类似地，我们也能证明，连接X到P 的线段分别等于线段BX、XK 。
所以：以X 为圆心且以XB 或XK 为半径的圆过点P、S ，且KBPS 是圆内接四边形。
现在，因为KB 大于WV ，而WV 等于SP ，所以：KB 大于SP 。而KB 分别等于线段KS 和BP ，所以：KS、BP 皆大于SP 。
又，因为，KBPS 是圆内的四边形，且KB、BP、KS 相等，且PS 小于它们，且BX 是圆的半径。所以：KB 上的正方形大于BX 上的正方形的两倍。
从K 点作KZ 垂直于BV （命题I.12） 。
那么，因为BD 小于两倍DZ、BD 比DZ 等于DB、BZ 构成的矩形比DZ、ZB 构成的矩形，如果BZ 上的一个正方形，在ZD 上的平行四边形，那么，DB、BZ 构成的矩形也小于DZ、ZB 构成的矩形的两倍。
又，如果连接KD ，那么，DB、BZ 构成的矩形等于BK 上的正方形，且DZ、ZB 构成的矩形等于KZ 上的正方形。所以：KB 上的正方形小于KZ 上的正方形的两倍（命题I.46、III.31，命题VI.18及其推论） 。
又，KB 上的正方形大于BX 上的正方形的两倍，所以：KZ 上的正方形大于BX 上的正方形。又，因为，BA 等于KA ，所以：BA 上的正方形等于AK 上的正方形。
又，BX、XA 上的正方形之和等于BA 上的正方形，且KZ、ZA 上的正方形之和等于KA 上的正方形，所以：BX、XA 上的正方形之和等于KZ、ZA 上的正方形之和。在它们中，KZ 上的正方形大于BX 上的正方形，所以：余量，即ZA 上的正方形小于XA 上的正方形（命题I.47） 。
所以：AX 大于AZ ，AX 比AG 大得多。
又，AX 是多面体底上的一条垂线，且AG 在小球的球面上，因此：多面体与小球的球面不相切。
所以：已知两个同心球，可在大球内作内接多面体，与小球不相切。
证完
推论
如果一个在另外一个球里的内接多面体相似于球BCDE 的内接多面体，那么，在球BCDE 的内接多面体比在另一球的内接多面体等于此二球直径的三次比。
因为：此二立体可以依顺序分为相似且数量相等的棱锥。
而，相似棱锥之比等于它们对应边的三次比。所以：以四边形KBPS 为底、以A 为顶点的棱锥比另一球内按顺序相似棱锥等于对应边与对应边的三次比，即以A 为球心的球的半径与另一球的半径的三次比（命题XII.18及其推论） 。
类似地，在以A 为心的球中的每个棱锥比另一球中按顺序相似的棱锥等于AB 与另一球的半径的三次比。
又，前项之一比后项之一等于所有前项之和比所有后项之和，因此：在以A 为球心的球内的整体多面体比另一球内的整体多面体等于AB 与另一球半径的三次比，即，直径BD 与另一球直径的三次比（命题V.12） 。
证完
注解
本命题及其推论的目的是分离同心的球，以便在下一个命题（XII.18）中证明球之比，是其直径的三次比。
命题XII.18
球之比等于它们直径的三次比。
设：ABC 和DEF 为球，它们的直径分别为BC、EF 。
求证：球ABC 比球DEF 等于BC 与EF 的三次比。
如果球ABC 与球DEF 之比不等于BC 与EF 的三次比，那么，球ABC 与某个小于或者大于球DEF 的球之比，等于BC 与EF 的三次比。
首先，令球GHK 等于此比。
令球DEF 与球GHK 是同心的，再令在大球DEF 内有一个内接多面体，它与小球GHK 不相切（命题XII.17） 。
又，在球ABC 内作内接多面体相似于球DEF 内的内接多面体。所以：在球ABC 内的内接多面体比在球DEF 内的内接多面体，等于BC 与EF 的三次比（命题XII.17及其推论） 。
又，球ABC 比球GHK 等于BC 与EF 的三次比，所以：球ABC 比球GHK 等于球ABC 内的多面体比球DEF 内的多面体，又，由更比可得，球ABC 比在它内的多面体等于球GHK 比球DEF 内的多面体（命题V.16） 。
又，球ABC 大于在它内的多面体。所以：球GHK 也大于球DEF 内的多面体（命题V.14） 。
又，它也小于球DEF 中的多面体，因为，它包含它。所以：球ABC 比小于球DEF 的某个球不等于BC 与EF 的三次比。
类似地，我们也可证明，球DEF 比小于球ABC 的某个球也不等于EF 与BC 的三次比。
进一步说：球ABC 比任意一个大于球DEF 的球不等于BC 与EF 的三次比。
因为，如果可能，令能有这个比值的是一个较大的球LMN ，所以：由反比可得，球LMN 比球ABC 等于EF 与BC 的三次比。
又，因为，LMN 大于DEF ，所以：球LMN 比球ABC 等于球DEF 比某个小于球ABC 的球，如同前面的证明（命题XII.2、引理） 。
所以：球DEF 比小于球ABC 的某个球，等于EF 与BC 的三次比，这已证明是不可能的。所以：球ABC 比某个大于球DEF 的球不等于BC 与EF 的三次比。
又，已证明，球ABC 比某小于球DEF 的球，也不等于BC 与EF 的三次比。
所以：球ABC 比球DEF 等于BC 与EF 的三次比。
所以：球之比等于它们直径的三次比。
证完
阿拉伯教科书中的毕达哥拉斯定理
有一个数学定理是每一个人在学校都要学习的，这个定理就是毕达哥拉斯定理。但是远在毕达哥拉斯出生前，这一定理就早已广为人知。这一定理的存在使得我们可以比较不同文化背景下的古代数学家的数学模式及他们关注的问题。
注解
本命题是该卷的结束命题。
本命题是重要的，它是球体研究的开始。欧几里得在命题XII.10中已证明了同底同高圆锥是其圆柱的三分之一，但他没有发现球与圆柱的比率。在欧几里得以后一个世纪，阿基米德解决了这一问题，同时他也解决了更困难的球的面的问题。球同圆柱的比率为4∶3，因为圆柱的体积，同其底与高成比例，于是球、圆柱、圆锥的体积皆可根据圆面积求得。使用代数项表示，即是，设π代表圆与圆半径上的正方形的比率，圆柱、圆锥的底面半径和高均为r 和h ，那么圆柱的体积是πr 2 h ；圆锥是πr 2 h /3；以r 为半径的球体的体积是4πr 3 /3。
第13卷
作正多面体
CHAPTER 13
1623年，伽利略在《分析家》中说道：“这是一部关于哲学的著作。这里，我指的就是我们眼前的宇宙。但是，如果没有第一个人像本书那样去理解宇宙的内部性质以及去描述宇宙的特征，那么，我们就不能理解宇宙。本书使用数学的语言，用三角、圆和其他几何图形来描述宇宙的几何特征。只有这样，人类才能理解宇宙。否则，人类就只能像是进入迷宫一般，左右徘徊。”
本卷仍然论述立体几何，重点是正多面体的作图。
本卷提要
※命题XIII.9，作圆内的六面体和十面体。黄金比率。
※命题XIII.10，作六面体和十面体的内切圆。黄金比率。
※命题XIII.10，当五面体、六面体、十面体内接于一圆，五面体的一边上的正方形等于六面体的一边上的正方形与十面体一边上的正方形之和。
※命题XIII.13、XIII.14、XIII.15、XIII.16、XIII.17，作各种正多面体形。
※命题XIII.18，对前面五个正多面体进行比较。
命题XIII.1
如果一条线段被分成中外比，那么，大线段与原线段一半之和上的正方形，等于原线段一半上的正方形的五倍。
设：线段AB 在C 点被分为中外比，AC 为大线。延长线段CA 到D ，使AD 等于AB 的一半。
求证：CD 上的正方形是AD 上的正方形的五倍。
在AB、DC 上分别作正方形AE、DF ，且设在DF 上的图形已作成，令FC 过G 点（命题I.46） 。
那么，因为AB 在C 点被分为中外比，所以：由AB、BC 构成的矩形等于AC 上的正方形。又，CE 是由AB、BC 构成的矩形，且FH 是AC 上的正方形；所以：CE 等于FH （定义VI.3、命题VI.17） 。
又，因为BA 是AD 的两倍，同时BA 等于KA ，且AD 等于AH ，所以：KA 也是AH 的两倍。
又，KA 比AH 同于CK 比CH ，所以：CK 是CH 的两倍。又，LH、HC 之和也是CH 的两倍，所以：KC 等于LH、HC 之和（命题VI.1） 。
又，CE 已被证明等于HF ，所以：AE 上的整体正方形等于折尺形MNO 。
又，因为：BA 是AD 的两倍，所以：BA 上的正方形等于AD 上的正方形的四倍，即，AE 等于DH 的四倍。
又，AE 等于折尺形MNO ，所以：折尺形MNO 也是AP 的四倍；所以：整体DF 是AP 的五倍。
又，DF 是DC 上的正方形，AP 是DA 上的正方形，所以：CD 上的正方形是DA 上的正方形的五倍。
所以：如果一条直线被分成中外比，那么，大线段与原线段一半之和上的正方形，等于原线段一半上的正方形的五倍。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.16、XIII.17中作二十面体和十二面体的边。
命题XIII.2
如果一条线段上的正方形是它的部分线段为边的正方形的五倍，那么，这些线段的两倍被分成中外比时，其中较长的线是原线的所余部分。
设：线段AB 上的正方形是它的部分线段AC 上的正方形的五倍，令CD 是AC 的两倍。
求证：当CD 被分成中外比时，较大线段是CB 。
在AB、CD 上分别作正方形AF、CG ，在AF 上作图形，作出BE （命题I.46） 。
现在，因为BA 上的正方形是AC 上的正方形的五倍，所以：正方形ABFC 是正方形ACHP 的五倍。所以：折尺形MNO 是正方形ACHP 的四倍。
又，因为DC 是CA 的两倍，所以：DC 上的正方形是CA 上的正方形的四倍，即，正方形CKGD 是正方形ACHP 的四倍。而折尺形MNO 也是正方形ACHP 的四倍，所以：折尺形MNO 等于正方形CKGD 。
又，因为DC 是CA 的两倍，同时，DC 等于CK ，而AC 等于CH ，所以：KB 也等于BH 的两倍（命题VI.1） 。
又，面LPHS 、面HCBD 之和也是面HCBD 的两倍，所以：面CKEB 等于面LPHS 、面HCBQ 之和。
又，总折尺形MNO 也被证明等于总CKGD ，所以：余量SHQF 等于面BEGD 。
又，面BEGD 等于CD、DB 构成的矩形，因为，CD 等于DG ，且SHQF 是CB 上的正方形，所以：CD、DB 构成的矩形等于CB 上的正方形。
所以：DC 比CB 同于CB 比BD 。又，DC 大于CB ，所以：CB 也大于BD 。
所以：当线段CD 被分成中外比时，CB 是较大线段。
所以：如果一条线段上的正方形是它的部分线段为边的正方形的五倍，那么，这些线段的两倍被分成中外比时，其中较长的线是原线的所余部分。
证完
引理
也可证明出：两倍AC 大于BC 。
如果不是，设BC 是CA 的两倍。
于是：BC 上的正方形等于CA 上的正方形的四倍。
所以：BC、CA 上的正方形之和是CA 上的正方形的五倍。而，根据假设，BA 上的正方形也是CA 上的正方形的五倍。
所以：BA 上的正方形等于BC、CA 上的正方形之和，这是不可能的（命题VI.1） 。所以：CB 不是AC 的两倍。
类似地，我们也可以证明出，线段CA 的两倍不小于CB ；因为这更不合理了。
所以：AC 的两倍大于CB 。
证完
注解
这一命题没有在《原本》中再得以利用，它是命题XIII.1的逆命题。
命题XIII.3
如果一条线段被分成中外比，那么，较小线段与大线段的一半之和上的正方形，是大线段一半上的正方形的五倍。
设：点C 分线段AB 为中外比，AC 为较大线段，AC 被D 点平分。
求证：BD 上的正方形是DC 上的正方形的五倍。
作正方形AL'EB 是AB 上的正方形，且设已作出图形（命题I.46） 。
因为AC 是DC 的两倍，所以：AC 上的正方形是DC 上的正方形的四倍，即面RL'SU 是面GKFU 的四倍。
又，因为AB、BC 构成的矩形等于AC 上的正方形，而面CSEB 是AB、BC 构成的矩形，所以：面CSEB 等于面RL'SU 。
又，面RL'SU 是面GKFU 的四倍，所以：面CSEB 也是面GKFU 的四倍。
又，因为AD 等于DC ，所以：HK 也等于KF 。
因此：正方形GKFU 等于正方形HL'LK 。
所以：GK 等于KL ，即，MN 等于NE ，因此：正方形UFNM 等于FSEN 。
而，正方形UFNM 等于DGUC ，所以：DGUC 等于FSEN 。
以上两正方形与CFNB 相加，所以：折尺形OPQ 等于CSEB 。
又，面CSEB 已经被证明等于GKFU 的四倍，所以：折尺形OPQ 也等于正方形GKFU 的四倍，所以：折尺形OPQ 和正方形GKFU 之和等于GKFU 的五倍。
又，折尺形OPQ 与正方形GKFU 之和是正方形DKNB 。又，DKNB 是DB 上的正方形，且GKFU 是DC 上的正方形，所以：DB 上的正方形是DC 上的正方形的五倍。
所以：如果一条线段被分成中外比，那么，较小线段与大线段的一半之和上的正方形，是大线段一半上的正方形的五倍。
证完
注解
这一结果应用在命题XIII.16中，证明二十面体是给定球的内接多面体。
命题XIII.4
如果一条线段被分成中外比，那么，整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和，是较大线段上的正方形的三倍。
设：AB 在C 点被分为中外比，AC 为较大线。
求证：AB、BC 上的正方形之和是CA 上的正方形的三倍。
在AB 上作正方形ADEB ，且设图形已作出（命题I.46） 。
那么，因为AB 在C 点被分成中外比，AC 为较大线段，于是：AB、BC 构成的矩形等于AC 为边的正方形（定义VI.3、命题VI.17） 。
又，AHKB 是由AB、BC 构成的矩形。且HDGF 是AC 上的正方形，所以：正方形AHKB 等于HDGF 。
又，因为面AHFC 等于EKFG ，令正方形CFKB 与以上两个面相加，于是，整体AHKB 等于整体CBEG ，所以：面AHKB、CGEB 之和等于AK 的两倍。而AK、CE 之和等于折尺形LMN 与正方形CFKB 之和，所以：折尺形LMN 与正方形CFKB 之和是面AHKB 的两倍。
又，进一步，面AHKB 也被证明等于面HDGF ，所以：折尺形LMN 与正方形CFKB 、面HDGF 之和是正方形HDGF 的三倍。
又，折尺形LMN 与正方形CFKB 、面HDGF 之和是整体正方形ADEB、CFKB 之和，它也是AB、BC 上的正方形之和，同时面HDGF 是AC 上的正方形。
所以：AB、BC 上的正方形之和是AC 上的正方形的三倍。
所以：如果一条线段被分成中外比，那么，整体线上的正方形与较小线段上的正方形之和，是较大线段上的正方形的三倍。
证完
注解
这一命题和下面三个命题皆是为命题XIII.17做的准备，在这一命题中，作十二面体。
命题XIII.5
如果一条线段被分为中外比，且有一条等于较大线段的线段与之相加，那么，整体线段也被分为中外比，原线段为其较大的线段。
设：线段AB 在C 点被分为中外比，AC 为较大线段，AD 等于AC 。
求证：DB 在A 点被分为中外比，原线段AB 是大线段。
在AB 上作正方形AJEB ，且设已作出图形（命题I.46） 。
因为AB 在C 点被分成中外比，所以：AB、BC 构成的矩形等于AC 上的正方形（定义VI.3、命题VI.17） 。
又，面CMEB 是AB、BC 构成的矩形，AHOC 是AC 上的正方形，所以：面CMEB 等于AHOC 。
又，面HJEK 等于面CMEB ，且DLHA 等于AHOC ，所以：DLHA 也等于HJEK 。
所以：整体DLKB 等于整体AJEB 。
又，DLKB 是由BD、DA 构成的矩形，因为AD 等于DL ，且AJEB 是AB 上的正方形，所以：BD、DA 构成的矩形等于AB 上的正方形。
所以：DB 比BA 同于BA 比AD ，且DB 大于BA ，所以：BA 也大于AD （命题VI.17、V.14） 。
所以：DB 在A 点被分成中外比，AB 为大线段。
所以：如果一条线段被分为中外比，且有一条等于较大线段的线段与之相加，那么，整体线段也被分为中外比，原线段为其较大的线段。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.17中，一个十二面体被作出。
命题XIII.6
如果一条有理线被分成中外比，那么，两部分线段是无理线段，称为余线。
设：AB 在C 点被分成中外比，AC 为较大线。
求证：线段AC、CB 是被称为余线的无理线段。
延长BA ，使AD 等于BA 的一半。
那么，因为线段AB 被分为中外比，在大线段AC 上加AD ，AD 是AB 的一半，于是：CD 上的正方形是DA 上的正方形的五倍（命题XIII.1） 。
所以：CD 上的正方形比DA 上的正方形同于一个数比一个数。所以：CD 上的正方形与DA 上的正方形是可公约的（命题X.6） 。
又，DA 上的正方形是有理的，因为DA 是有理的，AB 的一半是有理的，所以：CD 上的正方形也是有理的。所以：CD 也是有理的（命题X.4） 。
又，因为CD 上的正方形比DA 上的正方形不同于一个平方数与一个平方数之比，所以：CD 与DA 是长度不可公约的，CD、DA 是仅正方可公约的有理线，AC 是余线（命题X.9、X.73） 。
又，因为AB 被分成中外比，且AC 是大线段，所以：AB、BC 构成的矩形等于AC 上的正方形（定义VI.3、命题VI.17） 。
巴克沙手稿
印度有文字可考的历史最早记录发生在吠陀时期，时间跨度从公元前3世纪到公元10世纪。1881年发掘出的巴克沙手稿，成为公元前2世纪至公元3世纪期间印度数学的唯一见证。这些书写在桦树皮上的手稿，记载有丰富的数学内容，涉及分数、平方根、数列、收支与利润计算。特别值得注意的是，手稿中出现了完整的十进制数码，其中用到“·”来表示数码“0”。
所以：余线AC 上的正方形，如果等于有理线段AB、BC 构成的矩形。而余线为边的正方形如果等于一条有理线段和第一余线构成的矩形，于是：CB 是第一余线。又，CA 也被证明为一条余线（命题X.97） 。
所以：如果一条有理线被分成中外比，那么，两部分线段是无理线段，称为余线。
证完
注解
赫斯认为，本命题是后人伪造插入进来的。
这一命题应用在命题XIII.17的十二面体建造之中，以证明五边形的边是无理线（称为余线）。
命题XIII.7
如果一个等边的五边形，有三个相邻或者不相邻的角相等，那么，它是等角五边形。
首先，设在等边五边形ABCDE 中，相邻角∠BAE 、∠ABC 、∠BCD 相互相等。
求证：五边形ABCDE 是等角的。
连接AC、BE、FD 。
那么，因为边CB、BA 分别等于边BA、AE ，且∠CBA 等于∠BAE ，所以：底AC 等于底BE ，三角形ABC 全等于三角形ABE ，即，它们是对着等边的角，即∠BCA 等于∠BEA ，且∠ABE 等于∠CAB （命题I.4） 。
因此：边AF 也就等于边BF （命题I.6） 。
又，整体AC 等于整体BE ，所以：余量FC 等于余量FE 。又，CD 等于DE 。所以：边FC、CD 分别等于边FE、ED ，且底FD 是它们的公共边。所以：∠FCD 等于∠FED （命题I.8） 。
又，∠BCA 也被证明等于∠AEB ，所以：整体∠BCD 等于整体∠AED 。且，根据假设，∠BCD 等于在A、B 点的角。所以：∠AED 也等于在A 点和B 点的角。类似地，我们可以证明，∠CDE 也等于在A 点、B 点和C 点的角，所以：五边形ABCDE 是等角的。
再设：已知等角不是相邻角，即A、C、D 处的角是相等的。
求证：在这一情况下，五边形ABCDE 也是等角的。
连接BD 。
那么，因为BA、AE 两边分别等于BC、CD 两边，且它们包含等角，所以：底BE 等于底BD ，三角形ABE 全等于三角形BCD ，所以∠AEB 等于∠CDB （命题I.4） 。
又，∠BED 也等于∠BDE ，因为边BE 等于边BD （命题I.5） 。
所以：整体∠AED 也等于整体∠CDE 。
又，根据假设，∠CDE 等于在A 点和C 点的角，所以：∠AED 也等于在A 点和C 点的角。
同理，∠ABC 也等于在A、C、D 点的角，所以：五边形ABCDE 是等角的。
所以：如果一个等边的五边形有三个相邻或者不相邻的角相等，那么，它是等角五边形。
证完
注解
本命题被命题XIII.17所用。
命题XIII.8
如果在正五边形中，用线段依次连接相对两角，那么，其连线交成中外比，且大线等于五边形的边。
设：在正五边形ABCDE 中，对角线AC、BE 在H 点相交。
求证：它们皆在H 点被分成中外比，其大线等于五边形的边。
在圆ABCDE 上作内接五边形ABCDE （命题IV.14） 。
那么，因为两条线段EA、AB 等于两条线段AB、BC ，它们所夹的角相等，所以：底BE 等于底AC ，三角形ABE 等于三角形ABC ，且，余角分别等于余角，即等边所对的角（命题I.4） 。
所以：∠BAC 等于∠ABE ，∠AHE 是∠BAH 的两倍（命题I.32） 。
又，∠EAC 是∠BAC 的两倍，因为：弧EDC 也是弧CB 的两倍（命题III.28、VI.33） 。
所以：∠HAE 等于∠AHE 。
因此：线段HE 也等于线段EA ，即AB （命题I.6） 。
又，因为线段BA 等于AE ，所以：∠ABE 也等于∠AEB （命题I.5） 。
又，∠ABE 已经被证明等于∠BAH ，所以：∠BEA 也等于∠BAH 。
又，∠ABE 是三角形ABE 与三角形ABH 的公共角，所以：∠BAE 等于∠AHB 。所以：三角形ABE 与三角形ABH 是等角三角形（命题I.32） 。
所以：成比例地，EB 比BA 同于AB 比BH （命题VI.4） 。
又，BA 等于EH ，所以：BE 比EH 同于EH 比HB 。
又，BE 大于EH ，所以：EH 大于HB （命题VI.14） 。
所以：BE 在H 点被分成中外比，且大线段HE 等于正五边形的边。
类似地，我们可以证明出，AC 也在H 点被分为中外比，大线CH 等于五边形的边。
所以：如果在正五边形中，用线段依次连接相对两角，那么，其连线交成中外比，且大线等于五边形的边。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.11的证明中，以作内接于圆（直径为有理线段）的正五边形，该边是无理线段。
命题XIII.9
如果内接于同一个圆内的正六边形的一边和正十边形的一边相加，那么，总线段可分成中外比，且大线段是正六边形的一边。
设：ABC 为圆，BC 是内接于圆的正十边形的边，CD 是内接于圆的正六边形的边，且它们在同一直线上。
求证：总线段BD 被分成中外比，CD 是大线段。
令：E 为圆心，连接EB、EC、ED ，延长EB 至A （命题III.1） 。
因为BC 是正十边形的边，所以：弧ACB 是弧BC 的五倍，弧AC 是弧CB 的四倍。
又，弧AC 比弧CB 同于∠AEC 比∠CEB ，所以：∠AEC 是∠CEB 的四倍（命题VI.33） 。
又，因为∠EBC 等于∠ECB ，所以：∠AEC 是∠ECB 的两倍（命题I.5、I.32） 。
又，线段EC 等于CD ，因为：它们等于内接于圆ABC 的正六边形的边，所以：∠CED 也等于∠CDE ，∠ECB 是∠EDC 的两倍（命题IV.15及其推论，命题I.5、I.32） 。
又，∠AEC 已经证明等于∠ECB 的两倍，所以：∠AEC 等于∠EDC 的四倍。又，∠AEC 已经被证明等于∠BEC 的四倍，所以：∠EDC 等于∠EBC 。
又，∠EBD 是两个三角形BEC 和BED 的公共角，所以：∠BED 等于∠ECB 。所以：三角形EBD 与三角形EBC 是等角三角形（命题I.32） 。
所以：有比例，DB 比BE 同于EB 比BC （命题VI.4） 。
又，EB 等于CD ，所以：BD 比DC 同于DC 比CB 。又，BD 大于DC ，所以：DC 大于CB 。
所以：线段BD 被分成中外比，且DC 是大线段。
所以：如果内接于同一个圆内的正六边形的一边和正十边形的一边相加，那么，总线段可分成中外比，且大线段是正六边形的一边。
证完
注解
这一结果应用在命题XIII.16、XIII.18中以作正二十面体。
命题XIII.10
一个内接于圆的等边五边形，其一边上的正方形，等于同圆内的内接正六边形一边上的正方形与内接正十边形一边上的正方形之和。
设：ABCDE 为圆，等边五边形ABCDE 内接于圆ABCDE 。
求证：五边形ABCDE 一边上的正方形等于圆ABCDE 的内接正六边形一边上的正方形和内接正十边形一边上的正方形之和。
令：F 为圆心，连接AF 延长至G 点，连接FB ，从F 作FH 垂直于AB 且交圆于K ，交AB 于H ，连接AK、KB ，从F 作FL 垂直于AK 且交圆于M ，交AK 于L ，连接KN （命题III.1、I.12） 。
因为弧ABCG 等于弧AEDG ，其中，弧ABC 等于弧AED ，所以：余量弧CG 等于余量弧GD 。
而，CD 属于一个正五边形的边，所以：CG 属于一个正十边形的边。
又，因为FA 等于FB ，FH 是垂线，所以：∠AFK 等于∠KFB （命题I.5、I.26） 。
因此，弧AK 等于弧KB ，所以：弧AB 等于弧BK 的两倍。所以：线段AK 是正十边形的一边。同理，AK 是KM 的两倍（命题III.26） 。
现在，因为弧AB 是弧BK 的两倍，同时，弧CD 等于弧AB ，所以：弧CD 也是弧BK 的两倍。
又，弧CD 也是弧CG 的两倍，所以：弧CG 等于弧BK 。而BK 是KM 的两倍，因为KA 也是KM 的两倍，所以：CG 也是KM 的两倍。
再进一步，弧CB 也是弧BK 的两倍，因为，弧CB 等于弧BA 。所以：弧GB 也是弧BM 的两倍。因此：∠GFB 是∠BFM 的两倍（命题VI.33） 。
又，∠GFB 是∠FAB 的两倍，因为∠FAB 等于∠ABF 。所以：∠BFN 等于∠FAB 。
又，∠ABF 是两个三角形ABF、BFN 的公共角，所以：∠AFB 等于∠BNF 。所以三角形ABF 与三角形BFN 是等角三角形（命题I.32） 。
所以：成比例地，线段AB 比BF 同于FB 比BN 。所以：AB 与BN 构成的矩形等于BF 上的正方形（命题VI.4、VI.17） 。
又，因为AL 等于LK ，同时LN 是公共边，且∠LKN 与∠ALN 均为直角，所以：底KN 等于底AN 。所以：∠LKN 也等于∠LAN （命题I.4） 。
又，∠LAN 等于∠KBN ，所以：∠LKN 也等于∠KBN 。又，在A 点的角是两个三角形AKB、AKN 的公共角，所以：∠AKB 等于∠KNA （命题I.32） 。
所以：三角形KBA 与三角形KNA 是等角三角形。所以：成比例地，线段BA 比AK 同于KA 比AN （命题VI.1） 。
所以：BA、AN 构成的矩形等于AK 上的正方形（命题VI.17） 。
又，AB 与BN 构成的矩形，也被证明了等于BF 上的正方形，所以：AB、BN 构成的矩形与BA、AN 构成的矩形之和，即BA 上的正方形，等于BF 上的正方形、AK 上的正方形之和（命题II.2） 。
又，BA 是正五边形的一边，BF 是正六边形的一边，AK 是正十边形的一边（命题IV.15及其推论） 。
所以：一个内接于圆的等边五边形，其一边上的正方形，等于同圆内的内接正六边形一边上的正方形与正十边形一边上的正方形之和。
证完
注解
这一结果应用在命题XIII.16中。
命题XIII.11
如果圆的直径为有理线，那么，这个圆的内接等边五边形的边是被称为次线的无理线。
设：在圆ABCDE 中，直径是有理线，内接等边五边形ABCDE 被作出。
以F 为圆心，连接AF、FB ，延长它们至点G、H ，再连接AC ，作AF 的四分之一FK （命题III.1、VI.9） 。
现在，因为AF 是有理的，所以：FK 也是有理的。而BF 也是有理的，所以：整体BK 是有理的。
又，因为弧ACG 等于弧ADG ，且在它们中，弧ABC 等于弧AED ，所以：余量CG 等于余量GD 。
又，如果我们连接AD ，那么，在点L 处的角是直角，CD 是CL 的两倍。
同理，在M 点的角也是直角，且AC 是CM 的两倍。
那么，因为：∠ALC 等于∠AMF ，且∠LAC 是两个三角形ACL 和AMF 的公共角，所以：∠ACL 等于∠MFA （命题I.32） 。
所以：三角形ACL 与三角形AMF 是等角三角形。所以：成比例地，LC 比CA 同于MF 比FA 。且取两前项的两倍，所以：LC 的两倍比CA 同于MF 的两倍比FA 。
又，MF 的两倍比FA 同于MF 比FA 的一半，所以：LC 的两倍比CA 同于MF 比FA 的一半。
取两后项的一半，所以：LC 的两倍比CA 的一半，同于MF 比FA 的四分之一。
又，DC 是LC 的两倍，CM 是CA 的一半，FK 是FA 的四分之一，所以：DC 比CM 同于MF 比FK 。
又，由合比可得，DC、CM 之和比CM 同于MK 比KF 。所以：DC、CM 之和上的正方形比CM 上的正方形，等于MK 上的正方形比KF 上的正方形（命题V.18） 。
又，因为当五边形两相对角的连线AC 被分为中外比时，大线段等于五边形的边，即DC ，同时，大线段与整体之一半之和上的正方形是整体之一半上的正方形的五倍，而CM 是整体AC 的一半。所以：CM、DC 之和上的正方形是CM 上的正方形的五倍（命题XIII.8、XIII.1） 。
又，已经证明DC、CM 之和上的正方形比CM 上的正方形同于MK 上的正方形比KF 上的正方形，所以：MK 上的正方形是KF 上的正方形的五倍。
又，KF 上的正方形是有理的，因为它的直径是有理的，所以：MK 上的正方形也是有理的。所以：MK 是有理的。
又，因为BF 是FK 的四倍，所以：BK 是KF 的五倍，所以：BK 上的正方形是KF 上的正方形的二十五倍。
又，MK 上的正方形是KF 上的正方形的五倍，所以：BK 上的正方形是KM 上的正方形的五倍，BK 上的正方形比KM 上的正方形不同于平方数比平方数。所以：BK 与KM 是长度不可公约量（命题X.9） 。
又，它们皆是有理的。所以：BK、KM 是仅正方可公约的有理线段。
又，如果从一条有理线段减去一条与它仅正方可公约的有理线段，那么，余量是无理的，即一条余线，所以：MB 是一条余线，而MK 是它上面的加线段（命题X.73） 。
进一步说，MB 也是一条第四余线。
设：n 上的正方形等于BK 上的正方形与KM 上的正方形之差。所以：BK 上的正方形与KM 上的正方形之差等于n 上的正方形。
又，因为KF 与FB 是可公约的，由合比可得，KB 与FB 可公约，而FB 与BH 可公约，所以：BK 与BH 也可公约（命题X.15、X.12） 。
又，因为BK 上的正方形是KM 上的正方形的五倍，所以：BK 上的正方形比KM 上的正方形等于5∶1。所以：由反比可得，BK 上的正方形比n 上的正方形等于5∶4，而此比不是平方数比平方数。所以：BK 与n 是不可公约的。所以：BK 上的正方形与KM 上的正方形的差的正方形的边与BK 不可公约（命题V.19、命题X.9及其推论） 。
因为，整体BK 上的正方形与加线段KM 上的正方形的差的正方形的边与BK 不可公约，且整体BK 与给定的有理线段BH 是可公约的，所以：MB 是一条第四余线（命题III.4） 。
又，由一条有理线和第四余线构成的矩形是无理的，且与此矩形相等的正方形的边是条无理次线（命题X.94） 。
又，AB 上的正方形等于HB、BM 构成的矩形，因为，当连接AH 时，三角形ABH 与三角形ABM 是等角三角形，且HB 比BA 等于AB 比BM 。
所以：五边形的边AB 是一条无理次线。
所以：如果圆的直径为有理线，那么，这个圆的内接等边五边形的边是被称为次线的无理线。
证完
注解
本命题应用在命题XIII.16中，以阐释正五边形的边是无理线段，也被称为次线。
命题XIII.12
如果一个等边三角形内接于一圆，那么，三角形一边上的正方形是圆的半径上的正方形的三倍。
设：ABC 为圆，等边三角形ABC 内接于圆ABC 。
求证：三角形ABC 一边上的正方形是圆半径上的正方形的三倍。
令：D 为圆ABC 的圆心，连接AD 并延长至E ，连接BE （命题III.1） 。
