图5.20
5.17 火星的运动
我在前面已阐明，托勒密三次观测中的最后一次中，火星的黄经平均行度为 ，它的视差近点角为171°26′。因此在托勒密的最后一次观测与我的最后一次观测之间，除整圈运转外，累进177°4′（5°38′＋171°26′） 。从安东尼厄斯2年（埃及历）11月12日午后9小时（对克拉科夫经度而言为午夜前3均匀小时）到公元1523年2月22日午前7小时，历时1384埃及年251日19日分。由上可知，在这段时间中，除648整圈外，视差近点角为5°38′。预计的太阳均匀行度为 ，减去视差行度5°38′，则余量为251°52′，即为火星的经度平均行度。所有的结果都非常符合上面的描述。
5.18 火星位置的测定
从基督纪元开始到安东尼厄斯2年（埃及历）11月12日午夜前3小时，总共是138埃及年180日52日分。这段时间内视差行度为293°4′。用托勒密最后一次观测的171°26′加上整个圆周（171°26′＋360°＝531°26′） 减去视差行度293°4′，余量为公元元年元旦午夜的238°22′。由第一届奥林匹克至这一时刻，历时775埃及年 日。其间视差行度为254°1′。相同地，用238°22′加上整个圆周（238°22′＋360°＝598°22′） 再减去视差行度，则对第一届奥林匹克求得差值为344°21′。对其他纪元分离出行度也可用相同的方法，则亚历山大纪元的起点为120°39′，而恺撒纪元的起点为111°25′。
5.19 火星轨道的大小
我还观测到上面没有提到的天秤座的第一颗亮星，这颗被称为“氐宿一”的恒星被火星遮掩。公元1512年元旦，我观测到，在那天正午之前的6个均匀小时内，火星在冬至日出的方向上（即东北方），距离该恒星 ，就当时的经度而言可知火星在恒星之东 ，其纬度偏北 。而恒星是在距白羊宫第一星191°20′的位置，其纬度是北纬40′，则得出火星的位置为191°28′（≈191°20′＋ ） ，北纬度为51′（≈40′＋ ） 。显然可知此视差近点角为98°28′，太阳的平位置为262°，火星的平位置为163°32′，而偏心圆近点角为43°52′（见图5.21） 。
图5.21
证明：
我们用以上资料绘出偏心圆ABC ，D 为中心，ADC 为直径，A 为远地点，C 为近地点。
当我们取AD ＝10000 P 时，偏心度DE ＝1460 P 。其中 ＝43°52′，以B 为圆心，BF 为半径，描出使∠DBF ＝∠ADB 的小本轮。
当AD ＝10000 P 时，BF ＝500 P 。再将BD 、BE 、FE 连接，同时以E 为中心画地球大圆RST 。
直径RET ∥BD ，取直径上R 为行星均匀运动的远地点，T 为行星均匀运动的近地点。
令：地球在S 点，则 ＝98°28′便为均匀视差近点角。
延长FE ，与BD 交于X 点，与地球轨道的凸圆周交于视差的真远地点V 。
如图，在△BDE 中，BD ＝10000 P 时，DE ＝1460 P 。
BD 和DE 夹角∠BDE 是∠ADB 的补角。
∵∠BDE ＝136°8′，则∠ADB ＝43°52′。
∴BE ＝11097 P ，∠DBE ＝5°13′。
但在假设中，∠DBF ＝∠ADB 。已知EB ＝11097 P ，BF ＝500 P ，∠EBF ＝∠DBE ＋∠DBF ＝5°13′＋43°52′＝49°5′。
则△BEF 中，∠BEF ＝2°。
取DB ＝10000 P 时，FE ＝10776 P 。
可知∠DXE ＝∠XBE ＋∠XEB ＝相对内角＝5°13′＋2°＝7°13′。∠DXE 是相减行差，是∠ADB 超过∠XED （＝36°39′＝43°52′-7°13′） 及火星平位置超过其真位置的量。
已得出火星平位置为163°32′，而其真位置偏西，位于156°19′（163°32′-7°13′） 处。但对于S 附近的观测者而言，火星出现在191°28′处，则视差为偏东35°9′（191°28′-156°19′） 。
由此可知，∠EFS ＝35°9′。RT ∥BD ，∠DXE ＝∠REV 。
相同地， ＝7°13′。则 ＝7°13′＋98°28′＝105°41′，即为归一化的视差近点角。
△FES 的补角∠VES ＝105°41′。则求得相对内角∠FSE ＝70°32′＝∠VES -∠EFS ＝105°41′-35°9′。以上角度都能用180°＝2直角的度数来表示。
而若已知三角形各角度数，则可知各边的比值。我们取三角形外接圆的直径为10000 P ，则FE ＝9428 P [18] ，ES ＝5757 P 。
当取BD ＝10000 P 时，EF ＝10776 P ，则ES ≈6580 P [19] 。这同托勒密在《天文学大成》中得出的结果几乎相同。
如用同样单位表示，ADE ＝11460 P （AD ＋DE ＝10000 P ＋1460 P ），则有EC ＝8540 P 。
若A 为偏心圆的高拱点，则小本轮减少500 P ，如在低拱点增加相同数量，则高拱点为10960 P （11460 P -500 P ） ，低拱点为9040 P （8540 P ＋500 P ） 。于是取地球轨道半径为1 P ，火星远地点及最大距离为1 P 39′57″，最小距离为1 P 22′26″，得出平均距离为1 P 31′11″（1 P 39′57″-1 P 22′26″＝17′31″；17′31″× ≈8′45″；8′45″＋1 P 22′26″≈1 P 39′57″-8′45″）。至此，我已经用地球的运动加之可靠的计算解释了火星行度的大小和距离。
5.20 金星
在阐述了环绕地球的三颗外行星（土星、木星及火星）的运动之后，我接下来将讨论那些被地球围住的行星了。先从金星开始讨论，只要不缺少在某些位置的重要观测资料，讨论金星的运动会比外行星更加容易，思路也更为清晰。若能求得金星晨昏时在太阳平位置两边的最大距角相等，就能肯定金星偏心圆的高、低拱点位于太阳的这两个位置之间。以下事实便可将这些拱点区分。若它们在远地点附近，则会成对地出现较小的最大距角；而在相对的拱点附近，成对的距角较大。在两个拱点之间的所有其他位置，我们用距角的相对大小能够求得金星球体与高、低拱点的距离及金星的偏心度。托勒密在《天文学大成》中对其细致进行了论述。我会按我的地球运动假设，并结合托勒密的观测来逐一论证。
托勒密进行的第一项观测是斯密尔纳天文学家西翁所做的。他于哈德里安16年（埃及历）8月21日之后的夜间第一小时进行观测。他在《天文学大成》中指出，这个时刻是公元132年3月8日黄昏。金星呈现的最大黄昏距角为距太阳平位置 ，太阳的该平位置位于恒星天球上337°41′处 [20] 。托勒密把观测结果与在安东尼厄斯4年1月12日破晓时，即公元140年7月30日黎明时进行的另一次观测相比。他再次指出金星的最大清晨距角是47°15′，等于以前与太阳平位置的距离，该平位置≈恒星天球上119° [21] 处，而过去曾经为337°41′。我们可知彼此相对的两个拱点在这两个位置之间的中点处，分别为 和 ，且因二分点岁差，两个数目都应加 。这与托勒密所说的（《天文学大成》）两个拱点位于金牛宫内25°（ ＝55°）及天蝎宫内25°（ ＝235°）处相符。在这两个位置上，金星高、低拱点正好相对。
为了给这一结果提供更强有力的证据，托勒密采用了西翁的另一次观测。他在哈德里安12年3月20日破晓时，即公元127年10月12日清晨进行观测。他再次发现金星是在其最大距角处，即与太阳平位置相距47°32′的119°13′ [22] 处。另外，托勒密还加上了自己在哈德里安21年，即公元136年做的一次观测，这次观测在埃及历6月9日即罗马历12月25日，在下一个夜晚的第一小时，又一次求得黄昏距角为距平太阳47°32′的265° [23] 处。而西翁的上次观测中太阳的平位置为191°13′。这些位置的中点又一次全等于48°20′和228°20′，这些位置应当为远地点和近地点的位置。从二分点量起，这些点在金牛宫与天蝎宫内25°处。
按《天文学大成》所述，托勒密区分这两个位置时还用了另外两次观测。一次是西翁在哈德里安13年11月3日，即公元129年5月21日破晓时的观测。当时金星的清晨最大距角为44°48′ [24] ，而太阳的平均行度为 ，金星在恒星天球上4°（≈48°50′-44°48′） 处出现。托勒密也在哈德里安21年（埃及历）5月2日，即罗马历公元136年11月18日进行了另一次观测。在此之后夜晚第一小时，太阳的平均行度为228°54′ [25] ，因而金星的黄昏最大距角为47°16′，而行星出现于 （228°54′＋47°16′） 。他用这些观测区分两个拱点，得到高拱点为 ，金星在这里的最大距角较小；低拱点为 ，它在这里的最大距角大一些。
金星
金星是天空中除了太阳和月亮外最亮的星，我国古代称它为“太白”，民间称黎明时分的金星为启明星，称傍晚时分的金星为长庚星。
5.21 地球与金星轨道直径的比值
由上可知地球与金星轨道直径之比（见图5.22） 。
图5.22
证明：我们以C 为中心、ACB 为直径，绘出地球轨道AB 。再取直径上D 点为金星轨道中心，金星轨道对圆AB 来讲是偏心圆。
设：远日点为A ，当地球位于A 时，金星轨道中心离地球最远。
太阳的平均行度线AB 在 的A 点处。则金星近日点B 在 。我们描出直线AE 和BF ，E 点和F 点为它们与金星轨道的切点。连接DE 、DF 。
∠DAE 在圆心且所对的弧为 （为西翁第三次观测中的最大距角），∠AED ＝90°，则可知△DAE 的其他角。
当AD ＝10000 P 时，DE ＝7046 P [26] ，为两倍DAE 所对弦的一半。
同理，在直角△BDF 中，∠DBF ＝47°16′。
取BD ＝10000 P 时，弦DF ＝7346 P 。若取DF ＝DE ＝7046 P 时，相同单位下BD ＝9582 P [27] 。
求得ACB ＝19582 P （＝BD ＋AD ＝9582 P ＋10000 P ）；AC ＝ ACB ＝9791 P ，而CD ＝BC （或AC ）-BD ＝9791 P -9582 P ＝209 P 。
令：AC ＝1 P 时，DE ＝ ，CD ≈ [28] 。
在AC ＝10000 P 时，DE ＝DF ＝7193 P ，则CD ≈208 P [29] 。
5.22 金星的双重运动
托勒密的两次观测证明，金星绕D 点并非做的是简单的均匀运动。他在哈德里安18年（埃及历）8月2日，即罗马历公元134年2月18日进行第一次观测，这时太阳的平均行度为 [30] ，金星在清晨于黄道上 [31] 处出现。其距角已达最大极限43°35′（ ＝318°50′）。第二次观测发生于安东尼厄斯3年（埃及历）8月4日，即罗马历公元140年2月19日的清晨，太阳的平位置同样为 ，金星离它的黄昏最大距角为 ，处于经度 （48°20′＋318°50′-360°） 处（见图5.23） 。
图5.23
因以上的情况，我们取地球在同一轨道上的G 点，使得AG 为圆周的一个象限。从两次观测时来看，太阳的平均运动各在圆周的相对一面，则太阳在金星偏心圆远地点西面的距离是 。连接GC ，作DK 平行于GC 。画GE 和GF 与金星轨道相切，连接DE 、DF 、DG 。
第一次观测中，清晨距角∠EGC 为43°35′。
在第二次观测时，黄昏距角∠CGF 为 。∠EGF ＝∠EGC ＋∠EGF ＝ 。则∠DGF ＝ ∠EGF ＝ ，∠CGF -∠DGF ＝∠CGD ＝ ≈2°23′。
而∠DCG ＝90°，则△CGD 中各角已知，便可知各边比值。
当CG ＝10000 P 时，CD ＝416 P 。前面已求得同样单位中两圆心距离为208 P ，CD 是它的两倍。
令：M 为CD 中点，便得DM ＝208 P ，即为整个这一进退变化。若这个变化再等分于N ，便为这个运动的中点和归一化点。
由此可知金星的运动与三个外行星一样，也由两个均匀运动合成。偏心本轮和上面表述的任何其他方式情况都是如此。
金星在运动方式和度量方面与其他行星有略微不同，因而我认为用一个外偏心圆能更为明晰地阐释出来。
我们以N 为中心、DN 为半径画一小圆，金星的圆周中心按如下规律在此小圆上运行：当地球接触含偏心圆高、低拱点的直径ACB 时，金星圆周中心位于距地球轨道中心C 最近的M 点。而地球位于中间拱点（如G ）时，圆周中心抵达D 点，这时CD 距地球轨道中心C 最远。
由上可知，地球在其自身轨道上运行一周时，金星圆周中心便在与地球运动相同的方向上（即向东）绕中点N 旋转两次。我们看到，通过对金星的假设，它的均匀行度和视行度与每一种情况都吻合，求得的每一数值都与现代数值相符。而偏心距略减少了 。托勒密观测时为416 P ，但现在的多次观测结果为350 P 。
5.23 金星的位置
我在《天文学大成》中采用了两次最精确的观测。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
一次是托勒密在安东尼厄斯2年5月29日破晓前的观测。托勒密在月亮与天蝎前额最北面三颗星的第一颗亮星之间的直线上发现，金星和月球的距离为金星与恒星距离的1.5倍。恒星的位置为黄经209°40′和北纬 。只要知道月亮被观测到的地点，就能确定金星的位置。
从基督诞生到这次观测（在亚历山大城午夜后 小时），共138埃及年18日，此时在克拉科夫为地方时 小时或均匀时3小时41分＝9日分23日秒。太阳按其平均均匀行度位于 ，按视行度位于人马宫内23°（263°）处。可得出月亮距太阳的均匀距离为319°18′，其平均近点角为87°37′，而它距其北限的平均黄纬近点角为12°19′。我们得出月球真位置为209°4′和北纬4°58′。再加上当时的两分点岁差6°41′，可知月亮位于天蝎宫内5°45′（215°45′＝209°4′＋6°41′） 。用仪器测出在亚历山大城室女宫内2°位于中天，而天蝎宫内25°正在升起。因而依以上结果可知月球的黄经视差为51′，黄纬视差为16′。因此，对在亚历山大城观测到并经改正的数值而言，月亮的位置为209°55′（209°4′＋51′） 及北纬4°42′（4°58′-16′） 。推出金星的位置为209°46′，其北纬2°40′（见图5.24） 。
图5.24
令：AB 为地球轨道，C 为中心，直径ACB 通过两拱点。
设从A 点望去，金星在其远地点 处，则B 为相对处的 处。取AC 为10000 P ，在ACB 上取D 使CD ＝312 P 。
以D 为心，DF ＝ CD （104 P ）为半径，画出小圆。
由太阳的平均位置 得出地球与金星低拱点的距离为27°10′ 。
设 为27°10′。连接EC 、ED 、DF ，使∠CDF ＝2∠BCE 。再以F 点为心画金星的轨道。直径AB 与EF 相交于O 点。
再令EF 的延长线交金星的凹面圆周于L 点。对这段圆周画CE 平行于FK 。假使G 为行星所在点。连接GE 、GF 。
绘图完成后，我们需要求得KG ，即行星与其轨道平均远地点K 的距离和∠CEO 。
在△CDE 中，已知∠DCE ＝27°10′，当CE ＝10000 P 时，CD ＝312 P 。则余下边DE ＝9724 P ，∠CED ＝50′。
同理，在△DEF 中，当CE ＝10000 P ，DF ＝104 P 时，则DE ＝9724 P 。ED 与DF 的夹角EDF 已知，而∠CDF ＝2∠BCE （27°10′）＝54°20′，∠FDB ＝180°-∠CDF （54°20′）＝125°40′。
因此，∠FDE ＝153°40′。则有EF ＝9817 P ，∠DEF ＝16′。
由上，平均行度与绕中心F 的视行度之差为∠CEF ＝∠DEF ＋∠CED ＝16′＋50′＝1°6′，即为∠BCE 与∠EOB 之差。因而求得∠EOB ＝28°16′＝27°10′＋1°6′，我们便完成了首要的任务。
然后，行星与太阳平位置之间的距离为∠CEG ＝ -209°46′＝45°44′。则有∠FEG ＝∠CEG ＋∠FEC ＝45°44′＋1°6′＝46°50′。
当我们取AC ＝10000 P 时，已知EF ＝9817 P ，由上可得FG ＝1193 P 。△EFG 中，EF ∶FG ＝9817∶7193，∠FEG ＝46°50′，得∠EFG ＝84°19′。
另外，∠LFG ＝131°6′＝ ＝行星与其轨道的视远地点的距离。如前所说，∠KFL ＝∠CEF ＝平拱点与真拱点之差＝1°6′。131°6′-1°6′＝130°＝由行星到平拱点的 。圆周的其余部分为230°，即是从K 点量起的均匀近点角。因此对安东尼厄斯2年，即公元138年12月16日午夜后3小时45分，可求出在克拉科夫的金星均匀近点角为230°，这便是我们要求得的数值。
提莫恰里斯于托勒密·费拉德法斯13年，即亚历山大死后52年（埃及历）12月18日破晓时进行了一次观测。据称，他在观测时看见金星掩食室女左翼四颗恒星中最偏西的一颗。依照对该星座的描述，应为第六颗星，其经度为 ，纬度为北 ，而星等为3。于是可知金星的位置为 ，太阳的平位置为194°23′（见图5.25） 。
图5.25
如图所示，A 点位于48°20′处， ＝194°23′-48°20′＝146°3′。BE ＝180°- ＝33°57′。而∠CEG 为行星与太阳平位置的距离＝194°23′- ＝42°53′。
我们取CE ＝10000 P 时，可知CD ＝208 P ＋104 P ＝312 P 。∠BCE ＝ ＝33°57′。
则△CDE 余下角∠CED ＝1°1′，∠CDE ＝145°2′，且DE ＝9743 P 。半圆减去∠CDF ［＝2∠BCE （33°57′）＝67°54′］，∠BDF ＝112°6′，则∠BDE ＝∠CED ＋∠DCE （或∠BCE ）＝1°1′＋33°57′＝34°58′。
可知∠EDF ＝∠BDE ＋∠BDF ＝34°58′＋112°6′＝147°4′。
取DE ＝9743 P 时，已知DF ＝104 P 。而△DEF 中，∠DEF ＝20′，∠CEF ＝∠CED ＋∠DEF ＝1°1′＋20′＝1°21′。
已知EF ＝9831 P ，∠CEG 为42°53′。∠CEG -∠CEF ＝42°53′-1°21′＝∠FEG ＝41°32′。而EF ＝9831 P 时，金星轨道半径为FG ＝7193 P 。
△EFG 中，已知各边比值和∠FEG ，求得∠EFG ＝72°5′。半圆加上∠EFG ＝252°5′＝ （即从金星轨道高拱点量起）。最后我们再一次确定，托勒密13年12月18日破晓时，金星的视差近点角为252°5′。
在公元1529年3月12日午后第8小时之初，即日落后1小时，我观测到金星的另一位置。此时金星正被月亮两角间的阴影边缘所掩盖，直到这一小时末尾甚至更迟的时间，当时我观察到行星从月球的另一面，在两角之间阴暗边缘的中点从西边出现。这是我在佛罗蒙波克观测到的景象。由此可知，在该小时的当中或前后，月亮和金星的中心重叠。而金星的黄昏距角依然在增加，但仍未与其轨道相切。从基督纪元开始历时1529埃及年87日加视时间 小时，等同于均匀时间7小时34分钟。太阳在其简单行度中的平位置为332°11′，其二分点岁差为27°24′，月球离开太阳的均匀行度为33°57′，其均匀近点角为205°1′，而其黄纬（行度）又为71°59′。由此推算出月亮的真位置在10°处，而对于分点而言处于金牛宫内7°24′（≈37°24′＝10°＋27°24′） ，黄纬为北1°13′。又因在天秤宫内15°正在升起，月球的黄经视差为48′，黄纬视差为32′。我们得到它的视位置是金牛宫内6°36′（≈7°24′-48′） 。可知它在恒星天球上的经度为9°12′（10°-48′） ，北纬度为41′（1°13′-32′） 。金星在黄昏时的视位置与此相同。那时，金星距太阳的平位置为37°1′（≈332°11′＋37°1′＝369°12′＝9°12′） ，金星高拱点距地球等于西面76°9′（＋332°11′＝408°20′-360°＝48°20′） 。
我们按以上模板再次画图，不同的是弧EA 或∠ECA ＝76°9′。∠CDF ＝2∠ECA ＝152°18′（见图5.26） 。
图5.26
令：当CE ＝10000 P 时，求得偏心度CD ＝246 P ，DF ＝104 P 。则△CDE 中，∠DCE ＝180°-∠ECA （76°9′）＝103°51′，此为边CD （246 P ）和CE （10000 P ）的夹角。
由此求得∠CED ＝1°15′，DE ＝10056 P ，∠CDE ＝180°-∠DCE （103°51′）-∠CED （1°15′）＝74°54′。
而∠CDF ＝2∠ACE （76°9′）＝152°18′。∠CDF （152°18′）-∠CDE （74°54′）＝∠EDF ＝77°24′。
同样，在△DEF 中，我们取DE ＝10056 P 时，DF ＝104 P ，且两边夹角EDF ＝77°24′。还知∠DEF ＝35°，边EF ＝10034 P 。
则∠CEF ＝∠CED ＋∠DEF ＝1°15′＋35′＝1°50′。又知∠CEG 为行星离太阳平位置的视距离＝37°1′。∠CEG （37°1′）-∠CEF （1°50′）＝∠FEG ＝35°11′。
△EFG 也一样。已知∠FEG 为35°11′，取FG ＝7193 P 时，EF ＝10034 P 。则∠EGF ＝ 的EFG ＝91°19′，即行星与其轨道真近地点间的距离。
作直径KFL ∥CE ，则行星均匀运动的远地点为K ，近地点为L 。
∠EFG （91°19′）-∠EFL ＝∠CEF ＝1°50′＝∠LFG ＝ ＝89°29′。
从其轨道均匀高拱点量起的行星视差近点角为 ＝180°- ＝90°31′。这便是我观测时要求的数值。
在提莫恰里斯的观测中，其相应的数值为252°5′。于是这段时期中除1115整圈外还有198°26′（90°31′＋360°-252°5′） 。
托勒密·费拉德法斯13年12月18日破晓至公元1529年3月12日午后 小时，共有1800埃及年236日加上大约40日分。行度（1115周期＋198°26′）乘以365，再除以1800年236日40日分。得到：年行度＝3×60°＋45°1′45″340'''' 。日行度＝年行度除以365日＝36′59″28。这便能作为前面表格的依据。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
托勒密的前次观测的数值为230°。因而此期间除整圈外还有220°31′（90°31′＋360°-230°） 。从安东尼厄斯2年5月20日克拉科夫时间午前 小时至公元1529年3月12日午后 小时，历时1391埃及年69日39日分23日秒。同样能算出此时段内除整圈外有220°31′。而根据平均行度表，整圈数为859，由此证明其正确性。还可知偏心圆两拱点仍在 和228°20′处。
5.24 金星的近点角
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
以金星近点角的起始点，很容易求得视差近点角的起始点。从基督诞生到托勒密的观测历时138埃及年18日 日分。这段时间内的行度为105°25′。托勒密的观测值为230°，减去105°25′，得到金星在公元1年元旦前午夜时的近点角为124°35′。则我们用常用的行度与时间计量方法求得其他的位置。对第一届奥林匹克为318°9′，对亚历山大为79°14′，对恺撒为70°48′。
由第一届奥林匹克到托勒密·费拉德法斯13年12月18日破晓，历时503埃及年228日40日分。则得此期间行度为290°39′。252°5′加一整圈再减掉这个数目，余321°26′，即为第一届奥林匹克的起点。计算这一位置行度和时间则可求得其他的位置。因此，通常提到的时间纪元有：亚历山大纪元为81°52′，恺撒纪元为70°26′，基督纪元为126°45′。
5.25 水星
前面已经详细阐述了金星与地球运动的关系，以及各圆周运动的比值低于哪一数值时我们不能观测到它的均匀运动。接下来将讨论水星。尽管它的运转比前面论述的任何行星都复杂，但它同样也遵循上面的基本假设。由古代天文学家的观测结果可知，水星和太阳的最大距角在天秤宫为极小，理所应当地，在与之相对的白羊宫较大一些，但其极大值并不在白羊宫，而在白羊宫两侧的双子宫与宝瓶宫中。在托勒密的论证中，这种情况在安东尼厄斯时代最为显著，而其他的行星都没有这种位移。
水星
水星主要由石质和铁质构成，密度较高，是太阳系中最接近太阳的行星。水星朝向太阳的一面，温度可达到400℃以上。水星背向太阳的一面，长期不见阳光，温度非常低，低至-173℃。水星是太阳系中仅次于地球的、密度第二大的天体。其自转周期为58.65天，平均速度为47.89千米，是太阳系中运动最快的行星。
古代天文学家相信水星在一个偏心圆所载的大本轮上运动，而地球是不动的。同时他们认识到，这些现象用单独一个简单的偏心圆不能说明。哪怕他们让偏心圆不绕其本身的中心而绕另一中心旋转，情况也不会改变。他们只好假定，负载本轮的同一偏心圆在另一个小圆上运动，这跟前面他们对月球偏心圆所承认的情况一样。因而就有了三个中心：第一个是运载本轮的偏心圆中心，第二个是小圆的中心，第三个是晚近天文学家称之为“载轮”的圆周中心。古观测者令本轮绕载轮中心均匀运转，而忽视了前两个中心。这与本轮运动的真正中心、其相对距离及两圆周的原中心不相符。但他们深信，只有托勒密的《天文学大成》中阐明的论点才能解释水星的现象。
我认为古人曲解了这一现象，因为水星的均匀运动和前面的行星一样都能用地球运动来表示，它的偏心圆上所负载的圆周不是古人认为的本轮，而是一个偏心圆。这个图像和金星不同，有一个小本轮在外偏心圆上作运动。而行星并不沿小本轮的圆周运转，它沿着小本轮的直径起伏运动。沿直线的运动可能也是由均匀的圆周运动合成，这点在表述二分点岁差时已经阐明。普罗克拉斯在其著作《欧几里得几何原本评论》中也曾表示，一条直线也可由多重运动形成，因而可用这些设想来论证水星的现象（见图5.27） 。
图5.27
下面我将证实我的假设：
令：AB 为地球的大圆，C 为中心。
在直径ACB 上，取B 、C 两点之间的D 点，以D 为中心， CD 为直径，画小圆EF ，使F 离E 最近，离C 最远。
再画出以F 为中心的水星外偏心圆HI 。令高拱点I 为心，画出KL 为行星所在的小本轮。使外偏心圆HI 具有在偏心圆上的本轮的作用。
绘图之后，我们令所有的点在直线AHCEDFKILB 上依次出现。
令：K 点为行星所在处，即KF 为负载小本轮的圆周中心的最短距离处。
再令：K 为水星运转的起点。
设在地球运行一次时圆心F 在同一方向上，即向东运转两次。行星在直径上对圆周HI 的中心作起伏运动，且它在KL 上运动的速度与此相同。
如图，当地球在A 或B 时，水星外偏心圆的中心为F ，且F 在与C 点相距最远处。而当地球在A 与B 之间的中点且同它们相距一个象限时，水星外偏心圆的中心在它最接近C 的E 处。
由此得出的图像与金星相反。也就是说，遵循这个规律，当水星穿过小本轮的直径KL 时，它最靠近负载小本轮的圆周的中心。即当地球越过直径AB 时，水星处于K 。而若地球在A 、B 间任一边的中点，则水星到达L （为水星与负载小本轮的圆周的中心）的距离为极大处。于是就出现与地球周年运动周期一样大的、两个相等的双重运转。二者之一是行星沿直径LK 的运转，另一个为外偏心圆的中心在小圆EF 上的运动。
同时，小本轮或直线FL 绕圆周HI 及其中心做均匀运动，运行一周需要88天，且与恒星天球无关。然而，在这种被我称为“视差的运动”的运动（它超过地球的运动）中，小本轮在116日内赶上地球。可从平均行度表查出更准确的数值。因此可知水星的自身运动中并非总是遵循相同的圆周。相反地，按它与均轮中心的距离，扫描出变化极大的途程，即最小在K ，最大在L ，而居中在I 。这与第4章在月球的小本轮中的变化大致相同。而月球在圆周上的变化，之于水星则是表现在沿直径的由均匀运动叠加而成的往返运动上。我在前面论述二分点岁差时已经解释了它的成因，在后面讨论黄纬时，我会为其补上一些别的论述。上面的假设已经阐明了水星的一切观测现象，而托勒密及其他人所作的观测也恰好能佐证我的假设。
5.26 水星的高、低拱点的位置
在安东尼厄斯元年11月20日日落后，托勒密开始观测水星，此时的它位于距太阳平位置的黄昏距角为最大处。这是公元138年188日克拉科夫时间 日分。我依此计算出太阳的平位置为63°50′，并用仪器观测到水星在巨蟹宫内7°（97°）处，这与托勒密所说的一样。减去春分点岁差（当时为6°40′）后，水星的位置为在恒星天球上从白羊宫起点量起的90°20′（97°-6°40′） ，同时可算出它离太阳平位置的最大距角为 （90°20′-63°50′） 。
托勒密在安东尼厄斯4年7月19日黎明进行第二次观测，也就是从基督纪元开端算起的140年67日，加上大约12日分，这时太阳平位置处于303°19′处 [32] 。用仪器观测到水星在摩羯宫内 处，若从白羊宫为起点算约为276°49′ 。能得知它的最大清晨距角为 （303°9′-276°49′） 。它距太阳平位置距角的极限在两边相等，则水星的两个拱点在276°49′ [33] 与90°20′两个位置中间，以及3°34′和与之相对的183°34′［276°49′-90°20′=186°29′，186°29′÷2≈93°15′，276°49′-93°15′=183°34′，183°34′-180°=3°34′］ 。这些便为水星高、低拱点的位置。
与前面提到的金星一样，我用两次观测区分开这些拱点。第一次是托勒密在哈德里安19年3月15日破晓时进行的，当时太阳的平位置为182°38′ [34] 。水星离它的最大清晨距角是19°3′，这是由于水星的视位置为163°35′（＋19°3′＝182°38′） [35] 。同样的，于哈德里安19年即公元135年，在埃及历9月19日的黄昏，托勒密用仪器观测到水星位于恒星天球上27°43′处 [36] ，按平均行度，此时太阳平位置在4°28′ [37] 处。和金星一样再次出现这种情况，这时行星的最大黄昏距角为23°15′，大于在此之前的清晨距角19°3′。于是完全清楚了，当时水星的远地点约在 （≈183°34′） 处。
5.27 水星偏心距的大小及其圆周的比值
从以上观测可求得圆心之间的距离以及各圆的大小。我们令直线AB 通过水星的两个拱点，高拱点为A ，低拱点为B ，再令地球大圆的直径为AB ，C 为AB 中点。我们以D 为圆心，绘出行星的轨道。然后绘出直线AE 和BF 与该轨道相切，再连接DE 及DF 。
上面两次观测中的第一次，观测到最大清晨距角为19°3′，则∠CAE ＝19°3′。从而得到另一次的最大黄昏距角＝ 。则有直角△AED 与△BFD 中各角均已知，由此各边之比可知。证明如下（见图5.28） ：
图5.28
令：AD ＝100000 P ，轨道半径ED ＝32639 P [38] 。
取BD ＝100000 P ，得到FD ＝39474 P [39] 。当AD ＝100000 P 时，轨道的一个半径FD ＝ED ＝32639 P 。
相同情况下，AB -AD ＝DB ＝82685 P ，得到AC ＝91342 P ＝ （AD ＋DB ＝100000 P ＋82685 P ＝182685 P ），地球轨道与水星轨道圆心间的距离CD ＝8658 P （AD -AC ＝100000 P -91342 P ）。
若取AC ＝1 P 或60′，水星轨道半径便为21′26″，可知CD ＝5′41″ [40] 。取AC ＝10000 P 时，D ＝35733 P ，而CD ＝9479 P 。
而这些长度并不总是一致的，它们与出现在平均拱点附近时更是大相径庭。西翁和托勒密所观测到的晨、昏距角就能证实这一点。西翁在哈德里安14年12月18日日没后，即公元129年216日45日分时观测水星的最大黄昏距角，此时太阳平位置为 [41] ，即在水星平拱点附近的93°34′。我们观测到该行星位于狮子宫第一星之东 处。所以它的位置为 （≈3°50′＋115°50′） ，其最大黄昏距角为 。托勒密在安东尼厄斯2年12月21日破晓即公元138年219日12日分观测到了另一个最大距角。可知太阳的平位置为93°39′ [42] 。因为观测到水星在恒星天球上 （73°24′＋20°15′＝93°39′） 处 [43] ，他因此求得水星的最大清晨距角为 。
我们再描出ACDB 为地球大圆直径（见图5.29） 。
图5.29
令：大圆直径通过水星的两个拱点。画CE 为太阳的平均行度线并垂直于直径，绕C 、D 间一点F 绘出水星轨道，直线EH 、EG 与轨道相切，连接FG 、FH 和EF 。
我们需确定F 点及半径FG 与AC 的比值。
因∠CEG 为 ，∠CEH ＝ ，则有∠HEG ＝∠CEH ＋∠CEG ＝20°15′＋26°15′＝ 。∠HEF ＝ ∠HEG 。∠CEF ＝∠HEF -∠CEH ＝ 。
则直角△CEF 中，若令CE ＝AC ＝10000 P ，可知CF ＝524 P [44] ，斜边FE ＝10014 P 。若地球处在水星的高、低拱点处，则求得CD ＝948 P 。
水星轨道中心所扫出小圆的直径DF ＝CD （948 P ）-CF （524 P ）＝424 P ，半径IF ＝DF ＝212 P 。则有CFI ＝CF ＋FI ＝524 P ＋212 P ≈ 。
同理，直角△HEF 中，∠HEF ＝ 。当我们令EF ＝10000 P 时，求得FH ＝3947 P 。当取CE ＝10000 P 时，EF ＝10014 P ，FH ＝3953 P [45] 。
前面已求得FH ＝3573 P 。设FK 为3573 P ，则行星与F 的距离的最大变化HK ＝FH -FK ＝3953 P -3573 P ＝380 P ，行星轨道中心为F 。行星运动时，轨道便从高、低拱点延伸到平拱点。
