物体在偏心圆锥曲线上的运动
命题11 问题6
如果物体沿椭圆轨道运动，求证指向椭圆的一个焦点的向心力定律。（如图3-1）
（图3-1）
设S 为椭圆的一个焦点，作出SP 并在点E 与椭圆直径DK 相交，在点x 与纵标线Qv 相交，再作平行四边形QxPR ，则EP 与长半轴AC 相等，这是因为，如果在椭圆的另一焦点H 处作一直线HI 与EC 平行，因为CS ＝CH ，所以ES ＝EI ，而EP 则是PS 与PI 和的一半，由于HI 和PR 平行，角IPR 和HPZ 相等，因此EP 也是PS 与PH 和的一半，而PS 和PH 的和则与整个轴长2AC 相等。作QT 垂直于SP ，再设L 为椭圆的通径2BC 2 /AC ，则可得：（L ×QR ）∶（L ×Pv ）＝QR ∶Pv ，或等于PE ，或AC 与PC 之比，且L ×Pv 与Gv ×Pv 之比等于L ∶Gv ，又（Gv ×Pv ）∶Qv 2 ＝PC 2 ∶CD 2 ，根据引理7中的推论2，当点Q 和点P 重合时，Qv 2 ＝Qx 2 ，又Qx 2 （或 Qv 2 ）∶QT 2 ＝EP 2 ∶PF 2 ＝ ＝ 。如果将所有比值相乘、简化，得到（L ×QR ）∶QT 2 （AC ×L ×PC 2 ×CD 2 ）∶（PC ×Gv ×CD 2 ×CB 2 ）＝2PC ∶Gv ，因为AC ×L ＝2CB 2 。但是，当点Q 和P 重合时，2PC ＝Gv ，因此，量L ×QR 和QT 2 相等。如果将等式两边同时乘以 ，那么，L ×SP 2 ＝ 。所以，根据命题6中的推论1和推论5，向心力与L ×SP 2 成反比，即与距离SP 的平方成反比。
证明完毕。
其他证明方法：
根据命题10中的推论1，使物体P 绕椭圆旋转并指向椭圆中心的力，与物体到椭圆中心C 的距离CP 成正比。作CE ，使其平行于椭圆切线PR ，根据命题7中的推论3，如果CE 和PS 交于点E ，使物体P 围绕椭圆其他任意点S 运动的力，将同 成正比，也可以这样说，如果点S 是椭圆的一个焦点，PE 为常数，则力与SP 2 成反比。
证明完毕。
我们在第五个问题中，将一系列问题推广到抛物线和双曲线，但是为了解决问题本身，并且在下文中将用到这些相关问题，因此对其余几种情形，我将用特殊的方法来证明。
命题12 问题7
假设物体沿双曲线的一支运动，求证指向该图形焦点的向心力定律。（如图3-2）
（图3-2）
设CA 、CB 为双曲线的半轴，PG 、KD 为共轭直径，PF 垂直于直径KD ，而Qv 是直径GP 上的纵标线。作出SP ，使其交直径DK 于点E ，交纵标线Qv 于点x ，再作出平行四边形QRPx 。这样，EP 则与横向半轴AC 相等，因为从双曲线的另一焦点H 作出的直线HI 平行于EC ，又由于CS ＝CH ，所以ES ＝EI ，且EP 是PS 和PI 差的一半，也就是PS 和PH 差的一半（因为IH 与PR 平行，角IPR 与角HPZ 相等） ，而PS 、PH 的差与整个轴长2AC 是相等的。作QT 垂直于SP ，设L 为双曲线的通径（即等于 ） ，那么，（L ×QR ）∶（L ×Pv ）＝QR ∶Pv ＝Px ∶Pv ，也等于PE ∶PC 或AC ∶PC ，因为三角形Pxv 与三角形PEC 相似。因此（L ×Pv ）∶（Gv ×Pv ）＝L ∶Gv ；而根据圆锥曲线性质有，Gv ×Pv ∶Qv 2 ＝PC 2 ∶CD 2 ，另根据引理7中的推论2，当点Q 和P 重合时，Qv 2 和Qv 2 的比值为1，则Qx 2 （或Qv 2 ） ∶QT 2 ＝EP 2 ∶PF 2 ＝CA 2 ∶PF 2 ，也等于CD 2 ∶CB 2 （根据引理12） 。于是（L ×QR ）∶QT 2 ＝（AC ×L ×PC 2 ×CD 2 或者2CB 2 ×PC 2 ×CD 2 ）∶（PC ×Gv ×CD 2 ×CB 2 ）＝2PC ∶Gv 。但当点P 和Q 重合时，2PC ＝Gv ，因此，L ×QR ＝QT 2 。如果将等式两边同时乘以 ，则L ×SP 2 ＝ 。因此，根据命题6中的推论1和推论5，向心力与L ×SP 2 成反比，即它与距离SP 的平方成反比。
证明完毕。
其他证明方法：
求出指向双曲线中心C 的力，该力与距离CP 成正比。根据命题7中的推论3，指向焦点S 的力与 成正比。由于PE 是常数，所以，力与SP 2 成反比。
证明完毕。
同理可证，当向心力转变为离心力时，物体将会绕共轭双曲线运动。
引理13
从任意顶点画出的抛物线通径，其距离是从该顶点到图形焦点的距离的四倍。
牛顿在圆锥曲线部分的有关内容中，已对上述引理作了证明。
引理14
过抛物线焦点垂直于其切线的线段，是切点到焦点距离和图形顶点到焦点距离的比例中项。（如图3-3）
（图3-3）
假设AP 为抛物线，S 是其焦点，A 是顶点，P 是切点，PO 是主直径上的纵标线，切线PM 交主直径于点M ，SN 为过焦点且垂直于切线的线段。连接AN ，因为MS ＝SP ，MN ＝NP ，MA ＝AO ，所以AN 与OP 平行，三角形SAN 的直角点为A ，并与相等的两个三角形SNM 和SNP 相似，因此， 。
证明完毕。
推论1 。
推论2 由于SA 是给定值，因此，SN 2 与PS 成正比。
推论3 任意切线PM 和过焦点且垂直于切线的直线SN 的交点，位于抛物线顶点的切线AN 上。
命题13 问题8
如果物体沿抛物线运动，求证指向图形焦点的向心力定律。（如图3-4）
（图3-4）
保留上述引理中的图，设P 为抛物线上运动的物体，Q 点为物体即将到达的处所，作QR 平行于SP ，QT 垂直于SP ，Qv 平行于切线，交直径PG 于点v ，交距离SP 于点x 。由于三角形Pxv 和SPM 相似，其中一个三角形中的边SP ＝SM ，那么，另一个三角形中的边Px （或QR ） 与Pv 相等。但由于是圆锥曲线，根据引理13，纵标线Qv 的平方等于由通径和Pv 构成的矩形，即与4PS ×Pv （或4PS ×QR ）相等。根据引理7中的推论2，当点P 和Q 重合时，Qv ＝Qx ，所以Qx 2 等于4PS ×QR 。但由于三角形QxT 和SPN 相似，根据引理14中的推论1，Qx 2 ∶QT 2 ＝PS 2 ∶SN 2 ，即等于PS ∶SA ，或等于（4PS ×QR ）∶（4SA ×QR ）。根据欧几里得《几何原本》中第五卷的命题9可知，QT 2 ＝4SA ×QR 。如果在等式两边乘以 ，则 ＝SP 2 ×4SA 。根据命题6中的推论1和推论5，向心力与SP 2 ×4SA 成反比，由于4SA 是给定值，因此，向心力与距离SP 的平方成反比。
圆锥曲线
圆、椭圆、双曲线和抛物线同属圆锥曲线，对它们进行最早研究的是古希腊数学家阿波罗尼。他采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到圆；将平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜时，即为双曲线。
证明完毕。
推论1 从上述三个命题可以得出这样的结论：如果任意物体P 从处所P 以任意速度沿直线PR 运动，同时它受到向心力的作用，且该向心力与从中心到处所距离的平方成反比。如果物体沿圆锥曲线中的一种曲线运动，那么，它的焦点在力的中心处，反之亦然。因为焦点、切点和切线的位置均已给定，则圆锥曲线在切点的曲率也就相应确定，曲率决定于向心力和给定的物体速度，但相同的向心力和相同的速度却不能画出相切的两条轨道。
推论2 如果物体在处所P 的运动速度使物体在任意无限小的时间内，沿线段PR 运动，且向心力在相同时间内使同一物体在空间QR 中运动，那么，物体沿圆锥曲线中的一种曲线运动，该曲线的主通径等于当PR 、QR 减小至无穷时， 的最终结果。在这些推论中，我将圆周归类于椭圆，并将物体沿直线下落到中心的那种可能性排除在外。
命题14 定理6
如果若干不同物体围绕共同的中心运动，向心力与其到中心距离的平方成反比；它们轨道的主通径，则与物体在相同时间内由拉向中心的半径画出的面积的平方成正比。（如图3-5）
（图3-5）
根据命题13中的推论2，当点P 和点Q 重合时，最终主通径L 与量 相等，但线段QR 在给定时间内与向心力成正比，由假设可得QR 与SP 2 成反比；因此 与QT 2 ×SP 2 成正比，即是指主通径L 与面积QT ×SP 的平方成正比。
证明完毕。
推论 整个椭圆面积（与轴所构成的矩形成正比）与通径平方根和周期的乘积成正比，因为整个面积与给定时间内所划过面积QT ×SP 和周期的乘积成正比。
命题15 定理7
在条件相同的情况下，椭圆运动周期与它们长轴的 次方成正比。
由于短轴是长轴和通径的比例中项，因此，由两轴的乘积等于通径平方根和长轴的 次方的乘积。但根据命题14中的推论，两轴的乘积与通径平方根和周期的乘积成正比，如果两边都除以通径的平方根，那么，由此得到长轴的 次方与周期成正比。
证明完毕。
推论 椭圆的运动周期同直径与椭圆长轴相等的圆的运动周期相同。
命题16 定理8
在条件相同的情况下，通过物体的直线与轨道相切，过公共焦点的直线向切线作垂线段，则物体速度与垂线段成反比，与主通径的平方根成正比。（如图3-6）
（图3-6）
过焦点S 作SY 垂直于切线PR ，那么，物体P 的速度将与量 的平方根成反比。由于速度与给定时间片刻里所画的无限小弧PQ 成正比，根据引理7，物体P 的速度也与切线PR 成正比，由于 ，所以也与 成正比，或与SY 成反比，且与SP ×QT 成正比。根据命题14，SP ×QT 是在给定时间里划过的面积，所以，也与通径的平方根成正比。
证明完毕。
推论1 主通径与垂线段的平方和速度的平方乘积成正比。
推论2 物体在到公共焦点最远和最近距离处的速度与距离成反比，与主通径的平方根成正比，因为此时的垂线即距离。
推论3 在距离圆锥曲线焦点最远或最近时的运动速度，同离中心相同距离的圆周的速度之比，与主通径的平方根和该距离2倍的平方根的比相等。
推论4 在物体到公共焦点的平均距离上，物体绕椭圆的运动速度与其以相同距离绕圆周运动的速度相等，根据命题4中的推论6，它与距离的平方根成反比。因为此时的垂线既是短半轴，又是距离和主通径的比例中项。如果用诸半轴的倒数乘以主通径平方根的比值，则可求得距离倒数的平方根。
推论5 如果主通径相等，那么，不管是否在同一图形中，物体运动速度将与切线上过焦点的垂线段成反比。
推论6 在抛物线上，运动速度与物体至图形焦点所经过距离的平方根成反比，而这个比值在椭圆中的更大，在双曲线中更小。因为根据引理14中的推论2，过焦点垂直于抛物线切线的垂线段与距离的平方根成正比，所以垂线在双曲线中按此比更小的比变化，而在椭圆中按此比更大的比变化。
测定地球大小
希腊人是最早相信地球是一个球体的民族。埃拉托斯特尼，柏拉图学院里一位仅次于亚里士多德的学者，他除发明了确定素数的埃拉托斯特尼筛法，绘制出当时最完整的地图外，最著名的成就是测定了地球的大小。通过测量太阳光线与地平面的夹角，埃拉托斯特尼测出的地球周长为25万希腊里，约合4万公里，与实际半径只差100多公里。这无疑是希腊科学的伟大胜利。
推论7 在抛物线上，至焦点为任意距离的物体的速度，与物体以相同距离为半径作圆周运动的速度之比，同2的平方根与1的比相等。这个比值在椭圆中较小，而在双曲线中较大。根据本命题的推论2，这个速度不但在抛物线顶点满足其比值，并且在所有距离中该比值都相等。因此，在抛物线中，物体在每一处的速度都与它以一半距离为半径的圆周运动的速度相等，而这个速度在椭圆中较小，在双曲线中较大。
推论8 根据推论5，物体沿任意圆锥曲线运动的速度，同它以曲线通径一半为半径的圆周上做圆周运动的速度之比，与该距离和过焦点向曲线切线所作垂线段之比相等。
推论9 根据命题4中的推论6，物体在圆周上的运动速度同另一物体在其他任意圆周上的运动速度之比，与它们距离之比的平方根成反比。同理，物体沿圆锥曲线的运动速度与物体以相同距离沿圆周运动的速度之比，是公共距离和曲线一半通径的比例中项，与过焦点向曲线的切线所作的垂线之比。
命题17 问题9
假设向心力与物体到中心距离的平方成反比，力的绝对值已知，求出物体以给定速度从给定处所沿给定直线方向离去所经的路径。（如图3-7）
（图3-7）
设指向S 点的向心力使物体p 绕任意轨道pq 运动，假设已知物体在处所P 的速度，并让物体p 以给定速度从处所P 沿直线PR 的运动。那么，物体将因为向心力的作用，立即偏离直线路径而进入圆锥曲线PQ ，直线PR 则将与曲线相切于点P 。同样，假设直线pr 与轨道pq 相切于点p ，并使S 点的垂线落在这一切线上，那么，根据命题16中的推论1，圆锥曲线的主通径与另一轨道的主通径之比，则是它们垂线段的平方比与速度平方比的乘积，即为给定值。设主通径为L ，圆锥曲线的焦点S 已给定，再将角RPH 作为角RPS 的补角，那么，另一焦点所在的直线PH 的位置也能确定。作直线SK ，使之垂直于PH ，再作共轭半轴BC ，又因为：SP 2 -2PH ×PK ＋PH 2 ＝SH 2 ＝4CH 2 ＝4BH 2 -4BC 2 ＝（SP ＋PH ）2 -L ×（SP ＋PH ）＝SP 2 ＋2PS ×PH ＋PH 2 -L ×（SP ＋PH ），如果两边都加上2PH ×PK -SP 2 -PH 2 ＋L ×（SP ＋PH ），则可得到：L ×（SP ＋PH ）＝2PS ×PH ＋2PK ×PH ，或 ＝ 。
所以PH 的长度和位置都已确定。因此，当物体在P 点的速度使通径L 小于2SP ＋2KP 时，PH 将与直线SP 位于切线PR 的同一边，这时的图形将是椭圆。如果椭圆的焦点S 、H 已确定，那么，轴SP ＋PH 也同样可以确定。但如果物体的速度较大，使通径L 等于2SP ＋2KP ，那么，长度PH 将是无限大，因此可以确定，图形则成为抛物线，其轴SH 与直线PK 平行。如果物体以一个更大的速度从P 开始运动，直线PH 在切线的另一边，而切线则穿过两焦点中间，因此也可以确定，图形将变为双曲线，其主轴将与直线SP 和PH 的差值相等。因为，在这些情形中，如果物体运动所绕的圆锥曲线是确定的，那么，根据命题11、命题12和命题13，向心力与物体到力中心S 距离的平方则成反比，则可以确定，物体在力作用下，用给定速度从给定处所P 沿确定的直线PR 方向离去所经过的曲线路径是曲线PQ 。
证明完毕。
推论1 在圆锥曲线中，从顶点D 、通径L 和给定的焦点S 处，可通过假设DH 与DS 之比和通径比通径与4DS 之差相等，来确定另一个焦点H 。因为，在这个推论中， 将变为 ，并且， ＝ 。
推论2 如果物体在顶点D 的速度已给定，则轨道可以确定。也就是说，根据命题16的推论3，如果假设通径与两倍距离DS 的比等于该给定速度与物体以半径DS 做圆周运动的速度之比的平方，则可以确定DH 与DS 之比，等于通径比通径与4DS 之差。
推论3 同理，如果物体沿任意圆锥曲线运动，因任意推动力作用而被迫离开其运动轨道，那么，圆锥曲线运动所在的新的轨道也可以得以确定。因为，将物体在圆锥曲线上的运动，与通过推动力作用而产生的运动合在一起，则可得到物体离开给定处，沿给定直线在推动力作用下而产生的运动。
推论4 如果该物体不断受到外力作用的影响，那么，可得出物体在某些点上因为力所产生的变化，类推出它在序列前进中产生的影响，估计物体在各处所将产生的连续变化，用这种方法，可以推导出物体运动的近似路径。
附注
如果物体P ，在指向任意点R 的向心力作用下，沿中心为C 的任意圆锥曲线运动，则这种运动将合乎向心力定律。作直线CG ，使之平行于半径RP ，并在G 点与轨道切线PG 相交。那么，根据命题10中的推论1和附注，以及命题7的推论3，则可求出物体所受的力为 。（如图3-8）
（图3-8）
