如果改变一下这个抽象的实验，我们会认识到一定会出现实验不能成功的案例。我们假定这些杆子是“膨胀”的，膨胀的量值与温度升高的量值成正比。我们使大理石板的中心部分变热，但外围的热量不变，在此情况下，我们仍然能使两根小棍在桌面上的每一位置相重合。但在加热期间我们的正方形必然会受到扰乱，因为桌面中心的小棍膨胀了，而外围部分的小棍则不膨胀。
我们将小棍定义为单位长度。这块大理石板就不再是一个欧几里得连续区，而且我们的小棍也不可能被借用来定义笛卡尔坐标，因为上面的作图法不能够完成。但是由于有一些其他的东西并不像受桌子温度影响的小棍般（或许丝毫不受影响） ，因而我们有可能对下述观点持自然的支持态度，即大理石板仍是一个“欧几里得连续区”，所以我们要满意地实现欧几里得连续区，就必须对长度的量度或比较做一个更为巧妙的约定。
但是如果把各种杆子（例如各种材料所制的） 放在冷热不均的大理石板上时，它们对温度的反应都是相同的。如果除了杆子之外，我们没有其他的方法来探测温度，于是我们最好的办法就是：只要能够使我们的一根杆子的两端与石板上的两点的距离相重合，我们就将该两点之间的距离定义为1。因为如果不这样，我们将在对距离下定义时犯任意独断的错误。所以，我们只有舍弃笛卡尔坐标，而以不采取欧几里得几何学对刚体的有效性这一方法来代之。读者们将会看到，这里所描述的情形符合广义相对论公设（本章第六节 ） 。
相关问题 欧几里得几何学
欧几里得几何学简称欧氏几何。它是相对非欧几里得几何学而言，以欧几里得平行公理为基础的几何学。由古希腊数学家欧几里得创始。在此之前，古希腊学者泰勒斯已开始了命题的证明；毕达哥拉斯学派已发现了勾股定理、不可通约量，并知道了五种正多面体的存在；雅典的智人学派提出三等分任意角、倍立方和化圆为方几何作图三大问题；安提丰和欧多克索斯提出并改进了穷竭法；埃利亚学派的芝诺提出有关无穷的四个悖论；原子论学派的德谟克利特用原子法得出锥体的体积公式等。加之柏拉图学派提倡智力训练和逻辑思维的培养，欧多克索斯用公理法创立比例论，亚里士多德形式逻辑的奠基，使几何公理化水到渠成。约公元前300年，亚历山大学派的创始人欧几里得按照逻辑系统把几何命题整理起来，用公理法建立起演绎体系，完成巨著《几何原本》，使几何成为一门独立的、演绎的科学。
《几何原本》是欧几里得几何学的奠基作，几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。它是由定义、公设、公理、命题组成的演绎推理系统。每一个命题（相当于现在的定理） 都是以公设、公理或它前面的命题作为证明的依据，按逻辑相关性排列而成。欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的源流，在历史上受到很高评价。
欧几里得 素描
欧几里得的重大功绩是编写了《几何原本》。从来没有一本教科书，像《几何原本》这样长期占据着几何学教科书的头把交椅。从1482年出现活字印刷以来，《几何原本》竟然印刷了1000版以上。在那之前，它的手抄本统御几何学达1800年之久。欧几里得的影响是如此深远，以至于欧几里得和几何学成为了同义词。
非欧几里得几何学
非欧几里得几何学是不同于欧几里得几何学的几何体系，简称“非欧几何”，一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何） 和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。
非欧几何的历史渊源及发展。它的起源可追溯到人们对欧几里得平行公理的怀疑。从古希腊时代到公元1800年间，许多数学家都尝试根据欧几里得的其他公理去证明欧几里得平行公理，结果都失败而归。19世纪，德国数学家C.F.高斯、俄国数学家H.罗巴切夫斯基和匈牙利数学家J.波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说，平行公理是独立于其他公理的，并且可以用不同的“平行公理”替代欧几里得平行公理而建立非欧几何学。高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表，只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们的关于非欧几何的理论。在这种新的非欧几何中，替代欧几里得平行公理的是罗巴切夫斯基平行公理：在一平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线共面而不相交。由此可以演绎出一系列全新的无矛盾的结论。在这种几何里，三角形内角和小于两直角。当时罗巴切夫斯基称这种几何学为“虚几何学”，后人又称为“罗巴切夫斯基几何学”，简称“罗氏几何”，也称“双曲几何”。
几何学
几何学一般可以分为欧氏几何和非欧几何。欧氏几何有时单指平面几何，但在《几何原本》中也涉及到了一部分立体几何，比如研究正多面体等问题。而非欧几何泛指一切不同于欧氏几何的几何学，不过通常意义的非欧几何只包括罗氏几何和黎曼几何。
德国数学家D.希尔伯特于1899年发表了著名的《几何基础》一书，严密地建立了欧几里得几何的公理体系。它由五组公理组成，即结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理及连续公理（见欧几里得几何学） 。由结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理四组公理所建立的体系称为“绝对几何公理体系”。绝对几何公理体系加上罗氏平行公理，就构成了罗巴切夫斯基几何的公理系统。
绝对几何是欧氏几何与罗氏几何的公共部分，也就是说，绝对几何的全部公理和定理在两种几何里都成立。例如命题“任意一个三角形内角和不能大于两个直角”是绝对几何里的定理。
罗氏平行公理。它是欧氏平行公理（通过直线外一点只有一直线与已知直线共面不交） 的否定命题，即“避过直线外的每一点至少有两条直线与已知直线共面不交”。
2.8 高斯 (13) 坐标
高斯坐标分析问题的方法与几何方法结合起来可由下述途径达成。设想我们在桌面上画一任意曲线系U ，并且每一根曲线用一个数来标明。图4中的曲线有U =1、U =2和U =3，假如在U =1和U =2之间有无限多的曲线而且这些曲线对应于1和2之间的实数，于是我们得到一个“无限稠密”的、布满整个桌面的U 曲线系。
图4
这些U 曲线系是彼此不相交的，桌面上的每一点都必须有一根而且仅有一根曲线通过，这样，桌面上的每一点都有一个确定了的U 值。以同样的方式画一个所满足的条件与U 曲线相同的V 曲线系于桌面，V 曲线标有的数字以及其任意形状与U 曲线一致。于是，桌面上除了U 值外，还有一个V 值，这便是我们称之为的桌面的坐标（高斯坐标） 。例如，图4中的P 点就有U =3，V =1这一高斯坐标，桌面上相邻的P 和P ′就有其各自对应的坐标：
P :U ，V
P ′:U +Du ，V +D v
这里的Du 和D v 是标记很小的数。依此类推，我们可以好似把一根小棍当作量杆般，用Ds 这一很小的数表示P 和P ′的线间隔距离，根据高斯的记述，我们有：
Ds 2 =G 11 DU 2 +2G 12 UDV =G 22 DV 2
这里的G 11 、G 12 、G 22 ，取决于U 和V 的量，是一种完全确定的方式。这三个量，G 11 、G 12 、G 22 是决定量杆相对于U 和V 的曲线的行为，亦是决定量杆相对于桌面的行为。我们所考虑的桌面上的诸点相对于量杆构成了一个欧几里得连续区。只有在产生这一连续区的情况下，我们画出或用数学公式简单地将U 曲线和V 曲线表示出才有成功的可能。现在，我们用数字表述如下：
Ds 2 =DU 2 +DV 2
这个公式说明：在所表述出来的条件下，U 曲线和V 曲线是欧几里得几何学里相互垂直的直线，而且高斯坐标亦成了笛卡尔坐标。很明显，高斯坐标在这里表现出的是彼此相差极微的数值与“空间中”相邻的点的一种连续统一的关系。
高斯及其论文
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，他和阿基米得、牛顿共享盛名。
高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。
他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
这些对二维连续区的论述迄今为止是成立的，但高斯的方法也可运用于更多的连续区，如三维、四维或多维等。对一个四维连续区，我们可以这样来表示：我们取任意四个数值x 1 、x 2 、x 3 、x 4 ，它们如果与四维连续区中的每一点都是连续统一的，就被称为“坐标”，相邻的点与相邻的坐标值相对应。而且从物理的观点来看这两个相邻点的距离是可以测量的和被明确规定了的，那么下式成立：
其中，作为一个等量的值，G 11 随连续区中位置的变化而变化，要使坐标x 1 、…、x 4 与这个连续区的点有连续统一的关系，必须得使该坐标是一个欧几里得连续区，如果关系式成立，我们便有：
这一情况表明，一些与三维测量相似的关系同样适用于四维连续区。但在用高斯方法表述Ds 2 时，其主要问题是必须使我们所考虑的连续区中各个极其微小的区域都被看作是欧几里得连续区，这一并不经常适用的方法才有可能成立。在考虑大理石桌面和局部温度受热不均匀而产生变化这一点上，这种方法是成立的。温度被桌面的一小部分面积视为恒量，因而小杆的几何行为基本能够符合欧几里得几何学的法则。只有当用正方形作图法作图，其作图的面积占桌面极大部分时，它的缺陷才会明显地显露出来。对此，我们的总结是：高斯对一般连续区的表述，发明出了一种数学的方法，在其中他定下了“大小关系”（相邻点的距离） 的定义。对于一个n 维的连续区中的每一点，高斯皆以n 个数字标出（高斯坐标） ，每个点所标的数字是独一无二且相邻点之间亦以一个彼此之间无穷小的数（高斯坐标） 来标出。高斯坐标既是笛卡尔坐标系的推广，也适用于非欧几里得连续区。当然，这一适用是有限制的，也只有在相对于既定的“大小”或“距离”的定义中，以及所考虑的连续区中各个区域部分越小，表现得越像一个真正的欧几里得系统时才有用。
相关问题 高斯：学讲话前就学会了计算
高斯的父亲是泥瓦厂的工头，每星期六他总是要发薪水给工人。高斯3岁那年夏日的一天，高斯的父亲正在给工人发薪水，小高斯站起来说：“爸爸，你弄错了。”然后他说了另外一个数目。重算的结果证明小高斯是对的，大人被惊得目瞪口呆。
高斯说，他在学讲话之前就已经学会了计算。
高斯10岁时做的那道题——求1+2+3+…+99+100之和，充分展现了高斯的数学天分。
卡尔·弗里德里希·高斯（1777—1855年） ，德国数学家、物理学家和天文学家。哥廷根大学毕业，赫尔姆施泰特大学哲学博士。长期任哥廷根大学教授，哥廷根天文台台长。早期研究数论，成果收入他所著的《算术研究》中。对超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论有重大贡献。他的曲面论是近代微积分几何的开端。他建立了最小二乘法，并沿着拉普拉斯的思想方法，继续发展了势论。对物理、天文学、测地学等也有很大贡献。他奠定了在平衡状态下液体的理论基础；研究地磁强度，与德国物理学家韦伯（1804—1891年） 共同建立了电磁学中的高斯单位制；用自己的行星轨道计算法和最小二乘法算出意大利天文学家皮亚齐（1746—1826年） 发现的谷神星的轨道；晚年写成了《天体运动论》。曾独立发现“非欧几何学”，但未发表。此外，还有向量分析的高斯定理、代数基本定理的证明、正十七边形的作图、关于正态分布的密度曲线、质数定理的验算等研究成果。有《高斯全集》十一卷。
高斯与天文学
高斯担任哥廷根大学天文台台长后，开始迷上了天文学，此后他用了10年的时间把几何与天文学结合起来，并在晚年写成了《天体运动论》，创立了测量行星运行轨道的理论。
这幅图显示测量恒星距离的方法：测量恒星E的距离，是靠他的年视差π来推算的。年视差则靠从地球上观测该恒星相隔半年在天空穹顶移动的距离来测量。
极坐标系
极坐标系是由一个极点和一个极轴构成，极轴的方向为水平向右。平面上任何一点P 都可以由该点到极点的连线长度P （>0）和连线与极轴的交角θ （极角，逆时针方向为正）所定义，即用一对坐标值（ρ ，θ ）来定义一个点。
平面极坐标系
在平面问题中只需用二维坐标系就够了。常用的二维坐标系中，有二维直角坐标系和平面极坐标系。利用平面极坐标系研究曲线运动，特别是圆周运动非常方便。
在所研究的平面内，取参考系上一固定点O 作为极点，过极点作一条固定射线Oa （或Ox ）作为极轴，就构成了平面极坐标系。对于平面内任意一点P ，连线OP 称为点P 的极径，用ρ 表示；自Oa 到OP 所转过的角称为点P 的极角，用θ 表示。极径和极角，即（ρ , θ ）是唯一确定点P 位置的两个量，就称为点P 的极坐标。
显然，平面极坐标与二维直角坐标之间的变换关系可以表示为
我们可以利用这种关系，在这两种坐标系之间互相转换。在平面极坐标系中，也定义了两个单位矢量，即径向单位矢量和横向单位矢量。径向单位矢量沿极径增大的方向，横向单位矢量与径向单位矢量垂直，沿极角增大的方向。
应该指出的是，径向单位矢量的方向和横向单位矢量的方向都是随所讨论的点的位置的不同而不同的。若质点的位置在随时间变化，则这两个单位矢量的方向也都在随时间变化。正因如此，我们说它们都是时间的函数，并分别表示为和。表面看起来，这使得运动学公式变得繁杂了，而实际上正是由于这一特点，使问题变得更加简明了。
高斯平面直角坐标系
利用高斯投影法建立的平面直角坐标系，称为高斯平面直角坐标系。在广大区域内确定点的平面位置，一般采用高斯平面直角坐标。
哥廷根数学研究所 摄影
哥廷根学派是在世界数学科学的发展中长期占主导地位的学派，该学派坚持数学的统一性。
高斯开启了哥廷根数学学派的时代，并在此发现了非欧几何，但是，高斯由于害怕这种新几何会激起学术界的不满，由此影响他的声誉，在他生前一直没敢把自己的这一重大发现公诸于世。
高斯投影法是将地球划分成若干带，然后将每带投影到平面上。投影带是从首子午线起，每隔经度6°划分一带，称为6°带，将整个地球划分成60个带。带号从首子午线起自西向东编，0°～6°为第1号带，6°～12°为第2号带……位于各带中央的子午线，称为中央子午线。
我们把地球看作圆球，并设想把投影面卷成圆柱面套在地球上，使圆柱的轴心通过圆球的中心，并与某6°带的中央子午线相切。将该6°带上的图形投影到圆柱面上。然后，将圆柱面沿过南、北极的母线剪开，并展开成平面，这个平面称为高斯投影平面。中央子午线和赤道的投影是两条互相垂直的直线。
规定：中央子午线的投影为高斯平面直角坐标系的纵轴x ，向北为正；赤道的投影为高斯平面直角坐标系的横轴y ，向东为正；两坐标轴的交点为坐标原点O 。由此建立了高斯平面直角坐标系。
地面点的平面位置，可用高斯平面直角坐标x、y 来表示。
2.9 狭义相对论的空间—时间连续区可当作欧几里得连续区
闵可夫斯基只在第一章第十七节 谈及的一个概念，我们现在已有更严谨的表述。按狭义相对论，对于四维空间—时间连续区，我们要优先用被称为“伽利略坐标系”的某些坐标系来描述。这些坐标系在确定一个事件，或者说在用x、y、z、t 四个坐标确定四维连续区中的一个点时，在物理意义上有简单的定义，对此第一部分已有论述。洛伦兹变换方程的完全有效性，在于从一个伽利略坐标过渡到相对于这个坐标系做匀速运动的另一个伽利略坐标。作为表述光的传播定律对于一切伽利略参考系的有效性，洛伦兹变换方程是构成从狭义相对论导出推论的基础。
闵可夫斯基发现洛伦兹变换满足下列简单条件。让我们考虑两个在四维连续区中的相对位置是参照伽利略参考物体K ，用空间坐标差dx 、dy 、dz 和时间差dt 来表示的相邻事件。若它们参照另一伽利略坐标系的差为dx 1 、dy 1 、dz 1 、cdt 1 。那么这些总是满足条件：
这个条件确定了洛伦兹变换的有效性，对此我们说：属于四维空间—时间连续区两个相邻点的量
ds 2 =dx 2 +dy 2 +dz 2 －c 2 dt 2
对于一切选定的（伽利略） 参考物体的值都相同。若用x 1 、x 2 、x 3 、x 4 代换x、y、z 、 ·ct ，也会得出相同结果：
即与参考物体的选取无关。量ds 为两个事件或两个四维点之间的“距离”。
因而若将选取的虚量作为时间变量， ·ct 就可以狭义相对论把空间—时间连续区当作一个“欧几里得”四维连续区，该结果可由前节论述推出。
相关问题 球面坐标
我们把目光从平面转向曲面，就会发现：用单一的直角坐标系不能覆盖整个曲面。在曲面上，使用曲面坐标系显然更为直接和方便。在我们最为熟悉的曲面——球面上，人们经常使用球面坐标。它其实就相应于用以标识地球表面上某点位置的“纬度”和“经度”。
球面坐标，是空间的一种曲线坐标。
图为欧氏空间曲面
一条动线，在给定条件下，在空间中作连续运动，其轨迹就形成了曲面。常见的曲面如球面、环面都是可定向的；但也有不可定向的曲面如麦比乌斯带等等。
空间中之任一点P ，其参数为：①P 之半径r=OP ，即P 至一固定点O 之距离，O 称为极；②P 之余纬度θ ，即向量和一固定轴ON 之夹角，ON 称为极轴；③P 之经度φ ，即平面NOP 和一含极轴之固定平面NOA 之夹角，此固定平面称为原子午面。
通常限制此三个参数之范围为0＜r ＜∞，0≤θ≤π，0＜φ ＜2π。在极轴上之点，φ 可为0和2π间之任意实数。
球面坐标之坐标曲面为：①r ＝常数≠0，为同心的球面，心在极点；②θ ＝常数≠0、π/2或π，为直圆锥面，顶点在极点，轴为极轴。若θ ＝0、π/2或π，为平面；③φ ＝常数，为含极轴之平面。
若我们建立一直角坐标系，使原点和极点重合，极轴为公轴，原始子午面为XO Z 平面，则可以得到球面坐标和直角坐标间之关系为：
x ＝r sinθ cosφ
y ＝r sinθ sinφ
z ＝r cosθ
有时候我们用P 代表半径，φ 代表余纬度，θ 代表经度。球面坐标亦称为地理坐标，或空间的极坐标。
任意坐标系
坐标系的设置存在很大的任意性。在平面上，除了上文提到的直角坐标系和极坐标系之外，还可以设置诸如斜角坐标系、椭圆坐标系、曲线坐标系等。
在同一个曲面上，引入的坐标系不同，度规各分量一般也会有不同的值。它们由坐标变换关系互相联系，并且可以互相变换。
时空连续区和物质的关系
时空同物质紧密联系，已成公理，而时间和空间是否可以脱离物质而独立存在，则令人费解。
时间和空间是客观的。物质就其含义而言，应该包括时间和空间。
我们以具体实物来说明。时间和空间不能离开物质。把一实物从时空连续区搬走，而时空连续区仍然存在。这时，物质似乎已脱离了空间和时间。但时空连续区存在于空间和时间，是以空间为基础和条件的。这个时间，是静止的时间，也就是空间。时空连续区的时间和空间，其实质是空间，我们认定的这个存在的时间和空间，其实是空间存在，而时间业已转化为空间。在空间上，根据空间创造运动而创造实物的原理，物质尚未形成时间，时间在这里其实充当了我们所不能证实和发现的实物。由无到有的空间的缩小、时间增大、实物质量增加的事实，充分给我们证明了物质在一定条件下所表现的不同形式，就是说，在时空连续区假定的实物搬走以后，留下的空间和空间中的时间就是我们所要寻找的物质。如果我们在留下的一无所有的空间中等待漫长的几千年，我们就可以证实一个新的微小的实物在空间的运动中又诞生了。这也就是宇宙中生命诞生及物质形成的最新型的理论。
从乌龟塔到时空弯曲
以前的时空观声称时空是位于龟背之上，而现代科学则认为时空呈现出弯曲的状态。这种弯曲可使旁边任何事物，即使是光线和时间也能够被改变。
空间和时间不能离开具体的物质而存在，其意思是要求证明在空间上，物质与空间和时间的不可分割性。而在时间上，即在具体的实物形式上，物质与时空不可分割的性质已被狭义相对论证实无疑。
这样，我们就可以认定，时空中的时间就是目前尚未认识到的物质。而时间的存在不可怀疑。所以，当时空连续区的实物和“场”搬走以后，留下时间和空间恰好说明是离不开物质的。而以时间的形式存在的物质其本身就是时间，可见，空间和时间是不能离开物质而独立存在的。
2.10 广义相对论的空间—时间连续区不是欧几里得连续区
在本书的第一部分中，我们对狭义相对论简单而直接的物理性解释是基于空间—时间坐标之上的，这种空间—时间坐标在本章第九节 是四维笛卡尔坐标，而这样做的基础建立于光速恒定定律。但是按照本章第四节 ，这个定律不适于广义相对论。根据广义相对论，我们得出，光速依赖于坐标的依据是必须存在有一个引力场。在本章第六节 对一个具体例子进行讨论时，我们发现，正是由于引力场的存在，我们用来解释狭义相对论的坐标和时间的定义便失效了。
由于考虑到这些结果，我们于是深信，依照广义相对论，不能把空间—时间连续区认为是一个欧几里得连续区。我们认为是一个二维连续区的，只有在大理石板上局部温度存在变化的这一例子。在那里，等长的杆不能构成一个笛卡尔坐标系，因此这里的系统（参考物体） 也不可能用刚体和钟建立，使得量杆和钟在严格地做好安排的情况下直接指示位置和时间。这种困难的实质我们在本章第六节 中曾经遇到过。
但是上述本章第八节 和第九节 的论述给我们指出了战胜困难之路。当我们提及四维空间—时间连续区时，高斯坐标将是该连续区的一个可任意利用的参照坐标。我们指派连续区的每一个点（事件） 为四个数x 1 、x 2 、x 3 、x 4 （坐标） ，这些数没有丝毫的直接物理意义，它们仅有的目的是以编号的方式将连续区的各点明确而任意地标出，它们的排列方法不需要把x 1 、x 2 、x 3 当作“空间”坐标，一定要把x 4 作为“时间”坐标。
读者或许会认为，用这样一种方式来对世界进行描述显然是极不严谨的。如果作为特定坐标的x 1 、x 2 、x 3 、x 4 本身无丝毫意义的话，那么将一个事件用这些坐标表示又有何意义？然而，更加小心的考虑说明，这种担忧是没有理由的。以我们正在考虑的一个正在做任意运动的质点为例，如果这个点只是刹那间存在，而没有一个持续期间，那么该点在空间—时间的描述，即由单独的x 1 、x 2 、x 3 、x 4 表示。因此对于永久的点，对其描述的数值必须有无穷多个，并且其坐标值必须紧密相连，以便能显示出连续性，与此质点相对应的便是四维连续区中的一条（单一空间的） 线。同样地，任何这样的线，必然也与连续区中许多运动的点相对应。唯一需要注意的是，对这些点的具有物理存在意义的陈述，只局限于对质点间相遇时的描述。用数学的方法来阐述这些质点的相遇，就是两条代表了点的运动线各有特殊的坐标值x 1 、x 2 、x 3 、x 4 是公有的。经过充分考虑后，读者无疑会承认，这实际性的时间—空间性质是构成我们物理陈述中唯一的真实证据。
高斯平面直角坐标
当人们测绘大面积地形图时，一般采用高斯平面直角坐标系。它用分带（经差6度或3度划分为一带）投影的方法，每一投影带展开成平面，以中央子午线的投影为纵轴x ，赤道的投影为横轴y ，建立统一的平面直角坐标系统，解决了地面点向椭球面投影而后展绘于平面上的投影变换问题，满足了测绘大面积地形图的需要。
当我们描述相对于参考物体的质点的运动时，其主要着眼点在于该点与参考物体上的各个特定点的相遇。我们同样也可以通过观测时钟的指针和指针盘上特定的点来确定相应的时间值。对这一道理稍加考虑，就会明白，这与用量杆进行空间测量时的情况完全一样。
下面的陈述一般都是有效的：每一个物理描述可分成本身的多个陈述，每一个陈述都与A、B 两事件在空间—时间上相重合。高斯坐标对这一陈述的表达是：两事件的四个坐标x 1 、x 2 、x 3 、x 4 是相符合的。因此高斯坐标对时空连续区的描述就不会有必须借助一个参考物体的描述方式的缺点，这种描述方式不必因所描述的连续区是否具有欧几里得的特性而有所限制。
相关问题 绝对时空与相对时空
宇宙究竟是无限的，还是有限的？这是一个古老而又新鲜的宇宙尺度之谜。
德国哲学家、星云起源说的假设者康德曾经提出著名的时空悖论，指出在关于宇宙到底是无限的还是有限的这个问题的理解上，人们必然存在着难以摆脱的矛盾。
牛顿曾设想：宇宙像一个既无限又空虚的大箱子，里面均匀地分布着无数恒星，它们靠着万有引力的作用而互相联系。他的观点引出了有名的“光度怪论”（即“奥伯斯佯谬”） 。
为什么夜晚比白昼暗得多？如果宇宙果真无限广阔，而其中又果真均匀地分布着无限多个星体，那么在无数个“太阳”等距离照耀下的夜空，理应明亮得如同白昼。这样的推理合乎逻辑，但结论却与事实相悖。这是德国天文学奥伯斯于1826年向科学界提出的疑难问题。
1917年，爱因斯坦提出了有限宇宙的模型，他认为，“把宇宙看作一个在空间尺度方面是有限闭合的连续区”，并从宇宙物质均匀分布的前提出发，在数学上建筑了一个前所未有的“无界而有限”“有限而闭合”的“四维连续体”，即一个封闭的宇宙。根据爱因斯坦这个“球体宇宙”模型推想，在宇宙任何一个点上发出的一道光线，将会沿着时空曲面在100亿年后返回它的出发点。同时，爱因斯坦还认为，宇宙赖以存在的时空（时间与空间） 都是弯曲的，从而突破基于平直空间的欧几里得几何学的束缚，推导出宇宙无边界的结论。弯曲时空是一种全新的概念，它抹去了宇宙学研究中原有的机械形式部分。爱因斯坦狭义相对论把三维空间和一维时间联系起来，成为“四维时空统一体”。这种四维时空只是人们习以为常的三维欧几里得空间的简单推广，它依然是平直的；直就是直，曲就是曲，三角形三内角之和必为180°，绝无差错。
膨胀的宇宙 分解图
根据“完全宇宙学原理”，哈勃常数不仅对空间各点是常数，而且不随时间变化而变化，所以宇宙的膨胀在时间和空间上都是均匀的。空间在膨胀，而物质的分布又与时间无关，这样就必须有物质不断产生出来以“填补真空”，也就是填补宇宙膨胀所产生出来的空间。通过完全宇宙学原理和爱因斯坦场方程可以求出宇宙的时空结构，从而得到宇宙的三维曲率为零，即三维空间是平直的。
然而，要是我们站在球面上，而不是站在平面上考察问题，情况会怎样呢？
实际上，我们正是生活在地球表面这个大圆球面上。
如果超于地球之上，从空间的角度来看，地平线自然都是呈现曲线的，因为地球本身是一个球体。但如果置身于地面来看地平线，那么，在某段距离之内，我们看到的却是直线。这样，矛盾产生了，即以人类的位置角度来说，地平线到底是一条直线还是曲线？
时空弯曲
广义相对论认为，弯曲的空间可以产生引力（时间由于在它们中间的质量和能量的分布而弯曲，这一弯曲的结果就是引力），任何以直线前进的物体在经过弯曲的时空时，其路径会被弯曲的时空改变，爱因斯坦用弯曲的时空特性成功的解释了天体运动规律。
实际情况是：多条线段连接成了一条圆形的曲线。
问题在于，平面弯曲了，变成球面，平面上的直线也随之弯曲了，变成了球面上的大圆线。平面三角形三内角之和等于180°，球面上三角形三内角之和大于180°。从平面变到球面，这就是二维空间弯曲的例子。
爱因斯坦的广义相对论，把物质世界与弯曲的四维时空联系起来：凡有物质之处，时空便弯曲。他借助于非欧几何，推导出宇宙有限而无界的结论。试想上述二维球面有限大小，但并无边界，在球面上行走，尽头永无止境，四维时空空间正是这样一种弯曲空间。
爱因斯坦的宇宙模型是一种静态模型，三维超球面不会膨胀，也不会收缩。他认为，宇宙整体是恒静不动的。
爱因斯坦为探索物质运动规律作出了卓越的贡献，但却在这一观点上铸成了他“一生中最大的错误”。不过他毕竟是一位尊重事实的科学家，在新的天文观测资料面前，他很快就放弃了这种“恒静不动”的假设。
“奥伯斯佯谬”从出笼伊始，就建立在一个错误的基点上。
牛顿认为，宇宙像一个无边界的大箱子。可是在人类的思维系统中，箱子肯定都是有边有界的。我们怎么去想象那个无边界的大箱子呢？
牛顿用大箱子，只是想说明，众多的恒星在里面能够因为吸引力的相互作用，永恒而固有地运行着。这样，在太阳系的行星运行系统里，牛顿以上帝的“第一次推动”而完成了地球进入轨道运行的所有难题。而在大宇宙空间中，牛顿又用箱子形式来解决万有引力与星球进入运行轨道所必需的推动力问题。
2.11 广义相对性原理的精确表述
现在，对我们本章第一节 中的广义相对性原理的暂时性表达，已经可以用更严格的表述来加以代替。本章第一节 中的“所有的参考物体K 、K 1 ，无论其运动状态如何，对于描述自然现象（作简洁陈述的自然现象） 都是等效的”是不成立的。因为使用刚性参考物体作空间—时间描述，除非用高斯坐标系来代替参考物体，否则在狭义相对论所推出的方法中是不可能的。下面的陈述符合广义相对性原理的基本观念：“所有的高斯坐标系本质上的简洁陈述与普遍的自然界定律是相等的。”
除此以外，我们还有另一种比狭义相对性原理的自然推广更使人明白易懂的形式来陈述广义相对性原理。按照狭义相对论，当我们应用洛伦兹变换，以一个新的参考物体K ′的空时变量x ′、y ′、z ′、t ′代换一个参考物体K （伽利略） 的空时变量x、y、z、t 时，表述普遍的自然界定律的方程经变换后仍取同样的形式。另一方面，按照广义相对论，任意替代的高斯变量x 1 、x 2 、x 3 、x 4 ，经变换后形式仍然相同，因为每一种变换（不仅是洛伦兹变换） 都是从一个高斯坐标系转换到另一个高斯坐标系。
如果我们愿意坚持我们“旧时间”的三维观点，就可以归结广义相对论基本观念发展的特点如下：狭义相对论和伽利略区域及没有引力场存在的区域相关。就此而论，一个伽利略参考物体充当着一个其运动状态是“孤立”的刚性参考物体，它相对于质点做匀速直线运动的伽利略定律是成立的。
从某些考虑来看，同样的伽利略区域似乎也应该引入非伽利略参考物体，而相对于这些物体，便存在有一种特殊的引力场（见本章第三节 和第六节 ） 。
这个引力场并没有类似于欧几里得性质的刚性参考物体，因此在广义相对论中，假设的刚性参考物体是无用的。钟的运动受引力场的影响，因此，关于时间的物理定义借助于钟的运动的话，就不可能达到狭义相对论中类似运动的真实感。
基于上述缘故，非刚性参考物体，就其整个说来它的运动是任意且可以发生任何改变的。钟的运动是对时间定义的测定，因而其运动并不一定要遵从或规则或不规则的运动定律。我们想象每一个这样的钟固定在非刚性参考物体上的某一点，毗邻的钟（空间中） 同时观测到的“读数”的差是一个无穷小量，这个大体上相当于一个任意选定的高斯四维坐标的，非刚性参考物体可以被适当地称做“软体动物参考物”。这个“软体动物”与高斯坐标系相比较，最易于理解之处在于形式上保留（非合理性的） 了空间坐标和时间坐标的相互独立状态。我们假设这个软体动物的每一点都是一个空间点，相对于每一个空间点保持静止的每一质点就是静止的。如果把这个软体动物假设为参考物体，根据广义相对性原理，所有的软体动物都是表述普遍自然界定律的参考物体，并且拥有同等的权利及相同的结果，而这些定律本身必须相对于软体动物的选择而独立。
时间会受引力影响
根据广义相对论，由于引力场的作用会使时间延缓。引力场强度不变，时钟的快慢不变，引力场强度变大，时钟延缓，反之时钟加速。
由这些情况可以看出，广义相对性原理所具有的巨大威力就在于它对自然界定律作了一些广泛而具明确性的限制。
相关问题 广义相对论
1916年，爱因斯坦建立了广义相对论。也就是将仅适用于惯性系的狭义相对论推广到适用于任意参考系，且包括引力，阐明时间、空间性质与物质分布及运动之间相互依赖关系的相对性理论。
它有两个基本假设：第一，广义相对性原理，即自然定律在任何参考系中都具有相同的数学形式。第二，等效原理，即在一个小体积范围内的万有引力和某一加速系统中的惯性力相互等效。
按照上述原理，万有引力的产生是由于物质的存在和一定的分布状况使时间空间性质变得不均匀（所谓时空弯曲） 所致，并由此建立了引力场理论。而狭义相对论则是广义相对论在引力场很弱时的特殊情况。从广义相对论可以导出一些重要结论，如水星近日点的旋进规律，光线在引力场中发生弯曲，较强的引力场中时钟较慢（或引力场中光谱线向红端移动） 等。这些结论和后来的观测结果基本上相符。特别是，通过测量雷达波在太阳引力场中往返传播在时间上的延迟，以更高的精度证实了广义相对论的结论。但其中还有很多问题有待研究。
广义相对论漫谈
狭义相对论将力学和电磁学统一起来，将时间和空间统一起来，带来了时空观念的根本变革。在狭义相对论中，速度只具有相对的意义，所有的惯性系都是平权的，没有哪一个惯性系更优越，从而排除了惯性系的绝对运动；另一方面，物理作用传播的极限速度是真空中的光速，从而在整个物理学中排除了超距作用观念。正是这两方面，狭义相对论尚存在理论上的疑难，有待于进一步发展。其一，引力现象是物理学研究的广泛课题，而牛顿万有引力定律的表述是超距作用的，它与狭义相对论相抵触，狭义相对论不能处理涉及引力的问题，需要将它纳入从而发展相对论的引力论；其二，狭义相对论在否定绝对运动上还不够彻底，它否定了一个绝对静止的惯性系，但却肯定了所有惯性系比起其他参考系更优越的地位，而且在究竟什么是惯性系的问题上还存在逻辑循环。结果造成了已知物理定律却不知此定律赖以成立的参考系的尴尬局面，整个物理学犹如建筑在沙滩上。
爱因斯坦思考了这些问题，把狭义相对论发展为广义相对论。其突破口是16世纪伽利略已经知道但长期不能解释且未加重视的事实：物体的重力加速度为恒量，它是物体的引力质量和惯性质量相等的结果，以后又被厄缶实验等精确证实。爱因斯坦从这一事实中引出引力场与惯性力场等效的等效原理。根据等效原理，物体在无引力的非惯性系中的运动与它在存在引力的惯性系中的运动等效，惯性系与非惯性系没有原则的区别，它们都同样地可用来描述物体的运动，没有哪一个更优越。爱因斯坦将狭义相对性原理推广为广义相对性原理：一切参考系都是平权的，物理定律应该在广义的时空坐标变换中形式不变。它是广义相对论的另一条基本原理。另一方面，引力作用可以用加速系来抵消，在这一加速系中引力作用不复存在，例如在重力场中自由下落的参考系中，物体因“失重”而消除了重力。广义相对论把这一自由下落的参考系称为局部惯性系。于是前述惯性系概念上的逻辑循环不复存在，而且在此局部落体系中的物理定律就是狭义相对论的物理定律。知道了局部惯性系内的物理定律，可通过广义的时空坐标变换获得任意参考系内的物理定律。
太阳两极的引力
其实太阳的引力主要表现在两极，这是引力的物质性所决定的。太阳两极的半固性与赤道地区的气态性相比，其物质壳厚得多，物质性也要强得多，因此太阳的引力自然就集中在两极。
按照广义相对论，在局部惯性系内，不存在引力，一维时间和三维空间组成四维的欧几里得空间；在任意参考系内，存在引力，引力引起时空弯曲，因而时空是四维弯曲的非欧黎曼空间。爱因斯坦找到了物质分布影响时空几何的引力场方程。时间空间的弯曲结构取决于物质能量密度、动量密度在时间空间中的分布，而时间空间的弯曲结构又反过来决定物体的运动轨道。在引力不强、时间空间弯曲很小情况下，广义相对论的预言同牛顿万有引力定律和牛顿运动定律的预言趋于一致；而引力较强、时间空间弯曲较大的情况下，两者有区别。广义相对论提出以来，预言的水星近日点的反常进动、光频引力红移、光线引力偏折以及雷达回波延迟，都被天文观测或实验所证实。近年来，关于脉冲双星的观测也提供了有关广义相对论预言存在引力波的有力证据。
