的五条对角线构成的五角星作为自己学派的标志。
本卷论述立体几何。
本卷提要
※定义XI.14，球体的定义。
※定义XI.25，正多面体的定义。
※命题XI.3，两个平面的交集是一条直线。
※命题XI.6，两条垂直于同一平面的直线相互平行。
※命题XI.11、XI.12，作垂直于一个平面的直线。
※命题XI.14，两个垂直于同一直线的平面相互平行。
※命题XI.23，怎么作一个立体角。
※命题XI.39，棱柱的量。
定义
定义XI.1 立体有长、宽和高。
定义XI.2 立体之表为面。
定义XI.3 一条直线与平面相交，当平面上与之相交的所有直线皆与它成直角时，称该直线与平面成直角。
定义XI.4 在两相交平面之一内作直线与交线成直角，当此直线与另一平面成直角时，则称两平面相交成直角。
定义XI.5 一条直线与平面相交，过直线上一点向平面作垂线，那么该直线与连接交点和垂足的连线所形成的角，称为直线与平面的倾角。
定义XI.6 在两个相交平面的交线上任取一点，经过此点在两个平面内作交线的垂线，二垂线所夹的锐角成为两平面的倾角。
定义XI.7 一对平面倾角与另一对平面倾角相等时，称它们有相似倾角。
定义XI.8 总不相交的两个平面称为平行平面。
定义XI.9 相等个数的相似平面构成的立体图形称为相似立体图形。
定义XI.10 相似且相等并个数相等的平面构成的立体图形称为相似且相等的立体图形。
定义XI.11 不在同一平面内多于两条线且交于一点的线全体构成的图形称为立体角。换句话说，由不在同一个平面内且多于两个，又交于一点的平面角所构成的图形称为立体角。
定义XI.12 几个交于一点的面及另外一个构成的图形，在此面与交点之间的部分称为棱锥。
定义XI.13 棱柱是一个立体图形，它由一些平面构成，其中两个面相对、相等、相似、平行，且其他各面为平行四边形。
定义XI.14 固定一个半圆的直径，旋转半圆到起点位置时所形成的图形称为球。
定义XI.15 球的轴是半圆绕成球时的不动直径。
定义XI.16 球心是半圆的圆心。
定义XI.17 球的直径是过球心的任意直线被球面所截出的线段。
