十二
如果任意两角和一边已知，则三角形的各边和角都可知（见图1.25） 。
令：在△ABC 中，∠ACB 和∠BAC 和一条边AC 已知。
若已知角中有一角是直角，则直接根据上面定理四，求出三角形的各边和角。
若已知角中没有直角，那么，象限CAD 减去AC 即可得AD 的值，∠BAD ＝180°-∠BAC ，根据定理四，△AFD 的角与边均可知。
另一种情况是，已知角中的一个角与已知边相对。如：已知角不是∠ACB ，而是∠ABC ，其他条件不变。则△ADF 的各边和角可知。而对于△BEF ，∠F 是两个三角形的公共角，∠EBF 是已知角的对顶角，∠E ＝90°。
因此，正如前文所论证的，该三角形的各边和角都可知。
十三
如果三角形各边已知，则各角可知（见图1.26） 。
图1.26
令：△ABC 的各边已知。
三角形的边可以相等或不等。
令：AB ＝AC 。
与两倍AB 和AC 相对的半弦显然相等。设这两段半弦分别为BE 和CE ，且相交于E 点。
根据欧几里得《几何原本》，∠DEB 是平面ABD 上的一个直角，∠DEC 是平面ACD 上的一个直角。根据以下方法可求得∠BEC ：
∠BEC 与直线BC 相对，构成△BEC ，该三角形的边可由已知的弧求得。
然而，如图所示，三角形可能不是等边的。那么，与两倍边相对的半弦就不会相交。
令： ＞ ，且CF 是与二倍AC 相对的半弦。
如果AC ＜AB ，半弦会显得高一些（见图1.27） 。
图1.27
作FG ∥BE 。
令：FG 与圆的交线BD 相交于G 点。
连接CG ，∠EFC ＝∠AEB ＝90°。
∵CF 是两倍AC 所对的半弦。
∴∠EFC ＝90°。
∠CFG 是AB 与AC 两圆的交角，因此，∠CFG 可求出。
∵△DFG 与△DEB 为相似三角形，DF ∶FG ＝DE ∶EB 。
∴FG ＝FC 。
由于DG 与DB 也有同一比值。因此，取DC ＝100000 P ，DG 也可由相同的单位表示。
根据平面三角形的定理二，边GC 可用与平面三角形GFC 其余各边相同的单位表示。根据平面三角形最后一条定理，可得∠GFC 和∠BAC ，并求出其余各角。
十四
将一段弧任意分割成两条短于半圆的弧，若两段弧的两倍所对的半弦之比已知，则可求出每段弦的长（见图1.28） 。
图1.28
令： 为已知圆弧，D 为圆心。 被B 点任意分割成两段短于半圆的弧。
再令：两倍 与两倍 所对半弦之比可用某一长度单位表示。
那么， 和 的长度均可求出。
作直线AC 与直径相交于E 点，从端点A 和C 向直径作垂线，分别为AF 和CG ，它们是两倍AB 和BC 所对的半弦。
在△AEF 和△CEG 中，三角形的对顶角相等，因此，两个三角形对应的角相等。
作为相似三角形，它们的边和角都成比例，即AF ∶CG ＝AE ∶EC 。
因此，AE 和EC 可用与AF 或GC 相等的单位表示。
由AE 和EC ，可得用相同的单位表示的AEC ，而AEC 作为 的所对弦，可用半径DEB 的单位求出。
连接DA 和DK ，它们可用与DB 相同的单位表示。DK 是半圆减去ABC 后的余量弧所对弦长的一半。而这段弧包含在∠DAK 内。
在△EDK 中，由于两边已知，∠EKD ＝90°，因此，∠EDK 可求得。
背负天球的阿特拉斯
阿特拉斯是希腊神话中的擎天神，因反抗宙斯失败，被罚在世界最西边用双肩擎起天球。
十五
如果三角形所有的角都已知，则所有边可知（见图1.29） 。
图1.29
令：△ABC 的各角已知，但均不是直角。
设：∠A 为任意角，经过BC 的两端点画 ，与BC 相交。
除非∠B 和∠C 中，一角为钝角，另一角为锐角，否则，AD 将落入三角形内。
以B 和C 为端点作 和 。∠F ＝∠G ＝90°。
因此，在两个直角三角形中，两倍 和 所对半弦的比等于球的半径与两倍∠EAF 所对弦的比。
同理，在△AEG 中，∠G ＝90°，两倍 和 所对弦的比等于球的半径与两倍∠EAG 所对弦的比。由于这些比值相等，因此，两倍 和 所对弦的比等于两倍∠EAF 与∠EAG 所对半弦的比。 和 作为从直角中减去B 和C 的余量，为已知弧，因此，根据 和 ，可得∠EAF 与∠EAG 的比，即它们的对顶角∠BAD 与∠CAD 的比。
由于∠BAC 已知，∠BAD 和∠CAD 即可求得。
根据定理五，边AB 、BD 、AC 、CD 及BC 均可求得。
通过以上的结论，足以满足我们探索目标的需要。这些偏离主题的论证到此为止，如果要更为详尽，就需要再作一部专著了。
[1] 托勒密用拱点距离来表示天体的厚度。
[2] 公元2世纪著名的古希腊天文学家。哥白尼在文中大量引用托勒密的论述及其著作作为证明依据。
[3] 宇宙为球形这一观点，在希腊天文史的早期最先被提出来，并成为古代和中世纪的主导思想。
[4] “水滴呈球形”，是古代和中世纪科学的一种常识。
[5] 即船底座α星，在第二章第十四节之后的哥白尼星表中，老人星靠近南天星座船底座的第一星，哥白尼还补充说老人星“在埃及却能看见”。
[6] 波江座第一星是位于另一个南天星座中的一颗一等星。
[7] 曼费列多尼亚的卡普安纳斯在《对萨克罗波斯科球体的评论》修订版中提出：“地球的重量并不都是均衡的，而是一部分重于另一部分。因为没有洼地和洞穴的这一部分比较稠密和紧凑，遍布洞穴的那一部分则多孔。因此地球的形体中心不是它的重力中心。”
[8] 长度单位，相当于 英里或201.167米。
[9] 原书叙述为：“我们所居住的这一部分地球在东面的界限为一块未知的土地，它与大亚细亚的东部、中国和西伯利亚接壤。”
[10] 哥白尼用的是“Cathagia ”，可以只代表中国北部地区，也可以表示整个中国。
[11] 希腊人称之为νυχθημερον，根据希腊人的设想，除地球外，整个宇宙都在自东向西旋转。
[12] 哥白尼因为极度害怕被指控为异端，因此一直迫切寻找地动学说的古代支持者。他把在普鲁塔尔赫书中找到的一段话放在了自序的显著位置，借此表明赫拉克利特和埃克番达斯都承认地球在绕轴自转。
[13] “地球是一个天体，它绕中心作圆周运转，并由此产生昼夜。”亚里士多德认为这些都是毕达哥拉斯信徒们的信念。哥白尼却认为这种信念来自于费罗劳斯个人。
[14] 哥白尼引用的是西奥多西阿斯《球形》中的表述：“在一个圆球的各圆周中，通过球心的圆周为大圆。”这本书的希腊文本在哥白尼逝世之后才付印。
[15] 亚里士多德认为，一个旋转的刚体球的性质为：“在一个物体做圆周运动时，它的中心部分应该是静止的……但各圆上的速度和圆周大小成正比的说法，并非是无稽之谈，而是必然的……在大圆上的物体显然运动会快一些。”
[16] 哥白尼认为小熊座为北天第一星座，北天区的天鹰座与南天区的小犬座都是较为靠近黄道的星座。
[17] 欧几里得在他的《现象篇》的序言中指出：“若球体绕其轴线均匀自转，则球面各点在相等时间内在运载它们的平行圆周上扫出相似弧段。”
[18] 托勒密的主要著作，在古代是天文学的百科全书，直到开普勒时代仍是天文学家的必读书籍。
[19] 亚里士多德表示：“任一运动物体都可以自然地运动，也可以是非自然地受迫地运动……非自然运动很容易遭到破坏，只有自然运动才能够永远持续下去。”
[20] 哥白尼取消了曾被认为组成宇宙的四个传统元素中的一个。他看见并感觉到了充斥周围的土、水与空气，却无法对第四种元素作出实在的论证。此元素是环绕大气且位于天穹区域下面的一个设想的、看不见的火球。
[21] 水星和金星是内行星，它们在轨道上每运转一周都有一次大距。原文的意思为冲（从地球上看一颗行星或彗星在与太阳相对的位置上时，称为“在冲”。冲只发生在外侧行星上），即行星与太阳的经度差为180°。
[22] 指两个大视面的天体互相遮挡，从而发生亏蚀现象。
[23] 托勒密用拱点距离来计算各天体的厚度。
[24] 这里的情况和第一卷第八章的情况相同，哥白尼对“火元素”球的存在深感怀疑。
[25] 包括维楚维阿斯等。维楚维阿斯在他的《建筑学》中表示：“水星与金星以太阳光线为中心绕圈子运行，由此产生了逆行和留。”
[26] 索福克勒斯并非在《厄勒克特拉》中称太阳为洞察万物者，而是在他的《科罗努斯的俄狄浦斯》（Oedipus at Colonus ）一书的第869行，把太阳称为洞察万物者。
[27] BA 与BC 的比值已知，BC 即可用与BD 相同的单位表示。
[28] 彼此平分，并都通过对方的两个端点。
