CHAPTER 6
本章作为前一章（行星“经度行度”的研究）的延续，主要对“纬度行度”进行研究，重点讨论了地球运动引起的行星黄纬偏离。哥白尼首先对行星的黄纬和地球运动引起的黄纬偏离做概略的描述，对托勒密推求轨道面倾角的方法和结果进行讲解，并对黄纬值作出解释。随后分别论述了金星和水星的黄纬；金星和水星的二级黄纬偏离角、倾角数值和第三种黄纬；章末对五颗行星的黄纬计算方法进行了总结。
引言
我尽力阐释了假定的地球运动怎样影响行星在黄经上的视运动，以及它如何使这些现象遵照一种精确且必要的规律性。接下来我将探究引起行星黄纬偏离的这些运动，解释地球运动怎样支配这些现象，并确定在这些现象下它们的规律。行星的黄纬偏离会使行星的出没、初现、掩星和之前所述的一切现象需要进一步修正，因而对它的探究显得非常必要。我们只有确定了行星的黄经和黄纬的偏离，才能确定行星的真位置。而古人假设地球静止时所论证的相关事宜，我都可以通过对地球运动的假设来完成。我相信自己的论断可能更加精确、简练。
6.1 关于五大行星的黄纬偏离的一般解释
古天文学家们发现五颗行星的双重黄经不均匀导致了它们双重的黄纬偏离。他们认为这是由偏心圆和本轮造成的。我不使用本轮，而用曾在文中多次提到的地球大圆加以阐述。大圆与黄道面并不存在什么高低不同，它们实际上是等同的，且永远结合在一起。而我之所以使用大圆的另一个原因，是因为行星轨道倾斜于黄道平面，且倾角是变化的，其变化同地球大圆的运动及在行星轨道上的运转密切相关。
三颗外行星（土星、木星和火星）在经度上的运动规律不同于金星和水星。另一方面，外行星的黄纬运动的差异也比较大。因而古天文学家便先确定了它们的北黄纬极限的位置和数量。托勒密则发现土星和木星的北黄纬极限在天秤宫起点周围，火星的北黄纬极限位于巨蟹宫中点附近靠近偏心圆的远地点处。
而今，依我的观测可求得土星的北限位于天蝎座内7°处，木星在天秤座内27°，火星在狮子座内27°。从当时到现在这一漫长的时间内，倾角和黄纬基点随着行星轨道一起运动，远地点也随之移动。那时的地球无论在哪里，它和这些极限相距一个归一化或视象限处，这些行星在纬度上几乎没有偏离。因而，行星在那些中经度区，便处于它们的轨道和黄道的交点处，这同月球与黄道交点处一样。这些相交处被托勒密称为“交点”。自升交点开始，行星进入北天区；至降交点处，它便跨入南天区。地球大圆于黄道面内地位永远不变，因而以上出现的偏离并非是大圆使行星存在任何黄纬偏移。相反地，黄纬因交点产生偏离，且在两交点的中间位置偏离最大。当观测到行星于午夜过中天且与太阳相冲时，行星在地球接近时呈现的偏离大于地球在其他位置时。其在南天区向南移动，在北天区向北移动。这种偏离大于地球在进退运动时实际所需要的位移。由此可知，行星轨道的倾角并非固定，而是在与地球大圆运转相应的某种天平动中移动。我将在下面对此进行详细阐释。
黄纬偏离
五颗行星的双重黄经不均匀导致了它们双重的黄纬偏离。
金星和水星的偏离情况略有不同，虽然它们遵照一种与其中、高、低拱点相关的精确规律运行。它们的中经度区，也就是太阳的平均运动线同它们的高拱点或低拱点相距一个象限时，也是当行星本身在晨昏和同一条太阳平均运动线的距离为行星轨道的一个象限时，古天文学家观测到行星和黄道没有偏离。他们因此认为，此时行星处于自身轨道和黄道的交点处。因为交点分别通过远地点和近地点时，行星距地球较远或较近，这时行星出现明显的偏离。在黄昏初现或晨没时，行星距地球最远，这时观测到的偏离最大，即金星最偏北，水星最偏南。
另外，当处于离地球较近的一个位置，行星在黄昏沉没或在清晨升起时，金星看起来在南而水星在北。相反，地球处于与此相对的另一中拱点时，即偏心圆的近点角为270°时，金星在南且距地球较远，而水星在北。若处于距地球较近处，则金星在北，水星在南。
但是托勒密得出，当地球靠近这些行星的远地点时，金星的黄纬早晨偏北，黄昏偏南。而水星同它相反，其黄纬为早晨偏南，黄昏偏北。而当地球靠近这些行星的近地点时，这些方向便反过来，即金星早晨在南，黄昏在北；水星早上在北，黄昏在南。古天文学家发现，当地球处于这些行星的远地点或近地点时，金星的偏离在北面大于南面，于水星则是南大于北。
根据以上情况，古天文学家假设出一种双重纬度，事实上，它在大多数情况下为三重纬度。第一种被称为“赤纬”，它出现于中间经度区。第二种被称为“倾角”，它于高、低拱点出现。第三种被称为“偏离”，它与第二种纬度相关联。对金星而言，它总是偏北，对水星则总是在南。而在高拱点、低拱点和两个中拱点这四个极限点之间，各种纬度掺杂于此，交替增减，彼此进退。我会在下面适当的地方对这些现象进行阐释。
6.2 五大行星在黄纬上运动的圆周理论
通过以上讨论，理当认为五颗行星的轨道都与黄道面斜交，倾角的变化有规律，黄道直径为轨道面和黄道面的交线。就土星、木星和火星来讲，同我论证的二分点岁差的情况类似，其倾角以交线为轴出现了某种振动，这种振动是简单的，且以一定周期随视差动一起增减。当地球与行星距离最近时，即行星午夜过中天时，其轨道倾角为极大值；当它在相反位置时，其轨道倾角为极小值。由此，当行星的南或北纬度为极限值，可知行星黄纬在临近地球时远大于距地球最远时。但依照物体近大远小的原理，我们可知这种变化主要是由于与地球距离不同造成的。仅由地球距离引起的变化小于这些行星黄纬的增减变化。当它们的轨道的倾角也起伏振动时，这种情况就会出现。前面我已提到，振荡运动的计算应采用两个极值之间的平均值（见图6.1） 。
图6.1
令：ABCD 为在黄道面上的大圆，E 为圆心，行星轨道与大圆倾斜。FGKL 为轨道的平均和永久赤纬，纬度的北面极限处为F ，南限为K 。交线的降交点是G ，升交点为L 。同时，BED 为行星轨道与地球大圆的交线。将BED 沿直线GB 和DL 延长。除对拱点的运动外，这四个极限点不会移动。
由此，行星的经度运动出现在与FG 同心并与之倾斜的另一个圆OP 上面，而非圆FG 的平面上。
再令：所有圆周相交于同一条直线GBDL 。
可知：行星在OP 圆上运行时，OP 偶尔与平面FK 重合。
由于天平动穿过了两个方向，因此纬度看起来在变化。
令：行星位于其黄纬为最大北纬处的O 点，且离位于A 的地球最近。
已知：行星的运动是一种进退运动，它与视差运动相适应。其黄纬会按∠OGF ＝轨道OGP 的最大倾角的关系而增加。
那么，当地球于B 、O 同F 相合，观测到行星的黄纬似乎小于以前在同一位置时的黄纬。当地球处于C 处，看起来它会小得多。O 跨越到它振动的最外相对位置，它的纬度为超过北纬减去天平动的部分，即∠OGF 。而剩下的半圆CDA 内，F 附近的行星的北黄纬增加，直到地球回到它的出发点A 点为止。
再假设行星处于南面K 点周围时，地球从C 点开始运动，可知行星的情况和改变是一致的。
令：行星位于交点G 或L 时同太阳冲或合。
则有：此刻FK 、OP 两圆的倾角最大。
行星位于两圆的一个交点处。
因此，我们仍然观测不出行星的黄纬，但能判定其北黄纬是如何从F 到G 减少，而从G 至K 增加，并于穿过L 往北时完全消失的。
上述为三颗外行星的情况。它们与内行星不仅在经度上存在差异，在纬度上也一样，因为内行星轨道和大圆相交于远地点和近地点。同时，它们在中拱点的最大倾角同外行星一样因振动而改变，但振动方式并不相同。此二者跟随地球运转但变化情况相异。第一种振动在地球回归内行星的某一拱点时，通过远地点和近地点的固定交线为轴运转两次而产生。此振动导致每当太阳的平均运动线位于行星远地点或近地点时，倾角达到极大值；位于中间经度区时倾角极小。
另外，与第一种振动不同的是，叠加在第一种振动上的第二种振动的轴线可动。当地球在金星或水星的中经度位置时，行星总在振动的交线（即轴线）上。当地球和行星的远地点或近地点、随时向北倾斜的金星及向南倾斜的水星连成一条直线时，行星与第二振动轴的偏离最大。此时，内行星就不应有由单纯赤纬形成的纬度。
举个例子，假设太阳的平均运动和金星都处于金星的远地点，而行星也在相同的位置上。则此刻金星处于其轨道同黄道面的交点处，它的纬度不会因单纯赤纬或是第一振动而产生。在交线或轴线上，即在偏心圆横向直径上的第二振动，金星却会同通过高、低拱点的直径相交成直角，从而使行星具有最大程度的偏离。另外，我们假设行星处于（与它远地点）的距离为一象限中的任一点，且在它的中拱点附近。由此可知第二振动的轴同太阳的平均运动线相合。金星向北偏离与最大偏离相加，而向南偏离因减去了最大偏离而变小。因而偏离的振动和地球的运动变得协调一致。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
我们知道，太阳的平均运动先通过行星远地点或近地点时，无论行星在其轨道的什么位置，其偏离都最大；而当太阳平均运动线在行星中拱点附近时，它没有偏离。
为了阐述得更加清楚，我们重画大圆ABCD （见图6.2） 。
图6.2
令：金星或水星的轨道FLGK 为ABC 的偏心圆，它以一个平均倾角同ABC 斜交，FG 为交线。其中F 为轨道的远地点，G 为近地点。轨道GKF 的倾角不变，或在极大值和极小值间移动（交线FG 会随远、近地点的运动而移动，这属于例外的情况）。
已知：当地球和行星都在交线的A 处或C 处时，行星没有纬度，整个纬度在半圆GKF 和FLG 的两侧。
因此，行星在这里因圆FKG 与黄道面的倾角不同而向南或向北偏离。（这种行星的偏离被一些天文学家称为“倾角”，被另一些人称为“反射角”。）另外，当地球在行星中拱点B 或D 处，被称作“赤纬”的FKG 和GLF 分别为在上面或下面的相等的纬度。它们与前者的区别是在名称而非实质，而当位于中间位置时，连名称也互换了。就倾角而言，这些圆周的倾斜度大于“赤纬”。因而我们知道这种差异是由以交线FG 为轴的振动产生的。由于两边的交角已知，通过其差值便可求得从极小到极大的振动量。
再令：倾斜于GKFL 的另一个偏离圆为金星的同心圆，前面已经提到其对水星来讲为偏心圆。它们的交线RS 为振动轴线，它按以下规则在一个圆周内运动：当地球位于A 点或B 点时，行星处于偏离的任一极限处（如T 点）。而地球离开A 点前进时，行星可被认为离开T 点移动了相应的距离。同时，偏离圆的倾角逐渐减少。
那么，当地球扫过AB 象限时，我们认为行星已经到达该纬度的交点R 。这时两平面各自往相反方向运动，并重合于振动中点。可知在南面的偏离半圆向北转移。而金星处于这个半圆时，这个振动使金星不再转向南面，并背离南面向北移动。
同理：水星在相反方向上运动，且留在南面。另外，水星不是在偏心圆的同心圆上振动，而是在另一个偏心圆上。前面我使用一个小本轮说明它的黄经行度的不均匀性，该处考虑它的经度时不考虑纬度；而现在却是不顾它的经度而考虑纬度。它们都包含在同一运转中，并同时变化。由此可知，这两种变化都由一个简单的运动和相同的振动产生，此运动是偏心且倾斜的。在我刚才所描述的情况里，只有这种图像，再无别的图像。这点我会在后面进行详细的描述。
6.3 土星、木星和火星轨道的倾斜角
在阐明五颗行星纬度的理论之后，我将用观测到的事实和分析来加以论证。我首先从求得各个圆周的倾斜度开始，通过倾斜圆两极且和黄道正交的大圆，求出倾斜度。我们可在大圆上测得纬度偏差值，并根据这个值确定每颗行星的黄纬。
我们还是先从三颗外行星开始。托勒密的表中，行星在冲点而其纬度为最南极限时，土星偏离3°5′，木星偏离2°7′，火星偏离7°7′。而在其相反位置，即与太阳相合时，土星偏离2°2′，木星偏离1°5′，火星几乎掠过黄道，仅为5′。以上数值都可由托勒密在行星消失和初现时刻前后所测纬度求出。
（在该书草稿中，此处还有一段话。）
由于火星的黄纬大于其他一切行星的黄纬，因此我以它为例。则当火星位于冲点D ，地球在G 点 [1] ，∠AFC ＝7°7′为已知。而C 为火星的远地点，由前文可知其圆周大小。我们令FG （为FE 之误）为1 P 时，CE 为1 P 22°20′。则在△CEF 中，已知边CE 与EF 的比值和∠CFE ，则求得偏心圆的最大倾角∠CEF ＝5°11′。而地球位于相反位置G （应改为F ），行星仍在C 时，视纬度角CGF ＝4°（见图6.3） 。
图6.3
令：一个通过黄道中心的平面与黄道垂直，并与它相交于AB 。该平面与三颗外行星中任一颗的偏心圆交于CD ，交线CD 通过最南和最北的极限。黄道中心为E ，地球大圆直径为FEG ，D 为南纬，C 为北纬，连接CF 、CG 、DF 、DG 。
设：已知地球大圆半径EG 与行星偏心圆半径ED 之比。且由观测得出最大黄纬的位置，最大南纬角∠BGD 即△EGD 的外角也可知。
根据平面三角定理，可求得∠BGD 的内角GED 为偏心圆对黄道面的最大南面倾角。（用最小南黄纬如∠EFD ，同样能求得最小倾角。）
在△EFD 中，已知两边之比EF ∶ED 及∠EFD 。
则能求得最小南面倾角即外角∠GED 。再由两个倾角之差求出偏心圆相对于黄道的整个振动量。
由上可得出相对的北纬度，如AFC 和EGC 。若证实结果与观测吻合，则表示我们的假设是正确的。
我们以火星为例，因为其纬度超过其他任何行星。
已知：托勒密求得火星在近地点时的最大南黄纬约为7°，在远地点的最大北黄纬为4°20′，测出∠BGD ＝6°50′。
则有：∠AFC ≈4°30′。
又：已知∠BGD ，EG ∶ED ＝1 P ∶1 P 22′26″。
则求得最大南面倾角∠DEG ≈1°51′。
同理，EF ∶CE ＝1 P ∶1 P 39°57′及∠CEF ＝∠DEG ＝1°51′，于是行星位于冲点时上面提到的外角CFA ＝ 。
火星在相反位置且与太阳相合时，情况与此相同。
令：∠DFE ＝5′，已知DE 、EF 边及∠EFD 。
则能求得∠EDF 和代表最小倾斜度的外角∠DEG ≈9′，以及北纬度角CGE ≈6′。进而最大倾角-最小倾角＝1°51′-9′＝1°42′，即为倾角的振动量，则振动量的一半为 。
用同种方法可以确定木星与土星的倾角和纬度。求得木星的最大倾角为1°42′，最小倾角为1°18′；其整个振动量不超过24′。而土星的最大倾角为2°44′，最小倾角为2°16′，其振动量为28′。由此，当行星与太阳相合时，最小倾角在相反位置出现，因而可知土星对于黄道的纬度偏差值为2°3′，木星为1°6′ [2] 。这些数字可用于编制后面的表。
6.4 土星、木星和火星轨道的黄纬值
由上可知，我们也能推导三颗行星的特定纬度（见图6.4） 。
图6.4
假设：AB 垂直于黄道，且为通过行星最远偏离极限的平面的交线，A 为北极限点。同时令行星轨道与黄道的交线为直线CD ，CD 与AB 相交于D 。我们以D 为圆心绘出地球大圆EF 。行星与地球在冲时连成一线，且地球位于E 。从此点截取任一段已知弧 。从F 以及从行星所在位置C 作CA 、FG 垂直于AB 。连接FA 与FC 。
已知：地球位于E 时ADC 为极大。
可知振动性质所要求的它的总的振动量与地球在EF 圆上所做的运动相适应，直径BE 决定圆EF ，且 为已知。
ED ∶EG 为总的振动量与由∠ADC 分离出的振动之比。进而求得∠ADC ，△ADC 中各角和各边均可知。
根据CD ∶ED 的比值可知CD ∶DG （ED -EG ）之比，及AD ∶GD 的比值，还可求得AD 减GD 的余量AG 。
FG 为两倍 所对弦的一半。
因此，FG 的大小随之可得。则直角△AGF 中已知边AG 与FG ，斜边AF 及AF ∶AC 的比值均可知。
同理，直角△AGF 中，AF 和AC 两边已知，则求得视纬度角∠AFC 。
接下来再次把火星作为例子来论述。
令：火星在低拱点旁边出现的南纬最大极限为在A 附近，C 为行星所在处，当地球位于E 点处，倾角∠ADC 达到其极大值1°50′。
又令：地球在F 点，则沿 的视差行度为45°。
取ED 为10000 P 时，可知FG 为7071 P ，半径ED （10000 P ）-GD （＝FG ＝7071 P ）＝2929 P 。
已知：振动角 ∠ADC ＝ 。
则：振动角的增减量之比为DE ∶GE ≈ ∶15′。用1°50′减去后一数量，得到此情况下的倾角ADC 为1°35′。则△ADC 的各角与边均可知。
当令ED ＝6580 P 时，前面已经求得CD ＝9040 P 。
则：FG ＝4653 P [3] ，AD ＝9036 P ，AD （9036 P ）-GD （＝FG ＝4653 P ）＝AEG （4383 P ），及AC ＝ 。直角△AFG 中，垂边AG ＝4383 P ，底边FG ＝4653 P ，得到斜边AF ＝6392 P 。
又：△ACF 中，∠CAF 为直角，AC ＝ ，AF ＝6392 P 。
则求得当地球位于F 时的视纬度为∠AFC ＝2°15′。
后面将用同样的方法分析土星和木星。
6.5 金星和水星的黄纬值
余下的便是金星和水星。前面我已提到，可用三种相互联系的纬度飘移合在一起，计算它们的纬度的偏差值。为了将它们分离开来，而被称为“赤纬”的飘移最容易论述，它极少脱离其他飘移而出现，我首先从它开始说起。若分离出现在中间经度附近和两个交点旁，我们计算时就用改正的经度行度，而此时地球在与行星远地点和近地点相距一个象限的地方。古天文学家求得当地球在行星周围时，金星的南黄纬或北黄纬为6°22′，而水星为4°5′；而当地球与行星距离最大时，则金星为1°2′，水星为1°45′。我们用后面已经编制的黄纬表可查出行星在这些情况下的倾角。而金星距地球最远的纬度为1°2′和距地球最近其纬度为6°22′时，我们都可取轨道倾角弧长为 。水星距地球最远时，其纬度为1°45′；距地球最近时，其纬度为4°5′，此时我们都取轨道倾角弧长约为 。则当取360°＝4直角时，金星轨道倾角为2°30′，水星为 。我将会在这些情况下将它们的赤纬的每一个特定数值一一阐明。下面我从金星开始谈起（见图6.5） 。
图6.5
令：取黄道为参考平面，并通过它中心的平面与其相交于ABC ，黄道与金星轨道面的交线是DBE 。A 为地球中心，B 为行星轨道中心，轨道对黄道的倾角为∠ABE 。我们以B 为心中，画出轨道DFEG 和垂直于直径DE 的直径FBG 。
假设：轨道面与所取垂直面之间有关系，我们使在垂直面上所画的垂直于DE 的直线互相平行且和黄道面平行，FBG 为唯一的这样的垂线。
已知直线AB 和BC 及倾角∠ABE ，便可求得行星在纬度上的偏离数值。
再令：行星与最靠近地球的E 相距45°。按托勒密的做法，我们选取此点，便可更清楚地了解轨道倾斜是否会引起金星与水星的经度的变化。
当行星在这四个基点时，它的经度同没有任何“赤纬”时是一样的。
因此，在基点D 、F 、E 与G 之间约一半距离处，将出现这些变化的极大值。同上，我们取 ＝45°，作BE ⊥HK 。描出垂直于作为参考面的黄道的KL 和HM ，连接HB 、LM 、AM 、AH 。
∵HK 与黄道面平行，而KL 与HM 均垂直于黄道。
∴LKHM 为有4个直角的平行四边形。而平行四边形的边长LM 被经度行差角LAM 封闭。HM 也与同一黄道面垂直，则∠HAM 包含了纬度偏离。
又：∠HBE ＝45°，则我们取EB ＝10000 P 时，两倍HE 所对弦的一半为HK ＝7071 P 。
同理：△BKL 中，∠KBL ＝ ，∠BLK 为直角，我们令BE ＝10000 P 时，斜边BK ＝7071 P 。相同单位下KL ＝308 P ，BL ＝7064 P 。
前面提到AB ∶BE ≈10000 P ∶7193 P 。
则有：余下边HK ＝5086 P ；HM ＝KL ＝221 P [4] ，BL ＝5081 P 。则AB （10000 P ）-BL （5081 P ）＝LA （4919 P ）。
同上，△ALM 中，已知AL ＝4919 P ，LM ＝HK ＝5086 P ，∠ALM 为直角。求得斜边AM ＝7075 P ，则金星的行差或大视差为角∠MAL ＝45°57′。
这和计算结果吻合。
△MAH 也是同样的情况。已知边AM ＝7075 P ，边MH ＝KL ＝221 P ，而赤纬为角∠MAH ＝1°47′。（但需确定金星的赤纬能引起多大的经度变化。）
取△ALH ，且平行四边形LKHM 的一条对角线是LH 。
则有：AL ＝4919 P 时，LH ＝5091 P 。∠ALH 为直角。则求得斜边AH ＝7079 P 。进而确定两边比值及∠HAL 为45°59′，前面已有∠MAL 为45°57′，因此余量仅为2′。
水星的赤纬度数将用与上面相似的图形推求出来。
图中的 ＝45°，取斜边HB ＝10000 P 时，同上可得HK ＝KB ＝7071 P 。因上述情况加之前面求得的经度差，推出半径BH ＝3953 P ，AB ＝9964 P ，相同单位下可知BK ＝KH ＝2795 P 。
取360°＝4直角，前面已求得倾角∠ABE ＝6°15′，则直角△BKL 中各角已知。则有相同单位下底边KL ＝304 P ，垂边BL ＝2778 P 。因而AB （9964 P ）-BL （2778 P ）＝AL （7186 P ）。而LM ＝HK ＝2795 P 。则有△ALM 中，∠ALM 为直角，而AL ＝7186 P ，LM ＝2795 P 。求得斜边AM ＝7710 P ，并算出行差为∠LAM ＝21°16′。
同理：△AMH 中，已知AM （7710 P ）及MH ＝KL （304 P ），AM 、MH 夹出直角∠AMH 。
则有：所求的纬度为∠MAH ＝2°16′。
我们有必要讨论，这个纬度有多少是由真行差和视行差引起的。
则绘出平行四边形的对角线LH 。由边长推出LH ＝2811 P ，AL ＝7186 P 。则有视行差即∠LAH ＝21°23′。原来的计算结果（∠LAH ＝21°16′）比它小7′。
6.6 金星和水星的二级黄纬偏离角
至此，被我称为“赤纬”的是在轨道中间经度区出现的行星的纬度偏差角，这已在前面的章节中论述清楚。接下来我会探讨在近地点和远地点附近出现的黄纬。这些纬度和偏离（或第三种纬度偏离角）混合在一起。三颗外行星没有这种偏离，但内行星用以下计算方法比较容易区分开来。
托勒密观测到，近地点和远地点的黄纬的极大值出现在行星处于由地球中心向其轨道所画的切线上时。前面我提到，以上情况在行星位于晨昏且距太阳最远时发生。《天文学大成》中，托勒密还得出金星的南纬比北纬小 ，水星的南纬则比北纬大，即 。但为了使计算更为简便，他采用了黄纬可变数值的一个平均值 。他认为这么做产生的误差并不会被察觉，我在第4章中也证明了这一点。这些度数是在环绕地球且与黄道正交的圆周上的纬度，而在此圆周上的度量也正是纬度。若我们暂时不考虑偏离，且将黄道的每一边都取为相等的偏离角 ，这样我们便能轻易地在求得倾角纬度之前进行论证。首先应当阐明，在偏心圆切点附近，这个纬度的偏离角为极大值且经度行差也在切点出现峰值（见图6.6） 。
图6.6
令：通过行星远地点和近地点的直线为黄道面同金星（或水星）的偏心圆平面的交线。地球在交线上的A 点，倾斜于黄道的偏心圆CDEFG 的中心为B 。因此，在偏心圆上画出的任何与CG 垂直的直线所成角度，都是偏心圆对黄道的倾角。
绘出偏心圆切线为AE ，AFD 为一条任意的割线。由D 、E 、F 作出DH 、EK 、FL 均垂直于CG ，画DM 、EN 、FO 垂直于黄道水平面。再连接MH 、NK 、OL 、AN 和AOM 。直线AOM 的三个点在黄道面和与黄道面垂直的ADM 平面上，因此对取得的倾角来说，两行星的经度行差分别包含于∠HAM 和∠KAN 中，而∠DAM 和∠EAN 决定了它们的纬度偏离角。
已知：其中∠EAN 为在切点形成的最大纬度角，且经度行差在切点也几乎为极大值。最大的经度角为∠EAK 。
则有：KE ∶EA ＞HD ∶DA 和LF ∶FA 。但EK ∶EN ＝HD ∶DM ＝LF ∶FO ，前面提到过，这些比率的第二项所张的角相等，且∠HMD 、∠KNE 和∠LOF 均为直角。
得出：NE ∶EA ＞MD ∶DA 及OF ∶FA 。∠DMA 、∠ENA 与∠FOA 都为直角。可知∠EAN ＞∠DAM 以及按这个方式形成的所有其他角。
则有：在靠近E 点的最大距角处出现由这一倾角所引起的经度行差的极大值。
∵两个相似三角形角度相等，HD ∶HM ＝KE ∶KN ＝LF ∶LO 。
∴HD -HM ，KE -KN ，LF -LO 的比值也相等。EK -KN 的差值与EA 的比值比其他差值与AD 等边长的比值大。
因此，最大经度行差与极大纬度偏离的比值，和偏心圆分段的经度行差与纬度偏离的比值相等。KE ∶EN 等于和LF 及HD 相似的所有边与和FO 及DM 相似的所有边之比。
6.7 金星和水星的倾角值
经过前述的初步论证之后，我们来看看这两颗行星的平面倾斜度的角的大小。前面已经提到过，当行星中的每一颗都在它与太阳的最大和最小距离的中间时，行星最多偏南或偏北5°，相反的方向取决于它在轨道上的位置。不论在偏心圆的远地点或近地点，金星的偏离与5°相差甚微，而水星却与之相差了 左右（见图6.7） 。
图6.7
同上，令黄道和偏心圆的交线为ABC 。画出行星轨道，B 为圆心，前面已经阐述了它倾斜于黄道面。从地球中心画出直线AD ，AD 与行星轨道的切点为D 。作DF ⊥CBE ，DG 垂直于黄道的水平面，连接BD 、FG 、AG 。
取360°＝4直角时，假设∠DAG 是上述纬度差的一半，为 。我们需求出两颗行星的平面倾角∠DFG 。
以金星为例，取轨道半径为7193 P ，已知出现在远地点处的行星同地球的最大距离为10208 P ，而在近地点的最小距离为9792 P 。我在论证中将采用两个数值的平均值为10000 P 。托勒密考虑到计算的繁杂，希望能用简单的方法处理。我认为在两个极端值不会引起明显差异的地方，用平均值计算是最理想的。
AB ∶BD ＝10000 P ∶7193 P ，∠ADB 是直角。便可求得AD ＝6947 P 。与此相似，BA ∶AD ＝BD ∶DF ，DF ＝4997 P [5] 。我们令∠DAG ＝ ，且∠AGD 为直角。
于是：△ADG 中，各角已知，令AD ＝6947 P 时，DG ＝303 P 。而△DFG 中，DF ＝4997 P ，DG ＝303 P ，∠DGF 为直角，倾角∠DFG ＝3°29′。于是我们便能用目前已知的数字推导出经度视差之差为∠DAF -∠FAG 。
取DG ＝303 P ，求得斜边AD ＝6947 P ，DF ＝4997 P ，且AD 2 -DG 2 ＝AG 2 ，以及FD 2 -DG 2 ＝GF 2 。
则有：边长AG ＝6940 P ，FG ＝4988 P 。而当取AG ＝10000 P ，则有FG ＝7187 P [6] ，求得∠FAG ＝45°57′。在AD ＝10000 P 时，DF ＝7193 P ，则∠DAF ≈46°。可知在倾角为最大时，视差行差减少约3′（46°-45°57′） 。而在中拱点，两圆之间的倾角为 。但是它在此处为3°29′，因此第一天平运动在此处几乎增加了一整度。
可用同样的方法来论证水星。
取半径为3573 P 时，轨道和地球的最大距离为10948 P ，最小距离为9052 P ，求得平均值为10000 P 。AB ∶BD ＝10000 P ∶3573 P 。
则有：△ABD 中，第三边AD ＝9340 P 。AB ∶AD ＝BD ∶DF ，DF 为3337 P [7] 。我们令纬度角∠DAG ＝ ，取DF ＝3337 P 时，DG ＝407 P 。
则有：在直角△DFG 中，两边之比已知，且求得水星轨道对黄道面的倾角∠DFG ≈7°。但前面求得，在与远地点和近地点的距离为一个象限的中间经度区，倾角为6°15′。可知由第一天平运动增加了45′（7°-6°15′） 。
同理：确定行差角及其差值，需要用到AD ＝9340 P 和DF ＝3337 P 时，已知DG ＝407 P 。
∵AD 2 -DG 2 ＝AG 2 ，DF 2 -DG 2 ＝FG 2 。
∴AG ＝9331 P ，FG ＝3314 P 。其行差角∠GAF ＝20°18′，而∠DAF ＝20°56′。则∠DAF 比与倾角有关的∠GAF 约大8′（见图6.8） 。
图6.8
接下来我们需要求出与轨道（距地球）的极大和极小距离有关的倾角以及黄纬，且确定它们是否与观测得出的数值吻合。
为此，我们在同一图形中的第一位置，即金星轨道与地球的最大距离处，再次假设：
AB ∶BD ＝10208 P ∶7193 P 。∠ADB 为直角，相同单位下AD ＝7238 P 。AB ∶AD ＝BD ∶DF 。则有DF ＝5102 P 。我们在第四章中已求得倾角∠DFG ＝3°29′。取AD ＝7283 P 时，余下的DG ＝309 P 。
若取AD ＝10000 P ，则DG ＝427 P [8] 。
由此，在行星与地球的最大距离处，∠DAG ＝2°27′。而在其最小距离处，轨道半径BD ＝7193 P 的单位中，AB ＝10000 P -208 P ＝9792 P 。垂直于BD 的AD ＝6644 P 。AB ∶AD ＝BD ∶DF 。
但无论3′还是4′（＝2°30′＝3′＋2°27′＝2°34′-4′） ，用星盘这样的仪器来测量都不够大。则前面对金星所取的最大纬度偏离角值依然有效。
相同地，我们令水星轨道离地球的最大距离与水星轨道半径之比为AB ∶BD ＝10948 P ∶3573 P 。
则有：AD ＝9452 P ，DF ＝3085 P 。我们再次得到水星轨道与黄道面的倾角为7°，取DF ＝3085 P 或DA ＝9452 P 时，直线DG ＝376 P 。则有在各边已知的直角△DAG 中，求得最大纬度偏离角∠DAG ≈2°17′。而在轨道离地球的最小距离处，我们取AB ∶BD ＝9052 P ∶3573 P 。相同单位下AD ＝8317 P ，DF ＝3283 P 。由于倾角同为7°，则AD ＝8317 P 时，取DF ∶DG ＝3283 P ∶400 P ，DAG ＝2°45′。
我们取和水星轨道与地球距离的平均值有关的纬度偏离角为 。它比在远地点为极小的纬度偏离角大13′（2°30′-2°17′） ，比在近地点为极大的纬度偏离角小15′（2°45′-2°30′） 。为了使观测中的差异微小，我在计算中不使用这些远地点与近地点的差值，而使用在平均值上下的 。
由以上论证，最大经度行差与最大纬度偏离角之比等于在轨道其余部分的局部行差与几个纬度偏离角之比，我们求得由金星和水星轨道相互倾斜所引起的所有黄纬数量。但是我在前面提到，我们只能求得在远地点与近地点中间的黄纬。这些纬度的极大值为 ，而金星的最大行差为46°，水星的最大行差≈22°。用前面的非均匀行度表，可以分别查出对轨道的个别部分的行差。若需考虑最大值比每个行差值大多少，可对每颗行星取 的相应部分。我会在6.8末尾的表中列出这个部分的数值。依此，便能求得地球在行星的高、低拱点时每个倾角纬度的精确度数。我用相似的方法记录了当地球处在行星的远地点与近地点之间距离为一个象限处而行星位于中经度区时行星的赤纬。至于在高、低拱点及两个中拱点之间出现的情况，可按所取坐标系运用数学技巧推导出来，但计算过程非常复杂。而托勒密总是力求用非常简单的方法处理每一个问题。他认为对赤纬和倾角来讲，都同月球纬度相似。其在整体和各部分上成比例地增减。已知它们的最大纬度为 ，他把每一部分乘以12，并将乘积当作比例分数。他认为这些比例分数对两颗内行星和三颗外行星都可用，对此我会在本章第九节进行阐释。
6.8 金星和水星的第三种黄纬值
在阐明以上内容之后，我将讨论偏离，即第三纬度运动。古天文学家认为地球是宇宙的中心，且认为是偏心圆的振动产生了偏离，其位相与绕地心的本轮的振动相同，并在本轮位于偏心圆的远地点或近地点时出现极大值。我前面提到金星为偏北 ，而水星为偏南 。
然而，我不能确定古天文学家是否认为圆周的这个倾角永远不变。他们总是将金星的偏离取为 ，将水星的偏离取为 ，这表明了其不变性。仅有在倾角永远不变的情况下这些分数值才是真实的，且这是以此角为依据的比例分数的分布所需要的。而即使倾角永远不变，我们也无法解释为何行星的这个纬度会突然从交点恢复它原来的数值。或许你认为这种恢复就如同光学中光的反射那样。然而我们所讨论的并非瞬时运动，其实质是求一个能够测定的时刻。
因而应该相信，这些行星具有我在前面提到的天平动。它可让圆周的各部分的纬度变成相反的纬度。它是行星数值变化的一个重要结果，对水星来讲是 。所以依我的假设，这个纬度并不固定，即非绝对常数，这不该令人感到奇怪。而它引起的不规则性不可觉察，且能在黄纬的各种变化中分离开来（见图6.9） 。
图6.9
令：水平面与黄道面垂直，两平面交线为AEBC ，其中A 为地球中心。在距地球的最大或最小距离处的B 为实际上通过倾斜轨道两极的圆周CDF 的中心。
可知：当轨道中心在AB 上，即位于远地点或近地点时，行星无论位于与轨道平行的圆周上的哪一位置，其偏离为最大。直径DF 所在圆周平行于轨道，且DF 平行于轨道的直径CBE 。
这两个平行圆周与平面CDF 垂直，我们取其与平面CDF 的交线为直径DF 和CBE 。G 为DF 平分点，也是与轨道平行的圆周的中心，再连接BG 、AG 、AD 与AF 。
取：金星最大偏离时，∠BAG ＝ 。
因此在△ABG 中，∠B 为直角，则有AB ∶BG ＝10000 P ∶29 P 。
因为：CB ＝CA -BA ＝17193 P -10000 P ＝7193 P ，CE ＝2×7193 P ＝14386 P 。
所以：相同单位下ABC ＝17193 P ，而AE ＝AC （17193 P ）-CE （14386 P ）＝2807 P 。BG ＝两倍 或 所对弦之半。
可知：∠CAD ＝6′，而∠EAF ≈15′。
