定义XI.18 固定直角三角形的一条直角边，旋转直角三角形到起点位置，所形成的图形称为圆锥。
如果固定的一直角边与另一直角边相等，所形成的圆锥称为直角圆锥；如果小于另一边，则称为钝角圆锥；如果大于另一边则称为锐角圆锥。
定义XI.19 直角三角形绕成圆锥时，不动的那条直角边称为圆锥的轴。
定义XI.20 直角三角形的另一边经旋转后所成的圆面称为圆锥的底。
定义XI.21 固定矩形的一边，绕这一边旋转矩形到起点位置，所形成的图形称为圆柱。
定义XI.22 矩形绕成圆柱时的不动边，称为圆柱的轴。
定义XI.23 矩形绕成圆柱时，相对的两边旋转成的两个圆面，称为圆柱的底。
定义XI.24 圆柱或圆锥，如果它们轴与底的直径成比例，圆柱称为相似圆柱，圆锥称为相似圆锥。
定义XI.25 六个相等的正方形构成的立体图形，称为立方体。
定义XI.26 八个全等的等边三角形所构成的立体图形，称为正八面体。
定义XI.27 二十个全等的等边三角形构成的立体图形，称为正二十面体。
定义XI.28 十二个相等的等边且等角的五边形所构成的立体图形，称为正十二面体。
命题XI.1
一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。
如果一条直线可能一部分在平面内，另一部分在平面外。设直线ABC 的AB 部分在平面内，而BC 部分在平面外。
于是，在平面内的直线AB ，就有一条直线可以和它连成同一条直线，设其为BD ，于是，AB 便是两条直线ABC 和ABD 的共同部分，这是不可能的，因为：如果我们以B 为圆心以AB 为半径作圆，那么，两条直径切出不相等的圆弧。
所以：一条直线不可能一部分在平面内，而另一部分在平面外。
证完
注解
在本命题中，欧几里得混淆了直线与线段的概念，以至于在证明过程中把“线段”也当成直线了。在以下许多命题中也有类似现象。
命题XI.2
两条相交直线，在一个平面内，它们构成的三角形，也皆在一个平面内。
设：两条直线AB 和CD 相交于E 点。
那么我说：AB、CD 是在一个平面内，且每个三角形也在一个平面内。
在EC 和EB 上任选一点F 和G ，连接CB、FG ，再作FH 和GK 。
求证：首先，三角形ECB 是在一个平面内。
如果三角形ECB 的一部分，三角形FHC 或者三角形GBK ，在一个平面内，余下的部分在平面外，那么，直线EC 或者EB 也就会一部分在平面内，一部分在平面外。
又，如果三角形ECB 的一部分FCBG 在原平面内，而余下的部分在另一平面内，那么，直线EC、EB 的一部分也就在原平面内，而余下的部分在另一平面。这已被证明是荒谬的（命题XI.1） 。
所以：三角形ECB 是在一个平面内。
又，无论三角形ECB 在哪样一个平面内，EC 和EB 也与它在同一平面内；又，EC 和EB 所在的平面，也是AB 和CD 所在的平面（命题XI.1） 。
所以：直线AB 和CD 位于一个平面内，且每个三角形也位于同一平面内。
所以：两条相交直线，在一个平面内，它们构成的三角形，也皆在一个平面内。
证完
命题XI.3
两平面相交，其交集是一条直线。
设：AB 和BC 两个平面相交，DB 是其交集。
求证：DB 是条直线。
因为，如果不是直线，设从D 到B 在平面BDAG 上连接的直线为DEB ，在平面BHCD 上连接的直线为DFB 。
那么：两条直线DEB 和DFB 有相同的端点，并显然构成一个面，这是荒谬的。
所以：DEB 和DFB 不是直线。
同样，我们可以证明，除平面AB、BC 的交线外，没有任何线能连接从D 到B 。
所以：两平面相交，其交集是一条直线。
证完
命题XI.4
如果一条直线与另两条相交直线垂直于交点上，那么，它也与两相交线所在的平面垂直。
设：一直线EF ，与两直线AB、CD 在交点E 上，构成直角。
求证：EF 也与AB、CD 所在的平面成直角。
切分AE、EB、CE、ED ，使它们相互相等，且过E 点任意引一直线GEH ，连接AD、CB 。取EF 上任意一点F ，再连接FA、FG、FD、FC、FH、FB （命题XI.2、I.3） 。
现在，因为，线段AE、ED 分别等于线段CE、EB ，并且夹角也相等。所以，底边AD 等于底边CB ，三角形AED 全等于三角形CEB ，于是：∠DAE 等于∠EBC （命题I.15、I.4） 。
又，∠AEG 也等于∠BEH ，所以：三角形AGE 和BEH 是有两个角及夹边分别相等的两个三角形，夹边即AE、EB 。所以：其余的边也相等，即GE 等于EH ，AG 等于BH （命题I.15、I.26） 。
又，因为AE 等于EB ，同时FE 是直角处的公共边，所以：底边FA 等于底边FB （命题I.4） 。
同理，FC 等于FD 。
又，因为AD 等于CB ，FA 也等于FB ，边FA、AD 与边FB、BC 分别相等，且已证明底边FD 等于底边FC ，所以：∠FAD 等于∠FBC （命题I.8） 。
又，因为已经证明AG 等于BH ，且FA 也等于FB ，边FA、AG 分别与边FB、BH 相等，且∠FAG 已被证明等于∠FBH 。所以：底边FG 等于底边FH （命题I.4） 。
又，因为：GE 已被证明等于EH ，且EF 是公共边，边GE、EF 分别等于边HE、EF ，且底边FG 等于底边FH 。所以：∠GEF 等于∠HEF （命题I.8） 。
所以：∠GEF 和∠HEF 皆是直角。
所以：FE 过E 与直线GH 成直角。
同理，我们已经证明FE 和已知平面与它相交的一切直线皆成直角。
而一条直线与平面相交，当平面上与之相交的点上的所有线皆与它成直角时，称该直线与平面成直角（定义XI.3） 。所以，FE 与平面成直角。
而该平面经过AB、CD 。
所以：FE 与过AB、CD 的平面成直角。
所以：如果一条直线与两条相交直线垂直于交点上，那么，它也与两相交线所在的平面垂直。
证完
命题XI.5
如果一条直线与三条交于一点的直线形成直角，那么，该三条直线在一个平面上。
设：一条直线AB 与三条直线BC、BD、BE 交于一点B ，并与它们成直角。
求证：BC、BD、BE 在同一个平面。
因为，假定它们不在同一平面，令BD、BE 在一个平面，而BC 在另一个平面，过AB 和BC 作一个平面（命题XI.3） 。
那么：它与原平面的交集是一条直线，令其为BF ，于是：三条直线AB、BC、BF 是在同一个平面，即过AB、BC 的平面。
现在，因为AB 与直线BD、BE 成直角，所以：AB 也与BD、BE 所在的平面成直角（命题XI.4） 。
又，过BD、BE 的平面是原平面，所以：AB 与原平面成直角。
于是：AB 也与原平面内过B 点的所有直线成直角（定义XI.3） 。
又，在原平面内的BF 与AB 相交，所以：∠ABF 是直角。又，根据假设，∠ABC 也是直角，所以：∠ABF 等于∠ABC ，且，它们在同一平面，这是不可能的。
所以：直线BC 不在平面以外。所以：三条直线BC、BE、BD 是在同一平面上。
所以：如果一条直线与三条交于一点的直线形成直角，那么，该三条直线在一个平面上。
证完
命题XI.6
如果两条直线与同一平面成直角，那么，该两直线平行。
设：AB、CD 与同一已知平面成直角。
求证：AB 平行于CD 。
令：它们与已知平面交于B、D 点。
连接BD ，在已知平面内作DE 与BD 成直角，再取DE 等于AB （命题I.11、I.3） ，连接BE、AE 及AD 。
现在，因为：AB 与已知平面成直角，它也和该平面内与此直线相交的一切直线成直角（定义XI.3） 。
又，直线BD、BE 在已知平面内，并与AB 相交，所以：∠ABD 和∠ABE 是直角。同理，∠CDB 和∠CDE 也是直角。
又，因为AB 等于DE ，且BD 是公共边，所以：AB、BD 分别等于ED、DB 。且它们各自交成直角。所以：底边AD 等于底边BE （命题I.4） 。
又，因为AB 等于DE ，同时AD 等于BE ，AB、BE 分别等于ED、DA ，且AE 是它们的公共底边，所以：∠ABE 等于∠EDA （命题I.8） 。
又，∠ABE 是直角，所以：∠EDA 也是直角，ED 与DA 成直角。
又，它也与直线BD、DC 成直角。所以：ED 与三条线BD、DA、DC 成直角。所以：三条线BD、DA、DC 在同一个平面内（命题XI.5） 。
又，无论BD、DA 在一个什么样的平面内，AB 也在同一平面内，因为，每个三角形在同一平面内（命题XI.2） 。
所以：直线AB、BD、DC 在同一个平面内，∠ABD 、∠BDC 皆为直角。所以：AB 平行于CD （命题I.28） 。
所以：如果两条直线与同一平面成直角，那么，该两直线平行。
证完
命题XI.7
两条平行线上各取一点，连接该两点的直线与原两平行线在同一平面内。
设：AB、CD 为两条平行线，在它们上任意取两点E、F ，连接它们。
求证：连接E、F 两点的直线与二平行线在同一平面内。
假设它们不在同一平面，设两点E、F 的连接线在另外一个平面内，设其为EGF ，过EGF 作一平面，它与二平行线所在的平面交于一条直线，令其为EF （命题XI.3） 。
于是，两直线EGF 和EF 构成一个面，这是不可能的，所以：从E 到F 的连线不在平面外。
所以：E、F 所在的直线在平行线AB、CD 所在的平面内。
所以：两条平行线上各取一点，连接该两点的直线与原两平行线在同一平面内。
证完
命题XI.8
两条平行线中的一条与一平面成直角，那么，另一条也与该平面成直角。
设：AB、CD 是两条平行线，其中的一条AB 与给定平面成直角。
求证：CD 也与给定的同一平面成直角。
令AB、CD 与给定平面相交于B、D 两点，连接BD ，那么AB、CD、BD 是在同一平面内（命题XI.7） 。
在已知平面内作DE ，使之与BD 成直角，再使DE 等于AB ，再连接BE、AE、AD （命题I.11、I.3） 。
现在，因为AB 与已知平面成直角，所以：AB 也和平面上与它相交的所有直线成直角，∠ABD 、∠ABE 是直角（定义XI.3） 。
又，因为直线BD 与平行线AB、CD 相交，所以：∠ABD 、∠CDB 之和等于两个直角（命题I.29） 。
又，∠ABD 是直角，所以：∠CDB 也是直角，CD 与BD 成直角。
又，因为AB 等于DE ，而BD 是公共边，AB、BD 分别等于ED、DB ，且∠ABD 等于∠EDB ，它们皆是直角，所以：底边AD 等于底边BE （命题I.4） 。
又，因为AB 等于DE ，且BE 等于AD ，于是AB、BE 分别等于ED 和DA ，AE 是公共底边，所以：∠ABE 等于∠EDA （命题I.8） 。
又，∠ABE 是直角，所以：∠EDA 也是直角，所以：ED 与AD 成直角。
又，它也与DB 成直角，所以：ED 也与过BD 和DA 的平面成直角（命题XI.4） 。所以：ED 也与经过BD、DA 平面内的与它们相交的任何直线成直角。
而DC 也在BD、DA 决定的平面内，因为：AB、BD 是在BD、DA 决定的平面内，且DC 也在AB、BD 决定的平面内。
所以，ED 与DC 成直角，于是：CD 与DE 也成直角。而CD 与BD 也成直角。所以：CD 与二直线DE 和DB 在交点D 处成直角。
所以：CD 与过DE、DB 的平面成直角（命题XI.4） 。又，过DE、DB 的平面是给定的平面，所以：CD 与给定的平面成直角。
所以：两条平行线中的一条与一平面成直角，那么，另一条也与该平面成直角。
证完
命题XI.9
两条直线平行于与它们不在一个平面内的同一直线，那么，它们互相平行。
设：直线AB、CD 平行于EF ，但它和它们不在同一平面内。
求证：AB 也平行CD 。
在EF 上任取一点G ，在EF、AB 所在的平面内过G 点作GH ，使之与EF 成直角，在EF、CD 所在的平面内作GK ，使之与EF 成直角（命题I.11） 。
因为，EF 与GH、GK 成直角，所以：EF 也与过GH、GK 的平面成直角（命题XI.4） 。
又，EF 与AB 平行，所以：AB 也与经过HG、GK 的平面成直角（命题XI.8） 。
同理，CD 也与经过HG、GK 的平面成直角，所以：直线AB、CD 都与过HG、GK 的平面成直角。
又，如果两条直线与同一平面成直角，那么，二直线平行，所以：AB 平行于CD （命题XI.6） 。
所以：两条直线平行于与它们不在一个平面内的同一直线，那么，它们互相平行。
证完
命题XI.10
两条相交直线平行于不在同一平面的另两条相交直线，那么，它们构成的夹角相等。
设：AB、BC 为两条相交直线，平行于不在同一平面内的另两条相交直线DE、EF 。
求证：∠ABC 等于∠DEF 。
切取AB、BC、ED、EF ，使它们相互相等，连接AD、CF、BE、AC、DF （命题I.3） 。现在，因为BA 平行并等于ED ，所以：AD 也平行并等于BE 。
同理，CF 也平行并等于BE （命题I.33） 。
于是：直线AD、CF 平行并等于BE 。而两条不在一个平面内的直线平行于同一直线，那么，它们互相平行，所以：AD 平行并等于CF （命题XI.9） 。
又，AC、DF 与它们相连，所以：AC 也平行并等于DF （命题I.33） 。
现在，因为AB、BC 分别等于DE、EF ，且底边AC 等于底边DF ，所以：∠ABC 等于∠DEF （命题I.8） 。
所以：两条相交线直线平行于不在同一平面的另两条相交直线，那么，它们构成的夹角相等。
证完
命题XI.11
从平面外的一点可向已知平面作一垂线。
设：A 为给定的平面外的一点。
求作：从A 点向已知平面作垂线。
在给定的平面内作任意直线BC ，从A 点作AD 垂直于BC （命题I.12） 。
如果AD 垂直于已知平面，于是，所求的直线已经作出。
而如果不是，从D 点在已知平面内作DE ，使之与BC 垂直，再从A 点作AF ，使之垂直于DE ，再从F 点作GH ，使之平行于BC （命题I.11、I.12、I.31） 。
因为BC 与直线DA、DE 成直角，所以：BC 与过ED、DA 的面也成直角（命题XI.4） 。
又，GH 平行于BC ，而两条平行线中的一条与一平面成直角，那么，另一条也与该平面成直角。
所以：GH 与经过ED、DA 的平面也成直角（命题XI.8） 。
所以：GH 与经过ED、DA 平面内并与GH 相交的一切直线成直角（定义XI.3） 。
又，AF 与GH 相交，并在经过ED、DA 的平面内，所以GH 与FA 成直角，所以：FA 与GH 也成直角。且AF 也与DE 成直角，所以：AF 与直线GH、DE 皆成直角。
又，如果一条直线与两条相交直线垂直于交点上，那么，它也与两相交线形成的平面垂直。所以：FA 与经过ED、GH 的平面成直角。
又，经过ED、GH 的平面是给定的平面，所以：AF 与给定的平面成直角。
所以：从平面外的一点可向已知平面作一垂线。
证完
命题XI.12
过已知平面内的一个已知点可作该平面的垂线。
设：给定平面上的点A 。
求：作出一条直线与平面成直角。
从平面外任意一点B ，作BC ，使之垂直于平面；再过A 点作AD 平行于BC （命题XI.11、I.31） 。
那么，因为AD、BC 是两条平行线，其中之一的BC 与给定的平面成直角，所以：另一条AD 也与该平面成直角（命题XI.8） 。
所以：已知平面内的点A ，作出了直线AD 与该平面成直角。
所以：过已知平面内的一个已知点可作该平面的垂线。
证完
命题XI.13
过平面内的一点，不可能在同一侧作出两条与该平面垂直的直线。
假设过一点能够作出两条线，在平面同侧，从点A 作出了两条垂直于该平面的直线AB、AC 。
过A 点作经过BA、AC 的平面，它们相交于一条直线，令其为DAE （命题XI.3） 。
于是：直线AB、AC 和DAE 是在同一平面上。且，因为CA 与已知平面成直角，它也与已知平面内与它相交的任何直线成直角（定义XI.3） 。
又，DAE 与CA 相交，并在已知的平面内，所以：∠CAE 是直角。同理，∠BAE 也是直角，所以：∠CAE 等于∠BAE 。
又，它们在同一平面内，这是不可能的。
所以：在一个平面内的一点上，不可能在同一侧作出两条与该平面垂直的直线。
证完
命题XI.14
与同一直线成直角的两个面是平行的。
设：直线AB 与两个平面CD、EF 成直角。
求证：两个平面是平行的。
假如不是这样，那么延长它们必然相交。令其相交，交集是一条直线，令其为GH （定义XI.8、命题XI.3） 。
在GH 上任取一点K ，连接AK、BK 。
因为AB 与平面EF 成直角，所以：AB 与BK 也成直角，BK 是平面EF 上的延伸线。所以：∠ABK 是直角。同理，∠BAK 也是直角（定义XI.3） 。
于是：在三角形ABK 中，∠ABK 与∠BAK 之和等于两个直角，这是不可能的（命题I.17） 。
所以：平面CD、EF 延伸后不能相交，平面CD、EF 平行（定义XI.8） 。
所以：与同一直线成直角的两个面是平行的。
证完
命题XI.15
两相交直线平行于不在同一平面的另两相交直线，那么，两对相交直线构成的平面相互平行。
设：两相交直线AB、BC 平行于不在同一平面的另两相交直线DE、EF 。
求证：AB、BC 构成的平面平行于DE、EF 构成的平面。
过B 作直线BG 垂直于经过DE、EF 的平面（命题XI.11） 。
过G 作GH 平行于ED ，作GK 平行于EF （命题I.31） 。
现在，因为BG 与经过DE、EF 的平面成直角，那么：它与经过DE、EF 平面并与它相交的任何直线成直角（定义XI.3） 。
但是，直线GH、GK 与BG 相交，并过DE、EF 的平面，所以：∠BGH 和∠BGK 是直角。
又，因为BA 平行于GH ，所以：∠GBA 、∠BGH 之和是两个直角（命题XI.9、I.29） 。
又，∠BGH 是直角，所以：∠GBA 也是直角，GB 与BA 成直角。同理，GB 与BC 也成直角。
又，因为直线GB 与两相交的直线BA、BC 成直角，所以：GB 也与经过BA、BC 的平面成直角（命题XI.4） 。
又，与同一直线成直角的两个面是平行的。所以：经过AB、BC 的平面平行于经过DE、EF 的平面（命题XI.14） 。
所以：两相交直线平行于不在同一平面的另两相交直线，那么，两对相交直线构成的平面相互平行。
证完
命题XI.16
两个平行平面被另一平面所切，那么，两条交线是平行的。
设：两平行平面ANBM、PCQD 被平面EFHG 所切，EF、GH 是它们的交线（命题XI.3） 。
求证：EF 平行于GH 。
假设两交线不平行，那么：延长EF、GH ，它们必然相交，或在F、H 一侧，或在E、G 一侧。
首先，令其在F、H 一侧相交于K 点。
现在，因为EFK 在平面AB 上，所以：EFK 上的所有点在平面AB 上。而K 是直线EFK 上的一个点，所以：K 在平面ANBM 上。同理，K 也在平面PCQD 上，所以：平面ANBM、CQDP 延长后相交（命题XI.1） 。
又，它们不相交，因为：根据假设，它们是平行的。所以：如果在F、H 一方上延长直线EF、GH ，它们不相交。
同理，我们也能证明在E、G 方向上延长直线EF、GH ，它们也不相交。
又，在两方都不相交的直线是平行的。
所以：EF 平行于GH 。
所以：两个平行平面被另一平面所切，那么，两条交线是平行的。
证完
命题XI.17
如果两直线被平行平面所切，那么，所切得的线段有相同的比。
设：两条直线AB、CD 被平行的平面a、b、c 所切，切点分别是A、E、B 和C、F、D 。
那么我说：线段AE 比EB 等于CF 比FD 。
连接AC、BD、AD ，使AD 与平面b 相交于O 点，连接EO 和FO 。
那么，因为两个平行平面b、c 被平面EBDO 所切，所以它们的交线EO 平行于BD 。同理，因为两平行平面a、b 被平面AOFC 所切，所以它们的交线AC 平行于OF （命题XI.16） 。
又，因为线段EO 平行于BD ，BD 为三角形ABD 的一边，所以：成比例地，AE 比EB 等于AO 比OD 。又，因为FO 平行于CA ，CA 为三角形ADC 的一边，成比例地，AO 比OD 等于CF 比FD （命题VI.2） 。
又，已经证明AO 比OD 等于AE 比EB ，所以：AE 比EB 等于CF 比FD （命题V.11） 。
所以：如果两直线被平行平面所切，那么，所切得的线段有相同的比。
证完
命题XI.18
如果一条直线与一个平面成直角，那么经过该直线的所有平面与该平面也成直角。
设：直线AB 与给定的平面成直角。
求证：过直线AB 的所有平面也与该平面成直角。
令：过直线AB 作平面DCEH ，CE 为平面DCEH 与已知平面的交线。
在CE 上任取一点F 。从F 作FG ，使之与DCEH 平面内的CE 成直角（命题I.11） 。
现在，因为AB 与给定的平面成直角，所以：AB 也与给定平面内与它相交的任何直线成直角，AB 也与CE 成直角，∠ABF 是直角（定义XI.3） 。
又，∠GFB 也是直角，所以：AB 平行于FG （命题I.28） 。
又，AB 与给定的平面成直角，所以：FG 也与给定的平面成直角（命题XI.8） 。
又，在两相交平面之一内作直线与交线成直角时，则两平面成直角。而平面DE 内的直线FG 与交线CE 成直角，已经证明也与给定平面成直角，所以：DE 与给定平面成直角（定义XI.4） 。
同理，也可以证明经过AB 的所有平面与给定的平面成直角。
所以：如果一条直线与一个平面成直角，那么经过该直线的所有平面与该平面也成直角。
证完
命题XI.19
如果两相交平面与另一平面相交成直角，那么，它们的交线也与该平面成直角。
设：两个相交平面AB、BC 与一个已知平面相交，BD 为其交线。
求证：BD 与已知平面成直角。
假设不是这样，从D 点作DE 与AB 平面内的AD 成直角，再作DF 与BC 平面内的CD 成直角（命题I.11） 。
那么，因为平面AB 与已知平面成直角，且在平面AB 内所作的DE 与交线AD 成直角，所以：DE 与已知平面成直角（定义XI.4） 。
同样，我们也可证明DF 与已知平面也成直角，所以：从同一点D 有两条直线在同一侧与已知平面成直角。这是不可能的（命题XI.13） 。
所以：除了平面AB、BC 的交线DB 以外，没有能从D 点作出的直线与已知平面成直角。
所以：如果两相交平面与另一平面相交成直角，那么，它们的交线也与该平面成直角。
证完
命题XI.20
如果一个立体角由三个平面角构成，那么，任意两平面角之和大于第三角。
设：A 点的角为一立体角，它是由平面∠BAC 、∠CAD 、∠DAB 构成的。
求证：∠BAC 、∠CAD 、∠DAB 中的任意两个角之和大于余下的一个角。
如果∠BAC 、∠CAD 、∠DAB 互等，那么，很显然，两角之和大于余下的一个角。
如果不相等，令∠BAC 较大，在经过BA、AC 的平面中，过直线AB 上的点A 作∠BAE 等于∠DAB ；使AE 等于AD ，再过点E 引一条直线BEC 与直线AB、AC 相交于B、C ；连接DB、DC （命题I.23、I.3） 。
那么，因为DA 等于AE ，AB 是公共边，所以：两条边等于两条边。又，∠DAB 等于∠BAE ，所以：底边DB 等于底边BE （命题I.4） 。
又，因为BD、DC 两边之和大于BC ，其中，DB 已被证明等于BE ，所以：余值DC 大于余值EC （命题I.20） 。
又，因为DA 等于AE ，AC 是公共边，底边DC 大于底边EC ，所以：∠DAC 大于∠EAC （命题I.25） 。
而，∠BAE 等于∠DAB ，所以：∠DAB 、∠DAC 之和大于∠BAC 。
同理，我们也能证明任意两个余下的角之和大于另一个余下的角。
所以：如果一个立体角由三个平面角构成，那么，任意两平面角之和大于第三角。
证完
命题XI.21
任何一个由平面角构成的立体角，其平面角之和小于四个直角（360°）。
设：A 点的角为一个立体角，它是由平面角∠BAC 、∠CAD 和∠DAB 构成的。
求证：∠BAC 、∠CAD 和∠DAB 之和小于四个直角。
在直线AB、AC、AD 上分别任意取点B、C、D ，连接BC、CD、DB 。
那么，因为在B 点的立体角是由平面角∠CBA 、∠ABD 、∠CBD 构成的，而任意两个角的和大于其余下的一个角，所以：∠CBA 、∠ABD 之和大于∠CBD （命题XI.20） 。
同样，∠BCA 、∠ACD 之和大于∠BCD ，∠CDA 、∠ADB 之和大于∠CDB ，所以：六个角∠CBA 、∠ABD 、∠BCA 、∠ACD 、∠CDA 、∠ADB 之和大于三个角∠CBD 、∠BCD 、∠CDB 之和。
又，三个角∠CBD 、∠BDC 、∠BCD 之和等于两个直角，所以：六个角∠CBA 、∠ABD 、∠BCA 、∠ACD 、∠CDA 、∠ADB 之和大于两个直角（命题I.32） 。
又，因为三个三角形ABC、ACD、ADB 的各个三角形内角之和等于两个直角，所以：这三个三角形的九个角∠CBA 、∠ACB 、∠BAC 、∠ACD 、∠CDA 、∠CAD 、∠ADB 、∠DBA 、∠BAD 之和等于六个直角。其中，它们的六个角∠ABC 、∠BCA 、∠ACD 、∠CDA 、∠ADB 、∠DBA 之和大于两个直角。所以：余下的三个角∠BAC 、∠CAD 、∠DAB 构成的立体角，其平面角的和小于四个直角。
所以：任何一个由平面角构成的立体角，其平面角之和小于四个直角。
证完
命题XI.22
如果有三个平面角，任意两角的和大于余下的角，且夹这些角的两边都相等，那么，连接这些相等线段的端点的三条线段可作一个三角形。
设：有三个平面角∠ABC 、∠DEF 、∠GHK ，它们的任意两角的和大于余下的角。于是：∠ABC 、∠DEF 之和大于∠GHK ，∠DEF 、∠GHK 之和大于∠ABC ，且∠GHK 、∠ABC 之和大于∠DEF 。且线段AB、BC、DE、EF、GH、HK 相等。连接AC、DF、GK 。
那么我说：可作一个三角形，其边分别等于AC、DF、GK ，即线段AC、DF、GK 的任意两边的和大于余下的一边。
现在，如果有∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 彼此相等，即表明，AC、DF、GK 也相等，可以作边等于AC、DF、GK 的三角形彼此相等（命题I.4、I.1） 。
但是，如果它们不相等。在线段HK 的H 点上作∠KHL ，使之等于∠ABC 。令HL 等于线段AB、BC、DE、EF、GH、HK 中的任意一条。连接KL、GL （命题I.23、I.3） 。
那么，因为AB、BC 两边分别等于KH、HL 两边，在∠ABC 等于∠KHL ，于是：底边AC 等于底边KL （命题I.4） 。
又，因为∠ABC 、∠GHK 之和大于∠DEF ，同时，∠ABC 等于∠KHL ，所以：∠GHL 大于∠DEF 。
又，因为GH、HL 两边分别等于DE、EF 两边，所以：∠GHL 大于∠DEF 。所以：底边GL 大于底边DF （命题I.24） 。
又，GK、KL 之和大于GL ，所以：GK、KL 之和大于DF 。
又，KL 等于AC ，所以：AC、GK 之和大于余下的线段DF 。
同理，我们也能证明AC、DF 之和大于GK ，且DF、GK 之和大于AC 。
所以：可作一个三角形，其边分别等于AC、DF、GK （命题I.24） 。
所以：如果有三个平面角，任意两角的和大于余下的角，且夹这些角的两边都相等，那么，连接这些相等线段的端点的三条线段可作一个三角形。
证完
命题XI.23
在三个平面角中，如果任意两个角的和大于余下的一个角，且三个角之和小于四个直角，那么，依据这三个角可作一个立体角 （命题XI.20、XI.21） 。
设：∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 为给定的三个平面角，它们的任意两个角的和大于余下的一个角，且三个角的和小于四个直角。
求证：作一个立体角，使其等于∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 。
截分AB、BC、DE、EF、GH、HK ，使它们分别相等，连接AC、DF 和GK （命题I.3） 。
那么，可作一个三边分别等于AC、DF、GK 的三角形，因此可作三角形LMN ，使AC 等于LM ，DF 等于MN ，GK 等于NL （命题XI.22） 。
以O 为圆心，作三角形LMN 的外接圆LMN ，连接LO、MO、NO （命题IV.5、III.1） 。
那么我说：AB 大于LO 。
因为：如果不是，AB 要么等于LO ，要么小于。
首先，令其相等，于是，因为AB 等于LO ，同时，AB 等于BC ，LO 等于OM ，于是：AB、BC 两边分别等于LO、OM 两边。又，根据假设，底边AC 等于底边LM ，所以：∠ABC 等于∠LOM （命题I.8） 。
同理，∠DEF 也等于∠MON ，且∠GHK 等于∠NOL ，所以：∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 三个角之和等于∠LOM 、∠MON 、∠NOL 三个角之和。
又，∠LOM 、∠MON 、∠NOL 三个角之和等于四个直角，所以：∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 三个角之和等于四个直角。
又，根据假设，它们的和也小于四个直角。这是荒谬的。所以：AB 不等于LO 。
进一步说：AB 小于LO 不成立。
因为，如果可能成立，作OP 等于AB ，OQ 等于BC ，连接PQ （命题I.3） 。
那么，因为AB 等于BC ，所以：OP 也等于OQ ，于是：余值LP 等于QM 。
所以：LM 平行于PQ ，且∠LMO 也等于∠PQO （命题VI.2、I.29） 。
所以：OL 比LM 等于OP 比PQ ，由更比可得，LO 比OP 等于LM 比PQ （命题VI.4、V.16） 。
而LO 大于OP ，所以：LM 也大于PQ 。且LM 等于AC ，所以：AC 大于PQ 。
又，因为AB、BC 两边分别等于PO、OQ 两边，且底边AC 大于底边PQ ，所以：∠ABC 大于∠POQ （命题I.25） 。
同理，我们可以证明，∠DEF 也大于∠MON ，且∠GHK 大于∠NOL 。
所以：三个角∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 之和大于三个角∠LOM 、∠MON 、∠NOL 之和。又，根据假设，三个角∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 之和小于四个直角，所以：三个角∠LOM 、∠MON 、∠NOL 之和远远小于四个直角。而它的和又等于四个直角，这是荒谬的，所以：AB 不小于LO 。
又已证明是不等的，所以AB 大于LO 。
再，从点O 作OR 与圆平面LMN 成直角，于是：OR 上的正方形等于AB 上的正方形减去LO 上的正方形。连接RL、RM、RN （命题XI.12、引理） 。
那么，因为RO 与圆平面LMN 成直角，所以：RO 也与线段LO、MO、NO 皆成直角。又，因为LO 等于OM ，OR 是公共边，且和LO、ON 都成直角，所以：底边RL 等于底边RM （定义XI.3、命题I.4） 。
同理，RN 也等于线段RL、RM ，所以：三条线段RL、RM、RN 相互相等。
又，根据假设，OR 上的正方形等于AB 上的正方形减去LO 上的正方形，所以：AB 上的正方形等于LO、OR 上的正方形之和。
又，LR 上的正方形等于LO、OR 上的正方形之和，这是因为，∠LOR 是直角。所以，AB 上的正方形等于RL 上的正方形，所以，AB 等于RL 。
但是，线段BC、DE、EF、GH、HK 都等于AB 。这时，线段RM、RN 等于RL ，所以：线段AB、BC、DE、EF、GH、HK 中每一条都等于线段RL、RM、RN 中任一条（命题I.47） 。
因为LR、RM 两边分别等于AB、BC 两边，根据假设，底边LM 等于底边AC ，所以：∠LRM 等于∠ABC 。同理，∠MRN 等于∠DEF ，且∠LRN 等于∠GHK （命题I.8） 。
所以作出了由∠LRM 、∠MRN 、∠LRN 在点R 构成的立体角，且∠LRM 、∠MRN 、∠LRN 分别等于已知∠ABC 、∠DEF 、∠GHK 。
