那么，因为三角形ABC 是等边三角形，所以：弧BEC 是圆周ABC 的三分之一。所以：弧BE 是圆周的六分之一。所以：线段BE 属于正六边形的边。所以：它等于半径DE （命题IV.15及其推论） 。
又，因为AE 是DE 的两倍，所以：AE 上的正方形是ED 上的正方形的四倍，即是BE 上的正方形的四倍。
又，AE 上的正方形等于AB、BE 上的正方形之和，所以：AB、BE 上的正方形之和等于BE 上的正方形的四倍（命题III.31、I.47） 。
所以：由分比可得，AB 上的正方形是BE 上的正方形的三倍。而BE 等于DE ，所以：AB 上的正方形是DE 上的正方形的三倍。
所以：三角形一边上的正方形是圆半径上的正方形的三倍。
所以：如果一个等边三角形内接于一圆，那么，三角形一边上的正方形是圆的半径上的正方形的三倍。
证完
注解
本命题应用在下一命题中以作四面体。
命题XIII.13
在给定的球内作一内接棱锥，求证球直径上的正方形是棱锥一边上的正方形的一倍半。
设：已知球的直径是AB ，在C 点切分为AC 和CB ，使AC 等于两倍CB ，在AB 上作半圆ADB ，从C 点作CD 与AB 成直角，连接DA （命题VI.9、I.11） 。
再设：圆EFG 的半径等于DC ，作内接于圆EFG 的等边三角形EFG ，H 为圆心，连接EH、HF、HG （命题I.1、IV.2） 。
再设：从点H 作HK 与圆EFG 所在的平面成直角，切分HK 等于线段AC ，连接KE、KF、KG （命题XI.12、I.3） 。
那么，因为KH 与圆EFG 所在的平面成直角，所以：它也与圆EFG 所在的平面上的一切与它相交的直线成直角。而线段HE、HF、HG 皆与它相交，所以：HK 与HE、HF、HG 皆成直角（定义XI.3） 。
又，因为AC 等于HK ，CD 等于HE ，而它们包含直角，所以：底DA 等于底KE 。同理，线段KF、KG 也等于DA 。
所以：线段KE、KF、KG 彼此相等（命题I.4） 。
又，因为AC 是两倍CB ，所以：AB 是三倍BC 。
又，后边将要证明，AB 比BC 同于AD 上的正方形比DC 上的正方形。
所以：AD 上的正方形是DC 上的正方形的三倍。而FE 上的正方形也是EH 上的正方形的三倍，DC 等于EH ，所以：DA 也等于EF （命题XIII.12） 。
又，已经证明，DA 分别等于线段KE、KF、KG ，所以：线段EF、FG、GE 也分别等于线段KE、KF、KG 。所以：四个三角形EFG、KEF、KFG、KEG 均是等边三角形。
所以：四个等边三角形构成一个棱锥，三角形EFG 为其底，K 为其顶点。
现在，进一步，要求它内接于已知球，且证明球直径上的正方形是该棱锥一边上正方形的一倍半。
将线段KH 延长成HL ，且使HL 等于CB （命题I.3） 。
那么，因为AC 比CD 同于CD 比CB ，同时AC 等于KH ，CD 等于HE ，CB 等于HL ，所以：KH 比HE 同于EH 比HL 。所以：KH、HL 构成的矩形等于EH 上的正方形（命题VI.8及其推论、命题VI.17） 。
又，∠KHE 、∠EHL 皆为直角，所以：KL 上的半圆也过E （命题VI.8、III.31） 。
那么，如果固定KL ，使半圆从原来的位置旋转到开始位置，它也经过点F、G ，因为：如果连接FL、LG ，那么在F、G 的是直角。且棱锥内接于已知球。因为球的直径KL 等于已知球的直径AB ，KH 等于AC ，且HL 等于CB 。
进一步说：球直径上的正方形是棱锥一边上正方形的一倍半。
因为AC 是CB 的两倍，所以：AB 是BC 的三倍。又，由反比可得，BA 是AC 的一倍半。
又，BA 比AC 同于BA 上的正方形比AD 上的正方形。所以：BA 上的正方形也是AD 上的正方形的一倍半。又，BA 是给定的球的直径，且AD 等于棱锥的边。
所以，这个球的直径上的正方形是棱锥上正方形的一倍半。
所以：在给定的球内作一内接棱锥；该球直径上的正方形是棱锥一边为边的正方形的一倍半。
证完
引理
也可以证明AB 比BC 同于AD 上的正方形比DC 上的正方形。
设：已作出半圆图形，连接DB ，在AC 上作正方形AEFC 。完成平行四边形FB （命题I.46） 。
因为，三角形DAB 与三角形DAC 是等角三角形，所以：BA 比AD 同于DA 比AC 。所以：由AB、AC 构成的矩形等于AD 上的正方形（命题VI.8、VI.4、VI.17） 。
又，因为AB 比BC 同于EB 比BF ，而EB 是BA、AC 构成的矩形，EA 等于AC ，BF 是AC、CB 构成的矩形。所以：AB 比BC 同于BA、AC 构成的矩形比AC、CB 构成的矩形（命题VI.1） 。
又，BA、AC 构成的矩形等于AD 上的正方形，且AC、CB 构成的矩形等于DC 上的正方形，因为，垂线DC 是底的线段AC、CB 的比例中项，∠ADB 是直角。所以：AB 比BC 同于AD 上的正方形比DC 上的正方形（命题VI.8及其推论） 。
证完
注解
在命题XIII.18中，比较了五个正多边形，本命题的正四面体是其中一个。
命题XIII.14
作一个球的内接正八面体，如同前一命题的情况一样，球直径上的正方形是正八面体一边上的正方形的两倍。
设：直径AB 是给定的球的直径，C 点将其平分，在AB 上作半圆ADB ，从C 点作CD 垂直于AB ，连接DB （命题I.11） 。
再设：作正方形EFGH 的边等于DB ，连接HF、EG ，从K 点作直线KL 垂直于正方形EFGH 所在的平面，并使它穿过平面到另一端，取线段KM （命题I.46、XI.12） 。
在直线KL、KM 上取线段KL、KM 等于线段EK、FK、GK、HK ，连接LE、LF、LG、LH、ME、MF、MG、MH （命题I.3） 。
那么，因为KE 等于KH ，且∠EKH 是直角，所以：HE 上的正方形是EK 上的正方形的两倍。因为LK 等于KE ，∠LKE 是直角，所以：EL 上的正方形是EK 上的正方形的两倍（命题I.47） 。
又，HE 上的正方形也被证明等于EK 上的正方形的两倍，所以：LE 上的正方形等于EH 上的正方形。所以：LE 等于EH 。同理，LH 也等于HE 。
所以：三角形LEH 是等边三角形。
类似地，我们也可证明，以正方形EFGH 的边为底，以L、M 为顶点的其余三角形也皆是等边三角形，于是：由八个等边三角形构成的正八面体被作出（定义XI.26） 。
现在要求它内接于已知球，且球的直径上的正方形等于正八面体边上的正方形的两倍。
因为三条线段LK、KM、KE 相等，所以：LM 上的半圆也经过E 。同理，如果固定LM ，旋转半圆到原来位置，它也经过F、G、H ，这样，正八面体内接于圆。
进一步说，它也内接于已知球。
因为，LK 等于KM ，同时KE 是公共的，且它们夹直角，所以：底LE 等于底EM （命题I.4） 。
又，因为∠LEM 是直角，因为它在半圆上，所以：LM 上的正方形是LE 上的正方形的两倍（命题III.31、I.47） 。
又，因为AC 等于CB ，所以：AB 是BC 的两倍。又，AB 比BC 同于AB 上的正方形比BD 上的正方形，所以：AB 上的正方形是BD 上的正方形的两倍。
又，LM 上的正方形也被证明是LE 上的正方形的两倍。又，DB 上的正方形等于LE 上的正方形，因为EH 也等于DB 。所以：AB 上的正方形等于LM 上的正方形。所以：AB 等于LM 。
又，AB 是给定球的直径，所以：LM 等于给定球的直径。
所以：可作一个球的内接正八面体，如同前一命题的情况一样，球直径上的正方形是正八面体一边上的正方形的两倍。
证完
注解
本命题应用在命题XIII.18中，比较多个正多面体。
命题XIII.15
如作棱锥一样，求作一个球的内接正方体；且证明球直径上的正方形是正方体一边上的正方形的三倍。
设：给定球的直径为AB ，C 点切分AB ，使AC 是CB 的两倍。在AB 上作半圆ADB ，过C 作CD 垂直于AB ，连接DB 。又设，正方形EFGH 的边等于DB ，过E、F、G、H 作EK、FL、GM、HN 与正方形EFGH 所在的平面垂直，从EK、FL、GM、HN 中截取EK、FL、GM、HN ，分别等于EF、FG、GH、HE 。连接KL、LM、MN、NK （命题VI.9、I.11、I.46、XI.12、I.3） 。
所以：正方体EFNM 被作出，它由六个相等的正方形构成（定义XI.25） 。
求证：该正方体内接于已知圆，且球的直径上的正方形是正方体一边上的正方形的三倍。
连接KG、EG 。
那么，因为∠KEG 是直角，因为KE 也与平面EHGF 成直角，当然，它也与直线EG 成直角，所以：KG 上的半圆过点E （定义XI.3） 。
又，GF 也与直线FL、FE 皆成直角，所以：GF 与平面EFLK 也成直角。因此，如果连接FK ，那么，GF 也将与FK 成直角。同理，GK 上的半圆也过F 。
类似地，它也过正方体其余的顶点。
如果固定KG ，使半圆旋转到开始位置，那么，该正方体内接于一个球。
进一步证明，它也内接于已知球。
因为GF 等于FE ，在F 点上的角是直角，所以：EG 上的正方形是EF 上的正方形的两倍。而EF 等于EK ，所以：EG 上的正方形是EK 上的正方形的两倍。因此：GE、EK 上的正方形之和，即GK 上的正方形是EK 上的正方形的三倍（命题I.47） 。
又，因为AB 是BC 的三倍，同时，AB 比BC 同于AB 上的正方形比BD 上的正方形，所以：AB 上的正方形是BD 上的正方形的三倍。
又，GK 上的正方形也已被证明等于KE 上的正方形的三倍。且KE 等于DB ，所以：KG 也等于AB 。又，AB 是已知球的直径，所以：KG 也等于已知球的直径。
所以：内接于已知球的正方体被作出，球直径上的正方形是正方体一边上的正方形的三倍。
证完
注解
本命题应用在命题XIII.18中。
命题XIII.16
与前述命题一样，求作一个内接于球的正二十面体，且证明这个二十面体的边是被称为次线的无理线段。
设：AB 为给定球的直径，C 点截分AB ，使AC 是CB 的四倍，在AB 上作半圆ADB ，过C 点作CD 与AB 成直角，连接DB （命题VI.9、I.11） 。
再设：圆EFGHK 的半径等于DB ，且正五边形EFGHK 内接于圆EFGHK ，点L、M、N、O、P 二等分弧EF、FG、GH、HK、KE ，连接LM、MN、NO、OP、PL、EP （命题IV.11、I.9） 。
于是：五边形LMNOP 也是等边的，且线段EP 属于十边形的边。
现在，过点E、F、G、H、K 作直线EQ、FR、GS、HT、KU 垂直于圆所在的平面，且使它们等于圆EFGHK 的半径，连接QR、RS、ST、TU、UQ、QL、LR、RM、MS、SN、NT、TO、OU、UP、PQ （命题XI.12、I.3） 。
现在，因为线段EQ、KU 垂直于同一平面，于是：EQ 平行于KU 。
又，它们也相等。又，连接相等且平行线段的端点的线段，在同一方向相等且平行。所以：QU 平行且等于EK （命题I.33） 。
又，EK 属于等边五边形的边，所以：QU 也是内接于圆QRSTU 的等边五边形的边。
同理，线段QR、RS、ST、TU 皆属于内接于圆QRSTU 的等边五边形的边。所以五边形QRSTU 是等边的。
又，因为QE 属于六边形，EP 属于十边形，∠QEF 是直角，所以：QP 属于五边形。因为，内接于同一圆的五边形的边上的正方形等于六边形的边上的正方形与十边形边上的正方形之和（命题XIII.10） 。
同理，PU 也是五边形的边，而QU 也属于一个五边形，所以：三角形QPU 是等边的。同理，三角形QLR 、三角形RMS 、三角形SNT 、三角形TOU 皆是等边的。
又，因为已经证明了线段QL、QP 是五边形的边，LP 也是五边形的边，所以：三角形QLP 是等边的。
同理，三角形LRM 、三角形MSN 、三角形NTO 、三角形OUP 皆是等边的。
令：V 为圆EFGHK 的圆心，过V 作VZ 垂直于圆所在的平面，在另一个方向上延长为VX ，截取VW ，使它成为六边形的一边，且线段VX、WZ 的每一边是十边形的一边，连接QZ、QW、UZ、EV、LV、LX、XM （命题III.1、XI.12） 。
现在，因为线段VW、QE 垂直于圆所在的平面，所以：VW 平行于QE 。而它们也相等，所以：EV、QW 平行且相等（命题XI.6、I.33） 。
又，EV 属于一个六边形，所以：QW 也属于一个六边形。又因为QW 属于一个六边形，WZ 属于一个十边形，且∠QWZ 是直角，所以：QZ 属于一个五边形（命题XIII.10） 。
同理，UZ 也属于一个五边形，这是因为，如果我们连接VK、WU ，那么，它们相等且相对，而VK 是半径，属于一个六边形，所以：WU 也属于一个六边形。但WZ 属于一个十边形，且∠UWZ 是直角，所以：UZ 属于一个五边形（命题IV.15及其推论、XIII.10） 。
又，QU 属于一个五边形，所以：三角形QUZ 是等边的。同理，余下的以线段QR、RS、ST、TU 为底且以Z 为顶点的三角形也是等边的。
又，因为VL 属于一个六边形，VX 属于一个十边形，且∠LVX 是直角，所以：LX 属于一个五边形（命题XIII.10） 。
同理，如果我们连接属于六边形的MV ，可以推出，MX 也属于一个五边形。
又，LM 也属于一个五边形，所以：三角形LMX 是等边三角形。
类似地，也可以证明出，以线段MN、NO、OP、PL 为底且以X 为顶点的三角形皆是等边三角形。所以：一个二十面体已作出，它由二十个等边三角形构成（定义XI.27） 。
现在进一步要求证明，该二十面体内接于已知球，且证明二十面体的边是称为次线的无理线段。
因为VW 属于一个六边形，WZ 属于十边形，所以：VZ 在W 点上被切分为中外比。且VW 为大，所以：ZV 比VW 等于VW 比WZ （命题XIII.9） 。
又，VW 等于VE ，WZ 等于VX ，所以：ZV 比VE 等于EV 比VX 。
又，∠ZVE 、∠EVX 是直角，如果我们连接直线EZ、XZ ，那么，∠XEZ 将是直角，因为三角形XEZ 和三角形VEZ 是相似三角形。同理，ZV 比VW 等于VW 比WZ ，而ZV 等于XW ，VW 等于WQ ，所以：XW 比WQ 等于QW 比WZ 。
同理，如果连接QX ，在Q 处的角是直角，所以XZ 上的半圆经过Q （命题VII.8、III.31） 。
又如果，固定XZ ，旋转此半圆到开始位置，它也经过Q ，且过二十面体的其余顶点，因此，二十面体内接于一个球。
进一步说，它也内接于已知球。
在A′ 点等分VW （命题I.9） 。
那么，因为线段VZ 在W 点被分成中外比，ZW 为小，所以：ZW 加大线段的一半，即WA′ 上的正方形等于大线段一半上的正方形的五倍。所以：ZA′ 上的正方形是A′W 上的正方形的五倍（命题XIII.3） 。
又，ZX 是ZA′ 的两倍，VW 是A′W 的两倍，所以：ZX 上的正方形是WV 上的正方形的五倍。又因为，AC 是CB 的四倍，所以：AB 是BC 的五倍。
又，AB 比BC 同于AB 上的正方形比BD 上的正方形，所以：AB 上的正方形是BD 上的正方形的五倍（命题VI.8、定义V.9） 。
又，ZX 上的正方形也已经被证明是VW 上的正方形的五倍，且DB 等于VW ，因为，它们皆等于圆EFGHK 的半径。所以：AB 也等于XZ 。又AB 是给定的球的直径，所以：XZ 也等于给定的球的直径。
所以：该二十面体内接于已知球。
进一步说，该二十面体的边是被称为次线的无理线段。
因为球的直径是有理的，且它上的正方形是圆EFGHK 的半径上的正方形的五倍，所以：圆EFGHK 的半径也是有理的。因此：它的直径也是有理的。但是，如果一个等边五边形内接于一个直径有理的圆，那么，五边形的边是被称为次线的无理线（命题XIII.11） 。
又，这个五边形EFGHK 是这个二十面体的边。
所以：一个内接于球的正二十面体被作出，二十面体的边是被称为次线的无理线段。
证完
推论
以上命题也表明，此球直径上的正方形等于内接二十面体得出的圆半径上的正方形的五倍，且球的直径等于内接于该圆内的六边形的一边与十边形两边的和。
命题XIII.17
作球的内接十二面体，如前命题，且求证十二面体的边是被称为余线的无理线段。
设：ABCD 和CBEF 是前述立方体的互相垂直的两个面，分别过G、H、K、L、M、N、O 等分AB、BC、CD、DA、EF、EB、FC ，连接GK、HL、MH、NO ，再分别过R、S、T 分NP、PO、HQ 为中外比，且RP、PS、TQ 为其大线段，从点R、S、T 作RU、SV、TW 与正方体的面成直角，且使它们分别等于RP、PS、TQ ，连接UB、BW、WC、CV、VU （命题XIII.15、I.10、II.11、VI.30、XI.11、I.3） 。
求证：五边形UBWCV 是一个平面内的等边且等角的五边形。
连接RB、SB、VB 。
那么，因为线段NP 在R 点被分成中外比，RP 为大线段，所以：切线PN、NR 上的正方形之和是RP 上的正方形的三倍（命题XIII.4） 。
又，PN 等于NB ，PR 等于RU ，所以：BN、NR 上的正方形之和是RU 上的正方形的三倍。
又，BR 上的正方形等于BN、NR 上的正方形之和，所以：BR 上的正方形之和是RU 上的正方形的三倍。因此，BR、RU 上的正方形之和是RU 上的正方形的四倍（命题I.47） 。
又，BU 上的正方形等于BR、RU 上的正方形之和，所以：BU 上的正方形之和是RU 上的正方形的四倍，BU 是RU 的两倍。
又，VU 也是UR 的两倍，因为，SR 也是PR 的两倍，即RU 的两倍，所以BU 等于UV 。
类似地，也可以证明出，线段BW、WC、CV 也等于线段BU、UV 。所以：五边形BUVCW 是等边的。
进一步说，它也在同一平面内。
从P 点向正方体外作PX 平行于线段RU、SV ，连接XH、HW （命题I.31） 。
那么我说，XHW 是一条直线。
因为HQ 在T 点被分成中外比，且QT 为大线段，所以：HQ 比QT 等于QT 比TH 。
而HQ 等于HP ，QT 等于线段TW、PX 的每一条，所以：HP 比PX 等于WT 比TH 。
又，PH 平行于TW ，因为，它们皆垂直于平面BD ，且TH 平行于PX ，因为它们皆垂直于平面BF （命题XI.6） 。
又，如果两个三角形XPH、HTW ，它们的两边对应成比例，将它们的边放在一起，且顶角重合，相应边平行，那么，其余两边在一条直线上，所以：XH 与HW 在一条直线上（命题VI.32） 。
又，每条线段皆在同一平面内，所以：五边形UBWCV 在一个平面内（命题XI.1） 。
进一步说，它也是等角的。
因为线段NP 在R 点被分成中外比，PR 为大线段，同时，PR 等于PS ，所以：NS 也在P 点被分为中外比。
又，NP 是大线段，所以：NS、SP 上的正方形之和是NP 上的正方形的三倍（命题XIII.5、XIII.4） 。
又，NP 等于NB ，PS 等于SV ，所以：NS、SV 上的正方形之和是NB 上的正方形的三倍。因此：VS、SN、NB 上的正方形之和是NB 上的正方形的四倍。
又，SB 上的正方形等于SN、NB 上的正方形之和，所以：BS、SV 上的正方形之和。即是BV 上的正方形，是NB 上的正方形的四倍，因为，∠VSB 是直角。所以：VB 是BN 的两倍。
又，BC 也是BN 的两倍，所以：BV 等于BC 。
又，因为边BU、UV 分别等于边BW、WC ，且底BV 等于底BC ，所以：∠BUV 等于∠BWC （命题I.8） 。
类似地，我们可以证明，∠UVC 也等于∠BWC 。所以：三个角∠BWC 、∠BUV 、∠UVC 彼此相等。
又，如果在一个等边五边形中，有三个角彼此相等，那么，该五边形是等角五边形（命题XIII.7） 。
又，已经证明了它们是等边的，所以：五边形BUVCW 是等边等角的，且在立方体的边BC 上。
如果在立方体的十二条边的每一条上都同样作图，那么，十二个等边且等角的五边形构成一个立体图，被称为十二面体（定义XI.28） 。
现在，再求证它内接于已知球，且十二面体的边是被称为余线的无理线段。
延长XP 成直线XZ 。
于是，PZ 与立方体的对角线相交，且彼此平分，因为，已经在第11卷的最后的定理中证明了（命题XI.38） 。
令：它们相交于Z ，所以Z 是立方体外接球的球心，而ZP 是立方体一边的一半。连接UZ 。
现在，因为线段NS 在P 点被分成中外比，NP 为大线段，所以：NS、SP 上的正方形之和是NP 上的正方形的三倍（命题XIII.4） 。
又，NS 等于XZ ，因为，NP 也等于PZ ，XP 等于PS 。
而，PS 也等于XU ，因为，它也等于RP 。所以：ZX、XU 上的正方形之和是NP 上的正方形的三倍。
又，UZ 上的正方形等于ZX、XU 上的正方形之和，所以：UZ 上的正方形是NP 上的正方形的三倍。
又，外接于正方体的球的半径上的正方形也是立方体一边的一半上的正方形的三倍，因为，如前所述怎样作球的内接立方体，且证明过，球直径上的正方形等于立方体一边上的正方形的三倍（命题XIII.15） 。
又，如果两总量之比同于两半量之比，NP 是立方体一边的一半，所以：UZ 等于外接于立方体的球的半径。
又，Z 为外接立方体的球的球心，所以：点U 位于球面上。
类似地，我们可以证明出，十二面体的每个角的顶点也在球的面上，所以：十二面体内接于已知球。
进一步说：十二面体的边是被称为余线的无理线段。
因为，当NP 被分成中外比时，RP 是较大线段，并且，当PO 被分成中外比时，PS 是较大线段，当整体NO 被分成中外比时，RS 是较大线段。
因为NP 比PR 同于PR 比RN ，它们的两倍比也成立，又，部分之比等于同倍量之比，所以：NO 比RS 同于RS 比NR 与SO 之和。
而NO 大于RS ，RS 也大于NR 与SO 之和，所以：NO 被分成中外比，且RS 是较大线段（命题V.15） 。
又，RS 等于UV ，所以：NO 被分成中外比，UV 是大线段。又，因为，球的直径是有理线段，且它上的正方形是正方体一边上的正方形的三倍，所以：NO 是正方体，是有理的。
又，如果一条有理线段被分成中外比，那么所分的每条线段是被称为余线的无理线段。
所以：UV 是十二面体的边，是条余线，是无理线段（命题XIII.6） 。
证完
达·芬奇的多面体
为了给数学家帕西里利的《神圣比例论》画插图，列昂纳多·达·芬奇绘制了一些多面体，图中这个多面体是规则立体之一，属内凹多面体。它的基础是一个正十二面体，每一个面都是一个正五边形，这个面向外凸起，就形成一个规则的五面锥体，这就是规则立体的构成。
推论
当一个正方体的边被分成中外比时，大线是一个十二面体的边。
注解
本命题和推论也应用在命题XIII.18中，以比较多个正多边形。
命题XIII.18
给出五种立体图形的边，并将它们加以比较。
设：AB 是已知球体的直径，在C 点被切分，AC 等于CB ；又在D 点被切分，AD 是DB 的两倍；在AB 上作半圆AEB ，从C、D 点分别作CE、DF 与AB 垂直，连接AF、FB、AE、EB （命题I.11） 。
那么，因为AD 是DB 的两倍，所以：AB 是BD 的三倍。代换后可得，BA 是AD 的一倍半。
又，BA 比AD 同于BA 上的正方形比AF 上的正方形，因为，三角形AFB 与三角形AFD 是等角三角形。所以：BA 上的正方形是AF 上的正方形的一倍半（定义V.9、命题VI.8） 。
又，球的直径上的正方形也是棱锥的边上的正方形的一倍半，而AB 是球的直径，所以：AF 等于棱锥的边（命题XIII.13） 。
又，因为AD 是DB 的两倍，所以：AB 是BD 的三倍。
而AB 比BD 同于AB 上的正方形比BF 上的正方形，所以：AB 上的正方形是BF 上的正方形的三倍（命题XIII.13） 。
又，球的直径上的正方形也是立方体边上的正方形的三倍，AB 是球直径，所以：BF 是立方体的边（命题XIII.15） 。
又，因为AC 等于CB ，所以：AB 是BC 的两倍。而AB 比BC 同于AB 为边的正方形比BE 上的正方形，所以：AB 上的正方形是BE 上的正方形的两倍。
又，球的直径上的正方形也是八面体的边上的正方形的两倍，又，AB 是已知球的直径，所以：BE 是八面体的边（命题XIII.14） 。
再，从A 点作AG 垂直于直线AB ，使AG 等于AB ，连接GC ，从H 作HK 垂直于AB （命题I.11、I.3、I.12） 。
那么，因为GA 是AC 的两倍，因为GA 等于AB ，且GA 比AC 同于HK 比KC ，所以：HK 也是KC 的两倍。
所以：HK 上的正方形是KC 上的正方形的四倍。所以：HK、KC 上的正方形之和，即是HC 上的正方形，是KC 上正方形的五倍。
又，HC 等于CB ，所以：BC 上的正方形是CK 上的正方形的五倍。又，AB 是CB 的两倍，且在它们中，AD 是DB 的两倍，所以：余量BD 是余量DC 的两倍。
所以：BC 是CD 的三倍。所以：BC 上的正方形是CD 上的正方形的九倍。
而BC 上的正方形是CK 上的正方形的五倍，所以：CK 上的正方形大于CD 上的正方形。所以：CK 大于CD 。
作CL 等于CK ，从L 作LM 垂直于AB ，连接MB （命题I.3、I.11） 。
现在，因为BC 上的正方形是CK 上的正方形的五倍，且AB 是BC 的两倍，KL 是CK 的两倍，所以：AB 上的正方形是KL 上的正方形的五倍。
又，球的直径上的正方形也是内接二十面体的圆半径上的正方形的五倍。而AB 是球的直径，所以：KL 是内接二十面体的圆的半径。
所以：KL 是圆内接六边形的边（命题XIII.16，命题IV.15及其推论） 。
又，因为球的直径等于同圆中内接六边形一边和内接十边形两边的和，而AB 是球的直径，同时，KL 是六边形的边，AK 等于LB ，所以：AK、LB 二线段皆是二十面体的内接于圆的十边形的边（命题XIII.16及其推论） 。
又，因为LB 属于一个十边形，ML 属于一个六边形，因为ML 等于KL ，它也等于HK ，与圆心同距，HK、KL 是KC 的两倍，所以：MB 属于一个五边形（命题XIII.16及其推论） 。又，五边形的一边是二十面体的一边，所以：MB 属于一个二十面体（命题XIII.16） 。
球体的象征
在数学家看来，球体是其表面为球的实心体。此乃从不同侧面看来都同样是完全滚圆的物体。均匀球的几何中心与其重心相重合。所以，这样的球体的平衡位置总是不确定的，它可以静止在一切位置上，而无论朝哪一方向轻轻一碰，都会使它滚动。并且，我们总是不能肯定它沿哪条路径滚动，因为若地面稍有不平，就会使它转向。所以球成为善于机变的命运女神的象征之一。
现在，因为FB 是立方体的边，在N 点切分它成中外比，NB 为大线段，所以：NB 是十二面体的边（命题XIII.17及其推论） 。
又，因为：球的直径上的正方形是棱锥的边AF 上的正方形的一倍半，也是八面体的边BE 上的正方形的两倍与立方体边FB 的三倍。
于是：球的直径上的正方形包含六个部分，棱锥上的正方形包含四个部分，八面体的边上的正方形包含三个部分，立方体的边上的正方形包含两个部分。
所以：棱锥一边上的正方形是八面体一边上正方形的三分之四，是立方体一边上的正方形的二倍，且八面体一边上的正方形是立方体一边上的正方形的一倍半。
所以：三种图形即棱锥、八面体、立方体的边的相互比是有理的。
但是，还余两种图形，即二十面体和十二面体，二图形的边的互比不是有理的，与前述的边之互比也不是有理的，因为，它们是无理的，一个为次线，另一个为余线（命题XIII.16、XIII.17） 。
又，二十面体的边MB 大于十二面体的边NB ，是已经证明了的。
因为：三角形FDB 与三角形FAB 是等角三角形，因此边成比例，DB 比BF 同于BF 比AB （命题VI.8、VI.4） 。
又，因为三条线段成比例，第一线段比第三线段同于第一线段上的正方形比第二线段上的正方形，所以：DB 比BA 同于DB 上的正方形比BF 上的正方形。
所以，由反比可得，AB 比BD 同于FB 上的正方形比BD 上的正方形（定义V.9、命题VI.20及其推论） 。
又，AB 是BD 的三倍，所以：FB 上的正方形是BD 上的正方形的三倍。
又，AD 上的正方形也是DB 上的正方形的四倍，因为，AD 是DB 的两倍，所以：AD 上的正方形大于FB 上的正方形。所以：AD 大于FB 。所以：AL 就更大于FB 。
又，当AL 被分成中外比时，KL 是大线段，因为，LK 属于一个六边形，KA 属于十边形，且当FB 被分成中外比时，NB 为大线段，所以：KL 大于NB （命题XIII.9） 。
又，KL 等于LM ，所以：LM 大于NB 。
所以：二十面体的一边MB 大于十二面体的一边NB 。
证完
评述
进一步说，除这五种图形以外，不存在其他的由等边及等角且彼此相等的面构成的图形。
因为：一个立体角既不可能由两个三角形作出，也不可能由两个平面作出。
由三个三角形构成棱锥的角，由四个三角形构成八面体的角，由五个三角形构成二十面体的角；但是六个等边等角三角形一个顶点放在一起却不能构成一个立体角，因为：等边三角形的一个角是直角的三分之二，所以：六个角等于四个直角，这是不可能的，因为，一个立体角是由其和小于四直角的角构成的（命题XI.21）。
同理：六个以上平面角不可能构成一个立体角。
由三个正方形构成立方体的角，但是四个正方形不能构成立体角，因为它们的和又是四个直角。
由三个正五边形构成十二面体的角；但是四个这样的角却不能构成任何立体角，因为，一个等边五边形的角是直角的一又五分之一，因此，四个角之和大于四直角，这是不可能的。
同理，不可能由另外的多边形构成立体角。
引理
求证：正五边形的角是一个直角的一又五分之一。
设：ABCDE 是等边等角五边形，其外接圆是圆ABCDE ，F 为圆心，连接FA、FB、FC、FD、FE （命题IV.14） 。
所以：它们在A、B、C、D、E 点平分五边形各角。
又，因为在F 点的角的和等于四个直角，且它们相等，所以：它们的每一个角，比如∠AFB ，皆是一个直角的五分之四，所以：其余各∠FAB 、∠ABF 的和是一个直角的一又五分之一。
又，∠FAB 等于∠FBC ，所以：五边形的整体∠ABC 是一个直角的一又五分之一。
证完
附录：数学的历史年谱
公元前
◎约前4000年，中国西安半坡的陶器上出现数字刻符。
◎前3000至前1700年，巴比伦的泥版上出现数学记载。
◎前2700年，大挠发明了甲子。
◎前2500年，据中国战国时尸佼著《尸子》记载，“古者，陲（注：传说为黄帝或尧时人）为规、矩、准、绳，使天下仿焉。”这相当于已有“圆、方、平、直”等形的概念。
◎前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的《河图洛书纵横图》，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。美索不达米亚人已有了乘法表，其中有使用六十进位制的算法。
◎前1900至前1600年，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的计算法，将加法简化为乘法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、锥台体积的度量法等。
◎前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。
◎前1400年，中国殷代甲骨文，卜辞记录已有十进制记数，最大数字是30000。
◎前1050年，中国西周时期，“九数”成为“国子”的必修课程之一。
◎前6世纪，古希腊泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。印度人求出 ＝1.4142156。
◎前462年左右，古希腊巴门尼德、芝诺等为代表的埃利亚学派指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了“飞矢不动”等有关时间、空间和数的芝诺悖论。
◎前5世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比，开始把几何命题按科学方式排列。
◎前4世纪，古希腊欧多克斯把比例论推广到不可公约量上，发现了“穷竭法”，开始在数学上作出以公理为依据的演绎推理。古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。古希腊亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。
◎前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。
