∠GCA ＝360°-345°11′＝14°49′，则∠BCG ＝180°-14°49′＝165°11′。
同理，△GDC 中两边已知，我们取CD ＝10000P 时，GC ＝1123P ，还知∠GCD ＝165°11′。由上求得∠CDG ＝1°29′及与月球平均行度相加的行差。得到月球离太阳平均行度的真距离为46°34（45°5′＋1°29′） 。
月球的视位置在狮子宫内28°37′处，与太阳的真位置相差47°57′，这一差值比喜帕恰斯观测结果小9′（48°6′-47°57′） 。
但请不要妄下论断，认为不是他的结果错误就是我的计算有误。尽管存在差异，但我在下面会论证我们两个都是正确的，这是事实。需记住，月球运转的圆周是倾斜的。它在黄道上，尤其在南、北两个极限及两个交点的中点附近，产生了某种黄经的不等量。这类似于《天文学大成》中谈到自然日的非均匀性时阐述过的黄赤交角。
托勒密肯定月球轨道倾斜于黄道。若我们也认为月球轨道存在上述关系，就会知道在那些位置上，这些关系在黄道上引起的经度差为7′，在加倍时为14′。它可以是增加量或减少量，二者情况相似。若黄纬的北限或南限位于太阳与月亮的中点，可知它们相距一个象限时，在黄道上截出的弧段比月球轨道上的一个象限大14′。相反地，另一象限上交点为中点，通过黄道两极的圆圈截出的弧段比一个象限少14′。
目前就是这种情况。月球位于南限和它与黄道的升交点（即现代人所称的“天龙之头”） 之间的中点附近。而太阳已经通过降交点，即被当代人称为“天龙之尾”处。因此，若在倾斜圆圈上的47°57′的月球距离对黄道来说至少增加了7′，另外临没的太阳也引起某种相减的视差，这是不足为奇的。在讨论视差时，我会更为细致地讨论这些问题。喜帕恰斯用仪器测出的日、月两个发光体之间的距离为48°6′，和我现在的计算结果十分相近，它和过去也完全吻合。
4.11 关于月球行差或归一化的表格
我用下面的例子来阐明月球行度的计算方法。
在△CEG 中，边GE 、CE 总是不变，而∠GEC 已知且经常变化（见图4.11） 。
图4.11
由此，我们可求得余下边GC 和∠ECG 的值。
∠ECG 是令近点角归一化的行差，当确定△CDG 的DC 、CG 边及∠DCE 的大小，便能用相同方法求得位于地心的∠D 。
∠D 是均匀行度和真行度的差。我在下面编出一个《月球行差表》（见此处 ） 以便于查找。前两栏是均轮的公共数，第三栏为小本轮每月两次自转产生的行差，它使第一近点角的均匀性发生改变。第四栏暂时空着，以便以后填入数字。我会详谈第五栏。它载入在日和月平合与冲时第一本轮（也为较大本轮）的行差。其中最大值是4°56′。倒数第二栏载入在半月时出现的行差超过第四栏中行差的数值。其中最大值为2°44′（7°40′-4°56′） 。为了求得其他超过数值，我用下列比值算出了比例分数。
我取最大的超过数值2°44′为60′，由此求得在小本轮与从地心所画直线的切点上出现的任何其他余数。
同托勒密在《天文学大成》中列举的例子一样。
令：CD ＝10000P ，已经求得线段CG ＝1123P 。它使在小本轮切点的最大行差为6°29′，超过第一极大1°33′（6°29′-4°56′） 。但2°44′∶1°33′＝60′∶34′。我们便得出此时小本轮在半圆处出现的余数和由给定的90°10′弧段所引起的余数之比。因此我在表中与90°相对处写下34′。
用相同方法可求得表中所载同一圆上的每一弧段的比例分数。我将这些数字写在第四栏中。而在最末一栏中我加上南、北黄纬度数，并将在后面进行讨论。我认为这样的安排是合理的，它使计算程序既方便又包含实际使用情况（见附表） 。
4.12 如何计算月球行度
由上可知月球行度的计算方法，具体如下。
跟《天文学大成》中对太阳的做法一样，我们先把对求月球位置所提出的时刻化为均匀时。由均匀时可得出月球黄经、近点角及黄纬的平均行度。接下来我会阐释《天文学大成》中相应的内容，以及怎样从基督纪元或任何其他历元求出月球的纬度。
我们需确定特定时刻中每种行度的位置。于是在表中应查出月亮的均匀距角，即它与太阳距离的两倍。然后，把第三栏的近似行差和相应的比例分数记下来。我们开始所用数字在第一栏，即小于180°，此时应将行差和月球近点角相加，其和若大于180°，应在第二栏，从近点角减去行差。从而求得月球的归一化近点角及同第一本轮高拱点的真距离。用这些数值再次查表，从第五栏得出相应的行差及第六栏的余量。此为第二本轮对第一本轮增加的余量。它的比例部分由求得的分数和60弧分的比值算出，且总是与该行差相加。若归一化的近点角比180°（即半圆）小，应用经纬度的平均行度减去由此求得的和；若近点角比180°大，则应与之相加。这样便能求得月球与太阳平位置之间的真距离及月球纬度的归一化行度。
黄赤交角的来历
希腊天文学家认为，天体由黄道、角度、真位置周年组成，中国天文学家则认为，天体是由赤道、时间、平均位置周年组成。双方均不能说服对方。随着中西天文学的交流，黄赤交角已成为一个普遍说法。
因此，无论是从白羊宫第一星通过太阳的简单行度算起，还是由受岁差影响的春分点通过太阳的复合行度算起，月球的真距离都没有误差。最后，利用表中最后一栏的黄纬的归一化行度，求得月球偏离黄道的黄纬数。在表中第一部分能找到经度行度，即在它小于90°或大于270°时，这个黄纬为北纬。反之则为南纬。因而，月球会从北面下降到180°，然后从它的南限上升，直至它经历完轨道上的其余分度。可以认为月亮绕地心的视运动同地心绕太阳的运动具有同样多的特征。
4.13 如何分析和论证月球的黄纬行度
我将要描述的月球的纬度，因受更多的限制而更难被发现。跟前面我提到的一样，我们假设两次月食的各方面相似或相等，即北面或南面的黑暗区位置相等，月亮处于同一个升交点或降交点周围，且它们同地球或高拱点的距离相等。若两次月食真实情况如此，则月球在真运动中走完了整个纬度圈。而地球的影子为圆锥形。
若一个和圆锥底面平行的平面切开直立圆锥，则截面也为圆形。当圆离底面越近，圆周越大，反之，则越小，在和地球距离相等处，圆周相等。因此，在距离相等处，月亮通过阴影相等的圆周，我们便看到相同的月面。于是我们知道，当月球在同一边和阴影中心相等距离处出现相等部分时，月球纬度相等。由此我们便知道月球已经回到原来的纬度位置，特别是在两个位置吻合时，月球在前后两个时刻与同一交点的距离相等。月球或地球的远近会改变阴影的大小，但其变化几乎无法觉察。因而，跟前面论述太阳时一样，两次月食间历时越久，我们越能精确地算出月球的黄纬行度。但这些方面都吻合的两次月食非常罕见，以至于我至今还未见过。
但我知道，这还能用另外的方法做到。我们假设其他条件均不变，月亮可被掩食于相反的两边和相对的交点附近。于是可知，月球在第二次掩食的位置同第一次相对，且除整圈外它多走了半个圆周。这便能完成这一问题的研究。我找到了两次刚好有这种现象的月食。
在托勒密《天文学大成》中，第一次月食在托勒密·费洛米特尔7年 [4] （埃及历）7月27日之后和28日之前的夜晚发生。而就亚历山大城夜晚季节时来讲，月食从8点初开始，到10点末结束。它在降交点附近发生，在食分最大时，从北面算起掩掉月亮直径的 。因太阳位于金牛宫内6°，按托勒密的观测结果，食甚发生在午夜之后2季节时即均匀时 点钟。在克拉科夫应为均匀时 点钟。
拉普拉斯
拉普拉斯是法国著名数学家和天文学家，有“法国的牛顿”之称。他提出了太阳系的星云起源理论，其著作《天体力学》集各家之大成，为18世纪牛顿学派的总汇，书中第一次提出“天体力学”的学科名称。该书是经典天体力学的代表作。他的另一著作《宇宙体系论》解决了月球的长期加速度和大行星摄动这两大难题。
第二次月食在克拉科夫相同的经度线上于公元1509年6月2日发生。此时太阳位于双子宫内21°处。食甚在那天午后均匀时 点钟发生。月面南部约占直径的 被食掉。月食在升交点附近出现。
从亚历山大纪元到第一次月食共有149埃及年206日，在亚历山大城再加 小时。而在克拉科夫为地方时 小时，其均匀时为13小时。而我的计算结果为：当时近点角的均匀位置是163°33′，它与托勒密的结果（163°40′） 几乎没有差别。此外我还得出行差是1°23′，月球的真位置比其均匀位置少1°23′。从亚历山大纪元到第二次月食历时1832埃及年295日，加上视时间11小时45分，即均匀时间11小时55分。因此我得到月球的均匀行度为182°18′；近点角位置是159°55′，归一化得161°13′；均匀行度小于视行度的差值（即行差）为1°44′。
两次月食中，月球显然在同地球距离相等处，而太阳处于远地点周围，掩食区域有一个食分之差。我在前面阐述过，月亮的直径约为 。一个食分是直径的 ，而这在两个交点附近的月球倾斜圆圈上大约为 。月球在第二次食时离开升交点，比在第一次食时离开降交点远 。求得除去整圈外月球的纬度真行度是 。而两次月食之间，月球的近点角令均匀行度增加21′，即两个行差之差（1°44′-1°23′） 。进而求得除整圈外月球的黄纬均匀行度为179°51′（179°30′＋21′） 。两次月食相隔1683年88日，再加视时间22小时25分（同均匀时间一致）。这段时间内，完成22577次均匀运转外加179°51′，这符合前面提到的数值。
4.14 月球黄纬近点角的位置
我将选取两次月食，对前面采用的历元确定这个行度的位置。它们不在同一交点上出现，也不像《天文学大成》中的例子一样处于相反区域，而是处于在北面或南面的相同区域。用托勒密在《天文学大成》中的做法，他观测到的月食可以让我们毫无误差地解决问题。
在探求月球的其他行度时，我也用到《天文学大成》中的第一次月食。它是前面提到的托勒密所观测到的月食。它出现在哈德里安19年（埃及历）4月2日末，在亚历山大城为3日前午夜之前均匀时1小时。在克拉科夫应为午夜前2小时。在北面食掉直径的 ＝10食分，此时太阳位于天秤宫内25°10′。月球近点角的位置是64°38′，其相减行差等于4°21′。月食在降交点附近发生。
在罗马，我认真观测了发生于公元1500年11月6日这一天开始时的午夜后2小时的第二次月食。它在东面5°的克拉科夫，此时当地为午夜之后 小时。太阳处于天蝎宫内23°16′。北面10个食分和前面一样被掩食。从亚历山大死后共1824埃及年84日，加上视时间14小时20分，其均匀时是14小时16分。月球的平均行度为174°14′；月球近点角为294°44′，归一化后为291°35′。相加行差为4°28′。
由上可知，两次月食时太阳都处于其中拱点附近，阴影范围为10食分，且两次月食时月球和高拱点的距离几乎相等。于是得出月球在南纬，因黄纬相等，则月球与交点的距离相等。在前一次月食时交点为降交点，在后一次为升交点。两次月食历时1366埃及年358日，加上视时间4小时20分，均匀时间是4小时24分。黄纬在这段时期中平均行度为159°55′（见图4.12） 。
图4.12
证明：在月球的倾斜圆周中令直径AB 为与黄道的交线。
令：C 为北限，D 为南限，A 为降交点，B 为升交点。
在南面区域截取两个相等弧段 ，第一次月食发生在F 点，而第二次在E 点。令FK 为第一次月食时的相减行差，EL 为第二次月食时的相加行差。
＝159°55′，则整个 ＝159°55′＋4°20′＋4°28′＝168°43′。而半圆的其余部分为11°17′。它的一半 ＝5°39′，即为月球与交点A 、B 之间的真距离。
因此， ＝4°20′＋5°39′＝9°59′。
由此可知， ＝纬度平位置与北限之间的距离＝99°59′（90°＋9°59′） 。从亚历山大逝世至托勒密在这一位置进行这次观测，历时457埃及年91日，加上视时间10小时（均匀时间为9小时54分）。在这段时期中，黄纬平均行度为50°59′。从99°59′减去这个数字，余量为49°。这是在克拉科夫经度线上，按亚历山大纪元的埃及历元旦正午。
于是按时间差，可以对一切其他纪元得出从北限（我把它取作行度的起点）算起的月球黄纬行度的位置。从第一届奥运会到亚历山大之死，共经历451埃及年和247日。为了使时间归一化，须从这段时间减去7分钟。在这个时段中，黄纬行度为136°57′。
从第一届奥运会到恺撒纪元共历时730埃及年和12小时。为使时间归一化，还应加上10分钟。在这段时期中，均匀行度为206°53′。从那时到基督纪元为45年又12日。从49°减去136°57′，再补上一个圆周的360°，余数为272°3′，这是在第一个奥林匹克会期第一年祭月第一天的正午。
再一次给这个数字加上206°53′，其和等于118°56′（272°3′＋206°53′-360°） ，这是尤里乌斯纪元元旦前的午夜。加10°49′，其和为129°45′，此为基督纪元的位置，即元旦前的午夜。
4.15 视差仪
我们取圆周为360°，则月球的最大黄纬，即对应于白道与黄道的交角为5°。因受月球视差的影响，同托勒密一样，上天没有赐予我进行这种观测的机会。在北极高度为30°58′的亚历山大港，托勒密关注着月亮最接近天顶的时刻，此时月亮位于巨蟹宫的起点并在北限处。他预测到这个时刻，便用被他称之为“视差仪”的仪器测定月球的视差，在那个时候他测得月亮到天顶的最短距离为 。哪怕它会受到其他视差的影响，但对这么短的距离来讲影响是微乎其微的。我们用 。这个值比最大的黄赤交角 [5] 约大5°。我还发现月球黄纬等其他特征仍跟现在吻合。
视差仪共三个标尺。两个的长度相等，至少为四腕尺，而第三个尺子长于它们。用轴钉或栓分别将长尺和一把短尺与第三尺各一端相连。钉和栓的孔都打得很好；在同一平面内尺子可移动，它不会在连接处摇晃。我们从接口中心画一条直线贯穿整个长尺。尽可能在这条直线上精确地量出与两个接口距离长度相等的线段。将这个线段划分为1000等份；如果可以，分为更多等份更好。用相同单位继续等分标尺余下部分，直到得到1414P 。它是半径为1000P 的圆中内接的正方形的边长。我们可以截掉它的其余部分。在另一标尺上也从接口中心画一条长度为1000P 的直线，即等于两个接口中心的距离。我们在标尺的一边装上目镜。这同一般的屈光镜相同，视线从目镜穿过。视线在穿过目镜时不会和沿标尺画成的直线偏离，且它同目镜等距。
古代天文学家的计时器
古代天文学家及物理学家借助日圭、日晷、水钟和单摆等，利用观测日影的变化或水位的变化来计时。随着科技的进步，近代科学家发明单摆钟及石英振荡器，利用单摆或石英晶体的振荡周期来计时，图为中国古代日圭计时器。
在这条线向长尺移动的过程中，需让它的端点和刻度线接触。则三根标尺形成了一个等腰三角形，底边为分度线。这样就能立起一个支撑和修饰得很好的、稳固的杆子。用铰链将有两个接口的标尺在杆子上固定。仪器便能像一扇门那样绕铰链旋转。但是通过标尺接口中心的直线总是铅垂的，它指向天顶，好像是地平圈的轴线。我们通过标尺目镜的直线上看一颗星，便能求出它与天顶的距离。取圆周直径等于20000P ，将带有分度线的标尺放在下面，便可求得视线与地平圈轴线的夹角所对的长度单位数。从圆周弦表，能求出所需的恒星与天顶之间大圆的弧长。
4.16 月球的视差
前面我提到托勒密用仪器测得月亮的最大纬度为5°。后来他又将目光锁定在测定月球的视差上。在《天文学大成》中，他在亚历山大港得出月球视差为1°7′。这时太阳位于天秤宫内5°28′处，月球和太阳的平距离为78°13′，均匀近点角为262°20′，纬度行度为354°40′，相加行差等于7°26′，则可知月球位于摩羯宫中3°9′处；归一化后，黄纬行度为2°6′，月球的北纬度为4°59′，其赤纬为23°49′，而亚历山大港的纬度是30°58′。
托勒密用仪器测得月球在子午线附近距天顶50°55′处，这比计算所需数值多1°7′。了解这种情况后，他按前人的偏心本轮月球理论，在地球半径为1P 的情况下得到当时月球与地心的距离是39P 45′。
接着他论证由圆周比值推导出的结果。例如，月亮与地球的最长距离在位于本轮远地点的新月和满月出现，为64P 再加10′（1P 的 ）。出现在两弦且半月位于本轮的近地点时的月地间最短距离仅为33P 33′。他进而求得在距天顶90处出现的视差：最小值为53′34″，最大值为1°43′。从他由此得出的结果中，我们对此有了更具体的认识。然而，对现在思考这个问题的人，情况已经完全发生改变。但我还是会叙述两项观测，它们可以证明我的理论是没有疑虑且与事实吻合的，这可以再次证实古人的月球理论不如我的精确。
我在公元1522年9月27日午后 均匀小时，在佛罗蒙波克大约为日落时，用视差仪在子午线上观测到月亮中心，并测得它和天顶的距离为82°50′。从基督纪元开始到这时，历时1522埃及年284日再加视时间 小时，而其均匀时间为17小时24分钟。于是得出太阳的视位置为天秤宫内13°29′处。月球与太阳的均匀距离为87°6′，均匀近点角为357°39′，真近点角为358°40′，相加行差为7′。可知月球的真位置位于摩羯宫中12°33′。从北限算起，纬度的平均行度等于197°1′，纬度的真行度等于197°8′（197°1′＋7′） ，月球的南纬度等于4°47′，赤纬度等于27°41′，我的观测地点的纬度为54°19′。这个数值加上月球赤纬，得到月亮与天顶的真距离为82°（54°19′＋27°41′） 。因而在视天顶距82°50′中多出50′的视差。以托勒密的说法，它应为1°17′。
我的另一次观测发生在公元1524年8月7日下午6时的同一地点。
我用相同仪器测得月亮在离天顶81°55′处。从基督纪元之初至这个时刻共有1524埃及年234日和视时间18小时，其均匀时间也为18小时。求得太阳位置位于狮子宫内24°14′，日月间平均距离等于97°5′，均匀近点角等于242°10′，改正近点角等于239°40′，它使平均行度大约增加7°。则月球的真位置是人马宫内9°39′处，黄纬平均行度是193°19′，黄纬真行度为200°17′，月球的南黄纬为4°41′，而南赤纬为26°36′。这个数值加上观测地的纬度（54°19′） 为月球与地平圈极点的距离80°55′（26°36′＋54°19′） 。而实际为81°55′，多余的1°是月球视差。托勒密及古人认为月球视差应为1°38′，因为这样才符合于他们理论所需的计算结果。
真位置的计算
根据地球的直径，我们通过视位置便可以计算出月球的真位置。
4.17 月地距离的测定及月地距离数值
由上述可知月地间距离，有了这个距离，便能求得视差值，此二者相互关联。月地距离可以如下测定（见图4.13） 。
图4.13
令：AB 为地球的大圆，C 为中心。
以C 为中心作另一圆DE ，和它相比，地球的圆不会太小。令地平圈的极点为D 。E 为月球中心，且已知它与天顶的距离DE 。
第一项观测中，∠DAE ＝82°50′，由计算求得∠ACE ＝82°，而它们之差∠AEC ＝视差＝50′。于是△ACE 的角均已知，因而各边可知。
∵∠CAE ＝180°-82°50′＝97°10′，取△AEC 外接圆的直径为100000P 。
则CE ＝99219P ，AC ＝1454P ＝ CE 。取地球半径AC ＝1P ，CE ≈68P 。这是在第一次观测时月球与地球中心的距离。但是在前面的论述中，第二项观测中测得的∠DAE ＝81°55′，算出的∠ACE ＝88°55′，差值∠AEC ＝60′。
因此，在取三角形外接圆直径＝100000P 时，边EC ＝99027P ，而AC ＝1891P 。于是在取地球半径AC ＝1P 时，可得月球与地心的距离CE ＝56P 42′（见图4.14） 。
图4.14
令：ABC 为月球的大本轮，D 为中心。
以E 为地心画直线EBDA 至与近地点B 。按我的第二项观测可求得月球均匀近点角，再推出弧ABC ＝242°10′。
又以C 为中心，画出第二本轮FGK 。在它上面取弧FGK ＝月球与太阳距离的两倍（2×97°5′） ＝194°10′。连接DK ，它使近点角减少2°27′，并使∠KDB ＝归一化近点角59°43′。整个∠CDB ＝62°10′（59°43′＋2°27′） ，为超出一个半圆的部分（因∠ABC ＝242°10′＝62°10′＋180°）。
∵∠BEK ＝7°。
∴在△KDE 中，各角均已知，其度数按180°＝2直角给出。
取△KDE 外接圆直径为100000P ，则各边长度也可知：DE ＝91856P ，EK ＝86354P 。但以DE ＝100000P 时，KE ＝94010P [6] 。
然而，前面已经证明，DF ＝8600P ，整条直线DFG ＝13340P 。按本节前文已经定出的比值，在取地球半径为1P 时，EK ＝ [7] 。因此用同样单位可得DE ＝ ，并且如果联接为直线则整个EDG ＝ （60P 18′＋8P 2′） ，即为半月的最大高度。
从ED 减去DG ，即61P 18′-8P 2′＝ ，此为半月与地球的最小距离。还有整个EDF 的长度，即满月和新月的高度，在极大时为 （60P 18′＋5°11′≈65°30′） ，而在减去DF 时，其极小值为 （60P 18′-5P 11′） 。
可能有人因居住地区而对月球视差不完全了解，认为满月和新月离地球的最大距离应为 ，这显然不对。在靠近地平圈时，月球视差接近其完整值，这使我能更充分地了解它。但我发现，这种差别所引起的视差变化小于1′。
4.18 月球的直径及地影直径
因为月球和地影的视直径同样随月地间距离变化而改变，讨论这些问题也非常必要。虽然我们用喜帕恰斯的屈光镜能够确定太阳和月球的直径。但通过特殊的，月球在其高、低拱点等距的月食，我们能更加精确地测得月球的直径。若在那些时候，太阳处在相似位置，则除了被掩食的区域不同外，月球两次所穿过的影圈相等。我们可知，把阴影区域以及月球宽度相对比，其差异表示月球直径在绕地心的圆周上所对的弧段的大小。若这已知，便能求得阴影的半径，举例如下：
假设：在发生较早的一次月食的食甚时，有三个食分（即月亮直径的 ）被掩食掉，此时月球宽度为47′54″。
在第二次月食时，食分为10，宽度为29′37″。阴影区域之差为7个食分（＝10-3） ，宽度差为18′17″（47′54″-29′37″） 。作为对比，12食分相应于月亮直径所张的角为31′20″。
因此，在第一次月食的食甚时，月心显然是在阴影区之外 直径处（阴影区为3食分），这对应于宽度7′50″（31′20″÷4） 。如果把这个数值从整个宽度的47′54″中减去，余量为40′4″（47′54″-7′50″） ＝阴影区的半径。
与此相似，在第二次月食时，阴影区比月球宽度还多出月亮直径的 [8] （≈31′20″÷3） 。在这之上加上29′37″，其和仍为40′4″，等于阴影区的半径。托勒密认为，当太阳与月亮相合或冲时，即在距地球最远时，月亮的直径为 。
喜帕恰斯用屈光镜求得的太阳的直径与此相等，但阴影区的直径 。托勒密认为这两个数值之比为13∶5＝ ∶1。
4.19 日月直径、轴线与地球的距离
太阳也存在着微小的视差，仅在日和月与地球的距离、它们的直径及在月球通过处地影的直径及其轴线都相互关联时，才能觉察这一视差。所以这些数值可在推求的过程中获得。我将首先阐述托勒密推求这些数值的结论及方法。我会从中选出正确的部分。
托勒密固定不变地取太阳的视直径为 ，令它等于在远地点的满月和新月的直径。再取地球半径为1P ，他称这时月地距离为 。他用如下方法求出其他数量（见图4.15） 。
图4.15
令：ABC 为太阳球体上的一个圆圈，太阳中心为D 。
再令：EFG 为在离太阳最远处的地球上的一个圆，而地球自身的中心在K ，AG 和CE 为与两个圆都相切的直线，它们延长时相交于S ，此即地影的端点。
通过太阳与地球的中心画直线DKS 、AK 和CK 。连接AC 和GE ，由于距离遥远，它们与直径并无差异。
在DKS 线上，在满月和新月的位置上 [9] ，取LK ＝KM 。
又令：QMR 为在同样条件下月球通过处地影的直径，NLO 为与DK 垂直的月球直径，并把它延长为LOP 。
第一个问题是要求出DK ∶KE 的比值。
取360°＝4直角，则∠NKO ＝ ，它的一半∠LKO ＝ 。∠L ＝90°。因此△LKO 的角均已知，两边的比值KL ∶LO 也已知。
当LK ＝64P 10′或KE ＝1P 时，长度LO ＝17′33″。因为LO ∶MR ＝5∶13，可用同样单位表示MR ＝45′38″。
∵LOP 和MR 与KE 的距离相等，且LOP ∥KE ，MR ＝45′38″，LO ＝17′33″。
∴LOP ＋MR ＝2KE 。2KE -（MR ＋LO ） ＝OP ＝56′49″。
根据欧几里得《几何原本》，EC ∶PC ＝KC ∶OC ＝KD ∶LD ＝KE ∶OP ＝60′∶56′49″。
同理，当整个DLK ＝1P 时，可知LD ＝56′49″。
因此，余量KL ＝3′11″（1P -56′49″） 。但取KL ＝64P 10′和FK ＝1P 的单位，则整个KD ＝1210P 。已经证明用同样的单位，MR ＝45′38″。由此可以求得比值KE ∶MR （60′∶45′38″） 和KMS ∶MS 。还可求得在整个KMS 中，KM ＝14′22″（60′-45′38″） 。
另一种做法是，令KM ＝64P 10′，整个KMS ＝268P ＝地影轴线长度。
以上皆是托勒密的做法。
托勒密之后的天文学家发现上述结论同实际并不完全相符，同时对这一课题另有发现，但他们认同满月和新月与地球的最大距离为64P 10′，太阳在远地点的视直径为 。他们也承认，在月球通过处地影直径与月球直径的比值为13∶5。但他们不承认月亮在该处的视直径大于 。因此他们取地影直径为 左右。由此可知，在远地点处的日地距离为1146P ，而地影轴长为254P （地球半径为1P ）。这些他们认定的数值来自拉喀城的科学家阿耳·巴塔尼。遗憾的是，这些数值怎样都不能协调一致。
为了纠正这些数值，我取在远地点处的太阳视直径为31′40″，因为太阳的视直径较以前大一些；在高拱点的满月或新月的视直径为30′；在月球通过处的地影直径是 [10] ；除非月地距离小于62个地球半径，否则在远地点处的太阳不能整个被月亮掩住。在与太阳相合或冲时，月亮离地球的最大距离 地球半径。在采用这些数值时，看来它们不仅相互之间以及与其他现象正好协调一致，还与观测到的日月食相符。
于是，按以上的论证，可知在取地球半径KE ＝1P 时，以该单位的分数表示有LO ＝17′8″，MR ＝46′1″（≈17′8″×2.7） ，因此OP ＝56′51″〔2P -（17′8″＋46′1″） 〕；若取LK ＝ ，则整个DLK ＝太阳在远地点时与地球的距离＝1179P ，此外，KMS 等于地影的轴长，即265P 。
4.20 日月地的大小及其比较
我们知道， 。但取KE ＝1P 时，18×LO ≈5P 27′。
另外有一种做法：
∵SK ∶KE ＝265P ∶1P ，便可得出整个SKD ∶DC ＝1444P ∶5P 27′，这是因为各边的比值相等。此即为太阳与地球的直径之比。球体体积之比等于其直径的立方之比。
∴（5P 27′）3 ＝161 ，即太阳大于地球的倍数。
取KE ＝1P 时，月球半径为17′9″。因此地球直径与月球直径之比＝7∶2＝3 ∶1 [11] 。求出这个比值的三次方，便可知地球为月球的 倍。
因此，太阳是月球的6937倍。
4.21 太阳的视直径和视差
看物体时，离我们越远的看起来越小。因此日、月和地影随着同地球的距离变化而改变，这种情况同视差变化一样。由上，我们对任何距离都能测得这些变化。我们从太阳谈起，显而易见，我在第三章中已阐明，若令周年运转轨道半径为10000P ，可得地球与太阳的最长距离为10322P 。而周年运转轨道直径的另一部分，在地球离太阳最近时距离为9678P （10000P -322P ） 。
我们取高拱点＝1179P ，低拱点则为1105P ，平拱点为1142P 。用1179P 除1000000P ，可得直角三角形中848P 所对的最小角为2′55″，这是在地平附近出现的最大视差。
同理，用最短距离1105P 除1000000P ，得到905P ，低拱点最大视差的所张角为3′7″。而太阳直径等于 地球直径，且在高拱点所张角为31′48″。应知1179∶ ＝2000000P ∶9245P ＝轨道直径∶31′48″所对边长。
因此，在最短距离处，太阳的视直径为33′54″。太阳视直径与最短距离的差（33′54″-31′48″） 为2′6″，而视差之差仅为12″（3′7″-2′55″） 。两个差值都很小，托勒密认为1′或2′用感官是很难察觉的，而对弧秒就更难了，因此它们可以忽略不计。
若我们每处都取太阳的最大视差为3′，应该不会有任何差错。但是我将像某些天文学家那样，用太阳的平均距离或太阳的小时视行度，求出太阳的平均视直径。他们认为太阳的小时视行度与其直径的比值为5∶66＝1∶ 。小时视行度与太阳的距离几近成正比。
4.22 月球的可变化视直径和视差
月球作为最近的天体，我们知道其视直径和视差变化较大。当月亮为新月或满月时，它离地球的最大距离为 地球半径，根据前面的论证，其最小距离为 地球半径。就半月来讲，最大距离为 地球半径，最小距离为 地球半径。我们用在四个极限处的月地距离除以地球的半径，便可得到出没时月球的视差：当月球最远时，对半月为50′18″，对满月和新月为52′24″；当月球最近时，对满月和新月为62′21″，对半月为65′45″。
由以上视差，可求得月亮的视直径。由于地球直径∶月球直径＝7∶2。我们得到地球半径∶月球直径＝7∶4，而在同一次月亮经天时，求得较大视差角的直线和求得视直径的直线相同，因此该比值也为视差和月亮视直径之比。角度和它们所对的弦成正比，我们无法觉察它们之间的差异。这个简单的结果告诉我们，在上述视差第一极限处，月亮的视直径是 ；第二极限处约为30′；第三极限处为35′38″；最后极限处为37′34″。根据托勒密等前人的理论，最后极限处应为1°，且当时一半表面发光的月亮投射到地球上的光同满月一样多。
4.23 地球可变化的程度
在前面我提过，地影直径∶月球直径＝430∶150。因此，当太阳位于远地点时，对满月和新月来说，地影直径的最小值为80′36″，最大值为95′44″，最大差值＝95′44″-80′36″＝15′8″。当月球通过相同位置时，不同的日地距离会使地影发生以下变化（见图4.16） 。
图4.16
证明：我们画出直线DKS 通过太阳中心和地球中心及切线CES 。连接DC 、KE 。
已知当距离DK ＝1179地球半径，KM ＝62地球半径时，MR ＝地影半径＝地球半径KE 的 ，由连接K 和R 所成的角MKR ＝地影视角半径＝42′32″，KMS 则等于地影轴长＝265地球半径。
但是当地球最接近太阳时，DK ＝1105地球半径，可按以下方法计算在同样的月球通过处的地影。画EZ 平行于DK 。CZ ∶ZE ＝EK ∶KS 。但CZ ＝ 地球半径，ZE ＝1105地球半径。
因为KZ 是平行四边形，ZE 与余量DZ （＝CD -CZ ＝ ） 各等于DK 与KE （＝1P ） 。于是KS ＝ 地球半径。但KM ＝62地球半径，可得余量MS ＝ 地球半径（248P 19′-62P ） 。但因SM ∶MR ＝SK ∶KE ，所以MR ＝地球半径的 ，并且MKR ＝地球视角半径＝41′35″。
于是出现以下情况：取360°＝4直角，以及KE ＝1P ，在相同的月球通过处，由太阳和地球的接近或离去所引起的地影直径的变化至多为 ，这看起来是57″。也就是说，在第一种情况下（46′1″） ，地影直径与月球直径之比大于13∶5；而在第二种情况下（45′1″） 却小于13∶5。因此可以认为13∶5是平均值。我们若为了减少工作量而遵循古人的方法，到处都采用同一数量，就会产生不可忽略的误差。
4.24 在地平经圈上的日月视差值表格
现已处理好太阳和月亮的各个单独的视差时的问题。再画地球圆周上的 ，其通过地平圈的极点C 为地球中心。同一平面内的白道为 ，太阳轨道为 ，通过地平圈极点的直线为CDF ，太阳和月亮的真位置都在直线CEG 上，画出指向这些位置的视线为AG 和AE （见图4.17） 。
图4.17
太阳视差用∠AGC 表示，月亮视差用∠AEC 表示。太阳和月亮视差之差用∠GAE 量出，而∠GAE ＝180°-∠AGC -∠AEC 。
取∠ACG 为可以与以上角对比的角度，如：令∠ACG ＝30°。
根据平面三角定理，当我们在AC ＝1P 时，取直线CG ＝1142P ，于是可得∠AGC ＝太阳真高度与视高度之差＝ 。但是当∠ACG ＝60°时，∠AGC ＝2′36″。
同理，对∠ACG 的其他数值，太阳视差也明显可知。
而对月亮来说，可用它的四个极限。
取360°＝4直角，令∠DCE 或 ＝30°。
当月地距离为极大时，取CA ＝1P ，我已说过，CE ＝68P 21′。于是，在△ACE 中，AC 与CE 两边以及∠ACE 均已知。
从而求得∠AEC ＝视差角＝25′28″。
当CE ＝ 时，∠AEC ＝26′36″。与此相似，在第三极限处，CE ＝55P 8′，此时视差角∠AEC ＝31′42″。
最后，在月球距地球最近处，即当CE ＝52P 17′时，∠AEC ＝33′27″。进一步说，当弧DE ＝60°时，按同样的次序可得视差为：43′55″、45′51″、 和 。我将按下列表中的次序写下所有这些数值。
为了和其他表一样便于使用，我将它扩充为一组30行，间距为6°。这些度数可以理解为从天顶算起的度数的两倍，其极大值为90°。我把表分成九栏。第一、二栏载入圆周的公共数。太阳视差则在第三栏。月球视差在第四至九栏。第四栏显示最小视差（即当半月在远地点时出现）小于下一栏中的视差（即在满月和新月时出现）的差值。第六栏是由位于近地点的满月和新月所产生的视差。而后第七栏中出现的分数，是最靠近我们的半月的视差超过其附近视差的差值。最末两栏载入比例分数，它们用于计算四个极限之间的视差。
我还将阐释这些分数，先是在远地点附近的分数，而后是月亮分别位于两弦和朔望的远地点之间的分数。具体如下（见图4.18） 。
图4.18
令：月球的第一本轮为AB ，C 为中心。
取地球中心为D ，画直线DBCA 。以远地点A 为心，描出第二本轮EFG 。截取弧段 ＝60°。连接AG 、CG 。
