那么：既然直线BF 在G 点上被平分，Ε 点则为非平分点，以BΕ、ΕF 为边的矩形与以ΕG 为边的正方形的面积之和等于以GF 为边的正方形的面积（命题I.5） ；而GF 等于GH 。
所以：BΕ、ΕF 为边构成的矩形与以ΕG 为边的正方形的面积之和等于以GH 为边的正方形面积。
而分别以HΕ、ΕG 为边的正方形的面积的和等于以GH 为边的正方形面积，所以，BΕ、ΕF 为边构成的矩形与以ΕG 为边的正方形的面积之和等于分别以HΕ、ΕG 为边构成的正方形的面积之和（命题I.47） 。
令：分别减去以ΕG 为边的正方形的面积。
那么：余下的包含有BΕ、ΕF 为边的矩形的面积也等于以HΕ 为边的正方形的面积。
又，因为ΕF 等于ΕD ，于是：以BF、ΕF 为边的矩形的面积等于BCDΕ 的面积，平行四边形BCDΕ 的面积等于以HΕ 为边的正方形的面积。而BCDΕ 的面积等于多边形A 的面积，于是：多边形A 的面积也就等于以ΕH 为边的正方形的面积。
于是：以ΕH 为边，其大小等于多边形A 的面积的正方形被作出。
所以：根据一个多边形，可以作一个与它面积相等的正方形。
证完
第3卷
圆与角
CHAPTER 3
中国《九章算术》第一章圆田31题：“今有圆田，周三十步，径十步。问为田几何？”这里需求的是田的面积。在这里，既给出了直径，又给出了圆周长，圆周率π＝3，和《圣经·旧约》里记载的所罗门建造宫殿时“又铸了一个铜海，样式是圆的，高五肘，径十肘，围三十肘”中的一样。中国《周髀算经》里，记述公元前1100年周公与商高的谈话，商高曰：“数之法出于圆方。”对于这句话，中国的赵爽在公元前222年，也就是秦始皇统一中国的前一年，挥笔注曰：“圆径一而周三。”
本卷阐述圆、弦、割线、切线、圆心角、圆周角的一些定理。
本卷提要
※命题III.1，如何找到一个圆的圆心。
※命题III.17，如何作出一个圆的切线。
※命题III.20、III.21、III.22，圆内的角。
※命题III.31，泰勒斯理论，半圆内的直角、锐角与钝角理论。
※命题III.35，在圆内过一个点作出两弦，那么其中一弦的两个截面之乘积等于另一弦的两个截面之乘积。
※命题III.3、III.37，从圆外一点向圆分别作切线和交线，那么切线所构成的正方形等于交线与其圆外线的乘积，反之亦然。
定义
定义III.1 等圆，就是直径或半径相等的圆。
定义III.2 直线与圆相切，就是直线与圆有且只有一个公共点。
定义III.3 两圆相切，就是两圆有且只有一个公共点。
定义III.4 圆心到圆内弦的垂线段相等，称这些弦有相等的弦心距。
定义III.5 当垂线段较长时，称该弦有较大的弦心距。
定义III.6 弓形是由一条弦和一段弧构成的图形。
定义III.7 弓形的角是由弧所对的弦和这段圆弧所夹的角。
定义III.8 在弓形弧上取一点，连接该点与弧的两端点的二直线所夹的角称为弓形角。
定义III.9 当夹角的二直线截出一段圆弧时，该角被称为张于弧上的角。
定义III.10 由顶点在圆心角的两边和该两边所截一段圆弧所构成的图形，称为扇形。
定义III.11 包含相等角的弓形称为相似弓形。
命题III.1
给定一个圆可以找到它的圆心。
设：ABC 为给定的圆。
现在要求找到ABC 的圆心。
令：在圆内任作一条弦AB ，作D 平分AB 。作DC ，使之垂直于AB ，延长DC 至E ，在CE 上找到该线的平分点F （命题I.10、I.11） 。
求证：F 是圆ABC 的圆心。
假设不是这样，而假定圆心是G ，连接GA、GD、GB ；
那么因为：AD 等于DB ，DG 为共用，那么，AD、DG 分别等于对应的BD、DG 。
由于GA、GB 皆为半径，所以：GA 等于GB 。所以：∠ADG 等于∠GDB （定义I.15、I8） 。
但是，当一条直线和另一条直线所成的邻角彼此相等时，它们每一个都是直角。所以，∠GDB 是直角。
又因为∠FDB 也是直角，所以：∠FDB 等于∠GDB 。大等于小。这是不可能的。
所以：点G 不是圆ABC 的圆心。
同样，也可以证明，除了F 以外的任何点皆不是圆心。
所以：F 是圆ABC 的圆心。
所以：给定一个圆可以找到它的圆心。
证完
推论
以上的证明表明：如果一个圆中的一条弦垂直平分圆中的另一条弦，那么圆心一定位于这条弦上。
命题III.2
如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。
设：ABC 为给定的圆，圆周上的任意两点为A 和B 。
求证：连接AB ，这条线段一定位于该圆内。
假定不是如此，而是落在圆外如AEB ，确定圆ABC 的圆心D ，连接DA、DB ，连接DFE （命题III.1） 。
那么因为DA 等于DB ，∠DAE 也就等于∠DBE （定义I.15、I.5） ；
又因为延长三角形DAE 的一边AEB ，所以：∠DEB 就大于∠DAE （命题I.16） 。但是，∠DAE 等于∠DBE ，所以：∠DEB 大于∠DBE ，且大角对大边。
从而，DB 大于DE ，但DB 等于DF ，所以DF 大于DE 。小的大于大的，这是不可能的。
所以：AB 的连线不在圆外。
同样可以证明它也不在圆周上。
所以：AB 线只能在圆内。
所以：如果在圆周上任取两点，连接这两点的线段一定位于该圆内。
证完
注解
这一命题的图形相当奇怪，但又是必要的。因为这一命题涉及一种假设的情形，要证明这种假设情形是不可能的。在这一图形中，AEB 被假设为是圆外的一条直线。在本卷的其他几个命题中，也有类似的不可能图形出现。
欧几里得留下AB 不能位于圆周上的情况给读者自己去证明，其实证明它并不难。
这一命题应用在下一命题中。
命题III.3
平分非直径的弦的直径垂直于这条弦；反之，垂直于弦的直径平分这条弦。
设：CD 是通过圆ABC 圆心的直径，平分不过圆心的弦AB 于F 点。
求证：CD 垂直于AB 。
令：找到圆ABC 的圆心E ，连接EA、EB （命题III.1） 。
那么因为AF 等于FB ，而FE 为公共边，两边相等，且第三边EA 等于第三边EB ，所以：∠AFE 等于∠BFE （定义I.15、I.8） 。
又因为一条直线与另一条直线相交，所形成的邻角相等时，每个角皆为直角，所以：∠AFE、BFE 皆为直角（定义I.10） 。
所以：过圆心的线CD 与不过圆心的线AB 相交成直角。
又设：CD 和AB 垂直。
那么：CD 二等分AB ，即AF 等于FB 。即为平分线。
因为EA 等于EB ，那么：∠EAF 也等于∠EBF （命题I.5） 。又因为直角∠AFE 等于直角∠BFE ，所以：EAF 与EBF 是有两个角和一条边相等的三角形，EF 为公共边，即相等角的对边。所以：它们的余边也就相等（命题I.26） 。所以：AF 等于FB 。
所以：如果一条过圆心的弦与另一条不过圆心的弦相交形成直角，那么它也必然是平分线。
证完
注解
比较这一命题与命题III.1的推论。
这一命题应用在下一命题中，也用在命题XII.16及其他命题中。
命题III.4
在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不能互相平分。
设：ABCD 为圆，两条弦为AC、BD ，皆不经过圆心，彼此相交于E 点。
求证：它们不相互平分。
因为，如果可能，假设它们相互平分，那么：AE 就等于EC ，且BE 等于ED 。
令圆心为F ，连接FE （命题III.1） 。
又因为过圆心的弦FE 平分不过圆心的弦AC ，并构成直角，所以：∠FEA 为直角。
又因为弦FE 平分弦BD ，它们也形成直角，即∠FEB 为直角，而∠FEA 被证明也为直角，所以：∠FEA 也等于∠FEB 。于是：小等于大。这是不可能的（命题III.3） 。
所以：AC、BD 不能相互平分。
所以：在一个圆里，如果两条相交的弦不经过圆心，那么它们也不能相互平分。
证完
注解
这一陈述的逆否命题是，如果两条弦相互平分，那么它们相交于圆心。
这一命题在《原本》中未被再利用。
命题III.5
如果两圆相交，那么它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC 、圆CDG 相交于B、C 点。
求证：它们不能有相同的圆心。
假定它们有相同的圆心为E ，连接EC ，任意连一条线EFG 。
那么因为E 为圆ABC 的圆心，于是：EC 就等于EF 。又因为：E 为圆CDG 的圆心，那么EC 就等于EG （定义I.15） 。而EC 已被证明也等于EF ，所以：EF 也等于EG 。于是：小等于大。这是不可能的。
所以：点E 不是圆ABC 、圆CDG 的圆心。
所以：两相交圆不能有相同的圆心。
证完
注解
注意，这一证明实际上表现了如果两个圆相交，那么它们不可能有相同的圆心，这也涉及下一道命题的两圆相切。
这一命题应用在命题III.10中，以陈述圆不能相交于两个点以上。
命题III.6
如果两圆相切，它们不能有相同的圆心。
设：圆ABC 、圆CDE 相切于C 点。
求证：它们不能有相同的圆心。
假定可能，设它们有相同的圆心为F ，连接FC ，过F 点作任意一线FEB 。
因为F 是圆ABC 的圆心，那么FC 等于FB 。
又因为F 是圆CDE 的圆心，那么FC 等于FE （定义I.15） ；而FC 被证明等于FB 。所以FE 也等于FB 。于是小等于大。这是不可能的。
所以：F 不是圆ABC 、圆CDE 的圆心。
所以：两圆相切不能有相同的圆心。
证完
注解
这一命题同于前一命题，两种情况用一种陈述，相交圆不能同圆心；反之，同心圆不能相交。
这一命题未在本书的其余地方被利用。
命题III.7
连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。
设：圆ABCD ，AD 为直径，F 为直径上的非圆心的一个点，E 为圆心，从F 点引线段FB、FC、FG 。
求证：FA 为最长，FD 最短，FB 大于FC ，FC 又大于FG 。
连接BE、CE 和GE 。
因为：在任意三角形中两条边的和大于第三边。所以：EB 与EF 的和大于BF （命题I.20） 。
又，AE 等于EB ，所以：AF 大于BF 。又因为BE 等于CE ，而FE 是公共边，所以：BE 与EF 的和等于CE 与EF 的和。
又，∠BEF 也大于∠CEF ，所以：边BF 也大于边CF （命题I.24） 。同理：CF 也大于GF 。
又因为：GF 与FE 的和也大于EG ，EG 等于ED ，GF 与FE 的和也大于ED （定义I.20） 。
令，从每个中减去EF ，于是：其余数GF 也大于其余数FD 。所以：FA 最大，FD 最小，FB 大于FC ，而FC 大于FG 。
进一步说：从F 点到圆周的线段中只有两条相等，它们分别位于FD 的两侧。
令：在直线EF 的E 点上作∠FEH ，使之等于∠GEF ，连接FH （命题I.23） 。
那么因为：GE 等于EH ，而EF 是公共边，GE、EF 两边等于HE、EF 两边。
又，∠GEF 等于∠HEF ，所以：边FG 等于边FH （命题I.4） 。
进一步说：另一条等于FG 的直线不会从F 点落到圆周上。
假如可能，假如这条线FK 成立。那么，因为FK 等于FG ，又，FH 等于FG ，FK 也等于FH ，于是：靠近穿过圆心的线段等于离得较远的线段。这是不可能的。
所以：等于GF 的另一条线段不会是从F 点到圆周。
因此：只有一条线段成立。
所以：连接直径上的非圆心的一点和圆上任一点所得的线段中，最长的是圆心所在的线段，且在其余线段中，靠近圆心的线段较远离的长；这一点到圆上有两条线段相等，它们各在最短线段的一边，同一直径上余下的一段最短。
证完
注解
这一命题的陈述有些令人费解，涉及从圆内的一点F 到圆周上的一点的距离。点F 被假定不是圆心。如果直径AD 过F ，那么A 点上的某一个点是在圆周上离F 点最远，且另一点D 为最近。由于一个点从A 到D 在圆周上旅行，它向F 点靠近。这一陈述的最后部分是，如果G 是圆周上的一点，那么，有另外一个点H 是在圆周上，它与F 的距离相等（当然G 既不是A 也不是D ，这只是一种假定）。
注意：这一命题的陈述是含混的。短语“靠近过圆心的线段”到底是什么意思？它是指角吗？于是FB 比FC 更靠近FA ，因为，∠BFA 小于∠CFA 。如果是这样，证明的过程就有细节的疏漏，∠BEF 大于∠CEF ，然而却没有证明。德·摩根曾插入多种证明方式来弥补过这一逻辑漏洞。
这一命题在《原本》中的其他地方再未被利用过。
命题III.8
圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。
设：ABC 为圆，D 为圆外的一点，从D 点连接DA、DE、DF、DC ，使DA 穿过圆心。
求证：在凹圆弧AEFC 各点与D 构成的线段中，穿过圆心的DA 线段最长，DE 大于DF ，DF 大于DC ；在凸圆弧HLKG 各点与D 构成的线段中DG 最短，越靠近DG 的线段越短。即DK 小于DL ，DL 小于DH 。
令：圆ABC 的圆心为M ，连接ME、MF、MC、MK、ML 和MH （命题III.1） 。
那么因为：AM 等于EM ，令它们各边加上MD 。
于是：AD 等于EM 与MD 的和。
又因为EM 与MD 的和大于ED ，所以：AD 也大于ED （命题I.20） 。
又因为ME 等于MF ，MD 又是公共边，所以：EM 与MD 的和等于FM 与MD 的和。
又因为∠EMD 大于∠FMD ，所以：第三边ED 大于第三边FD （命题I.24） 。同样，我们可以证明FD 大于CD 。所以：DA 就为最大，DE 大于DF ，而DF 大于DC 。
又因为MK 与KD 的和大于MD ，而MG 等于MK ，于是，余数KD 大于余数GD 。所以：GD 小于KD （命题I.20） 。
又因为：在MD 上的三角形MLD ，两条线段MK、KD 交于三角形内。
所以：MK、KD 的和小于ML、LD 的和。
又，MK 等于ML 。
所以：余数DK 小于余数DL （命题I.21） 。
同样，我们可以这么认为，DL 也小于DH 。所以：DG 为最小，DK 小于DL ，DL 小于DH 。
进一步说：从D 点到圆只有两条相等的线段，它们位于DG 线的两侧。
令：在线段MD 上的M 点，作∠DMB 等于∠KMD ，连接DB （命题I.23） 。
那么因为MK 等于MB ，MD 是公共边。所以：KM、MD 两边等于对应的BM、MD 两边，且∠KMD 等于∠BMD 。所以：第三边DK 等于第三边DB （命题I.4） 。
进一步说：从D 点不可能有另一条到圆的线段等于DK 。
假设：这是可能的。假定这条线段是DN ，于是DK 等于DN 。DK 等于DB ，DB 也等于DN ，即是说，离最短线段DG 越近的线段等于离它越远的线段，这是不可能的；
所以：从D 点到圆ABC 没有第二条线能够位于最短的DG 的一侧。
所以：圆外的一点向圆引线段，其中的一条穿过圆心，其余是任意线。那么在凹圆弧上的连线中，穿过圆心的线段最长，其余的线段中，离这条线段越近则越长；在与圆凸面的连线中，该点与直径之间的线段最短，其余的线段离这条线段越近则越短；且从这一点到圆周上的连线中，只有两条线段相等，它们分别位于最短的线段两侧。
证完
注解
这一命题的陈述比前一命题更加复杂。这一命题处理从圆外的某一点D 到圆周上的距离。如果直径AG 的延长线过D ，那么，它的一个终点G 是在圆周上并最接近D ，且另一点A 是最远的一点。因为一个点从A 到D 沿圆周旅行，尽量靠近D 。欧几里得认为圆周分为两个部分，凸起的部分是靠D 点近的，同时凹的部分是圆的边较远的部分。最后的陈述是，如果K 是圆周上的一个点，那么圆周上有一个正确的点B 到D 的距离相等（当然K 既不是G 也不是A ，这只是一种假定）。
注意：这一命题的证明同前一命题一样，也有一个逻辑漏洞。后来的许多数学家补充过该漏洞。
这一命题在《原本》中的其他地方再没有被利用过。
命题III.9
如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。
设：D 点在圆ABC 内，从点D 引出的到圆上的两条以上的相等线段为DA、DB 和DC 。
求证：D 点即为圆ABC 的圆心。
令：连接AB、BC ，并在E、F 点平分两条线，连接ED、FD ，并延长至G、K、H 和L （命题I.10） 。
因为AE 等于EB ，而ED 为公共边，那么：AE 和ED 就等于BE 和ED 。又，第三边DA 等于第三边DB ，所以，三角形AED 全等于三角形BED （命题I.8） 。
所以：∠AED 与∠BED 皆为直角。所以：GK 平分AB 为相等的两部分且为直角。
又，如果圆中的一条线切分另一条线为相等的两部分并构成直角，那么，圆心一定落在这条切割线上。
所以：圆心一定在GK 线上（定义III.1） 。同理，圆ABC 的圆心是在HL 上。
又因为线段GK 和HL 没有共同的点，只有D 点，所以：点D 即为圆ABC 的圆心。
所以：如果自圆内一点作出的到圆上的线段有两条以上相等，那么该点即圆心。
证完
注解
这一命题的陈述，被命题III.7所覆盖。
这一命题应用在命题III.25中。
命题III.10
两圆相交，交点不多于两个。
设：假如可能，圆ABC 与圆DEF 相交，交点超出两个，即为B、G、F 和H 。
令：连接BH、BG ，并在K、L 点分别平分两线。从K、L 点作KC、LM ，使之分别垂直于BH、GB ，并经过A、E 点（命题I.10、I.11） 。
因为在圆ABC 中弦AC 平分了BH 并构成直角，所以：圆ABC 的圆心在AC 上。
又因为：在同一圆ABC 里，弦NO 平分弦BG 为相等的两半并构成直角。所以圆ABC 的圆心在NO 上（定义III.1） 。
但已经证明它也在AC 上，而弦AC 与NO 除了P 点外没有相交的点。所以：点P 也是圆ABC 的圆心。
同样：我们可以证明P 点也是圆DEF 的圆心。于是两个相交的圆ABC 、圆DEF 也有相同的圆心P ，这是不可能的（命题III.5） 。
所以：两圆相交，其交点不能超出两个。
证完
注解
这是另一个不可能的图形。曲线被设想成圆的圆周，这是不可能作出的。虽然欧几里得命名了圆上的四个点，但实际上只有三个点B、G、H 在证明中被利用。
这一证明实际是证明两个圆不能相交于两个以上的点，这里的“相交”不是相切。
赫斯评论道，平分BG、BH 的线段并未证明是相交的，事实上，它们是，因为圆ABC 的圆心被证明在它们二者上面。
这一命题应用在命题III.24中。
命题III.11
两圆内切，连心线的延长线过切点。
设：两圆ABC 和圆ADE 相切于A 点，F 为圆ABC 的圆心，G 为圆ADE 的圆心（命题III.1） 。
求证：从G 到F 的连线的延长线将落在A 点上。
假设不是这样，如果这是可能的，设连线为FGH ，且连接AG、AF 。
因为：AG、GF 的和大于FA ，即是说大于FH 。
令：以上各边减去FG ，那么，余下的AG 大于余下的GH （命题I.20） 。
但是AG 等于GD 。
故GD 也大于GH ，于是小大于大，这是不可能的。
所以：从F 到G 的连线不落在圆外。所以：落在两圆的切点A 上。
所以：如两圆内切，其圆心已知，那么连接两圆心的直线，通过两圆的切点。
证完
注解
这一证明的各种结论，依赖于图形，却并未依赖于严格的推理逻辑。盖玛等数学家补充过该命题证明过程的漏洞。
这一命题应用在命题III.13中。
命题III.12
两圆外切，连心线过切点。
设：两圆ABC 、圆ADE 外切于点A 上，F 为圆ABC 的圆心，G 为圆ADE 的圆心（命题III.1） 。
求证：直线FG 必定经过切点A 。
假设不是，如果可能，让它穿过如FCDG ，连接AF、AG 。
那么，因为F 点为圆ABC 的圆心，所以：FA 等于FC 。
又，因为G 点是圆ADE 的圆心，所以：GA 等于GD 。
而FA 也已经证明出等于FC ，于是：FA 加AG 等于FC 加GD 。
所以：FG 大于FA 加AG ，但它也小于FA 加AG ，这是不可能的（I.20） 。
所以：从F 点引直线至G 不能不经过切点A 。
所以：如果两圆外切，那么连接两圆心的直线必定过切点。
证完
注解
显然，这一命题是后人加在欧几里得《原本》上的，有可能是海伦所加，也有可能是后来的其他编著者或评论者所加。
这一命题没有在《原本》中的其他地方被利用。
命题III.13
两圆相切，只有一个切点。
假设：两圆相切不止一个切点，设圆ABDC 与圆EBFD 首先内切于两个点。令切点为D、B 点，连接圆ABDC 的圆心G 和圆EBFD 的圆心H （命题III.1） 。
那么：连接G、H 点的直线经过B、D 点（命题III.11） ；且假定为BGHD 。
那么因为：点G 是圆ABDC 的圆心，而BG 等于GD 。于是BG 大于HD ，于是，BH 就比HD 大得多；
又因为：H 点是圆EBFD 的圆心，BH 等于HD ，但同时又被证明BH 比HD 大得多，这是不可能的。
所以：内切圆不能有两个以上的切点。
要进一步说：这一命题也适合于外切圆。
假设两圆外切不止一个切点，设圆ACK 与圆ADC 相切有一个以上的切点，设为A、C 点，连接AC ，那么因为无论是圆ADC 还是圆ACK ，A、C 为任意的两点，连接该两点的直线必然落在每个圆的内部，但是它应该落在圆ADC 之内又落在圆ACK 之外，这是荒谬的（命题III.2、定义III.3） 。
所以：一个圆与另一个圆相外切不能有一个以上的点。同样，已证明两圆内切，也不能有一个以上的点。
所以：一个圆与另一个圆相切，无论内切还是外切，不能有一个以上切点。
证完
注解
这是第二个不可能图形。有三条曲线连接A 和C 。并没有假定两个圆相交，而只是相切于两个点A 和C ，线段AC 应在两个圆内而不是一个圆内。
这一命题的证明也有逻辑裂缝，如上两个命题的证明过程一样。
本命题再未在《原本》中的其他地方被利用。
命题III.14
同圆内，相等弦的弦心距相等，相等的弦心距对应的弦相等。
设：AB、CD 为圆ABDC 内的相等弦。
求证：AB、CD 到圆心的距离相等。
令：E 为圆ABDC 的圆心，从E 作EF、EG ，分别垂直于AB、CD ，连接AE、EC （命题III.1、I.12） 。
因为：线段EF 经过圆心，平分一条未经过圆心的弦AB ，并构成直角。所以：AF 等于FB 。所以：AB 是AF 的两倍（命题III.3） 。
同理可证：CD 亦是CG 的两倍，而AB 等于CD 。于是：AF 也等于CG 。
又因为AE 等于EC ，那么以AE 为边的正方形的面积也等于以EC 为边的正方形的面积。
于是：分别以AF、EF 为边的正方形的面积之和等于以AE 为边的正方形的面积。又，因为在F 点的角为直角，于是：分别以EG、GC 为边的正方形的面积之和等于以EC 为边的正方形的面积。因为在G 点的角为直角，所以：分别以AF、FE 为边的正方形的面积之和等于分别以CG、GE 为边的正方形的面积之和，以AF 为边的正方形面积等于以CG 为边的正方形的面积，因为：AF 等于CG 。
所以：余下的以FE 为边的正方形的面积等于以EG 为边的正方形的面积。
所以：EF 等于EG （命题I.47） 。
又，当弦心距相等时，这些弦叫作等弦心距的弦，所以：AB、CD 的弦心距相等。
另，设：AB、CD 有等弦心距，即EF 等于EG 。
那么：AB 也等于CD 。
同前理，可以证明AB 是AF 的两倍，CD 是CG 的两倍。因为AE 等于CE ，以AE 为边的正方形的面积等于以CE 为边的正方形的面积。
分别以EF、FA 为边的正方形的面积之和等于以AE 为边的正方形的面积，分别以EG、GC 为边的正方形的面积之和等于以CE 为边的正方形的面积（命题I.47） 。
所以：分别以EF、FA 为边的正方形的面积之和等于分别以EG、GC 为边的正方形的面积之和，其中因为EF 等于EG ，故以EF 为边的正方形的面积等于以EG 为边的正方形的面积。
所以：余下的以AF 为边的正方形的面积等于以CG 为边的正方形的面积。所以：AF 等于CG ，AB 是AF 的两倍，CD 是CG 的两倍。
所以：AB 等于CD 。
所以：圆内的相等弦，到圆心的距离亦相等；到圆心距离相等的弦彼此相等。
证完
注解
注意：欧几里得证明了两次三角形边角相等的定理。
这一命题用在下一命题中。
命题III.15
圆内越靠近圆心的弦越长，直径是最长的弦。
设：圆为ABCD ，AD 是其直径，E 为圆心，作弦BC 靠近圆心，弦FG 为较远弦。
求证：AD 最长，且BC 大于FG 。
令：从圆心E 作EH、EK ，使之分别垂直于BC、FG （命题I.12） 。
因为BC 靠近圆心，FG 离圆心较远，所以：EK 大于EH （定义III.5） 。
令：EL 等于EH ，过L 作LM 垂直于EK ，并经过点N ；再连接ME、EN 和EF、EG （命题I.3、I.11） 。
因为EH 等于EL ，所以：BC 也等于MN （命题I.3、I.11） 。
又，因为AE 等于EM ，ED 等于EN ，所以：AD 等于ME、EN 之和。
又，因为ME、EN 之和大于MN ，MN 等于BC ，所以：AD 便大于BC （命题I.20） 。
又，因为ME、EN 两边等于FE、EG 两边，∠MEN 大于∠FEG ，所以：第三边MN 大于第三边FG （命题I.24） 。
而MN 又被证明等于BC ，所以：直径AD 为最大，BC 大于FG 。
所以：圆内弦直径最长，越靠近圆心的弦越长。
证完
注解
这一命题在《几何原本》中的其他地方再未被利用。
命题III.16
从圆的直径的端点作垂直于直径的直线。该直线落在圆外；且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线；且半圆角大于任何锐角；而余下的角小于任何锐角。
设：圆为ABC ，D 为圆心，AB 为直径。
求证：从A 点作垂直于AB 的直线一定落在圆外。
如果可能，假定落在圆内如CA ，连接DC 。
因为：DA 等于DC ，∠DAC 也等于∠ACD （命题I.5） 。
而∠DAC 是直角，于是∠ACD 也是直角；于是在三角形ACD 中，∠DAC 、∠ACD 之和等于180°，这是不可能的（命题I.17） ；
所以：从A 点引出的垂直于AB 的线不落在圆内。
同样，可以证明不能落在圆周上，所以它只能落在圆外。
设：该直线为AE 。
进一步说：在直线AE 与圆弧CHA 之间不可能存在第二条线。
假设它们之间存在第二条直线，假定它为FA ，从D 点作DG 垂直于FA （命题I.12） 。
因为：AGD 为直角，而∠DAG 小于直角，所以AD 大于DG （命题I.17、I.19） 。
又，DA 等于DH ，于是：DH 大于DG ，于是小大于大，这是不可能的。
所以：在这个平面上，不可能在该直线与圆周之间再引出另一条直线。
进一步说：直径AB 与圆弧CHA 所包含的半圆角大于任何锐角，其余角即CHA 与AE 包含的角小于任意锐角。
因为，如果有某一直线角大于由直线BA 与圆弧CHA 包含的角，而且某一直线角小于由圆弧CHA 与直线AE 所包含的角。
那么，在平面内，在圆弧CHA 与直线AE 之间可以插入直线包含这样一个角，是由直线包含的，而它大于直线BA 与圆弧CHA 包含的角，而且直线包含的其他的角皆小于由圆弧CHA 与直线AE 包含的角。
但是，这样的直线不能插入。
所以：没有由直线包含的任何锐角大于由弦BA 与圆弧CHA 包含的角；也没有由直线包含的任何锐角小于由圆弧CHA 与直线AE 包含的角。
所以：从圆的直径的端点作垂直于直径的直线。该直线落在圆外；且在该线与圆周之间不可能插入第二条直线；且半圆角大于任何锐角；而余下的角小于任何锐角。
证完
推论
由此可得，由圆的直径的端点作与它成直角的直线与此圆相切。
注解
这一命题应用在命题IV.4中，也应用在卷4的其他命题中。推论应用在本卷的命题III.33、III.37中，也应用在卷4的其他命题及命题XII.16中。
命题III.17
过圆外一点可以作圆的切线。
设：A 为给定的点，BCD 为给定的圆。
要求从A 点向圆BCD 作切线。
设：E 为圆心。连接AE ，以E 为圆心、EA 为半径作圆AFG ，从D 点作DF 垂直于EA ，连接EF、AB （命题III.1、I.11） 。
那么：AB 是从点A 向圆BCD 作的切线。
因为E 为圆BCD 、圆AFG 的圆心，所以：EA 等于EF ，ED 等于EB 。所以：AE、EB 分别等于FE、ED ，且它们在E 点上有共同的角。
所以：第三边DF 等于AB ，三角形DEF 全等于三角形BEA ，余角等于余角。所以：∠EDF 等于∠EBA （命题I.4） 。
而∠EDF 为直角，所以：∠EBA 也是直角。
现在EB 是半径，由圆的直径的端点所作直线和直径成直角，则直线切于圆。
所以：AB 与圆BCD 相切（命题III.16） 。
所以：从给定的点A ，能作AB 与圆BCD 相切。
所以：过圆外一点可以作圆的切线。
证完
注解
这一命题应用在命题III.34、XII.2中。
命题III.18
如果一条线与圆相切，圆心与切点的连线构成直角。
设：直线DE 与圆ABC 相切于C 点，F 为圆心，连接FC （命题III.1） 。
求证：FC 垂直于DE 。
假设不垂直，设从F 点作FG 垂直于DE （命题I.12） ；
因为∠FGC 是直角，∠FCG 是锐角，大角对大边，所以：FC 大于FG （命题I.17、I.19） 。
又，FC 等于FB 。所以：FB 也大于FG ，于是小大于大，这是不可能的。所以：FG 不垂直于DE 。
同样：我们可以证明除了FC 以外，不可能有直线垂直于DE ；所以：FC 垂直于DE 。
所以：如果一条线与圆相切，圆心与切点的连线构成直角。
证完
注解
这一命题应用在本卷及卷4的几个命题中。
命题III.19
一条直线与圆相切，在切点上与该直线垂直的直线，一定经过圆心。
设：直线DE 与圆ABC 相切于C 点，从C 点作CA ，使之垂直于DE （命题I.11） 。
求证：圆心一定在AC 线上。
假设圆心不在AC 线上，如果可能，设F 为圆心，连接CF 。
因为：直线DE 与圆ABC 相切，又FC 是从圆心向切点引出的直线，FC 垂直于DE 。
那么：∠FCE 是直角（命题III.18） 。
又，∠ACE 也是直角。于是：∠FCE 等于∠ACE ，于是小角等于大角，这是不可能的。
所以：F 不是圆ABC 的圆心。
同样，我们可以证明除了AC 上的点以外的任何点不可能是圆心。
所以：一条直线与圆相切，在切点上与该直线垂直的直线，一定经过圆心。
证完
注解
这一命题应用在命题III.32中。
命题III.20
在一个圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍。
设：圆为ABC ，∠BEC 是圆心角，∠BAC 是圆周角，它们有共同的以BC 为底的弧。
求证：∠BEC 是∠BAC 的两倍。
令：连接AE ，并延长至F 。
因为EA 等于EB ，∠EAB 也等于∠EBA ，所以：∠EAB 、∠EBA 的和是∠EAB 的两倍（命题I.5） 。
