那么，因为a 比b 等于b 比c ，同时a 等于LM ，b 等于线段LO、ED ，且c 等于LN ，所以：LM 比EF 等于DE 比LN 。于是：夹两等角∠NLM 、∠DEF 的边成逆比。所以：平行四边形AMLN 等于平行四边形BFED （命题VI.4） 。
又，因为∠DEF 、∠NLM 是两个平面直线角，且平面之外的两条线段LO、EG 彼此相等，它们与原平面角两边的夹角相等，所以：从G、O 点向经过NL、LM 和DE、EF 的平面所作的垂线彼此相等。所以：立体HAOL 和KBGE 等高（命题XI.35、推论） 。
又，等底等高的平行六面体彼此相等，所以：立体HAOL 等于立体KBGE （命题XI.31） 。
又，HAOL 是由a、b、c 构成的立体，而KBGE 是b 上的立体，所以：由a、b、c 构成的平行六面体等于以b 为边且与原立体等角的立体。
所以：如果三条线段成比例，那么以这三条线段构成的平行六面体，等于在中项上作的等边且与前面作成的立体等角的平行六面体。
证完
命题XI.37
如果四条线段成比例，那么，它们上的相似且位置相似的平行六面体也成比例；如果相似且位置相似的平行六面体成比例，那么，构成它们的四条线段成比例。
设：AB、CD、EF、GH 四条线成比例，即AB 比CD 等于EF 比GH ；在AB、CD、EF、GH 上作相似且位置相似的平行六面体ABKK' 、CDLL' 、EFMM' 、GHN'N 。
求证：平行六面体ABKK' 比CDLL' 等于EFMM' 比GHN'N 。
因为平行六面体ABKK' 与CDLL' 相似，所以：ABKK' 比CDLL' 等于AB 与CD 的三次比。
同理，EFMM' 比GHN'N 等于EF 与GH 的三次比（命题XI.33） 。
又，AB 比CD 等于EF 比GH 。
所以：ABKK' 比CDLL' 等于EFMM' 比GHN'N 。
又，立体EFMM' 比立体GHN'N 等于立体ABKK' 比立体CDLL' 。
那么我说：线段AB 比CD 等于EF 比GH 。
又，因为立体ABKK' 比CDLL' 等于AB 与CD 的三次比，EFMM' 比GHN'N 等于EF 与GH 的三次比，又，立体ABKK' 比CDLL' 等于EFMM' 比GHN'N ，所以：AB 比CD 等于EF 比GH （命题XI.33） 。
所以：如果四条线段成比例，那么，它们上的相似且位置相似的平行六面体也成比例；如果相似且位置相似的平行六面体成比例，那么，构成它们的四条线段成比例。
证完
命题XI.38
如果一个立方体的相对面的边被平分，过分点作平面，那么这些平面的交线与立方体的对角线相互平分。
设：立体AGDF 的相对面的平面CDFE、AGHB 被点K、L、M、N、O、Q、P、R 所平分，过这些点作平面KMNL、OQRP ，US 为两面的交线，DG 是立体AF 的对角线。
那么我说：UT 等于TS ，DT 等于TG 。
连接DU、UE、BS、SG 。
那么，DO 平行于PE ，所以：内错角∠DOU 、∠UPE 彼此相等（命题I.29） 。
因为DO 等于PE ，OU 等于UP ，且两边所夹的角相等，所以：底DU 等于底UE ，三角形DOU 全等于三角形PUE 。所以：∠OUD 等于∠PUE （命题I.4） ，DUE 是直线。
同理，BSG 也是直线，BS 等于SG （命题I.14） 。
因为CA 等于并平行于DB ，同时CA 也等于并平行于EG ，所以：DB 等于并平行于EG （命题XI.9） 。
又，连接它们的端点的是线段DE、BG ，所以：DE 平行于BG （命题I.33） 。
所以：∠EDT 等于∠BGT ，因为它们是内错角，又∠DTU 等于∠GTS （命题I.29、I.15） 。且有对应边相等。
所以：三角形DTU 、三角形GTS 是两角相等并夹边相等的三角形，即DU 等于GS ，因为它们分别是DE、BG 的一半。所以：余边等于余边，DT 等于TG ，UT 等于TS （命题I.26） 。
所以：如果一个立方体的相对面的边被平分，过分点作平面，那么这些平面的交线与立方体的对角线相互平分。
命题XI.39
如果有两个等高的棱柱，分别以平行四边形和三角形为底，且如果平行四边形是三角形的两倍，那么，两棱柱相等。
设：ABCDEF 和GHKLMN 是两个等高棱柱，其中一个以平行四边形AEFC 为底，另一个以三角形GHK 为底，且平行四边形AEFC 是三角形GHK 的两倍。
求证：棱柱ABCDEF 等于棱柱GHKLMN 。
作立体AEDO 和立体GKMP 。
因为平行四边形AEFC 是三角形GHK 的两倍，平行四边形HGKP' 也是三角形GHK 的两倍，所以：平行四边形AEFC 等于平行四边形HGKP' （命题I.34） 。
而，等高等底的平行六面体彼此相等，所以：立体AEDO 等于立体MPGK （命题XI.31） 。
又，棱柱ABCDEF 是立体AEDO 的一半，且棱柱GHKLMN 是立体MPGK 的一半，所以：棱柱ABCDEF 等于棱柱GHKLMN （命题XI.28） 。
所以：如果有两个等高的棱柱，分别以平行四边形和三角形为底，且如果平行四边形是三角形的两倍，那么，两棱柱相等。
证完
第12卷
立体的测量
CHAPTER 12
公元6世纪，印度数学家阿耶波多出版了《阿耶波提亚》一书。这本书由33首诗组成。第一首是祝福辞，接着是平方、立方、平方根的计算规则。其中有17首诗与几何学有关，11首诗与算术和代数有关。他在第10首诗里阐述了圆周率的值：π＝62832/20000＝3.1416。这是他之后1000年内最精确的数字。
本卷继续论述立体几何。重点在立体的测量。
本卷提要
※命题XII.2，圆的面与它们直径上的正方形成比例。
※命题XII.6、XII.7，一个三角形棱柱可以分成三个等量的棱锥，等底等高的棱锥是棱柱的三分之一。
※命题XII.10，一个圆锥是等底等高圆柱的三分之一。
※命题XII.11，圆柱与圆锥与它们的高成比例。
※命题XII.18，球的体积比等于直径的三次比。
命题XII.1
圆内接相似多边形之比等于该圆直径上的正方形之比。
设：ABC、FGH 是两个圆，ABCDE 和FGHKL 是内接于圆的相似多边形。BM、GN 分别为圆的直径。
那么我说：BM 上的正方形比GN 上的正方形等于多边形ABCDE 比多边形FGHKL 。
连接BE、AM、GL 和FN 。
那么，因为多边形ABCDE 相似于多边形FGHKL ，所以：∠BAE 等于∠GFL ，且BA 比AE 等于GF 比FL （定义VI.1） 。
于是，三角形BAE 、三角形GFL 有一个角相等，即∠BAE 等于∠GFL ，它们的夹边成比例，所以：三角形ABE 与三角形FGL 是等角三角形。所以：∠AEB 等于∠FLG （命题VI.6） 。
又，∠AEB 等于∠AMB ，因为它们在同一圆周上，且∠FLG 等于∠FNG ，所以∠AMB 等于∠FNG 。但直角∠BAM 也等于直角∠GFN ，所以：其余的角也相等。
所以：三角形ABM 与三角形FGN 是等角三角形（命题III.31、I.32） 。
所以：它们成比例，BM 比GN 等于BA 比GF （命题VI.4） 。
又，BM 上的正方形比GN 上的正方形是BM 与GN 的二次比，且多边形ABCDE 比多边形FGHKL 是BA 与GF 的二次比（命题VI.20） 。
所以：BM 上的正方形比GN 上的正方形等于多边形ABCDE 比多边形FGHKL 。
所以：圆内接相似多边形之比等于该圆直径上的正方形之比。
证完
注解
命题VI.20陈述相似多边形的比是它们对应边的平方比，所以，需要找出对应边与外接圆的直径的比。
这一命题是为下一个命题做的准备，在下一个命题中，证明圆之比等于以它们直径为边的正方形之比。其联系是圆可以被认为是多边形的无限靠近，所以如果多边形与正方形成比例，那么圆也与正方形成比例。这一命题的严格性受到质疑。
命题XII.2
圆与圆之比等于直径上的正方形之比。
设：ABCD、EFGH 是圆，BD、FH 分别为它们的直径。
求证：圆ABCD 比圆EFGH 等于BD 上的正方形比FH 上的正方形。
因为：如果BD 上的正方形比FH 上的正方形不等于圆ABCD 比圆EFGH ，那么，BD 上的正方形比FH 上的正方形小于或大于圆ABCD 比圆EFGH 的面积。
首先，令成比例的面积S 小于圆EFGH 。
令：正方形EFGH 内接于圆EFGH ，那么，内接正方形大于圆EFGH 的一半。因为，如果过点E、F、G、H 作圆的切线，那么，正方形EFGH 等于圆外切正方形的一半，而圆小于外切正方形，于是：正方形EFGH 大于圆EFGH 的一半（命题IV.6、III.17） 。
过点K、L、M、N 二等分圆弧EF、FG、GH、HE 。连接EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE 。
于是：三角形EKF 、三角形FLG 、三角形GMH 、三角形HNE 的每一个也大于三角形所在的弓形的一半。因为，如果过点K、L、M、N 向圆作切线，在线段EF、FG、GH、HE 上作平行四边形，那么，三角形EKF 、三角形FLG 、三角形GMH 、三角形HNE 的每一个皆是所在平行四边形的一半，同时，包含它的弓形小于它所在的平行四边形，于是：三角形EKF 、三角形FLG 、三角形GMH 、三角形HNE 皆大于它们所在弓形的一半（命题III.17） 。
于是：平分其余的圆弧，连接弦线，从分点作弦，这样重复作下去，我们将得到一个弓形的和小于圆EFGH 超过面积S 的部分。
因为：在第10卷第一命题中已经证明，如果两个不相等量，每次从大量中减去大于一半的量，若干次后，所余的量必小于较小的量（命题X.1） 。
令：圆EFGH 的EK、KF、FL、LG、GM、MH、HN、NE 上的弓形之和小于圆与面积S 的差。
闵可夫斯基的论文
法国数学家、物理学家拉格朗日对力学研究的特色在于，他把时间表示成与三个空间维相当的另一个维度，这使得物理学家和数学家变得习惯于四维世界。1909年，美籍德国数学家、天文学家赫尔曼·闵可夫斯基认为：动力学就是四维世界的几何学，恰如静力学是人们原有的三维世界里的几何学一般。事实上，这是一条纯几何的变分原理，它确定了闵可夫斯基四维空间的造型。
所以余下的多边形EKFLGMHN 大于面积S 。
令：内接于圆ABCD 的多边形AOBPCQDR ，相似于多边形EKFLGMHN ；
所以BD 上的正方形比FH 上的正方形，等于多边形AOBPCQDR 比多边形EKFLGMHN （命题XII.1） 。
但是，BD 上的正方形比FH 上的正方形如同圆ABCD 比面积S ；所以，圆ABCD 比面积S 如同多边形AOBPCQDR 比多边形EKFLGMHN （命题V.11） 。
所以由更比，圆ABCD 比内接多边形如同面积S 比多边形EKFLGMHN （命题V.16） 。
但是圆ABCD 大于内接于它的多边形，所以面积S 大于多边形EKFLGMHN 。
但是它也小于多边形EKFLGMHN ，这是不可能的。
所以，BD 上的正方形比FH 上的正方形不同于圆ABCD 比圆EFGH 小的面积；类似地，我们也可以证明EFGH 比一个小于圆ABCD 的面积，不同于FH 上的正方形比BD 上的正方形。
其次，可证得圆ABCD 比一个大于圆EFGH 的面积，也不同于BD 上的正方形比FH 上的正方形。
假设可能，令成比例的较大的面积是S 。
所以，由逆比，FH 上的正方形比DB 上的正方形，等于面积S 比圆ABCD 。
但是，面积S 比圆ABCD 等于圆EFGH 比小于圆ABCD 的一个面积。
所以，FH 上的正方形比BD 上的正方形等于圆EFGH 比小于圆ABCD 的某个面积。已经证明了这是不可能的。
四元朱利娅集合
普通几何学研究的对象一般都是具有整数的准数，比如零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体乃至四维的时空。但近十几年来，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数。具体地说，就是客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，具有无穷层次适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变复杂的物理现象。电子计算机图形显示协助人们推开分形几何的大门，这座具有无穷层次结构的宏伟建筑每一角落里都存在无限嵌套的回廊，促使数学家们深入研究。图中的四元朱利娅集合是一个四维分形的三维切片，它具有自相似的层次结构，适当放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
所以，BD 上的正方形比FH 上的正方形不同于圆ABCD 比大于圆EFGH 的某个面积。又已经证明了：成比例的小于圆EFGH 的面积是不存在的，所以，BD 上的正方形比FH 上的正方形等于圆ABCD 比圆EFGH 。
所以，圆与圆之比等于直径为边的正方形之比。
证完
注解
在上一命题中，圆的内接相似多边形与圆的直径上的正方形成比例。根据相似原则，其圆也成比例。
引理
若面积S 大于圆EFGH ，那么，可得面积S 比圆ABCD 同于圆EFGH 比小于圆ABCD 的某个面积。
设：面积S 比圆ABCD 同于圆EFGH 比面积T 。
求证：面积T 小于圆ABCD 。
因为，面积S 比圆ABCD 同于圆EFGH 比面积T ，所以由更比，面积S 比圆EFGH 等于圆ABCD 比面积T 。
但是，面积S 大于圆EFGH ，所以圆ABCD 大于面积T 。
因此，面积S 比圆ABCD 同于圆EFGH 比小于圆ABCD 的某个面积。
命题XII.3
任何以三角形为底的棱锥皆可分为两个相等，并与原棱锥相似又以三角形为底的三棱锥；并可分为两个相等的棱柱，两棱柱之和大于原棱锥的一半。
设：棱锥的底为三角形ABC ，D 为其顶点。
求证：棱锥ABCD 可分为两个相等且相似的棱锥，它以三角形为底，且与原棱锥相似；且可分为两个相等的棱柱，两棱柱之和大于原棱锥的一半。
在点E、F、G、H、K、L 上平分AB、BC、CA、AD、DB、DC ，连接HE、EG、GH、HK、KL、LH、KF、FG 。
因为AE 等于EB ，而AH 等于DH ，所以：EH 平行于DB 。同理，HK 也平行于AB 。所以：HEBK 是一个平行四边形。所以：HK 等于EB （命题VI.2、I.34） 。
但是，EB 等于EA ，所以：AE 也等于HK 。
又，AH 也等于HD ，所以：两边EA、AH 分别等于两边KH、HD ，∠EAH 等于∠KHD 。所以：底EH 等于底KD （命题I.4） 。
所以：三角形AEH 相似并等于三角形HKD 。同理，三角形AHG 也相似并等于三角形HLD 。
现在，因为两线段EH、HG 相交，并平行于两相交线段KD、DL 。并不在一个平面内，所以：它们所夹的角相等，所以∠EHG 等于∠KDL （命题XI.10） 。
又，因为EH、HG 分别等于KD、DL ，且∠EHG 等于∠KDL ，所以：底EG 等于底KL 。所以：三角形EHG 相似并等于三角形KDL 。同理，三角形AEG 也相似并等于三角形HKL （命题I.4） 。
所以：以三角形AEG 为底且H 为顶点的棱锥相似并等于以三角形HKL 为底且以D 为顶点的棱锥（定义XI.10） 。
又，因为，HK 平行于三角形ADB 的一边AB ，于是三角形ADB 与三角形DHK 是等角三角形，所以：它们的边成比例，三角形ADB 相似于三角形DHK 。同理，三角形DBC 也相似于三角形DKL ，三角形ADC 也相似于三角形DLH （命题I.29、定义VI.1） 。
现在，因为直线BA、AC 彼此相交并分别平行于不在同一平面的相交线段KH 和HL ，于是：它们所夹的角相等。所以：∠BAC 等于∠KHL （命题XI.10） 。
又，BA 比AC 等于KH 比HL ，所以：三角形ABC 相似于三角形HKL 。
所以：以三角形ABC 为底且以D 为顶点的棱锥，相似并等于以三角形HKL 为底且以D 为顶点的三角形。所以：棱锥AEGH 和HKLD 相似于原棱锥ABCD 。
又，因为，BF 等于FC ，所以：平行四边形EBFG 是三角形GFC 的两倍。又因为，如果两个等高的棱柱，它们分别以平行四边形和三角形为底，且平行四边形是三角形的两倍，那么，两棱柱相等。所以：包含两个三角形BKF、EHG 及三个平行四边形EBFG、EBKH、HKFG 所围成的棱柱，等于包含两个三角形GFC、HKL 及三个平行四边形KFCL、LCGH、HKFG 的棱柱（命题XI.39） 。
又，很明显，每个棱柱，即以平行四边形EBFG 为底且以线段HK 作为对棱的棱柱，与以三角形GFC 为底且以三角形HKL 为对面的棱柱，大于以三角形AEG 、三角形HKL 为底且以H、D 为顶点的棱柱。
因为，如果连接线段EF、EK ，以平行四边形EBFG 为底、以线段HK 作为对棱的棱柱，大于以EBF 为底以K 为顶点的棱锥。
又，以三角形EBF 为底、以K 为顶点的棱锥等于以三角形AEG 为底、以H 为顶点的棱锥，因为：它们由相似且相等的平面构成。
于是，以平行四边形EBFG 为底、以线段HK 作为对棱的棱柱，大于以三角形AEG 为底、以H 为顶点的棱锥。而以平行四边形EBFG 为底，以线段HK 为对棱的棱柱等于以三角形GFC 为底，且以三角形HKL 为对面的棱柱，又，以三角形AEG 为底以H 为顶点的棱锥等于以三角形HKL 为底、以D 为顶点的棱锥。
所以：两个棱柱之和大于分别以三角形AEG 、三角形HKL 为底，以H 和D 为顶点的棱锥之和。所以：以三角形ABC 为底、以D 为顶点的原棱锥被分为了两个彼此相等的棱锥和两个相等的棱柱，且分为了两个棱柱的和大于原棱锥的一半。
所以：任何以三角形为底的棱锥皆可分为两个相等，并与原棱锥相似又以三角形为底的三棱锥；并可分为两个相等的棱柱，两棱柱之和大于原棱锥的一半。
证完
注解
这一命题及接下来的六个命题处理的是棱锥的量。前两个命题依赖于命题XII.5（棱锥之比等于它们的底之比）。在上一卷里，命题XI.32说等高的平行六面体之比等于它们的底之比，命题XI.28说，三棱柱是平行六面体的一半，这两个命题暗示了本命题可以转移到以三角形为底的棱柱上来，在命题XII.3～XII.5中已经被证明。
命题XII.4
如果有两个以三角形为底且等高的棱锥，分别被分成两个相似于原棱锥的两个相等棱锥，和两个相等的棱柱，那么，其中一个棱锥的底比另一个棱锥的底，等于一个棱锥中的所有棱柱之和比另一个棱柱内同样个数的棱柱之和。
设：有以三角形ABC 、三角形DEF 为底且等高的棱锥，G 和H 分别为顶点；且它们皆分为两个相等并与原棱锥相似的棱锥和两个相等的棱柱（命题XII.3） 。
求证：底ABC 比底DEF 等于棱锥ABCG 中的棱柱之和比在棱锥DEFH 中的同等个数的棱柱之和。
因为BO 等于OC ，AL 等于LC ，所以：LO 平行于AB ，三角形ABC 相似于三角形LOC 。同理，三角形DEF 也相似于三角形RVF 。
又，因为BC 是CO 的两倍，且EF 是FV 的两倍，所以：BC 比CO 等于EF 比FV 。
又，在BC、CO 上作两个相似且位置相似的直线图形ABC、LOC ；再在EF、FV 上作两个相似且位置相似的直线图形DEF、RVF ；于是：三角形ABC 比三角形LOC 等于三角形DEF 比三角形RVF （命题VI.22） 。
于是，由更比可得，三角形ABC 比三角形DEF 等于三角形LOC 比三角形RVF 。而三角形LOC 比三角形RVF 等于以三角形LOC 为底且以三角形PMN 为对面的棱柱比以三角形RVF 为底、以STU 为对面的棱柱（命题V.16引理） 。
所以：三角形ABC 比三角形DEF 等于以LOC 为底、以PMN 为对面的棱柱比以三角形RVF 为底、以STU 为对面的棱柱。
又，两个棱柱之比，等于以平行四边形KBOL 为底、以线段PM 为对棱的棱柱比以平行四边形QEVR 为底、以线段ST 为对棱的棱柱（命题XI.39） 。
所以：两个棱柱之比，再以平行四边形KBOL 为底、以PM 为对面的棱柱，及以三角形LOC 为底且以PMN 为对面的棱柱之和，与以QEVR 为底且以线段ST 为对棱的棱柱及以三角形RVF 为底、以STU 为对面的棱柱之和的比相等（命题V.12） 。
所以：底ABC 比底DEF 等于两个棱柱之和比两个棱柱之和。
又，类似地，如果棱锥PMNG 和棱锥STUH 被分为两个棱柱和两个棱锥，那么，底PMN 比底STU 等于在棱锥PMNG 中的两个棱柱之和比在棱锥STUH 内的两个棱柱之和。
又，底PMN 比底STU 等于底ABC 比底DEF ，因为：三角形PMN 和三角形STU 分别等于三角形LOC 和三角形RVF 。
所以：底ABC 比底DEF 等于四个棱柱比四个棱柱。又，同理，如果我们分余下的棱锥成两个棱锥和两个棱柱，那么，底ABC 比底DEF 等于在棱锥ABCG 中的棱柱之和比在棱锥DEFH 中的相等个数的棱柱之和。
所以：如果有两个以三角形为底且等高的棱锥，分别被分成两个相似于原棱锥的两个相等棱锥，和两个相等的棱柱，那么，其中一个棱锥的底比另一个棱锥的底，等于一个棱锥中的所有棱柱之和比另一个棱柱内同样个数的棱柱之和。
证完
引理
三角形LOC 比三角形RVF 等于以三角形LOC 为底，且以PMN 为对面的棱柱比以三角形RVF 为底、以STU 为对面的棱柱。
设：两棱柱等高。
求证：两棱柱的相互比等于底LOC 比底RVF 。
在下方图中 （见命题XII.5） ，从G、H 点分别向平面ABC、DEF 作垂线。这即是说，它们是相等的，因为根据假设，两棱锥是等高的（命题XI.11） 。
那么，因为两条线段GC 和从G 点所作的线段被平行平面ABC、PMN 所截，所以：它们的截线有相等的比（命题XI.17） 。
又，GC 被平面PMN 在N 点所平分，所以：从G 点向平面ABC 所作的垂线也被平面所平分。同理，从H 向平面DEF 所作的垂线段也被平面STU 所平分。
又，从G、H 点向平面ABC 、平面DEF 所作的垂线相等，所以：从三角形PMN 、三角形STU 向平面ABC 、平面DEF 所作的垂线也相等。
所以：以三角形LOC 、三角形RVF 为底，以三角形PMN 、三角形STU 为对面的棱柱是等高的。
于是，由上述两棱柱构成的等高的两个平行六面体之比等于它们的底边之比。所以：它们的一半，即两棱柱的相互比等于底LOC 比底RVF （命题XI.32、XI.28） 。
证完
注解
这一命题从属于下一命题XII.5，在下一个命题中，以三角形为底且等高的棱锥与它们的底成比例。
命题XII.5
以三角形为底且等高的棱锥之比等于两底之比。
设：两个以三角形ABC、DEF 为底，以点G、H 为顶点且等高的棱锥。
求证：底ABC 比底DEF 等于棱锥ABCG 比棱锥DEFH 。
因为，如果棱锥ABCG 比棱锥DEFH 不等于底ABC 比底DEF ，那么：底ABC 比底DEF 也不等于棱锥ABCG 比小于或者大于棱锥DEFH 的某个立体。
首先，令其属于第一种情况，其中成比例的是一个较小的立体W 。
将棱锥DEFH 分为两个相等且相似于原棱锥的棱锥，和两个相等的棱柱。
而两个棱柱大于原棱锥的一半（命题XII.3） 。
再，类似地两分所得棱锥，依次继续，直到由棱锥DEFH 得到某些小于棱锥DEFH 与立体W 的差的棱锥（命题X.1） 。
令：所得棱锥是DQRS 和STUH 。那么：其余量，即在棱锥DEFH 内剩下的棱柱之和大于立体W 。
类似地，依照分棱锥DEFH 的次数，再分棱锥ABCG ，于是：底ABC 比底DEF 等于在棱锥ABCG 中的棱柱之和比棱锥DEFH 中的棱柱之和（命题XII.4） 。
又，底ABC 比底DEF 等于棱锥ABCG 比立体W ，于是：棱锥ABCG 比立体W 等于在棱锥ABCG 中的棱柱之和比在棱锥DEFH 中的棱柱之和。所以：由更比可得，棱锥ABCG 比在它中的棱柱之和等于立体W 比在棱锥DEFH 中的棱柱之和（命题V.11、V.16） 。
又，棱锥ABCG 大于在它中的所有棱柱之和，所以：立体W 也大于在棱锥DEFH 中的所有棱柱之和。
又，它也小于，这是不可能的。
所以：棱柱ABCG 比小于棱锥DEFH 的任何立体也不等于底ABC 比底DEF 。
类似地，也可以证明，棱锥DEFH 比小于棱锥ABCG 的任何立体也不等于底DEF 比底ABC 。
进一步说，棱锥ABCG 比任何大于棱锥DEFH 的立体也不等于底ABC 比底DEF 。
因为：如果可能，令其比较大的立体W 有此比。
于是：由反比可得，底DEF 比底ABC 等于立体W 比棱锥ABCG 。
又，以前已经证明，立体W 比立体ABCG 等于棱锥DEFH 比某个小于棱锥ABCG 的立体，所以：底DEF 比底ABC 等于棱锥DEFH 比小于棱锥ABCG 的某个立体，这已经证明是荒谬的（命题XII.2、V.11） 。
所以：棱锥ABCG 比任何大于棱锥DEFH 的立体不等于底ABC 比底DEF 。
这点已证明是不合理的。
所以：底ABC 比底DEF 等于棱锥ABCG 比棱锥DEFH 。
所以：以三角形为底且等高的棱锥之比等于两底之比。
证完
注解
下一命题归纳这一命题，棱锥之底可能是任意多边形，不仅仅是三角形。在下一命题中，本命题用来表明棱柱可以被切分为三个相等的棱锥。
命题XII.6
以多边形为底且等高的棱锥之比等于两底的比。
设：两个棱锥以多边形ABCDE 和多边形FGHKL 为底，M、N 为顶点且等高。
求证：底ABCDE 比底FGHKL 等于棱锥ABCDEM 比棱锥FGHKLN 。
连接AC、AD、FH 和FK 。
那么，因为ABCM 和ACDM 是两个以三角形为底且等高的棱锥，所以：它们的相互比等于它们的底之比。所以：底ABC 比底ACD 等于棱锥ABCM 比棱锥ACDM 。又，由合比可得，底ABCD 比底ACD 等于棱锥ABCDM 比棱锥ACDM （命题XII.5、V.18） 。
又，底ACD 比底ADE 等于棱锥ACDM 比棱锥ADEM （命题XII.5） 。
所以：由首末比可得，底ABCD 比底ADE 等于棱锥ABCDM 比棱锥ADEM （命题V.22） 。
又，由合比可得，底ABCDE 比底ADE 等于棱锥ABCDEM 比棱锥ADEM 。类似地，也可以证明，底FGHKL 比底FGH 等于棱锥FGHKLN 比棱锥FGHN （命题V.18） 。
又，因为，ADEM 和FGHN 是两个以三角形为底且等高的棱锥，所以：底ADE 比底FGH 等于棱锥ADEM 比棱锥FGHN （命题XII.5） 。
又，底ADE 比底ABCDE 等于棱锥ADEM 比棱锥ABCDEM 。所以：由首末比可得，底ABCDE 比底FGH 等于棱锥ABCDEM 比棱锥FGHN （命题V.22） 。
但是，底FGH 比底FGHKL 等于棱锥FGHN 比棱锥FGHKLN 。
所以，由首末比得，底ABCDE 比底FGHKL 等于棱锥ABCDEM 比棱锥FGHKLN 。
所以：以多边形为底且等高的棱锥之比等于两底的比。
证完
对数螺线
这只美丽的鹦鹉螺呈现出对数螺线的迷人形态。自然之造化决不满足于一些简单的图形，它往往包含着错综复杂的数学设计。千姿百态的曲线和曲面与圆锥曲线在尚无解析工具的情况下就为人们所关注。阿基米德深入讨论过螺线，笛卡儿研究过对数螺线。变量数学来临之后，更多的曲线纷至沓来，竞相媲美。在人类创作的艺术作品中，曲线无处不在。
注解
本命题应用在命题XII.10、XII.11中。
命题XII.7
任何一个以三角形为底的棱柱可以分成三个相等的以三角形为底的棱锥。
设：以三角形ABC 为底的棱柱且DEF 为其对面。
求证：棱柱ABCDEF 可分为三个以三角形为底的彼此相等的棱锥。
连接BD、EC 和CD 。
因为ABED 是个平行四边形，BD 为其对角线，于是：三角形ABD 全等于三角形EBD 。于是：以三角形ABD 为底且C 为其顶点的棱锥等于以三角形DEB 为底以C 为顶点的棱锥（命题I.34、XII.5） 。
又，以三角形DEB 为底且以C 为顶点的棱锥，等于以三角形EBC 为底且以D 为顶点的棱锥，因为它们由共同的面构成。
所以：以三角形ABD 为底且以C 为顶点的棱锥也等于以三角形EBC 为底且以D 为顶点的棱锥。
又，因为，FCBE 是平行四边形，CE 为其对角线，于是：三角形CEF 等于三角形CBE （命题I.34） 。
所以：以三角形BCE 为底、以D 为顶点的棱锥等于以三角形ECF 为底、以D 为顶点的棱锥（命题XII.5） 。
又，以三角形BCE 为底、以D 为顶点的棱锥也已被证明等于以三角形ABD 为底、以C 为顶点的棱锥，所以：以三角形CEF 为底、以D 为顶点的棱锥等于以三角形ABD 为底、以C 为顶点的棱锥。所以：棱柱ABCDEF 被分成三个相互相等的棱锥，且皆以三角形为底。
又，以三角形ABD 为底、以C 为顶点的棱锥等于以三角形CAB 为底、以D 为顶点的棱锥，因为它们由相等的平面构成，且以三角形ABD 为底、以C 为顶点的棱锥，已经被证明是以三角形ABC 为底、DEF 为其对面的棱柱的三分之一。所以：以ABC 为底、以D 为顶点的棱锥等于以相等底ABC 为底、以DEF 为对面的棱柱的三分之一。
所以：任何一个以三角形为底的棱柱可以分成三个相等的以三角形为底的棱锥。
证完
推论
这一命题也表明，任何棱锥等于与它同底等高的棱柱的三分之一。
注解
本命题应用在以下两个命题中。
命题XII.8
以三角形为底的相似棱锥之比是它们对应边的三次比。
设：有以三角形ABC 、三角形DEF 为底，以G、H 为顶点的两个相似且有相似位置的棱锥。
求证：棱锥ABCG 比棱锥DEFH 等于BC 与EF 的三次比。
作平行六面体BGML 和平行六面体EHQP 。
那么，因为棱锥ABCG 与棱锥DEFH 相似，所以：∠ABC 等于∠DEF ，∠GBC 等于∠HEF ，∠ABG 等于∠DEH ；且AB 比DE 等于BC 比EF ，又等于BG 比EH 。
又，因为AB 比DE 等于BC 比EF ，且夹等角的边对应成比例，所以：平行四边形ABCM 相似于平行四边形DQFE 。同理，BCNG 也相似于EFRHE ，ABGK 相似于EHOD 。
所以：三个平行四边形ABCM、ABGK、BCNG 分别相似于DEFG、EHOD、EFRH 。且三个平行四边形ABCM、ABGK、BCNG 分别相似且相等于它们的对面，DEFG、EHOD、EFRH 也分别相似且相等于它们的三个对面（命题XI.24） 。
所以：立体BGML 和立体EHQP 是由同样多的相似面构成的。所以：立体BGML 相似于立体EHQP 。
又，相似平行六面体之比是它们对应边的三次比，所以：立体BGML 比立体EHQP 等于它们的对应边BC 与EF 的三次比（命题XI.33） 。
所以：立体BGML 比立体EHQP 等于棱锥ABCG 比棱锥DEFH ，棱锥是平行六面体的六分之一，因为，棱柱是平行六面体的一半，且又是棱锥的三倍。所以：棱锥ABCG 比棱锥DEFH 等于它们的对应边BC 与EF 的三次比（命题XI.28、XII.7） 。
所以：以三角形为底的相似棱锥之比是它们对应边的三次比。
证完
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。河中有一小岛，河上有七座桥，将被河流隔开的三片市区A、C、D 和小岛B 连接起来。一天，有人提出疑问：能不能每座桥只走一遍，最后又回到原来的位置。1736年，欧拉证明了这样的路线是不可能的。欧拉把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作是这四个点之间的连线，并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。哥尼斯堡七桥问题被看作是拓扑学的先声。
引理
这一命题也表明，以多边形为底的相似棱锥的比，等于它们对应边的三次比。
因为，如果把它们分成以三角形为底的棱锥，把以相似多边形为底的也分为同样个数的彼此相似的三角形，各对应三角形之比等于整体之比。
于是：两棱锥各对应的以三角形为底的棱锥的比，等于两棱锥内以三角形为底的所有棱锥之和的比，即是等于以原多边形为底的棱锥之比。
但是，以三角形为底的棱锥比以三角形为底的棱锥等于它们对应边的三次比；所以也有，以多边形为底的棱锥与相似多边形为底的棱锥的比等于它们对应边的三次比。
注解
本命题应用在命题XII.12中，表明相似圆锥之比是它们底的直径的三次比，也用在命题XII.17的推论中。
命题XII.9
以三角形为底的相等的棱锥，底与高成逆比例；反之，底与高成逆比例的棱锥是相等棱锥。
设：有以三角形ABC 、三角形DEF 为底、以G、H 为顶点的两个相等的棱锥。
