∵直线CE ＝ 地球半径，DC ＝ 地球半径，EF ＝ 地球半径。
∴在△ACG 中，边GA ＝1P 25′，边AC ＝6P 36′，还有这两边所夹的∠CAG 也已知。
按平面三角定理，以同样单位表示，第三边CG ＝6P 7′。由此可知，如果换成直线，则整个DCG 或与之相当的DCL ＝66P 25′（60P 18′＋6P 7′） ，但是DCE ＝ （60P 18′＋5P 11′） 。于是，余量（DCL -DCE ）＝EL ≈ （≈66P 25′-65P 30′） 。
通过这个已知的比率，当DCE ＝60P 时，用同样单位可得EF ＝2P 37′，EL ≈18′。我把这个数值放在表中第八栏内，与第一栏的60°相对应。
我将对于近地点B 做出类似论证：
以B 为心，取∠MBN ＝60°，重画第二本轮MNO ，可知△BCN 的各边和角。
取地球半径为1P 时，用同样方法可得多余线段MP ≈ 。取相同单位时，DBM ＝55P 8′。
然而，如果DBM ＝60P ，则用这样的单位可得MBO ＝3P 7′，多余线段MP ＝55′。但3P 7′∶55′＝60∶18。于是求得和前面对远地点的相同结果。而两次所得多余线段只相差几秒。用相同的算法对其他情况做出计算，将得出的结果填进表中第八栏。但如果不用这些数值，而用行差表中比例分数栏所列数值，这两套数值大致相同，且都是很小的量，因而同样不会有差错。
接下来便要求出第二与第三极限之间的比例分数，即中间极限（见图4.19） 。
图4.19
令：满月和新月扫描出第一本轮AB ，C 为中心。
取地球中心为D ，画出直线DBCA 。从远地点A 开始截取一段弧，如：AE ＝60°。连接DE 与CE 。
△DCE 的两边已知：CD ＝60°19′，CE ＝5°11′，且∠DCE ＝180°-∠ACE 。
根据三角定理，DE ＝63°4′。整个DBA ＝65°30′。比ED 超出2°27′（≈65°30′-63°4′） 。但AB ＝2×AE ＝10°22′，与2°27′之比等于60∶14。
将它列入表中第九栏，与60°相对应。我以此为例，将完成剩下的问题并做成如下表格。另外还加上一个表，即日、月和地影半径表，以便尽可能地用到这些资料（见附表） 。
4.25 太阳和月球视差
我将简要介绍怎样用表计算日月视差。用表查出太阳的天顶距或月亮的两倍天顶距。太阳只需查一个数值，而月亮则要查出四个极限的视差。另外，对月亮离太阳的行度或距离的两倍，我们能从比例分数的第一栏，即表中第八栏查出比例分数。用以上分数求得第一和最后一个极限的多余量，并用60的比例部分表示。将系列中的第二极限的视差减去第一个60的比例分数，再将第二个和倒数第二个极限的视差相加。以此求得归化到远地点或近地点的一对月球视差，小本轮让它们增大或变小。而后用月球近点角可在最后一栏查出比例分数。再用这些比例分数求出前面得出的视差之差值的比例部分。将这个60的比例分数同远地点视差相加，其和为对指定地点和时间求得的月球视差。举例如下。
令：月亮的天顶距为54°，月亮的平均行度为15°，而它的近点角归一化行度为100°。我试图用表求得月球视差，使月亮的天顶距度数加倍至108°。
在表中与108°相应的，在第二极限超过第一极限的多余量为1′48″，在第二极限的视差为42′50″，在第三极限的视差为50′59″，第四极限的视差超过第三极限的部分为2′46″。加倍后的月亮行度为30°。对该数值，我从比例分数的第一栏查得5′。我把这个5′取作在第二极限比第一极限多余量的60的比例部分＝9″（1′48″× ） 。从第二极限处的视差42′50″减去9″，余量为42′41″。与此相似，第二个多余量为2′46″，比例部分为14″（2′46″× ） 。把这14″与在第三极限的视差（50′59″） 相加，其和为51′13″。这些视差的差值为8′32″（51′13″-42′41″） 。然后，按归一化近点角的度数，由最后一栏可得比例分数为34。用这个数值，我求得8′32″的差值的比例部分为4′50″（8′32″× ） 。把这个4′50″与第一改正视差（42′41″） 相加后，得47′31″。这便是所求的在地平经圈上的月球视差。但任何月球视差与满月和新月的视差都相差甚少，因此如果我们到处都取中间极限间的数值，便可认为足够精确了。
以上视差是日月食预报所需要的。而对其他的用途，却并不值得做广泛的研究。也可以认为这样的研究并不实用，而只是为了满足大众的好奇心。
4.26 分离黄经和黄纬视差
我们很容易就能把视差分离成黄经和黄纬视差。用相互交叉的黄道和地平经圈上的弧段和角度可以度量日月间的距离。当地平圈同黄道正交，它定然不会产生黄经视差。相反地，因纬度圈和地平经圈一致，则整个视差都处于纬度之上。此外，当黄道同地平圈正交且同地平经圈相合，而此时月球黄纬为零时，则它只在经度上有视差，若它的黄纬不为零，则它在经度上有一定视差（见图4.20） 。
图4.20
令：ABC 为与地平圈正交的黄道，A 为地平圈的极。
ABC 与月球的地平经圈相符，而月球黄纬为零。如果月球的位置为B ，它的整个视差BC 都在经度方向上。
假设：月球纬度也不为零。
通过黄道两极画圆DBE ，并取DB 或BE 等于月球的纬度。显然，无论AD 边还是AE 边都不等于AB 。
∵DA 与AE 两圆都不通过DBE 的极点。
∴∠D 和∠E 都不是直角。
视差和纬度也有一定的关系；月亮越接近天顶，这种关系越明显。
若△ADE 的底边DE 固定不变，则AD 与AE 两边越短，它们与底边所成的角越锐。月亮离开天顶移动越远，这两个角就越接近直角。
又令：月球的地平经圈DBE 与黄道ABC 斜交，月球的黄纬为零。当它位于与黄道的交点B 时，情况便如此。（见图4.21）
图4.21
再令：BE 为在地平经圈上的视差。在通过ABC 的两极的圆上画 。
于是，在△BEF 中，∠EBF 已知（前面已证明），∠F 为直角，而边BE 已知。
根据球面三角定理，其余两边BF 和FE 均可知。与视差BE 相对应，纬度为FE ，经度为BF 。然而由于它们都很小，BE 、EF 和FB 与直线相差很小，无法察觉。
因此，如果把这个直角三角形当作直线三角形，计算会变得容易，而我们也不会出差错。
当月球黄纬不为零时，计算较为困难。重画黄道ABC ，它与通过地平圈两极的圆DB 斜交（见图4.22） 。
图4.22
令：B 为月球在经度上的位置，且它的纬度在北面为BF ，在南面为BE 。
从天顶向月球作地平经圈DEK 与DFC ，视差EK 和FG 在它们上面。月亮的经度和纬度真位置为E 与F 两点。但是看起来它们是在K 和G 。从这两点画垂直于黄道ABC 的 及 。月球的黄经、黄纬以及所在区域的纬度均已知。
因此，在△DEB 中，DB 和BE 两边以及黄道与地平经圈的交角ABD 均可知。把∠ABD 与∠ABE 相加，可得整个∠DBE 。于是剩下的边DE 以及∠DEB 都可求得。
同理，在三角形DBF 中，DB 与BF 两边以及从直角ABF 中减去∠ABD 所剩下的∠DBF 均已知。
那么，DF 和∠DFB 都可知。
因此，由表可以得出DE 与DF 两段弧上的视差EK 和FG 。还可求得月亮的真天顶距DE 或DF 以及视天顶距DEK 或DFG 。
然而，DE 与黄道相交于N 点。在△EBN 中，∠NBE ＝90°，∠NEB 已知，于是底边BE 可知。剩下的∠BNE 以及剩下的BN 与NE 两边均可求得。
同理，在整个△NKM 中，从已知角M 与N 以及整个KEN 边，可求得底边KM 。这是月球的视南纬。它超过EB 的量为黄纬视差。剩下的边NBM 可知。
NBM -NB ＝黄经视差＝BM 。
在北面的△BFC 中，∠B ＝90，而边BF 与∠BFC 已知。
因此剩下的两边BLC 与FGC 以及剩下的∠C 均可知。
FGC -FG ＝GC ，GC 为△GLC 的已知边。在此三角形中，∠CLG ＝90°，并且∠LCG 已知。于是剩下的两边GL 与LC 可知。从BC 减去LC 的余量也可求得，这时，黄经视差BL 及视黄纬GL 亦可知，其视差为真黄纬BF 超出GL 的量。
然而，这种对极小数量进行的计算，耗费大量劳力而收效甚微。用∠ABD 代替∠DCB 、∠DBF 代替∠DEB ，并（像前面那样）忽略月球黄纬而总是用平均弧 取代 与 ，这样已足够精确。尤其是在地球的北半球地区，这样做不会有任何明显的误差。
另外，在最南地区，当月球黄纬为最大值5°时，B 位于天顶，并当月亮距地球最近时，差值约为6′。但是在食时，月球与太阳相合，其黄纬不超过 ，差值仅为 。
由以上论证显然可知，在黄道的东象限，黄经视差应与月球真位置相加；而在另一象限，应从月球真位置减去黄经视差，这样才能得到月亮的视黄经。通过黄纬视差可以得出月亮的视黄纬。如果它们是在黄道的同一侧，则使之相加。但要是它们位于黄道的相反两侧，则从较大量减去较小量，而余量为在与较大量同一侧的视黄纬。
4.27 关于月球视差论述的证实
前面我论述的月球视差，和观测事实相符。除此之外，我还可以根据许多其他的观测来证明，如我在公元1497年3月9日，日没后于波伦亚 [12] 所做的一次观测。我观测月掩毕星团中的亮星毕宿五。在等待之后，我观测到这颗星与月轮的暗边接触。在夜晚第五小时即午后11点整末尾星光消失于月亮两角之间。它离南面的角近了约月亮宽度或直径的 。可以得出它位于双子宫内2°52′和南纬 处。由此看起来月亮中心是在恒星西面半个月亮直径处。从而得出它的视位置为黄经2°36′（在双子宫内＝2°52′- ×32′）和黄纬约5°6′。
视差
视差就是从有一定距离的两个点上观察同一个目标所产生的方向差异。从目标看两个点之间的夹角，叫作这两个点的视差，而两点之间的距离称作基线。只要知道视差角度和基线长度，就可以计算出目标和观测者之间的距离。
因此，从基督纪元开始算起共计1497埃及年76日，在波伦亚再加上23小时。而在更偏东约9°的克拉科夫，由于太阳是在双鱼宫中 处，则应加上23小时36分，若是均匀时则再加4′。则月亮离太阳的均匀距离为74°，月球的归一化近点角为111°10′，真位置为双子宫内3°24′，黄纬为南纬4°35′，黄纬真行度为203°41′。值得一提的是，在波伦亚那时天蝎宫内26°正以 的角度升起，月亮距天顶84°，地平经圈与黄道的交角约为29°，月球的黄经视差为51′，而黄纬视差是30′。这些数值与观测完全吻合，因而可以确信我的假设和论断是完全正确的。
4.28 日月的平合与平冲
由以上论述可建立研究日和月的合与冲的方法。对任何一个我们确定的冲或合将要发生的时刻，均需查出月球的均匀行度。若行度正好为一整圈，便有一次合；若为半圈，月亮在冲便为满月。但因这样的经度很少，需检验两个天体间的距离。用月亮的逐日行度除以此距离，便能按行度有余或不足，分别求得从上次朔望以来或到下次朔望间的确切时间。再查出这个时间的行度和位置，便能求得真的新月和满月，用后面第五章介绍的方法即能将有食发生的合和其他合区分开来。我们确定了这些月相，便能由它们推出其他任何月份，再用一个十二月份表连续推测出今后的年份。这些表中有分布时刻、日月近点角的均匀行度及月球黄纬的均匀行度。这与前面求得的个别均匀值有关联。而对太阳的近点角，为了尽快求得其值，我会用其归一化形式做适当的记录。因其起点即高拱点缓慢移动，则在一年甚至几年内都无法察觉它的不均匀性（见附表） 。
4.29 日月的真合与真冲
如上求得这些天体的平均合与冲的时刻及行度之后，只有知道它们彼此在东面或西面的真距离，才能找出其真朔望点。若在一次平均合或冲时月亮位于太阳的西面，便能出现一次真朔望。若太阳位于月亮的西面，则真朔望已经出现过了。我们可由两个天体的行差理清这些顺序。若它们的行差都为零或相同且同号（同是相加或相减），则有真合或真冲和平均朔望同时出现。若行差同号但不等时，便能由它们的差得出两个天体的距离。相加行差较大的天体位于另一天体的西面，而相减行差较大的天体位于另一天体的东面。但行差反号时，具有相减行差的天体更加偏西，因为可由行差之和得出两天体的距离。我会研究月亮用多少个完整小时才能通过这个距离（对每一度距离取2小时）。
若两天体间距为6°，我们对这个度数取12小时。再在这样定出的时间内求月亮与太阳的真距离。这很容易求得，因为已知在2小时内月球的平均行度为1°1′，而在满月和新月附近月球近点角每小时的真行度约为50′。在6小时中，均匀行度可达3°3′（3×1°1′） ，而近点角真行度为5°（6×50′） 。由以上数字，便能从月球行差表中查出行差的差值。若近点角位于圆周的下半部，其差值与平均行度相加。若在上半部，则减去差值。和或差便是月球在所取时间内的真行度。若这个行度和前面定出的距离相等，则可证明其精确性。不然便是用这一距离与估计的小时数相乘，再除以该行度，或用距离除以已经求得的每小时真行度。商为以小时和分钟计的平均合冲与真合冲之间的真时间差。若月亮在太阳位置或在与太阳刚好相对位置的西面，则把这个时间差加上平均合或冲的时刻。要是月亮位于这些位置东面，则减去这一差值。如此便可得到真合或真冲的时刻。
火星“冲日”
当火星位于日地连线上，并和地球同位于太阳的一侧时，便会发生火星“冲日”现象，这种现象发生在合后的390天，冲日过后37天，火星便停止逆行。
而我认为，太阳的不均匀性也会导致数量的增减。但我们可以完全将其忽略，因为在所有时间甚至在朔望时，两天体距离极大（超过7°） ，它也不足1′。用这种方法确定朔望月比较准确。因月亮的行度不固定，甚至每小时都在变化，那些仅靠月球每小时行度即“小时余量”进行计算的人有时会出差错，因此只能重复计算。而为了求得一次真合或真冲的时刻，必须确定黄纬真行度，这样才能得到月球黄纬，另外还要确定太阳与春分点的真距离，即太阳在与月亮位置所在的同一个黄道宫或正好相对的黄道宫中的距离。
火星大冲现象
太阳落山时，火星从东南方升起；到了子夜，火星呈橙红色，成为星空中一颗耀眼的天体；至次日清晨，太阳从地平线升起时，火星才从西边落下，这就是火星大冲现象。
在克拉科夫经线上的平时或均匀时可用这种方法求得，并且可用前面描述的方法将其归化为视时。如果要测定克拉科夫以外某一地点的这些现象，则要考虑该地的经度。我们对经度的每一度取4分钟，每一分取4秒钟。若该地偏东，则将在克拉科夫的时刻与这些时间相加；若偏西，则减去这些时间。和数或差数就是日月真冲或真合的时刻。
4.30 区分在食时出现的日月合冲
我们很容易确定对月亮来说在朔望时是否有食。若月球黄纬比月亮和地影直径的和的一半小，则月亮会被掩食；若月球黄纬大于和的一半，则不会被掩食。
因太阳和月球的视差通常会使视合和真合不同，因此太阳的情况极为复杂。我们将讨论在真合时太阳和月亮的黄经差。于黄道东面象限内在真合前一小时，或于黄道西面象限内在真合后一小时，能够测到月亮离太阳的视黄经距离，从而求得月亮在这一小时内看起来离开太阳移动的距离。而其真合和视合的时间差便为这一小时的行度除以经度差。在东部，从真合的时间减去这个时间差；在西部则加上。因前者视合早于真合，而后者视合晚于真合。于是便求得视合时刻。而对这一时刻，需在减掉太阳视差后计算月球和太阳的黄纬视距离，或视合时太阳和月亮中心的距离。若这一纬度比日月直径之和的一半大，则太阳不被掩食；若纬度比和的一半小，则会发生日食。由上可知，若真合情况下月球不存在黄经视差，则真合和视合一致。它出现在黄道上从东或从西量约90°处。
4.31 日月食的食分
在我们知道一次日食或月食将要发生之后，很容易确定食分的大小。对太阳而言，可以用在视合时日月纬度的视差值来推算。若用日月直径之和的一半减去这一纬度，便能得到在直径上度量的太阳被掩食的部分。将它乘以12，再除以太阳直径，就得到太阳的食分数。而如果日月之间没有纬度差，则整个太阳被食，或者被月球掩食到最大限度。
我们可用相同的办法处理月食，只是不用视黄纬而取简单黄纬。将它从日月直径之和的一半中减去，若月球黄纬并不比两直径之和的一半小一个月亮直径，差值便是月亮的被食部分。若月球黄纬比该和之半小一个月亮直径，则月面完全被食。也就是说，黄纬较小时，月球在地影中停留的时间更长。黄纬为零时，时间便为极大值。研究这个问题的人应该都了解这一点。而对于月偏食，用被食部分乘以12，再用月亮直径除乘积，便得到食分数。这同讨论太阳时的做法一样。
4.32 预测食延时间
接下来将讨论一次食的时长。首先说明一点，因为日、月和地影间的圆弧都小到与直线并无差异，因此我将它们都当成直线处理（见图4.23） 。
图4.23
取A 点为日心或地影中心，月球的途径为直线BC 。
令：在初亏即月亮刚与太阳或地影接触时，月亮的中心为B ，在复圆时的月心为C 。
连接AB 、AC 。作AD ⊥BC 。
月心在D 时，D 是食甚点。AD 短于其他从A 向BC 所作的直线。因AB ＝AC ，则BD ＝DC 。在一次日食时，AB 和AC 中任何一段线都等于日月直径之和的一半；而在月食时，它们均等于月亮和地影直径之和的一半。
∵AD 是食甚时月球的真黄纬或视黄纬。
∴AB 2 -AD 2 ＝BD 2
由此可得BD 的长度。把这个长度除以月食时月亮的每小时真行度，或除以日食时月亮的每小时视行度，便可求得食延时间长度的一半。
但月亮往往停留在地影中。在前面我提到过，这在月亮和地影直径之和的一半超过月球黄纬的量大于月球直径的时候出现（见图4.24） 。
图4.24
我们令月球完全进入地影，即月球从里面接触地影边界时月亮的中心为E ，而月球离开地影时即月球从内侧第二次接触地影边界时月亮的中心为F 。
连接AE 、AF 。ED 和DF 同前面一样代表通过地影时间的一半。而月球纬度为AD ，地影半径超过月球半径的量为AE 或AF 。可求得ED 或DF 。
用它们中的任一个再次除以月亮每小时的真行度，便得到我们所求的通过地影时间的一半。
月亮在白道上运行时，我们用通过黄道两极的圆圈量出度数，其在黄道上显示的黄经度数并不等于白道上的度数。但差值很小。其与黄道交点的最大距离即12°度处，在接近日月食最外极限处，该两圆上的弧长相差不到2′＝ 小时。因此我常用它们代替彼此，它们似乎完全一样。与此相似的，尽管月球纬度随时在增加或减少，但我对一次食的两个极限及中点还是用同一个月球黄纬。因月球黄纬的增减变化，掩始区与掩终区并非总是相等。但它们的差异非常小，因而没有必要把精力花费在研究这种微小的差异上。使用上面的办法，通过日月直径便能求出日月食的时刻、食延时间和食分。
但是很多天文学家认为，掩食的区域是表面而不是直线，因而应当根据表面而不是直径来确定。
令：太阳或地影的圆周为ABCD ，其中心为E 。
又令：月亮圆周为AFCG ，其中心在I ，且两圆相交于A 、C 两点。
通过两个圆心画直线BEIF 。连接AE 、EC 、AI 与IC 。画AKC 垂直于BF 。我们希望从这些圆周定出被食表面ADCG 的大小，或者在偏食的情况下确定它为太阳或月亮整个圆面积的十二分之几。
由上可知两圆半径AE 和AI ，还可知两个圆心的距离即月球黄纬EI （见图4.25） 。
图4.25
因△AEI 各边已知，则各角已知。
∠EIC 与∠AEI 全等。于是，在取圆周为＝360°时，可以求得 与 的度数。
按阿基米德所著《圆周的度量》，周长与直径之比小于 ∶1，但大于 ∶1。托勒密在这两个数值之间取比值3P 8′30″∶1P 。按照这一比值， 和 也可用与两个直径或与AE 及AI 相同的单位表示。
由EA 与AD 以及由IA 与AG 包含的面积，各等于扇形AEC 和AIC 。在等腰△AEC 与△AIC 中，公共底边AKC 已知，于是两条垂线EK 和KI 也已知。
因此可得，AK ×KE 为三角形AEC 的面积，同样，AK ×KI 为三角形ACI 的面积。把两个三角形从其所在的扇形减去（扇形EADC -△AEC ，扇形AGCI -△ACI ） ，余量AGC 和ACD 为两个圆的弓形部分。这两部分之和为所求的整个ADCG 。并可求得在日食时由BE 与BAD ，或在月食时由FI 与FAG 定出的整个圆面积。
因此，无论是太阳还是月亮的整个圆面的十二分之几为被食区域ADCG 所占有，这个数值都将变得清楚可知。至此，对月球的论证已经够多了，其他的天文学家也更为详尽地阐释了以上问题。接下来我将在后面两章中论证的其他五个天体的运行，也是非常重要的。
[1] 从地球上看去，外行星和太阳的角距为90°之时。
[2] 指在日食或月食的过程中，太阳被月亮遮盖得最多或月亮被地球的阴影遮盖得最多时，太阳与月亮的位置关系。还可以指发生上述位置关系的时刻。
[3] 59°＝太阳在巨蟹座位置10°54′＋巨蟹座19°6′＋月亮在狮子座29°＝日月距离。
[4] 即亚历山大死后第150年。
[5] 黄赤交角当时为23°51′20″。
[6] DE ∶EK ＝91856∶86354＝100000∶94010.2，哥白尼将其近似地写为94010P 。
[7] KE ∶DE ＝94010∶100000＝56P 42′∶60P 18.8′，哥白尼将其近似地写为18′。
[8] 阴影区为10食分 。
[9] 按托勒密的见解，取EK ＝1P 时，在远地点处的月地距离为 。
[10] 现在了解到这两个数字的比值略大于5∶13，可取为150∶403（≈5∶13 ）。
[11] 此为3.498∶1的近似值。
[12] 意大利的城市。
