CHAPTER 2
本章主要论述由地球的“三重运动”所引起的如昼夜交替、四季循环、太阳和黄道十二宫的出没等一系列现象。哥白尼首先对赤道、黄道、地平、回归线下定义，指出它们各自的位置，同时对黄道倾角的含义和测量方法进行介绍。接着依次阐述了在赤道、黄道和地平三套坐标系中天体位置的转换方法，给出了黄道度数的《赤纬表》《赤经表》和《子午圈角度表》，对天体中天时的黄道度数、正午日影长度差异、昼夜长度变化等数量的测定方法都有所叙述。最后讲解如何对恒星进行方位测定、星表怎样编制的问题，并特别介绍了方位天文学的观测仪器——星盘。章末附上哥白尼本人经过多年实测并总结前人经验而得出的《星座与恒星描述表》。
引言
我想用前面概括的地球的三种运动来解释天体的所有现象，因此下面我将对这些现象逐一进行分析。首先，我将从人类最熟悉的昼夜交替谈起。我已经讲过，昼夜交替在希腊文中被称作νυχθημερον。我认为这一现象直接且特别地与地球的球形相关，而且所有的时间称谓，比如月、年，都起源于这种运转，就好比所有的数字都起源于“一”。时间是运动的量度。对于这种运转产生的结果，如昼夜的不等长及太阳和黄道十二宫的出没，我就不再发表太多看法，因为有关这个课题的论述已经够多了，而且与我的观点基本一致。虽然他们是以地球不动论和宇宙旋转论作为论述基础，与我所持的论点刚好相反，但二者都能说明这些现象，所以实际上并无差异可言。情况就是如此，相互有关联的现象显现出正反两方面都成立的一致性。可我不会漏掉一切重要的事情。如果我仍单纯地谈太阳和恒星的出没这类现象，希望大家不要觉得惊诧。相反，应当认同我用的是大众化的常用词汇。然而，这是我时刻牢记的：
大地载人类/日月经天回/星辰易消逝/终会再复归。
2.1 圆周
在地球绕地心周日自转所产生的轨迹中，赤道是最大的纬度圈。黄道是通过黄道十二宫中心的圆，而地球的中心在黄道下面作周年运转。另外，地轴对黄道倾斜，这与黄道和赤道斜交相一致。于是地球周日自转的结果就成了两个与黄道相切的圆，这是由倾角的最外极限在赤道的每一边扫描而来的。这两个圆就是所谓的“回归线”。因为太阳在这两条线上 [1] 发生了方向逆转，所以通常把北面的线称为“夏至线”，把南面的线称为“冬至线”。这已经在我对地球运转的一般描述中解释过了。
下面我来谈谈“水平圈”。由于它把宇宙划分为我们看得见和看不见的两部分，所以罗马人称之为“分界线”。一切上升的天体似乎都是从地平圈升起，一切下落的天体似乎都是从地平圈沉没。它的中心在地面上，极点却在天顶。但是和浩瀚无垠的天穹比起来，地球是微不足道的。在我看来，就算是日月之间的空间，也只不过是苍茫天穹的沧海一粟。地平圈就像一个圆面，它穿过宇宙的中心，把天穹等分成两部分。但是地平圈与赤道斜交，所以它又与一对纬圈相切于赤道两边。在北面，是常年都可以看见星星的边界圆圈，在南面，是永远藏而不露的星星的边界圆圈。包括普罗克拉斯在内的许多希腊人把前者称为“北极圈”，把后者称为“南极圈”，二者的大小随地平圈的倾角或北极星的高度而变化。
最后是穿过地平圈两极和赤道两极的子午圈。因此，子午圈同时垂直于这两个圆圈。当太阳到达子午圈时，它指示出正午或午夜。地平圈和子午圈的中心都在地面上，二者都是由地球的运动和我们的视线而定。无论身处何地，眼睛都位于各方向可见天体的中心。埃拉托西尼 [2] 、蒲西多尼奥斯及其他同类研究者已证明：地球中的所有圆圈都是它们在天空中的对应物及其类似物的基础。这些圆圈有专门的名称，而其他的圆圈则可以随意命名。
2.2 黄道倾角与回归线间的距离
黄道倾斜穿过回归线与赤道。所以我认为有必要研究一下回归线之间的距离及与其相关的赤道和黄道交角的大小。虽然这凭感觉可以察觉到，但是借助设备我们可以获得这个非常珍贵的结果。为此，先用木材制作一把曲尺，当然，用石头或金属等更加坚硬的材料来做就更好了 [3] ；其次，曲尺表面要非常平滑，长度为五六尺，可以在上面刻上分度；然后同曲尺的大小成正比，以一个角落为中心画出一个圆周象限；再将曲尺分成90个相等的度，把1度分为60分（或者一度范围内能接受的任何分度）；最后在中心位置安装一个精密的圆柱形栓子，使其与曲尺表面垂直，并稍加突出，其宽度约为一个手指头。
黄赤交角
黄赤交角是地球公转轨道面（黄道面）与赤道面（天赤道面）的交角，又称为太阳赤纬角或黄赤大距。黄赤交角并非永远不变的，但是由于它的变化太小，因此人们通常将它取值为23°26′。
大功告成后，我们把它安装在地板上测量子午线。这里对于地板是有要求的，它需要位于水平面上，不能有任何倾斜，我们可以用水准器进行最大限度的校准。然后在地板上画一个圆，并在圆心处插一根指针。在上午任一时刻，观察指针的倒影落在了圆周的什么位置，然后我们在这个位置上做一个标记。下午继续同样的观测，并将标记的两点间的圆弧进行平分。这种由圆心通过平分点所作的直线，能精确地指示出南北方向。
以该直线为基线，把设备的平面垂直竖立起来，使它的中心指向南方。而中心吊挂的铅垂线与子午线正交。最后自然得到设备表面包含子午线的结果。
因此在夏至和冬至这两天，应该于正午用圆柱体或上述的圆柱形栓子来观测投射在中心的日影。要设法用上述的象限弧来确定影子的方位。我们要尽最大可能准确地记下影子中包含的度数和分数。采用如上方法，我们就能够从记录中求出弧长，从而算出回归线之间的距离以及黄道的整个倾角。该倾角的一半，就是回归线与赤道的距离，于是黄赤交角的大小也显而易见了。
托勒密测量出前面所说的南北极限之间的间距。以圆周为360°来表示，为47°42′40″。而在他之前，喜帕恰斯和埃拉托西尼的观测结果也与此相符。假设取整个圆周为83 P ，那么上述测定值就是11 P 。用该间距的二分之一（即23°51′20″）可得回归线与赤道的距离以及与黄道的交角。在托勒密看来，这是常数，是永恒不变的。然而从那时到现在，人们却发现这些数值在不断减少。和我同时代的人 [4] 也都发现，回归线之间的距离现在应该不超过46°58′，黄赤交角也不超过23°29′。这就足以说明，黄道的倾角也是在变化的。我在后面会详细分析该课题，我要用十分可信的推断来证明，这个倾角在以前从未小于23°52′，以后也决计不会小于23°28′。
2.3 赤道、黄道与子午圈相交的弧和角，以及它们的偏离和计算
接下来，我要说天穹被子午圈等分为两部分的情况。在24小时周期内，子午圈在黄道和赤道上各经过了一次。子午圈将黄道和赤道分割开，截出由春分点和秋分点（黄、赤道的交点）算起的圆弧。我们也可以说，由于与一个圆弧相截，子午圈被分割开了。因为都是大圆的缘故，它们构成了一个球面三角形。由于子午圈与赤道垂直，因此这个三角形为直角三角形。在该三角形内，子午圈的圆弧被称为黄道弧段的“赤纬”，而相应的赤道圆弧被称为“赤经”。
画一个凸三角形，一切就简单明了了（见图2.1） 。
图2.1
令：ABCD 为同时通过赤道两极和黄道两极的圆（一般称它为“分至圈”），黄道的一半为AEC ，赤道的一半为BED ，E 为春分点，A 为夏至点，C 为冬至点。
设：周日旋转的极点为F ，并取黄道上的段长 为30°，通过G 点画出象限FGH 。
在△EGH 中，已知边 ＝30°，而∠GEH 也已知。
当它为最小时，取360°＝4直角的分度法，它等于23°28′。这正好与赤纬AB 的极小值相符。
因此，∠GHE =90°。
根据球面三角形定理四，△EGH 的各角和边都可知。
由此证得，两倍 所对弦（即球的直径）与两倍 所对弦之比，等于两倍 和 所对弦之比。
在它们的半弦之间也存在相似的关系。
设：两倍 的半弦为100000 P 。
那么，两倍 和 的半弦各为39822 P 和50000 P 。
假设：四个数成比例。
那么：首尾两数之积就等于中间两数之积。
因此，19911 P （此处实际约为19909 P ）就是两倍 的半弦。
∵在表里 的值为11°29′，即与 段相应的赤纬。
∴在△AFG 中，∠FAG 为直角，而 和 两边作为两条象限的剩余部分，求得为78°31′和60°。
那么：两倍 、 、 和 的半弦（或它们所对的弦）成比例。
已知：两倍FG 、AG 、FGH 的量，便可知BH 为62°6′。这是从夏至点算起的赤经，或者从春分点算起为 ，等于27°54′。
同理，已知： 为78°31′， 为66°32′及一个象限。
那么：∠AGF ≈69°23 。它的对顶角与此相等。另外，在其他情况下我们也将采用这一范例。
我们不容忽视的事实是，子午圈与黄道正交于黄道和回归线相切的点。因为那时的子午圈通过黄道的两极。然而在两分点，子午圈与黄道的交角不会大于直角，而且随着黄赤交角偏离直角越多，这些交角就比直角越小，所以现在子午圈与黄道的交角为66°32′。另外，在黄道上量得的两段从两分点或两至点开始的相等弧长，与两个三角形的相等角或相等边同时出现（见图2.2） 。
图2.2
设：画赤道弧 及黄道弧 ，使两弧相交于B 点，令其为一个分点。
取 和 为相等弧，通过周日旋转极点K 和H ，画两条象限KFL 和HGM ，得到△FLB 和△BMG 。
令：边 和 相等，其对顶角在B 点，且∠FLB 和∠GMB 都是直角。
∴根据球面三角形定理六，两个三角形的对应边与角皆相等，而且赤纬 和 相等，赤经 和 相等，∠F 等于∠G 。
如果相等弧是从一个至点量起的，可用相同方法进行阐述（见图2.3） 。
图2.3
设： 和 为B 点两侧的相等弧，回归线与黄道相切于B 点。
从赤道的极点D 画象限DA 和DC ，连接DB ，得到两个相同的三角形△ABD 和△DBC 。
AB 和BC 相等，BD 是共有边，而两个直角都经过B 点。
根据球面三角形定理八，可证明△ABD 和△DBC 的相应边与角都相等。
显然，假定对黄道上一条象限作出这些角和弧的表，那么这个表将适用于整个圆周的其他象限。对此，我可以举例说明：第一栏为黄道度数，第二栏为与黄道度数相应的赤纬，第三栏为赤纬超过这些局部的赤纬的分数（在黄道倾角极大时出现），最大差值为24′。我对赤经与子午圈角度也按同样的方法编制（如下表） 。
如果黄道倾角变化，那么与它相关的一切也应随之变化。赤经的变化很小，因为它小于一个单位时间的 ，甚至在一小时内只有它的 。关于与黄道分度一道升起的赤道分度如何表示，古代就出现了用以表述赤道分度的“时间”一词。这两个圆都有360个单位，但是为了加以区分，许多人习惯把黄道的单位称为“度”，把赤道的单位称为“时间”。我在后面也将采用这些名称。尽管这种变化小到可以忽略不计，但我仍会把它加进去。根据这些变化，便能对黄道的其他所有倾角得到相同的结果，但这需要假设对每一栏都能用相应的分数，且这个分数与黄道最大倾角和最小倾角之差成正比。例如，设倾角为23°34′，假定我想知道黄道上从一个分点量起的30°的赤纬的大小，那么可以在表一中找到11°29′，其差值为11′。当黄道倾角为极大时，就要加上这个差值。我在前面讲过，黄道倾角极大值可达23°52′。不过在当前的范例中可取值为23°34′，这比极小值大6′。而最大倾角超过最小倾角的24′的四分之一就正好是6′。按相同比值可得11′的部分约为3′。对11°29′加上3′，便得从至点量起黄道为30°时的赤纬为11°32′。子午圈角和赤经也可采用这种方法，但是后者应随时加上差值，而前者应减去差值，如此才能对任何与时间相关的数量得出更精准的结论。
2.4 黄道外天体的赤经、赤纬和过中天时黄道数值的测定
以上我阐述了黄道、赤道、子午圈及其交点。不过说到与周日旋转的关系，除知晓仅出现于黄道上的太阳现象外，还有很重要的事亟待解决：对位于黄道之外的恒星和行星，在假定已知其经纬度的条件下，需采取相似方法求出由赤道算起的赤经和赤纬（见图2.4） 。
图2.4
通过赤道和黄道的极点画圆周ABCD 。
令：以F 为顶点，取AEC 为赤道半圆，以G 为顶点，取BED 为黄道半圆，后者与赤道相交于E 点。
从顶点G 画通过一颗恒星的圆弧 。
设：已知恒星在H 点，通过该点从周日旋转的顶点画象限FHMN 。
可知在H 点的恒星与M 和N 两点同时通过子午圈。
即：EN 为恒星在球面的赤经，HMN 为恒星从赤道算起的赤纬。
上述即为我们所求的坐标。
已知：△KEL 的边KE 和∠KEL ；∠EKL 为直角。
那么：根据球面三角形定理四，可知KL 和EL 及∠KLE 。
由此可知 。
另已知：△HLN 的边HL 和∠HLN ；∠LNH 为直角。
那么：同样根据球面三角形定理四，可得边HN （即恒星的赤纬）和LN 。
在EL 中减去LN ，余量为NE ，即赤经（天球从分点向恒星所转过的弧长）。
这里还有另外一个方法：
令：从上述关系中取黄道的 作为 （从赤经表可查出LE ）的赤经，LK 是与LE 相应的赤纬。
那么：从子午圈角度表可得∠KLE 。
从这些量可以得出其余的量已被证明。
从赤经EN 可知EM ，此为恒星与M 点一同过中天时的黄道度数。
2.5 地平圈的交点
正球中的地平圈与斜球的地平圈并非同一个圆圈。正球的地平圈与赤道垂直，而斜球的地平圈与赤道斜交，所以一切天体都在正球的地平圈上垂直出没，白昼和黑夜总是等长。一切由周日旋转而形成的纬圈被子午圈等分，因此它通过纬圈的顶点。我在讨论子午圈时所阐释的现象，此时便出现了。而我们所说的白昼不是一般人所理解的从黎明到夜幕降临，而是从日出到日落。后面我还会联系这一问题来谈黄道十二宫的出没。
另外，在地轴垂直于地平圈的地方，没有天体出没。此刻所有天体的轨迹都是一个永恒可见或永久隐形的圆圈。但是类似于绕太阳周年运转的运动，却会产生例外的情形。这种运动将导致白昼持续六个月，其余时间则是黑夜。在此情况下，赤道与地平圈重合，除冬夏有别外再无任何差别。
不过对于斜球而言，一些天体时显时隐，而另一些却永久可见或永久隐藏。与此同时，昼夜是不等长的。在此情况下，倾斜的地平圈与两条纬圈相切，地平圈的倾角决定纬圈的角度。这两条纬圈，接近可见天极的是一条永久可见天体的界限；而另外那条接近不可见天极的纬圈，则是永久隐藏的天体的界限。如果延长这两个极限之间的所有纬圈，将会发现它们被地平圈分成若干不等长弧段。赤道是一个例外，因为它是最大的纬圈，而大圆相互等分。在北半球，偏斜的地平圈把纬圈切分为两段圆弧，靠近可见天极的一段比靠近隐藏天极的那段要长。南半球的情况则刚好相反。太阳在这些弧段上的周日视运动，产生了昼夜不等长的现象。
2.6 正午日影的差异
各种正午日影也有很大的差别，据此，人可被分为环影人、双影人和异影人。环影人能够接受四面八方的日影。这些人的天顶（即地平圈的极点）离地球的极点有一段小于回归线与赤道间距的距离。在这些区域，相切于地平圈的纬圈是永恒可见或永久隐藏的恒星的界限，其大于或等于回归线之间的范围。因此夏季里太阳高居于恒久可见的恒星区域内，并把日晷的影子投向各个地方。然而在地平圈与回归线相切的位置，这两条线本身成为永恒可见和永久隐藏恒星的界限，所以在至日，太阳看上去是在午夜扫过地球。此时，整个黄道与地平圈重合，黄道的六个宫同时快速地上升，同样数量的相对各宫也同时沉没，而黄道的极与地平圈的极重合。
正午日影落在两侧的是双影人。这类人生活在两条回归线之间，前人将这一地区称为中间区。在此区域，每天黄道从头顶上经过两次。欧几里得的《现象篇》的定理二就能证明这一点。故在同一地区，日晷的影子会消失两次，而当太阳移动到这一边或那一边时，日晷的影子时而投射向南边，时而投射向北边。
居住在双影人和环影人之间的是异影人。在中午，他们的影子只会投向北方。古代数学家习惯通过不同地方的纬圈把地球分成七个区域。这些地方有梅罗、赛恩、亚历山大、罗得斯岛、赫列斯彭特海峡、黑海中央、第聂伯河和君士坦丁堡等。他们用以下三点作为选择纬圈的依据：一年里，在某些特定的地点，最长白昼的长度之差与其增加量；用日晷观测到的两分日和两至日的正午日影长度；天极的高度或每个地区的宽度。
随着时间的改变，这些数量中的一部分与过去已不再完全相同了，正如我之前说过，原因就是黄道倾角可变，而以前的天文学家疏忽了这一点。或者，更确切地说，原因在于赤道相对于黄道面的倾角可以改变。以上所述的数量和这个倾角相关。古代观测记录与现在所测的天极的高度或所在地的纬度，以及在二分日日影的长度都十分吻合。情况应该如此，因为赤道由地球的两极而定。因此，日影和白昼的所有非永恒性性质都不会以足够的精度使那些区域相结合。
从另一角度来看，用各地区与赤道的距离可以更精准地明确它们的界限，而这一距离是永恒不变的。但是尽管回归线的变化极小，却能使南方各地的白昼和日影发生细微的差异，相对于朝北走的人来说，这种差别就更容易觉察了（见图2.5） 。
图2.5
说到日晷的影子，太阳在任何高度时的影子的长度都可以得出，反之亦然。
令：日晷AB 的投影为BC 。
因为竿子与地平面垂直。
根据与平面垂直的直线的定义，则∠ABC 总为直角。
连接AC ，可得直角△ABC 。
又：太阳高度已知。
由此可求得∠ACB 。
根据平面三角形定理一，竿子AB 与它的影子BC 之比可知，BC 的长度也可知。
反过来说，当AB 和BC 已知，根据平面三角形定理三，∠ACB （即测投影时太阳的高度）也可求得。
早期天文学家在描述地球上那七个地区时，正是用此方法分别在二分日和二至日确定了每个地区的日影长度。
2.7 如何推算最大昼长、日出间距和白昼之间的余差
下面我将推算天球或地平圈的所有倾角，同时阐明最长和最短的白昼及各次日出的间距，以及白昼之间的余差。冬、夏二至点的日出在地平圈上所截出的弧长，或这两次日出与分点日出之间的距离，即为日出之间的间距（见图2.6） 。
图2.6
设：子午圈为ABCD 。
在东半球，令：AEC 为赤道的半圆，BED 为地平圈的半圆。
令F 为赤道的北极。
假设：夏至日的日出是在G 点，画大圆弧 。地球绕F 旋转。
那么，G 和H 理应一起抵达ABCD 。
G 和H 的纬圈是绕相同的两极画出的。
则，通过这些极点的所有大圆都在纬圈上截出类似的圆弧。
的长度等于从点G 升起到正午的时间，而从午夜到日出的时间，则等于地平圈下边半圆的余下部分，即CH 的长度。
又：AEC 是一个半圆，且AE 和EC 都是从ABCD 的极点画出的象限。
所以EH 是最长白昼与分日白昼之差的二分之一。
而EG 为分日与至日日出之间的距离。
在△EGH 中，由 可得球的倾角∠GEH ，∠GHE 为直角。
那么，边GH 即为夏至点到赤道的距离。
据球面三角形定理四，可得其余边 [5] 。
说得更具体一点，如果已知边EH 或EG ，那么可知球的倾角E ，于是极点在地平圈上的高度FD 也可知。
如果黄道上的G 点并不是一个至点，而是任一其他点，并已知EG 和EH ，根据前面所列的赤纬表，可知与该黄道度数相对应的赤纬弧 ，而其他一切未知量也可用该证明方法得出。此外，还可得出在黄道上与至点等距的两个分度点，于地平圈上截出与分点日出等距且在一个方向上的圆弧。它们同样使昼夜等长。出现这一情况的原因在于，黄道上的这两个刻度点在一个纬圈上，而且它们的赤纬在一个方向上相等。然而，如果从与赤道的交点向两个方向截出等长的圆弧，日出处的间距仍是相等的，但方向相反，而按相反次序，昼夜是等长的。这是由于它们在两边扫出的纬圈上的弧长是相等的，正如黄道上与一个分点等距的两点从赤道算起的赤纬相等一样（见图2.7） 。
图2.7
在同一图形中画两条纬圈弧。
设：两条纬圈弧为 和 。且 、 与地平圈BED 相交于G 、K 。
另从南极点L 画LKO ，且赤纬HG 和KO 相等。
在△DFG 和△BLK 中有两边分别与两对应边相等：FG 和LK 相等，FD 和LB 相等，B 和D 都是直角。
第三边DG 和第三边BK 相等；余值GE 和EK 相等；EG 、GH 和EK 、KO 也相等。
∵E 点的对顶角相等。
∴EH 和EO 也相等。
用EH 加上EO 再加上二者之和的相等量，得到的和为整段圆弧 ，它与整段圆弧 相等。
通过极点的大圆在平行圆周上截出类似的圆弧。 和 相等。
我们可以用另一种方法来说明（见图2.8） 。
图2.8
同上画子午圈ABCD 。
设：子午圈的中心为E ，AEC 为赤道与子午圈截面的直径，BED 为地平圈的直径，LEM 为球的轴线，L 为可见天极，M 为隐藏的天极。
假定：AF 为夏至点的距离或任一其他赤纬，在这一位置上画纬圈，其直径为FG ，它同时也是纬圈与子午面的交线。
令：K 为FG 与轴线的交点，N 为FG 与子午线的交点。
根据蒲西多尼奥斯定义 [6] ，直线KE 与两倍AF 弧相对的半弦相等。
同理，如果纬圈的半径为FK 。
那么：KN 就为分点日与昼夜不等长日之差的圆弧相对的半弦。前提是以这些线为交线，也就是以这些线为直径的任何半圆 [7] 都与圆周ABCD 的平面相垂直。
根据欧几里得《几何原本》，这些半圆的彼此交线在E 、K 、N 各点垂直于同一平面。
根据《几何原本》定理六，这些垂线又互为平行线。K 是纬圈的中心，E 为球心。
EN 表示纬圈上日出点与分日日出点之差的两倍地平圈弧相对的半弦。
已知：赤纬AF 和象限的余下部分FL ，令AE ＝100000 P ，可得两倍AF 和FL 相对的半弦KE 和FK 。此外，在直角三角形EKN 中，∠KEN 可由DL 得出，余角∠KNE 和∠AEB 相等。
斜球上的纬圈与地平圈的倾角相等。
各边皆能以球半径为100000 P 求得。以纬圈半径FK 为100000 P 也可求出KN ，另外，KN 还能以纬圈圆周为360°得出。
显然，FK 与KN 之比包含两个比值，这就是两倍FL 和两倍AF 所对弦之比及两倍AB 和两倍DL 所对弦之比 [8] 。后一比值中，EK 是FK 与KN 的比例中项。同样，从BE 与EK 的比值及KE 与EN 的比值可知BE 和EN 的比值。托勒密在《天文学大成》里，用球面弧段对此作了深入研究。对于昼夜之差，我认为用这一方法也可求得。不过对月球或其他恒星来说，假定纬度已知，那么它们在地平圈上面由周日旋转所扫出的弧段是能够与地平圈下面的弧段相区分的。从这些弧段即可得知它们的出没（见《斜球经度差值表》） 。
2.8 昼夜的时辰与划分
综上，如已知一个天极高度，对太阳的一个赤纬，可从表中查出白昼的差值。不过北半球的赤纬还需在这个差值上加一个象限；相反，南半球的赤纬则应从一个象限减去这一差值。把所得结果加一倍就是白昼的长度，而一个圆周的余量就是黑夜的长度。
选取两个量中的任意一个，除以赤道的15°，得到的值表示它含有几个相等的时辰。差值若取 ，得到的就是一个季节的时辰长度。这些时辰都是用其所在的日期来命名的，它们总是一天的 。我们由此发现，古代的人们用过“夏至时辰”“分日时辰”和“冬至时辰”等名称。对于按日时辰，以前使用的只有由晨至昏的12个时辰。但是古人习惯了把夜晚分为四更，对此各国间也都约定俗成，所以这一时辰规则一直沿用了很长一段时间。为此还发明了水钟。这一发明借助增添或减少从时钟滴出的水，来对白昼的差值调节时辰，因此不受天气变化的影响。再到后来，又普遍采用了适用于昼夜的等分时辰。由于这种时辰更易被监测，因此就弃用了季节时辰。这就导致，你问一个普通人，什么是一天的第一、第三、第六、第九或第十一小时，他往往答不上来或答非所问。此外，等长时辰的编号是不固定的，可从正午算起，也可从日没、午夜或日出算起，这由各个社会自行决定。
2.9 黄道弧段的斜球经度和中天的度数
在解释了昼夜长度及其长度差值之后，按照顺序，接下来该讨论斜球经度的问题了。我要谈的是黄道十二宫或黄道的任一弧段升起的时刻。我对分日和昼夜不等长日所说明的那些区别，仅是赤经和斜球经度之间的区别。现在人们习惯于用生物的名称来表示由不动恒星构成的黄道各宫。比如，从春分点开始，各宫依次被称为白羊、金牛、双子、巨蟹等（见图2.9） 。
图2.9
为了更清楚地说明问题，需再次画出子午圈ABCD 。
设：E 点为赤道半圆AEC 和地平圈BED 的相交点，H 点为分点。
令：通过H 点的黄道FHI 与地平圈相交于L 点。从赤道极点K 通过L 画大圆象限KLM 。
可知，黄道弧段 与赤道的 一道升起。不过在正球中， 随 升起，它们的差值为 。
需要说明一点，此处应减去在北半球所加的量。另外，对于南半球赤纬，把它与赤经相加可得斜球经度。故而从整个宫或弧的起点到终点的赤经，可算出该宫或黄道上其他一段弧升起所需要的时间。
因此，我们可在黄道上从分点量起的任一已知经度的点正在升起时，求出位于中天的度数。
从HL 可得黄道上正在升起的L 点的赤纬，而且它与分点的距离、它的赤经HEM 以及半个白昼的 也已知。
那么：可知余量AH ，赤经FH 可由表查出 [9] 。
反之，假如已知在中天的分度，比如 。
那么：正在升起的分度可求得，另外赤纬AF 也可求得。
通过球的倾角可知∠AFB 。
FB 也可得出。
在△BFL 中，已知∠BFL 和边FB ，∠FBL 为直角。
那么：可得出所求边FHL 。
后面我还会另外介绍一种求这个量的方法。
2.10 黄道与地平圈的交角
进而言之，因为黄道是偏斜于天球轴线的一个圆，因此它与地平圈有多个不同的交角。前面我提到过，对于生活于两条回归线间的人们来说，黄道有两次与地平圈垂直。不过对我们来说，只要明白与居住在异影区的人有关的角度就够了，通过这些角度来理解关于角度的整个理论也就较为简单。当白羊宫第一点（或春分点）正在升起时，处于斜球上的黄道偏低，并转到离地平圈为最大南半球赤纬的位置，该情况会出现在摩羯座第一点位于中天时。相反，当黄道偏高时，它的升起角偏大，此种情况出现在天秤座第一点升起而巨蟹座第一点位于中天时。赤道、黄道和地平圈都通过同一个交点，即交会于子午圈的极点。升起角到底有多大？看看这些圆在子午圈上截出的弧段就能知晓（见图2.10） 。
图2.10
还有一个测量升起角的方法，现解释如下：
设：子午圈为ABCD ，半个地平圈为BED ，半个黄道为ABC ，以及黄道的一个分度在E 点升起。
我们需要得出，在360＝4直角的单位中∠AEB 的度数。
E 为已知升起分度，由上述可得位于中天的分度、 及子午圈高度AB 。
又：∠ABE 为直角。
可得球直径与两倍代表角∠AEB 的弧所对弦之比，和两倍AE 与两倍AB 所对弦之比相等，∠AEB 的度数也可知。
然而，已知分度可以是在中天，而不是在升起。
令：分度为A 。（虽然如此，升起角还是可测定的。）
设：E 为极点，画大圆的象限FGH 。完成象限EAG 和EBH 。
已知：子午圈高度AB 。
那么：象限的余下部分AF 可求得。
又：∠FAG 已知，而∠FGA 为直角。
那么， 可知。
也可知，且正是所求的升起角。
所以当已知在中天的分度时，怎样求出正在升起的分度就比较明朗了。我在研究球面三角形时已阐明，两倍 与两倍 所对弦之比等于直径与两倍 所对弦之比。为了说明这类关系，我增补了三类表格：第一类给定正球中的赤经，从白羊座开始，对黄道每6°给出一个数值；第二类给定斜球的赤经，同样是每隔6°有一个数值，从极点高度为39°的纬圈开始到极点在57°的纬圈，每3°为一列；剩下的一类表给定与地平圈的交角，同样6°为一行，也有七栏。这里作出的所有运算都是针对23°28′（即最小的黄赤交角），而这个数值对我们的时代来说是近似准确的。（见下方《黄道十二宫赤经表》《斜球赤经表》《黄道与地平圈交角表》 ）
2.11 表的使用
通过上述的讲解，这些表的用法就很清楚了。如果已知太阳的度数，可以得出赤经。对每一等长小时，加上赤道的15°，假如其和超过了360°，就要去掉这一数目。赤经的余量表示在所研究的时辰（从正午算起）黄道在中天的相关度数。如若对相同地区的斜球经度作同种计算，就能以日出算起的时辰得出黄道的升起分度。另外，就像我说过的，对于已知赤经而位于黄道外面的所有恒星来讲，这些表通过从春分点算起的同一赤经，给定与这些恒星一道上中天的黄道分度。
由于在表中能查出黄道的斜球经度和分度，因此这些恒星的斜球经度给出了与其一起升起的黄道度数。而这种方法也适用于沉没的运算，不过位置相反。若要在中天的赤经加上一个象限，那么所求的和就是升起分度的斜球经度。所以，用在中天的分度就能推算出升起的分度，反之亦然。在升起时，黄道的分度决定了这些角的大小。另外，由这些角还能知道黄道的90°离地平圈的高度，这个高度在计算日食时必须要了解。
2.12 地平圈两极与黄道形成的角与弧
在这一章节中，我将阐述通过地平圈的两极向黄道所画圆的角与弧的理论。这些圆通过地平圈的天顶，而地平圈上面的高度就取自这些圆。但是我已在前文里讨论过了太阳在正午的高度或黄道在中天的任何分度的高度，以及黄道与子午圈的交角。子午圈也属于通过地平圈天顶的圆之一。上升时的角度也已作过说明。从直角减去该角的余量，就是升起的黄道与通过地平圈天顶的象限所夹的角（见图2.11） 。
图2.11
再次画2.10所作的图，接下来就要讨论圆圈间的交点了 [10] 。
在黄道上取正午和升起或正午和沉没间的任何点。
设：这一点为G 。
通过G 点从地平圈极点F 画象限FGH 。通过给定时辰，可知在子午圈与地平圈间黄道的整个 。
已知：正午高度AB 。
假定：AG 也已知。
那么：可求得AF 。
子午圈∠FAG 也可知。
根据前面关于球面三角形的论证，FG 可知，余量GH 和∠FGA 也可知。
以上关于与黄道有关的角度和交点的论述，是我在校核相关问题时从托勒密的著作中选择性摘引的。若有人想钻研该课题，可自行去寻找更为丰富的应用题材，以下我探讨的些许素材仅为举例：
在升起和正午之间，令其为η，其象限为ζηθ。通过给定的时辰，已知弧αηε，则可知αη和子午圈角为ζαη的αζ。故以球面三角形定理十一，可知弧ζη和角ζηα。以上即为我们所求。两倍εη和两倍ηθ所对弦之比，和两倍εα及两倍αβ弧所对弦之比皆与半径和角ηεθ的截距之比相等。所以可得固定点η的高度ηθ。另：在三角形ηθε中，已知边ηε、ηθ和角ε，而θ为直角。用这些量还可以求出角εηθ。
2.13 天体的运动
显然，天体的出没也是由周日旋转引起的。除了上面提到的那些简单的出没现象如此外，还有一些天体因此而成为晨星和昏星。尽管后面的现象与周年运转相关，但我认为放在这里来讨论更为合适。
古代数学家把真出没和似出没现象进行了区分。所谓真出没，即一个天体的晨升与日出同时发生。而另一方面，天体的晨没是指其在日出时沉没。在此期间，这个天体被称作“晨星”。然而昏升是天体在日没时出现。另一方面，昏没指的是天体的沉没与日落同时发生。在中间这段时期，它被称作“昏星”，因为它在白昼隐身，在夜晚出现。
而似出没的情况是这样的：在黎明时和日出前首次出现天体，即为晨升。在日出时天体看上去刚好沉没，则为晨没。而昏升发生在天体于黄昏时第一次升起的时候。昏没则发生在日落后它不再出现之时。所以太阳的升起使得天体都悄然遁形，直至它们皆晨升时才在上述序列中出现。
对于土星、木星和火星这些行星来说，也会出现恒星发生的现象。不过金星与水星的情况不同。太阳临近时，它们不会消失；太阳离开时，它们也不会显现。当它们靠近太阳时，它们沉醉于太阳的光辉中，但其本身是依然清楚可见的。与其他行星不同，它们没有昏升、晨没，在任何时候都发光发亮。而另一情况是，从昏没到晨升，金星和水星彻底消失。另外还有一个不同之处：对于土星、木星和火星来说，清晨的似出没迟于真出没，而在黄昏却相反。关于相差的限度，对第一种情况而言，真出没发生在日出之前，而对第二种情况是在日落之后 [11] 。对低行星（指水星、金星等内行星）而言，真实的晨升和昏升要较形似的晨昏升早，而沉没刚好相反。
关于如何理解确定出没的方法，我在前面已经讨论过相关内容。恒星是否有其真出没，这就要看该时刻太阳是否出现在该分度或相对的分度上了。
通过以上论述可以知道，似出没随各种天体的亮度和大小而不同。亮度较强的天体在日光中隐身的时间比亮度较弱的天体要短。说得更深入点，近地平圈弧决定了隐身和显现的极限。这些弧位于地平圈与太阳之间且通过地平圈极点的圆周。对于一等星而言，这些极限接近12°；对土星为11°；对木星为10°；对火星为 ；对金星为5°；对水星则为10° [12] 。不过白昼的剩余则属于黑夜的领域，即包含黄昏或拂晓的领域，它们在以上提及的圆圈中共占18°。当太阳下沉18°时，较暗的星星便开始显现了。有人把一个和地平圈平行的平面放在地平圈下面，当太阳抵达该平面时，就说明白昼正在开始或黑夜正在步入尾声。我们不但能够获得天体出没的黄道分度，还能得出黄道与地平圈在同一分度交汇的角度。根据天体确定的极限，我们还可以为该时刻找到充足的并与太阳在地平圈下深度相关的、在升起分度与太阳之间的很多黄道分度。
如果情况符合，可以肯定首次的出现或消失正在进行。对于太阳在地面之下沉没，之前我谈到的关于太阳在地面之上的高度的理论同样适用。因为除了位置外并无区别。所以，天体在可见半球中沉没，即是在不可见半球中升起，总之刚好相对，这一点是比较明确的。至此，关于天体的出没和地球的周日旋转，所谈的已经足够多了。
2.14 恒星的位置与排列
在哥白尼的原计划中，本章是另一本书的开始。本章的前面一部分内容，至今仍保留了哥白尼当时的草稿本。这份草稿本比出版的译本讲得更明晰，在此，我们也将它一并翻译出来。
［出版译本］现在应该论述周年运转了。很多天文学家都赞同把恒星现象放在首位，这也是这门科学的基本传统做法。我自然应该照办。在我的原则和基础理论里，恒星天球已被假定为绝对静止，而行星的运动理应与之相比较，因为运动中要求有某种静止的事物。不过可能有人会问，为什么我要采用这种次序？这在托勒密的《天文学大成》序言中可以找到答案：如果不懂得太阳和月亮的知识，就不可能了解恒星。因此他认为推迟对恒星的研究是很有必要的。
