黄赤交角
黄赤交角是地轴进动的成因之一，也是视太阳日长度周年变化的主要原因和地球上四季变化和五带区分的根本原因。
从基督纪年到安东尼厄斯·皮厄斯第二年 [17] ，共有138个罗马年零55天。对埃及人来说，还须在此基础上加上34天 [18] 。从第一届奥运会到这个时候，共有913年零101天。在这段时期中，两分点的均匀岁差为12°44′，而非均匀角为95°44′。然而，照托勒密《天文学大成》的说法，在安东尼厄斯·皮厄斯第二年，春分点就比白羊座头部第一星超前6°40′，因为当时的二倍非均匀角已达到 ，均匀行度与视行度的相减差值为48′。当这个差值使视行度变成6°40′时，春分点的平位置就是7°28′。如果加上圆周的360°，然后再减去12°44′，那么，第一届奥运会 [19] 时，春分点位于354°44′，比白羊座第一星靠后5°16′（360°-354°44′）。
同理，如果从非均匀角的21°15′减去95°45′，那么，作为奥运会开幕同一开始时间的余量，即非均匀角的位置，就是285°30′。再加上在各个时期内出现的行度，当行度每满360°时，扣除这个数量，便可得出历元。亚历山大大帝时期的均匀行度是1°2′，非均匀角为332°52′；恺撒大帝时期的均匀行度是4°55′，非均匀角为2°2′；基督时期的均匀行度是5°32′，非均匀角为6°45′。运用这种方法，同样可以求出该时期其他任何时间任一起点行度的历元。
3.12 春分点岁差和黄赤交角的计算
在我们计算春分位置时，如果所选的起点到已知时刻各个年份不是等长的（罗马年就经常出现这种情况），就需要将其转换成等长年份或埃及年。正如我之前所说的，下面我将只使用埃及年。
当年数超过了60年，我们便将年数以60年为周期来划分。这样，在查询二分点行度表时，行度项下第一栏可视为多余而忽略，从第二栏即度数栏查起，如果栏内载有数值，可取用该数值及剩余度数和弧分数的60的倍数，或者去掉60年整周后剩余的年数，可取成组的60再加上从第一栏起的度数和分数。对于周期为60天的日期，如果要按日期及其分数表对它们加上均匀行度，也可采用这个办法。但在进行运算时，日期的分数甚至具体的整天数都可忽略不计。因为这些行度极慢，逐日行度仅为几弧秒或六十分之几弧秒。
各类数值分别相加，再把6组60°的去掉，这样就能将表中所载数值和历元结合起来。如果求得的总数值大于360°，对既定时刻而言，可得到春分点的平位置和它超过白羊宫第一星的距离。
非均匀角也可用类似的方法求出。并且，利用非均匀角可求得行差表最后一栏所载的比例分数。用二倍非均匀角可由同表的第三栏求出行差 [20] 。如果二倍非均匀角小于半圆，则应从平均行度中减去行差；反之，如果二倍非均匀角大于180°，则应将行差与平均行度相加。这样求得的结果中，包含有春分点的真岁差或视岁差，即春分点在该时刻与白羊座第一星的可测距离。如果要计算其他任何恒星的位置，则应加上星表中该恒星所对应的黄经。
举例会使运算变得更加清楚。
以公元1525年4月16日为例，可求出当天春分点的真位置、它与室女星座中穗的距离及当时的黄赤交角。从基督纪元到现在，共有1524个罗马年零106天。这段时期共有381个闰日，即1年零16天。以等长的年度计量，这段时期就应该是1525年零122天，等于25个60年周期加上25年和两个60日周期再加2天。在均匀行度表中，25个60年周期对应的是20°55′2″；25年对应的是20°55″；两个60日周期对应的是16″；剩下2天为六十分之几秒。将这些数值与等于5°32′的历元叠加在一起，总值为26°48′，这就是春分点的平岁差。
同理，非均匀角的行度在25个60年周期中为两个60°加上37°15′3″；在25年中为2°37′15″；在两个60天周期中为2′4″；剩下2天为2″。将所有这些数值与等于6°45′的历元相加，等于两个60°加上46°40′，此即非均匀角的数值。在行差表最后一栏中找到与上列数值对应的比例分数1′，这一数值可以用来确定黄赤交角。我们还能看到，二倍非均匀角等于五个60°加上33°20′ [21] 。因为二倍非均匀角比半圆大，这一行差为正行差。我求得行差为32′。把这一行差与平均行度相加，就能得出春分点的真岁差和视岁差是27°21′。在这个数值上加170° [22] ，可知室女的麦穗相对于春分点（197°21′）是位于东面天秤宫内17°21′处。
黄赤交角和赤纬都遵循相同的规则：当比例分数达到60时，应把赤纬表所载的增加量（最大与最小黄赤交角之差）与各赤纬度数相加。在本例中，只需将黄赤交角增加24″。因此，此时黄道分度的赤纬并没有变化，因为目前最小黄赤交角正在逐渐形成，不易察觉其发生的变化。如果此时非均匀角为99° [23] ，与之相应的比例分数则为25。由于60′∶24′（24′为最大与最小黄赤交角之差）＝25′∶10′，把10′与28′相加，得到的23°38′就是当时黄赤交角的大小。通过这种方法，我们还可以知道黄道上任何分度的赤纬，比如，金牛座内3°，距春分点33°，我在黄道分度赤纬表中查得的数值是12°32′，差值为12′。由于60∶25＝12∶5。把5′加入赤纬度数中，答案就是12°37′。除非采用球面三角形的比值，否则，用于论证黄赤交角的方法也可同样用于赤经，但在计算时，需要从赤经中减去与黄赤交角相加的量，这样得出的结果才更接近事实。
3.13 太阳年的长度及非均匀性
在前面，我已经论证过二分点和二至点的变化是由地轴倾斜引起的，这可以通过地心的周年运动来证实。现在，我将继续论证这一观点。无论是用二分点还是二至点来推算，一年的长度总在变化。这些基点始终都处于不均匀运动中，并且彼此联系，因此，年的长度绝不可能是一个固定值。
首先，我们对季节下一个定义，以此将它与恒星年区别开。我把周年四季循环的年份命名为“自然年”或“季节年”，把返回至某恒星的年称为“恒星年”。自然年又叫回归年，它是非均匀的，这在古代的观测中早已被证实。根据卡利帕斯、萨摩斯的阿里斯塔尔恰斯和西拉卡斯的阿基米德等人的测定结果，自然年除了365个整日外还含有四分之一天。他们采用雅典人的做法，取夏至为一年的开始。然而，托勒密认识到，精密确定一个至点并不容易。他对他们的观测表示怀疑。托勒密较为相信喜帕恰斯。后者在罗德斯城对太阳的二至、二分点留下了翔实的记录。喜帕恰斯宣称 天缺了一小部分。后来托勒密在《天文学大成》中用下列方法确定此为 天。
喜帕恰斯
喜帕恰斯（公元前190年—前125年），古希腊天文学家，方位天文学的创始人。他算出一年的长度为36514日再减去1300日，并发现白道拱点和黄白交点的运动，求得月亮的距离为地球直径的3016倍。他还编制了几个世纪内太阳和月亮的运动表，用来推算日食和月食。
喜帕恰斯采用亚历山大大帝死后第177年的第三个闰日的午夜为基点，在亚历山大城非常精确地观测到秋分点。托勒密继续采用这个秋分点。后来，托勒密又引用了另一个秋分点。这是他于安东尼厄斯·皮厄斯第三年（亚历山大大帝死后第463年）埃及历3月9日日出后约一小时亲自在亚历山大城观测到的。这次观测与喜帕恰斯的观测相距285个埃及年70天零7小时。如果一个回归年比365个整日多 天，这个时间就应当是71天零6小时。因此，285年间缺少的量就应当是 天。也就是说，每300年中应去掉一天。
托密勒回想起喜帕恰斯在亚历山大大帝之后第178年（埃及历）6月27日日出时所报告的春分点。他本人发现了亚历山大大帝之后第463年（埃及历）的春分点，大约在9月7日午后一小时。在285年中，同样缺少了 天。借助于这一发现，托勒密量得一个回归年的长度是365天加上14分48秒。
后来，在叙利亚的拉喀，阿耳·巴塔尼观测了亚历山大死后第1206年（埃及历）9月7日夜间约7小时，即8日黎明前 小时的秋分点。他把自己的观测与托勒密在亚历山大城的观测加以对比（亚历山大城位于拉喀之西10°）。他把托勒密观测到的数值归化成自己在拉喀的经度，在这个位置上托勒密的秋分应为日出后 小时。因此，在743（1206-463）个等长年份中就多出了178天 小时，而不是通过 天积累得出的 天。因为缺少7天零 小时（185天18小时-178天 小时），可知 天应减去 天。于是，他用7天零 小时除以743（年份数），得到13分36秒。托勒密最后得出，一个自然年包含365日5小时46分24秒。
公元1515年9月14日，即亚历山大死后第1840年（埃及历）2月6日日出后 小时，我在佛罗蒙波克观测了秋分点。拉喀位于我所在地点以东约25°处，相当于 小时。因此，我与阿耳·巴塔尼所观测秋分点的时间，相距633个埃及年零153天 小时，而不是158天6小时。亚历山大城与我所在地点的时间差约为1小时，从托勒密在亚历山大城进行的那次观测到我的观测，如果换算到同一地点，就相距1376个埃及年332天 小时。因此，在从阿耳·巴塔尼时代距今的633年中缺少了4天 小时 [24] ，即在每128年中减去一天。
此外，在从托勒密时期距今的1376年中，缺少了约12天 [25] ，即每115年中减少了一天。由此可见，年份绝不可能是等长的。
我又观测了第二年，即1516年的春分点，出现在3月11日午夜后 小时。从托勒密的春分点距我观测的时刻共有1376个埃及年加上332天又 小时。这也表明，春分点与秋分点之间的时间也不是等长。借此求出的太阳年就更不可能等长了。通过与均匀分布的年度比较可以发现，秋分点从托勒密时期到现在 天缺少了 天。这种缺失与阿耳·巴塔尼的秋分点相差半天。然而，对于从阿耳·巴塔尼到我们这段时期都很符合实际的情况（当时 天应当少 天），对托勒密的论证却不适宜。这个结果比他所观测到的分点超出一天多，比喜帕恰斯的观测超出两天多。同样，根据从托勒密到阿耳·巴塔尼这段时期的观测所做的计算，也比喜帕恰斯的分点超出两天。
欧几里得
欧几里得（公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他的代表作《几何原本》是欧洲数学的基础，它提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛认为是历史上最成功的教科书。此外，他还有一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
因此，撒彼特·伊恩·克拉首先提出：只有通过恒星，才能更准确地推算出太阳年的均匀长度。克拉求得太阳年的长度是365天加一天的15分23秒，即约6小时9分12秒。他的论证极有可能是基于以下事实：当二分点和二至点重复出现较慢时，年度看起来比它们重复较快时要长一些，并且按一定的比值变化。如果恒星没有一个均匀的长度，这种情况便不可能发生。因此，托勒密用返回任一恒星来测量太阳年的均匀长度显然是行不通的，这也是相当荒谬的。在《天文学大成》中，他也承认这种方法并不比用木星或土星来进行此项测量更加准确。这就解释了在托勒密之前回归年会长一些，而在他以后就缩短了，并且减少的程度在不断变化。
恒星也可能会出现一种变化，但它比我上面解释的那种变化要小很多，并且有限，因为表现为太阳运动的地心运动具有双重变化。其中，第一重是简单变化，以一年为周期；第二重运动则很隐蔽，需要很长时间才会被发现，但它的变化会引起第一重变化发生偏差。因此，等长年的计算实非易事。如果有人想要通过一颗已知恒星的位置推算出等长年，那么，以月亮为参照，用一副星盘就可以办到。我在谈狮子座的轩辕十四时已经解释了这个方法。变化不能完全避免，除非当时地球的运动消除了太阳的行差，或者在两个基点都有相似且相等的行差。如果不是这种情况，或者基点的不均匀性发生了某种变化，那么很显然，在相等时间内绝对不会出现均匀运转。如果在两个基点处整个变化都成比例地相减或相加，这个过程就会完全正确。
要了解不均匀性，就必须先知道平均行度。这跟阿基米德化圆为方是同样的道理。为了彻底弄清这个问题，我们可以把造成不均匀性的原因分为四类。
第一类是二分点的岁差具有不均匀性（前面我已经解释过了）；第二类是太阳在黄道弧上运动的不均匀性（几乎每年都不均匀）；第三类是“第二种差”的变化；第四类则是地心的高低拱点的移动。托勒密在《天文学大成》中只提及了第二类。但这个原因本身并不能引起周年的不均匀性，只有当它与其他原因结合在一起时，才能导致这个结果。
然而，要体现太阳视运动与均匀性的差别，似乎没有必要对一年的长度做绝对精确的测量，只需将年的长度取为365 天就足够精确了。为了推理完整和便于想象，我主张将地心的周年运转视为均匀运动。在后面我将根据所需的证明来区分均匀运动和视运动，并对均匀运动加以补充。
3.14 地心运转的均匀化和平均行度
我已经观测到，一个均匀年的长度是365天加上15个日分、24个日秒和10个 日秒，等于6个均匀小时9分40秒，仅仅比撒彼特·伊恩·克拉的数值多 日秒。年的均匀性显然与恒星有联系。因此，用365天乘上一个圆周的360°，可以得到“简单均匀的”太阳行度，然后再除以365天15日分 日秒，我们便可算出一个埃及年行度为5×60°＋59°44′49″74'''' 。经过60个这样的年度，并消除整圆周后，行度为5×60°＋44°49′7″4。除此之外，若是用365天来除年行度，便可求得日行度为59′8″1122'''' 。在这个数值上加上二分点的平均和均匀岁差，同样可以算出在一个回归年中的均匀年行度为5×60°＋59°45′39″199'''' ，日行度为59′8″1937'''' 。由此，我们通常把前者称为“简单均匀的”太阳行度，把后者称为“复合均匀的”行度。
按照我对二分点岁差所用的方法，我把这些名称也录入表格。附于表后的是太阳近点角的均匀行度，也是我接下来要阐述的一个课题（见附表） 。
3.15 关于太阳视运动不均匀性的初步论证
如果地球以太阳为中心旋转，而太阳又位于宇宙的中心，那么，关于太阳不均匀运动的阐述，我们就需要更进一步的证实。正如我前面假设的：地球与太阳的距离在整个浩瀚无边的宇宙中显得微不足道，那么，相对于地球上任何一点，太阳的运动都可以视为是均匀的。我们就从这里着手，开始证明（见图3.11） 。
图3.11
令： 是位于黄道上宇宙的一段弧。
太阳位于中心点C ，线CD 是地球到太阳的距离。宇宙的宽幅非常大。以CD 为半径，作黄道同一平面内表示地心周年运动的圆圈DE 。
此时，将出现上面我设定的情况：对于圆AB 上任何一点，太阳看起来都在做均匀运动。接下来，我们令地球望见太阳的位置为A ，地球所在的位置为D ，我们画出ACD 。
假设地球沿着任一圆弧 运动，E 为地球运动的终点，连接AE 和BE 。
此时，从E 点看去，太阳正位于B 点。AC 比CD 、CE 要大很多，AE 也会大于CE 。在AC 上取任意点F ，并连接EF 。同时，从两端点C 和E 分别向A 引直线，两条直线都落在三角形EFC 外。
根据欧几里得《几何原本》中的逆定理，∠FAE ＜∠EFC 。当两条直线无限延伸时，它们最终形成的∠CAE 是一个非常小的锐角，几乎可以忽略不计。∠CAE 是∠BCA 超过∠AEC 的差额。由于这一差额非常小，因此这两角近似相等，AC 和AE 两条线近似平行。
对于恒星天体上任一点来说，太阳似乎都在作均匀运动，就像绕中心E 在作匀速运转。
然而，地心在周年运转中并不是严格地以太阳为正中心在运行，可见太阳的运动并不是均匀的。这可用两种方法加以证明：用一个中心与太阳中心不重合的偏心圆，或者用一个同心圆上的本轮 [26] 。
如果利用的是偏心圆，我们可证明如下：
作黄道面上的一个偏心圆ABCD ，设它的中心E 与太阳中心F 有一段不可忽略的距离。偏心圆的直径AEFD 正好穿过这两个中心（见图3.12） 。
图3.12
令：A 为远心点 [27] ，即地球离宇宙中心最远的位置；D 为近心点 [28] ，即地球距宇宙中心最近的位置。
地球在圆周ABCD 上绕中心E 做均匀运动时，从F 点望去，它的运动就不是均匀的。取 ＝ ，作直线BE 、CE 、BF 和CF 。∠AEB ＝∠CED ，它们绕中心E 截出了相等的圆弧。
∠CFD 是一个大于∠CED 的外角，同样，也大于与∠CED 相等的∠AEB 。而∠AEB 也是一个外角，同样大于内角∠AFB 。但∠CFD 比∠AFB 大得多。因为 ＝ ，∠CFD 和∠AEB 又是在相同时间内形成的，因此，绕E 点的均匀运动必定也同时成为绕F 点的非均匀运动。
用更简单的方法同样可以得到这个结果： 距F 点比 距F 点的距离远一些，按欧几里得《几何原本》的原理，与这些弧相截的直线AF 和BF 就会相应比CF 和DF 长一些。根据光学的知识，同样大小的物体在近处比远处看起来更大一些。因此，上述命题同样可以获证。
如果是利用同心圆上的本轮，我们同样可以证明（见图3.13） 。
图3.13
令：太阳所在的宇宙中心E 同时也是同心圆ABCD 的圆心，A 为在同一平面上的本轮FG 的中心。
通过中心E 和中心A 画直线CEAF ，F 是本轮的远心点，I 为近心点。那么，很明显，此时A 处出现的是均匀运动，而本轮FG 上的运动则很不均匀。
假设：A 沿着黄道十二宫的顺序向B 运动，而地心从远心点沿相反方向运动。
那么，从近心点I 观测，E 的运动更快一些（因为A 和I 是同向运动）。相反，在远心点F 看来，E 的运动会慢一些，因为这个运动是由两个反方向运动超出的部分形成的。当地球位于G 处时，它会超过均匀运动的范畴；而当它位于K 处时，它达不到或者说无法构成均匀运动。这两种情况的差额可用 或 来表示。
由于这个差额的存在，太阳的运动看来是很不均匀的。
由于行星在本轮上运行时，它在同一面内描出的同心圆和偏心圆是相等的。因此，本轮的一切功能同样也可以由偏心圆来完成。偏心圆中心与同心圆中心的距离等于本轮的半径。这种情况很容易证明。
假设：同心圆上的本轮和本轮上的行星运行的方向相反，但所做的运转是相等的。
那么，行星的运动描出的就是一个固定的偏心圆，其远心点与近心点的位置相对不变。令：ABC 为同心圆，D 为宇宙中心，ADC 为直径。
当本轮位于A 处时，行星就位于本轮的远心点上。令此点为G ，本轮的半径正好落在直线DAG 上（见图3.14） 。
图3.14
取 为同心圆的一段弧。以B 为中心，AG 为半径，画出本轮EF 、直线DB 和EB 。取 与 相似，但方向相反。把行星或地球置于F 处，并连接BF 。
取AD 上等于BF 的线段DK 。∠EBF ＝∠BDA ，因此，BF 与DK 是平行且相等的。按照欧几里得《几何原本》的论述，与平行且相等的直线连接的直线，也是平行和相等的。
∵DK ＝AG ，而AK 是两条线段共享的附加线段，即GAK ＝AKD ＝KF 。
∴以K 为中心，KAG 为半径的圆应经过F 点。
由于AB 与EF 的共同运动，F 点描出的偏心圆与同心圆相等，并且也应是固定的，因为∠EBF ＝∠BDK ，BF ∥AD 。因此，当本轮在做与同心圆相等的运转时，它所描出的偏心圆的拱点就应该保持相对不变的位置。
如果本轮中心与本轮圆周的运转并不相等，那么，行星运行时所描出的轨迹将不再是一个固定的偏心圆。而现在我们看到的是，偏心圆的中心和拱点都沿着与黄道十二宫相同或相反的方向移动，这视行星运动比其本轮中心快或慢而定（见图3.15、图3.16） 。
图3.15
图3.16
设：∠EBF ＞∠BDA ，然后作∠BDM ＝∠EBF 。
如果在直线DM 上取DL ＝BF ，那么，以L 为中心，LMN （等于AD ） 为半径所作的圆就会通过行星所在的F 点。
这样，行星的合成运动就会在偏心圆上描出一段弧，我们将这段弧设为 。同时，偏心圆的远心点从G 点开始沿与黄道十二宫相反的方向在 上运动。
如果行星在本轮上的运动比本轮中心的运动慢，那么，当本轮中心运动时，偏心圆中心就会朝相反的方向，即沿黄道十二宫的方向移动。换句话说，如果∠EBF ＝∠BDM ，且小于∠BDA ，这种情况就会出现。
可见，不管是用同心圆的本轮，还是用与同心圆相等的偏心圆，得出的结论都是太阳在做不均匀运动。只要上述的两个中心之间的距离与本轮的半径相等，这个结论就必然成立。
但也正因如此，我们反而不容易确定天体上存在的是哪一种情况。托勒密显然更倾向于偏心圆的说法。他在《天文学大成》中说：利用偏心圆论证太阳的运动存在着某种普遍的偏差，并且拱点的位置固定不变，这正是太阳的真实情况。
托勒密对月亮和其他五颗行星同样采用了这种方法，证明它们存在双重或多重不均匀运动。这种方法可以很容易得出均匀行度和视行度的差值在什么时候变得最大。当然，这只是在行星位于高、低拱点之间时出现的情况，当行星与均轮接触时，显然本轮的论证法更为适用。这也是托勒密在《天文学大成》中多次提及的。
关于偏心圆，我们还可以如下证明（见图3.17） 。
图3.17
令：偏心圆为ABCD ，中心为E ，而AEC 为穿过太阳的直径。F 是位于非中心位置的任意一点，过F 点作BFD ⊥AEC ，并连接BE 和ED 。
又令：A 为远日点，C 为近日点，B 和D 是它们的视中点。
显然，△BEF 的外角∠AEB 代表均匀运动，内角∠EFB 代表视运动。它们的差为∠EBF 。而从圆周上任意一点与直线EF 构成的角不可能大于∠EBF 或∠EDF 。在B 点前后各取一点G 和H ，然后连接GD 、GE 、GF 、HE 、HF 和HD 。
距中心较近的FG 比DF 更长，∠GDF 比∠DGF 更大，但∠EDG ＝∠EGD 。因此，∠EDF ＝∠EBF ，且大于∠EGF 。
同理可以证明，DF 比FH 更长，∠FHD 比∠FDH 更大。但因为EH ＝ED ，∠EHD ＝∠EDH ，因此，∠EDF ＝∠EBF ，且大于∠EHF 。
那么，从任何一点引向直线EF 所成的角都不大于从B 、D 两点与之所形成的角。因此，均匀运动与视运动的最大差值必然出现在远日点与近日点之间的视中点。
3.16 太阳视运动的不均匀性
上述的论证方法不仅对太阳适用，对其他做不均匀运动的天体也同样适用。不过现在我们只讨论太阳和地球。在进一步阐述前，我们先谈谈托勒密和其他古代学者传授给我们的知识，以及近代天文学所取得的某些成就。
托勒密在《天文学大成》中指出，春分到夏至的时间有 天，夏至到秋分的时间是 天。根据时间长度，当时第一时段的均匀行度为93°9′，第二时段的均匀行度是91°11′。利用这组数值，我们可以划分一个代表一年的圆周（见图3.18） 。
图3.18
令：这个圆周为ABCD ，中心在E ，令 为第一时段，值为93°9′， 为第二时段，值为91°11′。
我们假设春分点从A 观测，夏至点从B 观测，秋分点从C 观测，冬至点从D 观测。接着连接AC 和BD 。令太阳所在点为F ，AC 、BD 于F 点相交成直角。
因此， 大于半圆， 大于 。根据托勒密在《天文学大成》中推断出的结论，圆心E 位于直线BF 与FA 之间，而远日点位于春分点与夏至点之间。过中心E 作平行于AFC 的IEG ，与BFD 相交于L 。再作平行于BFD 的HEK ，在M 穿过AF ，由此构成矩形LEMF 。该矩形的对角线FE 可延伸成直线FEN 。
也就是说，代表地球与太阳的最大距离在N 处出现。 ＝93°9′＋91°11′＝184°20′，2AH ＝ABC ，因此， ＝92°10′。如果从AGB 减去这个值，剩下的HB 就是59′（93°9′-92°10′）。而从AH （92°10′）减去圆周的一个象限 （90°），余量 则为2°10′。
取半径为10000 P ，那么与 的两倍所对弦的一半（LF ）为378 P 。与 的两倍所对弦的一半（LE ）为178 P 。△ELF 的两边已知，斜边EF ＝414 P ，约为半径NE 的 。EF 与EL 的比等于半径NE 与两倍 所对弦的一半的比。
由此可知： ＝∠NEH ＝ ，而视行度∠LFE 与∠NEH 相等。这就是在托勒密之前得出的高拱点超过夏至点的距离。
我们还可以看到，IK 是圆周的一个象限，等于90°。从IK 中减去 （＝AG ＝2°10′）和 （＝ ＝59′），余量CD 等于86°51′（90°-3°9′）。把这个量从 （360°-184°20′＝175°40′）中减去，剩下的 等于88°49′（175°40′-86°51′）。但是， 天对应86°51′，同88°49′相对应的为90天＋ 天＝90天3小时。
如果用地球的均匀行度来表示，在这两段时期内，太阳正好从秋分移动到冬至，并在接下来的时间里从冬至返回春分。托勒密在《天文学大成》中声明，他所求得的这些数值与在他之前的喜帕恰斯所求的结果没有差异。托勒密认为，高拱点会再次停留在夏至点前 处，偏心率（为半径的 ）则将永远不变。但现在我们已经发现，这两个数值都发生了变化，并且这个差值可以求出。
阿耳·巴塔尼认为，春分到夏至为93天35日分，而到秋分为186天37日分。他利用这些数值，并按托勒密的方法推算出的偏心率不大于346 P （当半径为10000 P 时）。西班牙人阿耳·查尔卡里求得的偏心率与阿耳·巴塔尼相符，但远日点是在至点前12°10′，而阿耳·巴塔尼认为是在至点前7°43′。虽然数值并不相同，但从这些结果可以推断出，地心的运动还有另一种不均匀性，现代的观测也再次证实了这一点。
我致力于这些课题十多年，在公元1515年，我算出从春分点到秋分点共有186天 日分。有的学者怀疑早期测定二至点时存在着一些谬误和偏差，为此，我在自己的研究中加入了太阳的其他位置，诸如金牛宫、室女宫、狮子宫、天蝎宫和宝瓶宫等。这些位置的中点跟二分点一样，都很容易观测到。我算出秋分点到天蝎宫中点是45天16日分，到春分点为178天 日分，在第一段时间里均匀行度是44°37′，在第二段时间里均匀行度是176°19′。
根据这些数值，我们可先绘出圆周ABCD （见图3.19） 。
图3.19
令：A 为在春分时太阳出现的点，B 为观测到秋分的点，C 为天蝎宫的中点。
连接AB 与CD ，这两条线相交于太阳中心F 。画AC 。已知 为44°37′。于是取360°＝2直角，可以表示出∠BAC 。取360°＝4直角，则得视行度∠BFC ＝45°。
但若取360°＝2直角，则∠BFC ＝90°。于是截出 的剩余角∠ACD 为45°23′（90°-44°37′）。但是整个 ＝176°19′。
- ＝ ＝176°19′-44°37′＝131°42′。把这个数值与 （45°23′）相加，其和为 ＝ 。
由于 （176°19′）跟 这两段弧都小于半圆，圆心显然在圆周的其余部分，即BD 之内。
令：圆心为E ，并通过F 画直径LEFG 。令L 为远日点，G 为近日点。作EK ⊥CFD 。取直径为200000 P ，则由表可查出已知弧所对的弦为：AC ＝182494 P ，CFD ＝199934 P 。
于是△ACF 的各个角都可知。按平面三角形的定理一，各边的比值也可知：取AC ＝182494 P ，则CF ＝97967 P 。
因此，FD ＝CFD -CF ＝199934 P -97967 P ＝101967 P ，超过CFD 的一半＝99967 P ，多余部分为FK ＝101967 P -99967 P ＝2000 P 。弧段CAD ≈177°6′，比半圆少2°54′。此弧所对弦的一半等于EK ，为2534 P 。
因此在△EFK 中，形成直角的两边FK 和KE 都可知。在已知的边与角中，EL ＝10000 P ，则EF ＝323 P ；取360°＝4直角，则∠EFK ＝ 。因此，∠AFL ＝∠EFK ＋∠AFD （＝∠BFC ＝45°） ＝ ，补角∠BFL ＝180°-∠AFL ＝ 。
如果取EL ＝60 P ，则EF 约为1.56 P 。太阳与圆心的距离现在已不足 ，而托勒密时代称它是 。而且，托勒密时代的远日点在夏至点前 ，而现在在夏至点后 。
3.17 太阳的第一种差和周年差及其特殊变化
既然太阳的偏差存在好几种变化，那么，我似乎应当从了解得最多的周年变化开始阐述。证明：作圆周ABC ，其中心为E ，直径为AEC ，远日点位于A 点，近日点位于C 点，太阳位于D 点（见图3.20、图3.21） 。
图3.20
图3.21
由于均匀行度与视行度的最大差值出现在两个拱点之间的视中点，因此，我们作垂线BD ⊥AEC ，且与圆周相交于B ，连接BE 。
在直角三角形BDE 中，圆的半径BE 及太阳与圆心的距离DE 已知。因此三角形的各角均可知。∠DBE 是均匀行度角∠BEA 与直角∠EDB 的差额。
然而，在DE 增减的范围内，三角形的整个形状已经改变。在托勒密之前，∠B ＝2°23′，在阿耳·巴塔尼和阿耳·查尔卡里的时代∠B ＝1°59′，而现在∠B ＝1°51′。托勒密在《天文学大成》中指出，∠AEB 所截出的 ＝92°23′， ＝87°37′；阿耳·巴塔尼求得 ＝91°59′，BC ＝88°1′；而现在AB ＝91°51′， ＝88°9′。
当以上数值已知，其余的变化量也就可知。现在再取任一弧 ，设∠BED 的补角∠AEB ，及BE 和ED 已知。利用平面三角形的一些定理，行差角∠EBD 及均匀行度与视行度之差均可知。
由于ED 边存在变化，因此，以上求得的差值也会相应发生变化。
3.18 黄经均匀行度的分析
以上对太阳的周年差的阐释，并非基于前面已阐明的简单变化，而是根据一种在长时期中发现的并与简单变化混合起来的变化。我在后面将把这两种变化区分开来。同时，我们也将求得关于地心更精确的均匀行度。它与非均匀变化区分得越清楚，其相应的延伸时期就越长。现在，我们证明如下：
我采用喜帕恰斯于卡利帕斯第三王朝第32年在亚历山大城观测到的秋分点为基点。前面我已提到，这一年即亚历山大大帝死后第177年，秋分点是在五个闰日中的第三个午夜。亚历山大城位于克拉科夫的东边，经度相差约一小时，因此，克拉科夫的时间实际上约为午夜前一小时。根据上面谈到的计算，秋分点应位于恒星天球上距白羊宫起点176°10′处，这是太阳的视位置，它与高拱点的距离为 （24°30′＋90°）。下面我们仔细讨论这种情况（见图3.22） 。
图3.22
设：绕中心D 画地心所扫描出的圆周ABC 。
令：ADC 为直径，太阳位于直径上的E 点，远日点在A 点，近日点在C 点，B 为秋分时太阳所在的点。
画出直线BD 与BE 。那么，∠DEB 即为太阳与远日点的视距离，值为 。取BD ＝10000 P ，则DE ＝416 P 。
根据平面三角形的定理四，△BDE 的各角均可求得。
∠DBE ＝∠BDA -∠BED ＝2°10′。
又：∠BED ＝114°30′，则∠BDA ＝114°30′＋2°10′＝116°40′。可得太阳在恒星天球上的均匀位置与白羊宫起点的距离为178°20′（176°10′＋2°10′）。
公元1515年9月14日，我在佛罗蒙波克进行了一次对秋分点的观测，该地与克拉科夫的观测地位于同一条子午线上。此次观测是在亚历山大大帝死后第1840年（埃及历）的2月6日日出后半小时进行的。根据前面的分析、计算和观测结果，当时秋分点应位于恒星天球上152°45′处，与高拱点的距离是83°20′。推算如下（见图3.23） 。
图3.23
取∠BEA ＝83°20′。在△BDE 中，有两边已知，即BD ＝10000 P ，DE ＝323 P 。按平面三角形的定理四，∠DBE 约为1°50′。
取360°＝2直角，如果△BDE 有一个外接圆，则∠BED 会截出一段弧，长为166°40′。取直径为20000 P ，则边BD ＝19864 P 。
根据BD 和DE 的已知比值可以确定：DE 长约为640个相同单位。DE 在圆周上的角∠DBE ＝3°40′，但中心角为1°50′（3°40′÷2），即当时的行差（均匀行度与视行度的差值）。
将行差值与∠BED 相加，可得出∠BDA ＝ ＝83°20′＋1°50′＝85°10′，即从远日点算起的均匀行度距离。
因此，太阳在恒星天球上的平位置即为154°35′（152°45′＋1°50′）。
两次观测时间上相差1662个埃及年加上37天、18日分和45日秒。除去1660次完整的运转外，平均和均匀行度约为336°15′。这与我在均匀行度表中记下的数目相符。
3.19 太阳均匀行度的位置与历元的确定
从亚历山大大帝之死到喜帕恰斯的观测，共历经176年362天零 日分。这段时期的平均行度可算出为312°43′。从喜帕恰斯测出的178°20′减去这一数值，再补上一个圆周360°，余量为225°37′［（178°20′＋360°）＝538°20′-312°43′］。这是佛罗蒙波克（克拉科夫和我观测的地点）的子午线相对于埃及历元旦和亚历山大大帝逝世时的纪元所定的位置。从那时起，一直到尤里乌斯·恺撒的罗马纪元开始，共278年 天，去掉整周运转后平均行度是46°27′。把这一数值与亚历山大大帝时的位置相加，即225°37′＋46°27′＝272°4′。这是在元旦前的午夜（罗马年计算法），恺撒时代所处的位置。45年零12天后，即亚历山大大帝死后323年 天（278年 天＋45年12天），272°31′被确定为基督纪元的位置。
基督诞生于第194届奥林匹克会期的第三年（193×4＋3＝775）。从第一届奥林匹克会期的起点到基督诞生年元旦前的午夜，共有775年 天。由此可以确定第一届奥林匹克会期时的位置是96°16′，此时正好是祭月的第一天中午，如今与这一天相当的日期是罗马历7月1日。这样一来，简单太阳行度的历元与恒星天球的关系就变得清楚了。换句话说，我们完全可以利用二分点岁差求出复合行度的位置。
奥林匹克会期的起点与简单位置相应的复合位置是90°59′（96°16′-5°16′）；亚历山大时期起始是226°39′（225°37′＋1°2′）；恺撒时期的起始是276°59′（272°4′＋4°55′）；基督纪元是278°2′（272°31′＋5°32′）。这些位置都已归化到克拉科夫的子午线中。
3.20 拱点漂移对太阳造成了第二种差和双重差
如果对上述论断没有异议，那么，接下来一个更为棘手的问题就是太阳拱点的移动。尽管托勒密认为拱点是固定的，但其他人却更倾向于认为它伴随恒星天球在运转，这与他们所主张的恒星运动学说是一致的。阿耳·查尔卡里认为拱点运动是不均匀的，甚至有时会逆行。他依据了下列事实：
正如前面我们提到的，阿耳·巴塔尼认为远日点在至点前7°43′处。在托勒密之后的740年间，它向前移动了约17°（≈24°30′-7°43′）。此后的193年中，阿耳·查耳卡里算出它又后退了约 （≈12°10′-7°43′）。阿耳·查耳卡里因此认定：周年运动轨道的中心还存在着一种额外的在某小圆周上的运动，即远地点的前后偏转导致了自身从轨道中心到宇宙中心距离的变化。阿耳·查耳卡里的这一设想十分巧妙，但因为这个观点与大多数学者的观点相左，所以没有得到人们的认同。现在，让我们再仔细研究一下这种运动的不同阶段。在托勒密时期之前，我们视其为静止不动。在后来的740年中，它前移了17°；在后来的200年中，它后退了4°或5°；从那以后到现在，它又向前运动。整个这段时期它没有出现另外的运动，也找不到另外的留点 [29] 。这就说明该运动不可能是规则的圆周运动。因此，许多专家认为，阿耳·巴塔尼和阿耳·查尔卡里等天文学家的观测存在某种偏差。但这两人都是熟练和细心的实干家，因此，具体哪一种论述更可靠，现在还很难确定。
