因上面的距离及其变化，行星可绕轨道中心F 描出不相等的圆。距离改变导致这些圆的变化，其中最短距离为FK ＝3573 P ，最长距离为FH ＝3953 P 。平均值即为3763 P （380 P × ＝190 P ，190 P ＋3573 P ＝3763 P ，3953 P -190 P ＝3763 P ） 。
5.28 为什么水星视位置大于在近地点的距角
在一个六角形的边与一个外接圆的交点附近，水星的距角大于在近地点处并不奇怪。这些距角在离近地点60°处甚至超过在第3章末尾我所求得的距角。所以古天文学家深信，水星轨道在地球运转一周的时段里有两次最靠近地球（见图5.30） 。
图5.30
作∠BCE ＝60°。
设：F 在E （为地球）运转一周时转了两周，则∠BIF ＝120°，连接EF 、EI 。
令：EC 为10000 P 时，已知CI ＝ ，∠ECI ＝60°。
则△ECI 中，第三边EI ＝9655 P ，而∠CEI ≈3°47′。∠CEI ＝∠ACE -∠CIE 。
已知∠BCE （60°）的补角∠ACE 为120°。
求得∠CIE ＝∠ACE -∠CEI ＝120°-3°47′＝116°13′。
由图形同样求得：∠FIB ＝2∠ECI （60°）＝120°。∠CIF ＝半圆-∠FIB ＝60°。∠EIF ＝∠CIE -∠CIF ＝116°13′-60°＝56°13′。
而EI ＝9655 P 时，IF ＝212 P 。EI 、IF 的夹角为56°13′。
则∠FEI ＝1°4′。
行星轨道中心与太阳平位置的差值为∠CEF ＝∠CEI -∠FEI ＝3°47′-1°4′＝2°43′。△EFI 中余下的边EF ＝9540 P 。
我们以F 为中心绘出水星轨道 ，由E 点画出EG 、EH 与轨道相切，连接FG 、FH 。先确定此时半径FG （或FH ）的大小。如下：
我们取AC ＝10000 P 时，作直径KL 为380 P 的小圆。沿此或与之相当的直径，假定行星在直线FG 或FH 上接近或离开圆心F ，这与上述二分点岁差相似。而BCE 截出的弧段为60°， 为同样分度的120°。
作MN ⊥KL 。MN 等于2KM （或2ML 的所对之弦）。欧几里得《几何原本》中证明，MN 所截出的LN ＝ 直径（380 P ）＝95 P 。则KN ＝380 P -95 P ＝285 P 。
行星的最短距离＝3573 P ＋KN ＝FG （或FH ）＝3573 P ＋285 P ＝3858 P 。
同理，当AC ＝10000 P 时，求得EF ＝9540 P 。
则直角△FEG 或△FEH 中，EF 、FG （或FH ）已知，∠FEG 或∠FEH 也已知。
令：EF ＝10000 P ，得到FG （或FH ）＝4044 P ，其所张的角为 。因此，∠GEH ＝∠FEG ＋∠FEH ＝2×23° ＝47°45′。可是在低拱点只看到 ；在平拱点与此相差无几，为 。
由上可知，在此处角度比其余两种情况都大1°14′（≈47°45′-46°30′） 。这是因为此处行星描出比在该处更大的圆周，而不是行星轨道比在近地点时离地球更近，这些结果都是均匀运动产生的，且都与观测结果相吻合。
5.29 水星的平均行度
在《天文学大成》更早的观测中曾有一次水星出现的记录。那是托勒密·费拉德法斯21年（埃及历）1月19日破晓时，水星位于穿过天蝎前额第一和第二颗星直线东面两个月亮直径和第一星北面一个月亮直径处。我们知道第一颗星位于黄经209°40′，北纬 处；第二颗星在黄经209°，南纬 。由此可得水星在经度210°40′［209°40′＋（2× ）］，≈北纬 ，自亚历山大死后，经过59年17日45日分；我计算出太阳的平位置为228°8′；行星的清晨距角为17°28′。距角在而后的四天中仍在增加 [46] 。则可确定行星在靠近地球的低弧段上运行，并没达到其最大清晨距角，也还没有到其轨道的切点。其高拱点为183°20′，它与太阳平位置的距离是44°48′（228°8′-183°20′）。
跟第3章一样，我们令大圆的直径为ACB 。从大圆中心C 描出太阳的平均运动线CE ，使∠ACE 为44°48′（见图5.31） 。
图5.31
再以I 为圆心，绘负载偏心圆中心F 的小圆。取∠BIF ＝2∠ACE （2×44°48′）＝89°36′，再连接EF 与EI 。
在△ECI 中，令CE ＝10000 P 时，CI ＝ 。CE 与CI 的夹角为∠ACE （44°48′） 的补角，∠ECI ＝135°12′。
剩余边EI ＝10534 P ，求得∠CEI ＝∠ACE -∠EIC ＝2°49′。推出∠CIE ＝44°48′-2°49′＝41°59′。而∠CIF 为∠BIF （89°36′）的补角为90°24′。则∠EIF ＝∠CIF ＋∠EIC ＝90°24′＋41°59′＝132°23′。
△EFI 中，∠EIF 的两边已知。我们取AC ＝10000 P 时，EI ＝10534 P 和IF ＝ 。
则∠FEI ＝50′，剩余边EF ＝10678 P 。∠CEF ＝∠CEI -∠FEI ＝2°49′-50′＝1°59′。
我们再画小圆LM 。假设AC ＝10000 P 时，直径LM ＝380 P 。
令：LN ＝89°36′，绘出弦LN 及垂直于LM 的NR ，则LN 2 ＝LM ×LR 。
由此得其比值。若取直径LM ＝380 P 时，可知LR 的长度≈189 P 。行星在沿此LR 或与之相当的直线上运动时，已经偏离了轨道中心F ，此刻直线EC 扫出∠ACE 。
则当这段长度（189 P ）与3573 P （最短距离）相加时，其和为3762 P 。
我们以F 为圆心、以3762 P 为半径画一个圆。绘出直线EG ，交水星轨道的凸圆周于G ，得出行星离太阳平位置的视距角CEG ＝228°8′-210°40′＝17°28′。再连接FG 和平行于CE 的FK 。
∠CEG -∠CEF ＝∠FEG ＝17°28′-1°59′＝15°29′。
已知：在△EFG 中，EF ＝10678 P ，FG ＝3762 P ，∠FEG ＝15°29′。
求得∠EFG ＝33°46′。∠EFG -∠EFK （等于内错角CEF ）＝∠KFG ＝KG ＝31°47′（33°46′-1°59′） 。这便是行星与其轨道平均近地点K 的距离。在这次观测中，视差近点角的平均行度为KG 与一个半圆相加的和，即211°47′（180°＋31°47′） 。
5.30 新观测到的水星的运动
以上水星运动的方法都是古天文学家遗留下来的，当时尼罗河流域的天空没有维斯杜那河的浓雾，极有利于观测。而我们如今居住的地方，天空已经没有那么晴朗，浓雾密布加上天球倾角很大，因而很少能观测到水星，即使在它与太阳的距角最大时也是如此。特别是在白羊宫和双鱼宫升起时，以及另一端，即室女宫及天秤宫沉没时，都不能看见它。此外，即使在晨昏时刻，它也不会在巨蟹宫或双子宫的任何一处被看见。它仅在太阳已进入狮子宫时可见，且不会出现在夜晚。在研究水星的运行时，往往因为存有太多困惑而需要耗费更多精力。
因此我从在纽伦堡精细的观测位置中借用了三个。第一个是瑞几蒙塔纳斯的学生贝恩哈德·瓦耳脱在公元1491年9月9日午夜后5个均匀小时测定的。他用环形星盘指向毕宿五观测。这时水星处于室女宫内 、北纬1°50′处。当时水星开始晨没，而在此之前的若干日内，它在清晨出现的次数正逐渐减少。从基督纪元开始历时1491埃及年258日 日分，太阳的平位置为149°48′。而从春分点算起为在室女宫内26°47′（≈176°47′）。则水星的距角约等于 （176°47′-163°50′＝13°17′） 。
水星
水星是太阳系距离太阳最近、体积最小的行星，直径约4828千米。
公元1504年1月9日午夜后 小时，约翰·熊奈尔测定了第二个位置，当时天蝎座内10°正位于纽伦堡上空的中天位置。他观测到行星在摩羯宫内 、北纬0°45′处。进而求得从春分点量起的太阳平位置为摩羯宫内27°7′处，水星在清晨时位于西面23°47′处。
第三次观测是约翰·熊奈尔在1504年3月18日进行的。当时的水星在白羊宫内26°55′，北纬约3′处，而巨蟹宫里25°正在过纽伦堡的中天。他的浑仪于午后 小时指向毕宿五。而太阳相对于春分点的平位置为白羊宫内5°39′，水星于黄昏离太阳的距角为21°17′（≈26°55′-5°39′） 。
从第一至第二位置的测定经过12埃及年125日3日分45日秒，这期间内太阳的简单行度为120°14′，水星的视差近点角为316°1′。第二段时期有69日31日分45日秒，其间太阳的平均简单行度为68°32′，水星的平均视差近点角为216°。
我将要用这三次观测来探究目前水星的运动。因并未发现早期天文学家对其他行星在这方面的错误，所以我认为在这些观测中，从托勒密到现在测定的各圆周的大小仍然正确。如能在这些观测外还能确定偏心圆拱点的位置，则探究水星运行的任务就圆满完成了。我之前已经假定其高拱点的位置为 ，即位于天蝎宫内 。我无法让它变小一些而便于观测。由此可得到第一次测定时偏心圆的近点角，即太阳平位置与远地点的距离为298°15′；第二次为58°29′。
我们按前面的模板作图（见图5.32） 。
图5.32
取∠ACE ＝61°45′（360°-298°15′） ，即在第一次观测时平太阳线在远地点西面的距离。
令：由此出现的一切都符合假设。
再令：AC ＝10000 P 。
已知IC ＝ 。在△ECI 中，还可知∠ECI ＝118°15′＝180°-∠ACE （61°45′） 。于是求得∠CEI ＝3°35′，而当EC ＝10000 P 时，边IE ＝10369 P ，IF ＝ 。
同理，△EFI 中也是如此。已知IE ∶IF ＝10369 P ∶ 。
如图，∠BIF ＝ ＝2∠ACE （61°45′）。∠BIF 的补角∠CIF ＝ 。则可知∠EIF ＝∠CIF （56°30′）＋∠EIC （∠ACE -∠CEI ＝61°45′-3°35′＝58°10′）＝114°40′。∠IEF ＝1°5′，边EF ＝10371 P 。∠CEF ＝ （∠CEI -∠IEF ＝3°35′-1°5′）。
为了确定进退运动可使以F 为心的圆同远地点或近地点的距离增加多少，我们画一个小圆，直径LM 和NR 在圆心O 将其四等分。
令：∠POL ＝2∠ACE （61°45′）＝ ，从P 点作PS 与LM 垂直。
由已知比值，OP （或与之相等的LO ）∶OS ＝10000 P ∶5519 P ＝190∶150。
取AC ＝10000 P 时，这些数目相加可得行星距中心F 更远的限度LS ＝295 P 。把295 P 加上最短距离3573 P 得现在的数值3868 P 。
我们以此为半径，以F 为圆心绘出圆HG 。再连接EG ，延长直线EF 为EFH （见图5.33） 。
图5.33
已知：∠CEF ＝ 。瓦尔脱在清晨观测到行星与平太阳的距离GEC 为 。
得到∠FEG ＝∠GEC ＋∠CEF ＝13°15′＋2°30′＝ 。
在△EFG 中，EF ∶FG ＝10371 P ∶3868 P ，已知∠CEG 为15°45′，可知∠EGF 为49°8′。
则余下外角∠GFH ＝∠EGF ＋∠GEF ＝49°8′＋15°45′＝64°53′。用360°-∠GFH ＝真视差近点角＝295°7′。此角加上∠CEF （2°30′） ＝均匀视差近点角＝297°37′，这便是我们要求的。再加上316°1′（第一次与第二次观测之间的视差近点角），于是可得第二次观测的均匀视差近点角为253°38′（297°37′＋316°1′＝613°38′-360°） 。
下面我将证实它的正确性，以及它与观测相吻合。
图5.34中取第二次观测时偏心圆的近点角∠ACE ＝58°29′。
在△CEI 中，两边已知。当取EC ＝10000 P 时，IC ＝736 P （以前和今后为 ），还知道∠ACE （58°29′）的补角∠ECI ＝121°31′。
则相同单位下，第三边EI ＝10404 P ，∠CEI ＝3°28′。
同理，△EIF 中，∠EIF ＝118°3′，取IE ＝10404 P 时，IF ＝ 。则相同单位下第三边EF ＝10505 P ，∠IEF ＝61′。余量∠FEC ＝∠CEI -∠IEF ＝3°28′-1°1′＝2°27′＝偏心圆的行差。
真视差行度＝偏心圆的行差＋均匀视差行度＝2°27′＋253°38′＝256°5′。
接着在引起进退运动的小本轮上取 ＝2∠ACE （58°29′）＝116°58′。
同理，在△OPS 中，OP ∶OS ＝1000 P ∶4535 P ，当OP 或LO 为190 P 时，OS ＝86 P 。
则LOS ＝LO ＋OS ＝190 P ＋86 P ＝276 P 。此值加上最短距离（3573 P ），和为3849 P 。
以此为半径、F 为中心画圆HG ，H 为视差的远地点（见图5.34） 。
图5.34
令： 即行星与H 点的距离向西延伸103°55′。这是一次完整运转与经过改正的视差行度［（平均行度＋相加行差）＝真行度＝（256°5′＋103°55′＝360°］的差额。
则∠HFG （103°55′）的补角∠EFG ＝76°5′。
同样，在△EFG 中，已知FG ＝3849 P ，我们取EF ＝10505 P 。得到∠FEG ＝21°19′，再加上∠CEF （2°27′） ，可得∠CEG ＝23°46′＝大圆中心F 与行星G 之间的距离，这个距离与观测到的距角（23°47′） 仅略微不同。
若取∠ACE ＝127°1′或其补角∠BCE 为52°59′，便可第三次证实这种相符。
在两边已知的△ECI 中，当EC ＝10000 P 时，CI ＝ 。EC 和CI 的夹角∠ECI ＝52°59′。求得∠CEI ＝3°31′，而在取EC ＝10000 P 时，得IE ＝9575 P 。
如图，已知∠EIF ＝49°28′，也可知求出它的两边，即当EI ＝9575 P 时，FI ＝ 。则△EIF 中用相同单位表示第三边EF 为9440 P ，偏心圆近点角的相减行差角为∠IEC （3°31′） -∠EIF （59′） ＝∠FEC ＝2°32′。
我还曾把第二时段的平均视差近点角216°加上第二次观测时的均匀视差近点角253°38′，得出平均视差近点角为216°＋253°38′＝469°38′-360°＝109°38′。此平均视差近点角（109°38′）＋2°32′＝真视差近点角的值＝112°10′。
我们在小本轮上取∠LOP ＝2∠ECI （52°59′） ＝105°58′。
同上，根据PO ∶OS 比值，可知OS ＝52 P ，则LOS ＝LO ＋OS ＝190 P ＋52 P ＝242 P 。把此数加上最短距离（3573 P ） ，求得距离的改正值为3815 P 。
以此为半径、以F 为中心画圆，H 为圆上的视差高拱点，H 在EF 的延长线上。我们取真视差近点角为 ＝112°10′，连接GF 。
则补角∠GFE ＝67°50′。此角夹边EF ＝9440 P 时，GF ＝3815 P 。因而∠FEG ＝23°50′。∠FEG -行差∠CEF （2°32′） ，余下∠CEG ＝21°18′＝昏星（G ）与大圆中心（C ）之间的距离。观测求得的距离（21°17′）与此大致相同。
因此，观测结果与这三个位置吻合，这便证实了我的假设的正确性，即偏心圆高拱点目前位于恒星天球上 处，并证明了由此产生的推论的正确性，即在第一位置的均匀视差近点角为297°37′，第二位置为253°38′，而在第三位置为109°38′。这与我们求得的结果吻合。
在托勒密·费拉德法斯21年（埃及历）1月19日破晓的那次观测中，托勒密认为偏心圆高拱点在恒星天球上183°20′处，而平均视差近点角为211°47′。从那次观测至最近的一次观测之间，历时1768埃及年200日33日分。这期间偏心圆高拱点在恒星天球上移动了28°10′（211°30′-183°20′） ，而除5570整圈外，视差行度＝257°51′＝469°38′-211°47′；469°38′＋360°＝第三次观测的位置＝109°38′。20年中大约有63个周期，则在1760（20×88） 年内有5544（88×63） 个周期。而其余的8年200日中有26个周期。
由上推出，在1768年200日33日分中，有5570（5544＋26） 圈和257°51′的余量。它为第一次古代观测与我们的观测所定出的位置之差。这个差值也与我的表中所列数字相符。若我将这一时段与偏心圆远地点的移动量28°10′相比，可知相同均匀条件下63年 中偏心圆远地点的行度为1°。
5.31 水星的位置
由基督纪元的起点到最近一次观测历时1504埃及年87日48日分。在这段时间中，不计整圈，水星近点角的视差行度为63°14′。在第三次近代观测时的近点角＝109°38′-63°14′＝在基督纪元开始时水星视差近点角的位置46°24′。而从那个时候回溯到第一届奥林匹克会期的起点，共有775埃及年 日。这段时间内，除整圈外计算值为95°3′。从基督纪元的起点减去95°3′（再借用一整圈），余量为第一奥林匹克会期的起点为311°21′（≈46°24′＋360°＝406°24′-95°3′）。另外计算从这一时刻至亚历山大之死的451年247日，可得起点为213°3′。
5.32 进退运动的另一种解释
我决定用另一种方法讨论水星，它同前述方法一样正确，我将用它来解决和阐释进退运动（见图5.35） 。
图5.35
令：圆GHKP 于中心F 处四等分，作它的同心小圆LM 。
以L 为心、以半径LFO ＝FG 或FH 绘出圆周OR 。假定所有圆周和交线GFR 及HFP 一起向东移动，它们绕中心F 逐渐远离偏心圆的远地点，每天大约2°7′，这便是行星视差行度超过地球黄道行度的数值。
行星从自身圆圈OR 上离开G 点的视差行度，几乎等于地球的行度，其余部分则来自行星。我们假设同一个周年运转中，负载行星的圆周OR 的中心来回运动，它是沿直径LFM 的天平动，其直径比以前的值大一倍。
做了以上安排后，我们令地球在平均运动中处于与行星偏心圆的远地点相对的地方。
再令：负载行星的圆圈的中心为L ，行星处于O 点。
此刻行星离F 最近，则在整个系统运动时，行星描出最小的圆圈，FO 为半径。紧接着，当地球处在中拱点附近时，行星行至离F 最远的H 点，并描出以F 为圆心的圆周最长的弧段。
它们的中心在F 汇合，于是均轮OR 与圆周GH 重合。
地球从此位置向行星偏心圆的近地点运行，且OR 圆的中心向另一极限M 摆动时，圆周本身便升到GK 之上，因而在R 的行星将又一次到达其离F 最近的位置，并扫出开始时为它确定的途径。
三个相等的运转重合于此，它们是地球返回水星偏心圆的远地点、圆心沿直径LM 的天平动，以及行星从FG 线到同一条线的巡回。我在前面谈过，这些运转中唯一的偏离是G 、H 、K 和P 这四个交点离开偏心圆拱点的行度（≈每日2°7′）。
这颗行星奇特的变化，如同大自然独特的游戏，而这种变化也被行星永恒的、精确的和不变的秩序证实。我在此特别指出，如果经度不偏离，行星便不会通过GH 与KP 两象限的中间区域。若两个中心发生变化，则会产生行差。而中心的非永久性设置了一道障碍。
举个例子，当中心留在L ，行星从O 开始运行。在H 附近，偏心距FL 表明它的偏离达到最大。由上可知，当行星离开O 运动时，它使由中心间的距离FL 所产生的偏离开始出现且不断增加。而当可动中心接近其在F 的平均位置时，预期的偏离越来越小，直至完全消失于中间交点H 和P 附近，我预计这些地方的偏离最大。可我知道在偏离变小时，它被太阳的光芒吞噬，所以当行星在晨昏出没时根本不能察觉它在圆周上。我不会忽视这种假设，它的合理性都被证实，且非常适合研究黄纬的变化。
5.33 五大行星的行差表
上面已经求得水星和其他行星的均匀行度与视行度，并通过计算详细地加以说明。以计算为例，能够了解如何算出其他任何位置的这两种行度之差。为了方便计算，我针对每颗行星列出详尽的表，所做的每个表有6栏、30行，行的间距为3°。前两栏是偏心圆近点角及视差的公共数。第三栏是各圆周均匀行度与非均匀行度之间出现的偏心圆集合差值，即总差值。
由于地球的距离大小不定，视差按比例分数或增或减，因此按六十分之几算出的比例分数载于第四栏。第五栏是行差本身，行差是在行星偏心圆高拱点处对于大圆的视差。最后一栏（即第六栏）可查到偏心圆低拱点的视差大于高拱点视差的量。（具体见《水星行差表》《木星行差表》《金星行差表》《火星行差表》《土星行差表》。 ）
5.34 五大行星的黄经位置
通过以上这些表，可以轻易求得五颗行星的黄经位置。它们几乎能用相同的计算方法求得，不过三颗外行星在这方面与金星、水星略有不同。
我会先谈三颗外行星，即土星、木星和火星，用如下方法对其进行计算：任一指定时刻，按第三卷所述方法求得平均行度，即太阳的简单行度和行星的视差行度。接着从太阳的简单位置减去行星偏心圆高拱点的位置，其差减去视差行度＝行星偏心圆的近点角。这个数目可在前两栏表中的某一栏的公共数中查找。而第三栏可得出与此数相应的偏心圆归一化数量，从下一栏查出比例分数。若查表所用数字位于第一栏，便将改正量加上视差行度，再用偏心圆近点角减去它。而若查表所用数字在第二栏中，便用视差近点角减掉它，将它加上偏心圆近点角。得到的和或差便是视差和偏心圆的归一化近点角。而为了阐明下面的一个问题，我将留下比例分数以供使用。
接着在前面两栏的公共数中查此归一化的视差近点角，再由第五栏求得与之相应的视差行差，以及最后一栏所载的其超出量。依比例分数求得超出量的比例部分。任何时候行星的真视差都为此比例部分加上行差。若半圆大于近点角，则用归一化视差近点角减去此和；相反，若近点角大于半圆，则用近点角加上此和。这便是求得行星在太阳平位置两面的真距离与视距离的方法。行星在恒星天球上的位置则为太阳的平位置减去此距离。而行星与春分点的距离等于二分点岁差加行星位置。
至于金星和水星的计算，则不用偏心圆的近点角而用高拱点与太阳平位置的距离。由上述可知，用此近点角可使视差行度和偏心圆近点角归一化。但若偏心圆行差及归一化视差是在同一方向上或为同一类，则把它们与太阳平位置同时相加或相减。若它们并非同一类，便用较大量减去较小量。要求行星视位置，则用先前对较大量的相加或相减性质的说明，然后用余量进行运算，即可求得。
5.35 五大行星的运行
如何阐明行星的经度运动，解释行星的留、回归和逆行以及这些现象出现的位置、时间和限度，在这两者之间有着显然联系。以佩尔加的阿波罗尼斯为代表的天文学家们对以上问题进行了大量的探究。他们认为，行星运动时仅有一种对太阳出现的不均匀性，我将之称为由地球大圆运动所产生的视差。
我们令地球的大圆和各行星的圆周为同心圆，所有行星在自己的轨道上沿同一方向以互不相等的速率向东运行。设大圆内的金星与水星在自己的圆周上运行快于地球。从地球画一条直线与行星轨道相交，且将轨道内的线段二等分。其中一半线段与从我们的观测点地球到相交轨道的下凸圆弧的距离之比，同地球与行星的速度之比相等。直线和行星轨道近地点弧段的交点区分了逆行与顺行，因此人们看到行星位于该处时会认为行星静止不动。
三颗外行星情况与此类似，其运行慢于地球。通过我们观测点的一条直线与大圆相交，而该圆内的一半线段与从行星到位于大圆上较近凸弧上人眼的距离之比，和行星与地球的速率之比相等。于是我们肉眼观察得到的印象是行星在该时刻和该位置静止不动。
当行星向东前进，则上述（内）圆里的一半线段与剩余的外面线段之比，将超过地球与金星或水星速率之比，或超过三颗外行星中任何一个与地球速率之比；而若它向西逆行，则是前者小于后者。
阿波罗尼斯用辅助定理证实以上论点。尽管它与地球静止的假设相符，可这与我的地球可动原则并不矛盾，所以我将采用它。我将用下列方式具体阐述（见图5.36） 。
图5.36
假设：在一个三角形中，将一条长边分为两段，其中某一段大于或等于邻边。该段与另一段之比会大于被分割一边的两角之比的数值。
△ABC 中，我们取BC 为较长边。取BC 上一点D ，使CD ≥AC ，即CD ∶BD ＞∠ABC ∶∠BCA 。
接下来就证实以上假设。
我们作平行四边形ADCE 。BA 和CE 延长线于F 点相交。再以A 为心画圆，半径为AE 。因AE ＝CD ≥AC ，可知圆会通过或超过C 点。
令：该圆为GEC 并通过C 。
可知△AEF ＞扇形AEG ，而△AEC ＜扇形AEC 。
则有△AEF ∶△AEC ＞扇形AEG ∶扇形AEC ，△AEF ∶△AEC ＝底边FE ∶底边EC 。求得FE ∶EC ＞∠FAE ∶∠EAC 。
由∠FAE ＝∠ABC ，∠EAC ＝∠BCA ，得出FE ∶EC ＝CD ∶DB 。可知CD ∶DB ＞∠ABC ∶∠ACB 。而如果我们假定CD （即AE ）不等于AC ，取AE ＞AC 时，则上述比值会大得多。
令：金星或水星的圆周为以D 为中心的ABC 。
再令：地球E 在ABC 外绕同一中心D 运转（见图5.37） 。
图5.37
画直线ECDA 通过观测点E 和圆周中心。
令：距地球最远点为A ，最近点为C 。
假设DC ∶CE 比观测者与行星运动速率的比值大，由此可找到一条直线EFB ，使 BF ∶FE ＝观测者的运动∶行星的速率。
当EFB 离开中心D 时，它沿FB 不断收缩，沿EF 段则伸长，直到满足所需条件为止。其中行星在F 点时，人眼看上去它是静止的。而无论我们在F 任一边所取弧段多么短，它在远地点方向上都是顺行的，在近地点方向上则为逆行。
我们首先取伸向远地点的弧为 ，并延长EGK ，同时连接BG 、DG 、DF 。
在△BGE 中，较长边BE 的线段BF 大于BG 。
则BF ∶EF ＞∠FEG ∶∠GBF 。
由此， BF ∶FE ＞∠FEG ∶2×∠GBF （＝∠GDF ）。而 BF ∶FE ＝地球速率∶行星速率。
则∠FEG ∶∠GDF ＜地球速率∶行星速率。由上可知，若有一角与∠FDG 的比值等于地球速率与行星速率之比，可知该角大于∠FEG 。
我们假设这个较大角为∠FEL 。
于是当行星在圆周上通过 时，可知我们的视线扫过了在直线EF 、EL 之间的一段相反的距离。显而易见，当行星走过 ，即就我们看来它向西扫过较小角度FEG 时，地球在同一时期内的运行把行星拉回来，使它向东扫出较大角度FEL 。
结果是行星仍然后退了∠GEL ，但看上去是前进了，也并非静止不动。同理，我们可论证相反的命题。
如图，假设取 GK ∶GE ＝地球速率∶行星速率，我们设 由EK 延伸到近地点。
连接KF ，则有△KEF 中GE ＞EF 。KG ∶GE ＜∠FEG ∶∠FKG 。还有 KG ∶GE ＜∠FEG ∶2∠FKG ＝∠GDF 。此命题为上述命题的逆命题。
我们用相同方法便能证明∠GDF ∶∠FEG ＜行星速率：视向速率。则可得知当∠GDF 增大时，两比值相等，则行星向西运行大于顺行所需要的量。
由前文所述，我们还可知，若我们令 ，则M 会出现第二次留。再绘直线EMN 。与 BF ∶FE 一样， MN ∶ME 也等于地球速率∶行星速率。可知留点为F 、M ，以它们为端点的 为逆行段，而除此之外的圆周弧线为顺行。我们还可知在任一距离处，DC ∶CE ≤地球速率∶行星速率，而任一条直线上的比值都≠地球速率∶行星速率，因此在我们看来，行星既不是逆行也不是静止的。
在△DGE 中，令EG ≤DC ，则∠CEG ∶∠CDG ＜DC ∶CE 。而DC ∶CE ≤地球速率∶行星速率。因而∠CEG ∶∠CDG ＜地球速率∶行星速率。出现这些情况时，行星向东运动，且在它的运行轨道上，任何弧段看起来都不会逆行。以上论证适合大圆之内的金星与水星。
以上方法和图形同样适合三颗外行星，只是符号需要改变。令地球大圆和我们的观测点的轨道为ABC ，E 为行星位置。我们的观测点在大圆上的运动比行星在自身轨道上的运动快。而其他方面我们只需用前述的方法进行论证即可。
5.36 测定逆行的时间、位置和弧段
因为行星速率和观测点速率的比值不会改变，所以如果负载行星的圆周和大圆皆为同心圆，以上论证结果就容易证实。视运动的不均匀，是以上的圆都为偏心圆所造成，因而我们应采用互不相干的，按其速度变化进行简化的行度。我们在论证过程中使用的正是以上这样的行度，而并非简单的均匀行度，除非只有行星在其中间经度附近出现，即行星几乎按一种平均行度运行时在其轨道上的位置。
以上观点我会用火星为例来证明，用火星同样可以解释其他行星的逆行。我们令观测点在大圆ABC 上，E 点为行星所在处，再由E 点画出直线ECDA 过大圆中心（见图5.38） 。画出EFB 及垂直于它的DG 。GF ＝ BF 。则GF ∶EF ＝行星的瞬时速率∶观测点的速率，且观测点的速率超过行星速率。
图5.38
为了了解行星静止不动时与A 的最大角距离及∠FEC 的数值，我们需要求出逆行弧段的一半即 ，或 （＝180°- ）。由此便可预测行星出现这一现象的时间和位置。我们令行星处在偏心圆中拱点附近，而此处行星的经度和近点角行度与均匀行度相差很少。
就火星而言，当平均行度＝直线GF ＝1 P 8′7″时，我们的视线的运动（即视差行度）为行星的平均行度＝1 P ＝直线EF 。则求得EB ＝3 P 16′14″（2×1 P 8′7″＋1 P ），同样，矩形BE ×EF 也为3 P 16′14″。而前面已求得，取DE 为10000 P 时，半径DA ＝6580 P 。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
EA ＝16580 P （6580 P ＋10000 P ），而EA （16580 P ）减去2DA （13160 P ）＝EC ＝3420 P 。则矩形AE ×EC ＝56703600 P ，这同BE ×EF 形成的矩形相等。
又已知BE ∶EF ，则可求得矩形EB ×EF （相等矩形AE ×EC 为56703600 P ）与EF 2 之比。我们令DE 为10000 P 时，可求得EF ＝4164 P ，DF ＝6580 P ，还可求得另一条线EB ＝13618 P 和余量GF ＝ BF （13618 P -4164 P ＝9454 P ）＝4727 P 。
在△DFG 中，已知DF ＝6580 P ，FG ＝4727 P ，∠DGF 为直角。则求得∠FDG ＝39°15′。
在△DEF 中，已知DE ＝10000 P ，DF ＝6580 P ，EF ＝4164 P ，∠FED ＝17°3′，∠FDE ＝17°2′。则第一留点的近点角 为162°58′（180°-17°2′）。因此，从A 量起的第二弧段等于2 （34°4′）加上 （162°58′）＝197°2′。根据FG 可得，从第一留点到冲点C 的耗时量，逆行的时间为这段时间加倍。
偏心圆的中间经度区会出现上面的情况。但是按照计算最大距离所用的方法，约为1°的行差使行星的异常行度与视线或视差近点角的异常行度之比可得，即有线段GF ∶EF ＝1000∶8917，且BE ［（2×GF ）＋EF ］∶EF ＝28917∶8917。我们取AD 为6580 P 时，由第三章可知DE ＝10960 P 。则DE ＝10000 P 时，AD ＝6004 P 。求得AE ＝AD ＋DE ＝6004 P ＋10000 P ＝16004 P 。而EC ＝DE -DC （或AD ）＝10000 P -6004 P ＝3996 P 。内含的矩形AE ×EC ＝16004 P ×3996 P ＝63951 P ，984 P ＜EF 2 ，且BE ∶EF 同它成正比。所以我们取DE 为10000 P 或DF 为6004 P 时，则有EF 为4441 P 。因而△DEF 中各边同样已知。
令：DE ＝60 P 。
在此情况下，AD ＝39 P 29′。DE ＋AD ＝60 P ＋39 P 29′＝AE ∶EC ＝99 P 29′∶20 P 31′（60 P -39 P 29′＝DE -DC ）。
则有矩形AE ×EC ＝2041 P 4′，它与BE ×EF 相等。比较的结果即2041 P 4′除以3 P 16′14″的商值＝624 P 4′，而它的一边EF ＝24 P 58′52″。
令：DE ＝10000 P 时，EF ＝4163 P 5′，DF ＝6580 P 。
△DEF 各边已知，求得行星逆行角DEF 为27°15′，以及视差近点角∠CDF ＝16°50′。在第一次留时行星在EF 上，而在冲时是在直线EC 上。若行星不曾向东运动，可知 ＝16°50′（包含由∠AEF 求得的逆行量27°15′）。
依照已知的行星速率与观测点速率比值，与16°50′的视差近点角相应的行星经度约为19°6′39″。从第二留点至冲点的距离为27°15′-19°6′39″＝8°8′，且约为 日。
这期间行星经过的经度距离为19°6′39″，则完成整个16°16′（2×8°8′） 的逆行需要73日（2× 日）。
以上分析是为偏心圆的中间经度进行的。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
如果按照当时最大距离做出的计算，由使均匀行度减少的行差可得行星异常行度与视线异常行度或视差近点角之比，即为直线GF ∶直线EF ＝46′20″6∶1 P 。
2×GF ＝46′20″＝1 P 32′40″，BE ∶EF ＝2 P 32′40″∶1 P ，而矩形BE ×EF ＝2 P 32′40″。取DA 为6580 P 时，DE 为10960 P 。
令：DE ＝60 P ，得到DA ＝36 P 1′20″。
则AE ＝DE ＋DA ＝60 P ＋36 P 1′20″＝96 P 1′20″。AE -2DA ＝EC ＝23 P 58′40″。而AE ×EC ＝2302 P 23′58″。此乘积除以BE ＝2 P 32′40″，商数为904 P 51′12″（应为52′23″）。此数的一边（平方根）＝30 P 4′51″，这是当DE 为60 P 时EF 的长度。
