（图5-26）
证明完毕。
推论 可以作出这样一条直线：使其给定长度的部分位于三条给定位置的直线之间。假设三角形DEF 上的D 点向边EF 靠近，随着边DE 、DF 渐变为一条直线，三角形也渐变成两条直线，则给定部分DE 将介于给定直线AB 、AC 之间，给定部分DF 也将介于给定直线AB 、BC 之间。如果将上述画图法运用到本情形中，问题即可解答。
命题28 问题20
给定类型和大小，作出一圆锥曲线，使曲线中的给定部分介于给定位置的三条直线之间。（如图5-27）
（图5-27）
假设一曲线轨道与曲线DEF 相似且相等，并被三条给定直线AB 、AC 、BC 分割为DE 和EF 两部分，这两部分与曲线给定的部分相似且相等。
作直线DE 、EF 、DF ，根据引理26，三角形DEF 的顶点D 、E 、F 在给定位置的直线上。而以三角形画出的曲线轨道，则与曲线DEF 相似且相等。
证明完毕。
引理27
给定类型，作出一四边形，使它的四个顶点分别与四条边既不相互平行，也不交于一点的直线上。（如图5-28）
（图5-28）
给定四条直线AC 、AD 、BD 、CE 的位置，设AC 交AD 于点A 、交BD 于点B 、交CE 于点C 。设所作四边形fghi 与四边形FGHI 相似，它的角f 与定角F 相等，顶点f 在直线AC 上，其他的角g 、h 、i 与其他的定角G 、H 、I 相等，顶点分别在直线AD 、BD 、CE 上。连接FH ，在FG 、FH 和FI 上作出相同数量的圆弧FSG 、FTH 和FVI ，弧FSG 所对应的角与角BAD 相等，弧FTH 的对应角与角CBD 相等，弧FVI 的对应角与角ACE 相等。将这些弧线朝向相应的边FG 、FH 、FI ，并使字母FSGF 与字母BADB 的转动顺序一致、FTHF 与CBDC 一致、FVIF 与ACEA 一致。将这些圆弧补充成完整的圆周，以P 为圆FSG 的圆心、Q 为圆FTH 的圆心。连接PQ 且延伸其两边，在它上面截取QR ，使QR ∶PQ ＝BC ∶AB 。将QR 的端点Q ，并使字母P 、Q 、R 的顺序与A 、B 、C 的转动顺序一致。再以R 点为圆心、RF 为半径，作出第四个圆FNc ，与第三个圆FVI 交于点c 。连接Fc ，交第一个圆于点a 、交第二个圆于点b 。作aG 、bH 、cI ，使图形ABCfghi 与图形abcFGHI 相似，则四边形fghi 为所要求的图形。
将前两个圆FSG 、FTH 相互交于点K ，连接PK 、QK 、RK 、aK 、bK 、cK ，再延长QP 至点L 。圆周角FaK 、FbK 、FcK 为圆心角FPK 、FQK 、FRK 的一半，与圆心角的半角LPK 、LQK 、LRK 相等。所以图形PQRK 与图形abcK 等角相似，因此，ab ∶bc ＝PQ ∶QR ＝AB ∶BC 。由图可知：角fAg 、fBh 、fCi 等于角FaG 、FbH 、FcI ，因此，所作图形ABCfghi 与图形abcFGHI 相似，所作四边形fghi 也与FGHI 相似，而它的顶点f 、g 、h 、i 也在直线AC 、AD 、BD 和CE 上。
证明完毕。
推论 由此可作一条直线，使其各部分以给定的顺序介于四条给定位置的直线之间，并且各部分间的比值给定。若角FGH 、GHI 增大，使直线FG 、GH 、HI 演变为一条直线。通过该情形而作的图，可作一直线fghi ，它的各部分fg 、gh 、hi 位于给定位置的四条直线AB 和AD 、AD 和BD 、BD 和CE 之间，相互比值等于直线FG 、GH 、HI 之间相同顺序的比值。不过，这个问题还可用一种更简单的方法解答。（如图5-29）
（图5-29）
延长AB 、BD 分别至K 、L 点，使BK ∶AB ＝HI ∶GH ，DL ∶BD ＝GI ∶FG 。连接KL 交直线CE 于点i ，再延长iL 至点M ，使LM ∶iL ＝GH ∶HI 。再作MQ 平行于LB ，交直线AD 于点g ，连接gi ，交AB 、BD 于点f 、h ；问题即得到解答。
证明：设Mg 交直线AB 于点Q ，AD 交直线KL 于点S ，作AP 平行于BD ，交iL 于点P ，那么， （ 、 、 、 ）与 为相等比值。以点R 分割DL ，使DL /RL 也与上述比值相等。由于 、 、 相等，因此 、 、 相等， ，即 ， 。根据图形可知，直线BL 在点D 、R 处被分割，直线FI 在点G 、H 处被分割，而在D 、R 处分割的比值与点G 、H 处分割的比值相等。因此， ， 。与此相类似， ，也等于 ，这就是说，直线FI 、fi 在点g 和h 、G 和H 处被相似地分割。（如图5-30）
（图5-30）
证明完毕。
在该推论的作图中，还可作直线LK 交CE 于点i ，之后可再延长iE 至点V ，使EV /Ei ＝FH /HI ，再作直线Vf 平行于BD 。如果以点i 为圆心、IH 为半径，可作一圆周交BD 于点X ，并延长iX 至点Y ，使iY ＝IF ，最后，作Yf 与BD 平行。这种作图法与前一种作图法结果完全相同。
事实上，克里斯多弗·雷恩爵士和瓦理司博士很早就采用了其他方法来对这个问题做解答。
命题29 问题21
给定类型，作一圆锥曲线，使该曲线被四条给定位置的直线切割为顺序、类型、比例都给定的若干部分。（如图5-31）
（图5-31）
假设所作的曲线轨道与曲线FGHI 相似，曲线轨道的各个部分与曲线的FG 、GH 、HI 部分相似并成比例，且位于给定直线AB 和AD 、AD 和BD 、BD 和CE 之间，即第一部分位于第一对直线间、第二部分位于第二对之间、第三部分位于第三对之间。作直线FG 、GH 、HI 、FI ，根据引理27，可作四边形fghi ，使之与四边形FGHI 相似，并使它的顶点f 、g 、h 、i 按各自的顺序依次在直线AB 、AD 、BD 、CE 上。再绕该四边形作一曲线轨道，所作曲线则与曲线FGHI 相似。
附注
这个问题可用下列方法来解答。（如图5-32）
（图5-32）
连接FG 、GH 、HI 、FI ，将GF 延长至点V ，连接FH 、IG ，并使角CAK 、DAL 与角FGH 、VFH 相等。将AK 、AL 交直线BD 于点K 和L ，作KM 、LN ，使KM 构成角AKM 与角GHI 相等，并使 。再将直线LN 构成角ALN 并使之与角FHI 相等，且 。将所作直线AK 、KM 、AL 、LN 朝向边AD 、AK 、AL 一侧，并使字母CAKMC 、ALKA 、DALND 的转动顺序与字母FGHIF 一致。作MN 交直线CE 于点i ，使角iEP 等于角IGF ，并使PE /Ei ＝FG /GI 。过点P 作PQf ，使它与直线ADE 构成的角PQE 与角FIG 相等，并与直线AB 相交于点f ，连接于fi 。将所作直线PE 和PQ 朝向边CE 、PE 的一侧，并使字母PEiP 、PEQP 的旋转顺序与字母FGHIF 一致。如果在直线fi 上，按前面字母的相同顺序作四边形fghi 与四边形FGHI 相似，再围绕该四边形作外切于它的曲线轨道，问题即可解答。
至此，我在前面所讲述的全是关于轨道的解法，后面我将求解的是：物体在这些轨道上的运动。
