CHAPTER 5
本章讲的是行星运动。哥白尼先用偏心圆的均匀运动来解释其非均匀运动，然后阐述了地球运动引起的视非均匀性和行星运动的非均匀性，以及土星运动的三次冲、土星位置的测定、土星视差、土星与地球间的距离等问题。接下来依次对木星、火星和金星进行论述，并重点讨论了水星。哥白尼付出大量的心力观测水星，最终确定了水星位置、水星高拱点和低拱点的位置、偏心距和大小本轮的半径值与其平均行度，以及水星同太阳的距角时大时小的原因。本章的末尾则主要介绍了行星的黄经计算方法、行星视运动中的留、逆行以及确定逆行时间和弧段长度的方法。
引言
至此，我已尽我所能地阐明了地球绕太阳的运行和月球绕地球的运行，现在我将着重理清五个行星的运动。行星在运动的过程中，显现出高度的一致性和精确的对称性，其排列次序和大小都受地球运动的影响，运行的轨道中心也都是在太阳的周围而非地球附近，这些我在第一章中已经论述过。接下来我要做的就是逐一对其进行证实，并兑现我的承诺。特别强调的是，我将同时使用古代和现代的天象观测，以使这些理论更加令人信服。
在均匀运行的行星两侧，我们极易观测到行星在黄经、黄纬上用不同的方式做变化不均匀的运动。为了更好地说明行星的非均匀变化，我们必须先弄清楚什么是行星的均匀运行。而在此之前，我们还得通过观测行星运行的非均匀性运动来掌握行星的运转周期。五颗行星都是按其特点来命名的。“Phaenon ”为土星，“灼烁”或“可见”之意，它在太阳的光芒消失后最先出现，可见时间比其他行星长。木星因光亮夺目而被称为“Phaeton ”。火星则因火红的光芒而被称为“Pyrois ”。在清晨出现的金星用“Phosphorus ”表示，即晨星；因其是在黄昏时出现的行星，有时也用“Hesperus ”表示，即“昏星”。水星名为“Stilbon ”，因为它的亮光是微弱而闪动的。
伽利略
伽利略（1564—1642年），意大利物理学家、天文学家和哲学家，近代实验科学的先驱者。他发明了用来测量脉搏速率的摆式计时装置；研究了惯性运动和落体运动的规律，为牛顿第一定律和第二定律的研究铺平了道路；他还发现了木星的四颗卫星，为哥白尼学说提供了确凿的证据，促使哥白尼学说走向胜利。
这些行星在黄经和黄纬上的运动比月亮更不规则。
5.1 行星的运行和平均行度
行星在黄经上做两种完全不同的运动，一种是由前文所说的地球运动引起的，另一种是由行星各自的运动引起的。我将第一种运动称为视差运动。这没有任何不妥，它是引起行星的留、顺行和逆行的原因。很明显，这些现象是由地球运动所产生的视差引起，因为行星总是按照自身运动前行着，其自身运动不曾改变。行星运行的圆周轨道的大小决定了视差的大小。
显然，只有在太阳升起的时候，我们才能看到土星、木星、火星的真正位置，它们在逆行的中点附近出现。此时，它们位于通过太阳平位置与地球的直线上，并且不受视差的影响。但是，当它们与太阳相叠时，光芒就会完全被太阳光淹没。金星和水星却会被另一种关系影响，我们只有在太阳两侧大距的位置上才能看见它们。它们也仅有在这种视差的情况下才能被发现。因此，单就地球相对于行星的运动，即这两个天体相互的视差运转而言，每颗行星的视差运转都是专属的。
我认为视差运动就是，地球均匀运动超过行星运动（如土星、木星、火星）或被行星运动超过（如金星、水星）的差值。这些视差运动周期不均匀，且极不规则。古天文学家认为，行星的运行也不均匀，其轨道存在拱点，且行星是从拱点开始出现不均匀现象的。但他们深信拱点在恒星运行轨道上的位置永远不变。这种想法开启了探求行星平均行度及均匀周期的大门。他们先是记录行星在距太阳或一颗恒星某一确切距离处的位置，当有一天该行星到达相似位置处，他们便认为行星已经完成了一整套不均匀性的运动并恢复到了最初与地球的关系。这样他们便可算出在这段时间内行星完成均匀运转的次数，进而求得行星运行的细节。
托勒密在《天文学大成》中声称，用太阳年描述行星运动的资料都来自喜帕恰斯。但是我们现在已经非常清楚，他主张的从一个分点或至点量起的太阳年并非完全均匀。所以我用恒星测量的年份会以更大的精度重新确定五颗行星的行度。我发现这些行度现在存有不足或有余，具体如下。
在我所称的视差运动中，地球需要59个太阳年加上1日6日分和大约48日秒来返回土星方向57次；行星在这段时间内完成了两次自身运动的运转再加上1°6′6″，地球经过木星附近65次，需要71个太阳年减去5日45日分27日秒，在这段时间里行星自身运动共运转6次减去5°41′ 。火星在79个太阳年2月27日分3日秒内视差运转共37次；此时行星本身运转为42个周期加上2°24′56″。金星5次接近运动中的地球，需要8太阳年减2日26日分46日秒；而这段时期中它绕太阳转动13次减2°24′40″。水星完成145次视差运转需要46个太阳年加34日分23日秒，这段时间里它运转191次加大约31′23″赶上运动中的地球，并与之同步绕太阳旋转。可知对每颗行星来讲，一次视差运转所需时间为：
土星——378日5日分32日秒11日毫 [1]
木星——398日23日分2日秒56日毫
火星——779日56日分19日秒7日毫
金星——583日55日分17日秒24日毫
水星——115日52日分42日秒12日毫
360°为一个圆周，把上面数字换成度数乘以365，得到的乘积除以已知的日数和日子的分数，得到年行度如下：
土星——347°32′2″5412''''
木星——329°25′8″56''''
火星——168°28′29″1312''''
金星——225°1′48″5430''''
水星——53°56′46″5440'''' （在三次运转之后）
我们将以上数值除以365，则有日行度为：
土星——0°57′7″440''''
木星——0°54′9″349''''
火星——0°27′41″408''''
金星——0°36′59″2835''''
水星——3°6′24″743''''
我依照太阳和月亮的平均行度表列出如下行星行度表。行星自行可用太阳的平均行度减去表中行度，因此我认为没有必要列举行星的自行表。太阳平均行度的一个部分是行星自行。如若有人对此不满意，他可以自己建立起另外的表格。恒星运行的年自行量如下：
土星——12°12′46″1252''''
木星——30°19′40″5158''''
火星——191°16′19″5352''''
但是，金星和水星的年自行量我们根本看不出，因此我们会使用太阳的行度来创建一个测定和表示两颗行星的视位置的办法。（具体见下表格） 。
5.2 早期对行星的均匀运动和视运动的认识
在表述完行星的平均行度之后，我将讨论它们的非均匀视行度。包括托勒密在内的古天文学家，假想土星、木星、火星与金星都有一个偏心本轮和一个偏心圆，而地球静止，本轮和所载的行星都对偏心圆做均匀运动（见图5.1） 。
图5.1
令：偏心圆AB 的圆心为C ，ACB 为直径。
假设：地球中心点D 在ACB 上。A 为远地点，B 为近地点。
同时作E 平分直线DC ，并以E 为中心，绘出与偏心圆AB 相等的另一偏心圆FG 。再取FG 上的任一点H 为心，绘出本轮IK 。然后，画直线IHKC 和LHME 通过它的中心。尽管考虑到行星所在的黄纬，应该知道偏心圆倾斜于黄道面，且偏心圆同本轮的平面斜交。但是为了方便阐释，我们令所有的圆都在同一个平面内。古天文学家认为这个统一的平面同E 、C 一起，都绕黄道中心D 点旋转，恒星也在同时运转。这种安排能够如他们所愿地使这些点在恒星轨道上固定不变。对直线IHC 而言，行星在本轮IK 上也做均匀运转，本轮在圆周FHG 上向东运动，但我们可由直线IHC 调节。
结论：我们可认为均轮中心E 在本轮上进行均匀的运动，且行星的运转相对直线LME 应为均匀的。古人也承认圆周运动对于除自身以外的其他中心都可以是均匀的——这是西塞罗著作中西比奥不可思议的一个观点。
这种情况对于水星来讲似乎更是如此。但我在前面已经充分论证了这个概念并不适合月球。因为这些或者类似的情况，我开始充分思考地球的运动，探求关于均匀运动的原理及要领，以使计算视非均匀运动更加准确。
5.3 地球引起的视非均匀性
行星的均匀运动看似不均匀的原因有二：地球运动和行星自身的运动。为了方便区分这两个因素，我将举例来论证每种不均匀性。我会从位于地球轨道之内的金星和水星开始，谈论地球运动影响行星所导致的非均匀性（见图5.2） 。
图5.2
令：地心在前面提到的周年运转中画出太阳的偏心圆AB 。C 为AB 的中心。金星或水星的同心圆为DE 。
假设：除此之外行星与AB 同心且没有其他不规则性。地球及行星在同一方向上，且行星的向东运动快于地球。
因为黄纬的关系，DE 会倾斜于AB 。为了简化解释，我们令它们在同一平面上。我们设地球处于A 点，过A 画出的视线AFL 和AGM 分别与行星轨道相切于F 和G 点。再令两圆共有的直径为ACB 。
则有：对于同A 一起行进的观测者来说，C 点和直线ACB 是用太阳的平均行度运行。同时，在好似本轮的DFG 上，行星向西经过 的时间比向东经过 的时间短。在 ，它给太阳的平均行度减去∠FAG ，而在 上则加上这个角度。
可知：对位于A 点的观测者来讲，当行星的相减行度超过C 的相加行度处，特别是在近地点附近时，行星似乎在逆行，视超过量决定逆行程度。行星的情况便是如此。后面提到在佩尔加的阿波罗尼斯的定理中，对这些行星而言，线段CE ∶线段AE ＞A 的行度∶行星的行度。在相加行度等于相减行度但彼此相反的地方，行星看似静止。因此以上特征都与事实吻合。
由此可见，如同阿波罗尼斯认为的那样，这些论述在行星运动没有其他的不规则性的前提下已经足够了。但这些行星与太阳平位置间最大的角（用∠FAE 和∠GAE 两角表示）在晨昏时并非处处相当。两个最大距角相互不等且它们的和在各处也不同。因此行星在其他圆周上而不在地球的同心圆周上运动时，第二个差也因此产生。
对完全位于地球轨道之外的土星、木星和火星，也可以证明这一结论（见图5.3） 。
图5.3
我们画出地球轨道，同一平面的同心轨道DE 画在它之外。由D 点作出直线DF 和DG ，F 和G 是地球轨道的两个切点，画出两圆的公共直径DACBE 。
则有：对于在日落时升起的一颗离地球最近的行星，其在太阳运动的直线DE 上的真实位置，只有A 处的观测者才能看见。而当地球在B 点时，它也同样不可见。太阳在C 点附近时光芒会淹没行星，但行星的行度小于地球的行程。因而在较大的 上，地球使行星行度增加了∠GDF 的大小。
相反，在较小的 上，则应减掉这个角。当地球的相减行度超过行星的相加行度的地方（特别是A 处附近）时，行星看起来落后于地球并向西移动；而观测者所看到两个相反行度相差最小时，行星好像是静止不动的。
现在可以更清楚地了解到，这一现象是由地球的运动产生的，并非古代天文学家所解释的每颗行星都有一个本轮。我和阿波罗尼斯以及古天文学家们的观点相反，我认为可以从地球相对于行星的不规则运行看出行星运动并不均匀。因此它并不在同心圆上运动而是用其他方式运动。我将在下面对此作出阐释。
5.4 行星自身运动的视非均匀性
除水星外，其他行星用近乎相同的模式在经度上做自身运动，因而我们需要对水星做单独讨论，而将其他四颗行星放在一起进行分析。前面提到，古天文学家认为两个偏心圆形成了一个单独的运动，但我认为两个均匀运动合成了不均匀运动。这可认为是两个偏心圆或两个本轮，也可能是一个混合的偏心本轮。我在前面已经证明太阳和月球都能产生相同的不均匀性（见图5.4） 。
图5.4
令：一个偏心圆为AB ，C 为AB 中心，再令直径ACB 即太阳平位置所在的直线通过行星高、低拱点，地球轨道中心D 在ACB 上。A 为高拱点，以它为圆心、CD 的 为半径画小本轮EF 。小本轮沿AB 向东运动。行星在小本轮的近地点F 上，且在它的上部圆周向东运动，而在圆周其余部分则向西运动。再假设小本轮和行星的运转周期相同。
则有：当小本轮在偏心圆高拱点A 时，行星位于小本轮近地点F ，且它们都已经转了半圈，此刻它们的关系发生了转换。在高、低拱点之间的两个方照点，它们都位于各自的中拱点上。仅在前面高、低拱点的情况下，直线AB 在小本轮的直径的下方。而在高、低拱点之间的中点上，小本轮直径与AB 垂直。在除此之外的其他地方，它与AB 或近或远，摇摆不定。我们很容易用运动的序列来解释这些现象。
由此可以证明，行星在这样的复合运动中描绘出的并不是一个完整的圆周。这样的偏离比较符合古人的想法，但差异微乎其微。
画一个同样的小本轮KL ，以B 为中心。在AG 为偏心圆的象限里，画出小本轮HI ，G 为中心。再将CD 三等分，令 CD ＝CM ＝GI 。连接GC 、IM 交于Q 。
∵ 与 类似，∠ACG 、∠HGI 都为直角，且在Q 点的对顶角相等。
∴△GIQ 与△QCM 的对应角均相等。
又：假设底边GI ＝底边CM ，可知它们的对应边也相等。
则有：若QI ＞GQ ，则QM ＞QC 。进而IQM ＞GQC 。但有FM ＝ML ＝AC ＝CG 。
结论：小本轮在偏心圆上的均匀运动及行星在本轮上的均匀运动，使行星绘出一个接近完整的圆周。
我们再以D 为心画出地球周年运行的轨道NO ，描出直线IDR 和平行于CG 的直线PDS 。则GC 为其平均和均匀运动直线，IDR 就是行星的真运动直线。
可知：地球在S 时与行星相距为平均最大距离，在R 时为真的最大距离。因而∠RDS 或∠IDP 为均匀行度与视行度之间，即为∠ACG 与∠CDI 之差。
假定不用偏心圆AB ，而用以D 为圆心的与它相等的同心圆，该同心圆是半径为CD 的小本轮的均轮。因而第一小本轮上面有第二小本轮，它的直径为 CD 。
再令：第一本轮向东运动，第二本轮用相同的速率向西运动。
则有：行星在第二本轮上以两倍速率运行，同样可得以上的结果。
这些结果类似于月球现象，且和前面的任何图像得出的结果都相差不大。而我选取了一个偏心本轮。我在前面讨论太阳现象时便已说明，尽管太阳和C 之间的距离不会改变，但D 却会移动。其他行星并没有等量的飘移。所以它们定会出现这种不规则性。在后面我会对此进行细致的讨论，这种极其微小的不规则性对火星与金星来说是可以察觉的。
接下来我会用观测来证明这些假设是成立的。我从土星、木星和火星开始讨论。就它们而言，求远地点的位置及距离CD 是首要的任务，其他数值都容易求得。我会采用前面对月球用过的方法来求得，即比较古代和现代的三次冲相。这些天象被希腊人称为“日落后升起”，我把它称为“随夜而出”。此时，行星和太阳相冲并和太阳平均运动的直线相交。此交点处行星不受由地球运动所引起的全部不规则性的束缚。若要求得这些位置，可用前面所述的星盘进行观测，并对正好与行星相冲时的太阳进行计算。
5.5 土星的运动
我将从土星谈起，并采用托勒密所观测到的三次冲。土星第一次在哈德里安11年（埃及历）9月7日夜间1时出现，归算到距亚历山大港1小时的克拉科夫的子午线上，便是公元127年3月26日午夜后17个均匀小时。我们可以将这些数值都归化到恒星天球上，把它作为均匀运动的标准。行星在恒星天球上位于174°40′处。令白羊宫之角为零点，此时太阳按其简单行度是在与土星相对的174°40′（354°40′-180°） 处。
第二次冲在哈德里安17年（埃及历）11月18日出现。即公元133年罗马历6月3日午夜后15个均匀小时。托勒密测定行星位于243°3′ [2] 处，而当时按其平均行度的太阳在63°3′（243°3′-180°） 处。
土星的第三次冲出现于哈德里安20年（埃及历）12月24日，即公元136年7月8日午夜后11小时。此刻行星在277°37′ [3] ，而太阳按其平均行度是在97°37′（277°37′-180°） 处。
因而在第一时段共有6年70日55日分，其间行星的视位移为68°23′（243°3′-174°40′） ，地球离开行星的平均行度即视差动为352°44′。我们加上一个圆周所缺的7°16′（360°-352°44′） ，得到行星的平均行度为75°39′（7°16′＋68°23′） 。在第二时段3埃及年35日50日分 [4] 中，行星视行度为34°34′（277°37′-243°3′） ，视差动为356°43′。视行度加上圆周所余的3°17′（360°-356°43′） ，得其平均行度为37°51′（3°17′＋34°34′） 。
回顾了以上材料之后，我们画以D 为中心、FDG 为直径的行星偏心圆ABC ，地球大圆的中心在FDG 上（见图5.5） 。
图5.5
令：第一、二、三次冲时小本轮的中心分别为A 、B 、C 。以这些点为心， DE 为半径，画出小本轮。将A 、B 、C 三个中心与D 两点用直线相连，K 、L 、M 为这些直线与小本轮圆周的交点。
再令： 与 相似， 与 相似， 与 相似。连接EN 、EO 和EP 。求得：AB ＝75°39′，BC ＝37°51′，视行度∠NEO ＝68°23′，∠OEP ＝34°34′。
我们首先确定高拱点F 和低拱点G 的位置，再求出行星偏心圆和地球大圆的距离DE 。否则，将无法区分均匀行度和视行度。讨论的难度和托勒密研讨这一问题的困难程度相当。只要能够证明已知∠NEO 包含已知弧AB ，而∠OEP 包含 ，我们所需的东西便可以求得。已知 与未知角∠AEB 相对，与此相似，已知 与未知角∠BEC 也相对。我们需求出∠AEB 与∠BEC 。但只有确定小本轮上弧段相似的 与 ，才能求得∠AEN 、∠BEO 及∠CEP 。它们表示视行度与平均行度之差。因弧与角相关联，所以它们同时已知或未知。而在无法求得它们的情况下，天文学家只有凭借经验性的证据，来回避相关的论证。对许多问题都会采用这种办法。因而在此研究中，托勒密费尽心思设计了一个复杂的处理方法，同时进行了大量的计算。我认为没有必要重复这些繁杂且让人感到沉重的文字和数字，因为我也将在下面的讨论中采用大部分天文学家的做法。
托勒密在《天文学大成》中求得 ＝57°1′， ＝18°37′， ，取DF 为60P 时，得到两中心的距离DE 为6P 50′。若按我们的数值分度，则DF 为10000P ，DE ＝1139P 。我取DE 总量的 为＝854P ，其余的 为小本轮的285P 。将这些数值用于我的假设，我将证实它们与观测事实吻合（见图5.6） 。
图5.6
第一次冲时：
已知：△ADE 中AD 为10000P ，DE ＝854P 及∠ADF （57°1′） 的补角∠ADE 。
则有：由平面三角定理得出AE ＝10489P ，取4直角＝360°时，∠DEA ＝53°6′，∠DAE ＝3°55′，∠KAN ＝∠ADF ＝57°1′。所以∠NAE ＝60°56′（57°1′＋3°55′） 。
又：取AD ＝10000P 时，△NAE 中AE ＝10489P 及NA ＝285P ，∠NAE 也可知。
则有：在取360°＝4直角时，∠NED ＝∠AED -∠AEN ＝53°6′-1°22′＝51°44′。
第二次冲时：
已知：将△BDE 中BD 取为10000P ，则边DE ＝854P ，而∠BDF 的补角∠BDE ＝180°-18°38′＝161°22′。
则有：此三角形各角与边均可知。
当BD ＝10000P 时，边BE ＝10812P ；∠DBE ＝1°27′；
∠BED ＝180°-（161°22′＋1°27′）＝17°11′。
∵∠OBL ＝∠BDF ＝18°38′。
∴∠EBO ＝∠DBE ＋∠OBL ＝18°38′＋1°27′＝20°5′。
而△EBO 中，已知∠EBO ＝20°5′，BE ＝10812P 及BO ＝285P 。
则有：∠BEO ＝32′，∠OED ＝∠BED -∠BEO ＝17°11′-32°＝16°39′。
第三次冲时：
已知△CDE 中两边CD 与DE ，以及∠CDE 为56°29′的补角＝123°31′。
若取CD ＝10000P ，求得底边CE ＝10512P ，∠DCE ＝3°53′，∠CED ＝180°-（3°53′＋123°31′）＝52°36′。
则有：取360°＝4直角时，∠ECP ＝3°53′＋56°29′＝60°22′。在△ECP 中除∠ECP 外有两边已知，∠CEP ＝1°22′。
∴∠PED ＝∠CED -∠CEP ＝52°36′-1°22′＝51°14′。
得到视行度∠OEN ＝∠NED ＋∠BED -∠BEO ＝51°44′＋17°11′-32′＝68°23′，即∠OEP ＝∠PED -∠OED ＝51°14′-16°39′＝34°35′，与观测一样。
又：偏心圆高拱点F ，距白羊之头226°20′。这个数字需加上当时的春分点岁差6°40′，可知拱点到达天蝎宫内23°，这同托勒密的结论一致。
∵前面曾提到在第三次冲时行星的视位置为277°37′。
∴视行度∠PEF ＝51°14′，偏心圆高拱点的位置为226°23′。
我们再画出地球的周年运行轨道RST ，直线PE 与其交于R 点，直径SET 与行星平均行度线CD 平行。
则有：∠SED ＝∠CDF 。
视行度与平均行度之差，即行差角为∠SER ＝∠CDF -∠PED ＝56°30′-51°14′＝5°16′。
＝半圆度数-∠SER ＝180°-5°16′＝174°44′。
这便是从假定的起点T （即太阳与行星的平均会合点）到第三次“随夜出没”（即地球与行星的真冲点）之间视差的均匀行度。因此我们现在求得第三次观测的时刻，是哈德里安陛下20年（公元136年）7月8日午夜后11小时。这时土星距其偏心圆高拱点的近点行度为 ，其视差的平均行度为174°44′。下面的内容和这些确定的数值息息相关。
5.6 新观测到的土星的另外三次冲
因托勒密算出的土星行度与现代的数值相差不大，我难以弄清误差因何而来，只好重新测定土星的三次冲。土星在205°24′时出现第一次冲，是公元1514年5月5日午夜前 小时。第二次土星在273°25′，出现于公元1520年7月13日正午。第三次土星位于白羊角之东7′处，在公元1527年10月10日午夜后 小时出现。于是从第一次到第二次冲历时6埃及年70日33日分，这期间土星的视行度为68°1′（273°25′-205°24′） 。第二次和第三次冲相隔7埃及年89日46日分，而行星的视行度为86°42′（360°7′-273°25′） 。第一段时间中它的平均行度为75°39′，第二时段为88°29′。因而在求高拱点与偏心率时，我们应同托勒密的一样，将行星看作是在一个简单的偏心圆上运行。虽然这种办法并不妥当，但却更容易接近真实情况（见图5.7） 。
图5.7
令：ABC 为行星在它上面类似均匀运行的圆周，A 点上出现第一次冲，第二次在B 点，第三次在C 点；在ABC 范围内地球轨道中心为D 。
连接AD 、BD 和CD ，将其中任一直线延长到对面的圆周上，例如CDE 。连接AE 和BE 。
已知：∠BDC ＝86°42′。取180°＝2中心直角时，其补角∠BDE ＝180°-86°42′＝93°18′；但在360°＝2直角时，它为180°36′。截出段 的∠BED 为88°29′。
则有：△BDE 中，余下的∠DBE ＝360°-（186°36′＋88°29′）＝84°55′。
又：△BDE 中各角均已知，其圆周弦长可表示出边长：BE ＝19953P ，DE ＝13501P 。
取三角形外接圆的直径为20000P 。
则有：△ADE 中，取180°＝2直角时，∠ADC ＝68°1′＋86°42′＝154°43′，∠ADE ＝180°-154°43′＝25°17′。但在360°＝2直角时，∠ADE ＝50°34′。
相同单位下，得出截出 的∠AED ＝75°39′＋88°29′＝164°8′。
余下的∠DAE ＝360°-（50°34′＋164°8′）＝145°18′。
取△ADE 外接圆直径＝20000P 时，DE ＝19090P 、AE ＝8542P 。但取DE ＝13501P 和BE ＝19953P 的单位时，AE 应为6041P 。
△ABE 中，BE 和EA 两边可知，还可得到 的∠AEB ＝75°39′。
则有：取BE ＝19968P 时，AB ＝15647P 。但在取偏心圆直径为20000P 时，与已知弧所对的AB ＝12266P ，此时EB ＝15664P ，DE ＝10599P 。
由弦BE 可知 ＝103°7′。因此整个 ＝103°7′＋88°29′＝191°36′。圆周的其余部分CE ＝168°24′。
∴它所对的弦CDE ＝19898P ，而CDE -DE （10599P ）＝CD ＝9299P 。
我们令CDE 是偏心圆的直径，可知高、低拱点的位置都在这条直径上面，且能够求得偏心圆与地球大圆两个中心的距离。但因段 大于半圆，偏心圆的中心应落到它里面。
令：F 为中心。通过F 、D 画直径GFDH ，并画FKL 垂直于CDE 。
则有：矩形CD ×DE ＝矩形GD ×DH 。
∵矩形GD ×DH ＋FD 2 ＝（ GDH ）2 ＝FDH 2 。
∴（ 直径）2 -矩形GD ×DH 或矩形CD ×DE ＝FD 2 。
取半径GF ＝10000P 时，FD 的长度＝1200P 。但若取FG ＝60P 时，FD ＝7P 12′，这同托勒密的数值（6∶6P 50′） 略微不同。
但CDK ＝9949P ＝整个CDE （19898P ）的 。
已知CD ＝9299P ，则DK ＝9949P -9299P ＝650P 。我们取GF ＝10000P ，FD ＝1200P 。
若用FD ＝10000P ，则DK ＝5411P ＝两倍∠FDK 角所对弦的一半。
在4直角＝360°时，∠DFK ＝32°45′。这是在圆心所张的角，它所对的 和这差不多。但是整个 （168°24′） ≈84°13′。
∴由 ＝84°13′减去 （32°45′） ＝第三冲点与近地点的距离＝51°28′。
高拱点与第三次冲点的距离为余弧 ＝从半圆减掉 ＝128°32′。
（128°32′） -CB （88°29′） ＝40°3′，即高拱点与第二冲点的距离。
下面一段 ＝75°39′提供第一冲点与远地点G 的距离 ＝35°36′（75°39′-40°3′） 。
令：圆周ABC 内，FDEG 为直径，D 为中心，远地点为F ，近地点为G （见图5.8） 。
图5.8
已知： ＝35°36′， ＝40°3′， ＝128°32′。由前面已求得的土星偏心圆与地球大圆中心间的距离＝1200P ，取 为DE ＝900P 。当土星偏心圆半径FD ＝10000P 时，以其余的 ＝300P 为半径，绕A 、B 和C 三点为心画小本轮。
若我们试图用以上阐释过的方法，从图像推得土星的观测位置，便会发现一些不吻合之处。
为了让读者能更清楚地了解，我会谈到通过三角形求解，由以上得到∠NEO ＝67°35′，∠OEM ＝87°12′。前者比视角（68°1′） 小26′，后者比视角（86°42′） 大 。为了彼此吻合，只能将远地点稍微前移3°14′并取 为38°50′，而不是35°36′，则有 ＝36°49′（40°3′-3°14′） ； ＝125°18′（128°32′-3°14′） ；两个中心之间的距离DE ＝854P （而非900P ）；并在FD ＝10000P 时，小本轮的半径＝285P （而非300P ）。这与前面托勒密所得结果近乎相同。
土星环
土星环位于土星的赤道面上，其成分主要是与土星球状本体不相接触的卫星岩屑。
接下来我们将看出，天象及三次观测到的冲和以上数字吻合。
取AD ＝10000P ，则在第一次冲时：
求得：△ADE 的边DE 为854P ，∠ADE ＝141°10′，其与∠ADF （38°50′）一起在中心合成2直角。
取半径FD ＝10000P 时：同理可求得剩余的边AE ＝10679P 。∠DAE ＝2°52′，∠DEA ＝35°58′。
△AEN 的情况也如此。因为∠KAN ＝∠ADF ＝38°50′，则整个∠EAN ＝∠DAE ＋∠KAN ＝2°52′＋38°50′＝41°42′。
已知：AE ＝10679P 时，AN ＝285P 。
求得：∠AEN ＝1°3′，∠DEA ＝35°58′。∠DEN ＝∠DEA -∠AEN ＝35°58′-1°3′＝34°55′。
与此相似，在第二次冲时△BED 也是这种情况。
已知：△BED 的两边，在BD ＝10000P 时，DE ＝854P 。∠BDE ＝180°-∠BDF （36°49′） ＝143°11′。
则有：BE ＝10679P ，∠DBE ＝2°45′，而∠BED ＝34°4′。
又：∠LBO ＝∠BDF ＝36°9′。
∴∠EBO ＝∠DBO ＋∠DBE ＝36°49′＋2°45′＝39°34′。
它的两夹边为BO ＝285P 及BE ＝10697P 。BEO ＝59′。
∠BED （34°4′） -∠BEO ＝∠OED ＝33°5′。
∵对第一次冲已经证明∠DEN ＝34°55′。
∴整个∠OEN ＝∠DEN ＋∠OED ＝34°55′＋33°5′＝68°。
它给出第一次冲与第二次冲的距离，这与观测值（68°1′） 相符合。
对第三次冲可做相似的论证。
△CDE 中，已知∠CDE ＝180°-∠FDC （125°18′） ＝54°42′，CD ＝10000P ，DE ＝854P 。
则有：第三边EC ＝9532P ，∠CED ＝121°5′及∠DCE ＝4°13′。
∠PCE ＝4°13′＋125°18′＝129°31′。
同理，在△EPC 中，PC ＝285P ，CE ＝9532P ，已知∠PCE ＝129°31′。
∴∠PEC ＝1°18′。∠PED ＝∠CED （121°5′） -∠PEC ＝119°47′，此即由偏心圆高拱点至第三次冲时行星位置的距离。
∵在第二次冲时，从偏心圆高拱点到行星的位置为33°5′。
∴在土星的第二、三冲点之间应有86°42′（119°47′-33°5′） 。
我们可以看作这一数值也与观测相符。而由观测求得，当时土星的位置是在取作零点的白羊宫第一星之东8′处。我们已经求得由土星位置至偏心圆低拱点的距离为60°13′（180°-119°47′）。因此低拱点约在 （≈60°13′＋8′）处，而高拱点的位置与此刚好相对，即位于 处（见图5.9） 。
图5.9
我们以E 为中心，描出地球的大圆RST ；画直径SET ∥CD ，CD 为行星的平均运动线；取∠FDC ＝∠DES 。
则有：地球和我们的观测位置应在PE 线上（如R 点）。∠PES ＝∠EMD 或 ＝∠FDC 与∠DEP 之差＝行星的均匀行度与视行度之差，其值＝∠CES （＝∠DCE ）＋∠PEC ＝4°13′＋1°18′＝5°31′。
＝180°-5°31′＝174°29′＝行星与大圆远地点T 的距离＝太阳的平位置。
求得在公元1527年10月10日午夜后 小时，土星距离偏心圆高拱点的近点角行度为125°18′，视差行度为174°29′，而高拱点位置位于恒星天球上距白羊宫第一星240°21′处。
5.7 土星运动的分析
在前面提到的托勒密三次观测的最后一次，土星的视差行度为174°44′，而土星偏心圆高拱点距离白羊星座起点为226°23′。由此可知，在托勒密的最后一次观测与哥白尼的最后一次观测之间，土星视差均匀运动共完成1344次运转，相差 。从哈德里安20年（埃及历）12月24日午前1小时至公元1527年10月10日6时的后一次观测时，共经历1392埃及年75日48日分。若我们将这一时段行度用土星视差运动表计算，则得出比1343次视差运转超过5×60°＋59°48′的相似结果。因而前面提到的土星平均运动是正确的。
托勒密还提到，同一时段中太阳的简单行度为82°30′。从这一数字减去359°45′，余数82°45′为土星的平均行度。这个与计算相符的数值现在已经被累计到土星的第47个恒星周中。同时，在恒星天球上偏心圆高拱点的位置也前移了13°58′（240°21′-226°23′） 。现在，我们知道拱点在100年内大约移动了1°，这与托勒密认为的拱点和恒星一样是固定的这一观点并不相符。
5.8 土星位置的测定
从基督纪元初始到托勒密于哈德里安20年（埃及历）12月24日午前1小时观测之时，共有135埃及年222日27日分。这期间，土星的视差行度为328°55′。从174°44′减去328°55′，太阳平位置与土星平位置距离的范围就是余数205°49′，这是公元元年元旦前午夜时土星的视差行度。
从第一届奥林匹克会期到基督纪元开端的这个时刻，在此775埃及年 日中的行度，除掉完整运转外余下70°55′。205°49′-70°55′＝134°54′，此数值表示在祭月第一日正午奥运会的开端。从这个时刻开始的451年247日内，除完整运转外还有13°7′。将这一数字与前面的134°54′相加，得出148°1′，此即埃及历元旦正午亚历山大大帝纪元开始时的位置。对恺撒纪元，在278年 日中，行度为247°20′。进而推算出公元前45年元旦前午夜时的位置。
5.9 土星视差及土星与地球的距离
前面已经描述了土星在黄经上的均匀行度与视行度。我已将地球周年运动所引起的土星的另一种现象命名为视差。地球周年运转的轨道也能引起五颗行星的视差，这就好比地球的大小在与地月距离的对比之下会造成视差。因为轨道的尺度，行星视差要显著得多。但只有测得行星的高度才能确定这些视差。同样的，由任何一次视差观测都可得出高度。
