CHAPTER 4
本章讲的是月球的绕地运动。在前面部分中，哥白尼详细论述了月球运动。他指出，月球不但有自己的轨道，而且运行的速率和位置变化很不均匀——由此提出了“第一种差”和“第二种差”两个概念，并设计出“两个本轮”的图像来解释月球运行的不均匀性。中间部分主要阐释月球视差。哥白尼自制视差仪来测量视差，从结果中得出结论，并随之求出地月距离和月球半径，然后在此基础上算出日、月、地三个天体的相对大小以及一些其他的天文数据。在后面部分中，哥白尼依次论述了日食和月食这两种天象；平合和平冲的时刻确定；真合与真冲的时刻确定；日食、月食的出现与朔望、日月球、黄纬间的关系；最后讨论了食分和食延的问题。
引言
在前一章中，我竭尽所能地阐述了由地球绕太阳运动所产生的现象。现在我将用同样的方法来剖析行星的运动。我首先需要解决的问题是月球的运动。它的必要性在于，我们只有通过昼夜都可见的月亮才能确定和验证行星的位置。
另外，在所有天体中，和地心关系最为密切的就是月球的运转，虽然它的运转十分不规则。因而除了地球的周日自转外，月球其实并不能表明地球在运动。也是由于这个因素，过去人们都确信地球是宇宙和一切运转的中心。而在阐述月球运动时，我认为古天文学家的月球绕地球运行这个理念并非就是有误的，但我仍将提出与古人观念相悖却更加符合实际情况的观点。因这些观点，我可以很有把握地在可能的范围内了解月球的运动，探求月球的奥秘。
4.1 早期的月球圆周假说
月球运动的性质如下：月球不在黄道的中圆上运动，而在自己的圆周上运动。这个圆周与中圆倾斜且相互平分，它跨越中圆并伸入两个半球。太阳周年运行中的回归线与这种现象类似。那么，年对于太阳来说，就如同月对于月亮。有些天文学家称交接处的平均位置为“黄道点”，另一些人则称其为“交点”。“黄道现象”便是太阳和月亮在这些点上所显示的合和冲。这些点上也会出现日食和月食，而两个圆的公共点除此之外并无其他。当月亮向其他位置运行时，这两个发光体并不会遮挡彼此的光芒。同样，它们通过交点时，彼此也不会阻碍。
更具体地说，这个倾斜的太阳圆周以每天移动约3′的规律同属于它的四个基点一起绕地心均匀运行，19年可转一周。我们肉眼看起来，月亮在这个圆周和它的平面上随时都向东移动。而它的行度有时很大有时很小。当月球运行较慢时，它比较高，当月球运行较快时，它距地球较近。而正是因为地月间距离很近，我们察觉它的各种变化比其他任何天体容易。
古人用一个本轮来解释这一现象。当月亮沿本轮上半周运转时，其速率比平均速率小；相反地，当月亮沿本轮下半周运转时，其速率大于平均速率。用本轮求得的结果，也能用偏心圆求得。因为月亮看来具有两重不均匀性，所以古人选用本轮。当它处在本轮的高或低拱点时，看似它与均匀运动无差别。而当它位于本轮和均轮交点周围时，便能觉察它与均匀运动的较复杂的差异。对上弦月和下弦月来讲，差异比满月或新月大很多，而这种变化的出现方式固定且具有规则。因此以前认为本轮在其上面运动的均轮与地球并不同心。
相反地，古人认可的本轮是偏心圆。月亮在本轮上的运动规则如下：当太阳和月亮位于平均的冲和合时，本轮在偏心圆的远地点；而若太阳和月亮相距一个象限即月亮在冲和合之间时，本轮在偏心圆的近地点。我们得出，在相反方向上有两个绕地心的均匀运动。这便是：一个本轮向东运动，偏心圆中心和两个拱点向西运动，它们之间便是太阳平位置的方向线所在。本轮在这种情况下每个月在偏心圆心上运转两次。
为了清晰地了解这种图像，我们可以做如下证明（见图4.1） 。
图4.1
令：圆ABCD 与地球同心，直径AEC 、BED 将其四等分。
再令：E 为地心。日月的平均合点在直线AC 上，且本轮MN 的中心和中心为F 的偏心圆的远地点同时在同一位置。
我们设偏心圆的远地点向西运动，本轮向东，二者有相等的位移量。
用与太阳的平合或对太阳的平冲测量，它们围绕E 作相等的周月运转。再令太阳的平位置线AEC 随时处于它们之间，并令月亮也从本轮的远地点向西运动。
这样的情况下，所有的现象都非常有序。半个月内，本轮离开太阳运转半周，从偏心圆的远地点开始运转一周。那么在这段时间的一半，即大约在半月时，本轮和偏心圆的远地点在直径BD 上相对的两端，偏心圆上的本轮位于近地点G 。
此处距地球较近，其不均匀性变化较大，而我们看同样的物体时，距离越近物体看起来越大。因此，本轮位于A ，其变化最小；而本轮在G 处，其变化最大。本轮直径MN 和线段AE 之比为最小值，而与GE 之比为最大值。而从地心画向偏心圆各点的线段中，最短的是GE ，最长的是AE 或与之相当的DE 。
4.2 月球圆周假说的缺陷
古天文学家以为用这种假设的圆周结合能取得和月球现象一样的结果。但是只要我们认真分析以上假设，便知道它是不合理也不妥当的，我会用推论来证明我的论断。古人认为本轮中心绕地球均匀运动，那么他们也应该认可月球在自己所扫描的偏心圆上进行着不均匀运动。举个例子（见图4.2） ：
图4.2
设：∠AEB ＝∠AED ＝45°，则∠BED 为直角。
我们取G 为本轮中心，连接GF 。外角∠GFD 显然大于同它相对的内角∠GEF 。
由于DAB 是一个象限，而由本轮中心同时扫描出的DG 大于一个象限。
因此，相同时间扫描出来的弧段DAB 和DG 并不相等。
半月时，DAB 、DG 都为半圆。
可知本轮在它的偏心圆上进行着不均匀运动。可是若情况如此，我们该如何处理天体运动实际均匀，但看似不均匀这种说法呢？若本轮看似均匀运动，但实际上它的运动并不均匀，那么它的出现绝对地抵触了已经确定的原则和假设。我们假设本轮对地心的运动均匀，且能够保证其均匀性，那么对于在外面圆圈上并不存在、而在本轮的偏心圆上却出现的本轮运动来讲，又是一种怎样的均匀性呢？
我对月球在本轮上的均匀运动同样感到困惑。古人认为这种运动和地心无关。按理说用本轮中心量度的均匀运动同地心有关，即和直线EGM 有关。但实际上古人是把另外的某一点同月球在本轮上的均匀运动联系起来。该点与偏心圆中点之间便是地球，而直线IGH 是月球在本轮上均匀运动的指示器。这足以体现这种运动的非均匀性，它是部分地由这一假设得出的现象所需的结论。我们可知月球在本轮上也进行着非均匀运动。若现在我们要在真正的不均匀运动的基础上建立视不均匀性，便很容易了解我们的论证的实质。
而感觉和经验告诉我们，月亮的视差不同于各个圆的比值所给出的视差。我们称它为“交换视差”。由于月地间距离很近，再加上地球大得不容忽视，便产生了这种视差。从地球表面描出到月球的直线与月球相交成一个可以测定的角度。于是在两条线上看月亮的出现会有所不同。当人们在弯曲的地面上从侧面看月亮，以及在沿地心方向或直接在月球下方看月亮时，月球的位置各不相同。月地距离决定着视差的改变。天文学家们都认为，若令地球半径为1，月地最大距离便为 。用古人的模型可知，最小距离为33P 33′（此处实际应为 ）。这时的月球几乎离我们近到将近一半的位置上。因此得到的比值就应在最远和最近距离处的视差相差约为1∶2。
但依我的观测，哪怕是月球在本轮的近地点时，上弦和下弦的视差与在日月食时出现的视差相差甚微或没有区别。我会在后面对此进行强有力的论证。其实月球本身最会产生这样的差错，即月球直径有时看起来大一倍，有时却小一半。而圆面积之比和直径平方之比相等，则在距地球最近即方照时 [1] ，我们假设月亮的整个圆面发光，它应比同太阳相冲时大三倍。而方照时月亮仅是一半圆面发光，它发出的光应为满月时的两倍。
虽然情况与此相反，但若有人不局限于用一般的目视观测，而要用一架喜帕恰斯的屈光镜或任何别的仪器观测月球的直径，他便会看到月亮的变化仅有无偏心圆本轮那么大。门涅拉斯和提莫恰里斯通过月亮位置研究行星时，随时都取月球直径为 。在他们看来，月亮总是这么大。
4.3 换一种眼光看月球运动
因此我们可以完全了解，本轮看起来时大时小并非因为偏心圆，而是因为另有一套圆圈。
令：第一本轮和大本轮为AB ，它的中心为C ，地球的中心为D ，由地心画直线DC 到本轮的高拱点A 。
作出另一个以A 为心的小本轮EF 。再令全部图形都在和月亮的偏斜圆周相同的平面上，C 向东运动，A 向西运动。另外，我们让月亮由EF 上部的F 点向东移动，而下面的图像仍然保持不变：当太阳平位置和DC 在一条直线上时，位于E 点的月亮离中心C 总是最近；而在两弦时，在F 点的月亮离C 最远（见图4.3） 。
图4.3
如图，这个模型和月亮的现象吻合。由此可知，月亮每个月在小本轮EF 上运转两次，这期间C 会回到太阳位置一次。
月亮是新月或满月时描出半径为CE 的圆看似最小，而月亮在两弦时描出半径为CF 的圆最大。因此，在前面的位置时，月亮均匀行度和视差行度之差较小，而在后面的位置时这一差值较大。
以上情况下，月亮绕中心C 通过的弧段相似却不等。
第一本轮的中心C 总位于地球的一个同心圆上。则可知月亮的视差变化不是很大且只与本轮有关。这样便能解释月亮的大小看似不变的原因。同月球运动相关的一切其他现象，都正好同观测到的情况一样。
我会用我的假设来论证这种一致性。像我论证太阳现象的那样，若能保持所需的比值，则能用偏心圆再次得到相同的现象。同样，我将从均匀运动说起。因为只有弄清楚均匀运动，才能理清非均匀运动。而前面所说的视差，便是比较困难的问题。
因为存在视差，则月球的位置不能用星盘或其他任何仪器来确定。但实际上，神奇的大自然也成全了人类的愿望，即用月食确定月球的位置，不用怀疑，这比用仪器更加精确。当宇宙的其余部分因充满阳光而格外明亮时，黑暗部分仅是地球的阴影。地影呈锥形，它的结尾是一点。当月球同地影相合时，它便陷入暗黑；而此时的它便处在和太阳相对的位置上。而日食即月球位于日地之间，此时却不能确定月球的精确位置。
对地心而言，太阳与月亮相合时出现日食；但是因为视差的存在，我们看到的日食已经过去或还未发生。因此，不同的国家观测到同一次日食的食分和持续时间都不同，其详情也不同。但月食却不存在这样的情况。世界各地观测到的都一样，这是由于阴影的轴线位于从太阳经过地心的方向上。因而用月食便能非常精确地确定月球的运动。
4.4 月球的运转及其行度
最早的天文学家中，雅典人默冬一直努力要将这个课题的数学知识传承下去。约在第87届奥林匹克会期，即在他精力最为旺盛的时期，他宣称在19个太阳年中有235个月。这个19年的长周期称为默冬的εννεαδεκατεριs。它在雅典和其他一些著名城市中展示，很快被流传下来。直至今日，因为相信它是用一个精确的次序确定月份的起点和终点，并使 天的太阳年与月份能够通约，所以人们依然普遍接受这个数字。它产生了卡利帕斯的76年周期。这个被称为“卡利帕斯章”的周期中有19个闰日。而喜帕恰斯却发现304年中多出了一天，但能用使每个太阳年缩短 天纠正过来。这个包含3760个月的长周期被一些天文学家称为“喜帕恰斯章”。
以上的描述太过简单和粗糙了，但这还是近地点和黄纬周期的问题。于是喜帕恰斯进一步探讨了这些问题。他将巴比伦人流传下来的记录和自己记录下的精确观测的月食进行对比。得出月份与近点角循环同时完成的周期为345埃及年82天1小时。这期间共有4267个月和4573次近点角循环。
在这一时期的日数是126007日1小时，除以月份数等于29日31′50″89'''' 20″。
用这个结果能求得任何时刻的行度。我们用周月运转的360°除以一个月的长度，可得到月亮离开太阳的日行度为12°11′26″4120'''' 18″。此数乘以365，得出年行度是12次运转加129°37′21″2829'''' 。可公约数为4267月与4573次近点角循环，17为其公共因子。将其化为最低项，得到比值为251∶269。
根据欧几里得《几何原本》，由此求得月亮行度和近点角行度的比。近点角的年行度等于将月亮行度乘以269再除以251，等于13整周加上88°43′8″4020'''' ，其日行度为13°3′53″5629'''' 。
因为黄纬的循环不符合于近点角回归的精确时间，所以其有不同的规律。仅在前后两次月食的各方面相等或相似（如同一边的两个阴暗区相等），即食分和食延时间都如此时，才可确定月亮回到了原来的纬度。它在月球与高、低拱点的距离相等的时候出现。这时月球在相同时间内穿过的阴影相等。喜帕恰斯推出5458个月内会发生一次这种情况，这相当于5923次黄纬循环。类似于其他行度，由这一比值便能求得以年和日计量的准确的黄纬行度。
一年内月球的黄纬行度等于月亮离开太阳的行度乘以5923月再除以5458，等于13圈加148°42′46″493'''' ，则日行度为13°13′45″3940'''' 。在喜帕恰斯之前，没有人用这个方法精确地推算出月球的均匀行度。尽管这样，在以后的几个世纪中也发现算出的结果并非完全正确。托勒密求出的离开太阳的行度和喜帕恰斯的相同。但他求出的近点角年行度比喜帕恰斯少1′11″39，而纬度年行度大了5341'''' 。
我经过长时间的观察发现，喜帕恰斯的平均年行度低了1″249'''' ，他的近点角数值少了2449'''' ，其纬度行度高了1″142'''' 。于是，我得出月球和地球的年平均行度相差129°37′22″3240'''' ，近点角行度相差88°43′9″59'''' ，黄纬行度相差148°42′45″1721'''' （见附表） 。
4.5 朔望时月球的第一种行差
我尽最大努力阐明月球的均匀运动，接下来我将用一个本轮来探讨月球非均匀性的理论。首先来谈它和太阳的合与冲时出现的非均匀性。古人用非常精妙的方法，即用每组3次的月食来研究这个差。我会采用他们创立的方法，将托勒密所仔细观测的3次月食和另外3次同样精确的观测进行对比；这样便可检验以上论述的均匀运动是否正确。而在这样短的时间甚至10年内，二分点的不均匀岁差引起的不规则性都不能被觉察。因而我会像古天文学家那样，将太阳和月亮离开春分点的平均行度取为均匀的。
在《天文学大成》中，托勒密观测的第一次月食在哈德里安皇帝执政第17年（埃及历）10月20日结束之后发生，这是在公元133年5月6日，即5月7日的前一天。当时的月食为全食。亚历山大城的午夜之前 均匀小时为它的食甚 [2] 时刻。但在佛罗蒙波克或克拉科夫，它应该在5月7日前的午夜之前的 小时。这时太阳位于金牛宫内 ，按其平均行度则在金牛宫内12°21′。
托勒密记录的第二次月食在哈德里安第19年（埃及历）4月2日结束之后，即公元134年10月20日出现。阴影区从北面起扩展到月球直径的 。在亚历山大，食甚出现在午夜前1均匀小时；在克拉科夫却是2小时。这时太阳位于天秤宫内 ，按照平均行度则是在该宫内26°43′。
第三次月食在哈德里安20年（埃及历）8月19日结束之后出现，也就是公元136年3月6日结束后。月亮的阴影再次从北边扩展到直径的一半。在亚历山大，食甚出现在3月7日前午夜之后4个均匀小时，而在克拉科夫为3小时。此时太阳在双鱼宫的14°5′，按平均行度则是在双鱼宫的11°44′。
在第一次到第二次月食期间，月亮移动了和太阳视行度相同的距离，即161°55′（整周已除外）；第二到第三次月食之间为138°55′。按视行度计算，前者为1年166日 均匀小时，改正后为 小时。后者是1年137日5小时，改正后为 小时。在第一段时间中太阳和月亮的联合均匀行度去掉整圈后是169°37′，月球的近地点行度是110°21′。与此相似，第二时段中太阳和月亮联合行度为137°34′，月球的近地点行度为81°36′。我们可知第一段时间中，本轮的110°21′从月球平均行度减去7°42′；而第二时段内本轮的81°36′，在月球平均行度上加上1°21′。
我们既然已经确定这一情况，便画ABC 为月球的本轮（见图4.4） 。
图4.4
令：A 点出现第一次月食，B 点为第二次，最后一次出现在C 点。
月亮的行度取在同一方向，即在本轮上部为向西。令 ＝110°21′。
上面提到，它从月球在黄道上的平均行度中减去7°42′。
再令 为81°36′，它给月球在黄道上的平均行度加上1°21′。余下的圆周 ＝360°-（110°21′＋81°36′）＝168°3′，它使行差的余量6°21′增大7°42′（1°21′＋6°21′） 。
BC 和CA 为附加的，且短于半圆的弧，则本轮的高拱点应在AB 上。
又令：本轮绕地球中心D 作均匀运动。
由D 向月食点绘出DA 、DB 、DC 。连接BC 、BE 、CE 。
取180°＝2直角， 在黄道上所对角∠ADB 为7°42′，但在360°＝2直角时为15°24′（2×7°42′） 。
用相同分度，△BDE 的外角∠AEB ＝110°21′。则∠EBD ＝110°21′-15°24′＝94°57′。已知三角形的各角可求得各边。
取三角形外接圆的直径为200000P ，则DE ＝147396P ，而BE ＝26798P 。取180°＝2直角时，弧 在黄道上所对角∠EDC ＝6°21′，取360°＝2直角时它为12°42′。
用相同分度可知∠AEC ＝110°21′＋81°36′＝191°57′。∠AEC 为△CDE 的外角，减去∠D 后，便求得用同样分度表示的第三角∠ECD ＝191°57′-12°42′＝179°15′。
因此，在外接圆直径为200000P 时，求得边DE ＝199996P ，CE ＝22120P 。
根据DE ＝147396P ，BE ＝26798P ，相应地，CE ＝16302P 。
则△BEC 中，BE 与EC 两边再次已知，∠E ＝ ＝81°36′。可求得第三边BC ＝17960P 。
当本轮直径为200000P 时，与81°36′的弧相对的弦BC ＝130684P 。成已知比率的ED ＝1072684P ，CE ＝118637P ，而 ＝72°46′10″。
但如图， ＝168°3′。则余量 ＝168°3′-72°46′10″＝95°16′50″，该弧所对的弦为147786P 。用相同单位表示，整个直线AED ＝147786P ＋1072684P ＝1220470P ，但因 比半圆小，所以本轮中心不在 内，而在其余弧段 内（见图4.5） 。
图4.5
再令：K 为本轮中心。
画DMKL 通过两个拱点。其高拱点为L ，低拱点为M 。根据欧几里得《几何原本》，矩形AD ×DE ＝矩形LD ×DM 。但直径LM 的中点为K ，DM 为延长的直线。
因此，矩形LD ×DM ＋KM 2 ＝DK 2 。
当我们取LK ＝100000P 时，可得DK ＝1148556P 。以DKL ＝100000P 表示，本轮的半径LK ＝8706P 。
完成以上步骤之后，我们画KNO ⊥AD 。
用LK ＝100000P 标识KD 、DE 、EA 。相同单位下，NE ＝ AE （147786P ）＝73893P 。则有直线DEN ＝DE ＋EN ＝1072684P ＋73893P ＝1146577P 。
在△DKN 中，已知DK 和ND ，∠N 为直角，可求得中心角∠NKD ＝86°38 ′＝ 。半圆的余下弧 ＝180°-86°38 ′＝93°21 ′， ＝ ＝ ×95°16′50″＝47°38 ′， ＝93°21 ′-47°38 ′＝45°43′。
LA 是在第一次月食时月球的近点角，即它与本轮高拱点的距离。而AB ＝110°21′。
因此，第二次月食的近点角LB ＝110°21′-45°43′＝64°38′。在第三次月食出现处， ＝64°38′＋81°36′＝146°14′。
取360°＝4直角，则∠DKN ＝86°38′。直角减去∠DKN ，余角∠KDN ＝3°22′。它是在第一次月食中由近点角增加的行差。∠ADB （7°42′）减去∠KON ，余角∠LDB ＝4°20′。这是在第二次月食时 从月球均匀行度中减去的量。∠BDC ＝1°21′，余角∠CDM ＝2°59′，即是在第三次月食时 所减掉的行差。
因此，在第一次月食时因为月球的视位置是在天蝎宫中13°15′，所以它的平位置即中心K 在天蝎宫内9°53′（13°15′-3°22′） 。它与太阳在金牛宫里的位置刚好相对。
用相同方法求得在第二次月食时月球平位置为白羊宫内 （天秤宫 ＋180°＋4°20′），而第三次月食时在室女宫中17°4′（双鱼宫14°5′＋180°＋2°59′）。第一次月食时月球与太阳的均匀距离为177°33′，第二次是182°47′，第三次是185°20′。以上是托勒密的推算过程。
我将模仿他研究第二组的三次月食。我也对这些月食进行了认真的观测。
第一次月食在公元1511年10月6日末出现。月亮在午夜前 均匀小时开始被掩食，它在午夜后 小时复圆。食甚出现在10月7日前的午夜之后的 小时。这次月全食中，太阳处于天秤宫内22°25′，但按其均匀行度为天秤宫中24°13′。
第二次月食发生在公元1522年9月5日末。同样是一次月全食。它于午夜前 均匀小时开始，其食甚在9月6日前面的午夜之后 小时。太阳在室女宫内 ，但按其均匀行度位于室女宫中23°59′处。
第三次月食在公元1523年8月25日末出现。它于午夜后 小时开始，也是全食，食甚在8月26日之前午夜之后 小时。这时太阳在室女宫中11°21′，但按平均行度为室女宫内13°2′处。
于是，在第一次和第二次月食间日月真位置移动了329°47′（天秤座7°35′＋整个十宫300°＋室女座22°12′），而在第二、三次月食间为349°9′（7°48′＋330°＋11°21′） 。从第一次到第二次月食历时10均匀年337日，按视时间需加 小时，但按改正均匀时间为 小时。由第二次至第三次月食历时354日3小时5分钟，但按均匀时应加3小时9分钟。在第一段时间中，去掉整圈后的日月联合平均行度是334°47′，而月球近点角行度为250°36′，从均匀行度中约减去5°（334°47′-329°47′） 。在第二时段中，日月联合平均行度为346°10′，而月球近点角行度为306°43′，对平均行度应增加2°59′（349°9′-346°10′） 。
我们令本轮为ABC ，第一次月食食甚出现在A ，第二次在B ，第三次在C 。本轮应是从C 到B ，再从B 到A 运转；即它的上半圈向西运动，而下半圈向东。
令： 为250°36′。前面已经提到在第一时段它从月球的平均行度减去5°。假设 为306°43′，它使月球平均行度增加2°59′。则余下 ＝197°19′，减去余下的2°1′。因 比半圆大且是应减去的，则高拱点包含其中。这不会是 或 ，因它们都比半圆小且应增加，而最慢的运动在远地点附近出现（见图4.6） 。
图4.6
证明：我们在它相对处取地球中心为D ，连接AD 、DB 、DEC 、AB 、AE 和EB 。
在三角形DBE 中，已知从圆周减掉 后为外角∠CEB ＝ ＝53°17′。在中心的角∠BDE ＝2°59′，而在圆周上为5°58′。
则，剩下的角∠EBD ＝53°17′-5°58′＝47°19′。
若取三角形外接圆的半径为10000P ，则边BE ＝1042P ，边DE ＝8024P 。进而求得∠AEC ＝197°19′，因它截出 。∠ADC 在中心为2°1′，则在圆周上∠ADC ＝4°2′。
因此，取360°＝2直角时，△ADE 中余下角∠DAE ＝193°17′。于是便能求得各边。
令△ADE 的外接圆半径为10000P ，AE ＝702P ，DE ＝19865P 。
若DE ＝8024P ，EB ＝1042P ，则AE ＝283P 。
同理，在△ABE 中，AE 和EB 已知。取360°＝2直角时，∠AEB ＝250°36′。
由平面三角定理可知，取EB ＝1042P ，则AB ＝1227P ，可求得AB 、EB 及ED 这三个线段的比值。
若我们以本轮半径＝10000P ，并已知 所对弦长为16323P ，则由上可得ED ＝106751P ，EB ＝13853P 。还可知 ＝87°41′。
（53°17′） ＝140°58′。 所对弦CE 为18851P ，则CED ＝125602P （ED ＋CE ＝106751P ＋18851P ） 。
接下来讨论本轮中心。因EAC 比半圆大，本轮中心则落在该弧段内（见图4.7） 。
图4.7
令：F 为中心，I 是低拱点，G 是高拱点，画直线DIFG 过两个拱点。
可得，矩形CD ×DE ＝矩形GD ×DI ，矩形GD ×DI ＋FI 2 ＝DF 2 。我们取FG ＝10000P ，则DIF ＝116226P 。再取DF ＝100000P ，则FG ＝8604P 。它同我知道的自托勒密以来在我之前的大多数其他天文学家所报告的结果相符。
从中心F 作FL 与EC 垂直，延长FL 为FLM ，并于L 点将CE 等分。
当ED ＝106751P ，CL ＝LE ＝9426P 。我们取FG ＝10000P ，DF ＝116226P ，则DEL ＝116177P 。
在△DFL 中，已知DF 、DL 。还知道∠DFL ＝88°21′，余下角∠FDL ＝1°39′。同样我们可得： ＝88°21′。 （140°58′） ＝70°29′。 ＝88°21′＋70°29′＝158°50′。半圆剩余的GC ＝180°-158°50′＝21°10′。
这是第三次月食时月球到本轮远地点的距离或近点角的数量。
在第二次月食中， ＝21°10′＋53°17′＝74°27′。
在第一次月食中，整个 ＝74°27′＋109°24′＝183°51′。在第三次月食时相减行差即中心角∠IDE ＝∠GDC ＝1°39′。在第二次月食时，相减行差为角∠IDB ＝4°38′，所含∠GDC ＝1°39′、∠CDB ＝2°59′。
则，∠ADB ＝5°-∠IDB ＝22′。
在第一次月食时它被加到均匀行度中。于是第一次月食时，月球的均匀位置在白羊宫中22°3′，但它的视位置是22°25′。这时太阳在天秤宫（即相对的黄道宫）内，且度数相同。
由此我们可知：在第二次月食时月球的平位置是在双鱼宫中26°50′，第三次月食时处在双鱼宫内13°。月球的平行度可与地球的年行度区分开。在这三次月食时，月球的平行度分别为177°51′、182°51′和179°58′。
4.6 关于月球近地点均匀行度的验证
对月食谈到的内容也可用来检验以上关于月球均匀行度的论述的正确性。我们在第一组月食中已求得，在第二次月食时，月球和太阳的距离是182°47′，近点角是64°38′。而我们所观测的这组月食中，在第二次月食时月球离开太阳的行度为182°51′，近点角为74°27′。可见中间这段时间共有17166个月加上大约4分钟，而消除整周后近点角的行度为74°27′-64°38′＝9°49′。
从哈德里安19年（埃及历）4月2日，在4月3日前面的午夜之前2小时，到公元1522年9月5日上午1：20，历时1388个埃及年302日，加上视时间 小时，即均匀时3小时34分。这段时期内除17165个均匀月的完整运转外，喜帕恰斯和托勒密都认为还有359°38′。另外喜帕恰斯认为近点角为9°39′，而托勒密认为是9°11′。他们都认为月球行度缺少26′（360°4′-359°38′） ；同时，托勒密的结果中近点角少了38′（9°49′-9°11′） ，而喜帕恰斯的结果中则少10′（9°49′-9°39′） 。将这些差额补上所得到的结果便同上述的计算吻合。
4.7 月球黄经和近地点的历元
跟前面一样，我需测定下列纪元已确定的开端的月球黄经合近点角的位置：奥林匹克会期、亚历山大大帝、恺撒大帝、基督以及所需的任何其他纪元。对三个古代的月食，我先讨论第二个。它在哈德里安19年（埃及历）4月2日发生，在亚历山大城是在午夜前一个均匀小时，而对我们所在的克拉科夫经度则是午夜前2小时。
从基督纪元开始到这一时刻，共历时133埃及年325日，再加约22小时，其精确数为21小时37分钟。用我的计算结果，这段时间中月球的行度是332°49′，近点角行度为217°32′。在月食时求得的相应数字分别减去以上两个数字，月球与太阳的平距离余数为209°58′，而近点角余数为207°7′。它们都属于基督纪元开始时1月1日前的午夜。
而这个基督历元之前，有193个奥林匹克会期又2年194日，即775埃及年 日，其准确时间是12小时11分钟。相似地，从亚历山大大帝之死到基督诞生，历时323埃及年130日外加视时间 日，其准确时间为12小时16分钟。由恺撒到基督历时45埃及年和12日，此段时间内的均匀时与视时的计算结果吻合。
与这些时间间隔相应的行度，我们可按各自的类型用公元纪年的位置减去。对第一届奥林匹克会期祭月1日正午，可求得月亮和太阳的平均距离是39°48′，近点角为46°20′；对亚历山大纪元1月1日中午，月球与太阳的距离是310°44′，近点角为85°41′；对尤里乌斯·恺撒纪元1月1日前的午夜，月亮离太阳的距离为350°39′，而近点角为17°58′。
以上数值都已归化到克拉科夫的经度线。而我的观测主要都是在吉诺波里斯（现在的佛罗蒙波克） 进行的。它位于维斯杜拉河口，在克拉科夫的经度线上。我从这两地同时进行的日月食观测中了解到了这种情况。马其顿的戴尔哈恰姆（古代名为埃皮丹纳斯） 也都位于这条经度线上。
4.8 月球的第二种差及其两个本轮的比值
我已在前面的章节阐释了月球的平均行度和第一种差。我现在将探究第一本轮和第二本轮的比值及二者和地心的距离。我提过在高、低拱点之间即两弦点上出现月球的平行度和视行度，此时的上弦或下弦月为半月。托勒密在《天文学大成》中表示，这个差可达7°。古天文学家们测定了半圆最接近本轮平距离的时刻。由以上计算内容可知，这在从地心所画切线附近出现。此时月亮与出或没处相距约黄道90°，他们避免了因视差而产生的黄经行度误差。而此时，黄道与通过地平圈的天顶的圆正交，这不会引起黄经变化，其变化都出现在黄纬上。因而他们用星盘来测定月球与太阳的距离。而比较之后发现，月亮偏离平均行度的变化正是我所说的 ，并非5°（见图4.8） 。
图4.8
我们以C 为圆心画出本轮AB 。画直线DBCA 过地心D 。令本轮上A 为远地点，B 为近地点。画出本轮的切线DE ，连接CE 。行差在切线上最大。此种情况下，我们令：∠BDE ＝7°40′。圆AB 切点处的∠CED 为直角。令半径CD 为10000P 时，CE 为1334P 。而这个距离在朔望时要小得多，约861个相同单位。我们把CE 分开，令CF 为860P 。F 绕同一中心C 描出新月和满月所在的圆圈。则有第二本轮的直径，为余量FE ＝474P （1344P -860P ） 。FE 于中点G 处等分。第二本轮中心所描出的圆的直径为线段CFG ＝CF ＋FG ＝1097P 。若以CD ＝10000P ，CG ∶GE ＝1097P ∶237P 。
4.9 月球离开第一本轮高拱点时非均匀运动的余量变化
由上我们还可知月球在第一本轮上如何做不均匀运动，其最大不等量在月亮为新月或凸月以及半月时出现（见图4.9） 。
图4.9
令：由第二本轮中心的平均运动所描出的第一本轮为AB ，其中心为C ，A 为高拱点，而B 为低拱点。
取圆周上任一点E ，连接CE 。令CE ∶EF ＝1097P ∶237P 。
以E 为圆心、EF 为半径作出第二本轮。在两边画它的切线CL 与CM 。我们令小本轮由A 向E 运动，即在第一本轮的上半部向西移动。令月球从F 向L 朝西运行。AE 运动是均匀的，第二本轮通过FL 的运动使均匀运动增加了 ，而它通过MF 时则减去 。
在△CEL 中，∠L ＝90。当CE ＝1097P 时，EL ＝237P 。
令CE ＝10000P 时，EL ＝2160P 。△ECL 与△ECM 相似且相等。
则按表，EL 所对的∠ECL ＝∠MCF 为12°28′。它出现在月球平行度偏离地球平行度线两边各38°46′时，是月球偏离第一本轮高拱点的最大差。
因此，当月亮与太阳的平距离为38°46′，且月亮在平冲任一边相同距离处时，便会十分明显地发生最大的行差。
4.10 如何利用均匀行度推求月球的视行度
处理好以上课题之后，我打算用图形来表示月球的均匀行度如何产生和已经给定的均匀行度相等的视行度的过程。用喜帕恰斯在观测中的一个例子便能证实，理论是经得起实践考验的。
喜帕恰斯在亚历山大死后第197年（埃及历）10月17日白昼 时，于罗德岛用一个星盘观测到太阳和月亮，月亮在太阳之后，它们相距 [3] 。而太阳的位置位于巨蟹宫内 ，则月亮在狮子宫内29°。此时天蝎宫中29°刚好升起，对罗德岛来说室女宫内10°正在中天，在该地看北天极的高度是36°。
由上可知，当时在黄道上距地平约90°的月球，在经度上没有视差或无法察觉其视差。这次观测是在17日下午，于 时，即罗德岛的4均匀小时进行的。因为罗德岛离我们比亚历山大城近 小时，在克拉科夫则为 均匀小时。自亚历山大逝世共196年286日，加上 小时，约为 相等小时。
此时，太阳的平均行度为巨蟹宫内12°3′，而其视行度为巨蟹宫中10°40′处。可知月亮实际上在狮子宫内28°37′。我计算的结果为当时月球在周月运转中的均匀行度为45°5′，它离高拱点的近点角为333°。
下面我将举个例子（见图4.10） ：
图4.10
以C 为圆心画第一本轮AB 。将直径ACB 延长为ABD ，直至地球中心。在本轮上取 ＝333°。连接CE ，并在F 点把它分开。
令：EC ＝1097P ，则EF ＝237P 。
我们以E 为心，EF 为半径，作本轮上的小本轮FG 。令月球在G 点，而 ＝离开太阳均匀行度（45°5′） 的两倍（90°10′） 。连接CG 、EG 、DG 。
在△CEG 中，已知CE ＝1097P ，EG ＝EF ＝237P ，∠GEC ＝90°10′。
则求得余边CG ＝1123P ，∠ECG ＝12°11′。同时求出 及近点角的相加行差，即 ＝333°＋12°11′＝345°11′。余下∠GCA 为月球与本轮AB 的高拱点之间的真距离。
