所以：如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的倍量，其倍量相等；第五个量也是第二个量的倍量，第六个量是第四个量的倍量，那么，第一个量与第五个量之和也等于第二个量的倍数，第三个量与第六个量之和是第四个量的倍数，其倍数也相等。
证完
注解
这一命题简单陈述了等倍量之和相等。如果mc 与mf 是c 和f 的等倍量，那么nc 和nf 也是c 和f 的等倍量。则mc ＋nc 以及mf ＋nf 也是c 和f 的等倍量。这一证明依赖于分配律，即：
（m ＋n ）c ＝mc ＋nc 。
这一命题应用在另三个命题的证明中，它们是命题V.3、V.6、V.17。
命题V.3
如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二个量及第四个量的倍量，并且这两个倍数相等。
设：第一个量a 的数量值是第二个量b 的相同倍数，第三个量c 是第四个量d 的相同倍数，EF 是a 的等倍数，GH 是c 的等倍数（定义V.2） ；
求证：EF 是b 的相同倍数，GH 是d 的相同倍数。
因为EF 是a 的相同倍数，GH 是c 的相同倍数。
所以：在EF 中有多少个a 的相同的量值，在GH 中有同样多个c 的相同量值。
另：将EF 分为EK 和KF ，使其量值等于a 。将GH 分为GL 和LH ，使其量值等于c 。
那么EK 与KF 的量值数等于GL 与LH 的量值数。
又因为，a 是b 的相同倍数，c 是d 的相同倍数，这时EK 等于a ，GL 等于c ，故EK 是b 的相同倍数，GL 是d 的相同倍数。
同理，KF 是b 的相同倍数，LH 是d 的相同倍数。
那么第一个量EK 是第二个量b 的相同倍数，第三个量GL 是第四个量d 的相同倍数，第五个量KF 是第二个量b 的相同倍数，第六个量LH 是第四个量d 的相同倍数。
所以：第一个量与第五个量之和EF 是第二个量b 的倍数，第三个量与第六个量之和GH 是第四个量d 的倍数（命题V.2） 。
欧洲的“算术三角”
在帕斯卡之前，欧洲知道“帕斯卡三角”的大有人在。根据现有资料，最早发表的“算术三角”是德国人阿皮安努斯（1495—1552年），他在1527年出版的算术书中就有n ＝9的算术三角形图，后来朔伊贝尔（1494—1570年）在他的《算术》中也记有算术三角形（图上），还有塔尔塔利亚（1499—1557年）在他的《数的度量通论》中也记载了此类算术三角形（图下）。
所以：如果第一个量是第二个量的倍量，第三个量是第四个量的相同倍数；如果第一量和第三量也是等倍数，那么这两个量分别是第二个量及第四个量的倍量，并且这两个倍数相等。
证完
注解
这一命题说等倍量相等。即如果w 和x 是y 和z 的等倍量，u 和v 是w 和x 的等倍量，那么，u 和v 是y 和z 的等倍量。证明依赖于乘法的欧几里得算法，即：m （ny ）＝（mn ）y 。在欧几里得的证明中，n 是3，m 是2。
如同在上一命题中，量并不总需要是同一个类。
虽然这一命题实际上并不是陈述比例，但仍然可以解释为比例，对a 和c 是b 和d 的等倍量的假设，可以解释为比例a ∶b ＝c ∶d ，且ma 和mc 是b 和d 的等倍量的这一结论也可以解释为一个比例，即ma ∶b ＝mc ∶d 。在这一解释下，这一比例成为下一命题中证明普遍情形的特殊情况。
命题V.4
如果第一个量比第二个量与第三个量比第四个量的比相同，那么第一个量比第三个量的倍量与第二个量比第四个量的倍量相同。
设：第一个量值a 比第二个量值b 与第三个量值c 比第四个量值d 有相同的比，e 和f 分别是a 和c 的等倍数，g 和h 分别是b 和d 的等倍数。
求证：e 比g 等于f 比h 。
令：k 为e 的等倍量，l 为f 的等倍量，m 为g 的等倍量，n 为h 的等倍量。
因为e 为a 的等倍量，f 为c 的等倍量，k 为e 的等倍量，l 为f 的等倍量。所以：k 是a 的倍数，l 是c 的倍数。
同理，m 是b 的倍数，n 是d 的倍数（命题V.3） 。
又，因为a 比b 等于c 比d ，k 和l 是a 和c 的等倍量，m 和n 是b 和d 的等倍量，所以：如果m 大于k ，那么n 大于l 。
如果相等则也相等，如果小于则也小于（定义V.5） 。
又，k 和l 是e 和f 的等倍量，m 和n 是g 和h 的等倍量。
所以：e 比g 等于f 比h （定义V.5） 。
所以：如果第一个量比第二个量与第三个量比第四个量的比相同，那么第一个量比第三个量的倍量与第二个量比第四个量的倍量相同。
证完
注解
注意，欧几里得应用定义证明两个比例pa ∶（qb ）与pc ∶（qd ）是相同的（这里，a 和b 是一个类的量，c 和d 是另一个类的量，但p 和q 是数）。我们给出a ∶b ＝c ∶d ，这意味着对于任何数m 和n 来说，如果ma ＞＝＜nb ，那么mc ＞＝＜nd 。
对于任何数p 和q 来说，我们必须证明pa ∶（qb ）＝pc ∶（qd ），这即是说，我们必须证明对任何数m 和n 来说，如果mpa ＞＝＜nqb ，那么mpc ＞＝＜nqd 。
但这只是给出关系的特殊形式：
如果ma ＞＝＜nb ，那么mc ＞＝＜nd 。
这一命题应用在命题V.22中。
命题V.5
如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。
设：量值AB 是量值CD 的相同倍数，减去的部分AE 是减去的部分CF 的相同倍数。
求证：余下的部分EB 也是余下的部分FD 的相同倍数，总和AB 也是总和CD 的倍数。
令：作CG ，以使EB 是CG 的倍数，AE 是CF 的倍数。
那么因为AE 是CF 的相同倍数，EB 是GC 的相同倍数。
所以：AE 是CF 的相同倍数，AB 是GF 的相同倍数（命题V.1） 。
假定：AE 是CF 的相同倍数，AB 是CD 的相同倍数。
于是：AB 是量值GF 和CD 的相同倍数，所以：GF 等于CD 。
从每个中减去CF ，于是：余下的GC 等于余下的FD 。
又因为：AE 是CF 的相同倍数，EB 是GC 的相同倍数，GC 等于DF 。
所以：AE 是CF 的相同倍数，EB 是FD 的相同倍数。
假设：AE 是CF 的相同倍数，AB 是CD 的相同倍数。
于是：余下的EB 是余下的FD 的相同倍数，AB 是CD 的相同倍数。
所以：如果一个量值是另一个量值的倍量，另一个量减去的部分是第一个量减去的部分的倍量，其倍数相等。则余下的量值仍然是相同的倍数，其总量值也是相同的倍数。
证完
注解
这一命题类似于命题V.1，它陈述量相减的分布数的乘法，m （x -y ）＝mx -my 。
注意，在这一命题中，所有量必须是同一类。
证明的开头部分就涉及部分量，作CG ，使EB 是CG 的相同倍数，AE 是CF 的相同倍数。于是，便有如下例子，AE 是CF 的三分之一，CG 是EB 的三分之一，而这一结构并不适合所有类型的量，特别是在角与弓形中。
这一命题在《几何原本》的其他地方再未被利用。
命题V.6
如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。
设：两个量AB 和CD 是两个量e 和f 的同倍量，从中减去e 的同倍量AG 和f 的同倍量CH 。
求证：余量GB 和HD 也等于e 和f ，或者是它们的同倍量。
首先，令GB 等于e 。
那么：HD 也等于f 。
作CK 等于f 。
因为AG 是e 的相同倍数，CH 是f 的相同倍数，同时GB 等于e ，KC 等于f ，所以：AB 是e 的相同倍数，KH 是f 的相同倍数（命题V.2） 。
又，因假设AB 是e 的相同倍数，CD 是f 的相同倍数，于是：KH 是f 的相同倍数，CD 是f 的相同倍数。
既然KH 和CD 都是f 的相同倍数，那么：KH 等于CD 。
令从每个量中减去CH ，于是：余量KC 等于余量HD 。
而f 等于KC ，于是：HD 也等于f 。
于是，如果GB 等于e ，那么：HD 也等于f 。
同样，可以证明出如果GB 是e 的倍数，HD 也是f 的相同倍数。
所以：如果两个量是另两个量的同倍量，从前两个量中减去后两个量的任意同倍量，那么余量或者与后两个量相等，或者是它们的等倍数。
证完
注解
这一命题陈述了如果ma 和mb 是a 和b 的等倍量，na 和nb 也是等倍量，那么它们的差ma -na 和mb -nb 是更多的等倍量，类似于命题V.2的相加。
它的证明依赖于分配性，即量的乘法分配律：（m -n ）a ＝ma -na 。欧几里得将4作m ，3作n 。但他并不将1视为一个数。
这一命题在《几何原本》的其他地方也被利用。
命题V.7
等量比同一个量相等。
设：a 与b 等量，c 为任意量。
求证：a、b 与c 的比相等；反之，c 与a、b 的比相等。
作等量a、b 的等倍量d、e ，c 的任意倍数f 。
那么因为：d 是a 的等倍量，e 是b 的等倍量，且a 等于b 。
所以：d 等于e 。而f 是另一个任意量。
如果d 大于f ，那么e 也大于f ；
如果相等，那么后者也相等，如果小于，那么后者也小于。
又，d 和e 是a 和b 的等倍量，同时f 是c 的任意倍数。
所以：a 比c 等于b 比c （定义V.5） 。
进一步说明：c 与a、b 的比相等。
在同一结构中，也可以同样证明d 等于e ，f 是另一个量，如果f 大于d ，那么也就大于e ，如果相等，也就等于后者，如果小于，那么也小于后者。
又，f 是c 的倍数，同时d 和e 是a 和b 的任意等倍量。
所以：c 比a 等于c 比b （定义V.5） 。
所以：等量比同一个量相等。
证完
推论
这一命题表明，如果任意量成比例，那么它们也成逆比。
注解
这一命题说，如果a ＝b ，那么a ∶c ＝b ∶c ，c ∶a ＝c ∶b 。命题是显明的，逆命题在命题V.9中给出。
推论是不合适的。这一推论实际上与命题无关。因为命题要求的所有量是同类量，而推论则不是。但这一推论却是正确的，它根据定义V.5而来。
比例的这一基础特性经常使用在涉及比例的命题中，在卷5从V.10开始的命题中几次使用，大量使用是在卷6中，以后的几卷中也不时使用。
命题V.8
两个不等量与同一个量的比值中，较大的量比值也较大；一个量与两个不等量的比值中，小的量比值为大。
设：AB 和c 是不等量，AB 大于c ，d 是一个任意量。
求证：AB 比d 大于c 比d ，d 比c 大于d 比AB 。
因为：AB 大于c ，作EB 等于c 。
那么：对AE 和EB 中较小的量加倍至一定次数时将大于d （定义V.4） 。
首先：令AE 小于EB ，AE 加倍，FG 是AE 的倍量，并大于d 。作GH ，使之为EB 的相等倍数量，作k 为c 的相等倍数量，FG 为AE 的相等倍数量。
令l 为d 的两倍，m 为其三倍，如此连续增加倍数，直到d 加倍到首次大于k 。令其为n ，n 为d 的四倍，它的一倍大于k （定义V.4） 。
因为：k 小于n ，所以：k 不小于m 。
因为：FG 是AE 的相同倍数，GH 是EB 的相同倍数。
所以：FG 是AE 的相同倍数，FH 是AB 的相同倍数（命题V.1） 。
又，FG 是AE 的相同倍数，k 是c 的相同倍数。
所以：FH 是AB 的相同倍数，k 是c 的相同倍数。
所以：FH 和k 是AB 和c 的同倍量。
又因为：GH 是EB 的相同倍数，k 是c 的相同倍数，EB 是c 的相同倍数。
所以：GH 等于k 。
而k 不小于m ，所以：GH 也不小于m 。
又，FG 大于d ，所以：FH 大于d 与m 之和。
又，d 与m 之和等于n ，由于m 是d 的三倍，m 与d 之和是d 的四倍，同时n 也是d 的四倍。
所以：m 与d 之和等于n 。
又，FH 大于m 与d 之和，所以：FH 大于n ，同时k 不大于n 。
又，FH 与k 是AB 和c 的同倍量，同时n 是d 的任意倍数。
所以：AB 比d 大于c 比d （定义V.7） 。
进一步说明，d 比c 大于d 比AB 。
在这同一结构中，同样可以证明出n 大于k ，同时n 不大于FH 。
又，n 是d 的倍数，同时FH 和k 是AB 和c 的任意同倍量。
所以：d 比c 大于d 比AB （定义V.7） 。
再：令AE 大于EB 。那么，加倍EB 到一定倍数最终会大于d （定义V.4） 。
令加倍后的GH 是EB 的倍数，并大于d 。
令：FG 是AE 的相同倍数量，k 是c 的相同倍数量，GH 是EB 的相同倍数量。
那么同样也可以证明出FH 和k 是AB 和c 的等倍量。
又，同样，令n 是d 的一倍量，并大于FG 。
所以：FG 也不小于m （定义V.4） 。
又，GH 大于d ，所以：FH 大于d 与m 之和，即n 。
那么：k 不大于n ，FG 亦如是，FG 大于GH ，即大于k ，不大于n 。
所以：两个不等量与同一个量的比值中，较大的量比值也较大；一个量与两个不等量的比值中，小的量比值为大。
证完
命题V.9
两个量与一个量有同样的比值，则这两个量相等；同一量与n 个量的比相同，则这些量相等。
设：a、b 与c 有相同的比值。
求证：a 等于b 。
否则，每个量a 和b 将不会有与c 相等的比值。
但是它们有，所以a 等于b （命题V.8） 。
再设：c 与a、b 有相同的比值。
那么：a 等于b 。
否则，c 将不会与a 和b 量有相等的比值。
但它们已知成相同的比值，所以a 等于b （命题V.8） 。
所以：两个量与一个量有同样的比值，那么这两个量相等。
证完
注解
这一命题是命题V.7的逆命题，有两种陈述方式：
如果a ∶c ＝b ∶c ，那么a ＝b 。
如果c ∶a ＝c ∶b ，那么a ＝b 。
除前一命题外，证明依赖于三分比例法则，a ∶b ＜a ∶c 和a ∶b ＝a ∶c 不能同时发生。虽然欧几里得并没有证明它，它根据定义V.5和定义V.7而来。
这一命题依赖于将定义V.4作为一个对照公理来应用，因为当a 是c ＋y ，且b 是c ＋2y 时，这一公理不成立。这里y 是与c 相关的无穷小的数。
这一命题偶尔应用在卷6、7、10、11、12以推断几何量相等。
命题V.10
一些量比一个量，比值大的为大。一个量比一些量，比值大的为小。
设：a 比c 大于b 比c 。
求证：a 大于b 。
假如不是，那么a 等于b 或者小于b 。
因为：a 等于b ，由于在此一情况下，a、b 比c 有相同的比值。
但事实不是这样，所以：a 不等于b （命题V.7） 。
又，a 也不小于b ，因为这一情况下，a 与c 的比值将小于b 与c 的比值。
但事实不是这样，所以：a 不小于b （命题V.8） 。
同时也可以证明a 不等于b ，所以：a 必然大于b 。
再设：c 与b 的比值大于c 与a 的比值。
那么可说：b 小于a 。
假如不是，那么就会等于或者大于。
设b 等于a ，因为在这一情况下就会有c 与a 同c 与b 的比值相等。
但事实不是这样，所以：a 不等于b （命题V.7） ，也不是b 大于a 。
因为：这样，c 比b 小于c 比a ，但是，已知不是这样，所以，b 不大于a 。但，已经证明了一个不等于另一个，所以：b 小于a 。
所以：一些量比一个量，比值大的为大。一个量比一些量，比值大的为小。
证完
六面形方砖
和音乐一样，达·芬奇认为：数学和几何“包含了宇宙的一切”。从年轻时起，达·芬奇就本能地把这些主题运用在作品中。构成他的展现三维空间和丰富表现力而进行研究的主要元件，是人物面孔、手势、几何结构、心境和生命力。图中布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的六面形方砖，应用了达·芬奇画的具有视觉效果的几何图案。
注解
这一命题是命题V.8的逆命题，有两种陈述方式：
如果a ∶c ＞b ∶c ，那么a ＞b 。
如果c ∶b ＞c ∶a ，那么b ＜a 。
部分比例三分法则应用在本命题中，最多有三种情况，a ∶c ＜b ∶c、a ∶c ＝b ∶c、a ∶c ＞b ∶c 。
欧几里得的证明依赖于定义V.4作为对照公理。因为它使用了命题V.8和比例的三分法则。但这一命题没有对照公理也能够得以证明。
假定a ∶c ＞b ∶c ，那么有数m、n ，na ＞mc ，nb 不大于mc 。
所以na ＞nb 。所以a ＞b 。
于是a ∶c ＞b ∶c ，这意味着a ＞b 。
这一命题应用在卷5从命题V.14开始的几个命题中。
命题V.11
凡与同一个比相同的比，彼此相同。
设：a 比b 等于c 比d ，c 比d 等于e 比f 。
求证：a 比b 等于e 比f 。
作a、c、e 的等倍量g、h、k ，再作b、d、f 的任意等倍量l、m 和n 。
那么因为a 比b 等于c 比d ，a 和c 是g 和h 的等倍量，b 和d 是l 和m 的任意等倍量。
所以：如果g 大于l ，那么h 也就大于m 。
如果相等，那么后者也就相等；如果小于，那么后者也就小于（定义V.5） 。
又因为：c 比d 等于e 比f ，c 和e 是h 和k 的等倍量，d 和f 是m 和n 的任意等倍量。
所以：如果h 大于m ，那么k 也就大于n ；如果等于，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于。
但是，如果h 大于m ，g 也就大于l ；如果等于，那么后者也相等；如果小于，那么后者也就小于。
所以进一步说：如果g 大于l ，那么k 也就大于n ；如果等于，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于（定义V.5） 。
又，g 和k 是a 和e 的等倍量，同时l 和n 是b 和f 的另一个任意等倍量。
所以：a 比b 等于e 比f （定义V.5） 。
所以：凡与同一个比相同的比，彼此相同。
证完
注解
这一命题表述了比相等的传递关系。这一命题（自反性和均匀性）后，表述“两个比相等”的证明直接沿用了定义。很奇异的是，欧几里得认为这需要被证明。
a 和b 是一类量，c 和d 是另一类，e 和f 是再一类量，这一命题频繁地应用在涉及比的命题中。
命题V.12
如果一系列的量成比例，那么，所有的比的前项的和，与后项的和的比等于其中任意一个比的值。
设：a、b、c、d、e、f 为比例量，a 比b 等于c 比d ，也等于e 比f 。
求证：a 比b 等于a、c、e 之和比b、d、f 之和。
作a、c、e 的等倍量g、h、k ，再作b、d 和f 的等倍量l、m 和n 。
那么因为：a 比b 等于c 比d ，也等于e 比f ，a、c、e 是g、h 和k 的等倍量，b、d、f 是l、m、n 的任意等倍量。
所以：如果g 大于l ，那么h 也大于m ，k 也大于n 。
如果相等，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于。
所以：再进一步，如果g 大于l ，那么g、h、k 之和大于l、m、n 之和；如果等于，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于（定义V.5） 。
那么：g 和g、h、k 之和是a 和a、c、e 之和的等倍量。
因为如果任何量是另一个相同量的相同倍数，那么这些量的和是后者的和的倍数（命题V.1） 。
同样原因：l 与l、m、n 之和也是b 与b、d、f 之和的同倍数。
所以：a 比b 等于a、c、e 之和比b、d、f 之和（定义V.5） 。
所以：如果一系列的量成比例，那么，所有的比的前项的和，与后项的和的比等于其中任意一个比的值。
证完
注解
代数表达可为：如果x 1 ∶y 1 ＝x 2 ∶y 2 ＝…＝x n ∶y n ，那么这些比的每一个也等于（x 1 ＋x 2 ＋…＋x n ）∶（y 1 ＋y 2 ＋…＋y n ）。
这一命题应用在V.15中，也应用在卷6、10、12的一些命题中。
命题V.13
如果第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，第三个量比第四个量大于第五个量比第六个量，那么第一个量与第二个量的比也大于第五个量比第六个量。
设：第一个量a 比第二个量b 与第三个量c 比第四个量d 的比相同，第三个量c 与第四个量d 的比大于第五个量e 与第六个量f 的比。
求证：第一个量a 与第二个量b 的比也大于第五个量e 与第六个量f 的比。
因为：c、e 以及d、f 为等倍量，c 的倍数大于d 的倍数，同时e 的倍数不大于f 的倍数。
如是，令：g 和h 为c 和e 的等倍量，k 和l 是d 和f 的任意等倍量。
于是：g 大于k ，而h 不大于l ，g 为c 的任意倍数。
令：m 也是a 的倍数，k 为d 的任意倍数，n 也为b 的倍数（定义V.7） 。
既然a 比b 等于c 比d ，a 和c 是m 和g 的倍数，b 和d 是n 和k 的任意等倍量。
所以：如果m 大于n ，那么g 也大于k ；如果等于，那么后者也等于；如果小于，那么后者也小于（定义V.5） 。
而g 大于k ，所以：m 也大于n 。
而h 不大于l ，m 和h 是a 和e 的等倍数，n 和l 是b 和f 的任意等倍数。
所以：a 比b 大于e 比f （定义V.7） 。
所以：如果第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，第三个量比第四个量大于第五个量比第六个量，那么第一个量与第二个量的比也大于第五个量比第六个量。
证完
注解
如果两个比相等，并且其中一个大于第三个，那么另一个也大于第三个。代数表达为，如果a ∶b ＝c ∶d ，c ∶d ＞e ∶f ，那么a ∶b ＞e ∶f 。量可能是三种不同的类，即a 和b 为一类，c 和d 为第二类，e 和f 为第三类。
由于传递性，如果a ∶b ＞c ∶d ，c ∶d ＞e ∶f ，那么a ∶b ＞e ∶f 。证明是不困难的，但没有符号代数还是有些困难，欧几里得不得不使用20条线来作它的图。
这一命题应用在下一命题中，也用在命题V.20、V.21中。
命题V.14
如果第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，第一个量大于第三个量，那么第二个量也大于第四个量；如果相等，那么后者亦相等；如果小于，那么后者亦小于。
设：第一个量a 比第二个量b 等于第三个量c 比第四个量d ，并且a 大于c 。
求证：b 也大于d 。
因为：a 大于c ，b 是任意一个等倍量。
所以：a 比b 大于c 比b （命题V.8） 。
而，a 比b 等于c 比d ，所以：c 比d 大于c 比b （命题V.13） 。
又，由于有相同比的更小。
所以：d 小于b ，即：b 大于d （命题V.10） 。
同样可以证明，如果a 等于c ，那么b 等于d 。
又，如果a 小于c ，那么b 小于d 。
所以：如果第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，第一个量大于第三个量，那么第二个量也大于第四个量；如果相等，那么后者亦相等；如果小于，那么后者亦小于。
证完
注解
这一命题应用在命题V.6中，也应用在卷Ⅴ、Ⅵ、Ⅹ、Ⅻ、XIII的一些命题中。
命题V.15
部分与一部分的比按相应的顺序与它同倍量的比相同。
设：AB 是c 的倍数，DE 是f 的倍数，且倍数相同。
求证：c 比f 等于AB 比DE 。
因为既然：AB 是c 的倍数，DE 是f 的倍数，且倍数相同，那么AB 中有多少个c 的量，同样DE 中有多少个f 的量。
将AB 分为等量AG、GH 和HB ，使之等于c ，将DE 分为等量DK、KL 和LE ，使之等于f 。
那么系列量AG、GH 和HB 与系列量DK、KL 和LE 的个数相等。
又因为AG、GH 和HB 相互相等，DK、KL 和LE 也相互相等。
所以：AG 比DK 等于GH 比KL ，等于HB 比LE （命题V.7） 。
所以：前项与后项之比等于前项之和与后项之和的比。
所以：AG 比DK 等于AB 比DE （命题V.12） 。
又，AG 等于c ，DK 等于f 。
所以：c 比f 等于AB 比DE 。
所以：部分与一部分的比按相应的顺序与它同倍量的比相同。
证完
注解
这一命题用代数式陈述为，如果n 是任意数，c 和f 是同类的任意量，那么c ∶f ＝nc ∶（nf ）。
这一命题应用在下一个命题中，也应用在卷5、6、13中。
命题V.16
如果四个量成比例，那么它们的更比例也成立。
设：a、b、c、d 为四个成比例的量，即a 比b 等于c 比d 。
求证：它们也相互成更比例，即a 比c 等于b 比d （定义V.12） 。
令：作a 和b 的等倍量e 和f ，再作c 和d 的任意等倍量g 和h 。
那么因为：e 是a 的相等倍数，f 是b 的相等倍数，部分的比等于整体的等倍量。
所以：a 比b 等于e 比f （命题V.15） 。
而a 比b 等于c 比d ，所以：c 比d 也等于e 比f （命题V.11） 。
又因为：g 和h 是c 和d 的等倍量，所以：c 比d 等于g 比h （命题V.15） 。
而：c 比d 等于e 比f 。
所以：e 比f 也等于g 比h （命题V.11） 。
又，如果四个量成比例，而第一个大于第三个。
那么第二个也大于第四个；如果相等，那么后者也相等；如果小于，那么后者也小于（命题V.14） 。
所以：如果e 大于g ，那么f 也大于h ；如果等于，那么后者也等于；如果小于，那么后者也小于。
e 和f 是a 和b 的等倍量，g 和h 是c 和d 的等倍量。
所以：a 比c 等于b 比d （定义V.5） 。
所以：如果四个量成比例，那么它们的更比例也成立。
证完
注解
四个量a、b、c、d 必须是同一个类。如果a、b 与c、d 是不同的类，那么a ∶c 和b ∶d 就不是交替比，而是混合比。古希腊几何学家不接受混合比的概念，但现代物理及机械领域内，混合比却是通常使用的，最典型的例子是速度与时间和距离的公式。
这一命题要求应用定义V.4作为对照公理。
这一命题应用在命题V.19中，并频繁使用在卷6、10、11、12中。
命题V.17
如果几个量成合比例，那么它们也成分比例。
设：AB、BE、CD 和DF 成合比例，即AB 比BE 等于CD 比DF （定义V.14） 。
求证：它们分开也成比例，即AE 比EB 等于CF 比FD （定义V.15） 。
作：AE、EB、CF 和FD 的等倍量GH、HK、LM 和MN ，再作EB、FD 的任意等倍量KO、NP 。
那么因为：GH 是AE 的相等倍数，HK 是EB 的相等倍数。
所以：GH 是AE 的相等倍数，GK 是AB 的相等倍数（命题V.1） 。
而GH 是AE 的相等倍数，LM 是CF 的相等倍数。
于是：GK 是AB 的相等倍数，LM 是CF 的相等倍数。
又因为：LM 是CF 的相等倍数，MN 是FD 的相等倍数。
所以：LM 是CF 的相等倍数，LN 是CD 的相等倍数（命题V.1） 。
又，LM 是CF 的相等倍数，GK 是AB 的相等倍数。
所以：GK 是AB 的相等倍数，LN 是CD 的相等倍数。
所以：GK 和LN 是AB 和CD 的等倍量。
又因为：HK 是EB 的倍数，MN 是FD 的倍数，KO 也是EB 的倍数，NP 是FD 的倍数，且倍数相等。
所以：HO 之和也是EB 的倍数，MP 是FD 的倍数，且倍数相等（命题V.2） 。
又因为：AB 比BE 等于CD 比DF ，AB、CD 是GK、LN 的等倍量，EB 和FD 是HO 和MP 的等倍量。
所以：如果GK 大于HO ，那么LN 也大于MP ；如果等于，那么后者也等于；如果小于，那么后者也小于。
令：GK 大于HO ，从每个中减去HK ，于是：GH 也大于KO 。
但是，如果GK 大于HO ，那么LN 也大于MP 。
所以：LN 也大于MP 。
又，如果从每个中减去MN ，那么，LM 也大于NP 。
所以：如果GH 大于KO ，那么LM 也大于NP 。
同理，可以证明，如果GH 等于KO ，那么LM 也等于NP ；如果小于，那么后者也小于。
又，GH、LM 是AE、CF 的等倍量，同时KO、NP 是EB、FD 的另外的任意等倍量。
所以：AE 比EB 等于CF 比FD （定义V.5） 。
所以：如果几个量成合比例，那么它们也成分比例。
证完
注解
这一命题说，如果（w ＋x ）∶x ＝（y ＋z ）∶z ，那么w ∶x ＝y ∶z 。w 和x 两个量为同一类，y 和z 两个量为另一类。
逆命题在下一命题中给出。
这一命题应用在下两个命题中，作为一对命题。
命题V.18
如果分开的量成比例，那么它们也成合比例。
设：AE 和EB ，CF 和FD 是分别成比例的量。
所以：AE 比EB 等于CF 比FD （定义V.15） 。
求证：它们也成合比例，即AB 比BE 等于CD 比DF （定义V.14） 。
假如：CD 比DF 不等于AB 比BE ，那么AB 比BE 或者大于CD 比DF ，或者小于。
首先，令其比小于DG 。
那么因为AB 比BE 等于CD 比DG ，它们成合比例。
所以：它们分开也成比例。所以：AE 比EB 等于CG 比GD （命题V.17） 。
又，假设AE 比EB 等于CF 比FD ，于是：CG 比GD 等于CF 比FD （命题V.11） 。
但第一个量CG 大于第三个量CF ，所以：第二个量GD 也大于第四个量FD （命题V.14） 。
但它又小于，这是不可能的。
所以：AB 比BE 不小于CD 比DF 。
同样也可以证明，其比也不大于，所以是DF 自身。
所以：如果分开的量成比例，那么它们也成合比例。
证完
注解
这一命题是上一命题的逆命题。它说，如果w ∶x ＝y ∶z ，那么（w ＋x ）∶x ＝（y ＋z ）∶z 。如同在上一命题中一样，w 和x 两个量是一类，同时，y 和z 是另一类。
命题的开始，我们可以这样解释：
如果CD ∶DF 等于AB ∶BE ，那么AB ∶BE ＝CD ∶DG ，这里DG 是某个大于或者小于DF 的量。
已经给出另三个量，第四个量DG 被假定出来。这里第四个量能否作出还有待证明。这只是一种假设。这就是证明的结构。
这一假定的第四个比例的存在方法引起了矛盾。这一证明方法也用在卷12中，用来证明面和体积的不同比例。举例说，在命题XII.2中，圆与直径上的正方形之比，欧几里得在卷5和卷12中发展了这一方法。
问题是：第四个比例真的存在吗
这一命题应用在命题V.24中，也应用在卷6、10、12、13中。
命题V.19
如果总量比总量等于分量比分量，那么其余量之比也等于总量之比。
设：总量AB 比总量CD ，等于分量AE 比分量CF 。
求证：余量EB 比余量FD 等于总量AB 比总量CD 。
因为AB 比CD 等于AE 比CF ，所以：BA 比AE 等于DC 比CF （命题V.16） 。
又，因为连续成比例的量，分开也成比例，即BE 比EA 等于DF 比FC ，BE 比DF 等于EA 比FC （命题V.17、V.16） 。
假设：AE 比CF 等于总量AB 比CD 。
那么：余量EB 比余量FD 等于总量AB 比总量CD （命题V.11） 。
所以：如果总量比总量等于分量比分量，那么其余量之比也等于总量之比。
证完
推论
如果量成合比例，那么它们的转换也成比例（定义V.16）。
注解
这一命题说，如果（u ＋v ）∶（x ＋y ）等于v ∶y ，那么它也等于u ∶x 。
