在我看来，确定太阳远地点的位置实在太难了。我们是以一些不完整的、细小的、几乎无法察觉的微量去推算一个巨大的宏量。比如，近地点与远地点一整度的变化引起的行差仅仅是2′左右，而在中间的距离1′处引起的变化却可达到5°～6°。也就是说，一个微小的变化就可以发展成很大的偏差。即便是把远地点取在巨蟹宫内 处，我也不敢完全相信测时仪器，除非我的结果能禁受得起日月食的验证。仪器可能导致的任何误差都会被日月食揭露出来。
因此，就整个运动本身而言，它可能是顺行的，但它不均匀。从喜帕恰斯到托勒密那段停留时间以后，远地点开始连续且有规律地前后运动，直到现在。阿耳·巴塔尼与阿耳·查尔卡里之间显然存在某种“错误”（姑且这么认为），才导致了“例外”的产生，因为其他的部分仍然相符合。太阳的行差会因这种运动不断减少，并且，似乎也呈现出相同的圆周图像，这两种运动的不均匀性都与黄赤交角的非均匀角或与一种相似的不规则性类似。
为了更清楚地说明这种情况，我们在黄道面上画圆周AB ，其中心在C ，直径为ACB ，取太阳为宇宙中心并位于ACB 上的D 处。以C 为中心，画另一个较小的、不含太阳在内的圆周EF （见图3.24） 。
图3.24
令：地心周年运转的中心在这个小圆周上非常缓慢地向前移动。
于是，小圆圈EF 与直线AD 同时前进，而周年运转的中心沿EF 顺行，两种运动都非常缓慢。这样一来，年运动轨道的中心与太阳的距离为DE 时达到最大，在DF 时达到最小，即在E 处较慢，在F 处较快。
在小圆的中间弧段，周年轨道的中心使两个中心的距离时增时减，并使高拱点朝着位于直线ACD 上的拱点或远日点位置交替地前进或后退。
取 。以G 为圆心，画一个与AB 相等的圆周。此时，高拱点位于直线DGK 上，按照欧几里得《几何原本》，距离DG ＜DE 。我们现在就来证明这一点（见图3.25） 。
图3.25
令：AB 为与宇宙和与太阳同心的圆，ACB 为高拱点所在的直径。
以A 为中心，作本轮DE 。再以D 为中心，作小本轮FG ，地球在小本轮FG 上运转。
大小本轮都位于黄道面上。
设：第一本轮为顺行，大约每年运转一周；第二本轮为逆行，同样每年转一周。两个本轮对直线AC 的运转次数相等。地心在逆行离开F 时使D 的运动略有增加。
那么，当地球位于F 点时，太阳的远地点即为极大；当地球位于G 点时，太阳远地点为极小。
在小本轮FG 的中间弧段，地球的位置可使远地点朝平均远地点顺行或逆行，加速或减速，速度变化的程度增加或减少。
因此，太阳运动看起来是不均匀的。
现在，取 ，以I 为中心，绘出本轮。连接CI ，CI 沿直线CIK 延长。由于转动数相等，∠KID ＝∠ACI 。
那么，D 点将以L 为中心，以CL （等于DI ）为偏心距描出一个与同心圆AB 相等的偏心圆；F 也将描出偏心距为CLM （等于IDF ）的偏心圆；G 点将绘出偏心距为IG （等于CN ）的偏心圆。
假设：在这段时间内，地心在自己的本轮上的运动已经越过任意一段 。O 会描出一个偏心圆，其中心不是在直线AC 上，而是在一条与DO 平行的直线上。
如果连接OI 与CP ，则OI ＝CP ，但都小于IF 和CM 。
根据欧几里得《几何原本》，∠DIO ＝∠LCP ，即在直线CP 上的太阳远地点应该走在A 的前面。
用偏心本轮证明也能得到同样的结果。在前面的图形中，只须用小本轮D 以L 为中心描出偏心圆。设地心在前述条件下 [30] 沿弧线 运行。它以P 为中心描出第二个圆，而这一个圆对第一偏心圆来说也是偏心的。
此后还会出现相同的现象。因为如此多的图像都导致相同的结果，我无法断言哪一个是真实的。除非计算与现象永远一致，才能彻底消除人们的疑虑。
3.21 太阳的第二种差的变化有多大
黄赤交角或与之类似的某种状况除了具备第一种差和非均匀角外，还有第二种差。因此，除非受到早期观测者的某种谬误的影响，否则，我们完全能准确地求得它的变化量。我前面已经多次提到：公元1515年的近点角约为165°39′，往前推算可得出其起点约在公元前64年。从那时到现在共1580年。我发现，在近点角起始时，偏心距为极大值，等于417 P （取半径＝10000 P ）。而如今的偏心距为323 P 。我们由此开始证明：
令：AB 是一条直线，B 点为太阳所在的位置，即宇宙的中心。令最大偏心距为AB ，最小偏心距为DB （见图3.26） 。
图3.26
以AD 为直径，作一个小圆。于小圆上取弧 来代表近点角，它过去为165°39′。在近点角的起点A ，求得AB ＝417 P 。在另一边，BC ＝323 P 。
在△ABC 中，AB 与BC 已知。∠CAD 也已知，这是因为从半圆减去弧 （165°39′）可得弧 ＝14°21′。
因此，按平面三角形的定理，剩下的边AC 也可知。远日点的平均行度与非均匀行度之差，即∠ABC 也可知。
由于AC 所对的弧已知，圆ACD 的直径AD 即可求得。
取三角形外接圆的直径为100000 P ，则∠CAD ＝14°21′，可得CB ＝2486 P 。AB ＝3225 P 。AB 所对的∠ACB ＝341°26′。
取360°＝2直角，则剩下的∠CBD ＝360°-（341°26′＋14°21′）＝4°13′。这是AC ＝735 P 时所对的角。
因此，当AB ＝417 P 时，AC ≈95 P 。
∵AC 所对的弧已知，它与直径AD 的比值可知。
∴若ADB ＝417 P ，可得AD ＝96 P 。剩余部分DB ＝ADB -AD ＝417 P -96 P ＝321 P ，这是偏心距的最小限度。
以前在圆周上求得的∠CBD ＝4°13′，而在中心为2°6′。它是从AB 绕中心B 的均匀行度所应减去的行差。
画直线BE 与圆周相切于E 点。取F 为中心，并连接EF 。
在直角△BEF 中，已知边EF ＝ ×96 P （AD ）＝48 P ，BDF =48 P （FD ）＋321 P ＝369 P 。当半径FDB ＝10000 P 时，EF ＝1300 P ，即两倍∠EBF 所对弦的一半。取360°＝4直角，则∠EBF ＝7°28′，这是均匀行度F 与视行度E 之间的最大行差。
因此：可以求得所有其他的个别差值。
设∠AFE ＝6°，边EF 和FB 以及∠EFB 均已知。由此可得行差∠EBF ＝41′。但若∠AFE ＝12°，可得行差∠EBF ＝1°23′；若∠AFE =18°，则行差∠EBF ＝2°3′。
用这一方法对其余情况如此类推。在前面论述周年行差时用的也是这个方法。
3.22 太阳远地点的均匀与非均匀行度
埃及人认为，最大偏心距与非均匀角起点相吻合的时间，是在第178届奥林匹克会期的第三年，即公元前64年（亚历山大大帝死后的第259年）。那时远地点的实际位置和平均位置都在双子宫内 ，也就是距春分点 处。
春分点的实际岁差与平均岁差相符，都为4°38′。
那么， -4°38′＝60°52′，即为从白羊宫起点开始的远地点位置。然而，在公元1515年，即第573届奥林匹克会期的第二年，远地点位置是在巨蟹宫内 处，春分点岁差为 ，第一近点角为165°39′，当时的行差是2°7′，那么，由 ＝69°25′可知，当时太阳远地点的平位置是71°32′（69°25′＋2°7′）。
因此，在1580个均匀埃及年中，远地点的平均和均匀行度就是10°41′（71°32′-60°52′）。这个数再除以年份，便可得到年变率是24″2014'''' 。
3.23 太阳的近点角及其位置
已知年变率是24″2014'''' ，我们再用过去的简单年行度359°44′49″74'''' 减去这个值，得到359°44′24″4650'''' ，即为近点角的年均匀行度。用这个值除以365，可得到日变率为59′8″72'''' ，这与前面简表中记载的数值相符。因此，用这个方法，我们就能得出从第一个奥林匹克会期开始的各个可验证历元的位置。我已多次提到，太阳在第573个奥林匹克会期的第2年9月14日日出后半小时的远地点为71°37′，由此可知当时的平太阳距离为83°3′（154°35′-71°32′）。
第一届奥运会距今已有2290个埃及年281天加46日分。去掉整圈后，这段时间近日点的行度是42°49′。从83°3′中减去42°49′，所得40°14′就是第一个奥林匹克会期时近日点的位置。照这个方法，可求得在亚历山大历元时的位置是166°38′，恺撒时的历元位置是211°11′，基督时的历元位置为211°19′。
3.24 关于太阳均匀行度和视行度变化的列表
上面已经论述了太阳的均匀和视行度的变化。为了使用方便，我用一个60行、6列的表格来显示这些变化。前两栏显示的是在两个半圆 [31] 内年变化的量，与我在前面对二分点行度的行差的做法一样，也以3°为间距列出。第三栏显示的是太阳远地点行度或近点角变化的度数和分数。每间隔3°有一个变化值，该值最大约为 。第四栏是比例分数，最大比例为60。当年近点角行差大于由太阳与宇宙中心最短距离所产生的行度时，比例分数应与第六栏显示的年近点角行差的增加值一起计算。这些行差增加值最大为32′，它的 即为32″。
用这个方法，我可以从偏心距推求增加值的大小，并将这些数值每隔3°给出六十分之几的数目。然后按照太阳与宇宙中心最短距离所求得的个别行差的年变化和第一变化，载入第五栏。第六栏，即最后一栏，给出的是偏心距为极大时所出现的这些行差的增加值（见附表） 。
3.25 视太阳运动量的计算
对于如何使用太阳行差表对任一指定时刻进行太阳视位置的计算，我相信已经不用再重复了。在此我再简要提示一下：首先找到该时刻与第一、简单变异一起在表中的春分点的真位置或岁差，再从均匀行度表中找到地心的平均简单行度（也可称其为太阳的行度）及年变化。
把这些数值与它们已经走过的历元相加。除了《太阳行差表》第一、二栏显示的第一、简单变异数目或一个邻近数目外，你还能在第三栏中找到年变化的相应行差，查出列在旁边的比例分数。如果年变化的值小于半圆或出现在第一栏内，则将行差与年变化相加，或者从年变化值中减去行差。差或和都是经过修正的太阳变化。用它可得出第五栏所显示的年轨道的行差及与之相应的增加值。把这一增加值与最初查出的比例分数结合起来，就能算出轨道行差的总值。这个值就是修正行差。
如果年变化可在第一栏查到，即小于半圆，就应将修正行差从太阳平均位置减掉。与此相反，如果年变化大于半圆，或出现在第二栏内，则应当将修正行差与太阳平均位置相加。这样求得的差或和就是从白羊宫第一星开始太阳运动的真位置。如果修正行差与太阳真位置相加，那么，通过春分点的真岁差就能立即得出太阳相对于一个分点的位置和黄道各宫按黄道度数计量的太阳位置。
当然，如果你打算用另一种方法获取这个结果，那么，简单行度显然不适用，你应该取均匀的复合行度。计算过程一样，但不再使用岁差本身，而是使用春分点岁差的行差，根据具体情况进行加减运算。这种方法需要根据古代和现代的记录，由地球行度参照太阳的运动进行运算。甚至，将来的行度也可以假定为已知。
如果有人认为周年运转的中心即宇宙中心，并且静止不动，而太阳却是以两种相似或相等的行度在运动，那么，一切现象都与前面一样，数目和证明均相同，尤其是对于与太阳有关的现象（除位置外），没有任何变化。因此，地心绕宇宙中心的运动就变得十分规则和简单。
总之，位于宇宙中心的是太阳还是地球，仍然是一个疑问。我在本书开始时已经谈到，宇宙中心是太阳，或位于太阳附近。在论述五大行星时，我将进一步讨论这个问题。如果我对视太阳位置所做的计算是正确的，则一切就会变得明朗。因此，我将继续做进一步的证明。
3.26 不断变化中的自然日
最后，我们还应讨论一下自然日的变化。自然日是一个包含了24个相等小时的周期，利用它可以对天体运动进行普遍且精确的测量。当然，不同的民族对这一日期的定义也不相同：巴比伦人和古希伯来人采用的是两次日出之间的时间，雅典人取的是两次日没之间的时间，罗马人取的是午夜至午夜的时间，而埃及人取的是正午到正午的时间。
显然，在这一周期内，除地球本身旋转一次所需的时间外，还应加上它对太阳视运动周年运转的时间。但是这段附加时间是可变的。由于太阳的视行度在变，自然日与地球绕赤道两极的自转也并不规范，周年运转沿黄道进行，这段视时间不能用于运动的普遍和精确测量。因此，我们需要从这些日子中找出一个可以代表平均和均匀的日子，并可用它精确地测定均匀行度。
全年中，地球以两极为轴，一共做了365次完整的自转，且由于太阳的视运动而使时间加长，因此还须增加大约一次完整的自转。这样，自然日比均匀日多出约自转周的 。那么，我们应当对均匀日运动作出定义，并把它与非均匀的视日区分开来。
赤道的一次完整自转，加上在那段时间内太阳在均匀视行度中经历的一段，可被统称为“均匀日”。而赤道自转的360°加上与太阳视运动一起在地平圈或子午圈上升的一段，叫作“非均匀视日”。虽然二者的差异非常小，几乎无法察觉，但只要把几天合在一起考虑，差值叠加就可以察觉了。
托勒密体系被弃于女神脚下
日心说诞生后，怀疑者甚众，第谷就是其中的一位代表人物——并得到了一部分天文学家的支持。雷乔里的《新至大论》的书封面画为：司天女神正手执天秤衡量第谷体系与哥白尼体系——天秤的倾斜表明第谷体系更重，而托勒密体系则已被委弃于女神脚下。作者以此来支持第谷体系。
造成这种现象的原因主要有两个：一是太阳的非均匀视行度，这一点我在前面已经阐明。托勒密认为，这个差值在中点为高拱点的半圆上，其度数比黄道上少 时度。在包含低拱点的另一个半圆上，却多出 时度。可见，一个半圆比另一个半圆的全部超出量应为 时度。第二个原因与时差有关，二至点时两个半圆之间的差异，即最短日与最长日之间的差值非常大。每一地区各有其特殊情况。而与中午或午夜有关的差值却始终没有超出四个极限。从金牛座内16°处到狮子座内14°处，共跨越子午圈88°，约为93时度。从狮子座内14°到天蝎座内16°，越过子午圈的92°为87时度。这两种情况相差的数值一样，都是5时度（93°-88°＝92°-87°） 。
正因如此，第一时段的日子总计比第二时段多10时度（ 小时）。另一半圆的情况与此相似，但相对的极限正好相反。由于与地平圈有关的不均匀性运动较为复杂，可长达几小时，因此，天文学家并没有取日出或日没作为自然日的起点，而是取的正午或午夜。与此相反，与子午圈有关的不均匀性运动却总是一样，因此较为简单。因为上述两个原因 [32] ，现在，这个差值减少到从宝瓶座内20°左右到天蝎座内10°，增加到从天蝎座内10°延伸至宝瓶座内20°处，差值已经缩小为7°48′时度。
由于近地点和偏心度是可变的，因此，上述现象也会随时间而变化。如果把二分点岁差的最大变化也考虑在内，则自然日的非均匀度可以在几年内超过10时度。但关于日子非均匀性的第三个原因还一直隐而未现。
对于均匀分点来说，已经发现赤道是均匀自转的，但对于并非完全均匀的二分点，情况却并非如此。较长的日子有时甚至会比较短日子超出十时分的两倍，即1小时。但由于太阳的视年行度和其他行星的较慢的行度，这些在过去似乎可以忽视的误差而今已变得十分明显。因为月亮的行度很快，引起的差异已经可以达到 。
我们将以上提及的各种变化联系起来，就可以达到比较均匀时和视非均匀时的目的。选出任何一段时间，该时段的两个极限（开始和停止）可以由太阳复合均匀行度所产生的平春分点求出，并求得太阳的平均位移和距真春分点的真视位移，测定在正午或午夜赤经经过的时度，或者给出从第一真位置到第二真位置的赤经之间的时度。
如果时度刚好就是两个平位置之间的度数，那么已知的视时间等于平时间。如果时度较多，则应把多余量与已知时间相加。相反，如果时度较少，便可从视时间中减去差值。如此一来，我们可以从和或差得到归化为均匀时的时间。
取每一时度为4分钟或 日的10秒。
如果均匀时已知，我们就能求得与之相当的视时间长度。第一届奥林匹克会期已求得，是在雅典历元旦的正午，太阳与平春分点的平均距离为90°59′，与视分点的平均距离在巨蟹宫内0°36′处。
从基督纪元年代以来，太阳的平均行度为山羊宫内8°2′，真行度则在同一宫内8°48′。
因此，在从巨蟹宫内0°36′到山羊宫内8°48′的正球上升起了178时度54′，这比平位置之间的距离超过了1时度51′＝7分钟。其余部分的计算程序也是一样的。
由此可对月球的运动进行非常精确的检验。下一章我们将讨论月球的运动。
[1] 在原稿纸中，哥白尼原本在此处加了两句话：“二分点的移动也可视为恒星在运动。地球自转的轨道和极点在天空中的形状相似，出现的方式也相似。”后来这两句话被删掉了。
[2] 古希腊时期，为了纪念天神宙斯，希腊人每四年在奥林匹亚举行一次运动会。
[3] 即室女座，又叫处女座，是最大的黄道带星座。室女座中的最亮星为角宿一（室女座α星）。在古代星图上，室女的形象为一位长着翅膀的女神，她一手拿着一束麦穗，一手拿着一把镰刀，正在收割。
[4] 图拉真是古代罗马帝国安敦尼王朝的第二任皇帝（公元98—117年在位），为五贤帝中的第二位。
[5] 哥白尼计算时，并没有考虑到蒙气差，现代科学家在此处取值时普遍采用27°2′。
[6] 25°30′＝43051 P ，25°28′＝42788 P ，因此，25°28′＝43010 P 。
[7] OI =HOI -HO =99939 P -70147 P =29792 P 。哥白尼的原稿写的是29892 P ，这一数值后来才被更改过来。
[8] 指阿耳·巴塔尼测定的1204年与哥白尼测定的1849亚历山大年的时间差。
[9] 此处哥白尼省略了这个差额是如何测出的。他的比较星为麦穗星，但他并未引用阿耳·巴塔尼的观测数据。9°11′=551′∶645年=60′对 年=71年。
[10] 1819年：360°＋21°24′=381°24′。381°24′∶1819=360°∶1716.9，哥白尼近似地取为1717年。
[11] 虽然IG 和HK 的极点通常都是在BF 圆之外，但因为倾角的行度往往会产生误差，因此哥白尼将这些角度当作直角来处理。
[12] 为了与黄赤交角的“非均匀角”相区分，哥白尼将此称为“二倍非均匀角”。
[13] 1000∶356=70′∶24.9′。哥白尼近似地取成24′。NO =MN -MBO （=MB ＋BO ）=1°40′-74′（=50′＋24′）=26′。
[14] 1899∶2000=25′56″∶24′2″。哥白尼近似地取成24′。
[15] 部分天文学家称之为“历元”。
[16] 这是对奥林匹克运动的庆贺。
[17] 克劳迪阿斯·托勒密在这一年把他自己观测到的恒星位置编列成表。
[18] 埃及年一年正好等于365天，没有闰年，但每隔四年会比罗马年（365天）少一天。因此，从基督纪元到139年2月24日，正好等于34天（136÷4）。
[19] 它的开幕是在希腊历祭月第一天的正午。
[20] 真行度与平均行度相差的度数和分数。
[21] 2×166°40′=333°20′=5×60°＋33°20′。
[22] 室女的麦穗与白羊宫第一星的距离。
[23] 基督纪元后880个埃及年时，就曾出现过这种情况。
[24] 此处实际应为：158天6小时-153天6小时=4天23小时。
[25] 即：344天（1376年÷4）÷332天 小时=11天23 小时。
[26] 其中心与太阳中心重合，可起到均轮的作用。
[27] 拉丁文称之为“高拱点”。
[28] 拉丁文称之为“低拱点”。
[29] 当运动方向反转时，留点应出现在运动轨道的两端边界处。
[30] 即略微超过周年运转。
[31] 这里指的是从0°至180°的上升半圆和从360°至180°的下降半圆。
[32] 太阳行度的视不均匀性和过子午圈的不均匀性，整个差值可达 时度。
