向心力的确定
命题1 定理1
在轨道上运动的物体往固定的向心力中心所引线段绘出的图形，若图形在一个固定的平面上，则图形面积与时间成正比。（如图2-1）
（图2-1）
假设时间被分割为相等的几段，物体在第一段时间中依靠惯性力运动，其经过的直线路径为AB 。在第二段时间里，如果没有阻碍，物体将沿直线Bc 直接运动到c ，此时Bc 等于AB ，根据定理1，连接中心S 所作出的半径AS 、BS 、cS ，就可构成相等的三角形面积S △ASB 和S △BSc 。但是，当物体到达B 点，假如向心力对其产生推动作用，并使其偏离直线Bc ，迫使它沿直线BC 运动。作出cC ，使其平行于BS ，并交BC 于点C ，在第二段时间的最后一刻，根据推论1，物体将位于C 点上，并与三角形ASB 位于同一平面。连接SC ，因SB 与Cc 平行，则三角形SBC 将与三角形SBc 相等，因此也与三角形SAB 相等。类似情形，如向心力依次作用于C 、D 、E 点等，并使物体在每个单一的时间间隔内沿直线CD 、DE 、EF 等运动，则它们都位于同一平面上，且△SCD 将相等于△SBC ，△SDE 与△SCD ，△SEF 与SDE 也将相等。所以在相等时间内，相等面积均位于同一不可动平面上，根据命题，这些面积中的任意一个和SADS 与SAFS 相互同它们经历的时间成正比。现在，增加这些三角形的数目，且把它们的宽度无限缩小，那么，根据推论4，它们的最终周界ADF 将会是一曲线，而向心力将会连续作用物体，使其从曲线切线上被拉回。那么，物体任意画出的面积SADS 与它所经历时间成正比。
证明完毕。
推论1 被一不可动中心吸引的物体，其在无阻力空间中的速度与从中心轨道切线到作出的垂线成反比。因为，物体在处所A 、B 、C 、D 、E 中的速度可视为相等三角形的底边AB 、BC 、CD 、DE 和EF ，而这些底边与它们的垂线成反比。
推论2 如果在一个无阻力空间中，由同一个物体在相等时间内依次经过两条弧弦AB 和BC ，可作平行四边形ABCV ，交SB 于V 点，则平行四边形的对角线BV 最终将在弧线趋于无穷时向两边延伸，并穿过力的中心S 。
推论3 在无阻力空间中，在相等时间内，如果物体经过弧弦AB 、BC 和DE 、EF ，可作平行四边形ABCV 和DEFZ 。其中，B 点和E 点的力之比是对角线BV 和EZ 的最终比值（当弧无限减小时）。因为，根据定律中的推论1，物体沿BC 和EF 的运动，是沿Bc 、BV 和Ef 、EZ 运动的复合，但在本证明中，BV 和EZ 分别等于Cc 和Ff ，它们是在B 点和E 点的向心力作用的推动下产生的，并与这些推动力成正比。
推论4 在无阻力空间中，使物体从直线运动中抽离出来进入曲线轨道的这些力与在相等时间里经过的弧的矢成正比。当弧无限减小时，矢指向力的中心将弦等分，因为这些矢正好是对角线的一半。
推论5 这些力与引力的比，就如同所提及的矢与垂直于地平线的抛物弧线（指的是抛物体在相同时间内经过的抛物弧线）上的矢之比。
推论6 在物体运动所在的平面上，这些平面中力的中心不是处于静止状态，而是做匀速直线运动，其结论同样成立。
命题2 定理2
在平面上沿任意曲线运动的物体，由半径被拉向一个点，那个点或不动，或做匀速运动，半径画出的面积与时间成正比，并且该物体将受指向那个点的向心力作用。（如图2-2）
（图2-2）
情形1 根据定律1，每一个做曲线运动的物体，都因受到施加在物体上的某个力的作用而偏离直线轨道。使物体偏离直线轨道的力，在相等时间内使物体经过相等且极小的三角形SAB 、SBC 和SCD 等，而关于不动点S （根据欧几里得《几何原本》第一篇中命题40和定律2） 作用于处所B ，并将平行于cC 的直线方向，即直线BS 的方向；在处所C ，则沿平行于dD 的直线方向，即沿CS 直线的方向。因此，在直线方向上的作用总是指向一个不动点S 。
证明完毕。
情形2 根据定律中的推论5，无论物体运动所在的曲线图形表面是静止的，还是和该物体同时运动，都无关紧要，因为，物体所在图形及图形中点S 都是做的匀速运动。
推论1 在无阻力的空间或介质中，如果面积和时间不成正比，那么力就不会指向半径穿过的那个交点。如果经过的面积是加速的，则必然会朝向运动所指方向，但如果是减速的，则会背离运动所指方向。
推论2 在有阻力的介质中，如果经过的面积是加速状态，那么力的方向从半径穿过的点，指向运动发生的方向。
附注
物体可能受到由若干个力复合而成的向心力的作用，在此情形下，该命题是指所有力的合力都趋向S 点。但是，如果任意的力相互作用，而方向是沿垂直于所经过表面的直线方向，那么此力将使物体偏离它的运动平面，但不会增大或减小所过表面的量，因此在力的复合中可以对此忽略不计。
命题3 定理3
被半径拉向另一个无论怎样运动物体的中心的任意物体，所经过的面积都与时间成正比，且该物体受到趋向另一物体的向心力和另一物体受到加速力的复合力作用。
使L 代表一物体，T 代表另一物体，根据定律中的推论6，如果两个物体均在平行线方向受到一个新的力的作用（该力与第二个物体受到的力大小相等，方向相反） ，那么，第一个物体L 将继续像以前那样围绕另一物体T 画出相等的面积，但施加在另一物体T 上的力则将被一个大小相等且方向相反的力抵消。根据定律1，物体T 就不再受力的作用，而将静止或做匀速直线运动。而第一个物体L 将受力的差的影响，即受到剩余的力的作用，它将继续围绕物体T 运动，且画出的面积与时间成正比。因此，根据定理2，这些力的差趋向作为中心的另一个物体T 。
证明完毕。
推论1 如果一个物体L 被曲线轨道半径拉向另一物体T ，且该物体经过的面积与时间成正比，则第一个物体L 受到的整个力（无论那个力是简单力，或是定律中推论2所说的复合力），根据相同推论2，减去施加在另一物体上的全部加速力而得到的作用于第一个物体上的剩余力，将趋向作为中心的另一个物体T 。
推论2 如果这些面积与时间的比值接近正比，那么，剩余的力也逐渐趋向另一物体T 。
推论3 反之亦然，如果剩余力逐渐趋向另一物体T ，那么，这些面积与时间的比值也接近正比。
推论4 如果物体L 被曲线轨道半径拉向另一物体T ，所过面积与时间相比是不相等的，并且另一物体T 或静止，或做匀速运动，那么指向另一物体T 的向心力的作用或者消失，或者因其他力的强烈作用而复合，这些复合力将指向另一个不动或可动的中心。而当另一个物体受任意运动影响而移动时，也可得到相同的论证，倘若向心力被取为减去作用在另一物体T 上的力之后的剩余力。
附注
均匀面积表示的是，对物体有最大影响的力含有一个中心，并通过这个力的作用将物体从直线运动中拉回，以维持其轨道路径。因此，为何我们不能在以后的论述中，将均匀面积作为所有环绕运动中心（在自由空间里进行的环绕运动）的象征呢？
命题4 定理4
沿不同圆周做均匀运动的物体，其向心力指向各自圆周轨道的中心，并且分别在相等时间内正比于划过的弧的平方，再除以圆周半径。
根据命题2和命题1中的推论2，这些力指向圆周的中心，它们之间的比就正如在极短的相等时间内画出的弧的矢之比，即正如弧的平方除以圆周的直径。由于这些弧的比相当于在任意相等时间内画的弧之比，而直径的比也等同于半径的比，因此，力正比于在相同时间内画过的任意弧长的平方，并除以圆周的半径。
证明完毕。
推论1 由于这些弧长与物体的速度成正比，所以向心力就与速度的平方成正比，与半径成反比。
推论2 由于周期正比于半径而反比于速度，所以向心力与半径成正比，并与周期的平方成反比。
推论3 若周期相等，那么速度与半径成正比，向心力也同样与半径成正比，反之亦然。
推论4 若周期和速度均与半径的平方根成正比，那么向心力相等，反之亦然。
向心加速度
物体做圆周运动时，沿半径指向圆心方向的外力称为向心力，由向心力产生的加速度就是向心加速度。向心加速度只表示速度方向的改变，而不表示速度大小的改变，故而向心加速度所表征的仅仅是速度方向变化的快慢。
推论5 若周期和半径成正比，则速度相等，向心力与半径成反比，反之亦然。
推论6 若周期和半径的 次方成正比，那么速度与半径的平方根成反比，向心力与半径的平方成反比，反之亦然。
推论7 一般来说，若周期与半径R 的任意次方R n 成正比，则速度与半径的R n -1 次方成反比，向心力与半径的R 2n -1 次方成反比，反之亦然。
推论8 物体经过的任意相似图形的相似部分，且这些图形都处于相似的位置，并有各自的中心，则只需将前例中的证明加以运用，任何有关时间、速度和力的结论都满足上述论证。事实上，这种运用非常简单，只要将经过的相等面积代替相等运动，用物体到中心的距离代替半径就可以了。
推论9 同理可证明：在任意时间内，在给定向心力的作用下，物体做匀速圆周运动，它所经过的弧长是，圆周直径和同一物体在相同时间内受相同力作用而下降的距离的比例中项。
向心力演示器
产生指向圆心的加速度的力称为向心力，向心力并不是具有确定性质的某种类型的力。实际上，任何性质的力都可以作为向心力，它可能是某种性质的一个力，或某个力的分力，还可以是几个不同性质的力沿半径指向圆心的合力。
附注
正如克里斯多弗·雷恩爵士、胡克博士和哈雷博士等人所观察到的情况，推论6中的情形主要发生在天体运动中，因此，在后面的内容中，我将对随物体到中心距离的平方减少的向心力问题作详尽的阐述。
另外，根据前一命题及其推论，我们可以得出向心力与任意已知力的比。因为，假若物体受重力作用在以地球为中心的圆周上旋转，那么这个重力就是物体的向心力。根据本命题中的推论9可知，物体下落，旋转一圈的时间以及在任意时间内划过的弧都是可确定的。惠更斯先生在他的《论摆钟》一书中，曾用这个命题对重力与环绕物体的向心力作过类比分析。
前一命题也可用如下方法来证明。假设在任意圆周中，有一任意数目的多边形相切，如果一个物体以一个给定的速度沿多边形的边运动，物体在若干角点上受到圆的影响，在圆周每个撞击点上的力与速度成正比，即在给定的时间内，力的总和将和速度与撞击次数的乘积成正比；如果多边形是给定的，那么它又与给定时间内经过的长度成正比，并随着同一长度与圆周半径之比增大或减小；即正比于长度的平方除以半径。并且，如果多边形的边无限减小并与圆周重合，它就正比于在给定时间内画过的弧的平方除以半径，这就是物体施加在圆周上的向心力。反作用力与之相等，并使圆周持续把物体推向中心。
命题5 问题1
在任何处所，物体受到某指向公共中心力的影响，它将以给定速度运动并绘出给定的图形，求这个中心。（如图2-3）
（图2-3）
将PT 、TQV 和VR 三条直线与图形相切于点P 、Q 、R ，相交于点T 和V 。
在切线上作垂线PA 、QB 和RC ，使它们与物体在P 、Q 、R 点的速度成反比，并通过垂线PA 、QB 、RC 向外延伸。那么，PA 与QB 的比值等同于Q 点的速度与P 点的速度之比，而QB 与RC 的比值则等同于R 点的速度与Q 点的速度之比。过垂线端点A 、B 、C 作直线AD 、DBE 和EC ，使它们垂直于这些垂线并相交于点D 和点E ，再作直线TD 和VE ，它们将交于S 点，即所求中心。
根据命题1中的推论1，垂线从中心S 下落至切线PT 、QT 上，并与物体在P 点和Q 点的速度成反比，因此，它与垂线AP 和BQ 成正比，即与从D 点下落至切线上的垂线成正比。由此可以推出，点S 、D 和T 位于同一直线，根据相同的理由，还可以推出点S 、E 和V 也位于同一直线上，即中心S 是直线TD 和VE 的交点。
证明完毕。
命题6 定理5
在无阻力的空间中，如果一物体沿任意轨道围绕一不动中心做旋转运动，并且在最短时间内经过任意较短弧，设该弧的矢将对应弦二等分，且穿过力的中心，那么，弧中间的向心力将与矢成正比，与时间的平方成反比。（如图2-4）
（图2-4）
由命题1中的推论4可以知道，在给定时间内矢与向心力成正比，而弧与时间则将随着一个相同的比值增大，矢也将随着那个比值的平方而增大（由引理11推论2和推论3） ，因此，矢与力和时间的平方成正比。如果两边同时除以时间的平方，那么，力就将与矢成正比，与时间的平方成反比。
证明完毕。
这个定理也可以用引理10的推论4来证明。
推论1 如果物体P 围绕中心S 点旋转划出曲线APQ ，并与直线ZPR 相切于任意点P ，过曲线的另一任意点Q 作QR ，使其平行于距离SP ，并与切线交于R 点，再作QT 垂直于距离SP ，则向心力将与SP 2 × 成反比（假若取的是当点P 和Q 重合时立体的值）。由于P 是弧的中点，QR 等于弧QP 两倍的矢，并且三角形SQP 的两倍或者SP ×QT 与经过两倍弧长所需的时间成正比，因此可用两倍弧长来代表时间。
推论2 同理，如果SY 是一条从力中心到轨道切线PR 的垂线，则向心力反比于SY 2 × ，因为SY ×QP 与SP ×QT 相等。
推论3 如果轨道是一个圆，或者与一个同心圆相切或相交，也就是说，轨道含有最小接触角的圆，并且P 点的曲率及曲率半径与之相同。另外，如果PV 是由物体过力的中心所作出的一条弦，那么，向心力将反比于立体SY 2 ×PV ，因为PV 等于QP 2 与QR 的比。
推论4 作相同的假设，那么，向心力则与速度的平方成正比，而与弦成反比。因为，根据命题1中的推论1，速度与垂线SY 成反比。
推论5 由此，如果给定任意曲线图形APQ ，向心力指向的点S 也是给定的，那么，则可获得向心力定律，这个定律可以解释物体P 不断偏离直线运动，并保持在图形周线，且通过旋转划出相同的图形。通过计算得知，立体SY 2 × 或立体SY 2 ×PV 与向心力成反比。下面将证明这个问题。
命题7 问题2
如果物体沿圆周做旋转运动，求指向任意给定点的向心力定律。（如图2-5）
（图2-5）
设VQPA 为圆周，S 点为定点，也就是力所指向的一个给定中心。物体P 是沿圆周运动的，Q 是物体运动将要到达的处所，而PRZ 是圆在前一处所P 的切线。通过点S 作出弦PV 和圆的直径VA ，连接AP ，作QT 垂直SP 于点T ，延长QT ，交切线PR 于点Z ，再通过点Q ，作LR 平行于SP ，与圆相交于点L ，与切线PZ 相交于点R 。由于三角形ZQR 、ZTP 和VPA 相似，RP 2 与QT 2 之比等于AV 2 与PV 2 之比，因此，RP 2 × 等于QT 2 。如果两边均乘以 ，当P 点和Q 点重合时，RL 等于PV ，即SP 2 × ＝SP 2 × 。因此，根据命题6中的推论1和推论5，向心力与SP 2 × 成反比，由于AV 2 是给定的，因此，向心力与距离（或称高度） 平方及弦PV 立方的乘积成反比。
过山车中的向心力
在经典力学中，向心力是物体沿圆周或曲线轨道运动时，指向圆心的合外力。由于过山车所做的匀速圆周运动，同时受到与其速度、方向不同的重力和轨道的支持，且方向均向下，这两个力共同提供向心力，使过山车做高速圆周运动。所以乘客在过山车上感觉像是被抛离了轨道，但只要过山车不停止转动，乘客就永远不会掉下来。
证明完毕。
其他证明方法：
在切线PR 上作出垂线SY ，因为三角形SYP 和VPA 相似，所以，AV 与PV 之比等于SP 与SY 之比，因此SP × ＝SY ，SP 2 × ＝SY 2 ×PV 。又由命题6中的推论3和推论5可知，向心力与SP 2 × 成反比，由于AV 是给定的，因此，向心力与SP 2 ×PV 3 成反比。（如图2-6）
（图2-6）
证明完毕。
推论1 如果向心力总是指向一给定点S ，且S 位于圆周上。假若它位于V 点处，则向心力将与距离（高度）SP 的五次方成正比。
推论2 让物体P 在圆周APTV 轨道上围绕力中心S 运动的力，与P 使在相同周期内在相同圆周上围绕其他任意力中心R 旋转的力，其比值等于RP 2 ×SP 与直线SG 的立方之比，其中，SG 是从力的第一个中心S 作出的平行于物体到第二个力中心R 的距离PR 的线段，且SG 交轨道切线PG 于点G 。在本命题中，前一个力与后者之比等于PR 2 ×PT 3 与SP 2 ×PV 3 之比，即等于SP ×RP 2 与SP 3 × 的比，或是与SG 3 的比，因为三角形PSG 与TPV 相似。（如图2-6）
推论3 使物体P 在任意轨道上围绕力中心S 旋转的力，与使P 在相同周期内在相同轨道上围绕其他任意力中心R 旋转的力，其比值等于SP ×RP 2 与线段SG 的立方之比。SG 是从力的第一个中心S 作出的、平行于物体到第二个力中心R 的距离PR 的线段，且SG 交轨道切线PG 于点G 。因为，在轨道上，任意点P 的力与它在相同曲率圆周上的力是相等的。
命题8 问题3
如果一物体在半圆PQA 上运动，假设S 点太遥远，以至所作的指向S 点的直线PS 、RS 均可看成平行线。求指向S 点的向心力定律。（如图2-7）
（图2-7）
从半圆中心点C 作出半径CA ，与平行线垂直相交于点M 和N ，连接CP 。由于三角形CPM 、PZT 和RZQ 相似，因此，CP 2 ∶PM 2 ＝PR 2 ∶QT 2 。根据圆的特性，PR 2 ＝QR ×（RN ＋QN ），当点P 与Q 重合时，PR 2 ＝QR ×2PM ，所以CP 2 ∶PM 2 ＝QR ×2PM ∶QT 2 ，且 ，QT 2 × ＝2PM 3 × 。根据命题6中的推论1和推论5，向心力与2PM 3 × 成反比，即如果对给定比值 忽略不计，向心力与PM 3 成反比。
证明完毕。
由前一命题也可以推出相同结论。
附注
根据类似的原理，当物体做椭圆、双曲线或者抛物线运动时，其向心力与它到一无限遥远的力中心的纵标线的立方成反比。
命题9 问题4
如果物体围绕一螺旋线PQS 做旋转运动，并以给定角度与所有半径SP 、SQ 等相交，求指向该螺旋线中心的向心力规律。（如图2-8）
（图2-8）
假设不确定的小角PSQ 是给定值，由于所有的角都已给定，则图形SPRQT 也是给定的。因此，比值 也是给定值，那么， 与QT 成正比，也就是与SP 成正比。但是，如果角PSQ 发生变化，那么根据引理11，切角QPR 相对的直线QR 也将随着PR 或QT 的平方而变化。所以比值 保持不变，仍然与SP 成正比，从而QT 2 × 与SP 3 成正比，因此，根据命题6中的推论1和推论5，向心力与距离SP 的立方成反比。
证明完毕。
其他证明方法：
作一直线SY 垂直于切线，螺旋线同心的圆的弦PV 与距离SP 的比是给定值，因此，SP 3 与SY 2 ×PV 成正比，根据命题6中的推论3和推论5，SP 3 与向心力成反比。
引理12
所有由与给定椭圆或双曲线的任意共轭直径画出的平行四边形都相等。
上述引理在圆锥曲线内容中已得到证明。
命题10 问题5
如果物体围绕椭圆作旋转运动，求证指向该椭圆中心的向心力的定律。（如图2-9）
（图2-9）
设CA 、CB 为椭圆上的半轴，GP 、DK 是共轭直径，直线PF 和QT 垂直于这些直径，Qv 为直径GP 上的纵标线。作一平行四边形QvPR ，根据圆锥曲线性质，Pv 与vG 的积与Qv 2 之比等于PC 2 与CD 2 之比，由于三角形QvT 与PCF 相似，因此Qv 2 ∶QT 2 ＝PC 2 ∶PF 2 。从而，矩形 为 与 的乘积时，即，vG ∶ ＝PC 2 ∶ 。QR ＝Pv ，根据引理12，BC ×CA ＝CD ×PF ，以及当点P 与点Q 重合时，2PC ＝vG ，又外项之积等于内项之积，则 ＝ 。因此，根据命题6中的推论5，向心力与 成反比，由于2BC 2 ×CA 2 是给定值，因此它与 成反比，即它与距离PC 成正比。
证明完毕。
其他证明方法：
在直线PG 上T 点的另一边，取点u ，使得Tu ＝Tv ，再取uV ，使uV ∶vG ＝DC 2 ∶PC 2 。根据圆锥曲线的性质，Qv 2 与Pv 与vG 的积之比等于 ，因此，Qv 2 ＝Pv ×uV ，在两边加上Pu ·Pv ，则弧弦PQ 的平方将与PV ×Pv 相等。因此，与圆锥曲线相切于点P 的圆过点Q ，同样也穿过点V 。如果让点P 与点Q 重合，那么，uV 与vG 之比就等于DC 2 与PC 2 之比，或PV 与PG 之比，或PV 与2PC 之比，即PV ＝ 。因此，根据命题6中的推论3，使物体P 围绕椭圆做旋转运动的力与 ×PF 2 成反比。由于2DC 2 ×PF 2 是一个给定值，因此这个力与PC 成正比。
证明完毕。
推论1 向心力与物体到椭圆中心的距离成正比；反之，如果力与距离成正比，那么，物体将沿椭圆中心（与力中心重合）做椭圆运动，或由椭圆演变成的圆周轨道运动。
推论2 在所有椭圆中，围绕它们同一中心的旋转运动，运动周期都是相等的。因为，在相似椭圆中的运动时间是相等的（根据命题4中的推论3和推论8），然而在具有公共长轴的椭圆中，运动时间之比与整个椭圆面积之比，与在相等时间内经过的面积成反比。即它与短轴成正比，与在长轴最高点运动的速度成反比，它们的比值相等。
附注
如果椭圆的中心被移到无穷远，它将转变成抛物线，且物体将会在该抛物线上运动，而力会指向一个无限遥远的中心，根据伽利略定理，它将变成一个不变值。如果圆锥的抛物曲线因圆锥截面的倾斜度的改变而演变成双曲线，那么，物体将沿双曲线轨道运动，且向心力也将转变成离心力。如果力指向横坐标中图形的中心，并以任意给定的比值使纵坐标增加或减少，或者任意改变横坐标与纵坐标之间的倾斜角度，如果周期不变，那么这些力随着到中心距离的比增大或减小，这将增大或减小到中心距离的比值。同样，在所有的图形中，如果纵坐标以任意给定比值增大或减小，或者其对横坐标的倾斜度有任何改变，而周期不变，则横标线上指向中心的力，对每一纵标线随到中心距离之比增大或减小。
