所以：在三个平面角中，如果任意两个角的和大于余下的一个角，且三个角之和小于四个直角，那么，依据这三个角可作一个立体角（命题XI.20、XI.21） 。
证完
引理
但是，怎样作OR 上的正方形，使之等于AB 上的正方形减去LO 上的正方形呢？ （参见命题XI.23最右边的图 ）
作法如下：
取线段AB、LO ，令AB 较大，在AB 上作半圆ACB ，取AC 等于线段LO ，并不大于直径AB 。连接CB （命题IV.1） 。
因为∠ACB 是半圆ACB 内的弓形角，所以：∠ACB 是直角（命题III.31） 。
所以：AB 上的正方形等于AC、CB 上的正方形之和（命题I.47） 。
于是：AB 上的正方形减去AC 上的正方形等于CB 上的正方形。而AC 等于LO 。所以：AB 上的正方形减去LO 上的正方形等于CB 上的正方形。
所以：如果我们截分OR 等于BC ，那么，AB 上的正方形大于LO 上的正方形，所大的部分是OR 上的正方形。
命题XI.24
如果一个立体图形是由平行平面构成的，那么：其相对的平面相等且为平行四边形。
设：立体图形CDHG 是由6个平面构成的。
求证：相对的面相等且为平行四边形。
因为平面BAGH、CDEF 被平面ABCD 所截分，于是：它们的交线是平行的。所以：AB 平行于DC 。又，因为两个平行平面BCFH、ADEG 被平面ABCD 所截，它们的交线是平行的，所以：BC 平行于AD （命题XI.16） 。
而AB 已被证明平行于DC ，所以：面ABCD 是平行四边形。同理，我们也可以证明面ADEG 、面CDEF 、面GHFE 、面BCFH 、面ABHG 皆为平行四边形。
连接AH、DF 。
那么，因为AB 平行于DC ，且BH 平行于CF ，所以：AB、BH 两条线段相交，并平行于与它们不在同一平面内的两条相交线DC、CF 。所以：它们的夹角相等。
所以：∠ABH 等于∠DCF （命题XI.10） 。
又，因为两边AB、BH 分别等于DC 和CF ，且∠ABH 等于∠DCF ，所以：底边AH 等于底边DF ，且三角形ABH 等于三角形DCF （命题I.34、I.4） 。
又，平行四边形ABHG 是三角形ABH 的两倍，且平行四边形CDEF 是三角形DCF 的两倍，所以：平行四边形ABHG 等于平行四边形CDEF （命题I.34） 。
同理，我们也可证明面ABCD 等于面GEFH ，面ADEG 等于面BCFH 。
所以，如果一个立体图形是由平行平面构成的，那么：其相对的平面相等且为平行四边形。
证完
命题XI.25
如果一个平行六面体被一个平行于一双相对面的平面所截，那么，底比底等于立体比立体。
设：平行六面体ABCD 被平行于两相对面RBAV、D'HCD 的平面UGEF 所截。
那么我说：底AEFV 比底EHCF 等于立体ABFU 比立体EGCD 。
向两端延长AH 。再任意取若干线段AK、KL 等于AE ，HM、MN 等于EH 。完成平行四边形LL'PK、PVAK、CHMW、WMNS 及补形立体LKXQ、KAQR、HMDY、MNYT （命题I.3、I.31） 。
那么，因为线段LK、KA、AE 彼此相等，所以：平行四边形LL'KP、PKAV、VAEF 相互相等，平行四边形OQ'KL、Q'BAK、BGEA 彼此相等，且平行四边形LL'XO、KPQQ' 、AVRB 彼此相等，因为它们是相对面。
同理，平行四边形FEHC、CWMH、WSNM 彼此相等，四边形HD'GE、HMID' 、IMNI' 彼此相等，且DH、MY、NT 彼此相等（命题XI.24） 。
所以：在立体KLQX、KAQR、AERU 中，彼此有三个平面相等。而三个平面等于它的三个对面，所以：三个立体KLQX、KAQR、AERU 彼此相等。同理，三个立体DHUD、HMDY、MNYT 也彼此相等。
所以：无论底面LEFL' 是AEFV 的多少倍，立体LEXU 也是立体AERU 的相等倍。
同理，无论成FENS 是面EFCH 的多少倍，立体ENUT 也是立体EHUD 的相等倍（定义XI.10） 。
又，如果底面LEFL' 等于底面ENSF ，立体LEXU 也等于立体ENUT ；如果底面LEFL' 大于底面FENS ，那么立体LEXU 也大于立体NU 。
所以：有四个量值，两个底面AEFV、EFCH 和两个立体AERU、EHUD ，已知底AEFV 和立体AERU 的等倍量，即底LEFL' 和立体LEXU ，已知底HCFE 和立体EHUD 的等倍量，即底NSFE 和立体ENUT 。
已证明，如果底LEFL' 大于底FENS ，那么立体LEXU 也大于立体NEUT ；如果底相等，立体也相等；又如果底面LEFL' 小于面FENS ，立体LEXU 也小于立体ENUT 。所以：底面AEFV 比底FEHC 等于立体AERU 比立体EHUD （定义V.5） 。
所以：如果一个平行六面体被一个平行于一双相对面的平面所截，那么，底比底等于立体比立体。
证完
命题XI.26
给定一条直线和该直线上的一个点之上的立体角，可作另一个相等立体角。
设：A 是给定直线AB 上的一个点，且在D 点处由∠EDC 、∠EDF 、∠FDC 构成一个立体角。
求作：在线段AB 上的A 点，作立体角等于D 点上的立体角。
在DF 上任取一点F ，过F 作FG 垂直于过ED、DC 的平面，且与平面相交于G 。连接DG （命题XI.11） 。
在直线AB 的A 点上，作∠BAL 等于∠EDC ，作∠BAK 等于∠EDG ，且使AK 等于DG ，从点K 作KH ，使它和经过BA、AL 的平面成直角。且设KH 等于GF ，连接HA （命题XI.12） 。
那么：在A 点的立体角是由∠BAL 、∠BAH 、∠HAL 组成的，并等于D 点由∠EDC 、∠EDF 、∠FDC 组成的立体角。
截分DE 等于AB ，连接HB、BK、FE、GE 。
那么，因为FG 与已知平面成直角，所以：它也与在该平面内与它相交的所有直线成直角，所以：∠FGD 、∠FGE 是直角。同理，∠HKA 、∠HKB 也是直角（定义XI.3） 。
又，因为KA、AB 两边分别等于GD、DE 两边，且它们也包含相等角，所以：底KB 等于底GE 。而KH 也等于GF ，且它们是直角，所以：HB 也等于FE ，又，因为AK、KH 两边分别等于DG、GF 两边，它们是直角，所以：底AH 等于底FD （命题I.4） 。
又，AB 等于DE ，所以：HA、AB 两边分别等于DF、DE 两边。又，底HB 等于底FE 。所以：∠BAH 等于∠EDF 。同理，∠HAL 也等于∠FDC （命题I.8） 。
又，∠BAL 也等于∠EDC 。所以：在线段AB 的点A 上的立体角等于给定的在D 点上的立体角。
证完
命题XI.27
根据一条已知线段上的已知平行六面体，可作一个相似的且有相似位的平行六面体。
设：AB 是给定的线段，CNED 是给定的平行六面体。
求作：在AB 上作一个平行六面体，使之与CD 相似且有相似位。
在线段AB 的A 点上作一个由∠BAH 、∠HAK 、∠KAB 构成的立体角，使之等于立体角∠C ，于是：∠BAH 等于∠ECF ，∠BAK 等于∠ECG ，∠KAH 等于∠GCF 。于是：EC 比CG 等于BA 比AK ，GC 比CF 等于KA 比AH （命题XI.26、VI.12） 。
所以：由首末比可得，EC 比CF 等于BA 比AH （命题V.22） 。
完成平行四边形HAMB 和补形立体ABJL 。
那么，因为EC 比CG 等于BA 比AK ，且夹相等∠ECG 、∠BAK 的边成比例，所以：平行四边形CGSE 相似于平行四边形ABIK 。同理，平行四边形HAKJ 相似于平行四边形CGNF ，面CEFW 也相似于面HABM 。
所以：立体CEND 的三个平行四边形相似于立体ABJL 的三个平行四边形。而前者的三个与它们对面的平行四边形相似且相等，后面三个和它们对面的平行四边形也相似且相等。所以：立体CEND 相似于立体AAJL （定义XI.9） 。
所以：根据一条已知线段上的已知平行六面体，可作一个相似且有相似位的平行六面体。
证完
命题XI.28
如果一个平行六面体被一个相对面上的对角线所在的平面所截，那么该平面平分该六面体。
设：平行六面体DABF 被相对面上对角线CF、DE 所在的平面CDEF 所截。
那么我说：立体DABF 被平面CDEF 所平分。
因为三角形CGF 等于三角形CFB ，而三角形ADE 等于三角形DEH ，同时平行四边形CDAG 等于平行四边形BHEF ，因为它们相对面，又，面EAGF 等于CDHB ，所以：两个三角形CGF、ADE 与三个平行四边形面EAGF、AGCC、CDEF 构成的棱柱，等于两个三角形CFB、DEH 与三个平行四边形CDHB、BHEF、CDEF 构成的棱柱，因为它们是由同样多的相等面构成的（命题I.34、定义XI.10） 。
于是，立体ADFB 被平面CDEF 所平分。
所以：如果一个平行六面体被一个相对面上的对角线所在的平面所截，那么该平面平分该六面体。
证完
五个柏拉图立体
立方体、正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体即“柏拉图立体”。柏拉图认为：标记程序井然的宇宙的这五个立体就是宇宙立体。开普勒把五个正立方体放置于相邻的球面之间，放置的形式为：任何一个宇宙球面均内接一个宇宙立体，同时又内接于下一个更高大的立体。这是开普勒伟大的天文学生涯的开端，并表明了他推测性的思维方式，许多大科学家也在其科学探索中仿照这种推测性。
命题XI.29
同底同高的两个平行六面体，如果它们侧棱的端点在同一直线上，那么它们相等。
设：CBFM、CBGN 是平行六面体，在同一底AB 上，并同高。如果它们侧棱AG、AF、LM、LN、CD、CE、BH、BK 之端点在同一直线FN、DK 上。
求证：立体CBFM 等于立体CBGN 。
因为图形DCBH、CBEK 是平行四边形，所以：CB 等于线段DH ，也等于线段EK 的每一条。所以：DH 也等于EK （命题I.34） 。
从以上各边减去EH ，所以：余值DE 等于余值HK 。
所以：三角形DCE 也等于三角形HBK ，而平行四边形DFGE 等于平行四边形HMKN 。
同理，三角形AFG 等于三角形MLN （命题I.8、I.4、I.36） 。
又，平行四边形AFDC 等于平行四边形BLMH ，CEGA 等于BKNL ，因为它们是相对面。所以：由两个三角形AFG、DCE 和三个平行四边形AFDC、DFGE、CAGE 构成的棱柱等于由两个三角形MLN、HBK 和三个平行四边形BLMH、HMNK、BLNK 构成的棱柱（定义XI.10） 。
令以平行四边形ALBC 为底，对面是GEHM 立体加到每一个棱柱上，于是：立体CBFM 等于立体CBGN 。
所以：同底同高的两个平行六面体，如果它们侧棱的端点在同一直线上，那么它们相等。
证完
命题XI.30
同底同高的平行六面体，如果它们侧棱的端点不在同一直线上，那么它们相互相等。
设：AFDC —LMHB、ACEG —LBKN 是平行六面体，它们有公共的底AB ，且同高。它们底上的侧棱AF、AG、LM、LN、CD、CE、BH、BK 不在同一线上。
求证：立体AFDC —LMHB 等于立体ACEG —LBKN 。
作NK、DH 相交于R ，延长FM、GE 分别至P、Q ，连接AO、LP、CQ、BR 。
那么，以平行四边形ACBL 为底的立体AFDC —LMHB ，FDHM 是其相对面，等于以平行四边形ACBL 为底的立体LBCA —PRQO ，OQRP 是其相对面。因为，它们是在共同的底ACBL 上，并且高相同，而它们的侧棱即AF、AO、LM、LP、CD、CQ、BH、BR 的端点在同一直线EP、DR 上（命题XI.29） 。
又，以平行四边形ACBL 为底的立体LBCA —PRQO ，OQRP 是其相对面，且等于以平行四边形ACBL 为底的立体LACB —NGEK ，GEKN 是其相对面。同理，它们在相同的底ACBL 上，且有等高，它们的侧棱即AG、AO、CE、CQ、LN、LP、BK、BR 的端点在同一线段CQ、NR 上（命题XI.29） 。
于是：立体ACDF —LBHM 等于立体LACB —NGEK 。
所以：同底同高的平行六面体，如果它们侧棱的端点不在同一直线上，那么它们相互相等。
证完
命题XI.31
等底等高的平行六面体彼此相等。
设：平行六面体ALBH —GMEK、CRDP —OSFQ 的底AB、CD 相等，且高相等。
求证：立体ALBH —GMEK 等于立体CRDP —OSFQ 。
首先，令两个平行四边形的侧棱HK、BE、AG、LM、PQ、DF、CO、RS 与底AB 或CD 成直角。
延长线段CR 得线段RT ，在线段RT 的R 点上作∠TRU 等于∠ALB 。使RT 等于AL ，RU 等于LB 。完成底RTXS 上的立体RTWU —SD 1 VX （命题I.23、I.3、I.31） 。
现在，因为TR、RU 两边分别等于AL、LB 两边，且夹角相等，所以：平行四边形RUWT 相等并相似于平行四边形HALB 。又因为，AL 等于RT ，LM 等于RS ，它们交成直角，所以：平行四边形RTXS 等于并相似于平行四边形ALMG 。
同理，平行四边形EBLM 等于并相似于SRUD 1 。
所以：立体ALBH —GMEK 的三个平行四边形相似并等于立体RUWT —SD 1 VX 的三个平行四边形。而前三个相似并等于三个相对面的平行四边形，后三个相似并等于它们的相对面的平行四边形，所以：总立体ALBH —GMEK 等于总立体RUWT —SD 1 VX （命题XI.24、定义XI.10） 。
延长DR、WU 相交于Y ，过T 作A 1 TB 1 平行于DY ，延长PD 至A 1 ，完成补形立体RYB 1 T —SE 1 C 1 X、DRTA 1 —FSXI （命题I.31） 。
于是，以SRTX 为底、E 1 YB 1 G 为其相对面的立体RYB 1 T —SE 1 C 1 X等于以平行四边形RTXS 为底、D 1 UWV 为其相对面的立体RTWU —SD 1 VX 。因为它们在同一个底RTXS 上，且有等高，它们的侧棱即RY、RU、TB 1 、TW、SE 1 、SD 1 、XC 1 、XV 上的端点在一对线段YW、E 1 V 上。而立体RTWU —SD 1 VX 等于ALBH —GMEK ，所以：立体RYB 1 T —SE 1 C 1 X 也等于立体ALBH —GMEK （命题XI.29） 。
又，因为平行四边形RUWT 等于平行四边形YT ，它们在同一底RT 上并在同一平行线RT、YW 之间。且RUWT 等于RCPD ，因为，它也等于ACBH ，所以：平行四边形RYB 1 T 也等于RCPD （命题I.35） 。
而，DRTA 1 是另一个平行四边形，所以：底RCPD 比DRTA 1 等于YB 1 TR 比DRTA 1 （命题V.7） 。
又，因为平行六面体PCTA 1 —QOXI 被平面DRSF 所截，并平行于相对面，所以：底CRDP 比底DRTA 1 等于立体PCRD —QOSF 比立体DRTA 1 —FSXI （命题XI.25） 。
又，底PCRD 比DRTA 1 等于RYB 1 T —DRTA ，所以：立体PCRD —QOSF 比立体DRTA 1 —FSXI 等于立体RYB 1 T —SE 1 C 1 X 比FSXI （命题V.11） 。
所以：立体PCRD —QOSF、RYB 1 T —SE 1 C 1 X 与DRTA 1 —FSXI 的比值相等。所以：立体PCRD —QOSF 等于立体RYB 1 T —SE 1 C 1 X 。而RYB 1 T —SE 1 C 1 X 已经被证明等于立体ALBH —GMEK ，所以：立体ALBH —GMEK 也等于PCRD —QOSF （命题V.9） 。
再，设两立体的侧棱AG、HK、BE、LM、CN、PQ、DF、RS 与AB、CD 不构成直角。
那么我说：立体ALBH —GMEK 等于立体PCRD —QOSF 。
过K、E、G、M、Q、F、N、S 作KO、ET、GU、MV、QW、FX、NY、SI 垂直于给定的平面，再令它们与此平面相交于O、T、U、V、W、X、Y、I （命题XI.11） 。连接OT、OU、UV、TV、WX、WY、YI、IX 。
那么，立体UVTO —MEKG 等于立体QNSF —WYIX ，因为它们在等底KM、QS 上，且有等高，它们的侧棱与它们的底成直角（同上） 。
又，立体UVTO —MEKG 等于立体ALBH —GMEK ，QNSF —WYIX 等于PDRC —QFSN ，因为它们同底等高，同时，它们侧棱的端点不在同一直线上（命题XI.30） 。
所以：立体ALBH —GMEK 也等于立体PCRD —QOSF 。
所以：等底等高的平行六面体彼此相等。
证完
命题XI.32
等高的两个平行六面体的比等于两底的比。
设：AA'EE' —MM'B'B、CGFL —C'G'DL' 为两个等高的平行六面体。
求证：立体AA'EE' —MM'B'B、CGFL —C'G'DL' 的比等于两底的比，即立体AA'EE' —MM'B'B 比立体CGFL —C'G'DL' 等于底AE 比底CF 。
在FG 处作FH 等于AE ，并以FH 为底CD 为高作一个平行六面体FGHK' —DG'H'K （命题I.45、I.31） 。
那么，立体AA'EE' —MM'B'B 等于立体FGHK' —DG'H'K ，因为它们是在等底AE、FH 上，并与CGFL —C'G'DL ，有等高（命题XI.31） 。
又，因为六面体CC'H'H —LL'KK' 被平面DG'GF 所截，DG'GF 平行于它的相对面，所以：立体CC'G'G —LL'DF 比立体GG'H'H —FDKK' 等于底FGCL 比底FK'HG （命题XI.25） 。
又，底FK'HG 等于底AA'EE' ，且立体GHK'F —G'H'KD 等于立体AA'EE' —M'MBB' ，所以：立体AA'EE' —M'MBB' 比立体CC'G'G —LL'DF 等于底AA'EE' 比底CGFL 。
所以：等高的两个平行六面体的比等于两底的比。
证完
命题XI.33
相似平行六面体的比等于它们的对应边的三次比。
设：AA'BH 和CFC'D 是相似平行六面体，AE 与CF 是对应边。
那么我说：立体AA'BH 比立体CFC'D 的比值是AE 比CF 的三次比。
分别在AE、GE、HE 的延长线上作EK、EL、EM ，使EK 等于CF ，EL 等于FN ，EM 等于FR ，作平行四边形ELK'K 和补形平行六面体K'KPM （命题I.3、I.31） 。
现在，因为KE、EL 两边分别等于CF、FN 两边，同时，∠KEL 等于∠CFN ，∠AEG 也等于∠CFN ，AA'BH、CFC'D 是相似立体，所以：平行四边形ELK'K 相似并等于平行四边形CC'NF 。
同理，平行四边形EKM'M 相似并等于CR'RF ，ELPM 相似并等于FNDR 。
所以：立体PMK'K 的三个平行四边形相似并等于立体R'C'FN 的三个平行四边形。
而前三个平行四边形相似且等于它们的相对面，后三者也相似并等于它们的相对面，所以：总立体PMK'K 也相似并等于总立体CFC'D （命题XI.24、定义XI.10） 。
作平行四边形GG'KE ，再以平行四边形GG'KE、KL 为底，以AB 为等高作立体EKBO、LK'HQ （命题I.31） 。
那么，因为立体AA'HB、C'DCF 是相似的，所以AE 比CF 等于EG 比FN ，且等于EH 比FR ，而CF 等于EK ，FN 等于EL ，FR 等于EM ，所以：AE 比EK 等于EG 比EL ，等于HE 比EM （定义XI.9） 。
又，AE 比EK 等于平行四边形AA'GE 比平行四边形GG'KE ，所以：GE 比EL 等于GG'KE 比ELK'K ，且HE 比EM 等于QE 比KM 。所以：平行四边形AA'GE 比GG'KE 等于GG'KE 比ELK'K ，且等于QE 比KM （命题VI.1） 。
又，面AEGA' 比GEKG' 等于立体AA'HB 比立体EGOQ 。GG'KE 比ELK'K 等于立体BOEK 比立体HQLK' 。面QHKE 比EKM'M 等于立体LK'HQ 比立体PMKK' ，所以：立体AA'HB 比EKBO 等于EKBO 比HQLK' ，且等于HQLK' 比PMKK' （命题XI.32） 。
又，如果四个量成连比例，那么，第一量与第四量的比等于第一量与第二量的比的三次比，所以：立体AA'HB 比PMKK' 等于AA'HB 比EKBO 的三次比（定义V.10） 。
又，AA'HB 比EKBO 等于平行四边形AA'GE 比平行四边形GEKG' ，且等于线段AE 比EK ，于是：立体AA'HB 比立体PMKK' 也等于AE 比EK 的三次比（命题VI.1） 。
又，立体PMKK' 等于立体R'C'FN ，线段EK 等于线段CF ，所以：立体AA'HB 比立体R'C'FN 也等于它们的对应边AE 比CF 的三次比。
所以：相似平行六面体的比等于它们的对应边的三次比。
证完
推论
如果四条线成连比，那么，第一比第四线段等于第一线段上的平行六面体比与之相似的第二线段上的平行六面体，因为第一比第四线段等于第一比第二线段的三次比。
命题XI.34
在相等的平行六面体中，底与高成逆比例；相反，底与高成逆比例的平行六面体彼此相等。
设：AHBF、CNRD 为两个平行六面体。
求证：平行六面体AHBF、CNRD 的底和高成逆比例，即底HAEL 比底QCNP 等于立体CNRD 之高比立体AAHB 之高。
首先，令侧棱AG、EF、LB、HK、CM、NO、PD、QR 与底成直角。
那么我说：底HAEL 比底QCNP 等于CM 比AG 。
如果底AHLE 等于底CNPQ ，且立体AHBF 等于立体CNRD ，那么，CM 等于AG ，因为等高的两个平行六面体之比等于两底之比，且底AHLE 比CNPQ 等于CM 比AG ，这表明，在平行六面体AB、CD 中，它们的底与高成逆比（命题XI.32） 。
再，令底AHLE 不等于底CNPQ ，且AHLE 较大。
现在，立体AHBF 等于立体CNRD ，于是：CM 也大于AG 。
作CT 等于AG ，以CNPQ 为底（命题I.3、I.31） 。在其上作补形平行六面体CQN'V ，其高为CT 。
现在，因为立体AHBF 等于立体CNRD ，而CQN'V 是与它们不同的另一立体，等量与同一量的比也相等，所以：立体AHBF 比立体CQN'V 等于立体RDCN 比立体CQN'V （命题V.7） 。
又，立体AHBF 比立体CQN'V 等于底HAEL 比底QCNP ，因为立体AHBF 和CQN'V 有等高。且立体CNRD 比立体CQN'V 等于底MTQ'R 比底TCQQ' ，且等于CM 比CT ，所以：底HAEL 比底NLQP 等于MC 比CT （命题XI.32、XI.25、VI.1） 。
而CT 等于AG ，所以：底HAEL 比底NCQP 等于MC 比AG 。
所以：在平行六面体AHBF、CNRD 中，底与高成逆比例。
又，在平行六面体AHBF、CNRD 中，设底与高成逆比，即底HAEL 比底NCQP 等于立体CNRD 的高比立体AHBF 之高。
求证：立体AHBF 等于立体CNRD 。
再设：侧棱与底面成直角。
现在，如果底HAEL 等于底QCNP ，且底HAEL 比底QCNP 等于立体CNRD 之高比立体AHBF 之高。于是：立体CNRD 之高也等于AHBF 之高。
又，等底等高的平行六面体相等，所以：立体AHBF 等于立体CNRD （命题XI.31） 。
再，令底HAEL 不等于底QCNP ，HAEL 较大。
于是：立体CNRD 之高也大于立体AHBF 之高，即CM 大于AG 。
又，作CT 等于AG ，作补形平行六面体CQN'V （命题I.3、I.31） 。
因为底HAEL 比底QCNP 等于MC 比AG ，又AG 等于CT ，所以：底HAEL 比底QCNP 等于CM 比CT 。
又，底HAEL 比底QCNP 等于立体AHBF 比立体CQN'V ，因为，立体AHBF、CQN'V 等高，且CM 比CT 等于底MCQR 比底TQ'QC ，且还等于立体CNRD 比立体CQN'V （命题XI.32、VI.1、XI.25） 。
所以：立体AHBF 比立体CQN'V 等于立体CNRD 比立体CQN'V 。
所以：立体AHBF、CNRD 与CQN'V 有相等比值。所以：立体AHBF 等于立体CNRD （命题V.9） 。
现在，令侧棱FE、BL、GA、HK、ON、DP、MC、RQ 与它们的底不成直角。过F、G、B、K、O、M、D、R 点作垂线，使与过EH、NQ 的平面成直角，并交平面于S、T、U、V、W、X、Y、A 1 ，作补形立体VTBF 和RDXW （命题X.11） 。
那么我说：在这种情况下，如果立体AHBF、CNRD 相等，那么：底与高成逆比，即底AHLE 比底CQPN 等于立体CNRD 之高比立体AHBF 之高。
因为立体AHBF 等于立体CNRD ，AHBF 等于TSKB ，它们在同底FK 上且有等高，且立体CNRD 等于立体RDXW ，它们也有同底RMOD 且有等高，所以：立体KBTS 也等于立体RDXW （命题XI.29、XI.30） 。
所以：底KGFB 比底RMOD 等于立体RDXW 之高比立体KBTS 之高。而底KBFG 等于底HAEL ，又底RMOD 等于底QCNP ，所以：底HAEL 比底QCNP 等于立体RDXW 比立体KBTS 之高（同上） 。
又，立体RDXW、KBTS 与立体CNRD、AHBF 分别等高，所以：底HAEL 比底QCNP 等于立体CNRD 之高比立体AHBF 之高。
所以：在平行六面体AHBF、CNRD 中，底与高成逆比例。
再，在平行六面体AHBF、CNRD 中，底与高成逆比，即底EH 比底NQ 等于立体CNRD 之高比立体AHBF 之高。
那么：立体AHBF 等于立体CNRD 。
在这同一结构中，因为：底HAEL 比底QCNP 等于立体CNRD 之高比立体AHBF 之高，又，底HAEL 等于底KGFB ，且QCNP 等于RMOD ，所以：底KGFB 比底RMOD 等于立体CBRD 之高比立体AHBF 之高。
而立体AHBF、CNRD 与立体KBTS、RDXW 分别有等高，所以：底KGFB 比底RMOD 等于立体RDXW 之高比立体KBTS 之高。
所以：平行六面体KBTS 和RDXW 中，底与高成逆比，所以：立体KBTS 等于立体RDXW （同上） 。
又：立体KBTS 等于AHBF ，因为它们有同底KGFB 且有等高，且立体RDXW 等于立体CNRD 。所以：立体AHBF 也等于立体CNRD （命题XI.29、XI.30） 。
所以：在相等的平行六面体中，底与高成逆比例；相反，底与高成逆比例的平行六面体彼此相等。
证完
命题XI.35
如果有两个相等的平面角，过其顶点分别在平面外作直线，与原直线分别成等角，在所作二直线上任取一点，从该点向原来角所在的平面作垂线，其垂线与平面的交点和角顶点的连线与面外直线相交成等角。
设：∠BAC 、∠EDF 是两个相等的直线角，从点A、D 作面外AG、DM ，使它们和原直线所成的角分别相等，即∠MDE 等于∠GAB ，∠MDF 等于∠GAC 。
在AG、DM 上任意取点G、M ，从点G、M 分别作GL、MN ，使之分别垂直于过AB、AC 的平面，以及过ED、DF 的平面，且和两平面各交于L、N 。连接LA、ND （命题XI.11） 。
那么我说：∠GAL 等于∠MDN 。
作AH 等于DM ，再过点H 作直线HK ，使之平行于GL （命题I.3、I.31） 。
因为GL 垂直于过BA、AC 的平面，所以：HK 也垂直于过BA、AC 的平面（命题XI.8） 。
过点K、N 作KC、NF、KB、NE ，使它们分别垂直于直线AC、DF、AB、DE ，连接HC、CB、MF、FE （命题I.12） 。
因为HA 上的正方形等于HK、KA 上的正方形之和，而KC、CA 上的正方形之和等于KA 上的正方形，所以：HA 上的正方形等于HK、KC、CA 上的正方形之和（命题I.47） 。
又，HC 上的正方形等于HK、KC 上的正方形之和，所以：HA 上的正方形等于HC、CA 上的正方形之和。所以：∠HCA 是直角。
同理，∠DFM 也是直角（命题I.47、I.48） 。
所以：∠ACH 等于∠DFM ，而∠HAC 等于∠MDF 。
所以：MDF、HAC 是有两个角和一条夹边对应相等的两个三角形，即等角所对的边HA 等于MD 。所以：它们的余边也对应相等，所以AC 也等于DF （命题I.26） 。
同理，我们也可以证明AB 等于DE 。
因为AC 等于DF ，AB 等于DE ，CA、AB 分别等于FD、DE ，且∠CAB 也等于∠FDE ，所以：底BC 等于底EF ，两个三角形全等。所以：∠ACB 等于∠DFE （命题I.4） 。
又，直角∠ACK 等于直角∠DFN ，所以：∠BCK 等于∠EFN 。同理，∠CBK 也等于∠FEN 。
所以：BCK、EFN 是有两角及其夹边对应相等的两个三角形，即BC 等于EF 。所以：余边也相等，CK 等于FN （命题I.26） 。
又AC 也等于DF ，所以：AC、CK 分别等于DF、FN ，它们的夹角皆是直角。所以：底AK 等于底DN （命题I.4） 。
又，因为AH 等于DM ，所以：AH 上的正方形等于DM 上的正方形。
而AK、KH 上的正方形之和等于AH 上的正方形，因为∠AKH 是直角，又，DN、NM 上的正方形之和等于DM 上的正方形，∠DNM 是直角，所以：AK、KH 上的正方形之和等于DN、NM 上的正方形之和。其中，AK 上的正方形等于DN 上的正方形，所以：KH 上的余量等于NM 上的正方形，HK 等于MN （命题I.47） 。
又，因为，HA、AK 分别等于MD、DN ，又，底HK 等于底MN ，所以：∠HAK 等于∠MDN （命题I.8） 。
所以：如果有两个相等的平面角，过其顶点分别在平面外作直线，与原直线分别成等角，在所作二直线上任取一点，从该点向原来角所在的平面作垂线，其垂线与平面的交点和角顶点的连线与面外直线相交成等角。
证完
贝特朗悖论
1899年，法国学者贝特朗提出：在半径为r的圆内，PL有机选择弦，计算弦长短过圆内接正三角形边长的概率。根据对PL有机选择的不同解，可以得到不同答案：（1）考虑与某确定方向平行的弦，则所求概率为二分之一；（2）考虑从圆上某固定点P引出的弦，所求概率为三分之一；（3）考虑弦的中点落在圆的某个部分的概率与该部分的面积成正比，则所求概率为四分之一。这类悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化。
推论
这一命题也同时表明，如果两个相等的平面角，从角顶作与之不在同一平面的相等线段，且此线段与原角两边夹角分别相等，那么，从面外线段端点向角所在的平面所作的垂线相等。
命题XI.36
如果三条线段成比例，那么以这三条线段构成的平行六面体，等于在中项上作的等边且与前面作成的立体等角的平行六面体。
设：a、b、c 三条线段成比例，于是a 比b 等于b 比c 。
那么我说：a、b、c 构成的立体等于在b 上作出的等边且与立体等角的立体。
令：在点E 的立体角由∠DEG 、∠GEF 、∠FED 构成，线段DE、GE、EF 等于b 。作平行六面体KBGE 。再作LM 等于a 。在直线LM 上的L 点作立体角等于E 点的立体角，即由∠NLO 、∠OLM 和∠MLN 构成的角。再作LO 等于b ，LN 等于c （命题I.3） 。
