通过已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线的轨道
引理15
如果由椭圆或双曲线的两个焦点S 、H ，分别作直线SV 和HV 与任意第三点V 相交，其中，HV 是图形的主轴，即与焦点所在的轴。另一条直线SV 被它的垂线TR 分为两等份，交点为T ，那么，垂线TR 将与圆锥曲线相切。反之亦然，如果相切，那么HV 为图形主轴。（如图4-1）
（图4-1）
将垂线TR 与直线HV 相交于点R ，连接SR 。因为TS ＝TV ，所以，直线SR ＝VR ，角TRS ＝角TRV ，因此点R 在圆锥曲线上，且垂线TR 也将与该圆锥曲线相切。反之亦然。
证明完毕。
命题18 问题10
由给定的焦点和主轴，作出椭圆或双曲线轨道，使轨道穿过给定点，并与给定的直线相切。（如图4-2）
（图4-2）
以S 点为图形的公共焦点，AB 为任意轨道的主轴长度，P 为轨道应该穿过的点，TR 为轨道应该和它相切的直线。围绕中心P ，如果轨道是椭圆，以AB -SP 为半径，或者如果轨道是双曲线，以AB ＋SP 为半径，画出圆周HG 。在切线TR 上作垂线ST 并延长到V 点，使TV ＝ST ，然后作出以V 为中心，AB 为半径的圆周FH 。按相同方法，无论给定的是两个点P 和p ，或者两条切线TR 和tr ，还是一个点P 和一条切线TR ，均可作出两个圆周。设H 为它们的公共交点，由焦点S 、H 和给定的轴可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为椭圆中的PH ＋SP 或双曲线中的PH -SP 都与主轴相等，所以，该轨道穿过点P ，且与直线TR 相切。同理，曲线轨道或穿过两个点P 和p ，或与两直线TR 和tr 相切。
证明完毕。
命题19 问题11
根据一给定焦点作抛物线轨道，并使该轨道穿过给定点，且与给定直线相切。（如图4-3）
（图4-3）
设S 为焦点，P 为已知点，TR 为所求轨道的切线。以P 为中心，PS 为半径，作出圆周FG 。过焦点作切线的垂线段ST ，延伸到V 点，使TV ＝ST 。若已知另一点p ，则对于另一点p ，按上述方法得到另一圆周fg ；若已知另一切线tr ，则对另一切线tr ，按上述方法得到另一点v 。若已知点P 和切线TR ，则作直线IF ，使其过点V ，并与圆周FG 相切；若已知两点P 和p ，则作直线IF ，使其与圆周FG 和fg 都相切；若已知二切线TR 和tr ，则作直线IF ，使其过点V 和v 。
作FI 的垂线段SI ，K 为SI 中点，若以SK 为轴、K 为顶点作出抛物线，则问题得以解决。因为SK ＝IK ，SP ＝FP ，而抛物线将通过P 点，根据引理14中的推论3，ST ＝TV ，STR 是直角，因此，将与直线TR 相切。
证明完毕。
命题20 问题12
根据一个焦点和轨道类型，作出轨道，使该轨道通过已知点，并与已知直线相切。
情形1 由焦点S 求出穿过点B 和C 的曲线轨道ABC 。（如图4-4）
（图4-4）
由于轨道类型已给定，则主轴与焦点距离的比值也将给定，使 和 与该比值相等。以B 、C 为圆心，BK 、CL 为半径作两个圆周，使直线KL 与圆相切于点K 和L ，再作直线KL 上的垂线SG ，在SG 上确定点A 和a ，使得 。因此，以Aa 为轴、A 和a 为顶点作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，若H 点为图形的另一焦点，又 ，所以 ，因此，图形主轴与焦点间距离的比是给定比值，即所画出的图形与之前所要求的图形类型一样。由于 为给定比值，所以，由圆锥曲线性质可知，图形将通过点B 和C 。
情形2 由焦点S 求出与直线TR 和tr 相切的曲线轨道。（如图4-5）
（图4-5）
过焦点作切线的垂线ST 和St ，并将它们分别延伸到点V 和v ，使TV ＝TS ，tv ＝tS 。O 为Vv 中点，作OH 垂直于Vv ，并与无限延伸的直线VS 相交。在直线VS 上取点K 和k ，使 和 等于所求轨道主轴与焦点间距的比。以Kk 为直径作一圆周，并与OH 交于点H ；再以S 、H 为焦点，VH 为主轴，即可作出曲线轨道，则问题得以解决。因为，X 点将Kk 平分，连接HX 、HS 、HV 和Hv ，由于 ，因此，等于合比 ，等于分比 ，从而 ，因此 ，于是三角形VXH 和HXS 相似，因此 ，所作曲线主轴VH 与焦距SH 的比值，与所求的曲线的主轴与其焦距的比值相等，从而两曲线的类型完全相同。另外，由于VH 和vH 与主轴相等，且VS 和vS 分别被直线TR 和tr 垂直平分，所以根据引理15，这些直线与所作曲线相切。
证明完毕。
情形3 由焦点S 求出与直线TR 在给定点R 相切的曲线轨道（如图4-6） 。作直线TR 上的垂线段ST ，延伸到点V ，使TV ＝ST 。连接VR ，并与无限延长的直线VS 相交，在直线VS 上取点K 和k ，使 和 等于主轴与焦点间的距离的比。以Kk 为直径作圆周，与直线VR 相交于点H ，然后，以S 和H 点为焦点，VH 为主轴，作出曲线轨道，则问题得以解决。根据情形2中的证明，由于 ，即等于所求曲线主轴与其焦点间的距离之比。因此，所作的图形与之前所要求的图形类型完全相同。根据圆锥曲线的性质可知，等分角VRS 的直线TR 必定在点R 与曲线相切。
（图4-6）
证明完毕。
情形4 由焦点S 求曲线轨道APB （如图4-7） ，使之与直线TR 相切，穿过切线外任意一给定点P ，并与以ab 为主轴、s 和h 为焦点的图形apb 相似。
（图4-7）
作切线TR 的垂线段ST ，再延伸到点V ，使TV ＝ST ，作角hsq 和shq ，使它们分别与角VSP 和角SVP 相等。再以q 为中心，以与ab 之比等于 的值为半径作圆周，交图形apb 于点p ，连接sp ，作出SH ，使 ，再作角PSH 与角psh 相等，角VSH 与psq 相等。再以S 、H 为焦点，与距离VH 相等的AB 为主轴作出圆锥曲线，则问题得以解决。（如图4-8）
（图4-8）
因为，若作sv 并使 、角vsp 等于角hsq 、角vsh 等于角psq ，则三角形svh 与spq 相似，那么， 。由于三角形VSP 和三角形hsq 相似，因此，vh ＝ab 。因三角形VSH 和vsh 相似，那么 ，因此，所作圆锥曲线的主轴与焦点间距离之比等于主轴ab 与焦点间距离sh 的比，所作图形与图形apb 相似。另外，由于三角形PSH 与psh 相似，因此图形将通过点P 。因为VH 与主轴相等，且VS 被直线TR 垂直平分，因此，所作图形与直线TR 相切。
证明完毕。
引理16
由三个已知点向第四个点作三条直线，使它们的差要么为给定值，要么值为零。（如图4-9）
（图4-9）
情形1 A 、B 、C 是已知的三个点，Z 是按要求所作的第四个点，由于直线AZ 和BZ 的差是给定值，因此，点Z 的轨迹是一双曲线，A 和B 是双曲线的焦点，且主轴为给定差。若主轴为MN ，作点P 使 ，作PR 垂直于AB ，ZR 垂直于PR ，根据双曲线的性质， 。同理，点Z 位于另一条双曲线上，该双曲线焦点为A 、C ，主轴是AZ 与CZ 的差。作QS 垂直于AC ，若用这条双曲线上任意一点Z 作QS 的垂线段ZS ，则 ＝ 。因此，可得到ZR 和ZS 与AZ 的比值，并且可确定ZR 与ZS 的比值。若直线RP 和SQ 在T 点相交，只要作出TZ 和TA ，则可知图形TRZS 的类型，并能确定Z 所在的直线TZ 的位置。由于直线TA 和角ATZ 是给定值，且已得到AZ 和TZ 与ZS 的比值，那么，它们相互间的比可以确定，因此，角ATZ 也可确定，其一个顶点为Z 。
证明完毕。
情形2 若三条直线中的任意两条（如AZ 和BZ ） 是相等的，作直线TZ ，使之平分直线AB ，那么，用以上方法就可求出三角形ATZ 。
证明完毕。
情形3 若三条直线都相等，则点Z 位于过点A 、B 、C 的圆的中心。
证明完毕。
另外，在维也特所修订的阿波罗尼奥斯的《切触》一书中，对该引理也作了证明。
命题21 问题13
通过一给定焦点，作出过给定点并与给定直线相切的曲线轨道。（如图4-10）
（图4-10）
设焦点S 、点P 和切线TR 为给定值，求出另一焦点H 。在切线上作垂线段ST ，延伸到点Y ，使TY ＝ST ，那么，YH 与主轴相等。连接SP 、HP ，且SP 为HP 与主轴的差。同样，如果更多的切线TR 均已给定，或者已知更多的点P ，那么，从点Y 或P 到焦点的直线YH 或PH 则可确定，要么直线与主轴相等，要么直线为主轴和给定长度SP 的差，因此，它们要么是相等的，要么是有给定的差。根据前一引理，另一焦点H 即可确定。如果已知焦点和主轴长度，它们或等于YH ，或轨道为椭圆时等于PH ＋SP ，或为双曲线时等于PH -SP ，曲线轨道则可确定。
证明完毕。
附注
当我所指的曲线轨道是双曲线时，并不包括双曲线的另一支，因为，当物体以连续运动前进时，必定不会脱离双曲线的一支而进入双曲线的另一支运动。（如图4-11）
（图4-11）
如果三个点均已给定，其解答方法则更为简便。以B 、C 、D 为给定点，连接BC 和CD ，并将它们延伸到点E 和F ，使得 ， 。在直线EF 上作垂线段SG 、BH ，并将GS 无限延伸，在上面截取点A 和a ，使 ，那么，A 将为轨道顶点，而Aa 为曲线主轴。通过GA 大于、等于或小于AS 的不同情况，该曲线可为椭圆、抛物线或双曲线。在第一个情形中，点a 与点A 均位于直线GF 同一侧；在第二个情形中，点a 位于无限远处；在第三个情形中，点a 位于GF 的另一侧。因为，若作GF 上的垂线段CI 和DK ，则 。再整理排列有： ，或等于 ；同理可证 也等于该比值。因此，点B 、C 、D 均位于由焦点S 作出的圆锥曲线上，且由焦点作出的到曲线上各点的所有线段，与过该点垂直于GF 的线段的比值均为给定值。
著名几何学家德拉希尔在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中，也用类似方法对这个问题作了证明。
