又，它也被证明是等边的。
所以：给出一条线段，可以作一个正方形。
证完
注解
本命题是第二个关于正多边形的，第一个是命题I.1的正三角形。正五、六和十五边形出现在卷4中。
本命题应用在下一命题中，在卷2、6、12、13中都有大量应用。
命题I.47
在直角三角形中，以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（两直角边的平方和等于斜边的平方）。
设：ABC 是直角三角形，其中∠BAC 是直角。
求证：BC 为边的正方形面积等于以BA 和AC 为边的正方形面积之和。
作BC 为边的正方形BDΕC ，且作BA 和AC 为边的正方形BAGF 和ACKH 。过A 作AL 平行于BD ，也平行于CΕ ，连接AD 和FC （命题I.46、I.31） 。
因为∠BAC 和∠BAG 皆是直角，在一条直线BA 上的一个点A 有两条直线AC、AG 不在它的同一侧所成的两邻角的和等于两直角，于是CA 与AG 在同一直线上（定义I.22、命题I.14） 。
同理，BA 也与AH 在一条直线上。
因为∠DBC 等于∠FBA ，它们是直角，每个角加上∠ABC ，于是：总∠DBA 等于总∠FBC （定义I.22、公设I.4、公理I.2） 。
因为DB 等于BC，FB 等于BA ，边AB 和BD 分别等于边FB 和BC ，且∠ABD 等于∠FBC ，所以：底边AD 等于底边FC ，且三角形ABD 的面积等于三角形FBC 的面积（定义I.22、命题I.4） 。
现在，平行四边形BDLO 的面积是三角形ABD 的面积的两倍，因为，它们有同底边BD ，且在相同平行线BD 和AL 之间。
又，正方形GFBA 是三角形FBC 的面积的两倍，因为它们有同底FB ，且在相同平行线FB 和GC 之间（命题I.41） 。
所以：平行四边形BDLO 的面积也等于正方形GFBA 的面积。
类似地，如果连接AΕ 和BK ，平行四边形OLΕC 的面积也能被证明等于正方形ACKH 的面积。
所以：总正方形BDΕC 的面积，等于FBAG 和ACKH 两个正方形的面积之和（公理I.2） 。
又，BDΕC 正方形是作在BC 上的，且正方形FBAG 和ACKH 是作在BA 和AC 上的。
所以：BC 为边的正方形的面积等于BA 和AC 为边的正方形的面积之和。
所以：在直角三角形中，以斜边为边的正方形的面积等于两直角边为边的正方形的面积之和。
证完
注解
这就是著名的毕达哥拉斯定理（又名勾股定理）的证明。
本命题应用在下两个命题中，其逆命题用在第2卷命题II.9～II.14中，其余各卷中也有应用。
命题I.48
在一个三角形中，如果以一边为边的正方形面积等于以另两边为边的正方形面积之和，那么，后两边的夹角是直角。
设：在三角形ABC 中，BC 为边的正方形等于BA 和AC 为边的正方形的面积之和。
求证：∠BAC 是直角。
过A 作AD 垂直于AC ，使AD 等于BA ，连接DC （命题I.11、I.3，公设I.1） 。
因为DA 等于AB ，所以：DA 为边的正方形的面积也等于AB 为边的正方形的面积。
用AC 为边的正方形的面积与每个相加，于是：DA 和AC 为边的正方形的面积之和等于BA 和AC 为边的正方形的面积之和（公理I.2） 。
又，DC 为边的正方形的面积等于DA 和AC 为边的正方形的面积之和，因为∠DAC 是直角。且BC 为边的正方形的面积等于BA 和AC 为边的正方形的面积之和，因为，这是假设。
所以：DC 为边的正方形的面积等于BC 为边的正方形的面积。于是：DC 边也等于BC （命题I.47、公理I.1） 。
因为DA 等于AB，AC 是公共边，DA 和AC 两边等于BA 和AC 两边，且DC 边等于BC 边，所以：∠DAC 等于∠BAC 。
而∠DAC 是直角，所以：∠BAC 也是直角（命题I.8） 。
所以：在一个三角形中，如果以一边为边的正方形面积等于以另两边为边的正方形的面积之和，那么，后两边的夹角是直角。
证完
注解
这一命题是前一命题的逆命题。
本命题应用在命题XI.35中。
第2卷
几何与代数
CHAPTER 2
公元前387年，柏拉图在雅典创立了哲学学园。他非常重视数学，在教学科目中开设了代数与几何课程。但他片面强调数学在训练思维中的作用，忽视其使用价值。他希望通过学习几何来培养逻辑思维能力，利用几何给人的强烈印象来将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。他在学园门口立了一个牌子——“不懂几何者免进”。
该卷主要讨论的是毕达哥拉斯学派的几何代数学。
本卷提要
※命题II.1，如果y ＝y 1 ＋y 2 ＋…＋y n ，那么xy ＝xy 1 ＋xy 2 ＋…＋xy n ，也可以用单一恒等式表示为：x （y 1 ＋y 2 ＋…＋y n ）＝xy 1 ＋xy 2 ＋…＋xy n 。
※命题II.2，如果x ＝y ＋z ，那么x 2 ＝xy ＋xz ，用等式表示这两个变量有多种方式，比如：（y ＋z ）2 ＝（y ＋z ）y ＋（y ＋z ）z ，或者x 2 ＝xy ＋x （x -y ）。
※命题II.3，如果x ＝y ＋z ，那么xy ＝yz ＋y 2 ，也可以表示为：（y ＋z ）y ＝yz ＋y 2 和xy ＝y （x -y ）＋y 2 。
※命题II.4，如果x ＝y ＋z ，那么x 2 ＝y 2 ＋z 2 ＋2yz 。等式表示为：（y ＋z ）2 ＝y 2 ＋z 2 ＋2yz 。
※命题II.5、II.6，等式可表示为：（y ＋z ）（y -z ）＋z 2 ＝y 2 。
※命题II.7，如果x ＝y ＋z ，那么x 2 ＋z 2 ＝2xz ＋y 2 。等式可表示为：x 2 ＋z 2 ＝2xz ＋（x -z ）2 。
※命题II.8，如果x ＝y ＋z ，那么4xy ＋z 2 ＝（x ＋y ）2 。等式表示为：4xy ＋（x -y ）2 ＝（x ＋y ）2 。
※命题II.9、II.10，等式可表示为：（y ＋z ）2 ＋（y -z ）2 ＝2（y 2 ＋z 2 ）。
※命题II.12、II.13，余弦定理的几何模型。
※命题II.14，作一个正方形等于已知直线图形。完成从卷1开始的关于面的理论的建设。
定义
Ⅱ.1 有一个直角的平行四边形称为矩形。
Ⅱ.2 在任何平行四边形中，以此形的对角线为对角线的小平行四边形与两个相应的补形构成的图形称为折尺形。
命题II.1
两条线段，其中一条被截分成许多段，那么以这两条线段为边构成的矩形的面积等于各截线段与未截分的那条线段为边所构成的矩形面积的和。
设：a 和BC 为两条线段，BC 被任意点D 及Ε 切割。
求证：a 与BC 的积等于a 与BD、a 与DΕ、a 与ΕC 之积的和。
令：从B 点引出BF 线垂直于BC （命题I.11） ；在BF 线上选G 点，使BG 等于a （命题I.3） ；
过G 点引出GH 线平行于BC （命题I.31） ；通过D、Ε、C 三点作DK、ΕL、CH 平行于BG 。
那么：矩形BGHC 等于BGKD、DKLΕ、ΕLHC 之和。
又因为BG 等于a ，矩形BGHC 是GB、BC 构成的矩形，所以：BH 是线a 与BC 的积。
又因为BG 等于a，BGKD 包含GB、BD ，所以：BGKD 是线a 与BD 的积。
又因为GB 等于a，GB 等于DK （命题I.34） ，所以：矩形DKLΕ 等于线a 与DΕ 的积。
同理：矩形ΕLHC 等于线a 与ΕC 的积。
因此：a 与BC 的积等于a 与BD、a 与DΕ、a 与ΕC 之积的和。
所以：两条线段，其中一条被截分成许多段，那么以这两条线段为边构成的矩形的面积等于各截线段与未截分的那条线段为边所构成的矩形面积的和。
证完
命题II.2
一条线段被任意分成两部分，以这两部分与原线段为边所构成的矩形面积之和，等于以原线段为边所构成的正方形的面积。
设：线段AB 被一任意点C 所切割。
求证：AB、AC 构成的矩形与AB、BC 构成的矩形面积之和等于AB 上的正方形面积。
令：过C 点作CF 平行于AD 或BΕ 。
那么：AΕ 等于AF 加CΕ （命题I.46、I.31） 。
既然AD 等于AB，BΕ 等于AB ，那么：ADΕB 是AB 上的正方形；ADFC 是由AB、AC 构成的矩形，CFΕB 是AB、BC 构成的矩形（定义II.1） 。
所以：AB、AC 构成的矩形加AB、BC 构成的矩形等于AB 上的正方形。
所以：如果一条线段被任意分成两部分，以这两部分与原线段构成的矩形的面积之和，等于原线段所构成的正方形的面积。
证完
命题II.3
如果一条线段被任意分成两段，那么该线段与两条小线段之一所构成的矩形，等于两条小线段所构成的矩形与前面小线段上的正方形的面积之和。
设：线段AB 在C 点被切割。
求证：AB、BC 构成的矩形等于AC、CB 构成的矩形与BC 上的正方形相加。
令：以CB 为边作正方形CDΕB ，延伸ΕD 至F ，通过A 点作AF 平行于CD 或BΕ （命题I.46、I.31） 。
那么：AΕ 等于AD 加CΕ 。
因为：BΕ 等于BC ；AΕ 是由AB、BΕ 为边构成的；CD 等于CB，DB 是CB 上的正方形。
所以：AΕ 是AB、BC 为边构成的矩形；AD 是AC、CB 为边构成的矩形。
所以：AB、BC 所构成的矩形等于AC、BC 构成的矩形与BC 上的正方形之和。
所以：如果一条线段被任意分成两段，那么该线段与两条小线段之一所构成的矩形的面积，等于两条小线段所构成的矩形与前面小线段上的正方形的面积之和。
证完
命题II.4
如果一条线段被任意切分为二，以该线段为边的正方形的面积等于两条小线段上的正方形的面积之和再加上两条小线段所构成的矩形面积的两倍。
设：线段AB 在C 点被切割。
求证：AB 上的正方形等于AC 上的正方形加CB 上的正方形再加AC、CB 构成的矩形的两倍。
令：作AB 上的正方形ADΕB ，连接BD ，过C 点作CF 平行于AD 或ΕB ，过G 点作HK 使之平行于AB 或DΕ （命题I.46、I.31） 。
那么因为CF 平行于AD，BD 与它们相交，同位角∠CGB 等于∠ADB （命题I.29） ，又因为BA 也等于AD ，因此：∠ADB 等于∠ABD ；
所以：∠CGB 也等于∠GBC ；
所以：BC 边也等于CG 边（命题I.5、I.6） ；
而CB 等于GK，CG 等于KB ；
所以：GK 也等于KB ；
所以：CGKB 是菱形（命题I.34） 。
进一步说：它们也是直角。
因为CG 平行于BK ，∠KBC 加上∠GCB 等于两个直角的和（命题I.29） ，而∠KBC 为直角；所以：∠BCG 也是直角。所以：对∠CGK 、∠GKB 也为直角（命题I.34） 。
所以：CGKB 为正方形，是以CB 为边作出的。
同理可证：HDFG 也是正方形，作在HG 线上；也就是AC 线上；
所以：正方形HDFG、CGKB 分别就是AC 上与CB 上的正方形（命题I.34） ；
那么现在，因为GC 等于CB ，故：矩形AHGC 等于矩形GFΕK ，矩形AHGC 是AC、CB 构成的矩形；
所以：矩形GFΕK 也等于AC、CB 构成的矩形。
所以：矩形AHGC 加矩形GFΕK 就等于AC、CB 构成的矩形的两倍（命题I.43） 。
又，正方形HDFG 和CGKB 的和也等于AC、CB 上的正方形的和，所以：正方形HDFG、CGKB 、矩形AHGC 和矩形GFΕK 四个图形相互加就等于AC 上的正方形的面积加CB 上的正方形的面积再加AC、CB 构成的矩形的两倍。
又，正方形HDFG、CGBK 、矩形AHGC 与矩形GFΕK 的和等于ADΕB ，也就是AB 上的正方形，所以：AB 上的正方形等于AC 上的正方形加CB 上的正方形再加AC、CB 构成的矩形的两倍。
因此：若一条线段被任意点切分为二，以线段为边的正方形的面积等于两条小线段的正方形的面积之和，再加上两条小线段所构成的矩形的面积的两倍。
证完
命题II.5
如果把一条线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，那么，不相等的两条线段构成的矩形，与以两个分点之间的距离形成的正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形的面积。
令：线段AB 在C 点被等分，在D 点不被等分。
求证：AD 线与DB 线构成的矩形加上CD 线为边的正方形的面积等于CB 线为边的正方形的面积。
令：作CB 上的正方形CΕFB ，连接BΕ ，通过D 点作DG 平行于CΕ 或BF ，过H 作KM 平行于AB 或ΕF ，再过A 点作AK 平行于CL 或BM （命题I.46、I.31） 。
那么，因为矩形CLHD 等于HGFM ，令每个加上DHMB ，于是：矩形CLMB 等于DGFB （命题I.43） ；
又因为矩形CLMB 等于AKLL ，而AC 又等于CB ，所以：矩形AKLC 也等于DGFB 。
令每个加上矩形CLHD ，于是：面AKHD 就等于折尺形NOP （命题I.36、定义II.2） 。
又因为DH 等于DB ，于是：面AKHD 是AD、DB 构成的矩形。
所以：折尺形NOP 也等于AD、DB 构成的矩形。
又，LΕGH 等于CD 上的正方形，将LΕGH 加在以上各边，于是：折尺形NOP 加上LΕGH 等于AD、DB 构成的矩形加上CD 上的正方形。
又，折尺形NOP 加LΕGH 等于CB 上的正方形CΕFB ，所以：AD 与DB 上的矩形加上CD 上的正方形等于CB 上的正方形。
所以：如果把一条线段先分成两条相等的线段，再分成两条不相等的线段，那么，不相等的两条线段构成的矩形，与以两个分点之间的距离形成的正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形的面积。
证完
命题II.6
若一条线段被平分，在其尾端再增加一条线段，那么总线段与增加线段所构成的矩形的面积与原线段一半上的正方形的面积之和，等于原线段一半加上增加线所构成的正方形的面积。
设：线段AB 被C 点平分，BD 是附加的线段。
求证：AD、DB 为边构成的矩形的面积加上CB 为边构成的正方形的面积等于CD 为边构成的正方形的面积。
令：以CD 为边作正方形CΕFD （命题I.46） 。
连接DΕ ，过B 点作BG 使之平行于ΕC 或者DF 。
过H 点作KM 使之平行于AB 或ΕF ，再通过A 点作AK 使之平行于CL 或DM （命题I.31） ，那么：既然AC 等于CB ，矩形AKLC 也就等于矩形CLHB （命题I.36） ；
而矩形CLHB 等于HGFM （命题I.43） ，所以：矩形AKLC 也等于矩形HGFM 。
令CM 加在各边，于是，整个AM 等于折尺形NOP 。又因为：DM 等于DB ，因此AM 是以AD、DB 为边构成的矩形。
所以：折尺形NOP 也等于AD、DB 构成的矩形。
令：BC 为边的正方形LΕGH 与每个相加加在以上各边。
那么：以AD、DB 构成的矩形加CB 上的正方形等于折尺形NOP 加LG 。
又，折尺形NOP 加上LΕGH 又是CD 上的正方形CΕFD ；
所以AD、DB 构成的矩形加CB 线为边的正方形等于以CD 为边的正方形。
所以：若一条线段被平分，在其尾端再增加一条线段，那么总线段与增加线段所构成的矩形的面积与原线段一半上的正方形的面积，等于原线段一半加上增加线所构成的正方形的面积。
证完
命题II.7
一条线段被任意的一点切分，以这条线段为边的正方形的面积和其中一条小线段上的正方形的面积之和，等于以总线与分线为边的矩形的面积的两倍与余下的小线段上的正方形的面积之和。
设：线段AB 被任意点C 所切分。
求证：以AB、BC 线为边的正方形之和等于以AB、BC 线为边的矩形的两倍与CA 线为边的正方形之和。
令：作AB 线为边的正方形ADΕB （命题I.46） ；连接各点。
那么：由于矩形AHGC 等于GNΕF （命题I.43） 。
令正方形CGKB 与各个相加，于是：整个矩形AHKB 便等于整个矩形CNΕB 。所以：矩形AHKB 、矩形CNΕB 的和是矩形AHKB 的两倍。
又，矩形AHKB 、矩形CNΕB 的和等于折尺形KLM 加正方形CGKB 。所以，折尺形KLM 与正方形CGKB 的和是矩形AHKB 的两倍。
但是，以AB、BC 线为边的矩形的两倍也等于矩形AHKB 的两倍，因为BF 等于BC ，于是：折尺形KLM 与正方形正方形CGKB 之和等于AB、BC 为边的矩形的两倍。
令：AC 线为边的正方形HDNG 与每个相加。
于是，折尺形KLM 与以BG、GD 线为边的正方形之和等于以AB、BC 为边的矩形的两倍与AC 上的正方形之和。
又，折尺形KLM 与正方形CGFB、HDNG 之和等于ADΕB 与CGFB 的和，它们是AB、BC 为边的正方形。
所以：正方形ADΕB、CGFB 之和等于AB、BC 为边构成的矩形的两倍与以AC 线为边的正方形的和。
所以：一条线段被任意的一点切分，以总线为边的正方形和以其中一条小线段为边的正方形的面积之和，等于总线与小线段构成的矩形的面积的两倍与余线上的正方形的面积之和。
证完
命题II.8
任意两分一个线段，用原线段和一个小线段构成的矩形的四倍与另一小线段上的正方形面积的和，等于原线段与前一个小线段之和上的正方形的面积。
设：线段AB 被任意一点C 所切分。
求证：以AB 与BC 构成的矩形的四倍与AC 线为边的正方形的和等于AB 与BC 之和上的正方形。
令：延长AB 线至D ，使BD 等于CB ；作AD 为边的正方形AΕFD ，连接该图形的各点。
那么，因为CB 等于BD ，同时CB 等于GK，BD 等于KN ，所以：GK 也等于KN 。
同理可证：QR 也等于RP 。
又，因为BC 等于BD，GK 等于KN ，所以：CK 也等于KD，GR 也等于RN （命题I.36） 。
又，CK 与RN 皆为平行四边形CP 的补形，故：CK 等于RN （命题I.43） 。所以：KD 也等于GR ；
所以：4个区DK、CK、GR、RN 相互相等，所以其和是CK 的四倍。
又，因为CB 等于BD ，同时BD 等于BK （以及CG ） ，CB 等于GK （以及GQ ） ，所以CG 也等于GQ 。
又，因为CG 等于GQ，QR 等于RP ，故：AG 也等于MQ，QL 也等于RF （命题I.36） 。
又，因为MQ 与QL 是平行四边形ML 的补形，所以：MQ 等于QL （命题I.43） 。所以AG 也等于RF 。所以：四个区AG、MQ、QL、RF 相互相等。所以：其和是AG 的四倍。
又，四个区CK、KD、GR、RN 也可以被证明是CK 的四倍，所以：包含折尺形STU的八个区是AK 的四倍。
又，因为BK 等于BD ，所以AK 是AB、BD 为边的矩形。所以：以AB、BD 为边的矩形的四倍是AK 的四倍。
又，折尺形STU 也能被证明为AK 的四倍，所以：以AB、BD 为边的矩形的四倍等于折尺形STU 。
令：OH （等于AC 为边的正方形） 与各个相加。于是：AK 的四倍与以AC 为边的正方形之和等于折尺形STU 与OH 之和。
又，折尺形STU 与OH 之和等于正方形AΕFD （AD 为边的正方形） ，所以：以AB、BD 为边的矩形的四倍与以AC 为边的正方形之和等于以AD 为边的正方形。
又，BD 等于BC ，所以：AB、BC 围成的矩形的四倍与AC 上的正方形之和等于AD 上的正方形——也是AB、BC 之和上的正方形。
所以：任意两分一个线段，用原线段和一个小线段构成的矩形的四倍与另一小线段上的正方形面积的和，等于原线段与前一个小线段之和上的正方形的面积。
证完
命题II.9
如果一条线段先后被分成相等和不相等的线段，那么，不相等线段上的各正方形的面积之和，等于原线段一半上的正方形与两个分点之间一段上正方形的面积之和的两倍。
设：线段AB 在C 点等分，在D 点不等分。
求证：以AD、DB 为边的正方形面积之和是AC、CD 上的正方形的面积之和的两倍。
从C 点作CΕ 与AB 垂直，且使CΕ 等于AC 。连接ΕA 和ΕB 。过D 点作DF 平行于ΕC ，再过F 作FG 平行于AB 。连接AF （命题I.11、I.3、I.31） 。
因为：AC 等于CΕ ，∠ΕAC 也等于∠AΕC （命题I.5） 。
又，因为在C 点的角是直角，∠ΕAC 、∠AΕC 之和等于一个直角（命题I.32） 。且它们相等，所以：∠CΕA 和∠CAΕ 各是一个直角的一半。
同理，∠CΕB 和∠ΕBC 也皆是一个直角的一半。所以：∠AΕB 是直角。
又，因为∠GΕF 是一个直角的一半，且∠ΕGF 是直角，它与∠ΕCB 是同位角，其余角（这里并非现代数学中的互余的角，下同） ∠ΕFG 是一个直角的一半，所以：∠GΕF 等于∠ΕFG 。于是：ΕG 也等于GF （命题I.29、I.32、I.6） 。
又，因为在B 点的角是一个直角的一半，且∠FDB 是直角，它也等于同位角∠ΕCB ，其余∠BFD 是一个直角的一半。
所以：在B 点的角等于∠DFB 。
于是：FD 也等于DB （命题I.29、I.32、I.6） 。
因为：AC 等于CΕ，AC 上的正方形的面积也等于CΕ 上的正方形的面积。
所以：以AC、CΕ 为边的正方形的面积之和是以AC 为边的正方形的面积的两倍。
又，以ΕA 为边的正方形的面积等于以AC、CΕ 为边的正方形的面积之和，因为：∠ACΕ 是直角。
所以：以ΕA 为边的正方形的面积是以AC 为边的正方形的面积的两倍（命题I.47） 。
又，因为：ΕG 等于GF ，以ΕG 为边的正方形也等于GF 为边的正方形。
所以：以ΕG、GF 为边的正方形之和是以GF 为边的正方形的两倍。
又，以ΕF 为边的正方形的面积等于以ΕG、GF 为边的正方形的面积之和。
所以：以ΕF 为边的正方形的面积是以GF 为边的正方形的面积的两倍（命题I.47） 。
而，GF 等于CD ，所以：以ΕF 为边的正方形的面积是以CD 为边的正方形的面积的两倍（命题I.34） 。
又，以ΕA 为边的正方形的面积也是以AC 为边的正方形的面积的两倍。
所以：以AΕ、ΕF 为边的正方形的面积之和是以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.47） 。
且AF 上的正方形等于AΕ、ΕF 上的正方形之和，因为∠AΕF 是直角。从而AF 上的正方形是以AC、CD 上的正方形的两倍。
又，以AD、DF 为边的正方形的面积之和等于以AF 为边的正方形的面积，因为：在D 点的角是直角。所以：以AD、DF 为边的正方形的面积之和是以AC、CD 为边的正方形的面积之和（命题I.47） 。
又，DF 等于DB 。所以：以AD、DB 为边的正方形的面积之和是以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍。
所以：如果一条线段先后被分成相等和不相等的两段，那么，不相等线段为边的正方形的面积之和等于原线段上一半的正方形与两个分点之间一段上正方形的面积之和的两倍。
证完
命题II.10
在一条被二等分的线段的一端按原直线方向加上一条线段，那么，总线段上的正方形的面积与加线段上的正方形的面积之和，等于原线段一半为边的正方形的面积与另一半加上加线段之和为边的正方形面积的和的两倍。
设：线段AB 在C 点被等分，线段BD 是条加线。
求证：以AD、DB 为边的正方形的面积之和是以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍。
从C 点作CΕ 垂直于AB ，且等于AC ，也等于CB 。连接ΕA、ΕB 。过Ε 作ΕF 平行于AD ，过D 作FD 平行于CΕ （命题I.11、I.3、I.31） 。
那么因为：线段ΕF 相交于平行线ΕC 和FD ，∠CΕF 、∠ΕFD 之和等于两个直角的和。
所以：∠FΕB 、∠ΕFD 之和小于两个直角的和（命题I.29） 。
又，从小于两个直角的角作的延长线必相交，所以：ΕB、FD ，如果在B 和D 两个方向延长，它们将相交（公设I.5） 。
令：延长ΕB、FD ，并相交于G 点，连接AG 。
那么，因为：AC 等于CΕ ，∠ΕAC 也等于∠AΕC 。在C 点的角是直角。
所以：∠ΕAC 、∠AΕC 是一个直角的一半（命题I.5、I.32） 。
同理，∠CΕB 、∠ΕBC 皆是直角的一半，所以：∠AΕB 是直角。
又，因为：∠ΕBC 是直角的一半，∠DBG 也是直角的一半。又，∠BDG 也是直角，因为：它等于∠DCΕ ，它们是内错角。
所以：余角∠DGB 是直角的一半。所以：∠DGB 等于∠DBG ，所以：边BD 也等于边GD （命题I.15、I.29、I.32、I.6） 。
又，∠ΕGF 是直角的一半，且在F 点的角是直角，因为：它等于在C 点的对角。
所以：余角∠FΕG 是直角的一半。∠ΕGF 等于∠FΕG ，于是：边GF 也等于边ΕF （命题I.34、I.32、I.6） 。
现在，因为：以ΕC 为边的正方形的面积等于以CA 为边的正方形的面积，以ΕC、CA 为边的正方形面积之和是CA 为边的正方形面积的两倍。
又，以ΕA 为边的正方形的面积等于以ΕC、CA 为边的正方形的面积之和。
所以：以ΕA 为边的正方形面积是以AC 为边的正方形的面积的两倍（命题I.47） 。
又因为：FG 等于ΕF ，以FG 为边的正方形面积也等于以FΕ 为边的正方形的面积。
所以：以GF、FΕ 为边的正方形面积之和是以ΕF 为边的正方形面积的两倍。
又，以ΕG 为边的正方形面积等于以GF、FΕ 为边的正方形面积之和。
所以：以ΕG 为边的正方形的面积是以ΕF 为边的正方形面积的两倍（命题I.47） 。
又，ΕF 等于CD ，所以：以ΕG 为边的正方形的面积是以CD 为边的正方形的面积的两倍。且以ΕA 为边的正方形的面积也被证明是以AC 为边的正方形的面积的两倍。
所以：以AΕ、ΕG 为边的正方形的面积之和是以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.34） 。
又，以AG 为边的正方形的面积等于以AΕ、ΕG 为边的正方形的面积之和。
所以：AG 上的正方形是以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍。
且以AD、DG 为边的正方形的面积之和等于以AG 为边的正方形的面积，所以：以AD、DG 为边的正方形的面积之和等于以AC、CD 为边的正方形的面积之和的两倍（命题I.47） 。
又，DG 等于DB ；
所以：以AD、DB 为边的正方形的面积之和等于以AC、CD 为边的正方形面积之和的两倍。
所以：在一条被二等分的线段的一端按原直线方向加上一条线段，那么，总线段上的正方形的面积与加线段上的正方形的面积之和，等于原线段一半为边的正方形的面积与另一半加上加线段之和为边的正方形面积的和的两倍。
证完
命题II.11
可以切分已知线段，使它与一条小线段构成的矩形面积等于余下线段为边的正方形的面积。
设：AB 为给定线段。
求作：切分AB ，使总线与其中小线段构成的矩形面积等于以余线面积为边的正方形的面积。
在AB 上作正方形ABDC ，在Ε 点平分AC ，连接BΕ 。延长CA 到F ，使ΕF 等于BΕ ，在AF 上作正方形FAHG ，延长GH 至K （命题I.46、I.10、I.3、I.46） 。
那么：AB 被H 点所分，AB、BH 构成的矩形面积等于AH 为边的正方形的面积。
因为：线段AC 在Ε 点被平分，FA 是它的加线，以CF、FA 构成的矩形加上以AΕ 为边的正方形的面积等于以ΕF 为边的正方形的面积（命题II.6） 。
又，ΕF 等于ΕB 。所以：以CF、FA 构成的矩形面积加以AΕ 为边的正方形的面积之和等于以ΕB 为边的正方形的面积。
又，以AB、AΕ 为边的正方形的面积之和等于以ΕB 为边的正方形的面积，因为：在A 点的角是直角。
所以：以CF、FA 构成的矩形面积加以AΕ 为边的正方形的面积等于以BA、AΕ 为边的正方形的面积之和（命题I.47） 。
令上面两方各减去以AΕ 为边的正方形的面积。
于是：余下以CF、FA 构成的矩形面积等于以AB 为边的正方形的面积。
现在，以CF、FA 构成的矩形是FCKG ，因为，AF 等于FG ，且以AB 为边的正方形是AD 。所以：FCKG 的面积等于AD 的面积。
令上面两边减去AK ，于是：余值FH 等于HD 。
又，HCDB 是以AB、BH 构成的矩形，因为，AB 等于BD ，且FAHG 是AH 为边的正方形。所以：AB、BH 构成的矩形面积等于HA 为边的正方形面积。
所以：给定线段AB 在H 点被切分，AB、BH 构成的矩形等于HA 为边的正方形的面积。
所以：可以切分已知线段，使它与一条小线段构成的矩形面积等于余下线段为边的正方形的面积。
证完
命题II.12
在钝角三角形中，钝角对边上的正方形的面积大于两锐角对边上的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。
设：ABC 为钝角三角形，∠BAC 为钝角，从B 点作BD 垂直于CA ，交延长线于D （命题I.12） 。
求证：以BC 为边的正方形的面积大于BA、AC 为边的正方形的面积之和，其差为以CA 与AD 为边构成的矩形的两倍。
因为：线段CD 被任意一点A 切分，DC 为边的正方形的面积等于CA、AD 为边的正方形的面积加上CA、AD 为边构成的矩形的两倍（命题II.4） 。
令：以DB 为边的正方形的面积与每个相加。于是：以CD、DB 为边的正方形的面积之和等于以CA、AD、DB 为边的正方形的面积之和加上以CA、AD 为边的矩形的两倍。
又，以CB 为边的正方形的面积等于以CD、DB 为边的正方形的面积之和，因为，在D 点的角是直角，以AB 为边的正方形的面积等于以AD、DB 为边的正方形的面积之和。
所以：以CB 为边的正方形的面积等于以CA、AB 为边的正方形的面积之和加上CA、AD 为边构成的矩形的两倍。
于是：以CB 为边的正方形的面积大于CA、AB 为边的正方形的面积之和，其差为以CA、AD 为边构成的矩形的两倍（命题I.47） 。
所以：在钝角三角形中，钝角对边上的正方形的面积大于两锐角对边上的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。
证完
注解
如果三角形是钝角三角形，那么：a 2 ＝b 2 ＋c 2 -2ch ，这里，h 为三角形的高，c 为三角形的底边。近似于三角形余弦定理a 2 ＝b 2 ＋c 2 -2bc ×cosA 。
命题II.13
锐角三角形中，锐角所对应的边上的正方形的面积小于夹锐角两边为边的正方形的面积之和，其差为一个矩形的两倍，即由另一锐角向对边作垂线，垂足到原锐角之间的一段与该边所构成的矩形。
设：ABC 为锐角三角形，B 角为锐角，过A 点作AD 垂直于BC （命题I.12） 。
求证：以AC 为边的正方形的面积小于以CB、BA 为边的正方形的面积之和，其差为CB、BD 构成的矩形的两倍。
因为：CB 被任意一点D 所切分，以CB、BD 为边的正方形的面积之和等于以CB、BD 为边的矩形的两倍加上DC 上的一个正方形（命题II.7） 。
令以上每个加上以AD 为边的正方形的面积，于是：分别以CB、BD、DA 为边的正方形的面积之和等于以CB、BD 为边的矩形的两倍加上AD、DC 为边的正方形的面积之和。
又，以AB 为边的正方形的面积等于分别以BD、DA 为边的正方形的面积之和，因为：在D 点的角是直角，且以AC 为边的正方形的面积等于分别以AD、DC 为边的正方形的面积之和。
所以：分别以CB、BA 为边的正方形的面积之和等于以AC 为边的正方形的面积加上以CB、BD 为边的矩形的两倍。所以：以AC 为边的正方形的面积小于分别以CB、BA 为边的正方形的面积之和，其差为以CB、BD 为边的矩形的两倍（命题I.47） 。
所以：在锐角三角形中，锐角所对应的边上的正方形的面积小于夹锐角两边为边的正方形的面积之和，其差为一个矩形的面积的两倍，即由另一锐角向对边作垂线，垂足到原锐角之间的一段与该边所构成的矩形。
证完
命题II.14
根据一个多边形，可以作一个与它面积相等的正方形。
设：A 为给定的多边形。
现在要求的是：作一个正方形，其面积等于给定的多边形A 的面积。
令：作矩形BCDΕ ，使之等于图形A 的面积（命题I.45） 。
如果BΕ 等于ΕD ，那么该正方形BD 满足于A 。如果不是，而是BΕ 和ΕD 中，其中有一条直线比另一条线长，假定BΕ 是较长的线；延长BΕ 至F ，使ΕF 等于ΕD ；在BF 上取其平分点G ，以G 为圆心、GB 或GF 为半径作半圆BHF ；延长DΕ 至H ，连接GH 。
