CHAPTER 3
本章主要论述二分点和二至点的岁差。哥白尼从岁差的研究历史、岁差的不均匀性和它的观测史，以及岁差的成因开始谈起，然后分别阐述了二分点岁差与黄赤交角等数值变化的均匀行度和非均匀行度，以及太阳视运动的不均匀性；不均匀的天平运动；二分点岁差和黄赤交角的不均匀性；二分点岁差与黄道倾角的均匀行度；二分点的平均岁差与视岁差的最大差值；二分点行差与黄赤交角；最后对二分点岁差进行总结。后面部分的内容主要涉及黄赤交角的最大变化；二分点均匀行度的历元和非均匀角的测定；春分点岁差和黄赤交角的计算；太阳年的长度和非均匀性；地心运转的均匀化和平均行度；太阳的视运动及其不均匀性等。
3.1 二分点与二至点的岁差
阐述完恒星现象，接下来我就应该讨论与周年运转有关的课题了。我首先从二分点的移动开始 [1] 。有了这种移动的存在，可以认为恒星也在运动。我发现，由于早期的天文学家未区分从一个分点或至点量起的回归年或自然年和以一颗恒星为基准测出的年，因此他们认为，以南河三升起为起点的奥林匹克年 [2] ，与以一个分点量起的年是一回事（当时尚未发现二者的差额）。
罗德斯城的喜帕恰斯最先敏锐地察觉到这两种年并不一样。他在对年的长度进行继续测定的时候，发现以恒星为基准测出的一年比以二分点或二至点为基准测出的一年要长。于是他想到，恒星也在沿黄道运动，只是这种极为缓慢的运动用肉眼难以察觉。在经过时间的验证之后，这在今天看来已变得十分明朗了。基于这种情况，黄道各宫和恒星目前的出没情况就会跟早期天文学家的记载迥然不同，而且黄道十二宫已经从它们原来的位置上移动了很长的一段距离，甚至连它们的名称也不再吻合了。
岁差
岁差是指地轴绕着一条通过地球中心且垂直于黄道面的轴线的缓慢圆锥运动，由太阳、月球和其他行星对地球赤道隆起物的吸引力所造成，从春分点逐渐向西移动，周期为26000年。
与此同时，人们还发现二分点的移动是不均匀运动。为了阐明这种不均匀性，已经有了诸多不同的解释。按照一部分人的想法，由于宇宙处于悬浮状态，因而具有某种程度的振动，这种振动与我们发现的行星黄纬的一种运动极为相似，即振动被限定在极限范围内，物质前进之后的某个时刻会自动后退，而在两个方向上对平均位置的偏离都不超过8°。然而，这个观点不仅没有得到普遍认同，甚至最终消亡。主要是因为，白羊座第一点与春分点的距离已经是8°的三倍多了。对其他恒星来说，情况也都一样；而且千百年来，我们凭肉眼根本察觉不出任何回归的迹象。另外一部分人则肯定地认为，恒星以不等的速率不断向前运行，时快时慢。但是他们并没有形成明确的图像。此外，自然界的另一个奇迹也随之出现：目前黄赤交角并不像托勒密之前的那样大，关于这一点，我已经在前面谈过了。
地球差异旋转导致岁差
为了比较圆满地解释这些观测事实，有人设想出了九层甚至十层天球，他们认为上述现象都可以从天球上显现出来，不过他们未能如愿。现在第十一层天球也横空出世了，但即便如此，他们似乎还嫌这些天球不够多。只要祈灵于地球的运动，我敢肯定地说，这些球体跟恒星天球毫不相干，并且这许多球体的多余很容易论证。正如我在第一章所说，倾角运转和地心的周年运转并不完全相等，前者的周期比后者更短。因此，二分点与二至点看上去都是向前运动——不是因为恒星天球在向东移动，而是赤道在向西移动；赤道与黄道面的倾角与地球轴线的倾角成正比。我们说赤道倾斜于黄道，显然比说黄道倾斜于赤道更容易让人理解。事实上，黄道作为地球围绕太阳旋转所形成的轨道平面与天球相交而成的大圆，它比地球绕地轴运行所产生的赤道大得多。因此，所有在二分点上的交点和整个黄赤交角一起，看上去都跑在了恒星的前面，恒星则被甩在了后面。早期天文学家既找不到测量这种运动的方法，也无法解释这种运动的变化，因为他们未曾想到它的运转竟如此缓慢。正因为此，这种运动周期至今仍未被测定出来。从人类最初发现它的运行以来，在这漫长的岁月里，它的运行距离尚不足一个圆周的 。即便如此，我仍将尽我所能地阐明这件事情。
3.2 证明二分点与二至点岁差不均匀的观测史
在卡利帕斯所说的第一个76年周期中的第36年，即亚历山大大帝逝世后的第30年，亚历山大城的提莫恰里斯作为第一个留心观察恒星位置的人，在报告中指出，室女 [3] 手中的麦穗与夏至点的距离为 ，黄纬为南纬2°。天蝎前额三颗星中最偏北的一颗，即黄道这一宫的第一星，当时的黄纬为北纬的 ，与秋分点相距32°。
在同一周期的第48年，提莫恰里斯再次发现室女的麦穗与夏至点相距 ，黄纬同第一次一样。在第三个卡利帕斯周期的第50年，即亚历山大逝世后的第196年，喜帕恰斯测出狮子宫的一颗名为轩辕十四的恒星位于夏至点后29°50′。在图拉真 [4] 在位的第一年，即基督诞生后的第99年，也就是亚历山大死后的第422>年，罗马几何学家门涅拉斯又测出室女麦穗距离夏至点 ，而天蝎前额的星离秋分点为 。继他们之后，安东尼厄斯·皮厄斯第二年，即亚历山大逝世后的第462年，托勒密计算出狮子座轩辕十四恒星与夏至点的经度距离为 ，室女手中的麦穗与秋分点的距离为 ，天蝎前额的星与秋分点的距离为 ，黄纬仍是南纬2°。
自此，直到亚历山大死后1202年，拉喀的阿耳·巴塔尼才进行了下一次的完全值得信赖的观测。在那一年，狮子座的轩辕十四恒星距离夏至点已达44°5′，天蝎额上的星距秋分点47°50′。黄纬依然没有变化。在所有的观测中，每颗星的纬度始终不变，对于这一点，天文学家们不再有任何怀疑。
公元1525年，按照罗马历为一次闰年后的第一年，即亚历山大逝世后的第1849个埃及年，我在普鲁士的佛罗蒙波克镇观测了室女的麦穗。它在子午圈上的最大高度约为27° [5] ，而据我观测，佛罗蒙波克的纬度为 。因此，可以求得从赤道算起麦穗的赤纬是8°40′。我现在用图形来说明（见图3.1） 。
图3.1
画出同时经过黄道和赤道的子午圈ABCD ，令它与赤道面相交于直径AEC ，与黄道面相交于直径BED 。黄道的北极为F ，其轴线为FEG 。令摩羯宫的第一星为B ，巨蟹宫的第一星为D 。取 等于恒星的南纬，即2°，同时，再经过H 点画出与BD 平行的HL ，且与黄道轴相交于L ，与赤道相交于K 。然后按恒星的南赤纬取 为8°40′，从M 点画出与AC 平行的直线MN 。MN 与HIL 相交于O 点，再作出与MN 相垂直的直线OP ，直线OP 的长度正好为两倍赤纬AM 所对弦的一半。以FG 、HL 、MN 为直径的圆周均垂直于平面ABCD 。按照欧几里得《几何原本》，这些圆周都在O 点和I 点垂直于同一平面。按照本书的第6命题，这些交线相互平行，并且I 是以HL 为直径的圆的中心，因此OI 应等于在直径为HL 的圆上相似于恒星和天秤座第一星距离两倍的弧的所对弦的一半，这就是我们要求的弧。
这段弧可以如下求出：
证明：∠OKP ＝∠AEB ，∠OPK 为直角。那么，线OP 与线OK 的比就等于两倍 所对半弦与线BE 的比，以及两倍 所对半弦与线HOK 的比。
∵AB ＝ ，取BE ＝100000 P ，两倍AB 所对半弦的值为39832 P 。
ABH ＝ ，两倍ABH 所对半弦等于43010 P [6] ，两倍赤纬所对半弦MA ＝15069 P 。
∴HIK ＝107978 P ，OK ＝37831 P ，余量HO ＝70147 P 。两倍HOI 所对 ＝176。
二至点
黄道上距赤道最远的两点为巨蟹宫第一点和摩羯宫第一点，即北半球的夏至点和冬至点，合称二至点。二至点距天赤道23°26′，称为黄赤大距，是黄赤交角在地心天球上的表现。
取BE ＝100000 P 时，HOI ＝99939 P 。余量OI 为29792 P [7] 。
取HOI ＝100000 P 时，OI 就等于29810 P ，与之相应的圆弧约为17°21′。这就是室女的麦穗与天秤座第一星的距离，即恒星的位置。
在十年前，即公元1515年，我曾测得麦穗的赤纬为8°36′，它位于距天秤座第一星17°14′处。但是根据托勒密的《天文学大成》，它的赤纬仅为 。因此它的位置应在室女座内26°40′处，这个数据比早期的观测结果精确一些。
从提莫恰里斯到托勒密，前后相差432年。二分点和二至点每一百年正好偏移1°，它们的移动量与时间的比值固定不变，因此在这个时间段，二分点和二至点就移动了 。而从夏至点与狮子座巴西里斯卡斯星之间的距离来看，在从喜帕恰斯到托勒密的266年间，从位置的比较中可知二分点移动了 ，从而求得它们在100年内向前漂移了1°。
此外，天蝎前额顶上的那颗星，在从阿耳·巴塔尼到门涅拉斯的782年间移动了11°55′。由此可以进一步肯定，二分点和二至点移动1°的时间不是100年，而是66年。进一步说，在从托勒密到阿耳·巴塔尼的741年里，移动1°只需65年。最后，再将剩余的645年 [8] 同我观测到的9°11′的差额 [9] 合在一起考虑，移动1°就需要71年。因此，在托勒密之前的400年间，二分点的岁差显然小于从托勒密到阿耳·巴塔尼时期的岁差，而该时期的岁差也比从阿耳·巴塔尼至今更大。
与此相似，黄赤交角的运动似乎也存在差异。萨摩斯的阿里斯塔尔恰斯求得的数值与托勒密的数值一样，都是23°51′20″，而阿耳巴塔尼得出的数值却是23°36′。190年后，西班牙人阿耳·查尔卡里得到的数值是23°34′；230年后，犹太人普罗法提阿斯所得数值又比查尔卡里的数值小约2′。现在我们发现，黄赤交角不超过 。由此可见，从阿里斯塔尔恰斯到托勒密，黄赤交角变化甚微，但从托勒密到阿耳·巴塔尼，黄赤交角达到极大。
3.3 关于二分点和黄赤交角的假设
通过前面的论述，我们已经很清楚，二分点和二至点都以不均匀的速率在运动。对这种运动最好的解释就是地轴和赤道两极在做某种漂移。当然，这个结果是基于地球在运动的假设之上的。恒星的黄纬是恒定不变的，如果地轴运动与地心运动精确地符合，那么，二分点与二至点的岁差就绝对不会出现。然而，由于这两种运动互不相同，它们的差异也存在某些变化，因此，它们与倾角运动一样，都以不均匀运动的形式运行在恒星前面。但倾角运动会引起黄道倾角的变化，我想，我们可以将这个倾角定义为赤道倾角。
球体的两极和圆周彼此牵连，又相互适应，因此，以上所说的“不均匀速率运动”和倾角运动都需要极点来完成，就如同不断摇晃的摆动。一种运动可使极点在黄赤交角附近上下起伏，改变圆周的倾角。另一种运动则在两个方向产生交叉运动，从而导致二分点和二至点岁差的变换。我把这种运动称为“天平运动”，因为它们好比是沿着相同路线在两个端点之间来回摆动的物体，在两端的运动较慢，在中间的运动较快。行星的黄纬大多呈现这种运动，对此我将在后文讨论。
上述两种运动的周期并不相同，因为二分点不均匀性的两个周期恰好等于黄赤交角的一个周期。而任何一种不均匀运动，都需要假定一个平均量，然后利用这个平均量来掌握不均匀运动的可观图像。因此，此处我们也理应需要假定有平均的极点和赤道，以及平均的二至点和二分点。当两极和赤道转到这些平均值所在的位置时，那些均匀运动看起来也就不再均匀了。接下来，当两种天平运动相互结合，地球的两极就会随时间的变化慢慢扭曲成一条小王冠似的线条。
我们不妨用图形来做更直观的描述吧（见图3.2） 。
图3.2
证明：设黄道上有ABCD 四个点。令摩羯宫第一星为A ，白羊宫第一星为B ，巨蟹宫第一星为C ，天秤宫第一星为D ，令北极为E 。连接A 、C 、E ，作圆周AEC ，再连接黄道北极和赤道北极，令其最长距离为EF ，最短距离为EG ，令极点的平均位置在I 上。围绕I 画出平均赤道BHD ，B 、D 即平均二分点。球体上的任何一点都围绕极点E 作缓慢的匀速运动。这种运动与恒星的黄道各宫次序相反。
我们假定，在地球的两极有两种相互作用的运动，类似于摇动物体的运动。其中一种出现在极限F 与G 之间，我们在后文中称之为“非均匀运动”，也就是倾角的不均匀运动。另一种则是从领先到落后与从落后到领先的相互交替运动，我们称之为“二分点非均匀性运动”。后者比前者的速度快一倍。这两种运动在地球两极聚合，使极点产生神奇的偏转。
我们先令地球北极位于F 点。绕F 点画出的赤道穿过二分点B 和D ，也就是通过AFEC 的两极。此时，赤道可能会使黄赤交角变得更大，增加的范围跟弧FI 成正比。当地球北极从F 点渐渐向I 点转移时，另一种运动开始了，它将阻止极点向弧FI 移动，并使极点在极不规则的途径上兜圈子。我们取极点在运动中的某一位置为K ，令围绕K 点的视赤道为OQP 。此时，赤道与黄道的交点不是B 点，而是B 点后面的O 点。二分点的岁差逐渐减少，其减少量与BO 成正比。在O 点转向并向前运动，两种运动相互作用，使极点顺利到达I 处（平均位置）。此时，视赤道OQP 与平均赤道完全重合。地球北极通过I 处后继续前进，逐渐将视赤道与平均赤道分开，并将二分点推动到另一极端L 。当地球北极位于L 处时，就会逐渐减少对二分点的作用，直至到达G 点。在此，它使黄赤交角的交点B 变为最小值，在此二分点和二至点的运动再次变得很慢，这和在F 点的情况一样。
显然，到此为止，该不均匀运动的平均位置先后到达了两个极端，构成了一个周期。但黄赤交角只经历了半个周期，即从最大倾角变成最小倾角。随后当地球北极向后退的时候，它会达到最外端点M ，从M 处转向时，它将再一次与平均位置I 重合。当它继续前进，将通过N 点，绘出曲线FKILGMINF 。可见，在黄赤交角变化一周的过程中，地极会两次前进至端点，然后两次后退至端点。
3.4 振动和天平运动如何由圆周运动形成
圆周运动与振动或天平运动现象是完全符合的，关于这一点，我将在后面进行阐述。但一定有人会提出疑问：天平运动怎么会是均匀运动呢？我在前面谈到过，天体运动是均匀运动，或者是由均匀的圆周运动组成。这两种运动都是一定范围内的简单运动，必然会出现运动的停顿。我们可以再次用图形证明，天平运动确实是由均匀运动组成的（见图3.3） 。
图3.3
证明：设直线AB 被C 、D 、E 三点平分。围绕D 点在同一平面内画出圆周ADB 和CDE 。在圆周CDE 上取任意点F ，并以F 为中心，FD 为半径，画出圆周GHD 。令GHD 与线AB 交于H ，作线DFG 为直径。
现在，我们只需证明由于圆周GHD 和圆周CFE 共同作用所引起的成对运动，动点H 是在直线AB 的两个方向上来回滑动。而如果H 在F 的反方向上运动，并移动到两倍距离外，这种情况就会发生。
∠CDF 既位于圆周CFE 的中心，又位于GHD 圆周上，并在两个相等的圆上截出 和 ， 为 的两倍。如果在某一时刻，线ACD 与线DFG 重合，那么，动点H 与G 在A 点重合，而与F 点在C 点重合。圆心F 沿FC 向右移动，H 沿GH 向左移动的距离为CF 的两倍，或者这两个方向都可反方向转动。这样，直线AB 就变成H 的轨迹。不然，局部就会大于整体。受折线DFH （它等于AD ）的牵引，H 离开原来的位置A ，移动了一段长度AH ，此为直径DFG 超过弦DH 的长度。就这样，H 进入圆心D 。当这种情况出现时，圆DHG 与直线AB 相切，GD 垂直于线AB 。随后，H 将到达端点B ，并受相同原因的影响原路返回。
有人称该运动为“沿圆周宽弧的运动”，即沿直径的运动。该运动的周期和大小都可以通过圆周长度求得，我稍后证明这一点。此外，我补充一点，如果 与 的两倍关系并不成立，而其他一切条件不变，那么，这些运动描出的就不是一条直线，而是一条圆锥或圆柱截线，数学家称之为“椭圆”。（此为作者草稿中的一段话。）
由此可见，两个共同作用的圆周运动，可以合成某种直线运动，也可由均匀运动合成振动或不均匀运动。
从以上论证可知，由于直线DH 和HG 总是在一个半圆内形成直角，因此直线GH 总是垂直于直线AB ，而 为两倍 所对弦的一半。由于圆AGB 的直径是HGD 的两倍，因此，直线DH 是从一个象限减去 余弧的两倍所对弦的一半。
3.5 关于二分点岁差和黄赤交角不均匀的证明
有人将上述运动称为“沿圆周宽度的运动”，即沿直径的运动。他们用圆周来处理该运动的周期和均匀性问题，用弦长来表示它的大小。因此，这种运动看起来是非均匀的，近圆心时快一些，在圆周附近则慢一些，下面我将展开证明（见图3.4） 。
图3.4
证明：先画出半圆ABC ，令中心为D ，直径为ADC 。B 是 的中点，取相等弧 、 。并从F 和E 两点向ADC 作垂线EG 和FK 。
两倍DK 与两倍BF 相对，两倍EG 与两倍AE 相对。
因此，DK ＝EG 。按照欧几里得《几何原本》，AG ＜GE ，且AG ＜DK 。
由于 ＝ ，因此，物体扫过GA 与KD 的时间是一样的。在靠近圆周A 处的运动会比在圆心D 附近时慢一些。
把地球中心放在L ，线LD ⊥ABC 。通过A 、C 两点，以L 为圆心，画 。延长直线LDM 。
此时，半圆ABC 的极点在M ，而线ADC 是圆的交线。连接线LA 和线LC ，线LK 和线LG ，把它们作为直线延长，与 相交于N 与O 。∠LDK 为直角，∠LKD 为锐角，线LK 长于线LD 。
在两个钝角三角形中，LG ＞LK ，LA ＞LG 。以L 为中心，LK 为半径的圆会超出LD ，与线LG 和线LA 相交。
令：该圆周为PKRS 。△LDK 的面积小于扇形LPK ，△LGA 的面积大于扇形LRS 。
因此，△LDK 与扇形LPK 的比小于△LGA 与扇形LRS 的比。
同理，△LDK 与△LGA 的比也小于扇形LPK 与扇形LRS 的比。按照欧几里得《几何原本》，底边DK ∶底边AG ＝△LKD ∶△LGA ，而扇形LPK 与扇形LRS 的比等于∠DLK 与∠RLS 之比，或 与 之比。
因此，DK ∶GA ＜MN ∶OA 。但我们已经证明DK ＞GA ， ＞ 。物体在沿非均匀角的相等弧 和 移动时，以相同的时间扫过 和 。
事实上，黄赤交角的极大值与极小值之差非常小，低于 。因此，曲线AMC 与直线ADC 之差难以察觉。如果我们结合直线ADC 和半圆ABC 进行运算，误差就会很小。地极另一运动的情形与此相似，黄赤交角的差值不足 ，接下来让我们继续证明（见图3.5） 。
图3.5
令：ABCD 是通过黄道和平均赤道极点的圆，黄道的一半为DEB ，平均赤道为AEC ，二者相交于E 点，此处应当是平均分点。
又令：赤道的极点为F ，通过该点作大圆FET ，该圆应当是均匀的二分圈。
为了方便证明，我们把二分点的天平运动与黄赤交角的天平运动分离开来。在二分圈EF 上截出 。这段弧可以视为是赤道的视极点G 从平均极点F 移动的距离。
以G 为顶点，作视赤道的半圆ALKC ，与黄道相交于L 点。L 将成为视分点，与平均分点的距离为 ，这是由 与 的相等关系决定的。
我们再作圆AGC 。假定在天平运动FG 出现时，赤道的极点并不是在真的极点G 上；相反，在第二种天平运动的影响下，赤道极点会沿 转向黄道倾角。
因此，尽管黄道BED 固定不动，真正的视赤道仍会因极点O 的移位而漂移。视赤道交点L 的运动在平均分点E 周围较快，在两端点处最慢，这与前面论证的极点天平运动相似。这一发现是有价值的。
3.6 二分点岁差与黄道倾角的均匀行度
每一个看上去为非均匀的圆周运动都会有四个分界区域。它们在有的区域内看起来很慢，在其他区域则很快，这些区域被称为端点区域。在端点区域之间，运动为中速。在减速终了和加速开始时，运动的平均速度会转变方向，从平均值增加到最高速率，又从高速率转向平均值，在其余情况下则由平均速率回到原来的低速率。这些现象使我们了解，在一定时刻，非均匀性或反常现象会出现在圆周的哪一部分。从这些特征还可以了解到非均匀性的循环（见图3.6） 。
图3.6
如上图，在一个被四等分的圆周中，A 处的位置最慢，B 处为加速时的平均速度，C 处是加速终了开始减速的速度，D 为减速时的平均速度。前面我已经提到过，在提莫恰里斯到托勒密时期，二分点进动的视行度比其他任何时候都慢。而在那段时期的中间部分，阿里斯泰拉斯、喜帕恰斯、阿格里巴和门涅拉斯都先后发现，二分点进动的视行度是有规则且匀速的。由此可以证明，那段时期的二分点视行度确实是最慢的，并且在那段时间的中期，二分点视行度开始加速。减速终了和加速开始相互抵消使整个运动看起来均匀。因此，提莫恰里斯的观测应当是在圆周的最后一部分，即DA 范围内。而托勒密的观测应落到第一象限AB 中。从托勒密到拉喀的阿耳·巴塔尼这个第二时期，二分点的行度比第三时期快。可见最高速度是在第二时期出现的，即C 点。非均匀角正进入到圆周的第三象限CD 中。在一直持续到现在的第三时期中，非均匀角的循环基本完成，并开始返回它在提莫恰里斯时期的最初位置。在圆周中，我们可以求出从提莫恰里斯时期至今的周期为1819年。按比例来说，在最初的432年里，可得圆弧长度为 ，在接下来的742年中的圆弧长度为146°51′，而剩余的645年里剩下的弧长为127°39′。
我由粗略的推测中很快得出这些结论。随后又用精确的计算重新进行检验，算出它们与观测的情况的相符程度。我发现在1819个埃及年中，非均匀角的行度已经完成一周，并超过了21°24′。而一个周期的时间为1717个埃及年 [10] 。我们可以进一步计算出圆周的第一段弧长为90°35′，第二段为155°34′，第三段为113°51′。这些结果得出以后，二分点的平均行度也就毋庸置疑了。它在同样的1717年中为23°57′。在这段时期，整个非均匀性会恢复到原来的状态。
在1819个埃及年中，视行度约为25°1′。1717年与1819年相差102年，在此期间，视行度应为1°4′左右。这个值比在100年中完成1°稍微大一些，但后一情况发生在行度减少但尚未达到减速终了的时候。因此，从25°1′减去 ，得到的23°57′就是我所说的在1717个埃及年中的平均和均匀行度。可见，二分点进动的整个均匀运转共需25816年。在这个时期内，非均匀角共完成了大约 周运行。
这个运算结果跟黄赤交角的行度正好一致，而黄赤交角的行度又比二分点进动慢一倍。托勒密曾表示：自撒摩斯的阿里斯塔尔恰斯以来到他之前的400年间，23°51′20″的黄赤交角未有变化。这就是说，当时的黄赤交角几乎固定在极大值附近，二分点进动的行度也最慢。目前，二分点又开始恢复到慢的行度。然而，轴线的倾角并没有因此转变为极大值，而是成为极小值。我已说过，阿耳·巴塔尼求得在中间这段时期的倾角为23°35′；在他之后的190年里，西班牙人阿耳·查尔卡里得出了23°34′；在那之后的犹太人普罗法提阿斯采用同样的方法，求出差值约小2′。而在当代，我通过30年的持续观测，求得它的值约为 。在我之前的乔治·皮尔巴赫和约翰尼斯·瑞几蒙塔纳斯测定的结果，与我的数值相差甚微。
（在本书草稿中，此处还有一段话。）
公元1460年，乔治·皮尔巴赫报告中说：轴线的倾角为23°，这与前面提到的那些天文学家的结果相符，但加上28′的尾数后才是最正确的数值。1491年，多门尼科·玛丽亚·达·诺法拉报告说：整度数后还应加上的尾数大于29′；根据约翰尼斯·瑞几蒙塔纳斯的补充，倾角应为23°28′。
现在一切又很明晰了，在托勒密之后的900年间，黄赤交角的变化比其他任何时候都大。既然我们已知岁差变异的周期为1717年，等于黄赤交角变化周期的一半，那么，整个周期长应为3434年。为使这些行度更加清楚，便于检索，下面我用表格或目录来表示它们。对年行度可以连续和等量相加。如果度后面的数值超过60，我们就增加1度。为方便计算，我把这些表扩充至60年（见附表 ） 。
在60年间出现的是同一组数字（只需更换度或度数后面的名称），比如，把原来的秒变成分，等等。我们用这种方式和这些只有两个项目的简表，就可以求出3600年间的年份和均匀行度。对日数的计算，也可以用这种方式（但在计算天体运动时，我全部采用埃及年。因为在各种民用年中，只有埃及年是匀称的）。
值得注意的是，测量单位应当与被测量体相协调。在罗马年、希腊年和波斯年中，都没有这种程度的和谐。这些历法中都有闰年的参与，但方式不一，由不同的民族自己确定。只有埃及年有确切的天数，即365天，恒定不变。这十二个等长的月份，按埃及人自己的名称，依次为：Thoth，Phaophi，Athyr，Choiach，Tybi，Mechyr，Phamenoth，Pharmuthi，Pachon，Pauni，Ephiphi 和Mesori 。这些月份由六组各60天组成，其余5天则为闰日。因此，埃及年对于均匀行度的计算最为方便。通过日期互换，其他的年都可以归化为埃及年。
3.7 二分点的平均岁差与视岁差的最大差值是多少
在阐述了二分点岁差的均匀和平均行度之后，我将进一步阐明它与视行度之间的最大差值是多少，或者异常行度运转的小圆的直径有多大。利用这个最大差值，再求个别差值就很容易了。二倍非均匀角，即从提莫恰里斯到托勒密的432年间的二分点非均匀角，显然是90°35′，岁差的平均行度是6°，视行度为4°20′，二者的差值为1°40′。由于慢行度的最后阶段和加速过程的开始都是在这一时期的中期，因此，该时期的平均行度应当与视行度吻合，视分点应当与平均分点吻合。这样一来，如果把行度和时间都分为两半，就会各有一半约为 （差值应为 ）的距离。那么，我们就能够算出，视分点与平均分点的差值应当是50′。
下面我们对这一论证过程再作更直观的阐述（见图3.7） 。
图3.7
证明：令 是黄道上任意一段弧，DBE 为平均赤道，B 为任意视二分点的平均交点。
通过DBE 的两极，作 。在 的两边各取一段 的 和 ， 长度则为1°40′。
另作与 相交成直角的两段视赤道IG 和HK [11] 。
∠IBG ＝66°20′，∠DBA ＝23°40′，即平均的黄赤交角。
∠BGI ＝90°，∠BIG 几乎等于其内错角∠IBD 。边IB ＝50′。
由此可以算出，平均赤道和视赤道极点之间的距离BG ＝20′。
同理，在△BHK 中，∠BHK ＝∠IGB ，∠HBK ＝∠IBG ，BK ＝BI 。BH ＝BG ＝20′。而这一切都与不超过黄道 的数量有关。
在这些数量下，直线近似于它们所对的圆弧，差额不过一秒的六十分之几。我力求将数值精确到分，因此若是用直线代替圆弧，也不会有什么差错。GB 和BH 与 和 成正比，并且无论对两极还是对两个交点的行度来说，这个比值都是合适的（见图3.8） 。
图3.8
又令：ABC 是黄道上任意一部分，B 是黄道上的一个分点。
以B 点为极，画半圆ADC ，与黄道相交于A 、C 两点。从黄道极点作DB 线，等分半圆ADC 于D 。我们可以视D 为减速的终点和加速的起点。
在象限AD 中，截取 ＝ 。通过E 点，从黄道极点引出线EF ，并令BF ＝50′。两倍BF 与两倍的 相对。BF 取7101 P 时，与AFB 取10000 P 时之比，等于BF ＝50′时与AFB ＝70′时之比。因此可以得出，AB =1°10′。这就是二分点的平均行度与视行度的最大差值，即我们所求，也是从极点的最大偏离28′应得出的结果。
在赤道的交点，最大偏差28′与二分点非均匀角 [12] 的70′相对应。
3.8 行度间的个别差值表
根据以上阐释， 的值为70′，与其所对直线长度的差异微乎其微。因此，要表示平均行度与视行度之间的任何个别差值并不难。这些差值相减或相加，就可以确定其出现的次序。希腊人把这些差值称为“行差”，而现代人称之为“差”。为了更严谨，我采用希腊名词。
设： ＝3°，根据弦AB 与弦BF 的比可知，行差BF ＝4′。
如果 ＝6°，则BF ＝7′；若 ＝9°，则BF ＝11′。
我相信，我们对黄赤交角的漂移也应该这样运算；我说过，行度的极大值和极小值相差24′。在一个单独变异的半圆中，这24′需要经历1717年。在圆周的一个象限中，这段历程的一半为12′。这在附表中显而易见。
可见，我们可以用各种不同的方式把视行度结合起来。但效果最理想的，仍是将每个行差单独考虑，因为这样可使得出的结论更容易被理解。因此，我编制了一个60行的表格，以3°为一行，这样既不繁冗，也不致太简略。以后类似的情况，我会采用同样的办法。这张表只有四栏。前两栏是两个半圆的度数，我称之为“公共数”，因为这些度数体现了黄赤交角的变化。它的两倍则可给出二分点的行差，其起点可视为加速的开始。第三栏是每隔3°时相应的二分点行差。计算时应当把这些行差与平均行度相加或相减。我从春分点的白羊宫额头第一星开始计量平均行度，相减的行差与第一栏有关，相加的行差与第二栏有关。而最后一栏存在分数，是黄赤交角比例的差值，最大可达60。
我用60替代黄赤交角极大值超过极小值的部分。而其余的超过部分，我会用相同的比值来调节其分数。对于超过部分为22′（例如在近点角为33°时），我用55来代替22′，而当非均匀角为48°时，我对20′取50，以此类推。附表就是采用这样的制法（见此处 ） 。
3.9 再议二分点的岁差
根据我的猜测和假设，非均衡行度的加速应该是在第一卡利帕斯时期的第36年，即安东尼厄斯·皮厄斯的第二年开始出现的（我认为这是异常行度的起点）。接下来，我该考察我的猜想是否与观测和事实相符。
我将从提莫恰里斯、托勒密以及拉喀的阿耳·巴塔尼所观测的那三颗星开始。第一时期（从提莫恰里斯到托勒密时期）显然是432个埃及年；第二时期（从托勒密到阿耳·巴塔尼时期）是742年。在第一时期中，均匀行度为6°，非均匀行度为4°20′（从均匀行度中减去1°40′），非均匀角的两倍就是90°35′。在第二时期中，均匀行度是10°21′（此处原值应为10°20′49″），非均匀行度是 （在均匀行度中加上了1°9′），两倍非均匀角为155°34′（见图3.9） 。
图3.9
我们再次证明如下：
令：ABC 为黄道的一段弧，设B 为平春分点。
以B 为顶点，画小圆ADCE ，取 ＝1°10′。
令B 朝A 作均匀运动。设A 为B 在离开可变分点前行时所达到的最大偏西极限，C 为B 偏离可变分点的东面极限。通过B 点作直线DBE ，把圆ADCE 四等分。
B 点在半圆ADC 上的运动为后行，在半圆CEA 上的运动为前行。
因此，由于B 的运行的反映，视分点减速运行的中点为D 。
另一方面，由于相同方向上的运动互相增强，因此，最大速率出现在E 。此外，在D 点前后各取 和 ，皆为 。
令F 为非均匀运动的第一终点，即提莫恰里斯终点；G 为第二终点，即托勒密终点；P 为第三终点，即阿耳·巴塔尼终点。
通过这三点以及黄道两极作大圆FN 、GM 和OP ，它们在小圆ADCE 中看上去很像是直线。
∵小圆ADCE ＝360°。
∴ ＝90°35′，平均行度需减去MN 的1°40′，而ABC ＝2°20′。 应为155°34′，平均行度需在MO 上增加1°9′。
由此可知，剩余部分 ＝360°-（90°35′＋155°34′）＝113°51′。平均行度需增加余量ON 的31′（MN -MO ＝1°40′-1°9′）。
同理，AB ＝70′。 ，超出半圆部分的 应为 。
按圆周弦表，若AB ＝1000 P ，则直线BO ＝356 P 。若AB ＝70′，BO ＝24′，BM 可取为50′。因此，整个MBO ＝74′，余量NO ＝26′ [13] 。之前的MBO ＝1°9′，余量NO ＝31′。即两者存在5′的误差。
因此，我们应当旋转小圆ADCE 来调节这两种情况。如果取 ，那么，另一段 ＝48°5′（此处原值应为 ），这时就出现了上述情况。
下面，让我们通过这样一种方法来消除这种误差：从D 点（即减速过程的极限点）开始，在第一时期的非均匀运动包含长为311°55′的整条 ；在第二时期是长为 的 ；在第三时段是长为198°4′的 。按上述论证，在第一时期，BN 是52′的正行差，而AB ＝70′；在第二时期，MB 为 的负行差；在第三时期中，BO 是21′的相加行差。因此，在第一时期，MN ＝1°40′，在第二时期，MBO ＝1°9′，这些都符合观测的结果。
那么，我们可以肯定，非均匀角在第一时期显然为 ，第二时期为21°15′，第三时期为99°2′。
3.10 黄赤交角的最大变化
上述方法也可用来讨论黄赤交角的变化。通过托勒密的著作，我们知道在安东尼厄斯第二年，经过修正的非均匀角为 ，并由此可求出最大的黄赤交角为23°51′20″。我观测的时间与当时相差约1387年，在这段时间里，非均匀角已变成144°4′，黄赤交角约为 （见图3.10） 。
图3.10
以此为基础，我们画出黄道弧 ，因为它很短，可以视为一条直线。
以B 为顶点，在 上画出非均匀角的小半圆。令A 为最大倾角的极限，C 为最小倾角的极限。我们要求证的，就是它们之间的差额。
先在小圆上取 ＝21°15′，那么， ＝68°45′，整条 ＝144°4′，由此可得 ＝144°4′-68°45′＝75°19′。作直线EG 和FK 垂直于直径ABC 。
基于从托勒密时代至今黄赤交角的变化，我们可以将GK 视作长度为22′56″的圆弧。 （可视为直线）是两倍ED 或其他相等弧所对弦的一半。
如果取直径AC ＝2000 P ，则GB ＝932 P 。KB 是两倍DF 所对弦的一半，应为967 P 。GB 与KB 之和GK 为1899 P 。
如果取GK ＝22′56″，那么，我们所求的差值，即最大与最小黄赤交角之差AC ＝24′ [14] 。可见，从提莫恰里斯时期到托勒密时期的黄赤交角为极大，达到23°52′，而现在它正在接近极小值，即23°28′。运用前面求岁差的方法，还可求出任何中间时期黄赤交角的大小。
3.11 二分点均匀行度的历元与非均匀角的测定
在阐述完以上课题之后，我接下来将要测定在任意时刻相对于春分点来说天球所在的位置 [15] ，这种计算的绝对起点是托勒密确立的，设定为巴比伦的纳波纳萨尔国王登基之时。由于姓氏相似，大多数学者将这位国王认作涅布恰聂萨尔。细察年表，涅布恰聂萨尔的年代比托勒密计算的起点时间要晚得多。但我们最好还是采用更广为人知的时间。
我曾想到以第一届奥林匹克运动会为绝对起点是完全适合的，但它比纳波纳萨尔登基的时间早了28年。根据森索里纳斯和其他权威的记载，那届运动会是从夏至日开始举行，希腊人所说的天狼星正好在这一天升起 [16] 。从第一届奥运会期间希腊历祭月的第一天中午起，到纳波纳萨尔时期埃及历的元旦中午为止，共有27年零247天。从希腊历祭月当天起至亚历山大大帝逝世，其间共有424个埃及年。从亚历山大大帝去世到尤里乌斯·恺撒登基之时，即恺撒年号的第一年元月一日前的午夜，总计为278个埃及年零118天。
当恺撒第三次担任执政官时，他以高级神父之名创立了这个年代。他的同僚玛尔喀斯·艾密廖斯·列比杜斯遵照他所颁布的法令，将这一年之后的年份都称为“尤里乌斯年”。从恺撒第四次担任执政官到奥克塔凡·奥古斯塔斯时期，照罗马人的算法，共有18年。这年元月17日，经蒙思蒂阿斯·普朗卡斯建议，元老院授予被神化的尤里乌斯·恺撒的儿子以奥古斯塔斯皇帝的尊号。此时，尤里乌斯·恺撒为第七次担任执政官。当时他的同僚有玛尔喀斯·维普萨尼奥斯·阿格里巴等。在这之前两年，在安东尼厄斯和克娄利奥巴特拉去世后，埃及归罗马统治。埃及人认为到元旦（即罗马人的8月30日）正午，罗马人统治埃及共有15年零246天。因此，从奥古斯塔斯到基督纪年（同样从元月起始），罗马人认为有27年，而按埃及人的历法算得的时间是29年零 天。
