又，∠BEF 等于∠EAB 与∠EBA 之和，所以：∠BEF 也等于∠EAB 的两倍（命题I.32） 。
同理，∠FEC 也等于∠EAC 的两倍。
所以：∠BEC 是∠BAC 的两倍。
又，令另一条直线移动位置，构成另一个∠BDC ，连接DE 并延长至G 。
同样，能证明∠GEC 是∠EDC 的两倍，其中∠GEB 是∠EDB 的两倍。所以：余角∠BEC 是∠BDC 的两倍。
所以：在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。
证完
注解
这一命题应用在下一命题中，也应用在命题III.27、VI.33中。
命题III.21
在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等。
设：ABCD 为圆，∠BAD 和∠BED 有相同的弧。
求证：∠BAD 等于∠BED 。
令：F 为圆ABCD 的圆心，连接BF、FD （命题III.1） 。
因为∠BFD 的顶点是在圆心上，∠BAD 的顶点是在圆周上，且它们有相同的弧BCD ，所以：∠BFD 是∠BAD 的两倍（命题III.20） 。
同理，∠BFD 也是∠BED 的两倍，所以：∠BAD 等于∠BED 。
所以：在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等。
证完
注解
这一命题应用在下一命题中。
命题III.22
圆内接四边形对角互补。
设：ABCD 为圆，作圆内接四边形ABCD 。
求证：对角之和为180°。
令：连接AC、BD 。
因为在任何三角形中，三个内角的和等于180°，所以：三角形ABC 中的∠CAB 、∠ABC 和∠BCA 之和为180°（命题I.32） 。
又，因为∠CAB 与∠BDC 有共同的弧BADC ，所以：∠CAB 等于∠BDC ；∠ACB 与∠ADB 有共同的弧ADCB ，所以：∠ACB 等于∠ADB 。
所以：大角∠ADC 等于∠BAC 与∠ACB 之和（命题III.21） 。
令：∠ABC 与每个角相加。于是：∠ABC 、∠BAC 、∠ACB 之和等于∠ABC 、∠ADC 之和；
又，∠ABC 、∠BAC 、∠ACB 之和等于180°。所以：∠ABC 、∠ADC 之和等于180°。
同样可以证明∠BAD 、∠DCB 之和也等于180°。
所以：圆内接四边形的对角互补。
证完
注解
这一命题应用在命题III.32中。
命题III.23
在同一条线段的同一侧，不可能作两个相似但不相等的弓形。
假设可能，设在同一线段AB 的同一侧作相似且不相等的弓形ACB 、弓形ADB ，作ACD 与两弓形相交，连接CB、DB 。
那么因为：弓形ACB 相似于弓形ADB ，而圆的相似弓形有相同的角。
所以：∠ACB 等于∠ADB ，即是外角等于内角，这是不可能的（定义III.11，命题I.16） 。
所以：在同一条线段的同一侧，不可能作两个相似但不相等的弓形。
证完
注解
这一命题应用在下一命题中。
命题III.24
相等的弦上的相似弓形全等。
设：AEB、CFD 为作在相等线段AB、CD 上的两个相似弓形。
求证：弓形AEB 全等于弓形CFD 。
因为，如果弓形AEB 移动到CFD ，且A 点放置在C 点，线段AB 在线段CD 上，那么，点B 就与点D 重合。因为AB 等于CD ，AB 又与CD 重合，弓形AEB 也就与弓形CFD 重合。
因为：如果线段AB 与CD 相重合，而弓形AEB 与弓形CFD 不相重合，那么它或者落于其内，或者落于其外，或者落在CGD 的位置，则两圆相交形成两个以上的交点。这是不可能的（命题III.23、III.10） 。
所以：如果线段AB 重叠在CD 上，那么弓形AEB 就不能不与CFD 重合。
所以：它们全等。
所以：相等弦上的相似的弓形全等。
证完
注解
这里的证明应用了叠合的方法，在命题I.4、I.8中也使用了此方法。
命题III.25
已知弓形，可以作出它的补圆。
设：ABC 为给定的弓形。
现在要求的是作出弓形ABC 的补圆。
令：在D 点上平分AC ，从D 点作DB 垂直于AC 。连接AB （命题I.10、I.11） 。
于是∠ABD 大于或者等于或者小于∠BAD 。
首先，设∠ABD 大于∠BAD 。在线段BA 上作∠BAE ，使之过A ，并等于∠ABD ，延长BD 至E ，连接EC （命题I.23） 。
因为：∠ABE 等于∠BAE ，线段EB 也等于EA （命题I.6） 。
又，因为：AD 等于DC ，而DE 是共同边，AD、DE 分别等于对应边CD、DE ，∠ADE 等于∠CDE ，皆为直角。
所以：第三边AE 等于第三边CE （命题I.4） 。
公元前8000年的几何纹
几何纹是由点、线、面根据一定位置比例和运动规律构成一维、二维或三维的造型空间。史前时代的几何纹一般都经历了从点开始，随后出现直线和曲线的演变过程，它的演变表明了人类由具象的表面去观察世界发展到了由抽象的内在观念去认识宇宙的本质。
又，AE 也可以证明等于BE ，BE 也等于CE ，所以：三条线段AE、EB 和EC 彼此相等。
所以：以E 为圆心和线段AE、EB 及EC 之一为半径作圆，可以经过其余的点且得到补圆（命题III.9） 。
所以：给定一个弓形，可以作出补圆。
又很明显的，弓形ABC 小于半圆，因为圆心E 在它的外面。
同样，即使∠ABD 等于∠BAD ，AD 等于BD 或DC ，三条线段DA、DB 和DC 将彼此相等，D 将为整圆的圆心，弓形ABC 将为半圆。
又，如果∠ABD 小于∠BAD ，如果在线段BA 及点A 上作角等于∠ABD ，那么圆心将落在弓形ABC 的DB 上，弓形ABC 将明显大于半圆（命题I.23） 。
所以：给定一个弓形，可以作出它的补圆。
证完
注解
这一命题在《原本》中没有再被利用。
命题III.26
在相等圆内，相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。
设：ABC、DEF 为相等圆，在其内作相等圆心角和圆周角，即圆心角∠BGC 、∠EHF ，圆周角∠BAC 、∠EDF 。
求证：圆周角∠BKC 等于圆周角∠ELF 。
令：连接BC、EF 。
既然圆ABC 等于圆DEF ，那么半径相等。
所以：线段BG、GC 就等于线段EH、HF ，在G 点的角等于在H 点的角。所以：第三边BC 等于第三边EF （命题I.4） 。
又，因为在A 点的角等于在D 点的角，所以：弓形BAC 相似于弓形EDF ，它们立于相等线段上（命题I.4） 。
因为，在相等线段上的相似弓形彼此相等，所以，弓形BAC 等于弓形EDF 。
又，因为，整圆ABC 也等于整圆DEF ，所以，余弧BKC 等于余弧ELF 。
所以：在相等圆内，相等的圆周角或圆心角所对的弧相等。
证完
注解
这一命题应用在命题III.28、IV.11、IV.15、XIII.10中。
命题III.27
在相等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。
设：圆ABC 等于圆DEF ，其弧BC 等于弧EF ，∠BGC 、∠EHF 是分别以圆心G、H 作出的角，∠BAC 、∠EDF 是圆周上的角。
求证：∠BGC 等于∠EHF ，且∠BAC 等于∠EDF 。
假设：如果∠BGC 不等于∠EHF ，其中一个较大。令，∠BGC 为较大的角。在线段BG 上和G 点作∠BGK 等于∠EHF （命题I.23） 。
因为当角在圆心处时，等弧上的角相等，所以：圆弧BK 等于圆弧EF （命题I.26） 。
又，因为弧EF 等于弧BC ，所以：弧BK 也等于弧BC ，那么小等于大，这是不可能的。
所以：∠BGC 不能不等于∠EHF 。
所以：它们相等。
又，A 点上的角是∠BGC 的一半，且D 点上的角是∠EHF 的一半，所以：A 点上的角也等于D 点上的角（命题III.20） 。
所以：在等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等。
证完
注解
这一命题应用在卷3、4、6的几个命题中。
命题III.28
在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。
设：圆ABC 与圆DEF 相等，弦AB 等于弦DE ，切分的优弧为ACB 和DFE ，劣弧为AGB 和DHE 。
求证：优弧ACB 等于优弧DFE ，劣弧AGB 等于劣弧DHE 。
令：K、L 分别为两圆的圆心，连接AK、KB、DL 和LE （命题III.1） 。
因为圆相等，那么半径相等，所以：AK、KB 分别等于DL、LE ，且第三边AB 等于第三边DE 。所以：∠AKB 等于∠DLE （命题I.8） 。
又，因为当它们是圆心角时，它们所对的弧相等，所以：弧AGB 等于弧DHE （命题III.26） 。
又：圆ABC 也等于圆DEF 。
所以：弧ACB 也等于弧DFE 。
所以：在相等圆中，等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。
证完
注解
这一命题应用在命题III.30、XIII.18中。
命题III.29
在相等圆中，相等的弧所对的弦相等。
设：圆ABC 等于圆DEF ，其中弧BGC 等于弧EHF ，连接线段BC 和EF 。
求证：BC 等于EF 。
令：K、L 分别为两圆的圆心，连接BK、KC、EL 和LF （命题III.1） 。
因为弧BGC 等于弧EHF ，那么：∠BKC 也等于∠ELF （命题III.27） 。
又，因为圆ABC 等于圆DEF ，那么半径相等，所以：BK、KC 分别等于EL、LF ，它们的夹角也相等，所以：第三边BC 等于第三边EF （命题I.4） 。
所以：在相等圆中，相等的弧所对的弦相等。
证完
注解
这一命题应用在命题IV.11、IV.15中。
命题III.30
一段弧可以被平分。
设：ADB 为给定的弧。
求作：切分成相等的两半。
令：连接AB ，并在C 点上平分。从C 点作CD 垂直于AB ，连接AD、DB （命题I.10、I.11） 。
那么因为：AC 等于CB ，而CD 是公共边，AC、CD 分别等于BC、CD ，且∠ACD 等于∠BCD ，因为皆为直角。
所以：第三边AD 等于第三边DB （命题I.4） 。
又，相等弦切分相等弧，劣弧与劣弧对应相等，圆弧AD、DB 皆小于半圆。
所以：弧AD 等于弧DB （命题III.28） 。所以：给定的圆被D 点平分。
所以：一段弧可以被平分。
证完
注解
这一命题应用在命题IV.16中。
命题III.31
在一个圆中，直径或半圆所对的圆周角为直角；较大弓形上的角为锐角，较小弓形上的角为钝角；优弧所对的圆周角为钝角，劣弧所对的圆周角为锐角。
设：圆为ABCD ，BC 为直径，E 为圆心，连接BA、AC、AD 和DC 。
求证：半圆BAC 内的∠BAC 为直角；大于半圆的弓形ABC 上的∠ABC 小于直角；小于半圆的弓形ADC 上的∠ADC 大于直角。
令：连接AE ，延长BA 至F 。那么，因为BE 等于EA ，所以：∠ABE 也等于∠BAE 。
又，因为CE 等于EA ，所以：∠ACE 也等于∠CAE 。所以：大∠BAC 等于∠ABC 、∠ACB 之和（命题I.5） 。
又，∠FAC 是三角形ABC 的外角，所以：也等于∠ABC 与∠ACB 之和。
所以：∠BAC 也等于∠FAC 。所以：两个皆为直角。
所以：在半圆BAC 上的∠BAC 为直角（命题I.32） 。
进一步：因为在三角形ABC 中，∠ABC 、∠BAC 之和小于180°，而∠BAC 是直角。所以：∠ABC 小于直角。所以：它是大于半圆的弓形ABC 内的角（命题I.17） 。
再进一步：因为ABCD 是圆内接四边形，其对角之和等于180°，同时∠ABC 小于直角。所以：∠ADC 大于直角。且，它是小于半圆的弓形ADC 上的角（命题III.22） 。
进一步说：较大的弓形角，即由弧ABC 与弦AC 所构成的角大于直角，较小的弓形角即由弧ADC 与弦AC 所构成的角小于直角。
这同时表明：BA 与AC 构成的角为直角。由弧ABC 与直线AC 构成的角大于直角。
又因为：弦AC、AF 构成的角为直角。
所以：CA 与圆弧ADC 构成的角小于直角。
所以：在一个圆中，直径或半圆所对的圆周角为直角；较大弓形上的角为锐角，较小弓形上的角为钝角；优弧所对的圆周角为钝角，劣弧所对的圆周角为锐角。
证完
注解
这一命题应用在命题III.32中，并在卷4、6、11、12、13中皆有应用，也用在卷10中。
命题III.32
弦切角等于所夹弧所对应的圆周角。
设：直线EF 切圆ABCD 于B 点，从切点B 作圆的弦BD 。
求证：弦BD 与切线EF 构成的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即∠FBD 等于弓形上的∠BAD ；而∠EBD 等于弓形上的∠DCB 。
令：从B 点作BA 垂直于EF ，在圆弧BD 上任取一点C ，连接AD、DC 和CB （命题I.11） 。
因为：直线EF 与圆ABCD 相切于B 点，BA 是切点上引出的弦，并垂直于切线，那么圆ABCD 的圆心一定在BA 线上（命题III.19） 。
所以：BA 是圆ABCD 的直径。所以：∠ADB 是半圆上的角，因此为直角（命题III.31） 。所以：∠BAD 、∠ABD 之和等于一个直角（命题I.32） 。
又，因为∠ABF 也是直角，所以：∠ABF 等于∠BAD 与∠ABD 之和。
令以上每个角减去∠ABD ，于是：余角∠DBF 等于∠BAD 。而它在相对的弓形上。
又，因为ABCD 是圆内接四边形，所以：对角之和等于180°（命题III.22） 。
又，因为∠DBF 、∠DBE 之和也等于180°，所以：∠DBF 与∠DBE 之和等于∠BAD 与∠BCD 之和，其中∠BAD 已被证明等于∠DBF 。
所以：∠DBE 等于弓形DCB 上的∠DCB 。
所以：弦切角等于所夹弧所对应的圆周角。
证完
注解
这一命题应用在下两个命题中，也用在卷4的一命题中。
命题III.33
给定一条弦，可以作出它所对的圆周角等于已知角。
设：AB 为给定的线段，∠C 为指定的角。
求作：在线段AB 上作出弓形使其角等于∠C 。∠C 可以是锐角、钝角和直角。
先假设它为锐角。在直线AB 上的点A 上作∠BAD 等于∠C 。于是：∠BAD 也是锐角（命题I.23） 。
作AE 垂直于DA ，在F 点上平分AB ，从F 点作FG 垂直于AB ，连接GB （命题I.10、I.12） 。
因为AF 等于FB ，而FG 是公共边，AF、FG 分别等于BF、FG ，且∠AFG 等于∠BFG ，所以：第三边AG 等于第三边BG （命题I.4） 。
所以：以G 为圆心和GA 为半径作圆ABE ，连接EB ，因为AD 是A 点延长线，过直径AE 的尾点，作AD 垂直于AE 。所以：AD 是圆ABE 的切线（命题III.16推论） 。
既然：AD 是圆ABE 的切线，在切点A 上作线段AB 经过圆ABE ；∠DAB 等于相对弓形上的∠AEB （命题III.32） 。
又，∠DAB 等于∠C ，所以：∠C 也等于∠AEB 。
所以：在给定的线段AB 上作出包含∠AEB 的弓形AEB ，它等于∠C 。
进一步，假定∠C 为直角，在线段AB 上作出弓形使它所含的角等于∠C 。
设：作∠BAD ，使之等于∠C ，F 为AB 的平分点，以F 为圆心，FA 或FB 为半径作圆AEB （命题I.23，I.10） 。
于是：直线AD 切于圆ABE ，因为AD 垂直于AB （命题III.16推论） 。
又，∠BAD 等于弓形AEB 上的角，因为后者也是直角，是半圆上的角（命题III.31） 。
又，∠BAD 也等于∠C 。所以：∠AEB 也等于∠C 。所以：在AB 上作出了包含等于∠C 的弓形AEB 。
进一步，假定∠C 为钝角。
在线段AB 的A 点上作∠BAD 等于∠C ，作AE 垂直于AD ，F 点平分线段AB ，作FG 垂直于AB ，连接GB （命题I.23、I.11、I.12） 。
那么因为：AF 等于FB ，FG 是公共边，AF、FG 分别等于BF、FG ，∠AFG 等于∠BFG 。
所以：第三边AG 等于第三边BG （命题I.4） 。
所以：以G 为圆心，GA 为半径的圆作出来了，它也经过B ，即AEB 。
因为AD 与线段AE 在尾点构成直角，所以：AD 是圆AEB 的切线（命题III.16推论） 。
又，AB 过切点A 经过圆。所以：∠BAD 等于作在相对弓形AHB 上的角（命题III.32） 。
又，∠BAD 等于∠C 。所以：弓形AHB 上的角也等于∠C 。
所以：在给定线段AB 上，弓形AHB 作出，其上的角等于∠C 。
所以：给定一条弦，可以作出它所对的圆周角等于已知角。
证完
注解
这一命题在《原本》的其他地方未再被利用。
命题III.34
从一个给定的圆中，可以作出一段弧，使它所包含的圆周角等于已知角。
设：ABC 为给定的圆，∠D 为给定的角。
求作：从圆ABC 中切割出一个弓形，使它包含的圆周角等于给定的∠D 。
令：作EF ，使之与圆ABC 相切于B 点，在直线FB 的B 点作∠FBC 等于∠D （命题III.17、I.23） 。
因为：直线EF 与圆ABC 相切，BC 是从切点B 引出的经过圆的弦。
那么，因为直线EF 切于圆ABC ，且由切点B 作弦BC ，∠FBC 等于在相对弓形BAC 上的∠BAC 。
所以：∠FBC 等于弓形的弦切角∠BAC （命题III.32） 。
又因为∠FBC 等于∠D 。
所以：弓形BAC 上的角等于D 角。
所以：从一个给定的圆中，可以作出一段弧，使它所包含的圆周角等于已知角。
证完
注解
这一命题在《原本》的其他地方未再被利用。
命题III.35
圆中两弦相交，一弦分成的两段构成的矩形的面积等于另一弦分成两段构成的矩形的面积。
设：在圆ABCD 中，两条弦AC、BD 交于E 点。
求证：AE、EC 构成的矩形的面积等于DE、EB 构成的矩形的面积。
如果AC、BD 穿过圆心，那么E 便是圆ABCD 的圆心，这表明，AE、EC、DE 和EB 相等，AE、EC 构成的矩形的面积也就等于DE、EB 构成的矩形的面积。
假定：AC、DB 不是穿过圆心的线，设F 为圆心，从F 点作FG、FH 分别垂直于AC、DB ，连接FB、FC 和FE （命题III.1、I.12） 。
那么因为：穿过圆心的线段GF 切分不穿过圆心的线段AC 形成直角。
所以：它也平分该线段。所以：AG 等于GC （III.3）。
因为：线段AC 在G 点被二等分和E 点不等分，那么以AE、EC 为边构成的矩形的面积加以EG 为边的正方形的面积便等于GC 为边的正方形的面积（命题II.5） 。
加上以GF 为边的正方形的面积，于是：以AE、EC 构成的矩形面积加上分别以GE、GF 为边的正方形的面积就等于分别以CG、GF 为边的正方形的面积之和。而以FE 为边的正方形的面积等于分别以EG、GF 为边的正方形的面积之和，以FC 为边的正方形的面积又等于分别以CG、GF 为边的正方形的面积之和。
所以：AE、EC 构成的矩形的面积加以FE 为边的正方形的面积等于以FC 为边的正方形的面积（命题I.47） 。
又，FC 等于FB ，所以：AE、EC 构成的矩形的面积加以EF 为边的正方形的面积等于以FB 为边的正方形的面积。
同理，DE、EB 构成的矩形的面积加以FE 为边的正方形的面积，等于以FB 为边的正方形的面积。
而AE、EC 构成的矩形的面积加以FE 为边的正方形的面积也已被证明等于以FB 为边的正方形的面积。
所以：AE、EC 构成的矩形的面积加以FE 为边的正方形的面积，等于DE、EB 构成的矩形的面积加上以FE 为边的正方形的面积。
令：每个减去以FE 为边的正方形的面积。
于是：余下的AE、EC 构成的矩形的面积等于DE、EB 构成的矩形的面积。
所以：圆中两弦相交，一弦分成的两段构成的矩形的面积等于另一弦分成两段构成的矩形的面积。
证完
注解
这一命题或许应该成为一个比率：AE ∶EB ＝DE ∶EC 。
这一命题在《原本》的其他地方未再被利用。
命题III.36
如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积。
设：D 为圆ABC 外的一点，从D 点向圆ABC 引两条线段DCA、DB ，使DCA 穿过圆，DB 与圆相切。
求证：AD、DC 构成的矩形的面积等于以DB 为边的正方形的面积。
DCA 要么穿过圆心，要么不穿过圆心。
先令其穿过圆心，假定F 为圆ABC 的圆心，连接FB ，于是：∠FBD 为直角（命题III.18） 。
又，因为AC 在F 点被平分，CD 是其加线，所以：AD、DC 构成的矩形的面积加以FC 为边的正方形的面积等于以FD 为边的正方形的面积（命题II.6） 。
又，因为FC 等于FB ，所以：AD、DC 构成的矩形的面积加以FB 为边的正方形的面积等于以FD 为边的正方形的面积。
又，分别以FB、BD 为边的正方形的面积之和等于以FD 为边的正方形的面积。
所以：AD、DC 构成的矩形的面积加以FB 为边的正方形的面积等于分别以FB、BD 为边的正方形的面积之和（命题I.47） 。
令：以上每个减去以FB 为边的正方形的面积；于是：余下的AD、DC 构成的矩形的面积等于以切线DB 为边的正方形的面积。
再令：DCA 不穿过圆ABC 的圆心，设圆心为E ，从E 点作EF 垂直于AC ，连接EB、EC、ED （命题III.1） 。
于是：∠EBD 是直角（命题III.18） 。
又因为：线段EF 穿过圆心，与另一条不过圆心的线段AC 形成直角，那么也平分该线。所以：AF 等于FC （命题III.3） 。
因为线段AC 在F 点被平分，CD 是其增加线。所以：AD、DC 构成的矩形的面积加上以FC 为边的正方形的面积就等于以FD 为边的正方形的面积（命题II.6） 。
令：以上每个加上以FE 为边的正方形的面积。
于是：AD、DC 构成的矩形的面积加上以CF、FE 为边的正方形的面积等于以FD 与FE 为边的正方形的面积之和。
又，以EC 为边的正方形的面积等于分别以CF、FE 构成的正方形的面积之和，因为∠EFC 是直角，且以ED 为边的正方形的面积等于分别以DF、FE 为边的正方形的面积之和。
所以：AD、DC 构成的矩形的面积加上以EC 为边的正方形的面积等于以ED 为边的正方形的面积（命题I.47） 。
又，EC 等于EB 。所以：AD、DC 构成的矩形的面积加上以EB 为边的正方形的面积等于以ED 为边的正方形的面积。
又，分别以EB、BD 为边的正方形的面积之和等于以ED 为边的正方形的面积，因为∠EBD 是直角。所以：AD、DC 构成的矩形的面积加上以EB 为边的正方形的面积，等于分别以EB、BD 为边的正方形的面积之和（命题I.47） 。
令：以上每个减去以EB 为边的正方形的面积。
于是：余下的AD、DC 构成的矩形等于以DB 为边的正方形的面积。
所以：如果圆外的一点向圆引两条直线，一条与圆相切，一条穿过圆，那么被圆截得的线段与该点到凸圆之间的线段为边构成的矩形的面积等于以该点向圆引的切线所构成的正方形的面积。
证完
命题III.37
如果圆外的一点向圆引两条线段，一条与圆周相交，一条落在圆上，如果截圆的线段的全部与该点到凸弧之间圆外的线段构成矩形面积等于以落在圆上的线段为边的正方形的面积，那么落在圆上的直线为圆的切线。
设：D 为圆ABC 外的一点，从D 点向圆引两条线段DCA、DB ，使DCA 穿过圆，DB 与圆周的一点相交，使AD、DC 构成的矩形的面积等于以DB 为边的正方形的面积。
求证：DB 是圆ABC 的切线。
令：作DE 与圆ABC 相切，以F 为圆心，连接FE、FB 和FD （命题III.17、III.1） 。
于是：∠FED 是直角（命题III.18） 。
因为：DE 与圆ABC 相切，DCA 过圆。那么：AD、DC 构成的矩形面积等于以DE 为边的正方形面积（命题III.36） 。
又，AD、DC 构成的矩形的面积也等于以DB 为边的正方形的面积。所以：以DE 为边的正方形的面积等于以DB 为边的正方形的面积。所以：DE 等于DB 。
又，FE 等于FB ，所以：DE、EF 分别等于DB、BF ，而FD 为三角形共用的底。所以：∠DEF 等于∠DBF （命题I.8） 。
又，∠DEF 是直角，所以：∠DBF 也为直角。
又，FB 为半径，与圆的半径形成直角的线段，在其尾点与圆相切，所以，DB 是圆的切线（命题III.16推论） 。
同样，圆心在AC 上也可以证明出来。
所以：如果圆外的一点向圆引两条线段，一条与圆周相交，一条落在圆上，如果截圆的线段的全部与该点到凸弧之间圆外的线段构成矩形面积等于以落在圆上的线段为边的正方形的面积，那么落在圆上的直线为圆的切线。
证完
注解
这一命题应用在命题IV.10中。
第4卷
圆与正多边形
CHAPTER 4
对于本书第1卷所述的“三大问题”，历代数学家费尽周折，直到1637年，笛卡儿创建了解析几何以后，尺规作图才有了准则。1882年，林德曼证明了π的超越性，即π不可能为任何整系数多项式的根，三大问题之一的“化圆为方的不可能性”才得到确立。1895年，德国克莱因总结了前人的研究，在《几何三大问题》一书中，给出了三大问题不可能用尺规作图的简明证法，彻底解决了两千多年以来一直悬而未决的问题。
本卷讨论了已知圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题。
本卷提要
本卷的命题主要为作圆的内接和外切图形，作直线图形的内切圆和外接圆。
仅有两个命题例外：命题IV.1在圆内作一条适宜的线段，命题IV.10在正五边形内作一特殊的三角形。
定义
定义IV.1 当一个多边形上的顶点分别位于另一多边形的边时，该图形被称为内接于另一图形。
定义IV.2 类似地，当一个多边形的各边分别经过另一个多边形的各顶点时，被称为前图形外接于后图形。
定义IV.3 当一个多边形的各角的顶点都在一个圆周上时，称该图形内接于圆。
定义IV.4 当一个多边形的各边都切于一个圆时，称该多边形外切于圆。
定义IV.5 类似地，当圆与一个多边形各边都相切时，称该圆内切于此多边形。
定义IV.6 当一个圆经过一个多边形的每个顶点时，称该圆外接于该多边形。
定义IV.7 当一条线段的两个端点位于圆周上时，称该线段为圆的弦。
命题IV.1
可作一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。
设：ABC 为给定的圆，d 为给定的小于圆ABC 直径的线段。
求作：在圆ABC 内作一条弦，使之等于线段d 。
令：作圆ABC 的直径BC 。
如果BC 等于d ，那么此线段就不必再作，因为圆的直径BC 等于d 。
如果BC 大于d ，取CE 等于d ，以C 为圆心，CE 为半径作圆EAF ，连接CA （命题I.3） 。
那么：因为C 点是圆EAF 的圆心，那么CA 等于CE 。
又，CE 等于d ，所以：d 也等于CA 。
所以：CA 是给定的圆ABC 的弦，并等于d （定义IV.7） 。
所以：可作一条圆内的弦，使之等于给定的小于直径的线段。
证完
注解
在现代初等几何中，线段、直线、射线若用一个字母表示应为小写字母，点都用大写字母表示。为了方便读者，特将原书中的相关大写字母作相应调整（把表示线段、直线、射线的单个大写字母改为小写）。
假定适应于圆的线段小于圆的直径是必要的，然而欧几里得没有给予充分证明。事实上只需证明两圆交于一个点即点A 即可。这一逻辑漏洞在《原本》的前几卷中也有出现，比如在命题I.1、I.22中。
这一命题应用在命题IV.10、IV.16中，也偶尔用在卷5、6、7之中。
命题IV.2
给定一个三角形，可作圆内接相似三角形。
设：ABC 为给定的圆，DEF 为给定的三角形。
求作：在圆ABC 内作一个与三角形DEF 相似的三角形。
令：作GH 与圆ABC 相切于A 点；作弦AC ，使∠HAC 等于∠DEF ，再作∠GAB ，使之等于∠DFE 。连接BC （命题III.16、I.23） 。
因为：直线AH 与圆ABC 相切，在切点A 上有线段AC 穿过圆。
所以：∠HAC 等于圆周角∠ABC （命题III.32） 。
又，∠HAC 等于∠DEF 。所以：∠ABC 也等于∠DEF 。同样原因，∠ACB 也等于∠DFE 。所以：∠BAC 也等于∠EDF （命题I.32） 。
所以：给定一个三角形，可在圆内作一个相似三角形（定义IV.2） 。
证完
注解
这一命题应用在命题IV.11、IV.16、XIII.13中。
命题IV.3
给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。
设：ABC 为给定的圆，DEF 为给定的三角形。
求作：圆ABC 的外切三角形，并与三角形DEF 相似。
在EF 的两个方向上延长，分别至G 点和H 点。设K 为圆ABC 的圆心，作任意半径KB 。作∠BKA 等于∠DEG ，∠BKC 等于∠DFH 。过点A、B、C 作圆ABC 的切线，使之相交于M、N、L （命题III.1） 。
因为：LM、MN 和NL 与圆ABC 分别相切于A、B、C 点。又，KA、KB 和KC 是从圆心K 分别到A、B、C 点的连线。
所以：A、B、C 点上的角皆为直角（命题III.18） 。
又因为：四边形AMBK 四个角的和等于360°，∠KAM 、∠KBM 是直角。
所以：其余角∠AKB 、∠AMB 之和等于180°。
而∠DEG 与∠DEF 之和也等于180°。所以：∠AKB 、∠AMB 之和等于∠DEG 与∠DEF 之和。其中∠AKB 等于∠DEG 。所以：∠AMB 等于∠DEF （命题I.13） 。
同样，也可以证明∠LNB 也等于∠DEF 。所以：∠MLN 等于∠EDF （I.32）。
所以：三角形LMN 与三角形DEF 是相似三角形，且外切于圆ABC （定义IV.4） 。
所以：给定一个圆和一个三角形，可以作这个圆外切的三角形与给定三角形相似。
证完
注解
这一命题没有被利用于《几何原本》中的其他地方，但与前一命题构成一对。
命题IV.4
给定一个三角形可以作一个内切圆。
设：ABC 为给定的三角形。
求作：三角形ABC 的内切圆。
令：BD、CD 分别平分∠ABC 、∠ACB ，并相交于D 点，从D 点作DE、DF 和DG 分别垂直于AB、BC 和CA （命题I.9、I.12） 。
因为：∠ABD 等于∠CBD ，直角∠BED 也等于直角∠BFD ，三角形EBD 和三角形FBD 有两对角和一条边对应相等，对应边BD 为公共边。
所以：它们的余边彼此相等。所以：DE 等于DF （命题I.26） 。同理，DG 也等于DF 。
所以：三条线段DE、DF 和DG 也彼此相等。
所以：以D 为圆心，以DE、DF 或DG 中的任意一条线为半径的圆也经过余下的点，并与线段AB、BC 或CA 相切，因为在E、F 和G 点的角是直角。
假如圆不切于这些直线，而与它们相交，那么从尾点引出的垂直于直径的直线必然有一部分经过圆内，这是荒谬的。
所以：以D 为圆心，分别以线段DE、DF 和DG 为半径作的圆不能与线段AB、BC 和AC 相交，只能相切，所以圆内切于三角形ABC （命题III.16、定义V.5） 。
令其为FGE 。
于是：三角形ABC 的内切圆EFG 作了出来。
所以：给定一个三角形可以作一个内切圆。
证完
注解
补充出证明的漏洞是容易的，角等分线BD 和CD 不相交。
海伦公式
亚历山大时代的海伦是希腊非常重要的一名数学家，他在其他著作里评论过《几何原本》，但这些作品后来都失传了。1896年，他的著作《共制》被发现，他在书中陈述道：一个三角形的面积是s （s -a ）（s -b ）（s -c ）的平方根，这里a ＝BC ，b ＝AC ，c ＝AB ，皆为三角形的边，s 是周长的一半（a ＋b ＋c ）/2。这一公式被后人称为“海伦公式”。阿基米德或许知道这一公式，但没有确定的证据。海伦完成了这个公式的证明。这里，我们来看看内切圆的前面部分。
