因为：ΕFG 是个包含有∠ΕFG 的三角形，且∠ΕFG 大于∠ΕGF 。较大的角所对应的边也较大（命题I.19） ，所以：边ΕG 就大于ΕF 。又：ΕG 等于BC 。
所以：BC 也大于ΕF 。
所以：两个三角形有两条对应边相等，其中一个三角形的对应的夹角大于另一个三角形的夹角，那么，这个三角形的第三边也大于另一个的第三边。
证完
注解
本命题应用在下一命题中，同时也应用在卷3的少数命题以及命题XI.22中。
命题I.25
三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个大，那么也同时有一个角比另一个大。
设：三角形ABC 、三角形DΕF 有两条对应边相等，AB、AC 分别等于DΕ、DF，AB 对应DΕ，AC 对应DF ；令BC 大于ΕF 。
求证：∠BAC 也大于∠ΕDF 。
事实上，如果不是这样，则∠BAC 等于或者小于∠ΕDF 。
现在，先设∠BAC 等于∠ΕDF ；那么底边BC 就会等于ΕF （命题I.4） ；但事实不是这样。
所以：∠BAC 不等于∠ΕDF 。
又，设∠BAC 小于∠ΕDF ，于是：BC 也就会小于ΕF （命题I.24） 。但事实不是这样。
所以：∠BAC 不小于∠ΕDF 。又它们被证明为不相等。所以：∠BAC 大于∠ΕDF 。
所以：三角形中如果有两条对应边相等，其中一个的第三边比另一个大，那么也同时有一个角比另一个大。
证完
命题I.26
两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。
设：三角形ABC 、三角形DΕF 有两个角和一条边相等，∠ABC 、∠BCA 分别与∠DΕF 、∠ΕFD 对应相等。一条对应边相等，即BC 等于ΕF 。
求证：其余的对应边和角都相等，即AB 等于DΕ，AC 等于DF ，∠BAC 等于∠ΕDF 。
假设：AB 不等于DΕ ，其中一个比另一个大。假定AB 大于DΕ，BG 等于DΕ ；连接GC 。
那么，既然BG 等于DΕ，BC 等于ΕF，GB、BC 分别等于对应的DΕ、ΕF ；∠GBC 等于∠DΕF ；于是：底边GC 等于底边DF ，三角形GBC 全等于三角形DΕF ，剩余的角亦相等，即与等边对应的角相等（命题I.4） 。
于是：∠GCB 等于∠DFΕ ，而∠DFΕ 被假设等于∠BCA 。
所以：∠BCG 等于∠BCA ，即大角等于小角，故不能成立。
所以：AB 与DΕ 是相等的。
又：BC 也等于ΕF 。所以：AB、BC 分别等于对应边DΕ、ΕF ，∠ABC 等于∠DΕF 。
所以：AC 等于DF ，∠BAC 等于∠ΕDF （命题I.4） 。
又，斜边相等角相等，如AB 等于DΕ 。求证：余下的边也对应相等，即AC 等于DF，BC 等于ΕF ，余下的∠BAC 等于余下的∠ΕDF 。
假定：如果BC 不等于ΕF ，其中一个比另一个大。
设：BC 更大，如果可能，使BH 等于ΕF ；连接AH 。
那么，既然BH 等于ΕF，AB 等于DΕ，AB、BH 于是分别等于对应边DΕ、ΕF ，并包含相等的角，于是：AH 便等于DF ，三角形ABH 便全等于三角形DΕF ，余下的对应边所对应的角便互相相等（命题I.4） 。所以：∠BHA 等于∠ΕFD 。
而∠ΕFD 等于∠BCA ，所以：在三角形AHC 中，外角∠BHA 等于∠BCA 。而这是不可能的（命题I.16） 。所以：BC 等于ΕF ，而AB 也等于DΕ 。所以：AB、BC 分别等于对应的DΕ、ΕF ，并包含相等的角。
所以：底边AC 等于底边DF ，三角形ABC 全等于三角形DΕF ，角∠BAC 等于角∠ΕDF （命题I.4） 。
所以：两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。
证完
注解
本命题是三角形全等定理的最后一个定理，命题I.4陈述了边—角—边相等，命题I.8陈述了边—边—边相等，本命题陈述边—两角相等定理。
本命题应用在命题I.34中，也用在卷3、4、11、12、13的部分命题中。
命题I.27
如果一条直线与另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行。
设：直线ΕF 与直线AB、CD 相交，形成内错角∠AΕF 、∠ΕFD 相等。
求证：AB 平行于CD 。
假定：AB、CD 是不平行的，那么它们一定在B、D 的方向或A、C 的方向相交。
假定：它们在B、D 的方向相交于G 点。
那么：在三角形GΕF 中，外角∠AΕF 等于角∠ΕFG 。这是不可能的（命题I.16） 。
所以：AB、CD 在B、D 方向的延长线不相交。
同理可证：在A、C 方向上也不能相交。
而两条在两个方向上都不相交的直线是平行线（定义I.23） 。
所以：AB 平行于CD 。
所以：如果一条直线与另两条直线相交，所形成的内错角相等，那么这两条直线平行。
证完
注解
这里潜假设了在同一平面，如果所有的线不在一个平面内，术语“内错角”就失去了意义。
欧几里得忽略了另两种可能性，即线可以相交，即在A、D 两个方向上，或者朝向B、C 。
虽然这是平行线的第一命题，但并未应用公设I.5。
本命题中，平行线作出，在命题I.31中，使用了本命题来论证平行线的作出，本命题也应用在下一命题及命题I.33中。
命题I.28
一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线；如果同旁内角互补，两条直线也平行。
设：直线ΕF 与直线AB、CD 相交，所形成的∠ΕGB 等于∠GHD ，或者在同旁的内角∠BGH 、∠GHD 互补。
求证：AB 与CD 平行。
因为：∠ΕGB 等于∠GHD ，同时∠ΕGB 等于∠AGH （命题I.15） 。∠AGH 也等于∠GHD ，且它们是内错角，所以：AB 平行于CD （命题I.27） 。
又，因为∠BGH 、∠GHD 的和等于两个直角，∠AGH 、∠BGH 的和也等于两个直角（命题I.13） ，∠AGH 、∠BGH 的和等于∠BGH 、∠GHD 的和。
从各角中减去∠BGH ，于是：∠AGH 等于∠GHD ，且它们是内错角。
所以：AB 平行于CD （命题I.27） 。
所以：一条直线与两条直线相交，如果所形成的同位角相等，那么这两条直线是平行线；如果同旁内角互补，两条直线也平行。
证完
注解
本命题陈述的是前一命题的两个次要变量。
本命题应用在命题IV.7、VI.4中，在卷11中也有两次应用。
命题I.29
一条直线与两条平行线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
设：直线ΕF 相交于平行线AB、CD 。
求证：内错角∠AGH 与∠GHD 相等，同位角∠ΕGB 和∠GHD 相等，同旁内角∠BGH 和∠GHD 互补。
假设：∠AGH 不等于∠GHD ，其中一个较大，设∠AGH 是较大的角。用∠BGH 与各角相加，于是∠AGH 、∠BGH 的和大于∠BGH 、∠GHD 的和。
而∠AGH 、∠BGH 互补（命题I.13） 。
所以：∠BGH 、∠GHD 的和小于两个直角的和。
而同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线某一侧的两个内角之和小于二直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交（公设I.5） 。
所以：AB、CD 如果延长便会相交，因为它们是假定平行的。所以：∠AGH 不能不等于∠GHD ，即它们相等。
又，∠AGH 等于∠ΕGB （命题I.15） ，所以：∠ΕGB 等于∠GHD （公理I.1） 。
令：∠BGH 与各角相加。于是：∠ΕGB 、∠BGH 的和等于∠BGH 、∠GHD 的和（公理I.2） 。
而∠ΕGB 、∠BGH 互补（命题I.13） ，所以：∠BGH 、∠GHD 互补。
所以：一条直线与两条平行线相交，所形成的内错角相等，同位角相等，同旁内角互补。
证完
注解
本命题的陈述包含三个部分，其一是命题I.27的逆命题，另两个是命题I.28的逆命题。本命题假定了平面包含所有的三条直线。
本命题是依赖于平行公设的第一命题，但是在双曲线几何中，这一定理将失效。
本命题频繁地被应用在以后的命题中。
命题I.30
平行于同一直线的两条直线相互平行。
设：线段AB、CD 平行于ΕF 。
求证：AB 也平行于CD 。
令：直线GK 与它们相交。因为：GK 与平行线AB、ΕF 相交，∠AGK 等于∠GHF （命题I.29） 。
又因为，直线GK 和平行线ΕF、CD 相交，∠GHF 等于∠GKD （命题I.29） 。
而∠AGK 也被证明等于∠GHF ，所以：∠AGK 也等于∠GKD （公理I.1） 。且它们是内错角，所以AB 平行于CD 。
所以：平行于同一直线的两条直线相互平行。
证完
注解
本命题假设了三条线段位于同一平面内，命题XI.9则是三条线不在一个平面内。
现代综合几何学中，普勒菲尔公理代替了欧几里得的平行公设，该公理陈述，过已知点的一条已知直线至多有一条平行线。
欧几里得的《几何原本》是人类历史上最优美的科学著作之一。刺激我们兴趣的不是那些图形，而是概念——那些相互连接的概念，以及欧几里得所呈现的这些概念及它们的连接方式。《几何原本》的数学优雅，还在于它的简洁与清晰品性，使读者阅读容易、轻松。
对欧几里得批评最多的是平行公设，即I.5公设，其定义含混，没有简洁的品性。本命题也是简洁的，普勒菲尔公理则更为简洁，可以替代I.5公设。
本命题应用在命题I.45和命题IV.7中。
命题I.31
通过直线外一点可以作一条直线的平行线。
设：A 为给定的点，BC 为给定的直线。
求作：通过点A 作一条平行于BC 的平行线。
在BC 上任取一点D ，连接AD ；在直线AD 上，通过A 点作角，使∠DAΕ 等于∠ADC （命题I.23） ；令线段AF 延长与ΕA 相连。
因为：直线AD 与直线BC、ΕF 相交形成的内错角∠ΕAD 、∠ADC 彼此相等；
所以：ΕAF 平行于BC （命题I.27） 。所以：通过给定的点A ，作出了一条线段ΕAF ，平行于BC 。
所以：通过直线外一点可以作一条直线的平行线。
证完
注解
所作的平行线ΕF 是过A 点的唯一平行线，如果还存在另外的平行线，那么一边上的内角或AD 与BC 构成的内角将小于两个直角，于是根据平行公设（I.5公设），它将与BC 相交，这是矛盾的。
本命题高频率地出现在本卷从此命题开始的命题中，同时也高频率地出现在卷2、4、6、11、12、13中。
命题I.32
延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。
设：延长三角形ABC 的BC 边至D 。
求证：外∠ACD 等于两个内角∠CAB 与∠ABC 的和，且三个内角∠ABC 、∠BCA 、∠CAB 的和等于180°。
令：通过C 点作线段CΕ ，使之平行于AB （命题I.31） 。
因为：AB 平行于CΕ ，且与AC 相交，形成内错角∠BAC 、∠ACΕ ，两角相等（命题I.29） 。
又，因为AB 平行于CΕ ，线段BD 与之相交，∠ΕCD 等于同位角∠ABC （命题I.29） 。
而∠ACΕ 也能被证明等于∠BAC 。所以：大角∠ACD 等于两个内角∠BAC 与∠ABC 的和。
令∠ACB 与各角相加，于是：∠ACD 、∠ACB 的和等于∠ABC 、∠BCA 、∠CAB 的和。
而∠ACD 、∠ACB 的和等于180°（命题I.13） ；
所以：∠ABC 、∠BCA 、∠CAB 的和也等于180°。
所以：延长三角形的任意一边所形成的外角，等于不相邻两个内角的和，三个内角的和等于180°。
证完
注解
本命题虽然在本卷中再没有得以利用，但在卷2、3、4、6、11、12、13中却高频率地应用，而推论没有再被利用。
命题I.33
一组对边平行且相等的四边形的另一组对边也平行且相等。
设：AB 等于CD ，并且平行，连接两条线段的端点AC、BD 。
求证：AC 与BD 也相等并平行。
连接BC 。因为：AB 平行于CD ；BC 与它们相交形成的内错角∠ABC 、∠BCD 互等（命题I.29） 。
因为AB 等于CD ，而BC 是公共边，AB、BC 两边等于DC、CB 两边，∠ABC 等于∠BCD ，所以：底边AC 等于底边BD ，三角形ABC 全等于三角形DCB ，且各边所对应的角也相等（命题I.4） 。所以：∠ACB 等于∠CBD 。
又，因为直线BC 与两条直线AC、BD 相交，所形成的内错角亦互相相等。
所以：AC 平行于BD （命题I.27） 。
所以：一组对边平行且相等的四边形的另一组对边也平行且相等。
证完
注解
在这里应该加上“在同一方向”的限定语句，因为如果没有这个限定，AD 和BC 可能在平行线的尾点相交。
本命题应用在命题I.36、I.45中，卷11～13也有部分应用。
命题I.34
在平行四边形中，对边相等，对角相等，对角线平分该四边形。
设：平行四边形ACDB，BC 为对角线。
求证：平行四边形ACDB 的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
因为，AB 平行于CD ，线段BC 与AB 相交，形成的内错角∠ABC 、∠BCD 相等（命题I.29） 。
又，因为AC 平行于BD ，线段BC 与AC 相交，形成的内错角∠ACB 、∠CBD 相等（命题I.29） 。
所以：ABC、DCB 是有∠ABC 、∠ACB 分别等于对应∠DCB 、∠CBD 的两个三角形。所以：余下的边与角对应相等（命题I.26） 。
所以：AB 等于CD，AC 等于BD ，且∠BAC 等于∠CDB 。
又，因为∠ABC 等于∠BCD ，∠CBD 等于∠ACB ，大∠ABD 等于大∠ACD （公理2） ，∠BAC 也能被证明等于∠CDB ；
所以：平行四边形对应边与对应角相等。
另外求证：对角线平分。
因为：AB 等于CD，BC 是公共边，AB、BC 分别等于对应边DC、CB ，且∠ABC 等于∠BCD 。
所以：AC 也等于DB ；三角形ABC 全等于三角形DCB （命题I.4） 。所以：对角线BC 平分平行四边形ACDB 。（这里就该证明AD、BC 互相平分） 。
所以：在平行四边形中，对边相等，对角相等，对角线平分该四边形。
证完
《原子丽达》的研究
从人类文明的发展史来看，在所有的曲线中，圆因其完美的外形最先赢得了人们对其神秘性的推崇。椭圆、抛物线和双曲线是人们在尚无解析工具的情况下就开始的一类圆锥曲线。达利所崇尚的就是归一的统摄与完整。在他的心目中，与圆有关的造型是绝对统一的象征。这幅画表现了一个传统又具有原子张力的世界，各种几何图形的巧妙搭配，使所有物体互不接触，但又相互吸引。
注解
普鲁克劳斯指出，“平行四边形”是欧几里得创造的，不过在希腊早期的数学中却并未出现过。
本命题应用在接下来的四个命题中，也应用在卷2、4、6、10、11、12中。
命题I.35
同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
设：平行四边形ABCD 、平行四边形ΕBCF 有共同的底边BC 且在两平行线AF、BC 之间。
求证：平行四边形ABCD 的面积等于平行四边形ΕBCF 的面积。
因为：ABCD 是平行四边形，所以AD 等于BC （命题I.34） 。
同理可得：ΕF 等于BC 。
所以：AD 也就等于ΕF （公理I.1） 。又，DΕ 是共用边，所以：AΕ 等于DF （公理I.2） 。
而AB 也等于DC （命题I.34） ，所以：ΕA、AB 分别等于对应边FD、DC ，∠FDC 等于∠ΕAB ，同位角相等（命题I.29） 。所以：底边ΕB 等于底边FC ，三角形ΕAB 全等于三角形FDC （命题I.4） 。
令两三角形减去三角形DGΕ ，于是，余下的梯形ABGD 的面积等于余下的梯形ΕGCF 的面积（公理I.3） 。
令加上三角形GBC ，所以：平行四边形ABCD 的面积等于平行四边形ΕBCF 的面积（公理I.2） 。
所以：同底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
证完
结
埃舍尔的数学兴趣在这件作品中表现得尤为突出，除了数学家，普通人很难对这个结构产生兴趣，它被称为三叶纽结，是最简单的纽结形式。所有的纽结都是针对三维空间曲线，在二维平面上不可能打成一个真正的纽结，埃舍尔的做法是赋予这条曲线复杂的外形，然后在平面上用严格的透视法再现这个结构。
注解
本命题应用在接下来的两个命题以及命题XI.31中。
命题I.36
等底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
设：平行四边形ABCD 、平行四边形ΕFGH 的底边BC 等于底边FG ，并在同一线段上。AH 平行于BG 。
求证：平行四边形ABCD 与平行四边形ΕFGH 的面积相等。
连接BΕ、CH 。因为：BC 等于FG ，同时FG 等于ΕH、BC 也等于ΕH （公理I.1） 。
又，它们是平行的。
ΕB、HC 与它们相连，而末端相连的线段对应相等并平行（命题I.33） ，所以：ΕBCH 是平行四边形（命题I.34） 。
因为BC 是共用边，BC、AH 在同一平行线上，所以平行四边形ΕBCH 的面积等于平行四边形ABCD 的面积（命题I.35） 。
同理：平行四边形ΕFGH 的面积等于平行四边形ΕBCH 的面积（命题I.35） ；
所以：平行四边形ABCD 的面积也等于平行四边形ΕFGH 的面积（公理I.1） 。
所以：等底且在相同的二平行线之间的平行四边形面积相等。
证完
注解
本命题是前一命题的归纳，事实上此二命题可以绑定为一个命题，在首先证明了它的特殊情况后，接着证明其通常情况。
本命题应用在命题I.38中，其他的一些证明应用在卷2、6和命题XI.29中。
命题I.37
同底等高的三角形面积相等。
设：三角形ABC 、三角形DBC 有同底边BC ，并有相同平行线段AD、BC 。
求证：三角形ABC 与三角形DBC 面积相等。
令：在两个方向上延长AD 至Ε 和F ，过B 作BΕ 平行于CA （命题I.31） 。
过C 作CF 平行于BD 。
因为图形ΕBCA、DBCF 有共同的边BC 及ΕF （命题I.35） ，所以：ΕBCA、DBCF 是平行四边形，并相等。
因为AB 是对角线，故：三角形ABC 是平行四边形ΕBCA 的一半（命题I.34） 。
DC 是对角线，故：三角形DBC 是平行四边形DBCF 的一半（命题I.34） 。
（等量的一半相等）。
所以：三角形ABC 的面积等于三角形DBC 的面积。
所以：同底等高的三角形面积相等。
证完
注解
本命题中三角形底边相同，在下一个命题中底边相等。证明是一样的，只是本命题依赖于命题I.35，而命题I.38则依赖于命题I.36，且是更为通用的情况。最后的结论有些疏漏，根据命题的证明，应该是两个量的两倍相等。
本命题应用在命题I.39、I.41、卷6中。
命题I.38
等底等高的三角形面积相等。
设：三角形ABC 和三角形DΕF ，有相等的底边BC 和ΕF ，并在同一线段BF 及AD 上。
求证：三角形ABC 的面积等于三角形DΕF 的面积。
令：在两个方向上延长AD 至G 和H ；通过B 作BG 平行于CA （命题I.31） ；通过F 作FH 平行于DΕ 。
因为BC 等于ΕF ，且在同一线段BF、GH 上（命题I.36） ，所以：图形GBCA、DΕFH 是平行四边形，且两者相等。
又，因为AB 是对角线（命题I.34） 。所以：三角形ABC 是平行四边形GBCA 的一半。
同理：DF 是DΕFH 的对角线，所以三角形DΕF 是平行四边形DΕFH 的一半（命题I.34） 。所以：三角形ABC 的面积等于三角形DΕF 的面积。
所以：等底等高的三角形面积相等。
证完
注解
本命题的结论是清晰的，根据命题I.36，底相等且在同一对平行线上的平行四边形相等，又根据命题I.34，三角形是平行四边形的一半，于是，三角形也相等。
本命题应用在命题I.40、I.42、VI.1中。
命题I.39
有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。
设：ABC、DBC 是以BC 为底边在BC 同侧面积相等的三角形。
求证：它们在两平行线间。
连接AD ，那么：AD 平行于BC 。
假定：AD 不平行于BC ，过A 点作AΕ 平行于BC （命题I.31） 。
连接ΕC 。
因为BC 是共用边，它们同底等高（命题I.37） ，那么：三角形ABC 的面积等于三角形ΕBC 的面积。
而ABC 的面积等于DBC 的面积，所以：DBC 的面积也等于ΕBC 的面积（公理I.1） ，那么大等于小，这是不可能的。
所以：AΕ 不是BC 的平行线。
同理：能证明除AD 以外的其他线段不是BC 的平行线。
所以：AD 是BC 的平行线。
所以：有共同底边位于同侧面积相等的三角形的另两点的连线平行于底边。
证完
注解
本命题的部分是命题I.37的逆命题，仅仅是部分，因为两个三角形ABC 和三角形DBC 有相同的边，即线段BC 上的边。如果它们不是，那么AD 将不能与BC 平行，而是穿过其中点。
本命题应用在命题VI.2中。
命题I.40
等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行。
设：ABC、CDΕ 是面积相等的三角形，并有相等底边BC 和CΕ ，且在同一侧。
求证：两三角形顶点的连线与底边平行。
连接AD ，那么：AD 平行于BΕ 。
如果不是，令：过A 作AF 平行于BΕ （命题I.31） ，再连接FΕ 。
于是：三角形ABC 等于三角形FCΕ 的面积。因为，它们在相等底边BC、CΕ 上，且在相同平行线BΕ、AF 之间（命题I.38） 。
又，三角形ABC 等于三角形DCΕ 的面积，所以：三角形DCΕ 也等于三角形FCΕ 的面积，大等于小。这是不可能的。所以：AF 不平行于BΕ 。
类似地，可以证明，除了AD 以外的任何线段也不可能平行于BΕ ，所以：AD 平行于BΕ 。
所以：等底并在同一边的面积相等的三角形，顶点的连线与底边平行。
证完
四柱式庭院
英国数学家罗素说过“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美”。他所说的是一种形式高度抽象的美，即逻辑形式与结构的完美。这种以简单结构以及逻辑形式完美为目标的追求，使数学成为人类艺术发展的文化激素。数学对艺术的影响遍及绘画、音乐、建筑、文学等各个方面，仅就建筑而言，就涉及对称、黄金分割、各种曲线和曲面等。图中的四柱式庭院就是一个简单却极富表现力的木制品，它展现了以数学为基础的构成要素。
注解
本命题不同于本卷中的其他命题，在《原本》中再也没有被应用过。
命题I.41
如果一个平行四边形与一个三角形同底边，并于同一顶点连线平行于底边，那么，平行四边形的面积是三角形的两倍。
设：平行四边形ABCD 与三角形ΕBC 有同底边BC ，并在两平行线BC、AΕ 之间。
求证：平行四边形ABCD 的面积是三角形BΕC 的面积的两倍。
连接AC （公设I.1） 。
于是：三角形ABC 的面积等于三角形ΕBC 的面积。因为，它们有同底边BC 并BC 平行于AΕ （命题I.37） 。
又，平行四边形ABCD 的面积是三角形ABC 的面积的两倍，因为，对角线AC 平分ABCD ，于是：平行四边形ABCD 的面积是三角形ΕBC 的面积的两倍（命题I.34） 。
所以：如果一个平行四边形与一个三角形同底边，并同一顶点连线平行于底边，那么平行四边形的面积是三角形的两倍。
证完
注解
本命题的部分是对命题I.34的归纳，平行四边形的面积是其对角线与两边所围成的三角形的面积的两倍，可以陈述为，如果一个平行四边形与一个三角形同底，且在同一对平行线上，那么该平行四边形的面积是三角形面积的两倍。
本命题应用于下一命题及命题I.47、VI.1、X.38中。
命题I.42
可以作一个平行四边形使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积。
设：ABC 为给定三角形，∠D 为给定角。
求证：根据给定∠D ，作一个平行四边形的面积等于三角形ABC 的面积。
在Ε 点平分BC ，连接AΕ 。在线段ΕC 及点Ε 上作∠CΕF 等于给定∠D 。过A 作AG 平行于ΕC ，再过C 作CG 平行于ΕF （命题I.10，公设I.1、I.23、I.31） 。
因此：FΕCG 是平行四边形。
因为BΕ 等于ΕC ，所以：三角形ABΕ 的面积也等于三角形AΕC 的面积。因为，它们在相等底边BΕ 和ΕC 上，并在相同二平行线BC、AG 之间，所以：三角形ABC 的面积是三角形AΕC 的面积的两倍（命题I.38） 。
又，平行四边形FΕCG 的面积也是三角形AΕC 的面积的两倍，因为两者有相等的底边，并顶点连线与底边平行，所以：平行四边形FΕCG 的面积也等于三角形ABC 的面积。
又，∠CΕF 等于给定∠D 。
所以：平行四边形FΕCG 被作出，等于给定的三角形ABC 的面积，并且∠D 等于∠CΕF 。
所以：可以作一个平行四边形使其面积等于一个给定角的给定三角形的面积。
证完
注解
本命题应用在下面两个命题中。
命题I.43
在任何平行四边形中，对角线上两边的平行四边形的补形面积相等。
设：ABCD 是平行四边形，且AC 是对角线，作AΕKH 和KGCF 两个平行四边形，ΕBGK 和HKFD 被称为补形。
求证：补形ΕBGK 的面积等于补形HKFD 的面积。
因为ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，所以：三角形ABC 的面积等于三角形ACD 的面积（命题I.34） 。
又，因为AΕKH 是一个平行四边形，且AK 是其对角线，所以：三角形AΕK 的面积等于三角形AHK 的面积。
同理，三角形KFC 的面积等于三角形KGC 的面积（命题I.34） 。
现在，因为三角形AΕK 的面积等于三角形AHK 的面积，且三角形KFC 的面积等于三角形KGC 的面积，所以：三角形AΕK 的面积与三角形KGC 的面积相加等于三角形AHK 的面积与KFC 的面积相加。
又，整体三角形ABC 的面积也等于整体三角形ADC 的面积，所以：补形ΕBGK 的面积等于补形HKFD 的面积。
所以：在任何平行四边形中，对角线上两边的平行四边形的补形的面积相等。
证完
注解
本命题应用在下一个命题中，也用在卷2、6的几个命题中。
命题I.44
给定一条线段，给定一个角，可作一个平行四边形使其面积等于给定的三角形。
设：AB 为给定的线段，∠D 为给定的角，C 为给定的三角形。
求作：在AB 上作一个平行四边形等于给定的三角形C 的面积，并使其一个内角等于给定的∠D 。
设：要作的等于三角形C 的平行四边形是BΕFG ，其中∠ΕBG 等于∠D ，移动线段ΕB ，使之与AB 重合（命题I.42） 。
延长FG 至H ，过A 作AH 平行于BG ，也平行于ΕF 。连接HB （公设I.2、命题I.31、公设I.1） 。
因为线段HF 与AH 和ΕF 相交，所以：∠AHF 和∠HFΕ 之和等于两个直角。
所以：∠BHG 和∠GFΕ 之和小于两个直角。
且将直线无限延长后，在小于两直角的一侧相交，所以：当延长HB 和FΕ 时，它们将相交（命题I.29、公设I.5） 。
令：延长它们并相交于K ，再过K 作KL 平行于ΕA 或者FH 。
延长HA 和GB 至点L、M （命题I.31） 。
于是：HLKF 是平行四边形，HK 是它的对角线，且AHGB 和MBΕK 是平行四边形，四边形LABM 和BGFΕ 是四边形LHFK 上的补形。
所以：四边形LABM 等于BGFΕ 的面积（命题I.43） 。
又，BGFΕ 的面积等于三角形C 的面积，所以：四边形LABM 也等于C 的面积（公理I.1） 。
因为∠GBΕ 等于∠ABM ，同时，∠GBΕ 等于∠D ，所以：∠ABM 也等于∠D （命题I.15） 。
所以：用给定线段AB 作出的平行四边形LABM 的面积，等于给定的三角形C 的面积，且其中∠ABM 等于∠D 。
所以：给定一条线段，给定一个角，可作一个平行四边形使其面积等于给定的三角形。
证完
时间和空间的形态
在牛顿的理论中，时间独立于其他万物而存在，它仿佛是在两个方向上都无限延伸的铁轨。1915年，爱因斯坦提出了一种崭新的数学模型：广义相对论。这个理论是时间和空间模型的基础。广义相对论把时间维和空间的三维合并形成时空，宇宙中物质和能量的分布引起时空弯曲和畸变，这个时空中的物体企图沿着直线运动，但时空是弯曲的，它们的轨迹显得被弯折了，这样，时间就有了形态。然而，它只能往一个方向前进。
注解
本命题的证明分为两步，第一步是利用命题I.42作平行四边形，使其角等于给定的三角形的某一角；第二步是调用命题I.43，改变其长度，使之等于合适的长度。
本命题除了应用在下一命题中以外，也用在命题VI.25中作一个图形，使之相似但不等于给定的直线图形。
命题I.45
作一平行四边形使其内角等于一给定角，面积等于给定的多边形的面积。
设：ABCD 为给定的多边形，∠Ε 为给定的角。
求作：作一平行四边形，使其面积等于多边形ABCD 的面积，并满足内角等于∠Ε 的条件。
连接DB ，设要作的等于三角形ABD 的面积的平行四边形是FKHG ，其中∠HKF 等于∠Ε （公设I.1，命题I.42、I.44） 。
因为：∠Ε 等于∠HKF ，也等于∠GHM 。
所以：∠HKF 也等于∠GHM （公理I.1） 。
每个角加上∠KHG ，于是：∠FKH 与∠KHG 之和等于∠KHG 与∠GHM 之和（公理I.2） 。
又，∠FKH 与∠KHG 之和等于两个直角的和，所以：∠KHG 与∠GHM 之和也等于两个直角（公理I.1） 。
于是：用一条线段GH 及它上面的一点H ，不在它同侧的两线段KH、HM 作成相邻的两角的和等于二直角（命题I.14） 。
因为直线HG 与平行线KM 和FG 相交，所以：两内错角∠MHG 与∠HGF 相等（命题I.29） 。
∠HGL 与每个角相加，于是：∠MHG 与∠HGL 之和等于∠HGF 与∠HGL 之和（公理I.2） 。
又，∠MHG 与∠HGL 之和等于两个直角，所以：∠HGF 与∠HGL 之和等于两个直角。所以：FG 与GL 在同一直线上（命题I.29、I.14） 。
因为FK 等于且平行于HG ，而HG 等于且平行于ML ，所以：KF 也等于且平行于ML 。又，线段KM 和FL 连接了它们的端点，所以：KM 与FL 也相等且平行。
所以：KFLM 是一个平行四边形（命题I.34、I.30、I.33） 。
因为三角形ABD 的面积等于平行四边形FKHG 的面积，且三角形DBC 的面积等于平行四边形GHML 的面积，所以：总多边形ABCD 的面积等于总平行四边形KFLM 的面积（公理I.2） 。
所以：平行四边形KFLM 被作出，它等于给定的多边形ABCD 的面积，且∠FKM 等于给定∠Ε 。
所以：可作一平行四边形使其内角等于一给定角，面积等于给定的多边形的面积。
证完
注解
本命题很好地解决了什么是直线图形的面的问题。但什么是圆的面呢？在《原本》中未得到解决。
本命题应用在命题II.14、VI.25、XI.32中，在命题XI.32中，用来作不同平面。
命题I.46
给出一条线段，可以作一个正方形。
设：AB 为给定的线段。
现在要求的是：在AB 上作一个正方形。
过点A 作AC 垂直于AB ，使AD 等于AB ，再过点D 作DΕ 平行于AB ，过点B 作BΕ 平行于AD （命题I.11、I.3、I.31） 。
于是：ADΕB 是平行四边形。
所以：AB 等于DΕ，AD 等于BΕ （命题I.34） 。
又，AB 等于AD ，所以：四条线段BA、AD、DΕ、ΕB 相互相等。所以：平行四边形ADΕB 是等边的。
求证：它也是直角形。
因为线段AD 与平行线AB 和DΕ 相交，所以：∠BAD 与∠ADΕ 之和等于两个直角（命题I.29） 。
又，∠BAD 是直角，所以：∠ADΕ 也是直角。
又，在平行四边形中，对边和对角相互相等，所以：对角∠ABΕ 和∠BΕD 也是直角。所以：ADΕB 是直角图形（命题I.34） 。
