由未知焦点求曲线轨道
引理17
若在已知圆锥曲线上任意一点P ，用给定角度作任意四边形ABDC （该四边形内接于圆锥曲线）。向AB 、CD 、AC 和DB 的直线，分别作直线PQ 、PR 、PS 和PT ，那么，在对边AB 和CD 上的PQ ×PR ，与在另两条对边AC 、BD 上的PS ×PT 的比值均为给定值。
情形1 首先，假设到两条对边的直线平行于另两条边的某一条，如RQ 和PR 与边AC 平行，PS 和PT 与边AB 平行，设两条对边如AC 与BD 也是平行的（如图5-1） 。如果圆锥曲线的一条直径平分这些平行边的线段，那么它也将RQ 等平分。设点以O 为RQ 的中点，那么，PO 就是直径上的纵标线。将PO 延长到点K ，使OK ＝PO ，OK 则为直径另一侧上的纵标线。由于点A 、B 、P 和K 都位于圆锥曲线上，因此，PK 以给定角度与AB 相交。根据《圆锥曲线》第三卷中的相关命题，PQ ×QK 与AQ ×QB 的比为给定值。但是，QK ＝PR ，因为它们均是相等直线OK 和OP ，分别与OQ 和OR 的差，因此，PQ ×QK 等于PQ ×PR ，从而PQ ×PR 与AQ ×QB 的比值，即与PS ×PT 的比，也是给定值。
（图5-1）
证明完毕。
情形2 假设四边形的对边AC 与BD 不平行（如图5-2） 。作Bd 平行于AC ，与直线ST 交于点t ，与圆锥曲线交于点d 。连接Cd ，交PQ 于点r ，再作DM 平行于PQ ，与Cd 相交于点M ，与AB 相交于N 。由于三角形BTt 与三角形DBN 相似，因此， （或 ）＝ ，而 （或 ）＝ 。前项之间相乘，后项之间也相乘，PQ ×Rr 与PS ×Tt 的比，等于DN ×DM 与NA ×NB 的比，由情形1，也等于PQ ×Pr 与PS ×Pt 的比，由分比性质，也等于PQ ×PR 与PS ×PT 的比。（如图5-2）
（图5-2）
证明完毕。
情形3 假设四条直线PQ 、PR 、PS 、PT 与边AC 、AB 不平行，而任意相交（如图5-3） 。作Pq 、Pr 与AC 平行，作Ps 、Pt 与AB 平行，由于三角形中的角PQq 、PRr 、PSs 和PTt 已给定，则PQ 与Pq ，PR 与Pr ，PS 与Ps ，PT 与Pt 的比值等于定值，若将它们相乘，则 和 等于定值。但是，根据前面的证明，Pq ×Pr 与Ps ×Pt 的比值已确定，因此，PQ ×PR 与PS ×PT 的比值也是确定的。（如图5-3）
（图5-3）
证明完毕。
引理18
在条件相同的情况下，如果向四边形两对边上作出的任意直线PQ 与PR 的乘积，与四边形另两条边上作出的任意直线PS 与PT 乘积的比值是给定的，那么，所有直线穿过的点P ，位于由四边形所在的圆锥曲线上。（如图5-4）
（图5-4）
假设所作圆锥曲线过点A 、B 、C 、D ，以及无数个点P 中的任意一个，比如点p ，那么，点P 将总是在曲线上。若对此表示否定，可连接AP ，在点P 之外的任意一处与圆锥曲线相交，若有可能，相交点不是P 而是b 。因此，若在点p 和点b ，用给定角度作四边形边的直线pq 、pr 、ps 、pt 和bk 、bn 、bf 、bd ，那么，根据引理17，则可得出：bk ×bn 与bf ×bd 之比，等于pq ×pr 与ps ×pt 之比，由假定条件也等于PQ ×PR 与PS ×PT 的比。由于四边形bkAf 与PQAS 相似，因此， ，若将等式中每个对应项均除以前面一项，则可得出， ，就是说，等角四边形Dnbd 和DRPT 相似，因此它们的对角线Db 和DP 重合。于是b 点将落在直线AP 和DP 的交点上，最后会与P 点重合。因此，无论在何处取点P ，它都会落在给定的圆锥曲线上。
证明完毕。
推论 如果从公共点P 向三条给定直线AB 、CD 、AC 作同样多的直线PQ 、PR 、PS ，让它们一一对应，并各自以给定角度相交，且两条直线PQ 与PR 的乘积与第三条边PS 的平方之比是给定值，那么，引出直线的点P 位于圆锥曲线上，而该曲线与直线AB 、CD 相切于点A 和C ，反之亦同。因为，将直线BD 向AC 靠近并与之重合，这三条直线AB 、CD 和AC 的位置保持不变；再将直线PT 与直线PS 重合，那么，PS ×PT 将变为PS 2 ；又因为直线AB 、CD 与曲线是交于A 、B 和C 、D 的，现在这些点重合了，所以曲线与它们不再是相交，而是相切。
附注
在该引理中，圆锥曲线这个名称是一个广义的概念，它涵盖了过圆锥顶点的直线截线和平行于圆锥曲线底面的圆周截线。因为，若点p 在连接A 和D 或C 和B 点的直线上，那么，圆锥曲线将变为两条直线，其中一条就是点p 所在直线，另一条则穿过四个点中的另外两个点。如果四边形两个对角的和等于两个直角，那么，这四条直线PQ 、PR 、PS 和PT 垂直于图形的四条边，或与四边交于等角且直线PQ 和PR 的乘积等于直线PS 和PT 的乘积，圆锥曲线则将变成圆周。还有一种情况，即若用任意倾角来作这四条直线，且直线PQ 和PR 的乘积与直线PS 和PT 的乘积之比，等于后两条直线PS 、PT 和其对应边所形成的夹角S 、T 的正弦的乘积，与前两条直线PQ 、PR 和其对应边所形成的夹角Q 、R 的正弦乘积之比，则圆锥曲线也是圆。在所有其他情形中，点P 的轨迹为其他三种圆锥曲线图形中的一种。除这种四边形ABCD ，还可以用另一种四边形，它的对边可以像对角线一样相互交叉。但是，如果四个点A 、B 、C 、D 中的任意一个或两个可以向无限远的距离移动，这就是说，它的四条边将收敛于这点，成为平行线。此时，圆锥曲线将穿过其余的点，并将以抛物线形式沿相同方向连接到无限远。
引理19
求证点P ，由该点以已知角度向直线AB 、CD 、AC 和BD 作对应的直线PQ 、PR 、PS 和PT ，任意两条PQ 和PR 的乘积与PS 和PT 的乘积的比值为给定值。（如图5-5）
（图5-5）
假设到直线AB 和CD 的任意两条直线PQ 和PR 包含上述乘积之一，且与给定的其他两条直线相交于A 、B 、C 、D 点，以这些点中的任何一个例如A ，作任意直线AH ，并将P 点位于AH 上，使AH 交直线BD 和CD 于点H 和I ，由于图形的所有角都是给定的，因此， 、 和 的值也是给定的，用给定比值PQ ×PR 比PS ×PT ，除以该比值，则得到 的比值，若再乘以给定比值 和 ，那么， 和点P 也能确定。
证明完毕。
推论1 同样，也可在点P 轨迹上的任意点D 处作切线。因为，点P 和D 重合时，AH 通过点D ，弦PD 变为了切线。在这种情形下，逐渐消失的线段IP 和PH 的最终比值，则可从上述推论过程中求出。若作CF 平行于AD ，交BD 于点F ，并以该最终比值截取E 点，DE 则为切线，因为，CF 和逐渐消失的IH 平行，且相交点E 和P 以相同比例截取。（如图5-6）
（图5-6）
推论2 所有点P 的轨迹均可求出。过点A 、B 、C 、D 中的任一点假设A 作AE 与轨迹相切，再过其他任一点如B ，作平行于切线的直线BF 在点F 与轨迹相交，再通过本引理求出点F 。设点G 平分BF ，作直线AG ，使AG 是直径所在的直线，BG 和FG 则是纵标线。如果AG 交轨迹于H ，那么，AH 将成为直径或是横向的通径（通径与它的比等于BG 2 比AG ×GH ）。如果AG 与轨迹不相交，直线AH 为无限，则轨迹将为一抛物线，直线AG 所对应的通径就是BG 2 /AG 。如果它与轨迹在某点相交，当点A 和H 位于点G 的同一侧时，轨迹为双曲线；当点G 落在点A 和H 之间，轨迹为椭圆，当角AGB 为直角，而BG 2 等于AG ×GH 时，轨迹则为圆周。（如图5-7）
（图5-7）
在推论中，我们对著名而古老的四线问题给予了解答，自欧几里得以来，四线问题盛行不衰，此后，阿波罗尼奥斯又对此进行了继承和发展。但这些问题并不需要分析和计算，它只需用几何作图来解答，从某种意义上说，这也是古人所要求的。
引理20
如果任意平行四边形ASPQ 的两对角顶点A 和P 在任意圆锥曲线上，其中，构成角的边AQ 和AS 向外延伸，与相同圆锥曲线在B 和C 点相交；再通过点B 和点C 作到圆锥曲线上任意第五个点D 的两直线BD 和CD ，同平行四边形的另外两条边PS 和PQ 相交于延伸线上的点T 和R ，那么，被曲线的边所截的部分PR 和PT 之间的比值是给定的。反之，如果这些被切割部分相互间比值是给定的，那么点D 在通过点A 、B 、C 和P 点的圆锥曲线上。（如图5-7）
情形1 连接BP 和CP ，由D 作直线DG 和DE ，使DG 与AB 平行，交PB 、PQ 、CA 于点H 、I 和G ；作DE 与AC 平行，交PC 、PS 和AB 于点F 、K 和点E 。根据引理17可知，DE ×DF 与DG ×DH 的比是给定值。由于 （或 ）＝ ，因此， 。同理， ，也就等于 （或 ），因此， 。将这些比值相乘，则 ，因此，它们的比值均为给定值。由于PQ 和PS 已经给定，所以， 的值也给定。
证明完毕。
情形2 如果已经给定PR 和PT 相互间的比值，那么，用类似的理由逆推，则DE ×DF 与DG ×DH 之比为给定值。根据引理18，点D 将位于过点A 、B 、C 、P 的圆锥曲线上。
证明完毕。
推论1 作直线BC 交PQ 于点r ，并在PT 上取t ，使 ，那么，Bt 将与圆锥曲线相切于点B 。因为，假设点D 与点B 重合，则弦BD 将消失，BT 会变为切线，且CD 和BT 与CB 和Bt 重合。
推论2 反之，如果Bt 为切线，而直线BD 和CD 在圆锥曲线上任意点D 处相交，那么， 。反之，如果 ，BD 和CD 则必定在圆锥曲线上任意点D 处相交。
推论3 一条圆锥曲线与一条圆锥曲线相交，交点至多为4个。因为，如果交点个数大于4，两圆锥曲线将通过5点A 、B 、C 、P 和O 。如此，若直线BD 与它们交于点D 和d ，且直线Cd 在点q 与直线PQ 相交，所以 ，即PR ＝Pq ，这与命题相矛盾。
引理21
如果两条不确定但可移动的直线BM 和CM 通过给定点B 和C ，且以此为极点，通过这两条直线的交点M 作第三条给定位置的直线MN ，再作另两条不确定直线BD 和CD ，并与前两条直线在给定点B 和C 构成给定的角MBD 和MCD 。那么，直线BD 和CD 的交点D 所作出的圆锥曲线将通过定点B 、C 。反之，如果由直线BD 和CD 的交点D 所作出的圆锥曲线通过定点B 、C 、A ，而角DBM 将与给定角ABC 相等，角DCM 也与定角ACB 相等，则点M 的轨迹为一条给定位置的直线。（如图5-8）
（图5-8）
在直线MN 上，点N 为给定点，当可动点M 落在不可动点N 上时，使可动点D 落在不可动点P 上。连接CN 、BN 、CP 和BP ，再由点P 作直线PT 、PR ，交直线BD 和CD 于点T 和R ，并使角BPT 等于给定角BNM ，角CPR 等于给定角CNM 。根据假设条件，角MBD 和NBP 相等，角MCD 和NCP 也相等，去掉公共角NBD 和NCD ，剩下的角NBM 和PBT ，NCM 和PCR 相等。因此，三角形NBM 和PBT 相似，三角形NCM 和PCR 也相似。于是， ， 。由于点B 、C 、N 、P 不可动，因此，PT 和PR 与NM 有给定比值， 也有给定比值。根据引理20，点D 是可动直线BT 和CR 的交点，且位于一圆锥曲线上，该曲线通过点B 、C 、P 。（如图5-9）
（图5-9）
证明完毕。
反之，如果可动点D 位于通过给定点B 、C 、A 的圆锥曲线上，而角DBM 与给定角ABC 相等，角DCM 也与定角ACB 相等。当点D 相继落在圆锥曲线上两任意不动点P 和p 上时，可动点M 也相继落在不动点n 和N 上。过点n 和N 作直线nN ，直线nN 则为可动点M 的轨迹。因为，如果将点M 位于任意曲线上运动，那么点D 将位于一圆锥曲线上，且该圆锥曲线过五点B 、C 、A 、p 和P 。根据前面的证明，当点M 持续位于曲线上时，点D 也将位于圆锥曲线上，该圆锥曲线也过五点B 、C 、A 、p 和P ，而这两条圆锥曲线都将通过相同的五点，这与引理20的推论3相矛盾。因此，点M 位于曲线上这一假设是不合理的。
证明完毕。
命题22 问题14
作一条通过五个给定点的曲线轨道。（如图5-10）
（图5-10）
设A 、B 、C 、P 、D 为五个给定点。由其中的任意一个点如A ，作到其他任意两个点如B 、C （可称做极点） 的直线AB 和AC ，过第四个点P 的直线TPS 和PRQ 分别与AB 和AC 平行。再由两极点B 和C ，作过第五个点D 的两条无穷直线BDT 和CRD ，与前面所作的直线TPS 和PRQ 分别交于点T 和R 。作直线tr 平行于TR ，使直线PT 和PR 截下的任意部分Pt 和Pr 与PT 和PR 成比例。如果通过它们的端点t 、r 和极点B 、C ，作直线Bt 和Cr 相交于点d ，则点d 将位于所要求的曲线轨道上。因为，根据引理20，点d 位于过点A 、B 、C 、P 的圆锥曲线上，而当线段Rr 和Tt 逐渐消失时，点d 将与点D 重合。因此，圆锥曲线通过点A 、B 、C 、P 、D 五点。
证明完毕。
其他证明方法：
在这些给定的点中，连接任意三个点，例如依次连接点A 、B 、C ，且以它们中的两个点B 和C 作为极点，使给定大小的角ABC 和角ACB 旋转，并使边BA 和CA 先位于点D 上，再位于点P 上。在这两种情形下，边BL 和CL 相交于点M 和N ，作无穷直线MN ，并使这些可动角绕它们的极点B 和C 旋转，设边BL 、CL 或BM 、CM 的交点为m ，则该点总落在不确定直线MN 上，若设边BA 、CA 或BD 、CD 的交点为d ，画出所要求的曲线轨道PADdB 。因为，根据引理21，点d 将位于通过点B 和C 的圆锥曲线上。而当点m 与点L 、M 、N 重合时，点d 将会与点A 、D 、P 重合（由图可知） 。因此，所作出的圆锥曲线将通过A 、B 、C 、P 、D 五点。（如图5-11）
（图5-11）
证明完毕。
推论1 在任意给定点B ，可以画出与轨道相切的直线。令点d 与点B 重合，直线Bd 则为所求切线。
推论2 根据引理19中的推论，也可求出轨道的中心、直径和通径。
附注
比第一种作法更简便的方法：（如图5-10）连接BP ，如果需要的话，可在该直线的延长线上截取一点p ，使 。再过p 点作无穷直线pe 与SPT 平行，并使pe 与pr 永远相等。作直线Be 、Cr 相交于点d 。由于 、 、 和 均为相等比值，所以，pe 也与Pr 永远相等。按这种方法，轨道上的点很容易找出，除非用第二种作图法机械地作出曲线图形。
命题23 问题15
作出通过四个定点，并与给定直线相切的圆锥曲线轨道。（如图5-12）
（图5-12）
情形1 假设HB 为给定切线，B 为切点，而C 、D 、P 为其他给定的三个点。连接BC ，作PS 平行于BH ，PQ 平行于BC ，作出平行四边形BSPQ 。再作BD 交SP 于点T ，CD 交PQ 于点R 。最后，作任意直线tr 平行于TR ，并使从PQ 、PS 上截取的Pr 和Pt 分别与PR 和PT 成比例，根据引理20，作直线Cr 和Bt ，它们的交点d 将总是落在所求曲线轨道上。
其他证明方法：
作角CBH 并给定大小，使其绕极点B 旋转，将半径DC 向其两边延伸，并绕极点C 旋转。设角的一边BC 交半径于点M 、N ，另一条边BH 交半径于点P 和D 。作无穷直线MN ，使半径CP 或CD 与角的边BC 总在该直线上相交，而另一边BH 与半径的交点将画出所需要的轨道。（如图5-13）
（图5-13）
在根据前述问题所作图中，点A 与点B 重合，直线CA 和CB 重合，那么，直线AB 最终将演变为切线BH ，因此之前的作法与这里所描述的相同。所以边BH 和半径的交点将会作出一圆锥曲线，且该曲线通过点C 、D 、P ，并与直线BH 相切于点B 。
证明完毕。
情形2 假设给定的四点B 、C 、D 、P 都不在切线HI 上，将它们两两连接，直线BD 、CP 相交于点G ，与切线相交于点H 和I 。以点A 分割切线，使 等于CG 和GP 的比例中项与BH 和HD 的比例中项的乘积，再比GD 和GB 的比例中项与PI 和IC 的比例中项的乘积，此时，点A 就是切点。因为，HX 如果与直线PI 平行，并与轨道相交于任意点X 和Y ，那么，根据圆锥曲线的性质，点A 所在位置将使 等于XH ×HY 与BH ×HD 的比，或等于CG ×GP 与DG ×GB 的比，再乘以BH ×HD 与PI ×IC 的比。但是，在求出切点A 之后，曲线轨道就可由第一种情形画出。（如图5-14）
（图5-14）
证明完毕。
值得注意的是，点A 既可以在点H 和I 之间取，也可以在它们之外取，若以此为基础，则可作出两种不同的曲线。
命题24 问题16
作出过三个定点，并与两条给定直线相切的曲线轨道。（如图5-15）
（图5-15）
假设HI 、KL 为给定切线，B 、C 、D 为给定的点。过其中的任意两个点，例如B 和D ，作直线BD 交两切线于点H 和K 。同样，过它们中的其他任意两个点C 和D 作直线CD ，交两切线于点I 和L 。在直线HK 和IL 上取点R 和S ，使HR 与KR 的比，等于BH 和HD 的比例中项与BK 和KD 的比例中项之比。IS 与LS 的比，等于CI 和ID 的比例中项与CL 和LD 的比例中项之比，但交点可以随意选取，点R 和S 既可以在点K 和H 、I 和L 之间，也可以在它们之外。再作直线RS ，与两切线交于点A 和P ，A 、P 则为切点。假设A 和P 为切点，并位于切线上的任意处，过二切线上四点H 、I 、K 、L 中的其中一个点如I ，位于一条切线HI 上，再作直线IY 平行于另一切线KL ，交曲线于点X 和Y ，并在直线IY 上截取IZ ，使它等于IX 和IY 的比例中项，那么根据圆锥曲线的性质，XI ×IY 或IZ 2 与LP 2 的比，就等于CI ×ID 与CL ×LD 的比，也等于SI 2 与SL 2 的比，因此IZ ∶LP ＝SI ∶SL 。因此点S 、P 、Z 则在同一直线上。此外，由于两切线的交点为G ，根据圆锥曲线的性质，XI ×IY 或IZ 2 与IA 2 的比，将等于 ，因此IZ ∶IA ＝GP ∶GA 。从而，点P 、Z 、A 位于同一直线上，点S 、P 、A 也位于同一直线上。同理可证：点R 、P 和A 也在同一直线上。从而切点A 和P 在直线RS 上。求出这些点后，根据上一问题的情形，即可作出曲线轨道。
证明完毕。
在本命题和前一命题的情形2中，作图方法一样，无论直线XY 与曲线相交于点X 和Y ，或者不相交，所作图形均不依赖这些条件。但当已证明直线与轨道相交时的作图法，就能证明不相交时的作图法。因此，为了力求简便，我不会对此作进一步证明。
引理22
将图形转变为同类的另一个图形。（如图5-16）
（图5-16）
假设任意图形HGI 将被转换。作任意两条平行线AO 和BL ，使其与任意给定的第三条直线AB 相交于点A 和B 。然后，以图形上的任意一点G ，作任意直线GD 平行于OA ，使它与直线AB 相交。再由直线OA 上的任意定点O ，作到点D 的直线OD ，交BL 于点d 。由d 再作直线dg ，与直线BL 构成任意给定角，并使dg ∶Od ＝DG ∶OD ，这样，点g 将位于新图形hgi 上，并与点G 相对应。用相同的方法，可以将第一个图形上的若干点分别与新图形上的点一一对应。若假设点G 受连续运动作用而通过第一个图形上所有的点，那么，点g 也将受连续运动作用而通过新图形上所有的点，画出的图形也完全相同。为了表示区别，可将DG 作为原纵标线，dg 作为新纵标线，并以AD 为原横标线，ad 为新的横标线，O 作为极点，OD 作为分割半径，OA 作为原纵标线上的半径，而Oa 则作为新的纵标线半径。
如果点G 位于给定直线上，那么，点g 也将位于给定直线上。如果点G 位于圆锥曲线上，同样，点g 也在圆锥曲线上，在这里，我将圆周作为圆锥曲线的一种。另外，如果点G 在三次曲线上，则点g 也将在三次曲线上，即使是更高级的曲线，情况也完全相同。点G 和g 所在曲线的次数总是相等的，因为，ad ∶OA ＝Od ∶OD ＝dg ∶DG ＝AB ∶AD ；所以，AD ＝ ，DG ＝ 。如果点G 位于直线上，那么，在任意表达横标线AD 和纵标线GD 关系的等式中，这些未知量AD 和DG 的方程是一次的。如果用 代替AD ， 代替DG ，可以形成一个新的等式，在这个等式中，新横标线ad 和新纵标线dg 的方程也只有一次。因此，它们只表示一条直线。但是，如果AD 或DG 在原方程中是二次的，那么，ad 和dg 在新方程中也同样上升到二次的。这在三次方或更高次方的方程中也如此。在新方程中未知量ad 、dg ，以及在原方程中的AD 、DG ，它们的次数都是相等的，所以，点G 和g 所在的曲线次数也是相等的。
此外，如果任意直线在原图形中与曲线相切，那么该直线与曲线以相同方式转变为新图形时，直线也会与曲线相切，反之亦然。如果原图形中曲线上的任意两点，相互不断靠近并重合，那么，对应的点在新图形中也将不断靠近并重合的，因此，在两个图形中，由某些点构成的直线将同时变为曲线的切线。我本来应该用更加几何的形式来对这些问题进行证明，但是，为了简洁，我把它省略了。
如果要将一个直线图形转变为另一个直线图形，只需转变原图形中直线的交点就行了，并通过这些转变的交点再在新图形中作出直线。但如果是转变曲线图形，就必须转变那些可以确定曲线的点、切线，以及其他的直线。本引理可用于解决一些更有难度的问题，因为可以将所设的图形由较为复杂的转变为较为简单的。不同方向的直线可聚拢于一点，而通过该点的任意直线可代替原纵坐标半径，将那些向一个点聚拢的所有任意直线转变为平行线，只有这样，才能使它们的交点位于无限远处，而这些平行线就向着那个无限遥远的点靠近。在新图形中解决完这些问题之后，如果按逆运算将新图形转变为原图形，我们也会得到所要的解。
该引理同样也适用于解决立体问题。因为，通常需要解决的是两条圆锥曲线相交的问题，而任意一个圆锥曲线都可以被转变，如果是双曲线或抛物线，可以转变为椭圆，而椭圆也很容易转变成圆。在平面问题的作图中，对于直线和圆锥曲线，同样也可以转变为直线和圆周。
命题25 问题17
作出通过两定点，并与三条给定直线相切的曲线轨道。（如图5-17）
（图5-17）
过任意两条切线的交点和第三条切线与两定点直线相交的交点，作一条直线，并用这条直线代替原纵标线半径，根据前述引理，可将原图形转变为新图形。在新图形中，这些切线变为平行线，第三条切线也将与过两定点的直线平行。假设hi 、kl 为两条平行的切线，ik 为第三条切线，hl 为平行于该切线的直线，并过点a 、b ，那么，在新图形中，圆锥曲线也将通过这两点。作平行四边形hikl ，直线hi 、ik 、kl 相交于点c 、d 、e ，使hc 与ah ×hb 的平方根的比，ic 与id 、ke 与kd 的比，等于线段hi 、kl 的和与另外三条线段（第一条线段为ik 、其他两条为ah ×hb 和al ×lb 的平方根） 和的比，则c 、d 、e 点将为切点。因为，根据圆锥曲线的性质，hc 2 ∶（ah ×hb ）＝ic 2 ∶id 2 ＝ke 2 ∶kd 2 ＝el 2 ∶（al ×lb ），所以，hc 与 、ic 与id 、ke 与kd ，及el 与 的比值相等，同时等于（hc ＋ic ＋ke ＋el ）∶ ＋id ＋kd ＋ ，也等于（hi ＋kl ）∶ ＋ik ＋ 。由此在新图形中可得切点c 、d 、e 。通过上一引理中的逆运算将这些点转变到原图形中，则曲线轨道可由问题14作出。
证明完毕。
由于点a 、b 可落在点h 、l 之间，也可落在点h 、l 之外，因此取点c 、d 、e 时，也应在点h 、i 、k 、l 之间，或在它们之外。如果点a 、b 中的任一个落在点h 和i 之间，而另一个不在h 和l 之间，则命题无解。
命题26 问题18
作出通过一定点，并与四条给定直线相切的曲线轨道。（如图5-18）
（图5-18）
通过任意两条切线的公共交点到其他两条切线的公共交点，作直线，并用这条直线代替原纵标线半径，根据引理22，可以将原图形转变为新图形，使原先在纵标线相交的这两对切线，现在变为相互平行。用hi 和kl 、ik 和hl 这两对平行线，构成平行四边形hikl ，将p 作为新图形中与原图形中给定点相对应的点。过图形的中心o 作线段pq ，使oq ＝op ，那么，点q 为新图形中圆锥曲线所通过的另一个点。根据引理22，由逆运算，使该点转变到原图形中，则可得所求曲线轨道上的两点。根据问题17，曲线轨道可由这些点画出。
引理23
如果两直线如AC 和BD 的位置已给定，点A 、B 为端点，且两直线间的比值为给定值，由不确定点C 、D 连接而成的直线CD 被点K 以给定比值分割，则点K 将位于给定直线上。（如图5-19）
（图5-19）
设直线AC 和BD 相交于点E ，在BE 上取BG ∶AE ＝BD ∶AC ，使FD 等于给定线段EG ，由图知， （即 ）＝ ，即为定值，所以三角形EFC 的类型也给定。将CF 在L 点进行分割，使 ；由于该比值已给定，三角形EFL 的类型也将给定，所以，点L 将位于给定直线EL 上。连接LK ，则三角形CLK 与CFD 相似，由于FD 为给定直线，LK 与FD 的比值为给定值，因此，LK 也将给定。在ED 上取EH ＝LK ，ELKH 则为平行四边形，因此，点K 将位于平行四边形的边HK 上（HK 为给定直线） 。
证明完毕。
推论 由于图形EFLC 的类型已给定，因此，EF 、EL 、EC （即GD 、HK 、EC ）这三条直线相互间的比值也给定。
引理24
三条直线都与某一圆锥曲线相切，如果其中两条的位置已给定并且相互平行，那么，与这两条直线平行的曲线的半径，是这两条直线切点到它们被第三条切线所截线段的比例中项。（如图5-20）
（图5-20）
设AF 、GB 为两条平行直线，并与圆锥曲线ADB 相切于点A 和B ；EF 为第三条直线，与圆锥曲线相切于点I ，并与前两条切线交于点F 和G ，以CD 为图形半径并与前两条切线平行，那么，AF 、CD 、BG 成连比。
如果共轭直径AB 、DM 与切线FG 交于点E 和H ，两直径相交于点C ，作出平行四边形IKCL 。根据圆锥曲线性质，EC ∶CA ＝CA ∶CL ，由分比得： ，由合比得： ，即 ，由于三角形EAF 、ELI 、ECH 、EBG 相似，因此，AF ∶LI ＝CH ∶BG 。由圆锥曲线性质可得， （或 ）＝ 。因此由并比得 。
证明完毕。
推论1 如果两切线FG 、PQ 与两平行切线AF 和BG 交于点F 和G 、P 和Q ，两切线FG 、PQ 交于点O ，那么，根据该引理，AF ∶CD ＝CD ∶BG ，BQ ∶CD ＝CD ∶AP ，所以，AF ∶AP ＝BQ ∶BG ，由分比得AF ∶BQ ＝FP ∶GQ ，最终等于 。
推论2 同样，过点P 和G 、F 和Q 所作的直线PG 和FQ ，将与通过图形中心和切点A 、B 的直线ACB 相交。
引理25
如果平行四边形的四边与任意一圆锥曲线相切，并与第五条切线相交，那么，平行四边形对角上的两相邻边被截取的线段，其中任一段与它所在边的比值，等于其相邻边上由切点到第三条边所截取的部分与另一条线段的比。（如图5-21）
（图5-21）
平行四边形MLKI 四条边ML 、IK 、KL 、MI 与圆锥曲线相切于A 、B 、C 、D ，第五条切线FQ 与这些边相交于F 、Q 、H 和E ，取MI 、KI 上ME 、KQ 两段，或KL 、ML 上KH 、MF 两段，使ME ∶MI ＝BK ∶KQ ，KH ∶KL ＝AM ∶MF 。因为，根据前述引理中的推论1可知，ME ∶EI ＝AM 或BK ∶BQ ；由合比得ME ∶MI ＝BK ∶KQ 。
证明完毕。
同理，KH ∶HL ＝BK 或AM ∶AF ，由分比得KH ∶KL ＝AM ∶MF 。
证明完毕。
推论1 如果外切给定圆锥曲线的平行四边形IKLM 已给定，那么，乘积KQ ×ME 与其相等的乘积KH ×MF 也给定。由于三角形KQH 与MFE 相似，因而，这些乘积也相等。
推论2 如果第六条切线eq 与切线KI 、MI 相交于点q 和e ，那么，KQ ×ME ＝Kq ×Me ，KQ ∶Me ＝Kq ∶ME ，由分比得KQ /Me 等于Qq /Ee 。
推论3 同样，如果二等分Eq 和eQ ，并作过这两平分点的直线，则该直线将过圆锥曲线的中心。由于Qq ∶Ee ＝KQ ∶Me ，因此，根据引理23，同一直线将通过所有直线Eq 、eQ 、MK 的中点，而直线MK 的中点即是曲线的中心。
命题27 问题19
作出与五条给定直线相切的曲线轨道。（如图5-22）
（图5-22）
假设ABG 、BCF 、GCD 、FDE 、EA 为给定的五条切线。由它们中的任意四条构成四边形，如ABFE 。以点M 和N 平分四边形的对角线AF 和BE ，那么，根据引理25中的推论3，由平分点所作的直线MN 将过圆锥曲线的中心。通过另四条切线构成四边形，如BGDF ，以点P 和Q 平分对角线BD 、GF ，那么，过平分点所作的直线PQ 也将通过圆锥曲线的中心。因此，中心将在二条等分点连线的交点处。设该中心为O ，作任意切线BC 的平行线KL ，使点O 位于这两条平行线的中间，则KL 将与所作曲线相切。使KL 相交其他两任意切线GCD 、FDE 于点L 和K ，不平行切线CL 、FK 与平行切线CF 、KL 相交于点C 和K 、F 和L ，作CK 、FL 交于点R ，根据引理24中的推论2可知，直线OR 与平行切线CF 、KL 在切点相交。同理可求出其他切点，然后，根据问题14就可作出曲线轨道。
证明完毕。
附注
前述命题也包括了曲线轨道的中心或渐近线给定的情况。因为，当点、切线、中心均给定时，在中心另一侧相同距离处同样多的点、切线也将给定，因此，可将渐近线视为切线，它在无限遥远的极点就是切点。设任意一条切线的切点移动到无限远处，该切线则将变为一渐近线，而前述问题中所作的图也就演变成为如图5-23所示，由给定渐近线所作的图了。
（图5-23）
作完圆锥曲线之后，我们还可以按此方法找到它们的轴和焦点。通过引理21的构图，可以画出曲线轨道的动角PBN 、PCN 的边BP 和CP 相互平行，并能在图形中保持其所在位置并围绕极点B 、C 旋转。与此同时，通过这两个角的另外两条边CN 、BN 的交点K 或k ，作一圆周BKGC 。以O 为圆周的中心，使边CN 、BN 在画出圆锥曲线之后相交，并由中心作直线MN 的垂线OH ，在点K 和L 与圆周相交。当另两边CK 、BK 相交于离MN 最近的点K 时，原先的边CP 、BP 将与长轴平行，并与短轴垂直。如果这些边在最遥远的L 点处相交，就会出现相反的情况。因此，若轨道的中心已给定，其轴也必然给定，当这些都给定之后，找出它的焦点也就非常容易了。
由于两轴相互间平方的比等于 ，因此，很容易就可以通过四个给定点画出已知类型的曲线轨道。如果C 、B 是这些给定点中的两个极点，那么，第三个极点就将引出可动角PCK 、PBK ，如果这些条件都已给定，就可画出圆BGKC 。由于曲线轨道的类型已给定，因此， 的值以及OH 本身也就给定。以O 为圆心、OH 为半径，画出另一个圆周，通过边CK 、BK 的交点与该圆相切的直线，在原先图形的边CP 、BP 在第四个给定点相交时，即变成平行线MN ，通过MN ，则可画出圆锥曲线。另一方面，还可以在给定的圆锥曲线中作出它的内接四边形。
当然，还可以用其他引理来画出给定类型的圆锥曲线，并使曲线轨道通过给定点，与给定直线相切（如图5-24）。该图形的类型是：如果一直线过任意给定点，它将与给定的圆锥曲线交于两点，并等分两交点间的距离，其等分点将交于另一圆锥曲线上，该圆锥曲线与前一图形的类型相同，而它的轴与前一个图形的轴平行。不过，这个问题只能谈到这里，因为，我将在后面讨论更具实用价值的问题。
（图5-24）
引理26
在给定大小和类型的三角形中，将三角形的三个角分别与同样多的、给定位置且不平行的直线相互对应，并使每个角与一条直线对应相交。（如图5-25）
（图5-25）
在给定三条直线AB 、AC 、BC 的位置时，按以下要求来摆放三角形DEF ：角D 与直线AB 相交、角E 与AC 相交、角F 与BC 相交。在DE 、DF 、EF 上作圆弧DRE 、DGF 和EMF ，使弧所对应的角分别与角BAC 、ABC 和ACB 相等。这些弧线朝向相应的边DE 、DF 、EF ，并使字母DRED 与BACB 的转动顺序一致、DGFD 与ABCA 一致、EMFE 与ACBA 一致。然后，把这些圆弧补充成完整的圆周，并将前两个圆相交于点G ，设P 和Q 为这两个圆的中心。连接GP 、PQ ，取Ga 并使Ga ∶AB ＝GP ∶PQ 。再以点G 为圆心、Ga 为半径画出一圆，与第一个圆DGE 交于点a 。连接aD ，与第二个圆DFG 交于点b 。再连接aE ，交第三个圆周EMF 于点c 。则可画出与图形abcDEF 相似且相等的图形ABCdef 。
证明：作Fc 交aD 于点n ，连接aG 、bG 、QG 、QD 、PD ，作图可知，角EaD 等于角CAB ，角acF 等于角ACB ，所以三角形anc 与三角形ABC 相等。因此，角anc 或角FnD 与角ABC 相等，也与角FbD 相等，那么，点n 将落在点b 上。另外，圆心角GPD 的一半——角GPQ 与圆周角GaD 相等；而圆心角GQD 的一半——角GQP 与圆周角GbD 的补角相等，所以与角Gba 相等。基于上述理由，三角形GPQ 和Gab 相似，Ga ∶ab ＝GP ∶PQ ，也等于 （如图5-26）。所以ab ＝AB ，三角形abc 和ABC 相似且相等。因此，由于三角形DEF 的顶点D 、E 、F 分别位于三角形abc 的边ab 、ac 、bc 上，那么，就可作出图形ABCdef ，使之与图形abcDEF 相似且相等，即问题可解出。
