设：D 是三角形ABC 的内切圆的圆心，DE、DF、DG 垂直于边（如欧几里得的证明） 。这三条线段是圆的半径，长度为r 。
三角形ABD 有第三边AB 和高r 。所以，它的面积是r ·AB /2。
同样，三角形BCD 的面积是r ·BC /2，三角形CDA 的面积是r ·CA /2，把它们加在一起，可以发现三角形ABC 的面积是r （AB ＋BC ＋CA ）/2。
所以：三角形ABC 面积＝rs 。
这是个有趣的结论。
现在不管海伦的证明，来看看外切圆。
设：A′ 是A 点的内角等分线上的外切圆圆心。从A′ 引垂线A′E′ 、A′F′ 、A′G′ ，垂直于三角形的边。它们是外切圆的半径r A 。
三角形ABA′ 、有第三边AB 和高A′E′ ，所以，它的面积是r A ·AB /2。
同样，三角形BCA′ 的面积是r A ·BC /2，三角形CAA′ 的面积是r A ·AC /2。
三角形ABC 的面积是三角形ABA′ 与ACA′ 之和减去三角形BCA′ 的差。
所以，它的面积是r A （AB ＋AC -BC ）/2，即r A （s -a ）。
所以：三角形ABC 的面积＝rs ＝r A （s -a ）＝r B （s -b ）＝r C （s -c ）。
也可以表示为：
证完
命题IV.5
给定一个三角形，可以作它的外接圆。
设：ABC 为给定的三角形。
求作：三角形ABC 的外接圆。
令：作点D、E 分别平分线段AB、AC ；作DF、EF 分别垂直于AB、AC 并相交于F 。那么它们相交于三角形ABC 内，或在线段BC 上，或在BC 外（命题I.10、I.11） 。
首先：设它们交于三角形ABC 内的F 点。连接FB、FC 和FA 。
那么因为AD 等于DB ，而DF 是共同边，并有直角。
所以：第三边AF 等于第三边FB （命题I.4） 。
同样我们可以证明CF 等于AF 。所以：FB 也等于FC 。
所以：三条线段FA、FB 和FC 也彼此相等。
所以：以F 为圆心，以FA、FB 或FC 中之一为半径的圆被作出，并过余下的点。并且外接于三角形ABC 。
再：假设DF 和EF 的交点F 在BC 上。连接AF 。
那么同样可以证明出点F 是三角形ABC 的外接圆的圆心。
再：假设DF、EF 相交于三角形ABC 外一点F ，连接AF、BF 和CF 。
因为AD 等于DB ，而DF 是共同边，并有直角；所以：第三边AF 等于第三边BF （命题I.4） 。
同样，可以证明出CF 也等于AF 。BF 也等于FC 。
所以：以F 为圆心，以线段FA、FB 或FC 中之一为半径画圆，也经过余下的点。这就是外接于三角形ABC 的圆（定义IV.6） 。
所以：给定一个三角形，可以作它的外接圆。
证完
注解
三角形外接圆直径的正弦法则：
r 为外接圆的半径。
这一命题应用在命题IV.10、XI.23中。
命题IV.6
给定一个圆可以作一个内接正方形。
设：ABCD 为给定的圆。
求作：圆ABCD 的内接正方形。
令：作圆ABCD 的两条直径AC、BD ，并相互垂直，连接AB、BC、CD 和DA （命题III.1、III.11） 。
因为E 为圆心，所以：BE 等于ED 。EA 是公共边，并形成直角，所以：第三边AB 等于第三边AD （命题I.4） 。
同样原因，线段BC、CD 也等于线段AB、AD 。所以：四边形ABCD 是等边的。
进一步说：它们是直角。
因为直线BD 是圆ABCD 的直径，所以：BAD 是半圆。所以：∠BAD 是直角（命题III.31） 。
同样原因：∠ABC 、∠BCD 和∠CDA 也是直角。
所以：四边形ABCD 是直角的。
又，也已经证明是等边的。它是正方形，并内接于圆ABCD 。
所以：给定一个圆可以作一个内接正方形。
证完
注解
这一命题应用在卷12从XII.2开始的几个命题中。
命题IV.7
给定一个圆可作一个外切正方形。
设：给定的圆为ABCD 。
现在要求的是：作圆ABCD 的外切正方形。
令：作圆ABCD 的两条直径AC 和BD ，并相互垂直。过A、B、C、D 各点作FG、GH、HK 和KF 与圆相切（命题III.1、III.11，推论II.16） 。
那么因为：FG 与圆ABCD 相切，EA 是从圆心E 到切点A 的连线。
所以：A 点的角为直角（命题III.18） 。同样原因：B 点和C 点、D 点的角也是直角。
那么因为∠AEB 是直角，∠EBG 也是直角。所以：GH 平行于AC （命题I.28） 。
同样原因，AC 也平行于FK ，所以：GH 也平行于FK （命题I.30） 。
同样，可以证明出线段GF、HK 也平行于BED 。
于是：GK、GC、AK、FB 和BK 也是平行四边形。所以：GF 等于HK ，GH 也等于FK （命题I.34） 。
又因为：AC 等于BD ，AC 也等于线段GH、FK ，而BD 等于GF、HK 。
所以：四边形FGHK 是等边的（命题I.34） 。
进一步说明：它们也是直角。
因为GBEA 是平行四边形，∠AEB 是直角。所以：∠AGB 也是直角（命题I.34） 。
同样，也可以证明出在H、K 和F 点上的角为直角。所以：FGHK 是矩形。
而它又被证明是等边的，所以：它是正方形。且外切于圆ABCD 。
所以：给定一个圆可作它的外切正方形。
证完
注解
这一命题应用在命题XII.10中。
命题IV.8
给定一个正方形可以作一个内切圆。
设：ABCD 为给定的正方形。
求作：正方形ABCD 的内切圆。
令：平分AD、AB ，平分点分别为E 和F 。过E 点作EH 平行于AB 或CD ；过F 点作FK 平行于AD 或BC 。那么AK、KB、AH、HD、AG、GC、BG 和GD 都是平行四边形，其对边相等（命题I.10、I.31、I.34） 。
那么因为AD 等于AB ，AE 是AD 的一半，AF 是AB 的一半。所以：AE 等于AF 。所以：对边也相等。所以：FG 等于GE 。
同样，也能证明出线段GH、GK 分别等于FG、GE 。
所以：四条线段GE、GF、GH 和GK 相等。
所以：以G 为圆心，分别以GE、GF、GH 和GK 之一为半径的圆经过余下的点。并与线段AB、BC、CD 和DA 相切，因为在E、F、H 和K 点上的角为直角。
假如圆与AB、BC、CD 和DA 相切，则从尾点与直径形成直角的线段将落在圆内，这被证明是荒谬的。
所以：以G 为圆心，分别以GE、GF、GH 和GK 之一为半径的圆不可能与直线AB、BC、CD 和DA 相交（命题III.16） 。
所以：这个圆与它们相切，并作在正方形ABCD 内。
所以：给定一个正方形可以作一个内切圆。
证完
命题IV.9
给定一个正方形可以作一个外接圆。
设：ABCD 为给定的正方形。
求作：正方形ABCD 的外接圆。
令：连接AC、BD ，使其相交于E 点。
那么，因为DA 等于AB ，AC 是公共边，所以：DA、AC 分别等于AB、AC ，底DC 等于底BC 。
所以：∠DAC 等于∠BAC （命题I.8） 。
所以：∠BAD 被AC 线平分。同样，可以证明∠ABC 、∠BCD 和∠CDA 分别被线AC、BD 平分。
因为∠DAB 等于∠ABC ，∠EAB 是∠DAB 的一半，∠EBA 是∠ABC 的一半，所以：∠EAB 也等于∠EBA 。
所以：EA 边也等于EB 边（命题I.6） 。
同理，线段EA、EB 也等于线段EC、ED 。
所以：四条线段EA、EB、EC 和ED 彼此相等。
所以：以E 为圆心，以EA、EB、EC 或ED 之一为半径的圆经过余下的点，并外接于正方形ABCD 。
所以：给定一个正方形可以作它的外接圆。
证完
习题
对于延续了长达4000年的文明社会来说，埃及只给人们留下了很少的宝贵数学史料。古希腊人普遍承认他们的数学，特别是几何学源于埃及，可给人们印象最深的不是埃及和古希腊数学的相似之处，而是二者在风格上、深度上以及由此可以推测的理解上的巨大差异。图为公元前1650年的埃及纸莎草抄本，它是一份约公元前1849—前1801年古老纸莎草抄本的副本，上面满是学生习题，正如现代学生的学校作业一样。
注解
这是圆与正方形的四个命题中的一个。证明是简单明了的。
命题IV.10
可以作一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
设：取任意线段AB ，在C 点被切分，那么AB 与BC 构成的矩形的面积等于CA 为边的正方形的面积。以A 为圆心，AB 为半径作圆BDE ，作圆内线段BD 等于AC ，AC 不大于圆BDE 的直径（命题II.11、V.1） 。
令：连接AD、DC ，在三角形ACD 上作外接圆ACD （命题IV.5） 。
那么因为：AB、BC 构成的矩形的面积等于以AC 为边的正方形，又AC 等于BD 。所以：AB、BC 构成的矩形面积等于BD 上的正方形面积。
又因为B 点为圆ACD 外的一点，从B 点有两条线段BA、BD 与圆ACD 相遇，其中的一条穿过圆，另一条则落在圆上，又AB、BC 构成的矩形的面积等于BD 上的正方形的面积。所以：BD 与圆ACD 相切（命题II.37） 。
因为：BD 与之相切，DC 是从D 点延伸的穿过圆的线。所以：∠BDC 等于相对弓形上的∠DAC （命题III.32） 。
因为∠BDC 等于∠DAC ，令每个角加∠CDA ，于是：大角∠BDA 等于∠CDA 与∠DAC 的和。
又，外角∠BCD 等于∠CDA 与∠DAC 之和，所以：∠BDA 也等于∠BCD （命题I.32） 。
又，∠BDA 等于∠CBD ，因为AD 也等于AB ，所以：∠DBA 也等于∠BCD （命题I.5） 。
所以：∠BDA 、∠DBA 和∠BCD 彼此相等。
又因为∠DBC 等于∠BCD 。所以：边BD 也等于边DC （命题I.6） 。
又，BD 等于CA ，所以：CA 也等于CD 。所以：∠CDA 也等于∠DAC 。
毕达哥拉斯定理
在阿拉伯帝国的历史上，包括后来的伊儿汗国和更晚的帖木儿帝国，都曾先后出现过许多数学家。他们为阿拉伯数学的形成与发展作出了重大贡献。巴格达智慧宫的学者们掀起的著名的翻译运动，将古希腊的天文数学经典以及印度、中国的天算著作翻译成阿拉伯文，加上他们自身的创造，使得阿拉伯数学在算术与代数几何及三角领域取得了光辉的成就。图为阿拉伯教科书所讨论的毕达哥拉斯定理，其证明沿袭了欧几里得的“风车磨房”图表的几何证明手法。
所以：∠CDA 与∠DAC 之和等于∠DAC 的两倍（命题I.5） 。
又，∠BCD 等于∠CDA 与∠DAC 之和，所以：∠BCD 是∠CAD 的两倍。
又，∠BCD 等于∠BDA ，也等于∠DBA 。
所以：∠BDA 、∠DBA 也分别是∠DAB 的两倍。
所以：可以作一个等腰三角形，两个底角皆等于顶角的两倍。
证完
注解
这一命题的目的是作一个36°—72°—72°的等腰三角形ABD ，实际上是在给定的AB 上作出，当AB 被C 点所切割时，第三边等于AB 的较大的部分，因此，AB ·BC ＝AC 2 这一切割在命题II.11中已证明。
这一命题应用在下一命题中，以作圆的内接正五边形。
命题IV.11
在一个圆里，可以作一个内接正五边形。
设：ABCDE 为给定的圆。
作：在圆ABCDE 内作一个内接正五边形。
令：作等腰三角形FGH ，使∠G 、∠H 分别等于∠F 的两倍。在圆ABCDE 内作三角形ACD 等角于三角形FGH 。
于是：∠CAD 、∠ACD 和∠CDA 分别等于∠F 、∠G 、∠H 。
所以：∠ACD 、∠CDA 也分别等于∠CAD 的两倍（命题IV.10、V.2） 。
分别作平分线CE、DB 平分∠ACD 、∠CDA ，连接AB、BC、DE 和EA （命题I.9） 。
因为：∠ACD 、∠CDA 是∠CAD 的两倍，并被CE、DB 平分。所以：五个角∠DAC 、∠ACE 、∠ECD 、∠CDB 和∠BDA 彼此相等。
又，等角所对的弧相等。
所以：五段弧AB、BC、CD、DE 和EA 彼此相等（命题III.26） 。
又，等弧所对的弦相等；所以：五条弦AB、BC、CD、DE 和EA 彼此相等。
所以：五边形ABCDE 是等边的（命题III.29） 。
进一步说：它们是等角的。
因为弧AB 等于弧DE ，令每个加上弧BCD ，于是：大弧ABCD 等于大弧EDCB 。
在弧ABCD 上有∠AED ，在弧EDCB 上有∠BAE ，所以：∠BAE 也等于∠AED （命题III.27） 。
同理，∠ABC 、∠BCD 和∠CDE 也等于∠BAE 、∠AED 。
所以：五边形ABCDE 是等角的。
又已经证明出它是等边的。所以：在一个圆里，可以作一个内接正五边形。
证完
命题IV.12
给定一个圆，可以作它的外切正五边形。
设：ABCDE 为定圆。
求作：圆ABCDE 的外切正五边形。
令A、B、C、D 和E 为五边形的五个顶点，那么：圆弧AB、BC、CD、DE 和EA 彼此相等。过A、B、C、D 和E 作GH、HK、KL、LM 和MG ，使之与圆相切，F 为圆ABCDE 的圆心。连接FB、FK、FC、FL 和FD （命题II.16、II.1） 。
那么因为：线段KL 与圆ABCDE 相切于C 点，FC 是圆心F 与切点C 的连线。
所以：FC 垂直于KL 。
所以：C 点上的所有角是直角（命题III.18） 。
同样理由，B 点和D 点上的角也为直角。
又因为∠FCK 是直角，所以：FK 上的正方形面积等于FC、CK 上的正方形面积之和（命题I.47） 。同样，FK 上的正方形面积也等于FB、BK 上的正方形面积之和。
所以：FC、CK 上的正方形面积之和等于FB、BK 上的正方形面积之和。
其中，FC 上的正方形面积等于FB 上的正方形面积。所以：余下的CK 上的正方形面积等于BK 上的正方形面积（命题I.47） 。所以：BK 等于CK 。
又，因为FB 等于FC ，FK 是公共边，BF、FK 分别等于CF、FK ，底BK 等于底CK 。所以：∠BFK 等于∠KFC ，∠BKF 等于∠FKC 。所以：∠BFC 是∠KFC 的两倍，∠BKC 是∠FKC 的两倍（命题I.8） 。
同样理由，∠CFD 也是∠CFL 的两倍，∠DLC 是∠FLC 的两倍。
那么因为弧BC 等于弧CD ，所以：∠BFC 也等于∠CFD （命题III.27） 。
又，∠BFC 是∠KFC 的两倍，∠DFC 是∠LFC 的两倍。所以：∠KFC 也等于∠LFC 。又，∠FCK 也等于∠FCL ，所以：三角形FKC 、三角形FLC 中，有两对角和一条边对应相等，即FC 是它们的公共边。所以：它们的余边相等，余角也相等。
《概念文字》插图
1879年，德国科学家、逻辑学家和哲学家戈特罗伯·弗雷格（1825—1925年）出版了一部题为《概念文字》的小册子，在逻辑史上首先完成逻辑系统的公理化，把数学中的函数概念引入逻辑演算，将量词用于约束变元，创建了量词理论。
所以：线段KC 等于线段CL ，∠FKC 等于∠FLC （命题I.26） 。
又因为KC 等于CL ，所以：KL 是KC 的两倍。同理可证，HK 是BK 的两倍。
而BK 等于KC ，所以：HK 也等于KL 。
同理，线段HG、GM 和ML 也能被证明等于线段HK、KL 。
所以：五边形GHKLM 是等边的。
以下进一步说明它是等角的。
因为：∠FKC 等于∠FLC ，∠HKL 被证明是∠FKC 的两倍，∠KLM 是∠FLC 的两倍。所以：∠HKL 也等于∠KLM 。
同理，∠KHG 、∠HGM 和∠GML 也能被证明出等于∠HKL 、∠KLM 。
所以：五个角∠GHK 、∠HKL 、∠KLM 、∠LMG 和∠MGH 彼此相等。
所以：五边形GHKLM 是等角的。
同时也证明出它是等边的，并作在圆ABCDE 上。
所以：给定一个圆，可以作它的外切正五边形。
证完
命题IV.13
可以作正五边形的内切圆。
设：ABCDE 为给定的等角等边的五边形。
求：五边形ABCDE 内作一个内切圆。
令：分别作线段CF、DF 平分∠BCD 、∠CDE ，CF、DF 相交于点F ，连接FB、FA 和FE （命题I.9） 。
那么，因为：BC 等于CD ，CF 是公共边，BC、CF 分别等于DC、CF ，∠BCF 等于∠DCF 。
所以：底BF 等于底DF ，三角形BCF 全等于三角形DCF ，其余角等于其余角（命题I.4） 。
所以：∠CBF 等于∠CDF 。
又，因为∠CDE 是∠CDF 的两倍，∠CDE 等于∠ABC ，同时∠CDF 等于∠CBF ，所以：∠CBA 也等于∠CBF 的两倍。
所以：∠ABF 等于∠FBC 。所以：∠ABC 被线段BF 平分。
同样，可以证明出∠BAE 、∠AED 分别被线段FA、FE 平分。
现在从F 点作FG、FH、FK、FL 和FM 分别垂直于AB、BC、CD、DE 和EA （命题I.12） 。则∠HCF 等于∠KCF ，直角∠FHC 也等于直角∠FKC 。FHC、FKC 是有两个角和一条边对应相等的两个三角形，即FC 为公共边。
所以：它们的余边相等。所以：垂线FH 等于垂线FK （命题I.26） 。同样，也可以证明出线段FL、FM 和FG 也等于线段FH、FK 。
所以：五条线段FG、FH、FK、FL 和FM 相互相等。
所以：以F 为圆心，以线段FG、FH、FK、FL 和FM 之一为半径作出的圆，经过余下的点，并与线段AB、BC、CD、DE 和EA 相切，因为点G、H、K、L 和M 上的角是直角。
如果它们不相切，而是相交，就会有这样的结果：过圆的直径的端点与直径成直角的直线将落在圆内，这是荒谬的（命题III.16） 。
所以：以F 为圆心，以线段FG、FH、FK、FL 和FM 之一为半径的圆不能与线段AB、BC、CD、DE 和EA 相交，所以它们相切。
所以：在等角等边的五边形内可以作一个内切圆。
证完
命题IV.14
可以作一个正五边形的外接圆。
设：ABCDE 为给定的正五边形。
求作：正五边形的外接圆。
令：作线段CF、DF 分别平分∠BCD 、∠CDE 。过二线段的交点F 连接线段FB、FA 和FE （命题I.9） 。
可以证明∠CBA 、∠BAE 和∠AED 同样分别被FB、FA 和FE 所平分。
因为∠BCD 等于∠CDE ，而∠FCD 是∠BCD 的一半，∠CDF 是∠CDE 的一半，所以：∠FCD 也等于∠CDF 。所以：边FC 也等于边FD （命题I.6） 。
同样，可以证明每条线段FB、FA 和FE 也等于FC、FD 。
所以：五条线段FA、FB、FC、FD 和FE 彼此相等。
所以：以F 为圆心，以FA、FB、FC、FD 和FE 之一为半径的圆被作出，并经过其余的点，而且是外接的。这个外接圆是ABCDE 。
所以：可以作正五边形的外接圆。
证完
注解
这一命题应用在命题XIII.8、XIII.18中。
命题IV.15
在给定的圆内，可以作内接正六边形。
设：ABCDEF 为给定的圆。
求：圆ABCDEF 内作一个内接正六边形。
令：作圆ABCDEF 的直径AD ，G 为圆心，以DG 为半径作圆EGCH 。连接EG、CG ，并延伸至B、F ，连接AB、BC、CD、DE、EF 和FA （命题II.1） 。
那么：ABCDEF 是正六边形。
因为G 为圆ABCDEF 的圆心，所以GE 等于GD 。
又因为D 为圆EGCH 的圆心，所以：DE 等于DG 。而GE 已被证明等于GD ，所以GE 也等于ED 。所以：三角形EGD 是等边三角形。所以：它的三个角∠EGD 、∠GDE 和∠DEG 彼此相等。这是因为等腰三角形中底角相等（命题I.5） 。
又因为：三角形的三内角的和等于180°。所以：∠EGD 是60°（命题I.32） 。
同样，∠DGC 也能被证明是60°。又因为线段CG 与EB 构成的邻角∠EGC 和∠CGB 之和等于180°，所以：∠CGB 也等于60°（命题I.13） 。
所以：∠EGD 、∠DGC 和∠CGB 彼此相等，它们的对顶角∠BGA 、∠AGF 和∠FGE 彼此相等（命题I.15） 。
所以：六个角∠EGD 、∠DGC 、∠CGB 、∠BGA 、∠AGF 和∠FGE 彼此相等。
又，相等的角作在相等的弧上，所以：六段弧AB、BC、CD、DE、EF 和FA 彼此相等（命题III.26） 。
又，因为等弧所对的弦相等，所以：六条线段彼此相等。
所以：六边形ABCDEF 是等边的（命题III.29） 。
以下进一步说明，它们的角也相等。
因为：弧FA 等于弧ED 。令弧ABCD 与每个相加，于是：弧FABCD 等于弧EDCBA 。
又，∠FED 作在弧FABCD 上，∠AFE 作在弧EDCBA 上，所以：∠AFE 等于∠DEF （命题III.27） 。
同样，可以证明六边形ABCDEF 其余的角也等于∠AFE 、∠FED 。
所以：六边形ABCDEF 是等角的。
又，六边形ABCDEF 也是等边的，并内接于圆ABCDEF 。
所以：在给定的圆内，可以作内接正六边形。
证完
推论
这一命题表明，六边形的边等于圆的半径。如果过圆的分点，作该圆的切线，就得到圆的一个等边且等角的外切六边形。同样，给定一个正六边形，也可以作它的内切圆和外接圆。
注解
推论应用在卷13从XIII.9开始的几个命题中。
命题IV.16
给定一个圆，可作一个内接正十五边形。
设：ABCD 为给定的圆。
求：圆ABCD 内作一个内接正十五边形。
令：AC 为圆ABCD 内等边三角形的一边，AB 为等边五边形的一边。
于是：在圆ABCD 内就有相等的十五条线段，其中，在圆弧ABC 上有五条，该圆弧为圆的三分之一，在圆弧AB 上有三条，该圆弧为圆的五分之一。
所以：在余下的BC 上有两条相等的弧（命题IV.2、IV.11） 。
在E 点平分BC 。于是：圆弧BE、EC 各为圆ABCD 的十五分之一（命题III.30） 。
如果我们连接BE、EC ，且在圆ABCD 内切出等于它们的线段，就可以作出内接于圆的正十五边形（命题IV.1） 。
证完
推论
同五边形的情况一样，如果过圆上的分点作圆的切线，就可以作出圆的外切正十五边形。
进一步，类似于五边形的情况，我们可以同时作出正十五边形的内接圆与外切圆。
第5卷
比例
CHAPTER 5
维纳斯、雅典娜雕像的下半身与全身之比是0.618。人体天生自然美的比例也符合0.618。人们把这个比值叫作“黄金分割”。中国《九章算术》中，“粟米”“衰分”“均输”三章专讲比率，包括了现在的正比例、反比例、复比例、连锁比例、分配比例等形形色色的比例问题。人们认为，欧多克索斯是本卷“比例论”的思想源头。在此基础之上，欧几里得为比例论建立了完整的理论体系。
本卷对欧多克索斯的比例理论作了精彩的解释，被认为是最重要的数学杰作之一。
本卷提要
本卷叙述欧多克索斯的比率及比率的抽象理论。
※定义V.3，比例的性质及其定义。
※定义V.5、V.6，比例的定义。
※定义V.9，比率平方的定义。
命题V.1，量之和的乘积分配：m （x 1 ＋x 2 ＋…＋xn ）＝mx 1 ＋mx 2 ＋…＋mx n 。
命题V.2，数之和的乘积分配：（m ＋n ）x ＝mx ＋nx 。
命题V.3，乘积的联合：m （nx ）＝（mn ）x 。
命题V.5，量之差的乘积分配：m （x -y ）＝mx -my 。
命题V.6，数之差的量乘积分配：（m -n ）x ＝mx -nx 。
以下的命题发展了比率及比例理论，从它们的基础的特性，到较高级的属性。
命题V.4，如果w ∶x ＝y ∶z ，那么，mw ∶mx ＝ny ∶nz 。
命题V.7及其推论，比率中的相等替换。如果x ＝y ，那么x ∶z ＝y ∶z 且z ∶x ＝z ∶y ；如果w ∶x ＝y ∶z ，那么x ∶w ＝z ∶y 。
命题V.8，如果x ＜y ，那么x ∶z ＜y ∶z ，但z ∶x ＞z ∶y 。
命题V.9，如果x ∶z ＝y ∶z ，那么x ＝y ；同时，如果z ∶x ＝z ∶y ，那么x ＝y 。
命题V.10，如果x ∶z ＜y ∶z ，那么x ＜y 。但如果z ∶x ＜z ∶y ，那么x ＞y 。
命题V.11，相等比率的传递性。如果u ∶v ＝w ∶x 且w ∶x ＝y ∶z ，那么u ∶v ＝y ∶z 。
命题V.12，如果x 1 ∶y 1 ＝x 2 ∶y 2 ＝…＝x n ∶y n ，那么这些比率也等于其和的比率：（x 1 ＋x 2 ＋…＋x n ）∶（y 1 ＋y 2 ＋…＋y n ）。
命题V.13，比率不等式中的相等比率的替换。如果u ∶v ＝w ∶x 且w ∶x ＞y ∶z ，那么u ∶v ＞y ∶z 。
命题V.14，如果w ∶x ＝y ∶z 且w ＞y ，那么x ＞z 。
命题V.15，x ∶y ＝nx ∶ny 。
命题V.16，更迭比例。如果w ∶x ＝y ∶z ，那么w ∶y ＝x ∶z 。
命题V.17、V.18，合比与分比及其逆命题。如果（w ＋x ）∶x ＝（y ＋z ）∶z ，那么w ∶x ＝y ∶z ；如果w ∶x ＝y ∶z ，那么（w ＋x ）∶x ＝（y ＋z ）∶z 。
命题V.19及推论，如果（w ＋x ）∶（y ＋z ）＝w ∶y ，那么，（w ＋x ）∶（y ＋z ）＝x ∶z ；如果（u ＋v ）∶（x ＋y ）＝v ∶y ，那么（u ＋v ）∶（x ＋y ）＝u ∶x 。
命题V.22，等比。如果x 1 ∶x 2 ＝y 1 ∶y 2 ，x 2 ∶x 3 ＝y 2 ∶y 3 ，…，及x n -1 ∶x n ＝y n -1 ∶y n ，那么x 1 ∶x n ＝y 1 ∶y n 。
命题V.23，混比。如果u ∶v ＝y ∶z 且v ∶w ＝x ∶y ，那么u ∶w ＝x ∶z 。
命题V.24，如果u ∶v ＝w ∶x 且y ∶v ＝z ∶x ，那么（u ＋y ）∶v ＝（w ＋z ）∶x 。
命题V.25，如果w ∶x ＝y ∶z ，w 是四个量中最大的量，z 是最小的量，那么w ＋z ＞x ＋y 。
第5卷的逻辑结构
第5卷是比和比例的基础，与前面各卷无关。第6卷包含平面几何的比，其证明依赖于第5卷中的结论。同时，在第5卷中的无理线和立体几何、第11卷至第13卷关于比的讨论也依赖于第5卷。第7卷至第9卷的数论不直接依赖于本卷，因为，数的比有不同的定义。
然而，尽管欧几里得小心谨慎地证明他使用的比的结论，但还是有一些疏漏，比如比例的三分法则。在对定义V.4～V.7的注解中，对此有所描述。
在卷5的部分命题要求处理定义V.4。
定义
V.1 当一个较小量能测尽较大量时，小量被称为大量的部分。
V.2 当一个较大量能被较小量测尽时，我们称大量为小量的倍数量。
V.3 同类的量之间的大小关系叫作“比”。
V.4 当一个量数倍以后能大于另一个量，则说两个量有一个比。
V.5 有四个量，第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，那么，第一、第三量或者第二、第四量同时扩大相同的倍量，两个比依然相等。
V.6 有相同比的四个量称为成比例的量。
V.7 在四个量之间，第一、三个量取相同的倍数，且第二、四个量取另一相同倍数，若第一个的倍量大于第二个的倍量，且第三个的倍量不大于第四个的倍量，那么，第一个量与第二个量的比大于第三个量与第四个量的比。
V.8 一个比例至少有三个项。
V.9 当三个量成比例时，那么，第一个量与第三个量的比是第一个量与第二个量的二次比。
V.10 当四个量成连续比例时，第一量与第四量的比称为第一量与第二量的三次比。无论量的多少，依此类推。
V.11 在成比例的四个量中，前项与前项、后项与后项称为对应量。
V.12 前项比前项等于后项比后项称为更比。
V.13 把更比的后项作前项，前项作后项称为逆比。
V.14 前项与后项的和比后项称为合比。
V.15 前项与后项的差比后项称为分比。
V.16 前项比前项与后项的差称为交换比。
V.17 有一些量，又有一些与它们个数相等的量，若在各组每取二量作成相同的比例，则第一组量中首量比尾量等于第二组中首量比尾量，这称为首末比。或者说，这是抽取中间项，保留两头的项。
V.18 调动比例是，有三个量，又有另外与它们个数相等的三个量，在第一组量中，前项比后项等于第二组量中的前项比后项，这时，第一组量中的后项比第三项等于第二组中的第三项比前项。
注解
比及比例论
本卷是比及比例理论。一个比为两个量的大小关系。本卷叙述比例理论，为第6卷的几何比例的命题打下基础。命题VI.1是一个阐释何为几何比例的很好实例，该命题叙述在等高的三角形中，高与底边成比例，即两个三角形中的高之比等于它们相应的底边之比。举一个简单的例子，当一条底边是另一条底边的两倍时，它对应的三角形也是对应边的两倍，那么这一比是2∶1，这是很好理解的。那么，任何一个比皆是两个数的比也是很好理解的。线之比等于数之比，比如A ∶B ＝8∶5，有两种解释，一是有一条较短的线A 是8cm，那么B ＝5cm。这一解释出现在卷7的定义中。第二种解释是5A ＝8B 。如果A ∶B 是一个数的比，那么，A 和B 是可公约的，即两者都可以被一个公约数所测尽。
但是，许多线段是不可公约的。如果一个正方形的边是A ，对角线是B ，那么，A 和B 是不可公约的；A ∶B 就不是一个数之比。这一事实由毕达哥拉斯发现。
命题V.1
如果有任意多个量，其分别是同样多个数的同倍量，那么，无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍量。
设：AB 和CD 的量分别是e 和f 的同倍量（定义V.2） 。
求证：AB 和CD 之和是e 和f 之和的倍数。
因为，AB 是e 的倍量，CD 是f 的倍量，其倍数相等，那么，在AB 中有多少个等于e 的量，在CD 中也有同样多个等于f 的量。
分割AB 为AG 和GB ，使之等于e ；并分割CD 为CH 和HD ，使之等于f 。
那么：AG 与GB 的个数等于CH 与HD 之个数。
又，因为AG 等于e ，CH 等于f ，所以：AG 与CH 之和等于e 与f 之和。
同理：GB 等于e ，GB 与HD 之和等于e 与f 之和。
所以：在AB 中有多少个等于e 的量，在AB 与CD 之和中也有多少个量等于e 与f 之和。
所以：AB 与CD 之和等于e 与f 之和的倍数。
所以：如果有任意多个量，分别是同样多个数的同倍量，那么，无论这个倍数是多少，前者的和也是后者的和的同倍量。
证完
注解
在现代数学中，这一命题陈述了乘法分配律：
m （x 1 ＋x 2 ＋…＋x n ）＝mx 1 ＋mx 2 ＋…＋mx n 。
这里m 为一个量，所有x i 为一个同类的量。
命题V.2
如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍量相等；第五个量也是第二个量的倍量，第六个量是第四个量的倍量，那么，第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数，第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数，其倍数也相等。
设：第一个量AB 的量值是第二个量c 的相同倍数，第三个量DE 是第四个量f 的相同倍数，第五个量BG 是第个二量c 的相同倍数，第六个量EH 是第四个量f 的相同倍数（定义V.2） 。
求证：第一与第五之和AG 便是第二个量c 的相同倍数，第三与第六之和DH 是第四个量f 的相同倍数。
因为AB 是c 的相同倍数，DE 是f 的相同倍数。
所以：在AB 里面有多少等于c 的量值，在DE 里面有同样多等于f 的量值。
同理：在BG 里面有多少等于c 的量值，在EH 里面有同样多等于f 的量值。
所以：在整个AG 里面有多少等于c 的量值，在整个DH 里面有同样多等于f 的量值。所以：AG 是c 的相同倍数，DH 是f 的相同倍数。
