公元1514年2月24日午夜后5个均匀小时，我对土星进行了这样一次观测。看起来土星与天蝎额部的第二和第三恒星是在一条直线上，而这两颗星在恒星运行平面上具有相同的黄经，即209°。因此能通过它们得知土星位置。从基督纪元开端到这一时刻历时1514埃及年67日13日分。我们算出太阳的平位置为315°41′，土星的视差近点角为116°31′，得到土星的平位置为199°10′，而偏心圆高拱点在约为 的位置（见图5.10） 。
图5.10
令：ABC 为偏心圆，D 为中心，BDC 为直径，再令远地点为B ，近地点为C ，而地球轨道的中心为E 。连接AD 与AE 。以A 为圆心、 为半径画小本轮。行星位于F 点，取∠DAF＝∠ADB 。
经过地球轨道中心E 画HI ，设定HI 与圆周ABC 在同一平面。轨道直径HI∥AD 。
则有：I 是地球轨道上距行星最近的点，H 是最远的点。
按照对视差近点角的计算结果， 。连接FL 和EL 。延长FKEM ，使与轨道圆周的两边相交。
已知：∠ADB ＝∠DAF ＝41°10′，∠ADE ＝138°50′。我们取AD ＝10000 P 时，DE ＝854 P 。
则有：△ADE 中第三边AE ＝10667 P ，∠DEA ＝38°9′，剩余角∠EAD ＝3°1′。因而整个∠EAF ＝∠EAD ＋∠DAF ＝3°1′＋41°10′＝44°11′。
同理，在△FAE 中，当AE ＝10667 P ，边FA ＝285 P 。
则有：剩余边FKE ＝10465 P ，∠AEF ＝1°5′。
行星平位置与真位置的整个差值或行差＝∠DAE ＋∠AEF ＝3°1′＋1°5′＝4°6′。
∴若地球位于K 或M ，则看起来土星的位置是在距白羊星座203°16′处，且像是从中心E对其进行观测。但当地球位于L 时，土星看来是在209°处。
∵∠KFL 所表示的视差＝209°-203°16′＝5°44′。在地球的均匀运动中弧HL ＝116°31′＝土星的视差近点角。
∴ -行差 ＝116°31′-4°6′＝112°25′。半圆的余段 ＝67°35′（180°-112°25′） 。还可得∠KEL （67°35′） 。
则有：在△FEL 中，∠EFL ＝5°44′，∠FEL ＝67°35′，∠ELF ＝106°41′，且以EF ＝10465 P ，各边的比值也已知。
取AD 或BD ＝10000 P 时，得EL ＝1090 P 。如果按照古人的做法取BD ＝60 P ，则EL ＝6 P 32′，这同托勒密的结论也相差甚微。
则有：BDE ＝10854 P ，直径的其余部分CE ＝20000 P -10854 P ＝9146 P 。而在B 点的小本轮随时使行星高度减少285 P ，C 却增加同一数量，为小本轮直径的 。
取：BD ＝10000 P 时，
可知：土星距中心E的最大距离＝10854 P -285 P ＝10569 P ，最小距离＝9146 P ＋285 P ＝9431 P 。
以同样的比率，取地球轨道半径为1单位时，土星远地点的高度为9 P 42′，近地点的高度为8 P 39′。
按照前面提到的对月球的小视差所解释过的办法，用上面的资料就能求得土星的较大视差。
结论：土星位于远地点时，其最大视差为5 P 55′；当它位于近地点时，视差为6 P 39′。两个数值之差为44′，它出现在来自土星的两条直线与地球轨道相切的时候。
通过这个例子我们能够找到土星运动中每个个别的变化。后面我将把五个行星合在一起同时描述这些变化。
5.10 木星的运动
我将用谈论土星的方法和顺序来描述木星的运动。它和托勒密所报告和分析过的三个位置相同或相似，因此我准备重复托勒密的结论，最后用前面提到的圆周转换来确定这些位置。
托勒密的三次冲的第一次于哈德里安17年（埃及历）11月1日之后的午夜前1小时出现，托勒密观测到它位于天蝎宫内23°11′（≈223°11′），但是在减掉二分点岁差（6°38′）的226°33′处。第二次冲出现于哈德里安21年（埃及历）2月13日之后的午夜前2小时，位于双鱼宫内7°54′；在恒星天球上是331°16′（≈337°54′-6°38′）。第三次冲出现在安东尼厄斯元年3月20日之后的午夜后5小时，在恒星天球上为7°45′（≈14°23′-6°38′）处。
因而，从第一次到第二次冲经过3埃及年106日23小时，而行星的视行度为104°43′（331°16′-226°33′）。第二次至第三次冲历时1埃及年37日7小时，行星视行度为36°29′（360°＋7°45′-331°16′）。第一段时期里行星的平均行度为99°55′，第二段时期为33°26′。他求得在偏心圆上从高拱点到第一冲点的弧长为77°15′；第二冲点至低拱点的下一段弧是2°50′；从此处到第三冲点为30°36′；我们取半径为60 P 时，偏心距为 ；取半径为10000 P ，则偏心度为917 P [5] 。以上数值都与观测结果相符（见图5.11） 。
图5.11
令：ABC 为一圆周， 是第一至第二冲点的弧，前面提到其长度是99°55′， ＝33°26′。绘直径FDG 通过圆心D ，再使从F （高拱点）开始的 为77°15′， ＝180°-2°50′＝177°10′，GC ＝30°36′。
取地球圆周的中心E ，设距离DE ＝687 P ＝托勒密偏心距＝917 P 的 。半径为917 P 的 等于229 P ，画一小本轮通过A、B、C 三点。连接AD、BD、CD 、AE 、BE 和CE 。同时连接AK、BL 及CM ，使∠DAK、∠DBL、∠DCM 分别等于∠ADF、∠FDB、∠FDC 。最后连接KE、LE 和ME 。
已知：△ADE 中，∠ADF ＝77°15′，其补角∠ADE ＝102°45′；取AD ＝10000 P 。
则有：DE ＝687 P ；第三边AE ＝10174 P ；∠EAD ＝3°48′；剩余∠DEA ＝73°27′。
可知：∠EAK ＝∠EAD ＋∠CAK （＝∠ADF ）＝3°48′＋77°15′＝81°3′。
△AEK 中的情况与此相似。
∵当AK ＝229 P 时，EA ＝10174 P ，所夹角为∠EAK 。
∴∠AEK ＝1°17′。余下的∠KED ＝∠DEA -∠AEK ＝73°27′-1°17′＝72°10′。
△BED 也可以这样证明。
已知：BD、DE 与前面相应的边相等，∠BDE ＝180°-∠FDB （177°10′） ＝2°50′，取DB ＝10000 P 。
则有：底边BE ＝9314 P ，∠DBE ＝12′。
同理，△ELB 中BE、BL 两边已知，整个∠EBL＝∠DBL（＝∠FDB）＋∠DBE ＝177°10′＋12′＝177°22′。
已知∠LEB ＝4′，∠FDB （177°10′） -16′（12′＋4′） ＝176°54′＝∠FEL ＝∠LEM ＝∠GEM＋∠LEG ＝33°23′＋3°6′＝36°29′ [6] ；则有∠LEG ＝180°-∠FEL （176°54′）＝3°6′。∠KEL ＝∠FEL -KED （72°10′） ＝104°44′，这约等于观测到的第一和第二端点之间的视运动角（104°43′）。
同样的，在第三个位置，即△CDE 中也是如此。
已知：CD ＝10000 P ，DE ＝687 P ，∠CDE ＝30°36′。
可得：底边EC ＝9410 P ，∠DCE ＝2°8′。则∠ECM ＝147°44′ [7] ，∠CEM ＝39′。∠DXE＝∠ECX＋∠CEX ＝2°8′＋39′＝2°47′＝∠FDC-∠DEM（∠FDC ＝180°-30°36′＝149°24′；∠DEM ＝149°24′-2°47′＝146°37′）。
则有：∠GEM ＝180°-∠DEM ＝33°23′。
第二次和第三次冲之间的角LEM ＝36°29′，这同样与观测相符。而前面证明的位于低拱点东面33°23′的第三冲点，测出位置在7°45′。则由半圆的剩余部分可知高拱点位置为恒星天球上154°22′〔180°-（33°23′-7°45′）〕 处。
我们绕E 点画出地球的周年运动轨道RST ，其直径SET∥DC 。由上可知，∠GDC＝∠GES ＝30°36′。∠DXE＝∠RES ＝ ＝2°47′＝行星与轨道平近地点之间的距离（见图5.12） 。
图5.12
TSR ＝行星与轨道高拱点之间的距离＝182°47′。
结论：由此可证实在安东尼厄斯元年（埃及历）3月20日之后的午夜后5小时，木星第三次冲时，该行星视差近点角为182°47′，经度均匀位置等于7°45′-2°47′＝4°58′，而偏心圆高拱点位置为154°22′。
以上计算结果均与我的地球运动和均匀运动假说完全吻合。
5.11 新观测到的木星的另外三次冲
我要在之前阐明过的木星的三个位置的基础上增添另外三个，它们是我非常仔细地观测到的木星的冲。第一次冲在1520年4月30日之前的午夜过后11小时出现，位于恒星天球上200°28′处。第二次冲在48°34′处，发生于1526年11月28日午夜后3小时。第三次冲在113°44′处于公元1529年2月1日午夜后19小时出现。从第一次到第二次冲间隔6年212日40日分，在此期间木星的行度为208°6′（360°＋48°34′-200°28′） 。第二次至第三次冲经过2埃及年66日39日1分，而行星的视行度＝65°10′（113°44′-48°34′） 。第一段时期中均匀行度为199°40′，第二时期为66°10′（见图5.13） 。
图5.13
我们先画一个偏心圆ABC ，并认为行星在上面做简单且均匀的运动。三个观测位置按次序为A、B 和C ，取 为199°40′， 为66°10′，剩余 为94°10′。
令：D 为地球周年运动轨道的中心。连接AD、BD 与CD 。延长其中任一条线如DB ，交于圆周上的E 点，连接AC 、AE 及CE 。
若取360°＝中心的4个角，
则有：视运动角∠BDC ＝65°10′，因而其补角∠CDE ＝180°-∠BDE ＝114°50′。
若取360°＝2直角，
则有：∠CDE ＝2×114°50′＝229°40′。
若 所对的圆周角∠CED 为66°10′，
则有：△CDE 中余下的∠DCE ＝360°-（229°40′＋66°10′）＝64°10′。由此可知，△CDE 中各角已知，各边也可知。在取三角形外接圆直径＝20000 P 时，CE ＝18150 P ，则ED ＝10918 P 。
△ADE 的论证与之相似。
∵∠ADB ＝在减去从第一次到第二次冲的距离（208°6′）后圆周的剩余部分151°54′。
∴∠ADE ＝180°-151°54′＝中心角＝28°6′，但圆周上为56°12′（2×28°6′）。
的圆周角∠AEB ＝∠AED ＝160°20′（66°10′＋94°10′） 。
于是：△ADE 中剩下的内接角∠EAD ＝360°-（56°12′＋160°20′） ＝143°28′。
显然可知，在取△ADE 的外接圆直径＝20000 P 时，边AE ＝9420 P ，ED ＝18992 P 。
但当ED ＝10918 P 时，AE ＝5415P [8] ，由此可知CE ＝18150 P 。
△EAC 中也是相同的情况。
已知：EA ＝5415 P ，EC ＝18150 P ，所夹的、截出 所对的圆周角∠AEC ＝94°10′。
则有：截出 所对的圆周角∠ACE ＝30°40′。∠AEC ＋∠ACE ＝94°10′＋30°40′＝124°50′，即CE 所对的弧。
若取偏心圆直径为20000 P 时，则有CE ＝17727 P 。按前面所定的比率，用同样单位得到DE ＝10665 P [9] 。整个 ＝66°10′＋94°10′＋30°40′＝191°。
∴ ＝剩余的圆周＝360°- （191°）＝169°，即整个∠BDE 所对的弧。
当BDE-DE ＝19908 P -10665 P ＝9243 P 时，则有：BDE ＝19908 P 。较大的弧段为 ，它的范围内包含偏心圆的中心F 。
现在，画直径GFDH 。
则有：矩形ED×DB ＝矩形GD×DH 。
又：矩形GD×DH＋FD 2 ＝FDH 2 。
∴FDH 2 -矩形GD×DH＝FD 2 。
我们取FG ＝10000 P 时，得到FD 的长度＝1193 P ；而取FG ＝60 P 时，FD ＝7 P 9′ [10] 。
画FKL 与BE 垂直，等分BE 于K 。
∵BDK ＝ BDE （19908 P ）＝9954 P ，DB ＝9243 P 。
则有：DK＝BDK-DB ＝9954 P -9243 P ＝711 P 。
直角△DFK 中，已知FD ＝1193 P ，DK ＝711 P ，FK 2 ＝FD 2 -DK 2 ，∠DFK ＝36°35′， 也为36°35′。而整个LHB ＝ EB （169°）。
则有：第二冲点位置与近地点的距离 ＝84°-36°35′＝47°55′。
而从第二冲点到远地点的距离＝半圆- ＝180°-47°55′＝132°5′。
第三冲点到远地点的距离 ＝132°5′-66°10′＝65°55′。
从远地点至小本轮第一位置的距离 ＝94°10′-66°10′＝28°15′。
因行星并非沿着前面所谈的偏心圆运动，所以上述结果和天象很少会相符。这种建立在错误基础上的研究方法是不能给出可靠结果的。我们可以从很多方面去证明它的谬误，比如这样一例事实：托勒密用这种方法求得土星的偏心距比实际数值大，却比木星小一些，而我求得的木星偏心度却非常大。由此得出：如果对一颗行星取同一圆周上的不同弧段，就能通过不同的方法得出所需结果。倘若我不接受托勒密所宣布的在偏心圆半径等于60 P 时整个偏心距等于5 P 30′，就不能对上述三个端点以及一切位置来比较木星的均匀行度和视行度。如果取半径为10000 P ，则偏心度为917 P ，这时应取由高拱点至第一冲点的弧段为45°2′（而不是28°15′），从低拱点到第二冲点为64°42′（而非47°55′），并且由第三冲点至高拱点为49°8′（而非65°55′）（见图5.14） 。
图5.14
为了使它适合这种情况，我要重画前面的偏心本轮图。
假设：圆心之间整个距离为916 P （而非1193 P ）的 ＝687 P ＝DE ，取FD ＝10000 P 时，小本轮占有其余的 ＝229 P ；∠ADF ＝45°2′。
已知：△ADE 中，AD ＝10000 P ，DE ＝687 P ，其所夹角∠ADE ＝180°-∠ADF （45°2′）＝134°58′。
由此，当取AD ＝10000 P 时，第三边AE ＝10496 P ，∠DAE ＝2°39′。
假设∠DAK ＝∠ADF ＝45°2′。
则∠EAK＝∠DAK ＋∠DAE ＝45°2′＋2°39′＝47°41′。
在△AEK 中也是相同的情况。
已知：AK ＝229 P ，AE ＝10496 P 。
则有：∠AEK ＝57′。
在第一次冲时余量∠KED＝∠ADF -（∠AEK＋∠DAE ）＝45°2′-（57′＋2°39′）＝41°26′ [11] 。
△BDE 中的情况也与此相似。
已知BD ＝10000 P ，DE ＝687 P ，其所夹角∠BDE ＝64°42′。
取BD ＝10000 P 时，得到第三边BE ＝9725 P ，∠DBE ＝3°40′。
同理，在△BEL 中也已知BE ＝9725 P ，BL ＝229 P 。
∵BE 与BL 的夹角∠EBL ＝∠DBE ＋∠DBL ，∠DBE ＝3°40′，∠DBL ＝∠FDB ＝180°-∠BDG （64°42′）＝115°18′。
∴∠EBL ＝118°58′。
还可知∠BEL ＝1°10′，∠DEL ＝110°28′。
又∵∠KED ＝41°26′。
∴∠KEL ＝∠KED ＋∠DEL ＝110°28′＋41°26′＝151°54′。
由360°＝4直角求得的剩余角为208°6′，此为第一和第二次冲之间的视行度，这符合修正后的观测值为199°40′〔（180°-45°2′＝134°58′）＋64°42′〕。
在第三位置，用相同方法可求得△CDE 中的DC ＝10000 P ，DE ＝687 P 。
已知：∠FDC ＝49°8′，∠CDE ＝130°52′。
我们取CD ＝10000 P 时，得到第三边CE ＝10463 P ，及∠DCE ＝2°51′。
则∠ECM ＝∠DCE ＋∠DCM （＝∠FDC ）＝2°51′＋49°8′＝51°59′。
同理，已知△CEM 中两边CM ＝229 P ，CE ＝10463 P 及其夹角∠MCE ＝51°59′
和∠MEC ＝1°。
∵均匀行度与视行度∠FDC 及∠DEM 之差＝∠MEC ＋∠DCE （2°51′）。
∴在第三次冲时∠DEM ＝45°17′ [12] 。
又：∠DEL ＝110°28′。
则有：观测到的第二次至第三次冲的角度为∠LEM ＝∠DEL -∠DEM ＝110°28′-45°17′＝65°10′，这也符合观测值。但因木星的第三位置看似在恒星天球上113°44′处，可以求得木星高拱点的位置≈159°（113°44′＋45°17′=159°1′） 。
以E 点为圆心画出地球轨道RST ，直径RES 与DC 平行（见图5.15） 。
图5.15
则有：在木星第三次冲时，∠FDC ＝∠DES ＝49°8′，而R 为视差均匀运动的远地点。在地球走过一个半圆加上 后，它的位置便与太阳相冲并与木星相合。前面已求得∠DCE ＝2°51′＋∠MEC ＝1°， ＝3°51′＝∠SET 。这些数值可以表明在1529年2月1日午夜之后19小时，木星视差的均匀近点角为183°51′ [13] ，它的真行度为109°52′，而现在偏心圆的远地点约距白羊星座之角159°。此即我们要求的信息。
5.12 木星的匀速运动
由前面可知，在托勒密所观测到的三次冲的最后一次，木星的平均行度在4°58′处，视差近点角为182°47′。于是在我的最后一次观测和托勒密的最后一次观测中间的时期里，木星的视差行度除整圈运转外还有1°5′（≈183°51′-182°47′）。它自身的行度大致为104°54′（109°52′-4°58′） （见图5.15） 。
从安东尼厄斯元年（埃及历）3月20日之后的午夜后5小时至公元1529年2月1日之前的午夜后19小时，共经历了1392埃及年99日37日分。按上述计算，这段时间里地球在均匀运动中赶上木星1274次，木星的视差行度为1°5′（除整圈运转外）。目测得出的结果和计算值相符，则可以证明计算式是可靠的。在这段时间内可以清楚地发现偏心圆的高、低拱点向东飘移了 （≈159°-154°22′） 。按平均分配约为每300年1°。
5.13 木星位置的测定
在安东尼厄斯元年3月20日之后的午夜后5小时，托勒密三次观测的最后一次出现了。此时离基督纪元开始的时间已过去了136埃及年314日10日分。这段时间内视差平均行度＝84°31′。托勒密的第三次观测时的182°47′减去84°31′，余量为98°16′，它是基督纪元开始时1月1日之前的午夜时的数值。从这时到775埃及年 日的第一届奥林匹克会期，可算出除整圆外行度为70°58′。把这一数字从98°16′（基督纪元）里减去，余27°18′，即为奥林匹克会期开始时的数值。而后的451年247日中，行度达110°52′。这个数值加上奥林匹克会期起点的数值，和为138°10′，此为在埃及历元旦中午亚历山大纪元开始时的数值。此方法对其他任何历元都适用。
5.14 木星视差及其相对于地球运转轨道的测定
我在公元1520年2月19日 [14] 中午前6小时认真观测了木星的位置，以便测定它的视差及其他星象。我用观测仪器看见，木星在天蝎前额第一颗较亮恒星（209°40′）西面4°31′处，由此可知木星的位置位于恒星天球上205°9′。这次观测距基督纪元开端1520均匀年62日15日分。则可得出太阳的平均行度为309°16′，平均视差近点角为111°15′。显然可知木星的平位置为198°1′（309°16′-111°15′） 。由于已求得偏心圆高拱点位置为159°，此时便可求得木星偏心圆的近点角为39°1′（198°1′-159°） 。
为了证明以上论点，我们以ADC 为直径、D 为圆心，绘出偏心圆ABC ，A 为远地点，C 为近地点（见图5.16） 。
图5.16
令：地球周年运动轨道的中心E 在DC 上。取B 点，使 ＝39°1′。以B 为心，以BF ＝ DE ＝两个圆心之间的距离为半径描小本轮，∠DBF ＝∠ADB 。描出直线BD 、BE 和FE 。
取△BDE 的两边BD ＝10000 P ，DE ＝687 P 。夹角∠BDE ＝180°-∠ADB （39°1′）＝140°59′。
则有：BE ＝10543 P ，而∠DBE ＝∠ADB -∠BED ＝2°21′。∠EBF ＝∠DBE ＋∠DBF （∠ADB ）＝2°21′＋39°1′＝41°22′。
同样，△EBF 中，已知两边EB 和BF 及其夹角。
由此：当BD ＝10000 P 时，EB ＝10543 P ，BF ＝ DE （为两圆心的距离）＝229 P 。
于是求得：FE ＝10373 P ，∠BEF ＝50′。
直线BD 与FE 交点为X ，交点角∠DXE ＝∠BDA -∠FED ＝平均行度-真行度。∠DXE ＝∠DBE ＋∠BEF ＝2°21′＋50′＝3°11′。∠ADB ＝∠FED ＝39°1′-3°11′＝偏心圆高拱点（35°50′）与行星之间的角度。
又：高拱点位置为159°。
∴两角之和为194°50′。这就是木星对于中心E 的真位置，但看起来该行星是在205°9′。因此，视差值为10°19′。
再以E 为中心画出地球轨道RST ，R 为视差远地点，其直径RET 与BD 平行。依据在前面表述的平均视差近点角的测定，取 ＝111°15′。
穿过地球轨道两边延长直线FEV ，行星真实的远地点为V 。
∵平均远地点与真远地点的角度差为REV ＝DXE 。
∴ ＝111°15′＋3°11′＝114°26′，180°-SEV （114°26′）＝65°34′。
又：视差∠EFS ＝10°19′，△EFS 中，∠FSE ＝104°7′。
则：由各角的大小得知边长比值为：FE ∶ES ＝9698 P ∶1791 P [15] 。
我们取BD ＝10000 P ，当FE ＝10373 P 时，ES ＝1916 P 。
托勒密在取偏心圆半径为60 P 时，求得ES 为11 P 30′。这几乎与1916 P ∶10000 P 的比值相同。我在这个方面与他几乎没有差异。
我们求得直径ADC ∶直径RET ＝5 P 13′∶1 P [16] 。
与此相似，AD ∶ES 或RE ＝5 P 13′9″∶1 P 。相同的方法求得DE ＝21′29″，BF ＝7′10″。
若取地球轨道半径为1 P ，当木星在远地点时，ADE -BF ＝5 P 13′9″＋21′29″-7′9″＝5 P 27′29″；而当该行星在远地点时，余下的EC ＋BF ＝5 P 13′9″-21′29″＋7′9″＝4 P 58′49″；而此行星位于远地点与近地点中间时，也有对应的数值。以上数值便可得出结论。木星在远地点时的最大视差为10°35′，在近地点为11°35′，两个极端值之差为1°。这样便确定出木星的均匀行度及其视行度。
5.15 火星
我将用火星在古代的三次冲来剖析它的运行，并将再次把地球在古代的运动同行星冲日相关联。托勒密所观测的三次冲中，第一次在哈德里安15年（埃及历）5月26日之后的午夜后1个均匀小时出现。托勒密认为当时该行星位于双子宫内21°处，而在恒星天球上为74°20′。他在哈德里安19年（埃及历）8月6日之后的午夜前3小时观测到第二次冲，那时行星位于狮子宫内28°50′，而在恒星天球上为142°10′。第三次冲于安东尼厄斯2年（埃及历）11月12日之后的午夜前2均匀小时出现，此时行星在人马宫内2°34′处，而在恒星天球上为235°54′。
从第一次到第二次冲共有4埃及年69日加上20小时50日分，除整圈运转外，行星的视行度为67°50′（142°10′-74°20′） 。第二次与第三次冲之间经过4年96日1小时，行星的视行度为93°44′（235°54′-142°10′） 。第一时段里，除整圈运转外，平均行度为81°44′，而在第二时段为95°28′。我们取偏心圆半径为60 P 时，托勒密求得两个中心的全部距离为12 P ；但取半径为10000 P 时，相应的距离为2000 P 。而第一冲点到高拱点的平均行度是41°33′；而后由高拱点至第二冲点，平均行度为40°11′；最后在第三冲点与低拱点之间，平均行度是44°21′（见图5.17） 。
图5.17
按我的均匀运动假设，偏心圆和地球轨道的中心间的距离 等于托勒密的偏心度（2000 P ）的 ＝1500 P ，而余下的 ＝500 P ，为小本轮的半径。我们用这种方法，以D 为心画出偏心圆ABC 。由两拱点绘出直径FDG ，再设此线上E 为周年运转圆周的中心。
假设A 、B 、C 依次为观测到的各次冲点的位置。 ＝41°33′， ＝40°11′， ＝44°21′。我们绕A 、B 、C 的每一点以半径＝距离DE 的 ，描出小本轮。连接AD 、BD 、CD 、AE 、BE 及CE 。在这些小本轮中，画AL 、BM 和CN ，使∠DAL 、∠DBM 和∠DCN 分别与∠ADF 、∠BDF 和∠CDF 相等。
已知：△ADE 中，∠FDA ＝41°33′，则∠ADE ＝138°27′。
我们取AD ＝10000 P 时，DE ＝1500 P 。
则有：以相同的单位，剩下的边AE ＝11172 P ，∠DAE ＝5°7′。
∠EAL ＝∠DAE ＋∠DAL ＝5°7′＋41°33′＝46°40′。
△EAL 中情况也是如此，即可知∠EAL ＝46°40′，以及取AD ＝10000 P 时，AE ＝11172 P ，AL ＝500 P ，也知∠AEL ＝1°56′。
∠AEL 与∠DAE 相加，其给出∠ADF 与∠LED 的差值为7°3′，∠DEL ＝ 。
第二次冲时，△BDE 的情况与此相似。
已知：△BDE 中，∠BDE ＝180°-∠FDB （40°11′） ＝139°49′，取BD ＝10000 P 时，DE ＝1500 P 。
则有：BE ＝11188 P ，∠BED ＝35°13′，∠DBE ＝180°-（139°49′＋35°13′）＝4°58′。
于是：BE ＝11188 P ，BM ＝500 P 。BE 、BM 所夹角∠EBM ＝∠DBE ＋∠DBM （∠BDF ）＝4°58′＋40°11′＝45°9′。
因此∠BEM ＝1°53′，而剩下的角∠DEM ＝∠BED -∠BEM ＝35°13′-1°53′＝33°20′。由第一次至第二次冲时行星视运动的角度∠MEL ＝∠DEM ＋∠DEL ＝33°20′＋ ＝67°50′，这个数值是符合实测结果（67°50′） 的。
用同样的方法计算第三次冲。
已知：△CDE 的两边CD ＝10000 P ，DE ＝1500 P 。夹角∠CDE ＝ ＝44°21′。
当CD ＝10000 P ，DE ＝1500 P 时，底边CE ＝8988 P 。
则有：∠CED ＝128°57′，余下的∠DCE ＝180°-（44°21′＋128°57′）＝6°42′。
在△CEN 中：
∵∠ECN ＝∠DCN ＋∠DCE ；∠DCN ＝∠CDF ＝180°-44°21′＝135°39′，我们得到∠CEN ＝1°52′。可知第三次冲时剩余的∠NED （∠CED -∠CEN ＝128°57′-1°52′）＝127°5′。因求得∠DEM ＝33°20′，则剩余∠MEN ＝∠NED -∠DEM ＝127°5′-33°20′＝93°45′，即为第二次与第三次冲之间的视运动角。用93°45′与93°44′相比，求得的数值也与观测值基本符合。前文有提到，在这次最后观测到的火星冲，行星看起来位于235°54′，同偏心圆远地点的距离为127°5′。由此可知火星偏心圆的远地点位于恒星天球上的位置为108°49′（235°54′-127°5′） 。
我们以E 为中心画出地球的周年轨道RST ，直径RET 与DC 平行（见图5.18） 。再令R 为视差远地点，T 为近地点。从EX 看来，行星是在经度235°54′处。由上可知∠DXE ＝8°34′＝均匀行度与视行度之和（∠DCE ＋∠CEN ＝6°42′＋1°52′） 。则此平均行度为 （≈235°54′＋8°34′＝244°28′） 。而∠DXE ＝中心角∠SET ＝8°34′。所以从半圆减去 ＝8°34′，可得行星的平均视差行度＝ ＝171°26′。因而除其他结果外，我用地球运动的假设还说明了在安东尼厄斯2年（埃及历）11月12日午后10均匀小时，火星的经度平均行度为 ，其视差近点角为171°26′。
图5.18
5.16 新观测到的火星的另外三次冲
我再次将托勒密对火星的观测和自己较为认真完成的其他三次观测进行比较。第一次出现在公元1512年6月5日午夜1小时，我测到与太阳正好相对的火星位置为235°33′，太阳恒星天球起点的白羊宫第一星相距55°33′。第二次是在公元1518年12月12日午后8小时出现，此时该行星位于63°2′处。第三次观测则在公元1523年2月22日午前7小时，当时行星处在133°20′处。从第一次到第二次观测历时6埃及年191日45日分；第二次至第三次观测共历时4埃及年72日23日分。第一段时间内，视行度为187°29′（63°2′＋360°-235°33′） ，均匀行度为168°7′；而在第二时段中，视行度＝133°20′-63°2′＝70°18′，其均匀行度为83°。
我们重绘火星的偏心圆，这次 ＝168°7′， ＝83°，与以往有所不同。于是我用对土星和木星用过的方法（且不提其间让人生厌的繁琐论证），得到火星的远地点是在 上，它显然不可能位于 上，因为在该处视行度为19°22′（187°29′-168°7′），超过了平均行度。而远地点也不会在 上面，虽然该处视行度为102°13′［360°-（187°29′＋70°18′）］ ，小于平均行度108°53′［360°-（168°7′＋83°）］ 。而在位于 之前的BC 弧段上，平均行度（83°）超过视行度（70°181′）的幅度（12°42′）大于 ［该处平均行度为（108°53′-视行度102°13′＝6°40′）］。但我在第四章已说明，在偏心圆上，较小和缩减的视行度出现在远地点附近。因此，远地点自然是位于 上。
我们令远地点为F ，设FDG 为直径，偏心圆中心D 和地球轨道的中心E 在FDG 上。则依次求得 ＝125°59′， ＝66°25′， ＝16°36′。取半径DF ＝10000 P 时，DE ＝1460 P ，同样可得小本轮半径＝500 P 。由上可知，视行度与均匀行度完全协调一致，这与观测相符（见图5.19） 。
图5.19
我们按上述作图，△ADE 中，已知边AD ＝10000 P ，DE ＝1460 P ，以及火星的第一冲点到近地点的∠ADE ＝54°31′［＝ ＝180°-（FCA ＝125°29′）］ 。则∠DAE ＝7°24′，余下的∠AED ＝118°5′［＝180°-（∠ADE ＋∠DAE ＝54°31′＋7°24′）］ ，剩余边AE ＝9229 P 。按照假设，∠DAL ＝∠FDA ，所以∠EAL ＝∠DAE ＋∠DAL ＝7°24′＋125°29′＝132°53′。则在△EAL 中边EA ＝9229 P ，AL ＝500 P ，EA 和AL 的夹角∠A ＝132°53′，∠AEL ＝2°12′，余下∠LED ＝115°53′（∠AED -∠AEL ＝118°5′-2°12′）。
同样，第二次冲时，△BDE 中已知DB ＝10000 P ，DE ＝1460 P 。DB 、DE 夹角∠BDE ［＝ ＝180°-（BF ＝66°25′）］＝113°35′。由平面三角定理可得∠DBE ＝7°11′，余下∠DEB ＝59°14′［180°-（113°35′＋7°11′）］ ，我们取DB ＝10000 P ，BM ＝500 P 时，底边BE ＝10668 P ，由此可得∠EBM ［＝∠DBE ＋（∠DBM ＝BF ）＝7°11′＋66°25′ ］＝73°36′。
我们可知△EBM 也是这样，已知BE ＝10668 P ，BM ＝500 P 及夹角EBM ＝73°36′，可得∠BEM ＝2°36′，∠DEB ＝59°14′，减去∠BEM ，得到∠DEM ＝56°38′。由近地点至第二冲点的外角∠MEG ＝［（∠DEM ＝56°38′）的补角］＝123°22′。因为已得∠LED ＝115°53′。其补角∠LEG 为64°7′，∠LEG 加上∠GEM （123°22′） ，取4直角＝360°时，其和为187°29′。这个数值符合从第一到第二冲点的视距离（187°29′） 。
我们用相同的方法对第三次冲做类似的论证。由上∠DCE ＝2°6′，我们取CD ＝10000 P 时，EC 为11407 P ，∠ECN ＝∠DCE ＋∠DCN （＝∠FDC ）＝2°6′＋16°36′＝18°42′。△ECN 中，已知CE ＝11407 P ，CN ＝500 P 。则有∠CEN ＝50′，加上∠DCE ＝2°6′，其和为2°56′＝视行度∠DEN ，且小于均匀行度∠FDC （ ＝16°36′）。求得∠DEN ＝13°40′。则有∠DEN ＋∠DEM ＝13°40′＋56°38′＝70°18′，再次与观测到的第二次与第三次冲之间的视行度（70°18′） 相符。
在第四章我说过，后一情况下火星出现在距白羊星座头部133°20′处。我们知道∠FEN ≈13°40′。则向后推算，从安东尼厄斯时代，托勒密求得的远地点是在108°50′处。到最后一次观测时偏心圆远地点在恒星天球上的位置为119°40′（133°20′-13°40′） ，在此期间，它已向东移动10°50′（119°40′-108°50′） 。我们取偏心圆半径为10000 P 时，求得两圆心间的距离减少40 P （1500 P -1460 P ）。当然问题不在托勒密或我身上，只是由此能够证明，地球大圆中心在向火星轨道中心靠近，而太阳却静止不动。这些结论互相高度吻合，在后面我会解释得更加清楚。
如图（见图5.20） ，我们以E 为圆心绘出地球的运行轨道RST ，因地球和行星的运转相等，得出轨道的直径SER 与CD 平行。我们令R 为相对于行星的均匀远地点，S 为近地点。假设地球在T 点。延长行星的视线ET ，与CD 交于X 点。在第四章我已经提到过，行星在后一位置时看起来是在ETX 上面，经度为133°20′。另外已知∠DXE 为2°56′ [17] 。∠DXE 为均匀行度∠XDF 超过视行度∠XED 的差值。而∠SET ＝内错∠DXE ＝视差行差。半圆STR 减去此角，得到从均匀运动的远地点R 算起的均匀视差近点角177°4′（180°-2°56′） 。最后我们再次确定，在公元1523年2月22日午前7均匀小时，火星的黄经平行行度为136°16′（2°56′＋133°20′ ＝视位置）；其均匀视差近点角＝177°4′（180°-2°56′） ，偏心圆高拱点为119°40′。
